2 - Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma

-BAŞLIKLAR –
1- Tanım
2- Çarpanlara Ayırma Metodları
3- Polinomlarda E.B.O.B ve E.K.O.K
4- Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
5- Rasyonel Denklemler
Kaynak
Güvender
Yayınaları
TANIM…
Bir polinomun indirgenemeyen ya da asal polinomların çarpımı
biçiminde yazılmasına bu polinomu Çarpanlara Ayırma denir.
NOT =
İndirgenemez Polinom = Sabit olmayan ve birden fazla
polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlardır
Asal Polinom = Baş kat sayısı 1 olan indirgenemeyen polinomlardır.
ÇARPANALARA AYIRMA METODLARI
1 - Ortak Çarpan Parantezine Alma :
Ortak çarpan parantezine almak için, her terimde ortak çarpanlar
bulunmalıdır.
Bu ortak çarpan parantezin önüne alınır. Parantezin içine ‘de verilen ifadenin
parantezin önüne yazılmış ifadeye bölümü yazılır.
Bu durumu aşağıdaki gibi ifade edebiliriz …
P(x) . Q(x) + P(x) . R(x) = P(x) .
( Q(x) + R(x) )
P(x) .Q(x) – P(x) . R(x) = P(x) . ( Q(x) – R(x) )
ÖRNEKLER
2x + 2y ‘ yi çarpanlarına ayıralım…
2x + 2y =
2.x + 2.y
= 2.(x+y)
a4 + a2 ‘ yi çarpanlarına ayıralım…
a4 + a2 = a2 . a2 + 1 + a2
a2 . ( a2 + 1 )
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
2 - Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma
:
Verilen ifadenin bütün terimlerinin ortak çarpanı bulunmayabilir.
Bu durumda ikişer ikişer, üçer üçer …. gruplandırılır. Böylece, her
grupta parantez içindeki ifadeler ortak duruma getirilir. Sonra
ortak çarpan parantezine alınarak, verilen ifade çarpanlarına
ayrılır.
ÖRNEK
a5 + a4 + a3 + a2 İfadesini çarpanlarına ayıralım…
a5 + a4 + a3 + a2 = ( a5 + a4 ) + ( a3 + a2 )
( a4 . a + a4 . 1 ) + ( a2 . a1 + a2 . 1 )
a4 ( a + 1 )
+
a2 ( a + 1 )
( a + 1 ) ( a4 + a2 )
Uyarı =
a–b=–(b–a)
ÖRNEK
( a – b )2 = ( b – a )2
(a – c )( a – b )2 – ( b – a )2 ( c – a ) ifadesini çarpanlara ayıralım…
(a
– c ) ( a – b )2 – ( b – a )2 ( c – a )
= – ( c – a) ( b – a )2 – ( b – a )2 ( c – a )
= ( c – a) ( b – a )2 . ( – 1 – 1 )
= ( c – a ) ( b – a )2 . (- 2 )
=
- 2( c – a ) ( b – a )2
2( a – c ) ( b – a )2
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
3 – Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma
İçindeki değişkenlere verilen her değer için doğru olan eşitliklere ÖZDEŞLİK
denir.
a – İki Kare Farkı……
x2 – y 2 = ( x – y ) . ( x + y )
ÖRNEKLER
a2 – 9
ifadesini çarpanlara ayıralım…
a2 – 9
=
a2 – 32
=(a–3)(a+3)
4 . x2 – 25 . y2 ifadesini çarpanlara ayıralım…
4 . x2 – 25 . y2
= ( 2x )2 – (5y)2
= ( 2x – 5y ) ( 2x + 5y )
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
b –İki Küp Farkı yada Toplamı
x3 - y3 = (x – y ) ( x2 + xy + y2)
x3 - y3 = (x – y )3 + 3xy . ( x – y )
x3 + y3 = (x + y ) ( x2 – xy + y2)
x3 + y3 = (x –+y )3 – 3xy . ( x + y )
ÖRNEK
x6 – y6
x6 – y6
ifadesini çarpanlarına ayıralım…
=
( x3)2 – ( y3 )2
= ( x3 – y3 ) (x3 + y3 )
= ( x – y ) ( x2 + xy + y2 ) . ( x + y ) ( x2 – xy + y2 )
ÖRNEK
a+b= 5
a.b = 7
olduğuna göre, a3 + b3 ‘ ün değerini bulalım…
a3 + b3 = ( a + b )3 – 3ab ( a + b )
53 – 3 . 7 .
5
125 – 105 = 20
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
c – Tam Kare İfadeler
( a+ b)2 = a2 + 2ab + b2
( a – b )2 = a2 - 2ab + b2
( a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc )
ÖRNEK
a–b+c
=
ab – ac + bc =
-6
5
olduğuna göre a2 + b2 + c2 kaçtır ?
( a – b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2( -ab + ac – bc )
( - 6 )2 =
a2 + b2 +c2 - 2 ( ab – ac + bc )
36 =
a2 + b2 +c2 – 2 . 5
36 =
a2 + b2 +c2 – 10
46 = a2 + b2 +c2
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
