verilmiş bir transfer fonksiyonuna karşı

Devre & Sistem Analizi
Projesi
Proje adı
: Verilmiş Bir Transfer Fonksiyonuna Karşı Düşen
Devrenin Elde Edilmesi
Öğretim Üyesi
: Yrd. Doç. Dr. Neslihan Serap Şengör
Sorumlu öğrenciler : Mehmet Fatih Ilgın
Hüseyin Altın
Malik Kuran
Enes Cesur
-2007-
-1-
VERİLMİŞ BİR TRANSFER FONKSİYONUNA KARŞI
DÜŞEN DEVRENİN ELDE EDİLMESİ
PROJENİN AMACI : Bir kapılı LC, RC ve RL devrelerinin sentezi.
PROJENİN YÖNTEMİ :
1. AŞAMA :
Devre Sentezine Genel Bir Bakış
Verilmiş bir transfer fonksiyonuna karşı düşen devrenin bulunması devre sentezidir.
Sentez sonucunda devre biçimi ve devre elemanlarının değerleri elde edilir. Fakat verilen
her fonksiyon fiziksel olarak gerçekleştirelemez. Fonksiyonun tek çözümü yoktur.
Eşdeğer çözümlerden uygulama için en uygun olanı şeçilir.(optimasyon)
DEVRE ÖZELLİKLERİ
Devre özelliklerini
sağlayan devre fonk.
gerçekleştirilmesi
Elde edilen devre fonk.
gerçekleştirilmesi
Elde edilen devrelerin
çeşitli özelliklerinin
(duyarlılık, tolerans,
ayar...) incelenerek uygun
olmayanların ayıklanması
Devre özelliklerini
sağlayacak başka bir devre
fonk. Elde edilmesi
Geriye kalan
devre var mı?
Optimizasyon (davranış,
fiyat ve en uygun devrenin
seçimi)
Laboratuvar modelinin
elde edilerek test edilmesi
-2-
Gerçekleştirilmesi istenen devre özelliklerini sağlayan devrenin elde edilmesinde
tutulan yolun aşamaları şekilde gösterilmiştir. Bu projede devre fonksiyonlarının 1-kapılı
pasif devrelerle gerçekleştirilmesi incelenecektir.
2. AŞAMA :
Temel Tanımların Verilmesi
Transfer Fonksiyonu: Ele alınan bir devrede s_tanım bölgesinde farklı kapılara ilişkin
giriş ve çıkış büyüklükleri oranı ile tanımlanmış olan rasyonel fonksiyona transfer
fonksiyonu denir.
Pasif Devre: Direnç, endüktans ve kapasite pasif elemanlardır. Bu elemanlardan oluşan
devreye pasif devre denir.
Aktif Devre: Devre sentezinde direnç, endüktans ve kapasite gibi pasif elemanların
yanında transistör, opamp v.b. aktif elemanların da kullanıldığı devrelere aktif devreler
denir.
Empedans Fonksiyonu: V(s) ve I(s) sırasıyla bir kapılının gerilim ve akımlarının laplace
dönüşümleri olmak üzere Z(s)= V(s)/I(s) fonksiyonuna empedans fonksiyonu denir.
Admitans Fonksiyonu: V(s) ve I(s) sırasıyla bir kapılının gerilim ve akımlarının laplace
dönüşümleri olmak üzere Y(S) = I(s) / V(s) fonksiyonuna admitans fonksiyonu denir.
İç kritik frekans: İç kritik frekans sayısında transfer fonksiyonundaki kutuplar oluyorlar
