mat 303 soyut cebir ve sayılar teorisi 1

MAT 3035 METRİK UZAYLAR II FİNAL SORULARI
Ad-Soyad:....................................................
No
:....................................................
Soru 1) f:RR, f(x) = x4 fonksiyonu R
üzerindeki alışılmış topolojiye göre açık, kapalı
dönüşüm olur mu? Bir homeomorfizm midir?
Açıklayınız.
24.01.2006
Soru 4) I = [0,1] ve A = [a,b] kümeleri
üzerinde alışılmış topoloji bulunsun. I ile A’nın
homeomorf
olduklarını
gösteriniz.
(Homeomorfizm şartlarını göstermeden)
(-1,1) kümesi açık olup f altındaki görüntüsü [0,1) f: I  A, f(x) = (b-a)x + a olarak tanımlanırsa f birebir,
kümesidir ve alışılmış topolojide açık bir küme değildir. örten, sürekli ve tersi de sürekli olacağından bir
O yüzden f, açık dönüşüm değildir. Her kapalı kümenin homeomorfizmdir.
görüntüsü de kapalı olacağından f kapalı dönüşümdür.
Son olarak f(-1) = f(1) olduğundan f birebir değildir ve
bu yüzden bir homeomorfizm olamaz.
Soru 2) Ayrık topolojik uzayda hangi dizilerin
yakınsak olduğunu açıklayınız.
(xn) bir dizi olsun. (xn) dizisinin bir a noktasına
yakınsaması demek belli bir terimden sonraki tüm
terimlerinin a noktasını bulunduran her T açık kümesinde
kalması demektir. {a} kümesi de ayrık topolojinin bir
elemanı olduğundan açıktır ve (xn) dizisinin belli bir
terimden sonraki tüm terimlerinin {a} kümesinde kalması
demektir. Bu da belli bir yerden sonraki tüm terimlerin
a’ya eşit olması anlamına gelir. Dolayısıyla ayrık topolojik
uzayda yakınsak olan diziler sonlu sayıda terimleri farklı
olabilen ama sonraki tüm terimleri sabit olan dizilerdir.
Soru 5) (xn) dizisi Xd metrik uzayında bir

nk
(xn) dizisinin bir alt

dizisi ise d xn , xnk  0 oluşunu açıklayınız.
(xn) bir Cauchy dizisi ise her >0 sayısı için öyle bir n0
sayısı bulabiliriz ki bu n0 sayısından büyük olan her m, n
doğal sayı çifti için
d  xn , xm    olur.
x ,
nk
(xn)
dizisinin bir alt dizisi ise bu alt dizinin terimleri de aynı
zamanda
Soru 3) A, R2’de bağlantılı ise R2\A kümesi de
bağlantılı olur mu? Örnek ile açıklayınız.
x ,
Cauchy dizisi ve

(xn)
dizisinin
terimleri
olacağından

d xn , xnk   olacaktır. Her >0 sayısı için bu doğru

olduğundan d xn , xnk
 sayıları sıfıra yaklaşacaktır.
Olabilir de olmayabilir de. Örneğin A kümesi bir disk ise
tümleyeni düzlemden bir disk çıkarılarak elde edilen bir
küme olur ve bağlantılıdır. Ancak A kümesi {(x,1) : xR}
şeklinde sonsuz bir doğru ise (y=1 doğrusu) tümleyeni
y=1 doğrusunun alt ve üstünde kalan iki düzlem parçası
olur ve bu küme bağlantılı değildir.
Not: Süre 70 dakikadır. Başarılar.
İNC