tel: +90 312 4306750-51 (pbx) belgeç: +90 312
advertisement
Editörler : Kenan Osmanoğlu Kerem Köker KPSS Matematik ISBN 978-605-4282-58-6 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. © Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti’ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı, mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 10. Baskı Yayın-Proje Yönetmeni: Arzu Doğan Dizgi-Grafik Tasarım: Didem Gürleyik Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Tuna Matbaacılık A.Ş. (Ankara-0312-2783484) YAYINEVİ DAĞITIM adakale sokak 4/1 yenişehir-ankara tel: +90 312 4306750-51 (pbx) sağlık sokak 17/a yenişehir-ankara tel: +90 312 4345424 belgeç: +90 312 4313738 gsm: 0506 3451937 - 0541 4345424 - 0533 2055231 e-ileti: [email protected] belgeç: +90 312 4354460 gsm: 0506 3451936 - 0541 9104545 - 0533 2055230 e-ileti: [email protected] YAZIŞMA P.K.175 06442 yenişehir-ankara internet: SUNU Değerli Adaylar; Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde önemli bir yer tutan “Matematik” kapsamındaki 26 veya 27 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır. Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup; MATEMATİK - Temel Kavramlar, - Sayılar, - Bölme-Bölünebilme Kuralları, - Asal Çarpanlara Ayırma EBOB – EKOK, - Birinci Dereceden Denklemler, - Rasyonel Sayılar, - Üslü Sayılar, - Köklü Sayılar, - Çarpanlara Ayırma, - Eşitsizlik – Mutlak Değer, - Oran – Orantı, - Problemler, - Kümeler, - İşlem - Modüler Aritmetik, - Permütasyon – Kombinasyon – Olasılık - Tablo ve Grafikler bölümlerinden oluşmaktadır. Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir. Her ünitenin sonunda, - çıkmış sorular - çözümlü testler ve - cevaplı testlere; kitabın sonunda ise, Matematik ve Geometri’nin tamamını kapsayan 5 deneme sınavına yer verilmiştir. Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Fikret Birer, Canan Sarıkaya, Eda Tuğçe Buluş ve tüm meslektaşlarımıza, PEGEM AKADEMİ yayınevi ve dershanesi çalışanlarına ve öğrencilerine teşekkürü bir borç biliriz. Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız. Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar. Kenan Osmanoğlu – Kerem Köker Ankara İÇİNDEKİLER MATEMATİK 1. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR ...............................................2 Küme ..........................................................................2 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .......................2 Kümelerin Gösterilişi................................................2 Boş Küme ..................................................................3 Sayı Kümeleri ............................................................3 Tek - Çift Tamsayılar.................................................4 Tam Sayılarda İşlemler.............................................4 İşlem Önceliği............................................................6 Rasyonel Sayılar .......................................................6 Rasyonel Sayılarda İşlemler ....................................6 Denklemler.................................................................9 Çözüm Kümesi Bulma..............................................9 İkili ..............................................................................10 Sıralama .....................................................................10 Eşitsizlik.....................................................................11 Oran – Orantı .............................................................11 Ortak Paranteze Alma...............................................12 Çözümlü Test – 1 ......................................................13 Cevaplı Test – 1.........................................................17 Cevaplı Test – 2.........................................................19 2. BÖLÜM SAYILAR ....................................................................22 Sayı Kümeleri ............................................................22 Doğal Sayılar .............................................................23 Tam Sayılar................................................................26 Tek ve Çift Tam Sayılar ............................................27 Pozitif ve Negatif Sayılar ..........................................29 Ardışık Sayılar ...........................................................31 Asal Sayı ....................................................................36 Aralarında Asal Sayılar.............................................36 Basamak Analizi........................................................37 Çözümleme................................................................42 Faktöriyel ...................................................................44 Sayma Sistemleri ......................................................47 Çıkmış Sorular...........................................................54 