ama sıfırda ve sonsuzdaki kutuplar sayılmıyor. İç kritik frekans sayısı denince
sonsuzdakiler ve sıfırdakiler hariç tüm sıfır ve kutupları sayıyoruz ama kompleks eşlenik
olanları iki değil bir sayıyoruz.
Pozitif Reel Fonksiyonlar : Rasyonel bir F(s) fonksiyonunun lineer zamanla değişmeyen
pasif elemanlı bir devrenin giriş fonksiyonu olabilmesi için gerek ve yeter koşul F(s)
fonsiyonunun pozitif reel olmasıdır. Pozitif reellik; bağımsız değişkeni reel ise analitik
fonksiyonun değerinin de reel olması ya da bağımsız değişkenin reel kısmı pozitif veya
sıfırsa fonksiyonun reel kısmının da pozitif veya sıfır olması şartları ile tanımlanır. Ele
-3-
alınan fonksiyonun pozitif reel olup olmadığının anlaşılmasında kullanılabilecek temel
teorem aşağıda verilmiştir:
Bir F(s) fonsiyonunun pozitif reel olabilmesi için
(a) F(s) fonksiyonunun sağ yarı s-düzleminde kutbunun bulunmaması,
(b) F(s) fonksiyonunun jw ekseninde kutupları bulunuyorsa bu kutupların katsız ; bu
kutuplardaki rezüdilerin de reel ve pozitif olması.
(c) Tüm ω değerleri için (0 ≤ ω ≤ ∞) Re{F(j ω)} ≥ 0 koşullarının sağlanması gerek
ve yeterdir.
Verilen bir rasyonel fonksiyonu devre elemanlarına karşı düşecek şekilde basit ifadeler
ile elde edilmesinde Foster ve Cauer devrelerinden yararlanılır.
Foster Devreleri : Foster devreleri genel olarak ele alınan devre fonsiyonunun basit
kesirlere açılımına karşılık düşen devredir. Bu açılım giriş empedans fonksiyonuna ilişkin
ise bu açılıma karşılık düşen devreye Foster I devresi; açılım giriş admitans fonksiyonuna
ilişkin ise de bu açılıma karşılık düşen devreye Foster II devresi denmektedir.
F(s) ‘in F(s) = k∞s + (k0/s) + ∑( 2kis / (s2+ ωi2)) şeklindeki basit kesirlere açılımı ele
alınsın. F(s) giriş empedans fonksiyonu ise bu açılım, şekildeki biçimde bir devre ile
gerçekleştirilir.(Foster I Devresi)
F(s) giriş admians fonksiyonu ise bu açılım, şekildeki biçimde bir devre ile
gerçekleştirilir.(Foster II Devresi)
-4-
Cauer Devreleri : Cauer devreleri ele alınan giriş fonksiyonuna ilişkin farklı iki sürekli
kesirlere açılıma karşılık düşen devrelerdir. Bu açılımlar ve açılımlara karşılık düşen devreler
şunlardır:
(a)
Cauer I devrelerinde endüktanslar seri, kapasiteler paralel bağlanır. Burada
endüktans ve kapasiteler art arda sıralanır.
F ( s)  k1 ( s) 
(b)
1
k 2 ( s) 
1
k 3 ( s) 
1
...
k 4 ( s)
Cauer II devrelerinde ise kapasiteler seri, endüktanslar paralel bağlanır. Burada
yine kapasite ve endüktanslar art arda sıralanır.
F (s) 
k1
1

