10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de

10.Konu
İç çarpım uzayları ve özellikleri
10.1.
ve
üzerinde uzunluk
[ ] vektörünün ‖ ‖ ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor
de
teoreminden ‖ ‖
dir.
] ise ‖ ‖
[
1.Ö.:
√
(
) ve
uygulayarak
(
√
)
√
) noktaları gözönüne alalım.
üçgene Pisagorun teoremini
ye uzaklığını yani
doğru parçasının
)
(
)
√(
ile gösterilen uzunluğunu buluruz.
[
Eğer
(
]
[ ] vektörler ise, o zaman bu vektörlerin bitiş noktaları sırasıyla
(
) ve (
) dedir. Böylece u ve v vektörleri arasındaki uzaklığı,
noktaları arasındaki uzaklık gibi tanımlarız.
[
] olduğundan u ve v vektörleri arasındaki uzaklık
√(
)
2.Ö.:
[
Şimdi
de
(
)
‖
‖.
[ ] ise ‖
]
‖
)
√(
(
)
√
=5
[ ] vektörünün ‖ ‖ ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor
teoreminini iki kere kullanarak
‖ ‖
√(√
√
elde edilir.
Eğer (
uzaklık
) ve
√
)
(
.
) noktalar ise, o zaman
)
√(
(
)
(
arasındaki
)
ile verilir.
[
]
[ ]
‖
de vektörler ise , bu durumda u ve v arasındaki uzaklık
‖
)
√(
(
)
(
)
ile verilir.
3.Ö.:
[ ] ise ‖ ‖
4.Ö.:
[ ]
[
√
] ise ‖
√
‖
√(
1
)
(
)
(
)
√
[
]
[ ] sıfırdan farklı iki vektörler olsun. Kosinüs kuralından
‖
‖
‖ ‖
‖ ‖
ifadesine sahibiz. Böylece,
‖ ‖
‖ ‖
‖
‖
(
‖ ‖‖ ‖
(
)
(
)
(
‖ ‖‖ ‖
‖ ‖‖ ‖
)
) (
‖ ‖‖ ‖
)
‖ ‖‖ ‖
O halde
.
‖ ‖‖ ‖
[
Benzer yolla, eğer
]
[ ]
de sıfırdan farklı vektörler ve , u ve v
arasındaki açı ise, bu durumda
‖ ‖‖ ‖
yazılır.
[ ]
5.Ö.:
[ ] ise
√
olduğundan
10.2.
ve
√
üzerinde standart iç çarpımı
10.1.Tanım:
[
]
[ ]
de sıfırdan farklı vektörler olsun.
de standart iç çarpım
veya nokta çarpım
sayısı olarak tanımlanır ve
de
[
]
ile gösterilir.
[ ] sıfırdan farklı iki vektörler olsun.
çarpım veya nokta çarpım
sayısı olarak tanımlanır ve
6.Ö.:
de
[ ]
ile gösterilir.
[
] ise, bu durumda
2
de standart iç
(
veya
te ‖ ‖
10.1.tanıma göre
√
)
olduğunu görürüz.
‖ ‖‖ ‖
olur.
Böylece
veya
te iki u ve v vektörlerinin dik olması için gerek ve yeter şartın
olduğu bulunur.
[
7.Ö.:
]
(
[ ] vektörleri
)
olduğundan birbirine diktir.
10.1.Teorem: u, v ve w,
veya
te vektörler ve c bir sabit olsun.
üzerindeki standart iç çarpımı aşağıdaki özelliklere sahiptir.
i.
olması için gerek ve yeter şart u=0 olmasıdır.
ii.
)
iii. (
iv. Herhangi reel c sabiti için
(
)
veya
veya
te bir birim vektör uzunluğu 1 olan vektördür. Eğer x sıfırdan farklı bir
vektör ise, bu durumda
‖ ‖
vektörü x’in yönünde bir birim vektördür.
[
8.Ö.:
] olsun. Bu durumda
‖ ‖
√( )
Böylece ‖ ‖
[
( )
)
√(
( )
olduğundan
] vektörü bir birim vektördür.
