4.11 – Köklü Sayılar

Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
3. a  R, n  Z ve n tek iken; xn  a eşitliğini
sağlayan bir ve yalnız bir x gerçek sayısı vardır.
4.11 – Köklü Sayılar
4.11.1 – Köklü Sayıların Tanımı
a  R , n tek ve xn  a ise x 
Örneğin, x5  32  x 
Bu bölümde, “kök” dediğimiz sembollerle gösterilen gerçek sayıları köklü sayılar olarak tanıtacak ve bunların gerçek sayıların rasyonel kuvvetleri olduğunu göstereceğiz.
ile gösterilir.
1.
n
anb 
2.
n a 
n
a, x  R  ve n  Z için; xn  a  x 
n
a dır.
n  2 için, 2 a  a olduğunu ve a ya a’nın
pozitif karekökü denildiğini öğrenmiştiniz.
3
3
a dır.
5
 25
 2 ;
43  4 tür.
a, b  R+ ve m, n  Z+ olmak üzere;
x n  a eşitliğini sağlayan x sayısına a’nın
n’yinci kuvvetten pozitif kökü denir.
n  3 için,
32 
x3  64  x  3 64 
a, x  R  ve n  Z  olmak üzere;
na
5
n
Teorem – 4.119
Tanım – 4.70
Bu x sayısı
Muharrem Şahin
3.
n
5.
33  27  3  3 27 ;… dir.
a

b
n

n
n
a  b dir.
am dir.
a
dir.
b
4. m  kn  r ve k, r  Z  için
a ya a’nın küpkökü denir.
Örneğin, 24  16  2  4 16 ;
m
n
am  a k  n ar dir.
mn
a 
mn
a dır.
n
6. 0  a  b 
a
n
b dir.
Tanım – 4.71
a, x  R ve n  Z  olmak üzere;
x n  a eşitliğini sağlayan x sayıları varsa, bu
sayılara a’nın n’yinci kuvvetten kökleri
denir.
Etkinlik – 4.258
Teorem-4.119’u ispatlayınız.
Kök
Tanımlardan şu sonuçları çıkarabiliriz:
dereceleri
a,b  R

tek
iken,
Teorem-4.118’in
için de geçerli olduğunu gösteriniz.
n
1. x  R, n  Z ve n çift iken; xn   x   a  0
olacağından a  R  sayısının n’yinci dereceden
iki gerçek kökü vardır.
Bu kökler, xn  a  x1  n a ve
 x n
 a  x 
n
a  x2  n a
Örneğin; x4  81 ise x1 
4
Örnek – 4.160
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
dır.
a.
3
b.
 3
81  34  3 ve
4
x2   81  3 olur.
2. Bir gerçek sayının çift kuvveti negatif olamayacağından, negatif gerçek sayıların çift kuvvetten gerçek kökü yoktur.
Örneğin; x2  4 ise x  R dir.
4  3 16 
4
7
5
6 5
c.
d.
3
6
3

34 9
5
3
4  16 
5
3
43  4
5
5
5
 37  35  32  35  32  3  5 9
6
35

3
6
3
 
 12 53
34 

3
43
2
3 
2
3
5 
3
3
 32 
3
9
4
 53  4 125
1
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
Muharrem Şahin
Etkinlik – 4.259

Aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur.
 2x  7  x  2 olur.
3
a.
b.
4  3 16  4
5
 53
6
4


5

5
x
3


x 2
a  b  a
5
 b5

7
ise;
2
 x  3 bulunur.
d. a,b  R;
6
ab 
e. a,b  R;
9
a  9b 

5
2x  7  x  2  2x  7  x  2
3
 3 
2x  7 
4
6
c.
5
6
Ç1  3 dir.
a 6b
9
x
ab
f. a  R  ; m,n  Z için,
mn
a 
nm
a
7
ise;
2
2x  7  x  2  2x  7  x  2
 x  5 bulunur.
Ç2  5 dir.
Teorem – 4.120
a  R ve m, n, p  Z
1. p tek ise
Ç  Ç1  Ç2  Ç  3,5 olur.
+
olmak üzere;
mp
a np 
m
mp
anp 
m
a n dir.
Etkinlik – 4.261
2. p çift ise
a
n
dir.
Örneğin;
6
9
2
 2