Çözümlü Test – 1 ......................................................57 Çözümlü Test – 2 ......................................................61 Çözümlü Test – 3 ......................................................65 Çözümlü Test – 4 ......................................................69 Çözümlü Test – 5 ......................................................74 Çözümlü Test – 6 ......................................................79 Cevaplı Test – 1.........................................................83 Cevaplı Test – 2.........................................................85 Cevaplı Test – 3.........................................................87 Cevaplı Test – 4.........................................................89 Cevaplı Test – 5.........................................................91 Cevaplı Test – 6.........................................................93 3. BÖLÜM BÖLME – BÖLÜNEBİLME KURALLARI ................. 96 Bölme ........................................................................ 96 Bölünebilme Kuralları .............................................. 100 2 ile Bölünebilme................................................ 100 3 ile Bölünebilme................................................ 100 4 ile Bölünebilme................................................ 101 5 ile Bölünebilme................................................ 102 7 ile Bölünebilme................................................ 103 8 ile Bölünebilme................................................ 103 9 ile Bölünebilme................................................ 103 10 ile Bölünebilme ............................................. 105 11 ile Bölünebilme ............................................. 105 Çıkmış Sorular.......................................................... 107 Çözümlü Test - 1 ...................................................... 108 Çözümlü Test - 2 ...................................................... 112 Cevaplı Test - 1......................................................... 116 Cevaplı Test - 2......................................................... 118 4. BÖLÜM ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK...... 121 Asal Çarpanlara Ayırma .......................................... 121 Bir Tam Sayının Bölenleri ....................................... 122 Bir Tam Sayının Bölenleri Toplamı .................. 124 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ......................... 125 En Küçük Ortak Kat (EKOK) ............................. 128 Çıkmış Sorular.......................................................... 133 Çözümlü Test - 1 ...................................................... 134 Çözümlü Test - 2 ...................................................... 139 Çözümlü Test - 3 ...................................................... 143 Cevaplı Test - 1......................................................... 148 Cevaplı Test - 2......................................................... 150 Cevaplı Test - 3......................................................... 152 5. BÖLÜM BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER .................... 155 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler.... 155 Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler..... 158 Denklem Sistemi ...................................................... 158 Yok Etme Metodu ............................................... 158 Yerine Koyma Metodu ....................................... 159 Özel Denklemler ....................................................... 160 Çıkmış Sorular.......................................................... 163 Çözümlü Test - 1 ...................................................... 164 Cevaplı Test - 1......................................................... 168 Cevaplı Test - 2......................................................... 170 6. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR ...............................................173 Kesir ve Kesir Türleri................................................173 Kesir .....................................................................173 Basit Kesir ...........................................................173 Bileşik Kesir ........................................................173 Tam Sayılı Kesir ..................................................174 Sabit Kesir ...........................................................175 Denk Kesir ...........................................................175 Rasyonel Sayılarda Dört İşlem ................................176 Toplama İşlemi ....................................................176 Çıkarma İşlemi ....................................................176 Çarpma İşlemi .....................................................176 Bölme İşlemi........................................................177 