d – Bir Terim Ekleyip Çıkarma Yoluyla Çarpanlara Ayırma …
Verilen metodlarla çarpanlarına ayrılmayan ifadelere uygun terimler
eklenip çıkarılarak, ifade bilinen özdeşliklere benzetilip çarpanlarına
ayrılır.
ÖRNEK
x8 – 3x4 + 1 ifadesini çarpanlarına ayıralım…
x8 – 3x4 + 1
=
x8 – 3x4 + 1 + x4 – x4
( x8 – 3x4 + x4 + 1 ) – x4
( ( x4 )2 – 2x4 + 12 ) – x4
( x4 – 1 )2 – x4
( x4 – 1 )2 – ( x2)2
=
(x–1–x)(x–1+x)
Not =
Özdeşlik = n herhangi bir pozitif doğal sayı olmak üzere
xn – yn = ( x – y ) ( xn -1 + xn -2y + xn – 3 y2 +…+ xyn – 2 + yn-1
Örnek …
x5 – 32 ifadesini çarpanlarına ayıralım…
x5 – 32 = x5 – 25
( x – 2 ) ( x4 + x32 + x2 22 + x 23 + 24 )
( x – 2 ) ( x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 )
Not =
Özdeşlik = n tek doğal sayım ise
xn + yn = ( x + y ) ( xn -1 - xn -2y + xn – 3 y2 - …- xyn – 2 + yn-1
Örnek …
x5 + 32 ifadesini çarpanlarına ayıralım…
x5 + 32 = x5 + 25
( x + 2 ) ( x4 - x32 + x2 22 - x 23 + 24 )
( x + 2 ) ( x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16 )
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
e – ( x + y )n ifadesinin açılımı…
( x + y )n ifadesinin açılımında kat sayıları Pascal üçgeni denilen
tablo ile bulunur. Pascal üçgeni oluşturulurken her satırın başına
ve sonuna 1 yazılır. Bundan sonraki terimler bir önceki satırdaki
iki terimin toplanarak terimlerin arasına yazılmasıyla oluşturulur.
Pascal Üçgeni
ÖRNEK
( x + 2 )2
ifadesinin açılımı …..
Önce verilen ifadeyi x’ in azalan kuvvetlerine göre dizelim…
( x + 2 ) 2 = ? . x2 + ? . x . 2 + ? . 22
? ‘nin bulunduğu yere n = 2 olduğu için 1, 2, 1 gelir…
( x + 2 ) 2 = 1 . x2 + 2 . x . 2 + 1 . 22
= x2 – 4x + 4
ÖRNEK
( x + y )3 ifadesini çarpanlarına ayıralım…
( x + y )3 = ? . x3 + ? . x2 . y + ? . x1 . y2 + ? . y3
n = 3
olduğundan…
( x + y )3 = 1 . x3 + 3 . x2 . y + 3 . x1 . y2 + 1 . y3
= x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
4 – ax2 + bx + c
Biçimindeki Üç Terimlilerin Çarpanlarına Ayrılması
ax2 + bx + c ifadesinin reel sayılar kümesinde çarpanlarına ayrılabilmesi
için, b2 – 4ac 
0 olmalıdır.
1. Yöntem…
A - x2 nin kat sayısı 1 ise,
Kural
b = m + n ve c = m . n olmak üzere,
x2 + bx + c = ( x + m ) ( x + n )
ÖRNEK
x2 + 13x + 12 ifadesini çarpanlarına ayıralım...
Çarpımı 12, toplamı 13 olan iki sayı, 1 ile 12 dir.
x2 + 13x + 12 =
= x2 + ( 1 + 12 )x + ( 1 . 12)
( x + 1 ) ( x + 12 )
olur.
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
B – x2 nin kat sayısı 1 den farklı ise
a = m . p , c = n . q ve b = m . q + n . p
ax2 + bx + c = ( mx + n ) ( px + q )
Kural
olmak üzere …
ÖRNEK
6x2 + x – 2 ifadesini çarpanlarına ayıralım…
6x2 + x – 2
3x
2
2x
–1
3x . ( -1 ) + 2x . 2 = x
6x2 + x – 2 = ( 3x + 2 ) ( 2x – 1 )
ÖRNEK
5a2 + 4a – 12
ifadesini çarpanlarına ayıralım…
5a2 + 4a – 12
5a
– 6
a
2
5a . 2 + ( - 6 ) . a = 4a
5a2 + 4a – 12 = ( 5a – 6 ) ( a + 2 )
ÇARPANLARA AYIRMA METODLARI
2 . Yöntem
Kural
Çarpımı a . c yi, toplamı b yi veren iki sayı bulunur. Bu durumda…
ax2 + bx + c =
ax2 + ( p + r )x + c
ax2 + px + rx + c olur.
ÖRNEK
x2 + 7x + 12 ifadesini çarpanlara ayıralım …
x2 + 7x + 12 ifadesinde a = 1 , b = 7 , c = 12 ve a . c = 12 dir.
Çarpımı 12, toplamı 7 olan iki sayı 4 ile 3 tür.
x2 + 7x + 12 = x2 + ( 4 + 3 )x + 12
x2 + 4 . x + 3 . x + 12
x.(x+4)+3.(x+4)
(x+4)(x+3)
POLİNOMLARDA E.K.O.K ve E.B.O.B
E.K.O.K…
Sıfırdan farklı olan ve sabit olmayan iki yada daha çok polinomun,
her birine tam olarak bölünebilen en küçük dereceli polinoma,
bu polinomun E.K.O.K’ u denir.
Uyarı = En az iki polinomun e.k.o.k’ unu bulurken bu yollar izlenir.

