fonksiyon yaklaşımı

SAYISAL İNTEGRASYON
Sayısal olarak hesaplanacak integraller, sonlu  a, b aralığı üzerinde,
b
( f )   f ( x) d x
a
biçimindeki integraller olacaktır.Bu tür integralleri hesaplamak için çok sayıda sayısal yöntem vardır.
Bunların birçoğu f fonksiyonunun yerine yaklaşım fonksiyonlarının kullanılması esasına
dayanmaktadır. f fonksiyonu için bir yaklaşım ailesi,
 fn : n  1
olmak üzere,
n
max f ( x)  f n ( x) 
0
a  x b
b
özelliğinin sağlanması istenmekte ve ( f n ) 
f
n
( x)dx   n ( f ) olmak üzere, ( f n ) kolay
a
hesaplanacak şekilde f n fonksiyonları seçilmektedir.
b
En ( f )  ( f )  ( f n )    f ( x)  f n ( x) dx
a
b
En ( f )   f ( x)  f n ( x) dx  (b  a) max f ( x)  f n ( x)
a  x b
a
Yamuk Kuralı
b
( f )   f ( x)dx integralini göz önüne alalım. Yamuk kuralı, f fonksiyonuna x  a, b
a
noktalarında polinom interpolasyonu yaklaşımına dayanmaktadır. f ( x ) yerine
f1 ( x) 
 x  b
a b
 f (a ) 
 x  a
ba
 f (b)
alınıp,
xa
x b

( f1 )   
f (a) 
f (b) dx
a b
ba

a 
b
f (a)  a  b 
f (b)
ba
2



 b  a  
  f (a)  f (b)
a b
2
ba
2
2
elde edilir.
b
E ( f1 )  E1 ( f )    f ( x)  f1 ( x) dx
a
İnterpolasyonda hata ile ilgili sınır,
f ( x)  Pn ( x)   x  x0    x  x1  ...  x  xn  
f n1 ( x )
(n  1)!
,
 x   a, b
max f n1 ( x )  M n 1
a  x b
b  a 
M n1
f ( x)  Pn ( x)   x  x0    x  x1  ...  x  xn  

 M n1
(n  1)!
(n  1)!
n 1
olup,
b
b
E1 ( f )   ( f ( x)  f1 ( x))  d x   ( x  a)( x  b)
a
a
f ( x )
dx
2
,
 x   a, b
f ıı ( )  1
3

  b  a  
2  b

(b  a)3
E1 ( f ) 
 f ( ) ,
12
   a, b
dır. Buna göre,
( f )  1 ( f1 )  E1 ( f )
dır.
a, b aralığının uzunluğu küçük olmadıkça yamuk kuralının kullanılabilir olmayacağı açıktır.
a, b aralığı küçük uzunlukta alt aralıklara parçalanıp her biri üzerinde yamuk kuralı uygulanabilir.
a, b genellikle eşit uzunluklu alt aralıklara parçalanır. a, b aralığı n tane eşit uzunluklu alt aralığa
parçalansın. Her birinin aralık uzunluğu
xj
b
n
a
j 1 x j 1
( f )   f ( x)dx  
ba
 h olsun. x j  a  j  h , j=0,1,2,...,n için
n

f ( x)dx
n
h

h3
     f ( x j 1 )  f ( x j )    f ( j ) 
12
j 1  2

x j 1   j  x j
f (x j )  f j
f ( x0 )  f 0 
f ( x1 )  f1 
 f 0  f1  f1  f 2  f 2  f 3  ...  f n  2  f n 1  f n 1  f n
.

 f 0  2 f1  2 f 2  ...  2 f n 1  f n
.


.

f ( xn )  f n 
gösterimleri altında,
xj
b
n
a
j 1 x j 1
( f )   f ( x)dx  
( f )  ( f n ) 

h
h3 n
f ( x)dx    f 0  2 f1  2 f 2  ...  2 f n1  f n     f ( j )
2
12 j 1
1 n

h3
 n     f ( j ) 
12
 n j 1

,
 j  ( x j 1 , x j )
1 n
min  f ( x)    f ( j )  max  f ( x)
a  x b
a  x b
n j 1
Amacımız hata için bir üst sınır bulmak. f fonksiyonu  a, b ’de sürekli olduğundan;
1 n
  f ( j )  f ( ) ,    a, b
n j 1
(ortalama değer teoremi)
h3  n
 f ( ) ,    a, b
12
b  a   h2

 ( f n ) 
 f ( ) ,    a, b
12
( f )  ( f n ) 
  b  a   h2
En ( f ) 
 f    ,    a, b 
12
h 2
En ( f ) 
( f   b   f (a))  En ( f )
12
DEF FN F( x)  ...
INPUT a,b,n
s=0
h=(b-a)/n
FOR j=1 TO (n-1)
s=s+2*F(a+j*h)
NEXT j
I=(F(a)+s+F(b))*h/2
PRINT I
ÖRNEK:
1
f ( x) 
1  x2
dx

 arctan1   0, 7854
2
1 x
6
0
1

n  1 için 1 ( f )  h   f 0  f1   1  1  1   0, 75
2
1 



h
1
1
 2 ( f )    f 0  2 f1  f 2   2  1  2 
   0, 775
1 2
2
2 
1

4

2
n  2 için
n  4 için
xj  a  j  h
h
1 0 1

4
4
2 
1 


h
2
2
2
1
4
 4 ( f )    f 0  2 f1  2 f 2  2 f3  f 4    1 


   0, 783
1
1
9 2
2
2 
1
1
1

16
4
16

j=0,1,2,3,4
h 2
E4 ( f ) 
  f (b)  f (a) 
12
1
2 x
f ( x) 
 f ( x) 
2
2
1 x
1  x2 
f (0)  0 ,
f (1) 
2 1

