SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL

SİSTEM DİNAMİĞİ VE KONTROL
1)
KONTROL SİSTEMLERİNE GİRİŞ:
Kontrol: Bir sistemin çıkışlarını istenen değerlere yöneltmek ya da önceden belirlenmiş bir
davranışı izlemelerini sağlamak için sistemin girişleri üzerinde yapılan işlemlere kontrol
denir.
Otomatik Kontrol: Kontrol işlemlerinin kontrol edilmek istenen olay etrafında kurulmuş bir
karar mekanizması tarafından doğrudan insan etkisi olmaksızın gerçekleştirilmesi olayıdır.
Bunun için amacın ve sistemden istenen davranışın önceden tanımlanması gerekir.
Sistem: Belirli bir amacı sağlayan bir bütün oluşturacak şekilde fonksiyonel bağlantıları
bulunan, birbirleriyle ilişkili elemanlar kümesine sistem denir.
Örneğin bir odanın ısıtılmasına bakacak olursak:
Giriş: (Input) Bir dış enerji kaynağından sisteme uygulanan uyarıdır.
Çıkış: (Output) Denetlenen sistemden elde edilen cevap.
Karşılaştırıcı: Arzu edilen değeri karakterize edilen sinyal ile geri besleme sinyali
arasındaki farka eşit bir hata sinyaline dönüştüren elemandır.
Açık Çevrimli Sistem: Kontrol elemanının çalışması sistemin çıkışından bağımsız ise bu
sisteme açık çevrimli sistem denir.
1
Sistem Dinamiği ve Kontrol
Örneğin bir tost makinası kontrolü:
Kapalı Çevrimli Sistem: Bir taşıtın süspansiyon sisteminin bilgisayarla kontrol edilmesidir.
Örneğin kapalı bir hidrolik çevrim:
Biyolojik Kontrol Sistemi:
2)
LİNEER SİSTEMLERİN CEVABI:
A – Lineer Diferansiyel Denklemler ve Sistemler:
Bağımlı değişkenin kendisi veya türevleri birinci derece ise terim lineerdir. Lineer terimlerin
toplamından oluşan diferansiyel denklem lineerdir. Lineer ve non-lineerlik için şu örnekler
verilebilir:
2
Sistem Dinamiği ve Kontrol
x + x 2 = 0
: non-lineer
x + t 2 .x = 0
: lineer
x + x = 0
: non-lineer
x + Sinx = 0
: non-lineer
x.x + x = 0
: non-lineer
NOT:
•
n
∑ ai (t)
i=0
di y( t ) m
di x( t )
b
(
t
)
=
∑
i
dt i
dt i
i=0
formundaki her diferansiyel denklem lineerdir.
• Süperpozisyon prensibini sağlayan bir sistem lineerdir.
Süperpozisyon
Prensibi:
Bir
lineer
sistemin
kendisine
aynı
anda
etki
eden
x1( t ), x 2 ( t ), ...., x n ( t ) inputlarından kaynaklanan cevabı y(t), her bir inputa ayrı ayrı olan
cevapların toplamına eşittir. Yani output y i ( t ) , sistemin x i ( t ) inputuna cevabı ise, sistemin
x( t ) = c 1.x 1 ( t ) + .... + c n .x n ( t ) girişine cevabı y( t ) = c 1.y 1 ( t ) + .... + c n .y n ( t ) olacaktır.
Convolution İntegrali: Bir lineer sistemin input output ilişkisi aşağıdaki integralle
tanımlanabilir:
+∞
y( t ) = ∫ h( t, τ).x( τ).dτ
−∞
y(t)
: çıkış (output)
x(τ)
: giriş
h(t,τ) : sistemin fiziksel özelliklerini belirleyen bir
fonksiyondur.
Buna
ağırlık
fonksiyonu
veya
sistemin impulse cevap fonksiyonu da denir.
NOT: Convolution integrali sistem cevabının sadece inputtan kaynaklanan kısmını
(zorlanmış cevabını) verir. Yani sistemin başlangıç koşullarına olan cevabını (serbest
cevabını) vermez.
3
Sistem Dinamiği ve Kontrol
B – Karakteristik Denklem:
Sabit katsayılı bir lineer adi diferansiyel denklemi göz önüne alalım:
an
dx
dm x
dy
dn−1y
dn y
+
+
+
+
=
+ .... + b1
+ b 0 .x
a
.
y
b
....
a
a
n −1
1
0
m
n
n −1
m
dt
dt
dt
dt
dt
an
dy
dn−1y
dn y
+
+ .... + a1
+ a 0 .y = 0
a
n −1
n
n −1
dt
dt
dt
Di =
homojen denklem olarak adlandırılır
di
, i = 1, 2, ...
dt i
(a .D+a.D+....+a.D+a
).y = (b
n
n −1
n
dif. denkleminde
n −1
1
0
m
)
.D m + .... + b1.D + b 0 .x
karakteristik polinom
a n .D n + ... + a1.D + a 0 = 0
ÖRNEK:
denklemi ise karakteristik denklem olarak adlandırılır.
d2 y
dy
dx
+3
+ 2.y =
+x
2
dt
dt
dt
D 2 + 3.D + 2
diferansiyel denklemini göz önüne alalım.