k
1
s
2

s k3
1

k4
s
...
s
-5-
3. AŞAMA :
1-KAPILI LC-DEVRELERİNİN SENTEZİ
L ve C elemanlı kayıpsız ya da reaktif devrelerin devre fonksiyonlarının özellikleri
incelenecek ve Foster veya Cauer biçimlerinde gerçekleştirilecektir.
Reaktans Fonksiyonları:
Tüm kutupları jw- ekseninde, katsız; reel ve pozitif rezüdülü olan ve tüm w  0 için
ReF  jw  0 koşullarını sağlayan rasyonel F(s) fonksiyonuna reaktans fonksiyonu denir.
Bu özellikleri sağlayan bir F(s) fonksiyonu LC-türü bir giriş fonksiyonu olmakta ve
FLC (s) biçiminde gösterebileceğimiz bu pozitif reel fonksiyonun,
FLC ( s)  k  s 
k0
2k s
  2 i 2 , k  , k 0 , k i  0 biçiminde bir açılımı bulunmaktadır.
s
s  wi
Bu açılımından da yararlanarak LC-türü bir giriş fonksiyonunun şu özellikleri sağladığı
söylenebilir:
1.
Tüm sıfır ve kutuplar jw-ekseninde ve katsızdır; s=0 ve s=  ’da bir kutup ya da
bir sıfır bulunur.
P( s ) O
, P (s)  m , Q o ( s)  n olmak üzere , m  n =1’dir.
Q( s )
2.
FLC ( s) 
3.
FLC (s) Tek fonksiyondur.
-6-
4.
X (w) Reel fonksiyon olmak üzere FLC ( jw)  jX ( w) biçimindedir.
5.
dX ( w)
>0 koşulu geçerlidir.(X(w) artan bir fonksiyondur.) Bunun sonucunda
dw
da bu türden bir fonksiyonun bir sıfırından sonra bir kutup, bir kutbundan sonra
bir sıfır geleceği söylenebilir. Yani sıfır ve kutuplar jw-ekseninde sıralı
olacaklardır.
Bu özelliklere uygun olarak karşımıza;
( s 2  w1 )( s 2  w3 )...
2
F ( s)  K
s( s 2  w2 )( s 2  w4 )...
2
2
( s 2  w1 )( s 2  w3 )...
2
F ( s)  K
2
2
s( s 2  w2 )( s 2  w4 )...
2
, 0< w1 < w2 < w3 … ya da
2
, 0< w2 < w1 < w4 < w3 … biçiminden fonksiyonlar
çıkacaktır.
Bir başka önemli nokta da LC-türü empedans ya da admitans fonksiyonlarının
özelliklerinin aynı olmasıdır. Bunun sonucunda da verilen bir FLC (s) fonksiyonu empedans
fonksiyonu ya da admitans fonksiyonu olarak ele alınıp (belirtilmediğinde) yalnız L ve C
elemanlarından yararlanarak gerçekleştirilebilir.
Reaktans Fonksiyonlarının Gerçekleştirilmesi:
Foster Devrelerinin Gerçekleştirilmesi
Foster devreleri genel olarak ele alınan devre fonksiyonunun basit kesirlere açılımına
karşılık düşen devrelerdir. Bu açılım giriş empadans fonksiyonuna ilişkin ise bu açılıma
karşılık düşen devreye Foster I devresi; açılım giriş admitans fonksiyonuna ilişkin ise de
açılıma karşılık düşen devreye Foster II devresi denmektedir.
F(S) ‘in
F ( s)  k  s 
k0
2k s
  2 i 2 biçimindeki basit kesirlere açılımı ele alınsın.
s
s  wi
-7-
F (s) giriş empedans fonksiyonu ise bu açılım, şekildeki biçiminden bir devre ile
gerçekleştirilir . (Foster I devresi)
F(s) giriş admitans fonksiyonu ise bu açılıma Foster II devresi karşılık düşer.
Cauer Devrelerinin Gerçekleştirilmesi:
Cauer devreleri olarak adlandırılan devreler ise ele alınan fonksiyonun empedans ya da
admitans fonksiyonu olmasına göre değişen devreler değildir. Bunlar, ele alınan giriş
fonksiyonuna ilişkin farklı iki sürekli kesirlere açılıma karşılık düşen devrelerdir. Bu açılımlar
ve açılımlara karşılık düşen devreler ise şunlardır.
F ( s)  k1 ( s) 
1
k 2 ( s) 
1
k 3 ( s) 
1
...
k 4 ( s)
F (s) 
k1
1

