kesirlerin bulunuşu ve tarihsel gelişimi

1
2
TEŞEKKÜR
Bizler anne ve babalarımıza, bize her zaman yardım eden matematik öğretmenimiz
Zeliha Çetinel’e, sınıf öğretmenimiz Zuhal Tek’e, arkadaşımız Tunç Tort’ a ve
kütüphane sorumlusu Tansu Hanım’a teşekkür ederiz.
3
AMAÇ
Biz, bu konuyu kesirlerin günümüze dek geçirmiş olduğu aşamaları merak ettiğimiz
için seçtik. Biz bu konuyu araştırırken Ege Üniversitesi Kütüphanesine ve okul
kütüphanesine gittik. Ayrıca kendi evimizdeki kaynaklara da baktık. Araştırma
sonunda yeterince bilgiye ulaşamadık. Ama kesirlerle ilgili merakımız giderildi.
4
MISIRLILARDA KESİR SAYILARI VE KULLANILIŞI
Kesirli sayıları özel işaretlerle anlatıyorlardı. Bu işaretleri kuş şeklindeki tanrıları olan
Horus’un gözünü temsil eden şekillerden bulmuşlardı. İnanışlarına göre Horus’un
gözünü Seth adlı parçalamıştı. Toth adlı tanrı bu parçaları birleştirip Horus’u yeniden
göz sahibi yapmıştı. Bu parçaların toplamı 63/64 idi. Bu sebeple Toth’un sihir ile
noksanı tamamladığına inanıyorlardı (Bkz. Belge 1-2).
Mısırlılarda kesir işareti
şeklinde idi. Bu işaret kesrin payını 1 olarak ifade
ediyor ve paydayı temsil eden rakamın üst kısmına koyuyordu. Böylece
işareti 1/3’ü temsil etmektedir. Bu şekildeki sınırlı kesir sembollerinin de istisnaları
vardı. Örneğin 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ve 1/64 için başka özel işaretler de
kullanılıyordu. Bunlar Mısırlıların doğan kuşu şeklindeki tanrıları olan Horus’un
gözünü temsil etmekteydi (Bkz. Belge 3-4-5-6-7).
Geleneğe gore, Horus’un gözü Seth adlı tanrı tarafından parçalanmıştı. Bu parçaları
Thot adlı tanrı (ibis kuşu ile temsil edilen tanrı) bir araya getirerek Horus’u yeniden
göz sahibi etmişti. Bu gözün muhtelif kısımlarını temsil eden kesirlerin toplamı 63/64
etmektedir. Bu sebeple, Thot’un sihir yoluyla buradaki noksanı tamamladığı Kabul
edilmekteydi.
Mısır rakamlarının oldukça ilkel bir vasıf taşımalarına rağmen bunlar tarihte bilinen ilk
ve en eski rakamlar arasında bulunmakla büyük bir değer ve önem taşırlar. Çünkü
bunlar sayıların belirli sembollerle ifade edilmesi zihniyet ve düşüncesinin ilk
örneklerinden, belki sadece Sümerliler istisna edilirse, en eskisini temsil etmektedirler
(Bkz. Tablo 1-2-3-4).
Eski Mısırlıların kesir anlayışının ana karekteristiği payların daima 1 oluşu, örneğin
62/64 gibi bir kesrin kullanılmamış olmasıdır. Payları 1 olmayan kesirleri payları 1
olan kesirlerin toplamı şeklinde ifade ederlerdi.
Bununla birlikte sayıları çok az olmakla birlikte, 1 paylı kesirlere istisnalar vardı.
Bunlar arasında sadece 2/3 kesri sık sık, 3/4, 4/5 ve 5/6 kesirleri de nadiren
kullanılıyordu. Bu kesirle matemetikte kullanılmakta ve her biri özel bir işaretle temsil
edilmekte idi. Horus’un gözünün kısımları ile ifade edilen işaretler ise matematik
işlemlerinden fazla hububat ölçülerinde kullanılıyordu.
Hiç şüphesiz, Mısırlılar kesirlere ayrı bir sayı grubu olarak bakma safhasına
erişmemiş bulunuyorlardı ve zihinlerinde kesir kavramı henüz genelleştirilmemişti.
Mısır aritmetiğinde bir kesrin payı 1 ‘den farklı olunca, böyle bir kesre
tamamlanmamış bir bölme işlemi, çözülmemiş bir problem gözüyle bakılmış olduğu
söylenebilir. Çünkü böyle bir kesri payları 1 olan kesirler toplamı şekline sokmak
ihtiyacını duyuyorlardı. Demek ki böyle kesirleri gerçek kesir kabul etmiyorlardı. Böyle
olunca da, Mısır aritmetiğinde genel bir kesir kavramının mevcut olmadığı sonucuna
kolayca varılabilir.