4
2
2
1
 
1
4
 1 
E4 ( f )       0  
12
 2
 24  16
1
ÖRNEK:  
dx
1 x
integralinin yaklaşık değerini yamuk kuralıyla bulup, n=4 için hatanın yaklaşık
0
1
değerini ve hata için bir üst sınır bulmaya çalışalım. (Analitik çözüm:
dx
 1  x =ln2=0,69314)
0
1 ( f )  0,7500 ,  2 ( f )  0, 7083 , 3 ( f )  0,7000 ,  4 ( f )  0, 6970
h
b  a 1 0 1


n
4
4
1
h
 4 2 4 1
 4 ( f )    f 0  2 f1  2 f 2  2 f3  f 4   4  1     
2
2  5 3 7 2
h 2
E4 ( f ) 
  f ı (b)  f ı (a) 
12
1
1
1
f ( x) 
 (1  x) 1 f ı ( x) 
f ı (0)  1 f ı (1) 
2
1 x
4
(1  x)
b  a 1 0 1
h


n
4
4
1
( )2
 1 
E4 ( f )  4    1  0, 004
12  4

Hata için üst sınır:
E4 ( f )  
 b  a   h2  f ( )
12
   a, b
2
1
1  0    
 4   M , M  max f ( x) , f ( x)  2
, x=0 için max değerini alır
E4 ( f ) 
2
2
x0,1
12
(1  x)3
E4 ( f ) 
 0, 25
12
2
2 
1
 0, 0104
96
SİMPSON KURALI
b
( f )   f ( x)dx integralini göz önüne alalım.
a , c
a
ab
, b noktalarındaki
2
nterpolasyon polinomu,
P2 ( x) 
 x  b   x  c
 x  a   x  c
 x  a   x  b
 f (a) 
 f (b) 
 f (c )
 a  b   a  c
b  a   b  c 
c  a   c  b 
olmak üzere, f ( x ) yerine P2 ( x) polinomunu alalım ve
b
( P2 )   P2 ( x)dx
a
integralini hesaplayalım. h 
P2 ( x) 
ba
olsun. O zaman c  a  h, b  a  2h olup,
2
 x  a  h    x  a  2h 
2h
2
 f (a) 
 x  a    x  a  2h 
h
2
 f (c ) 
x  a  x  a  h
2h 2
 f (b)
ve,
( P2 ) 
h 
ab

  f (a)  4 f (
)  f (b) 
3 
2

olur.  a, b aralığının uzunluğu büyük olduğunda aralığın parçalanması ve her bir parça üzerinde
yukarıdaki formül uygulanmalıdır. n çift sayı olmak üzere  a, b aralığını eşit uzunluklu alt aralıklara
parçalayalım.
h
ba
n
b
n
2
x2 j
a
j 1
x2 j 2
 n ( f )   f ( x)dx  
n
2
x2 j

f ( x)dx
n
2
h
P2 ( x)dx     f ( x2 j 2 )  4 f ( x2 j 1 )  f ( x2 j ) 
j 1 x2 j 2
j 1 3
n ( f )  

h
  f 0  4 f1  f 2  f 2  4 f 3  f 4  f 4  4 f 5  f 6  ...  f n 2  4 f n 1  f n 
3
h
   f 0  4 f1  2 f 2  4 f 3  2 f 4  4 f 5  2 f 6  ...  2 f n 2  4 f n 1  f n 
3

h4  (b  a) (4)
En ( f )  
 f ( )
180
Hatanın yaklaşık değeri:
En ( f ) 
h 4
 f (b)  f (a)
180
   a, b
İki Katlı İntegraller
b d
( f )    f ( x, y )dydx integralini göz önüne alalım.
a c
ba
h
n
d c
l
m
I ji 
,
x j1 yi1
 
x y
j
xj  a  j  h
,
yi  c  i  l
,
,
j=0,1,2,...,n
i=0,1,2,...,m
x j1
f ( x, y)dydx 
i
l
x 2  f ( x, y )  f ( x, y ) dx
i
i 1
j
l h
   f ( x j , yi )  f ( x j , yi 1 )  f ( x j 1 , yi )  f ( x j 1 , yi 1 ) 
2 2
hl
  f ( x j , yi )  f ( x j , yi 1 )  f ( x j 1 , yi )  f ( x j 1 , yi 1 ) 
4
bd
n 1 m1
n 1 m1
a c
j 0 i 0
j 0 i 0
( f )    f ( x, y)dydx   I ji   I ji  f ( x j , yi )  f ( x j , yi 1)  f ( x j 1, yi )  f ( x j 1, yi 1) 