: karakteristik polinom
D 2 + 3.D + 2 = 0 : karakteristik denklem
⇒
D1 = −1 , D 2 = −2
C – Lineer Sabit Katsayılı Adi Diferansiyel Denklemlerin Çözümü:
n
∑ ai
i=0
di y m di x
= ∑ bi
dt i i=0 dt i
şeklindeki bir diferansiyel denklemi göz önüne alalım
başlangıç şartları: y(0) ,
serbest cevap
dy
dt
,....,
t =0
dn−1y
dt n−1
olsun
t =0
: y a (t)
zorlanmış cevap : y b ( t ) olmak üzere 2’ye ayrılır.
y( t ) = y a ( t ) + y b ( t )
1. Serbest Cevabın Belirlenmesi: y a ( t )
Bir diferansiyel denklemin serbest cevabı girişin “0” olduğu durumdaki çözüm veya başka
bir ifadeyle diferansiyel denklemin homojen çözümüdür.
NOT: Serbest cevap sadece başlangıç koşullarına bağlıdır.
4
Sistem Dinamiği ve Kontrol
ÖRNEK: Aşağıdaki modelin serbest cevabını bulunuz.
d2 y
dy
dx
+3
+ 2.y =
+x
2
dt
dt
dt
başlangıç koşulları:
y(0) = 0
,
dy
dt
= y (0) = 1
t =0
D 2 + 3.D + 2 = 0
ÇÖZÜM: Karakteristik denklem :
D1 = −1 , D 2 = −2
y a ( t ) = c 1.e − t + c 2 .e −2.t
y a ( t ) = −c 1.e − t − 2.c 2 .e −2.t
y a (0) = 0 ⎫⎪
⎬
y a (0) = 1 ⎪⎭
c1 + c 2 = 0
⎫⎪
⎬
− c 1 − 2.c 2 = 1 ⎪⎭
c 1 = 1 , c 2 = −1
y a ( t ) = e − t − e −2.t
2. Zorlanmış Cevabın Belirlenmesi: y b ( t )
Bir diferansiyel denklemin zorlanmış cevabı bütün başlangıç koşullarının “0” olması
durumundaki çözümdür. Zorlanmış cevap y b ( t ) , convolution integrali ile çözülebilir.
⎧t
⎪∫ h(t − τ ).x( τ).dτ
yb (t ) = ⎨ 0
⎪
⎩0
t≥0
t<0
Burada karşımıza çıkan problem ağırlık fonksiyonu h(t)’nin nasıl hesaplanacağıdır.
D – Sürekli ve Geçici Rejim Cevapları:
1. Sürekli Rejim Cevabı: y SS ( t )
Sistem cevabının zaman sonsuza giderken kaybolmayan kısmıdır. Yani,
lim y SS ≠ 0
t →∞
2. Geçici Rejim Cevabı: y T ( t )
Sistem cevabının zaman sonsuza giderken 0’a giden kısmıdır. Yani,
lim y T = 0
t →∞
y( t ) = y T ( t ) + y SS ( t )
5
Sistem Dinamiği ve Kontrol
ÖRNEK: y( t ) =
1
1
+ t − e − t şeklindeki lineer bir sistem cevabının geçici ve sürekli rejim
2
2
cevaplarını bulun.
ÇÖZÜM: Denklemde t = ∞ yazıldığında 0 olan kısım y T , 0 olmayan kısım y SS olur.
1
y T (t ) = − e −t
2
3)
,
y SS ( t ) =
1
+t
2
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ:
Giriş: Laplace dönüşümü zaman düzleminde verilmiş bir bağıntının (bir kontrol sisteminin
davranışını belirleyen diferansiyel denklemin) yeni bir “s” düzleminde ifade edilmesini
sağlar. Bu yeni düzlemdeki s bağımsız değişkeni kompleks bir değişkendir.
s = σ + i.ω
i = −1
Genellikle problemlerin çözülmesinde dönüşüm yolunun seçilmesi, dönüşüm yapılarak
seçilen yeni düzlemde (veya domende) hesapların daha kolay yapılabilmesidir. Mesela
zaman düzlemindeki türev ve integral alma işlemleri Laplace dönüşümü alınınca sırasıyla
cebrik çarpma ve bölme işlemlerine dönüşür. Laplace dönüşümü alınarak geçilen s
düzleminde cebrik işlemler yapıldıktan sonra sonucu zaman düzleminde elde etmek için
ters Laplace dönüşümü alınır. Dönüşümlerin sağlanmasında dönüşüm çiftlerini veren
tablolar kullanılır.
Laplace dönüşümü kontrol sistemlerinin analiz ve dizaynında sisteme ait denklemleri
tamamen çözmeden önce sistem cevabının hızı, hassasiyeti ve kararlılık hakkında
önceden tahmin yapabilmek için birçok analitik ve grafik tekniklerin kullanımına da imkan
sağlar. (Köklerin reel eksenin sağ tarafında çıkması sistemin kararsız olduğunu gösterir.)
A – Laplace Dönüşümü:
f(t) reel bir fonksiyon ve t > 0 olarak tanımlanmış reel bir değişken olmak üzere
6
Sistem Dinamiği ve Kontrol
∞
F(s) = ∫ f ( t ).e −s.t .dt
0
integraliyle tanımlanan F(s) fonksiyonu f(t) fonksiyonunun Laplace Transformasyonu
olarak adlandırılır.
L {f ( t )} = F(s)
7
Sistem Dinamiği ve Kontrol