1
s k2

s k3
1

k4
s
...
s
-8-
Cauer I tipi devre ele alınan fonksiyonun pay ve payda polinomlarının en yüksek
dereceli terimden en küçük dereceli terime doğru, Cauer II tipi devre de en küçük dereceli
terimden en yüksek dereceli terime doğru yazılması ile elde edilen sürekli kesirlere açılımlara
ilişkin devrelerdir. Bir başka deyişle, sırasıyla k i s ve
ki
biçimli terimlerden oluşan sürekli
s
kesirlere ilişkindirler.
Foster ve Cauer Devrelerinde Eleman Gerçekleştirilmesi
LC-türü bir giriş fonksiyonunun P(s)/Q(s) biçiminde olduğunu ve sonlu kutup
sayısının n, sonlu sıfır sayısının da (n+1) olduğunu varsayalım. Bu durumda P O (s)  2(n  1) ,
Q O ( s)  2n  1 olacaktır. ( fonksiyon tek olacağından s=0’da bir kutbu olacaktır.) Sonuç
olarak, P(s)/Q(s) fonksiyonunun,
k s 
ko
2k
  2 i 2 açılımına karşılık düşen Foster devrelerinde eleman sayısı (2n+2)
s
s  wi
olmaktadır. Fonksiyonun sürekli kesirlere açılımı düşünülecek olursa, burada da karşılaşacak
terim sayısının, fonksiyonun derecesine eşit olması nedeniyle , (2n+2) olacağı söylenebilir.
Bunun sonucunda da eleman sayısı (2n+2) olacaktır. Öte yandan, sıfır ve sonsuzdakilerin
dışındaki sıfır ve kutupların, iç kritik frekans sayısından bir fazla olduğu sonucuna varılmış
olur. Bu sayıda eleman bulunduran devreler minimum elemanlı (kanonik) devrelerdir.
-9-
1 Kapılı RC ve RL Devrelerinin Sentezi
Cauer Dönüşümleri
LC devresinin çevre empedans matrisindeki terimler ZLC (s) = Lij s + (1 /C ij s) biçiminde
RC devresinin çevre empedans matrisindeki terimler ZRC (s) = Rij + (1 /C ij s ) biçiminde
RL devresinin çevre empedans matrisindeki terimler ZRL (s) = Lij s + Rij biçiminde olur
R ve C elemanlarından oluşmuş 1 kapılı N devresi ele alınsın. Bu devrenin çevre
empedans matrisini düşünecek olursak buradaki terimlerin Rij + ( 1/Cij s ) biçiminden
olacağını söyleyebiliriz. Bu devredeki dirençlerin yerine, değerleri değiştirilmeksizin, L
elemanlarının sokulduğunu ve böylece elde edilen LC devresinin N ’ ile gösterildiği
varsayılsın. N ’ devresine ilişkin çevre empedans matrisi Zç’(s) = [Rij s+ ( 1/Cij s )] biçiminde
olacaktır.
Zç’(s) = [s(Rij s+ ( 1/Cij s2 ))]
eşitliğinden yararlanarak,
Zç’(s) = s Zç(s2) elde edilir Böylece verilen bir RC devresinden R=L olacak biçimde,
LC devresine geçildiğinde,
ZLC(s) = ZRC (s)
* s dönüşümü geçerli olmaktadır.
s s2
Tersi uygulanacak olursa da,
LC devresine geçildiğinde,
ZRC(s) = (1/ s)ZLC(s)
dönüşümü uygun olmaktadır.
s2 s
İkinci olarak RL türü bir devre ele alınsın ve bu devredeki dirençlerin yerine değeri
1/R olan C elemanları sokulsun. Böylece elde edilen LC devresinin çevre empedans
matrisindeki terimler Lij s + ( Rij / s ) biçiminde olacaktır.
- 10 -
Zç’(s) = [Lij s+ ( Rij / s )] = 1 / s [Rij + Lij s2] = 1 / s Zç (s2)
eşitliğinden
ZLC(s)= ZRL(s)
s
* ( 1/s )
s
2
ZRL(s)= s * ZLC(s)
s2
s
dönüşüm eşitlikleri elde edilir. Bu dönüşüm bağıntılarından elde edilebilen önemli bir sonuç
Z
RL (s)
ve Z RC (s) fonsiyonlarının özelliklerinin aynı olmadığıdır. Buna karşın ,
1 / ( YRL(s) ) = s * 1 / YLC(s)
s2
YRL(s) = (1/s) * YLC (s)
s2
s
s
eşitliklerinden yararlanarak, ZLC(s) ve YLC(s) fonksiyonlarının aynı olması nedeniyle, ZRC (s)
ile YRL(s) fonksiyonlarının özelliklerinin aynı olduğu sonucuna varılabilir.
RC Türü Giriş Empedans Fonksiyonlarının Özellikleri
( RL türü giriş admitans fonksiyonlarının özellikleri )
ZLC(s) fonksiyonuna ilişkin basit kesirlere açılım ,
ZLC(s)= k∞s + (k0 / s) + ∑ [(2ki’s) / ( s2 + ω2 ) ]
biçimindendi.
Bu açılıma Cauer dönüşümü uygulanacak olursa, 2ki’= ki ve ωi2 = σi olmak üzere ,
ZRC(s)= k∞ + (k0 / s) + ∑ [ki / ( s + σi ) ]
açılımı elde edilebilir. ZRC(s) ile YRL(s) fonksiyonunun aynı özellikli olması nedeniyle, YRL(s)
fonsiyonuna ilişkin açılım da bu biçimden olacaktır. Bu açılım ve LC türü giriş
fonsiyonlarının sıfır ve kutuplarının jω ekseninde sıralı olması nedeniyle, Cauer dönüşümleri
- 11 -
de göz önünde bulundurularak, RC türü giriş empedans fonksiyonları şu özellikleri sağlayan
fonsiyonlar olacaktır :

sıfır ve kutuplar -σ ekseninde sıralıdır.