[ ] ve
[ ]
de x- ve y- pozitif eksenleri boyunca birim vektörlerdir. i ve j
birbirine diktir.
[
Eğer
]
[ ]
de bir vektör ise, bu durumda
[ ]
Benzer şekilde,
[ ]
[ ]
.
de
[ ] birbirine dik olan birim vektörlerdir. Böylece,
de bir vektör ise, bu durumda
dır.
3
[
]
10.3. İç çarpım uzayları
10.2.Tanım: V herhangi reel vektör uzayı olsun. V üzerindeki bir iç çarpım, V’deki
vektörlerin sıralı herbir çiftleri için (
) reel sayısına karşılık getiren ve
aşağıdaki özellikleri sağlayan bir fonksiyondur:
i. (
)
(
)
olması için gerek ve yeter şart
olmasıdır.
ii. V’ de herhangi
için (
)
(
)
)
iii. V’ de herhangi
ve için (
iv. V’ de herhangi
ve reel sayısı için (
)
(
)
9.Ö.:
(
üzerinde standart iç çarpımı,
de
)
[
]
[ ] için
olarak tanımlanır.
10.Ö.: sonlu-boyutlu herhangi bir vektör uzayı ve
bir baz olsun. Eğer
{
}, V için sıralı
ve
ise
(
) ([ ] [ ] )
şeklinde tanımlanır. V üzerinde iç çarpım olarak (
standart iç çarpımı olarak kullanılır.
11.Ö.:
[
]
[ ]
) nin bu tanımı,
üzerindeki
de vektörler olsun.
(
)
tanımlayalım. Bunun
de bir iç
çarpım verdiğini gösteriniz.
12.Ö.: [0,1] birim aralığı üzerinde tanımlı bütün reel-değerli sürekli fonksiyonlar
vektör uzayı V olsun.
) ∫ ( ) ( ) alalım.
için (
13.Ö.: V=P olsun. Eğer p(t) ve q(t), P de iki polinomlar ise
(
) ∫ ( ) ( ) şeklinde iç çarpımı tanımlayalım.
{
}, sonlu-boyutlu V vektör uzayı için sıralı bir taban
10.2.Teorem:
olsun ve V üzerinde bir iç çarpımın verildiğini kabul edelim.
(
)
[ ] alalım. Bu durumda
i.
bir simetrik matristir.
ii.
V’deki her v ve w için (v,w) ifadesini belirler.
İspat:
i.
(
) (
)
ii.
(
)
(∑
) ∑
(
) ∑
( ∑
)
4
∑
∑
(
)
∑∑
(
)
∑∑
[ ]
[ ]
Bu da C’nin her v ve w için (v,w) belirlemesi demektir.
10.3.Tanim: Üzerinde bir iç çarpım sahip reel bir vektör uzayına bir iç çarpım uzayı
denir. Eğer uzay sonlu boyutlu ise, bu uzaya Öklid uzayı denir.
) ile tanımlarız.
Bir iç çarpım uzayında bir u vektörün uzunluğunu ‖ ‖ √(
Uzunluğun bu tanımı eğer
ise ‖ ‖
olduğundan geçerlidir ve ‖ ‖
10.3.Teorem(Caushy-Schwarz-Bunyakovskii eşitsizliği):
Eğer u ve v, V iç çarpım uzayında herhangi iki vektör ise, bu durumda
|(
)| ‖ ‖ ‖ ‖.
İspat:
)
Eğer
ise, ‖ ‖
.(
. Böylece eşitsizlik sağlanır.
Şimdi
duruma bakalım. r bir sabit olmak üzere
vektörünü gözönüne
alalım.
(
) (
)
(
) (
)
Eğer u ve v sabitse, bu durumda
( ) polinomu r’nin bütün
değerleri için negatif değildir. Buda
eşitsizliği verir.
14.Ö.:
(
de
[
]
[
] ise, bu durumda
)
( )
( )
,‖ ‖ √ ‖ ‖ √
|(
)| ‖ ‖ ‖ ‖.