2 3
 53

3 3
21
 2

3
 531

3
Aşağıdaki denklemlerin R’deki çözüm kümelerini
bulunuz.
3x  43
a.
3
b.
3
1x 
c.
6
x2  4x  4 
d.
18
 2x  1
3
2  2 dir.
 5
 3 5 tir.
6
x2  2x  3
 4x  56
9
2x  73

2

 12 x2  2x  1
Etkinlik – 4.260
Teorem-4.120’yi ispatlayınız.
4.11.2 – Köklü Sayılarla İşlemler
Örnek – 4.161
10
2x  72
3
 15  x  2 
züm kümesini bulunuz.
2
2x  7

15
Teorem-4.119, köklü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinin nasıl yapılacağını belirtmektedir.
Toplama ve çıkarma işlemlerinde de, çarpmanın toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma
özeliğinden yararlanılır.
Çözüm
10
denkleminin R’deki çö-
3
 x  2
Paydalarında köklü sayılar bulunan kesirlerde
paydaları rasyonel yapmak, işlemlerde kolaylık
sağlar. Paydayı rasyonel yapmak için, şu özdeşliklerden yararlanılır:
2
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
a2  b2   a  b   a  b 

  a  b a
Etkinlik – 4.262


a3  b3   a  b  a2  ab  b2
a3  b3
2
 ab  b2
a  0  b olduğuna göre, a  n b ifadesinde a’yı
aşağıdaki koşullarda kök içine alınız.
a. n tek ise
n tek ise;

 a  b  a
an  bn   a  b  an 1  an  2b    abn  2  bn 1
an  bn
n 1
 an  2b    abn  2  bn 1
Bunları örneklerle gösterelim:
b. n çift ise
Örnek – 4.163
Aşağıdaki sayıları, b  Z ve b en küçük olmak
üzere, an b biçiminde yazınız.
b.
54
3
4
c.
32
d.
48
3
48
25
Çözüm
Kök dışındaki sayıları kök içine alınız.
b. 23 3
 2 3
e.   
 3 2


a.
Örnek – 4.162
a. 3 5
Muharrem Şahin
c. 3 4
2
3
d.  2  3 2
g. 2 2  3 3
f. 2 2 2
54  9  6  32  6  3 6
a.
h.
3 5 3
 5
5 3
3
b.
3
32  3 8  4  23  4  2  3 4
c.
4
48  4 16  3 
d.
3
48

25
3
86
2
5

4
3
24  3  2  4 3
23  6  5
53

23
30
5
Çözüm
a  R  için, a  n b 
2
a. 3 5  3  5 
n
an  b dir.
Etkinlik – 4.263
45
a  b  0  c ve a,b, c  Z dir.
3
b. 23 3  23  3  3 24
c. 3  4
d.
2

3
 2  3 2
4 34

3

2

3
Buna göre, aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde
yazınız.
4 3
 23  2
3  2  4 54

3
a.
b.
 a  b 6 c4
e.
3 6 3 2
ab c
c.
4
b  a  a2  b2 
f.
4
16
2
2
 2 3
2 3
e.   
    