Kuvvet Alma ........................................................177 İşlem Önceliği .....................................................178 Ondalık Kesirler ........................................................181 Ondalık Sayılarda Dört İşlem ...................................182 Devirli Ondalık Açılımlar ..........................................184 Rasyonel Sayılarda Sıralama...................................185 İki Rasyonel Sayı Arasındaki Sayıları Yazma ........187 Çıkmış Sorular...........................................................188 Çözümlü Test ............................................................190 Cevaplı Test - 1..........................................................194 Cevaplı Test - 2..........................................................196 9. BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA........................................... 247 Ortak Parantez Yöntemi .................................... 247 Gruplandırma Yöntemi ...................................... 247 ax2+bx+c ifadesinin Çarpanlara Ayrılması ...... 248 Özdeşlikler ................................................................ 250 İki Kare Farkı....................................................... 250 Tam Kare İfadeler ............................................... 252 III. Dereceden Özdeşlikler ....................................... 255 Çıkmış Sorular.......................................................... 257 Çözümlü Test – 1...................................................... 259 Çözümlü Test – 2...................................................... 263 Cevaplı Test – 1 ........................................................ 267 Cevaplı Test – 2 ........................................................ 267 10. BÖLÜM Çıkmış Sorular...........................................................208 Çözümlü Test ............................................................209 EŞİTSİZLİK – MUTLAK DEĞER............................... 272 Eşitsizlikler ............................................................... 272 Özellikleri ............................................................ 272 Reel (Gerçel) Sayı Aralıkları .................................... 275 Kapalı Aralık ....................................................... 275 Yarı Açık Aralık................................................... 275 Açık Aralık........................................................... 276 Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler ... 276 Eşitsizlikler ve İşaret İncelemesi ............................ 277 Mutlak Değer............................................................. 279 Özellikleri ............................................................ 281 Çıkmış Sorular.......................................................... 285 Çözümlü Test – 1...................................................... 287 Çözümlü Test – 2...................................................... 291 Cevaplı Test – 1 ........................................................ 295 Cevaplı Test – 2 ........................................................ 297 Cevaplı Test – 3 ........................................................ 299 Cevaplı Test - 1..........................................................213 Cevaplı Test - 2..........................................................215 11. BÖLÜM 7. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR .........................................................199 Özellikleri .............................................................199 Üslü Sayılarda Dört İşlem ........................................202 Toplama – Çıkarma.............................................202 Çarpma.................................................................203 Bölme ...................................................................205 8. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR ......................................................218 Köklü Sayıların Özellikleri........................................218 Köklü Sayılarda Dört İşlem ......................................222 Toplama-Çıkarma................................................222 Çarpma.................................................................223 Bölme ...................................................................224 Kök Dışındaki Bir Sayının Kök İçine Alınması .......226 Eşlenik (Paydayı Kökten Kurtarma)........................227 İç İçe Sonlu Kökler....................................................229 İç İçe Sonsuz Kökler.................................................230 A ∓ 2 B Ifadesinin Kök Dışına Çıkarılması............232 Köklü Sayılarda Sıralama.........................................234 Köklü Sayılarda Denklem Çözme............................235 Çıkmış Sorular...........................................................236 vi Çözümlü Test -1 ....................................................... 