10.1.Sonuç: (Üçgen eşitsizliği)
Eğer u ve v, V iç çarpım uzayında herhangi iki vektör ise, bu durumda
‖
‖ ‖ ‖ ‖ ‖.
İspat:
‖
‖
(
) (
)
(
) (
) ‖ ‖
(
)
|(
)| ‖ ‖ ‖ ‖ olduğuna göre ‖
‖
‖ ‖
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
(‖ ‖ ‖ ‖) .
Şimdi
de
(
) |∑
Eğer
|
|
|∫
[
]
[ ] ise bu durumda
| (√∑
) (√∑
) ‖ ‖ ‖ ‖ olur.
[0,1] üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonlar ise, o zaman
( ) ( ) |
(√∫
( ) ) (√∫
5
( ) ).
‖ ‖
10.4.Tanim: Eğer V bir iç çarpım uzayı ise, V deki u ve v vektörleri arasındaki
) ‖
‖ olarak tanımlarız.
uzaklığı, (
)
10.5.Tanim: V bir iç çarpım uzayı olsun. Eğer (
ise, V deki iki u ve v
vektörleri diktir.
10.6.Tanim: V bir iç çarpım uzayı olsun. V deki bir S kümesi, eğer S’de farklı
herhangi iki vektör birbirine dik ise dik olarak atlandırılırç Ayrıca, eğer S’de her bir
vektör birim uzunlukta ise, bu durumda S ortonormal olarak atlandırılır.
Sıfırdan farklı x vektör için
vektör x ile aynı doğrultuda olan birim vektördür.
‖ ‖
{
}, V iç çarpım uzayında sıfırdan farklı vektörlerin
10.4.Teorem:
sonlu dik (ortogonal) kümesi olsun. Bu durumda S lineer bağımsızdır.
İspat:
olduğunu kabul edelim. Bu durumda
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
olup S’nin dik
)
)
olduğundan (
olur. Buradan (
olup,
dır. <bu işlemi her
bir i=1,2,…,n için tekrarlarsak
buluruz.
15.Ö.: V, [] üzerinde tanımlı bütün reel-değerli sürekli fonksiyonlar vektör
uzayı olsun. V’de f ve g için
(
) ∫
( ) ( ) alalım. V’de olduğu açık olan
1, cost,sint,cos2t,sin2t, …, cosnt,sinnt, …
fonksiyonları gözönüne alalım.
∫
∫
∫
∫
∫
6
10.KONU: Ödevler
1.
[ ]
2.
[
3.
[
4.
[ ]
5.
[ ]
[
]
] vektörlerin arasındaki uzunluğu ve
[ ] vektörlerin arasındaki uzunluğu ve
]
[ ] vektörlerin arasındaki
iç çarpımı bulunuz.
iç çarpımı bulunuz.
iaçısının kosinusunu bulunuz.
[ ] vektörlerin dik olacak şekildeki c’yi bulunuz.
[
] vektörlerin dik olacak şekildeki c’yi bulunuz.
6. V iç çarpım uzayı olsun. Eğer u ve v, V’de vektörler ise,
(
)
‖
‖
‖
‖
olduğunu ğösteriniz.
) ∫ ( ) ( ) şeklinde iç çarpımı
7. ( )
ve ( )
olsun. (
tanımlayalım. nın hangi değerleri için p(t) ve q(t) diktiğini gösteriniz.
{
}, V iç çarpım uzayında sıfırdan farklı vektörlerin sonlu dik
8.
(ortogonal) kümesi olsun. Bu durumda S nin lineer bağımsızdığını gösteriniz.
9. Eğer u ve v, V iç çarpım uzayında herhangi iki vektör ise, bu durumda
|(
)| ‖ ‖ ‖ ‖
olduğunu gösteriniz.
10. V, [] üzerinde tanımlı bütün reel-değerli sürekli fonksiyonlar vektör uzayı
) ∫
( ) ( ) şeklinde iç çarpımı tanımlayalım.
olsun. V’de f ve g için (
{
} kümenin diktiğini gösteriniz.
7