Payların hep 1 olmasında gösterilen bu ısrar belki de kesirlerin biriminden küçük
nicelikler şeklinde tasavvur edilmiş olduğunu göstermekte olabilir. Başka bir deyimle,
bu kesirler olasılıkla birimin örneğin ikiye, üçe, dörde, beşe, altıya bölünmesini ifade
5
ediyordu. Fakat her nedense bu birim paylı kesirlerin katsayılarını almıyorlar, daha
doğrusu, bunları kesir saymıyorlardı. Buna belki de bu gibi kesirleri ifade etmek için
kelimelerinin noksan oluşu veya sembollerinin bulunmayışı, ayrı ayrı ya da birlikte,
sebep olmuş olabilir. Yukarıda sözü geçen istisnaların, yani 2/3, 3/4, 4/5 ve 5/6
kesirlerinin hepsinin de 1/3, 1/4, 1/5 ve 1/6 gibi birim paylı kesirleri birime
tamamlamakta olmaları da ilgi çekicidir (Bkz. Belge 4-5).
Mısırlıların dilinde özel adı bulunan kesirler 2/3, 1/3, 1/2, 1/4 ve belki de 1/6 ve 1/8
kesirleriydi. 2/3’ün adı “iki kısım”, 1/3’e “üçünçü kısım”dı. Yunancada da, 2/3’e “iki
kısım”, 1/3’e “üçüncü kısım”, 3/4’e “üç kısım”, 1/4’e “dördüncü kısım” deniyordu.
Türkçede, yarım ve çeyrek, Arapçada nısıf, sülüs, rubu....gibi kelimelerde olduğu gibi
özel adları olan kesirlere “tabii kesirler” adı verilebilir. Arapçada 2/3, 2/4, 2/5 ve genel
olarak 2/n gibi kesirlerin de bu anlamda “tabii kesirler” sayılması akla gelebilir.
Mısır matematikçiler, kesirlerin zikri geçen ana özelliği dolayısıyla, mesela 17’yi 5’e
bölünce bulunacak “3 tam 2/5 sonucunun kesir kısmını payları birim olan kesirler
toplamında, yani 1/15 + 1/3 ile, sonucu da 3 + 1/3 + 1/15 şeklinde ifade ediyorlardı.
Aynı suretle, örneğin 7 somun ekmeği 9 ya da 10 kişi arasında eşit bölmek icap etse,
7/9 ve 7/10 bölümlerini, payları 1 olan kesirler şeklinde ifade ediyorlardı. Böylece
7/9=1/3 +1/3 + 1/9 = 2/3 + 1/9 ve 7/10 = 1/2 +1/5 sonuçları elde edilmekteydi. Bunlar
arasında 2 X 1/41=1/24 +1/246 +1/328 ve 2 X 1/43 = 1/42 +1/86 + 1/129 + 1/301 gibi
oldukça kafa karıştırıcı eşitlikler yer almaktadır.
Kesirlerle işlemlere gelince, payları 1 olduğuna göre, kesirlerin toplamını bulma işlemi
Mısır matematikçileri için, tabiatıyla bir mesele teşkil etmemekte idi. Çünkü Mısırlı
matematikçi, toplama yapmak için böyle kesirleri peş peşe yazmakla yetiniyordu.
Örneğin, 1/3, 1/5 ve 1/2’nin toplamı 1/2 + 1/3 +1/5’tir. Toplama işlemi bundan ibaretti.
Yalnız, sonuç da 1/n şeklinde ifade edilebilince, toplam bir tek kesirle ifade
edilmekteydi.
MEZOPOTAMYALILARDA KESİR SAYILARI
Mezopotamyada rakamların göstereceği sayıları, yani değerleri kesin olarak
belirlemek mümkün değildi. Örneğin, 1, 60 ve 1/60 formülü ile ifade edilebilecek
çeşitli değerleri aynı sembol temsil ediyordu. Bu sebolün hangi değeri ifade ettiğini
belirlemek bu rakam sisteminde mümkün değildi, ancak metin ve konu yardımıyla
belirlenebiliyordu.
Mezopotamya rakamlarının konumsal ve altmış tabanlı olma özelliği sadece tam
sayılar için değil, kesirler içinde geçerliydi.
işareti 1x60=1, 1x60= 3600,
sayılarını gösterebileceği gibi, 1x 60=1, 1x60=1/3600 gibi kesirleri de
gösterebiliyordu.
6
RESİMLER
Belge: 1 Mısırlılarda matematik ile ilgili yazıtlar.
Belge: 2 Mısırlılarda geometri ile ilgili yazıtlar.
7
Belge: 3
Belge: 4
Belge: 5
Belge: 7
Tablo: 2
Tablo: 1
Tablo: 3
Tablo: 4
8
Belge: 6
9
Tablo: 10
Tablo: 12
Tablo: 11
Belge: 10
Belge: 11
Belge: 12
Tablo: 13
Tablo: 14
Tablo: 15
Tablo: 16
Tablo: 17
Belge: 14
10
Tablo: 18 Mezopotamyalılardan kalma bir yazıt
11
KAYNAKÇA
1- Türk Tarih Kurumu, (1982), Mısırlılarda ve Mezopatomyalılarda Astronomi, Tıp ve Matematik,
Ankara: T.T.K.
2- Atatürk Kültür, Dil ve Tarih Yüksek Kurumu Atatürk Kültür Merkaze Yayını, (1996), Mısırlılarda
ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserin muhtasarı Ankara.
3- Altavista (Fraction)
12