238 Cevaplı Test - 1......................................................... 242 Cevaplı Test - 2......................................................... 244 ORAN – ORANTI ...................................................... 302 Oran ..................................................................... 302 Orantı................................................................... 302 Orantının Özellikleri ........................................... 302 Orantı Türleri ............................................................ 304 Doğru Orantı ....................................................... 304 Ters Orantılı Çokluklar ...................................... 306 Bileşik Orantı ...................................................... 307 Ortalamalar ............................................................... 308 Aritmetik Ortalama............................................. 308 Geometrik Ortalama........................................... 309 Çıkmış Sorular.......................................................... 311 Çözümlü Test - 1 ...................................................... 313 Çözümlü Test - 2 ...................................................... 317 Cevaplı Test - 1......................................................... 322 Cevaplı Test - 2......................................................... 324 14. BÖLÜM PROBLEMLER...........................................................326 Denklem Kurma Problemleri....................................327 Yaş Problemleri.........................................................333 İŞLEM – MODÜLER ARİTMETİK ............................. 455 İşlem .......................................................................... 456 Yüzde Problemleri.....................................................336 Faiz Problemleri ........................................................338 Kâr – Zarar Problemleri ............................................339 Karışım Problemleri ..................................................342 İşçi Problemleri .........................................................345 Havuz Problemleri.....................................................347 Hareket Problemleri ..................................................348 Çıkmış Sorular...........................................................354 Çözümlü Test - 1 ......................................................362 Çözümlü Test - 2 ......................................................367 Çözümlü Test - 3 ......................................................371 Çözümlü Test - 4 .......................................................376 Çözümlü Test - 5 ......................................................381 Çözümlü Test - 6 ......................................................385 Çözümlü Test - 7 ......................................................389 Çözümlü Test - 8 ......................................................393 Çözümlü Test - 9 ......................................................397 Çözümlü Test - 10 ....................................................402 Çözümlü Test - 11 ....................................................407 Çözümlü Test - 12 ....................................................412 Cevaplı Test – 1.........................................................417 Cevaplı Test – 2.........................................................419 Cevaplı Test – 3.........................................................421 Cevaplı Test – 4.........................................................423 Cevaplı Test – 5.........................................................425 Cevaplı Test – 6.........................................................427 Cevaplı Test – 7.........................................................429 Cevaplı Test – 8.........................................................431 13. BÖLÜM KÜMELER ..................................................................434 Küme ..........................................................................434 Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı .................434 Kümelerin Gösterimi ..........................................434 Küme Çeşitleri.....................................................435 Kümelerde İşlemler.............................................436 Alt Küme ..............................................................439 Küme Problemleri ...............................................441 Çıkmış Sorular...........................................................443 Çözümlü Test - 1 .......................................................444 Çözümlü Test - 2 .......................................................449 Cevaplı Test - 1..........................................................453 İşlem Tabloları .................................................... 