2. KPSS Matematik Konu Anlatımlı 2017
advertisement
KPSS Genel Yetenek Genel Kültür KPSS 2016 Pegem Akademi Sınav Komisyonu; MATEMATİK konu anlatımlı pratik bilgiler sınavlara en yakın özgün sorular ve açıklamaları çıkmış sorular ve açıklamaları * Eğitimde 29. yıl 2015 KPSS’ye Pegem Yayınları ile hazırlanan adayların, 100'ün üzerinde soruyu kolaylıkla çözebildiğini açıkladı. Editörler: Kenan Osmanoğlu / Kerem Köker KPSS Matematik Konu Anlatımlı ISBN 978-605-318-483-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. © Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. “Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.” 34. Baskı: 2016, Ankara Yayın-Proje: Elif Turanlıoğlu Bultan Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Kestek Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş. İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected] SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; MATEMATİK - Temel Kavramlar, - Sayılar, - Bölme-Bölünebilme Kuralları, - Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK, - Birinci Dereceden Denklemler, - Rasyonel Sayılar, - Üslü Sayılar, - Köklü Sayılar, - Çarpanlara Ayırma, - Eşitsizlik – Mutlak Değer, - Oran – Orantı, - Problemler, - Kümeler, - İşlem - Modüler Aritmetik, - Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık - Tablo ve Grafikler - Sayısal Mantık bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular - çözümlü testler ve - cevaplı testlere; yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi Sınav Komisyonuna, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar. Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM TEMEL KAV RAMLAR ...............................................2 Küme..........................................................................2 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2 Kümelerin G sterilişi ...............................................2 Boş Küme ..................................................................3 Sayı Kümeleri ............................................................3 Tek - Çi t Tamsayılar .................................................4 Tam Sayılarda İşlemler .............................................4 İşlem Ön eliği ...........................................................6 Rasyonel Sayılar .......................................................6 Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6 Har i İ adeler.............................................................8 Denklemler ................................................................9 Ç züm Kümesi Bulma..............................................9 Birin i Dere eden İki Bilinmiyenli Denklemler ......10 İkili..............................................................................10 Sıralama.....................................................................10 Eşitsizlik ....................................................................11 Oran – Orantı.............................................................11 Ortak Paranteze Alma ..............................................12 Ç zümlü Test – 1 ......................................................13 Cevaplı Test – 1.........................................................17 Cevaplı Test – 2.........................................................19 2. BÖLÜM SAYILAR ....................................................................22 Sayı Kümeleri ............................................................22 Doğal Sayılar .............................................................23 Tam Sayılar................................................................26 Tek ve Çi t Tam Sayılar .............................................27 Poziti ve Negati Sayılar ..........................................29 Ardışık Sayılar...........................................................31 Asal Sayı....................................................................36 Aralarında Asal Sayılar ............................................36 Basamak Analizi .......................................................37 Çözümleme ...............................................................42 Fakt riyel...................................................................44 Sayma Sistemleri ......................................................47 Ç zümlü Test – 1 ......................................................54 Ç zümlü Test – 2 ......................................................58 Ç zümlü Test – 3 ......................................................62 Cevaplı Test – 1.........................................................66 Cevaplı Test – 2.........................................................68 Cevaplı Test – 3.........................................................70 Cevaplı Test – 4.........................................................72 Cevaplı Test – 5.........................................................74 Cevaplı Test – 6.........................................................76 Çıkmış Sorular ..........................................................78 3. BÖLÜM BÖLME – BÖLÜNEBİLME K RALLARI ..................82 Bölme.........................................................................82 B lünebilme Kuralları ..............................................86 2 ile Bölünebilme ................................................86 3 ile Bölünebilme ................................................86 4 ile Bölünebilme ................................................87 5 ile Bölünebilme ................................................88 7 ile Bölünebilme ................................................89 8 ile Bölünebilme ................................................89 9 ile Bölünebilme ................................................89 10 ile Bölünebilme ..............................................91 11 ile Bölünebilme ..............................................91 Ç zümlü Test ...........................................................93 Cevaplı