Verilen polinom çarpanlarına ayrılır

Ortak olanların en büyük üslüleri ve ortak olamayanların çarpımı ile
e.k.o.k bulunur.
POLİNOMLARDA E.K.O.K ve E.B.O.B
E.B.O.B…
Sıfırdan farklı olan ve sabit olmayan iki ya da daha çok polinomun,
her birini tam olarak bölen en büyük dereceli polinoma,
bu polinomların E.B.O.B’ u denir.
Uyarı = En az iki polinomun e.b.o.b’ unu bulurken bu yollar izlenir.

Verilen polinom çarpanlarına ayrılır

Ortak bölenlerin en küçük üslüleri alınıp çarpılarak e.b.o.b’ u bulunur
ÖRNEK
e.b.o.b { P(x) ; Q(x) } = 3x( x – 1 ) ( x + 4 )
e.k.o.k { P(x) ; Q(x) } = 3x2( x2 – 1 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )2
P(x) = ( x2 – 1 ) ( 3x2 + 12x)
Olduğuna göre Q(x) i bulalım…
Çözüm…
İki polinomun çarpımı, bu polinomların e.b.o.b’ u ile e.k.o.k’ una eşit
olduğuna göre,P(x) ile Q(x) in e.b.o.b ile e.k.o.k unun çarpımı P(x) e
bölünürse ,Q(x) bulunur.
(e.b.o.b) . (e.k.o.k) =
3x( x – 1 ) ( x + 4 ) . 3x2( x2 – 1 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )2
P(x) = ( x2 – 1 ) ( 3x2 + 12x) = ( x2 – 1 ) 3x ( x + 4 ) olduğuna göre…
Q(x) = 9x3 ( x – 1 ) ( x + 4 ) ( x2 – 1 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )2
( x2 – 1 ) 3x ( x + 4 )
9x3 ( x – 1 ) ( x + 3 ) ( x + 4 )2
3x
3x2 ( x – 1 ) ( x +3 ) ( x + 4 )2
RASYONEL İFADELERİN SADELEŞTİRİLMESİ
P( x)
üzere,
B( x)
B(x)0 olmak
rasyonel ifadesinin
payı ve
paydası ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpanlar
sadeleştirilir.
ÖRNEK
x3 – 1
x2 + x + 1
ifadesini sadeleştirelim…
x3 – 13
x2 + x + 1
( x – 1 ) ( x2 + x + 1)
x2 + x + 1
= x–1
RASYONEL DENKLEMLER
B(x) 0 olmak üzere ,
denir.
P( x)
0
B( x)
P ( x ) denklemine rasyonel denklem
0
B( x)
ise ( P(x) = 0 ve B(x) 0 ) eşitliğini sağlayan x sayılarının
her birine denklemin kökü, oluşturduğu kümeye de çözüm kümesi denir.