459 İşlemin Özellikleri............................................... 459 Modüler Aritmetik..................................................... 462 Modüler Aritmetiğin Özellikleri ......................... 463 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü............ 467 Çıkmış Sorular.......................................................... 468 Çözümlü Test – 1...................................................... 469 Çözümlü Test – 2...................................................... 474 Cevaplı Test – 1 ........................................................ 479 Cevaplı Test – 2 ........................................................ 481 İçindekiler 12. BÖLÜM 15. BÖLÜM PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – OLASILIK... 484 Saymanın Temel Kuralları ....................................... 484 Toplama Kuralı ................................................... 484 Çarpma Yolu ile Sayma ..................................... 484 Saymanın Temel İlkesi....................................... 484 Permütasyon (Sıralama).......................................... 486 Tekrarlı Permütasyon ........................................ 487 Dairesel Permütasyon ....................................... 488 Kombinasyon (Gruplama) ...................................... 489 Olasılık....................................................................... 494 Olasılık Fonksiyonu .......................................... 494 Olasılık Hesabı.................................................... 495 Koşullu Olasılık .................................................. 499 Bağımsız ve Bağımlı Olasılık ............................ 500 Çıkmış Sorular.......................................................... 501 Çözümlü Test – 1...................................................... 503 Çözümlü Test – 2...................................................... 507 Çözümlü Test – 3...................................................... 511 Çözümlü Test – 4...................................................... 515 Cevaplı Test – 1 ........................................................ 520 Cevaplı Test – 2 ........................................................ 522 16. BÖLÜM TABLO VE GRAFİKLER ........................................... 525 Tablo ve Yorumlama ................................................ 525 Grafik ve Yorumlama ............................................... 529 Çizgi Grafik ......................................................... 529 Sütun Grafiği ...................................................... 531 Daire Grafiği........................................................ 531 Çıkmış Sorular.......................................................... 534 Çözümlü Test – 1...................................................... 538 Çözümlü Test – 2...................................................... 541 Cevaplı Test – 1 ........................................................ 544 Cevaplı Test – 2 ........................................................ 547 Deneme - 1 ................................................................ 549 Deneme - 2 ................................................................ 552 Deneme - 3 ................................................................ 556 Deneme - 4 ................................................................ 560 Deneme - 5 ................................................................ 564 Denemelerin Yanıt Anahtarları................................ 568 vii Temel Kavramlar Küme Kümenin Elemanı ve Eleman Sayısı Kümelerin Gösterilişi Boş Küme Sayı Kümeleri Tek - Çift Tamsayılar Tam sayılarda İşlemler İşlem Önceliği Rasyonel Sayılar Rasyonel Sayılarda İşlemler Denklemler Çözüm Kümesi Bulma İkili Sıralama Eşitsizlik Oran Orantı Ortak Paranteze Alma Çözümlü Test Cevaplı Testler 1-2 Geçmiş Yıllarda Çıkmış Soru Analiz Tablosu 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 - - - - - - - - - - “Eksi çarpı eksi, artı edecek, böyle yazılacak, böyle bilinecek, kimse “neden?” demeyecek.” John Von Neumann KPSS Matematik TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde yer verdiğimiz başlıkların bir kısmı KPSS de direkt olarak sorulan konulara dair değildir. Buradaki amacımız diğer konuların daha iyi anlaşılabilmesi için bazı temel bilgileri hatırlatmak ve işlem yeteneğinin gelişmesini sağlamaktır. Değindiğimiz konuların bir kısmı ilerleyen bölümlerde daha detaylı bir şekilde işlenecektir. Bu bölüm daha çok sözel bölümlerden mezun olan arkadaşlarımıza yönelik hazırlanmıştır. Çözüm: KÜME A kümesinin elemanlarını yazacak olursak Net olarak tanımlanmış canlı veya cansız varlıkların oluşturduğu topluluğa küme denir. Kümeler A, B, C, D, E,… gibi büyük harflerle isimlendirilir. a ∈ A, b ∈ A, {c} ∈ A, {d, e} ∈ A, f ∈ A olmak üzere A kümesinin eleman sayısı 5 dir. Dolayısıyla s(A) = 5 bulunur. ÖRNEK Örnek: “Pegem” kelimesinin harfleri bir küme