Test - 1 .........................................................97 Cevaplı Test - 2 .........................................................99 Çıkmış Sorular ..........................................................101 4. BÖLÜM ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK .......104 Asal Çarpanlara Ayırma ...........................................104 Bir Tam Sayının B lenleri ........................................105 Bir Tam Sayının B lenleri Toplamı ....................107 En Büyük Ortak B len (EBOB) ..........................108 En Küçük Ortak Kat (EKOK) ..............................111 Ç zümlü Test ...........................................................116 Cevaplı Test - 1 .........................................................120 Cevaplı Test - 2 .........................................................122 Cevaplı Test - 3 .........................................................124 Çıkmış Sorular ..........................................................126 5. BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER.....................128 Birin i Dere eden Bir Bilinmeyenli Denklemler ....128 Birin i Dere eden İki Bilinmeyenli Denklemler .....131 Denklem Sistemi .......................................................131 Yok Etme Metodu................................................131 Yerine Koyma Metodu ........................................132 Özel Denklemler........................................................133 Ç zümlü Test ...........................................................136 Cevaplı Test - 1 .........................................................140 Cevaplı Test - 2 .........................................................142 Çıkmış Sorular ..........................................................144 vi 6. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR ...............................................146 Kesir ve Kesir Türleri ...............................................146 Kesir.....................................................................146 Basit Kesir ...........................................................146 Bileşik Kesir ........................................................146 Tam Sayılı Kesir ..................................................147 Sabit Kesir ...........................................................148 Denk Kesir ...........................................................148 Rasyonel Sayılarda D rt İşlem ................................149 Toplama İşlemi ....................................................149 Çıkarma İşlemi ....................................................150 Çarpma İşlemi .....................................................150 B lme İşlemi .......................................................150 Kuvvet Alma ........................................................150 İşlem Ön eliği .....................................................151 Ondalık Kesir ............................................................154 Ondalık Sayılarda D rt İşlem ...................................155 Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................157 Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................158 İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma .........160 Ç zümlü Test - 1 .......................................................161 Ç zümlü Test - 2 .......................................................165 Cevaplı Test - 1 .........................................................169 Cevaplı Test - 2 .........................................................171 Çıkmış Sorular ..........................................................173 7. BÖLÜM EŞİTSİ LİK – M TLAK DE ER ...............................176 Basit Eşitsizlikler ......................................................176 Özellikleri.............................................................176 Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .....................................179 Kapalı Aralık ........................................................179 Yarı Açık Aralık....................................................179 Açık Aralık ...........................................................180 Birin i Dere eden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ....180 Eşitsizlikler ve İşaret İn elemesi .............................181 Mutlak Değer .............................................................183 Özellikleri.............................................................185 Ç zümlü Test – 1 ......................................................189 Ç zümlü Test – 2 ......................................................193 Cevaplı Test – 1.........................................................197 Cevaplı Test – 2.........................................................199 Cevaplı Test – 3.........................................................201 Çıkmış Sorular ..........................................................203 8. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR .........................................................206 Özellikleri.............................................................206 Üslü Sayılarda D rt İşlem ........................................209 Toplama – Çıkarma .............................................209 Çarpma ................................................................210 Bölme...................................................................212 Ç zümlü Test - 1 .......................................................215 Ç zümlü Test – 2 ......................................................219 Cevaplı Test - 1 .........................................................223 Cevaplı Test - 2 .........................................................225 Çıkmış Sorular ..........................................................227 9. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR ......................................................230 K klü Sayıların Özellikleri........................................230 K klü Sayılarda D rt İşlem ......................................234 Toplama-Çıkarma................................................234 Çarpma ................................................................235 Bölme...................................................................236 K k Dışındaki Bir Sayının K k İçine Alınması .......238 Eşlenik .......................................................................239 İç İçe Sonlu K kler ...................................................241 İç İçe Sonsuz K kler.................................................242 A 2 B I adesinin K k Dışına Çıkarılması............244 K klü Sayılarda Sıralama.........................................246 K klü Sayılarda Denklem Ç zme ............................247 Ç zümlü Test -1 ........................................................248 Cevaplı Test - 1 .........................................................252 Cevaplı Test - 2 .........................................................254 Çıkmış Sorular ..........................................................256 10. BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA ............................................260 Ortak Parantez Y ntemi .....................................260 Gruplandırma Y ntemi .......................................260 ax 2 b i adesinin Çarpanlara Ayrılması .......261 Özdeşlikler ................................................................263 İki Kare Farkı .......................................................263 Tam Kare İ adeler................................................265 III Dere eden Özdeşlikler ........................................268 Ç zümlü Test – 1 ......................................................270 Ç zümlü Test – 2 ......................................................274 Cevaplı Test – 1.........................................................278 Cevaplı Test – 2.........................................................280 Çıkmış Sorular ..........................................................282 11. BÖLÜM ORAN – ORANTI ......................................................286 Oran .....................................................................286 Orantı ...................................................................286 Orantının Özellikleri............................................286 Orantı Türleri .............................................................288 Doğru Orantı .......................................................288 Ters Orantılı Çokluklar .......................................290 Bileşik Orantı ......................................................291 Ortalamalar................................................................292 Aritmetik Ortalama .............................................292 Geometrik Ortalama ...........................................293 Ç zümlü Test - 1 .......................................................295 Ç zümlü Test - 2 .......................................................299 Cevaplı Test - 1 .........................................................303 Cevaplı Test - 2 .........................................................305 Çıkmış Sorular ..........................................................307 vii 12. BÖLÜM PROBLEMLER ..........................................................310 Denklem Kurma Problemleri ...................................310 Yaş Problemleri.........................................................316 Yüzde Problemleri ....................................................319 Faiz Problemleri ........................................................321 Kâr – Zarar Problemleri ............................................322 Karışım Problemleri..................................................325 İşçi Problemleri .........................................................328 Havuz Problemleri ....................................................330 Hareket Problemleri..................................................331 Çözümlü Test - 1 ......................................................337 Çözümlü Test - 2 ......................................................341 Çözümlü Test - 3 ......................................................345 Çözümlü Test - 4 .......................................................349 Çözümlü Test - 5 ......................................................353 Çözümlü Test - 6 ......................................................357 Çözümlü Test - 7 ......................................................361 Çözümlü Test - 8 ......................................................365 Çözümlü Test - 9 ......................................................369 Cevaplı Test – 1.........................................................373 Cevaplı Test – 2.........................................................375 Cevaplı Test – 3.........................................................377 Cevaplı Test – 4.........................................................379 Cevaplı Test – 5.........................................................381 Cevaplı Test – 6.........................................................383 Cevaplı Test – 7.........................................................385 Cevaplı Test – 8.........................................................387 Çıkmış Sorular ..........................................................389 13. BÖLÜM KÜMELER ..................................................................398 Küme..........................................................................398 Kümelerin Elemanı ve Eleman Sayısı ...............398 Kümelerin Gösterimi ..........................................398 Küme Çeşitleri ....................................................399 Kümelerde İşlemler ............................................400 Alt Küme ..............................................................403 Küme Problemleri ...............................................405 Çözümlü Test ...........................................................407 Cevaplı Test ..............................................................411 Çıkmış Sorular ..........................................................413 14. BÖLÜM FONKSİYON - İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK .....415 Bağıntı .......................................................................416 Fonksiyon..................................................................416 İşlem ..........................................................................417 İşlem Tabloları.....................................................419 İşlemin Özellikleri ...............................................419 Modüler Aritmetik .....................................................423 Modüler Aritmetiğin Özellikleri ..........................424 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü .............428 Çözümlü Test – 1 ......................................................429 Çözümlü Test – 2 ......................................................433 Cevaplı Test – 1.........................................................437 Cevaplı Test – 2.........................................................439 Çıkmış Sorular ..........................................................441 15. BÖLÜM PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK....444 Saymanın Temel Kuralları ........................................444 Toplama Kuralı ....................................................444 Çarpma Yolu ile Sayma ......................................444 Saymanın Temel İlkesi .......................................444 Permütasyon (Sıralama) ..........................................446 Tekrarlı Permütasyon .........................................447 Dairesel Permütasyon ........................................448 Kombinasyon (Gruplama) .......................................449 Olasılık .......................................................................454 Olasılık Fonksiyonu ...........................................454 Olasılık Hesabı ....................................................455 Koşullu Olasılık...................................................459 Bağımsız ve Bağımlı Olasılık .............................460 Çözümlü Test – 1 ......................................................461 Çözümlü Test – 2 ......................................................465 Çözümlü Test – 3 ......................................................469 Cevaplı Test – 1.........................................................473 Cevaplı Test – 2.........................................................475 Çıkmış Sorular ..........................................................477 16. BÖLÜM TABLO VE GRAFİKLER............................................480 Tablo ve Yorumlama .................................................480 Grafik ve Yorumlama ................................................484 Çizgi Grafik..........................................................484 Sütun Grafiği .......................................................486 Daire Grafiği ........................................................486 Çözümlü Test – 1 ......................................................489 Çözümlü Test – 2 ......................................................492 Cevaplı Test – 1.........................................................496 Cevaplı Test – 2.........................................................499 Çıkmış Sorular ..........................................................501 TEMEL KAVRAMLAR Yı � KÜME 2005 � KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI - 2006 � KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ - � BOŞ KÜME lla So ra ru Gö A re na Ç liz ık le mı ri ş 2007 - � SAYI KÜMELERİ 2008 � TEK - ÇİFT TAMSAYILAR - � TAM SAYILARDA İŞLEMLER 2009 � İŞLEM ÖNCELİĞİ - � RASYONEL SAYILAR 2010 � RASYONEL SAYILARDA İŞLEMLER - � DENKLEMLER 2011 � ÇÖZÜM KÜMESI BULMA - � İKİLİ 2012 � SIRALAMA - � EŞİTSİZLİK 2013 � ORAN ORANTI - � ORTAK PARANTEZE ALMA 2014 2016 2015 - - - “Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.” John Von Neumann 2 TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir. Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır. KÜME Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir. Örnek “Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur Örnek “Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir. KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler “ ! ” sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise “ ! ”sembolü ile gösterilir. Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir. Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır. Örnek Örnek A = "a, b, " c , , "d, e , , f , kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Çözüm: A kümesinin elemanlarını yazacak olursak a ! A, b ! A, " c , ! A, "d, e , ! A, f ! A olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir. Dolayısıyla s (A) = 5 bulunur. Örnek ”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin eleman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 Çözüm: “PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun. Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından A = "P, E, G, M , olur. Dolayısıyla s (A) = 4 bulunur. Örnek A = "Kerem , kümesinin eleman sayısı kaçtır? 1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1 d A A) 1 2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise 2! A Çözüm: şeklinde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı s (A) = 1 bulunur. 1) Liste Yöntemi 2) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir. Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir. Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır. B) 2 C) 3 D) 4 Örnek Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = " x l x 1 100, x ! N , şeklinde gösterilir. E) 5 3 3) Venn Şeması SAYI KÜMELERİ Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir. 1) Sayma Sayıları Kümesi Örnek A = "a, b, c, d , kümesini venn şeması ile gösterilişi şekildeki gibidir. A a b d c "1, 2, 3,..... , kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi " N + " ile gösterilir. 