[(dZRC(σ))/ dσ] < 0 ( ZRC(σ) – σ eğrisi daima azalan eğimli )

ZRC(∞) < ZRC(0)

sıfıra yakın kritik frekans bir kutup, sonsuza yakın kritik frekans bir
sıfırdır.(bu kutup s=∞’da bulunabilir).

kutuplardaki rezüdiler pozitiftir.
RC Türü Giriş Admitans Fonksiyonlarının Özellikleri
( RL türü giriş empedans fonksiyonlarının özellikleri )
Cauer dönüşümlerinden yararlanılarak YRC(s) ZRL(s) fonsiyonuna ilişkin bir açılım ,
k∞ , k0 ve ki ≤ 0 olmak üzere ,
YRC(s)= k∞s + k0 + ∑ [(kis) / ( s + σ )]
biçiminde elde edilebilir . RC türü giriş admitans fonksiyonları şu özellikleri sağlamaktadır:

sıfır ve kutuplar -σ ekseninde ve sıralıdır.

[(dYRC(σ))/ dσ] > 0

YRC(∞) > YRC(0)

sıfıra yakın kritik frekans bir sıfır , sonsuza yakın kritik frekans bir kutuptur.
(k∞+ ∑ [(ki σi) / (σ + σi)2])
(sıfır s=0’da kutup da s=∞’da bulunabilir).

s= -σ

YRC(s) / s fonsiyonunun kutuplarındaki rezüdiler pozitiftir.
kutbundaki rezüdi negatiftir (-kiσi < 0)
- 12 -
Cauer Dönüşümleri Tablosu
RC türü devre ele alınırsa
Değerleri değiştirmeksizin
dirençlerin yerine endüktans
konur.
RL türü devre ele alınırsa
Kapasitenin değeri 1/R
olacak şekilde direnç yerine
kapasite konur.
ZLC(s) = ZRC (s)
s
ZLC(s)= ZRL(s)
s
* ( 1/s)
s2
*s
s
ZRC(s) = (1/ s)ZLC(s)
s2 s
2
ZRL(s)= s * ZLC(s)
s2
s
ZLC(s)= k∞s + (k0 / s) + ∑ [(2ki’s) / ( s2 + ω2 ) ]
ZRC(s)= k∞ + (k0 / s) + ∑ [ki / ( s + σi ) ]
ZRL(s)= k∞s + k0 + ∑ [(kis) / ( s + σ )]
- 13 -
4. AŞAMA :
UYGULAMA
Örnek 1: Y ( s) 
s( s  2)
fonksiyonunu Foster ve Cauer türü birer devre ile
( s  1)( s  3)
gerçekleyiniz.
Y ( s)
( s  2)
1/ 2 1/ 2



s
( s  1)( s  3) s  1 s  3
Açılımından yararlanarak,
Y(s) = s (s+2)/((s+1)(s+3))
eşitliği elde edilir. Bu açılıma karşılık düşen Foster II türü devre şekildeki gibidir.
R1
R2
2
2
C1
C2
1/2
1/6
s = -1 de ve s = -3 de tek katlı sıfırı s = 0 da ve s = -2de tek katlı kutbu vardır. Dolayısıyla
devrede de 4 tane eleman bulunacaktır.
Z ( s) 
( s  1)( s  3)
s( s  2)
fonksiyonunun
- 14 -
1
1
1
s
2
1
1
1
s
6
4
biçimindeki açılımından da Cauer I devresine geçilir .
R1
R2
1
4
C1
C2
1/2
Örnek 2: Z ( s) 
1/6
6s 3  4s 2  42s  20
fonksiyonunu gerçekleştiren iki devre elde ediniz.
9s 2  6s
Çözüm:
Z (s) 
2
10
4/3
s 
açılımına karşılık düşen,
3
3s s  2 / 3
C1
L1
C2
2/3
3/10
3/4
R1
2
devresi ile,
2
1
s
3
1
3
s
2
14
(42)
1

3
72
s
35
Açılımına karşılık düşen,
Z (s) 
- 15 -
L1
R1
2/3
422/72
C1
3/14
C2
3/35
devresi seri ve basamaklı türden birer devre olarak elde edilmiş olur.
5. AŞAMA :
Sunumun Hazırlanması
6. AŞAMA :
Sunum
KAYNAKLAR :
1. Devre Sentezine Giriş ( Ders Notu) , Fuat Anday , 5. Baskı
2. Fundamentals of Network Analysis and Synthesis , Behrouz Peikari , Southern
Methodist University, Prentice-Hall-INC.
Gerçekleştirilmesi istenen devre özelliklerini sağlayan devrenin elde edilmesinde tutulan
yolun aşamalrı şekilde gösterilmiştir. Bu projede devre fonksiyonlarının 1 kapılı pasif
devrelerle gerçekleştirilmesi incelenecektir.
- 16 -