oluşturur. ”PEGEM” kelimesinin harflerinin oluşturduğu kümenin elaman sayısı kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 ÖRNEK “Haftanın bazı günleri” cümlesi bir küme oluşturmaz. Çünkü kümeyi oluşturacak günler net olarak söylenmemiştir. KÜMENİN ELEMAN VE ELEMAN SAYISI Kümeyi oluşturan canlı ve cansız varlıklara kümenin elemanları denir. Kümenin elemanı olan nesneler " ∈ " sembolü ile kümenin elemanı olmayan nesneler ise " ∉ " sembolü ile gösterilir. Bir kümeyi oluşturan elemanların sayısına kümenin eleman sayısı denir ve s ( ) ile gösterilir. Kümeyi oluştururken ortak elemanlar bir kez yazılır. ÖRNEK 1 sayısı A kümesinin elemanı ise 1∈ A 2 sayısı A kümesinin elemanı değil ise 2 ∉ A şeklinde gösterilir. Çözüm: “PEGEM” kelimesinin oluşturduğu küme A kümesi olsun. Küme yazılırken ortak olan elemanlar bir kez yazılacağından A = {P, E, G, M} olur. Dolayısıyla s(A) = 4 bulunur. Örnek: A = {Kerem} kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Çözüm: Liste yönteminde elemanlar virgüllerle ayrılır. Kümeyi inceleyecek olursak virgülle ayrılan eleman olmadığı için kümenin eleman sayısı s(A) = 1 bulunur. 2) Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarının taşıdıkları ortak özellikler belirtilerek { } parantezi içine yazılmasına kümenin ortak özellik yöntemi ile gösterilişi denir. KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ 1) ÖRNEK Liste Yöntemi Kümenin elemanlarının aralarına “,” konarak { } parantezi içine yazılmasına kümelerin liste biçiminde gösterilişi denir. Liste yönteminde virgülle ayrılan her nesne kümenin bir elemanıdır. Yüzden küçük doğal sayıların kümesi A = {x l x < 100, x ∈ N} şeklinde gösterilir. 3) Örnek: A = {a, b, {c},{d, e}, f } kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 2 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2 Venn Şeması Kümenin elemanlarının yanlarına “.” konarak kapalı bir şeklin içine yazılmasına kümenin venn şeması ile gösterilişi denir. Örnek: SAYI KÜMELERİ A = {a, b, c, d} kümesini venn şeması ile gösterilişi A ia ib id 1) Sayma Sayıları Kümesi {1, 2, 3,.....} kümesine sayma sayıları kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir sayma sayısı denir. Sayma sayıları kümesi "N+ " ile gösterilir. ic 2) BOŞ KÜME Elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme ∅ veya { } sembolleri ile gösterilir. {0, 1, 2, 3,.....} kümesine doğal sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir doğal sayı denir. Doğal sayılar kümesi "N" sembolü ile gösterilir. 3) ÖRNEK “Yılın S harfi ile başlayan ayları” cümlesinin oluşturduğu küme boş kümedir. Doğal Sayılar Kümesi Temel Kavramlar şekildeki gibidir. Tam sayılar Kümesi {........, −3, − 2, − 1, 0, 1, 2, 3.......} kümesine tam sayılar kümesi ve bu kümenin her bir elemanına bir tam sayı denir. Tam sayılar kümesi “Z” sembolü ile gösterilir. Tam sayılar kümesi üç kümenin birleşimi olarak ifade edilir. Bu alt kümeleri inceleyecek olursak; NOT Bir kümenin elemanlarının yerlerinin değişmesi kümeyi değiştirmez. Yani kümenin elemanları farklı şekillerde sıralanabilir. a) Negatif Tam sayılar Kümesi Sıfırdan küçük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın solunda olan) sayılara negatif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye negatif tam sayılar kümesi denir. Negatif tam sayılar kümesi " Z − " ile gösterilir. Z − = {..............., −3, − 2, − 1} dir. Örnek: A = {a, b, c} kümesinin elemanlarının yerleri değiştirilirse Negatif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça büyürler. Dolayısıyla en büyük negatif tam sayı "− 1" dir. A kümesi değişmez. A = {a, b, c} = {b, a, c} = {c, a, b} gibi RAKAM: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir. SAYI: Rakamların tek başlarına veya bir çokluk oluşturacak şekilde bir araya gelmesiyle oluşan ifadelere sayı denir. b) Pozitif Tam sayılar Kümesi Sıfırdan büyük (sayı doğrusu üzerinde sıfırın sağında olan) sayılara pozitif tam sayılar bu sayıların oluşturduğu kümeye pozitif tam sayılar kümesi denir. Pozitif tam sayılar kümesi " Z + " ile gösterilir. Z + = {1, 2, 3,.........} dir. Pozitif tam sayılar sıfıra yaklaştıkça küçülürler. Dolayısıyla en küçük pozitif tam sayı "1" dir. c) Sıfır bir tam sayıdır, fakat işaretsizdir. Yani pozitif ya da negatif tam sayı değildir. 4) Rasyonel Sayılar Kümesi ÖRNEK 3 hem rakam hem de bir sayıdır. 16 iki rakamdan oluşan bir sayıdır. 348 üç rakamdan oluşan bir sayıdır. -7415 dört rakamdan oluşan negatif bir sayıdır. a ve b birer tam sayı ve b ≠ 0 olsun. İki tam sayının bölümü şeklinde yazılabilen sayılara rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar kümesi "Q" ile gösterilir. 3 KPSS Matematik ÖRNEK 2 −17 6 , , , 14, − 1, ... birer rasyonel sayıdır. 