2) Doğal Sayılar Kümesi "0,1, 2, 3,..... , kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "IN" sembolü ile gösterilir 3) Tam Sayılar Kümesi BOŞ KÜME "........, − 3, − 2, − 1, 0,1, 2, 3 ....... , kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir. Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme Q veya { } sembolleri ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak; a) Negatif Tam Sayılar Kümesi Örnek “Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir Not Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir. Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " Z − " ile gösterilir. Z − = "..............., − 3, − 2, − 1 , dir. Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı " − 1 " dir. b) Pozitif Tam Sayılar Kümesi Örnek A = "a, b, c , kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse A kümesi değişmez. = A "= a, b, c , " b, a, c , = " c, a, b ,. = ... gibi RAKAM: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. SAYI: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. Örnek 3 hem rakam hem de bir sayıdır. 16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır. 348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır. -7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır. Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " ile gösterilir. Z + = "1, 2, 3,......... , dir. Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı " 1 " dir. c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir. 4) Rasyonel Sayılar Kümesi a ve b birer tam sayı ve b ! 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi " Q " ile gösterilir. Örnek 2 − 17 6 , , ,14, − 1,... birer rasyonel sayıdır. 5 19 13 4 5) İrrasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi “Q´” ile gösterilir. Örnek 5 ,5 − 2 , 7 ,... birer irrasyonel sayıdır. 3 Örnek − 65 + 93 işleminde Sayıların biri (−) diğeri (+) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 2 65 olduğundan olur. Buradan − 65 + 93 = 28 bulunur. Örnek 6) Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi 124 − 175 işleminde Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir. Sayılar zıt işaretli ve 175 2 124 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani (− ) işareti verilir. Reel sayılar kümesi " R " ile gösterilir. Buradan 124 − 175 = − 51 bulunur. R = Q , Q ' şeklinde ifade edilir. TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR a) Tek tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere 2n − 1 veya 2n + 1 şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi "..... − 5, − 3, − 1,1, 3, 5,... , şeklinde ifade edilir. b) Çift tam sayılar n bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi "... − 4, − 2, 0, 2, 4,.... , şeklinde ifade edilebilir. Not Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a − b = − b + a dýr. Örnek − 354 + 195 işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işlemin sonucunu değiştirmez. Buradan − 354 + 195 = 195 − 354 = − 159 bulunur. Not TAM SAYILARDA İŞLEMLER Toplama işlemi a) Aynı işaretli sayıların toplanması İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir. Örnek 32 + 14 + 29 işleminde Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti “+” olur. Buradan 32 + 14 + 29 = 75 bulunur. Örnek İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir. Örnek 36 − 73 + 86 − 118 işleminde iki tane pozitif (+ ) , iki tane negatif (− ) sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır. 36 − 73 + 86 − 118 = 36 + 86 − 73 − 118 = 122 − 191 = − 69 bulunur . − 45 − 11 − 73 işleminde Çıkarma İşlemi Sayıların hepsi negatif (− ) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " − " olur. Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı aynen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar toplanır. Buradan − 45 − 11 − 73 = − (45 + 11 + 73) = − 129 bulunur. b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir. Örnek 48 - 19= 48 + ( -19)= 29 33 - 76 =33 + ( -76) =-43 141 - ( -214) = 141 + (214) = 355 5 Çarpma İşlemi Örnek Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır. Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir. ! 84 21 ( -84) : (16) = = - (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse) 16 4 ( -100) : ( -35) = Uyarı Yani ( + ) ⋅ ( + ) =+ ( -) ⋅ ( -) =+ 100 20 (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse) = 35 7 Kuvvet Alma Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana yan zılıp çarpılır. Yani a sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir. Yani ( -) ⋅ ( + ) =- n a = a ⋅ a ⋅ a ⋅⋅⋅⋅ a şeklinde yazılabilir. ( + ) ⋅ ( -) =- n tane Not Örnek Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır. 4 2 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır. ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 bulunur. Buradan 24 = 2 4 tan e Örnek Örnek ( -5) ⋅ ( -23) =115 ( -12) ⋅ (11) = -132 (18) ⋅ (12) = 216 (-3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki -3 sayısı 3 kez yan yana yazılıp çarpılır. Buradan ( -3)3 =( -3) ⋅ ( -3) ⋅ ( -3) =-27 bulunur. Bölme İşlemi 3 tan e Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür. Not 1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. Not 2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir. Yani ( + ) : ( + ) =+ ( -) : ( -) =+ Örnek Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir. ( -5)4 = 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 Yani ( -) : ( + ) =- ( -2)7 =-27 =-2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 =-128 ( + ) : ( -) =- Örnek Örnek ( -4)3 + ( -7)2 - ( -5)3 işleminde ( -68) : (17) = -4 (120) : (12) = 10 ( -111) : (37) = -3 ( -180) : ( -15) = 12 Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir. negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. ! Uyarı Buradan ( -4)3 + ( -7)2 - ( -5)3 = ( -64) + (49) - ( -125) = -64 + 49 + 125 = -64 + 174 = 110 bulunur.