5 19 13 b) Zıt İşaretli Sayıların Toplanması İşareti farklı olan tam sayılar toplanırken sayı değeri büyük olandan sayı değeri küçük olan çıkarılır. Toplama, sayı değeri büyük olanın işareti verilir. ÖRNEK 5) İrrasyonel Sayılar Kümesi Rasyonel olmayan sayılara yani iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamayan sayılara irrasyonel sayılar denir. İrrasyonel sayılar kümesi “Q” ile gösterilir. ÖRNEK 5, 5 −2, 6) 7 ,... birer irrasyonel sayıdır. 3 Reel (Gerçel, Gerçek) Sayılar Kümesi −65 + 93 işleminde Sayıların biri ( −) diğeri ( + ) işaretli olduğundan sayı değeri büyük olandan yani 93 den sayı değeri küçük olan yani 65 çıkarılır. Toplamın sonucu 93 > 65 olduğundan ( + ) olur. Buradan −65 + 93 = 28 bulunur. ÖRNEK 124 − 175 işleminde Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesine Reel sayılar kümesi denir. Sayılar zıt işaretli ve 175 > 124 olduğundan 175 den 124 çıkarılır. Toplama, 175 in işareti yani ( −) işareti verilir. Reel sayılar kümesi "R" ile gösterilir. Buradan 124 − 175 = −51 bulunur. R = Q ∪ Q' şeklinde ifade edilir. TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR a) TEK TAM SAYILAR: n bir tam sayı olmak üzere 2n −1 veya 2n + 1 şeklinde yazılabilen sayılara tek tam sayı denir. Tek tam sayılar kümesi {..... − 5, − 3, −1, 1, 3, 5, ...} şeklinde ifade edilir. b) ÇİFT TAM SAYILAR: n bir tam sayı olmak üzere 2n şeklinde yazılabilen sayılara çift tam sayı denir. Çift tam sayılar kümesi {... − 4, − 2, 0, 2, 4, ....} şeklinde ifade edilebilir. TAM SAYILARDA İŞLEMLER UYARI Toplama işleminde sayıların yerlerini değiştirmek işlemin sonucunu değiştirmez. Yani a − b = −b + a dır. Örnek: −354 + 195 işleminde sayıların yerlerinin değişmesi işlemin sonucunu değiştirmez. Buradan −354 + 195 = 195 − 354 = −159 bulunur. NOT Toplama işlemi: a) Aynı işaretli sayıların toplanması İşaretleri aynı olan tam sayılar toplanırken önce sayı değerleri toplanır. Sonra toplama ortak olan işaret verilir. ÖRNEK İşlemde ters işaretli birkaç sayı varsa önce işareti aynı olanlar kendi aralarında toplanarak ifade düzenlenir. ÖRNEK 32 + 14 + 29 işleminde 36 − 73 + 86 − 118 işleminde Sayılarının hepsi pozitif (+) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti “+” olur. iki tane pozitif ( + ) , iki tane negatif ( − ) sayı olduğundan önce bu sayılar kendi aralarında toplanarak işlem düzenlenir. Sonra bulunan zıt işaretli sayılar toplanır. Buradan 32 + 14 + 29 = 75 bulunur. ÖRNEK 36 − 73 + 86 − 118 = 36 + 86 − 73 − 118 = 122 − 191 = −69 bulunur. −45 − 11 − 73 işleminde Sayıların hepsi negatif ( −) olduğundan sayı değerleri toplanır. Toplamın işareti " − " olur. Buradan −45 − 11 − 73 = −(45 + 11 + 73) = −129 bulunur. 4 Çıkarma İşlemi Tam sayılarda çıkarma işlemi yapılırken birinci sayı aynen yazılır. İkinci sayının işareti değiştirilerek sayılar toplanır. ÖRNEK UYARI Çarpma İşlemi Tam sayılarda çarpma işlemi yapılırken önce işaretler çarpılıp çarpımın işareti bulunur. Sonra sayı değerleri çarpılır. UYARI Eğer sayılar tam olarak bölünmüyorsa kesir olarak yazılır ve ifade sadeleştirilir. ÖRNEK ( −84) : (16) = − 84 21 = − (pay ve payda 4 ile sadeleştirilirse) 16 4 ( −100) : ( −35) = Aynı işaretli sayıların çarpımı daima pozitiftir. 100 20 (pay ve payda 5 ile sadeleştirilirse) = 35 7 Zıt işaretli sayıların çarpımı daima negatiftir. Kuvvet Alma Tabanda yazılan sayı kuvveti (üssü) kadar yan yana yazılıp çarpılır. Yani an sayısında a taban, n kuvvet olmak üzere Yani ( −) ⋅ ( + ) = − an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a şeklinde yazılabilir. Yani ( + ) ⋅ ( + ) = + ( −) ⋅ ( −) = + ( +) ⋅ ( −) = − Temel Kavramlar 48 − 19 = 48 + ( −19) = 29 33 − 76 = 33 + ( −76) = −43 141 − ( −214) = 141 + (214) = 355 n tane ÖRNEK NOT Parantez dışındaki bir işlem parantez içerisine dağıtılırken işaretler çarpılır. 24 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki 2 sayısı 4 kez yan yana yazılıp çarpılır. Buradan 24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 16 bulunur. 4 tan e ÖRNEK ÖRNEK ( −3)3 sayısının değeri hesaplanırken tabandaki −3 sayısı 3 kez yan yana yazılıp çarpılır. ( −5) ⋅ ( −23) = 115 Buradan ( −3)3 = ( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) = −27 bulunur. ( −12) ⋅ (11) = −132 (18) ⋅ (12) = 216 3 tan e NOT Bölme İşlemi Tam sayılarda bölme işlemi yapılırken önce işaretleri bölünüp bölümün işareti bulunur. Sonra sayı değerleri bölünür. NOT 1) Pozitif sayıların bütün kuvvetleri pozitiftir. 2) Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. ÖRNEK Aynı işaretli sayıların bölümü daima pozitiftir. Yani ( + ) : ( + ) = + ( −) : ( −) = + ( −5)4 = 54 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 625 ( −2)7 = −27 = −2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = −128 Zıt işaretli sayıların bölümü daima negatiftir. Yani ( −) : ( + ) = − ( + ) : ( −) = − ÖRNEK ( −68) : (17) = −4 (120) : (12) = 10 ( −111) : (37) = −3 ( −180) : ( −15) = 12 ÖRNEK ( −4)3 + ( −7)2 − ( −5)3 işleminde negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Buradan ( −4)3 + ( −7)2 − ( −5)3 = ( −64) + (49) − ( −125) = −64 + 49 + 125 = −64 + 174 = 110 bulunur. 5