3
 3 2
3 2
d.
f. 2 2 2  22  2 2  23 2 
26  2  4 128
g. 2 2  3 3  22  2  3 3  23  3 3 
3
3
2 
3
2
3 5 3
3 5
 5      35 
5 3
5 3

3 3
 5
5
3
3
  5 
5
3
6
4
a5b3
c6
 a  b 5
b  c 7
(“En sade biçim” derken şunlar kastedilir:
-
Kök içindeki üs, kök derecesinden küçük olmalıdır.
-
Kök içindeki üsle kök derecesi aralarında asal
olmalıdır.
-
Kesirlerde payda rasyonel olmalıdır.
-
Kök içinde kesir olmamalıdır.)
3
 6 512  3  6 1536
h.
a2b4c
27
25
Örnek – 4.164
3
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
4
Aşağıdaki sayıların kök derecelerini eşitleyiniz.
a.
c.
3;
3
3
2
4
3;
2
b.
3
d.
3
6
5;
3
5
4

32 31
 27;
2 3 21
 6 25
3 
6
3
3
2 
3
5 
c.
3
3  3 3  
d.
3
3  15  3  15 243;
5
5  15  5  15 125
12
23 21
2
6

4

3
3 1
4

 33  1
3

3 1
  33 1
4
3  1
2   4 3  1



4
2
3 1
3 1
4
3   12

 3 1
 3 1
2  3  1  4 3  1

  3  1  4 3  1
2
2
2
f.
4
b.
5
2
3 3 
3 3  1 
3
3 3   1
4
4

Çözüm
a.
9  33  1

5
5
3;
Muharrem Şahin
34  12 81;
4
2 
12 3
2  12 8
5
3
Etkinlik – 4.264
Aşağıdaki kesirlerin paydalarını rasyonel yapınız.
Örnek – 4.165
Aşağıdaki kesirlerin paydalarını rasyonel yapınız.
a.
d.
4
3
2
1
3
6
b.
e.
2 1
5
4
3
f.
9  33  1
5 1
4
b.
n
n
3 2
2
4 4

 234
2
3 3
2
6

27
5 3

3
6 59
5
1
3

5 1
659
 259
3
2
5 1
4
a.
3
d.
3

5 1
3
3
e.

2 1
2
 2
6
a  b a
2
4  32 1
3
 2
3

 2 1

3
b.
2 3
3 2
32
3
c.
2
3
4 2 2
5 5  5  35
3
2
 ab  b

3
c.
32
3
tür.
4  32 1
6
2 3 
6
1
3
1
3
Çözüm
a.
 a  b  a2  ab  b2   a3  b3


5 34
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
b.
d.
2 3
3
Çarpma ve bölme işlemlerinde önce kök dereceleri eşitlenir.
5 1

5 1


5 5
3
c.
9 6 4
f.
4
3
4 2

6
5
2
e.
3
3
9
c.
2 3
3 1
a  an k  an  a eşitliğinden yararlanacağız.
3
25
3
3
Örnek – 4.166
n k
4
d.
1
b.
2
Çözüm
a.
5
2  4 125
1
c.
27
a.
3
2
6

6
22  33  6 108 olur.
32
6
4
4 2 2 
3

6
6
8  23  2 olur.
6
42  2 2  25 2
1
a
3

3
 b tür.
d.
3
5 5  5  35 
3
53 
6
6
6
210  2 
12 11
2
olur.
3 4
5
6
 53  54  57  5  6 5 olur.
4
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
Çözüm
Örnek – 4.167
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. 4 20  3 45  2 125
c.
6
d.


2 36  33 
6
6
243  72
2 3

3 7
a.
2  33 54  23 16
b.
3 2


3 1


3 1
2
3

2
5
1
3

3
3 2

93 63 4
3
3
3
3  32

3
3
9 6 4

3
3 3 2
9  36  34 5

1

3

9  23 6  3 4
3 7
 3 9  3 6  3 4  3 9  23 6  3 4
2  3  3 54  23 16
3
3
3
3
3
 4 2  9 2  4 2   2
6
3
6
6



3
2 6  3

 3 6
6
6
2 3
6
2  36  9

6
c.

6
8  27

243  72

3 2


 33

3 2




3  2  33
2  1  42
olur.

d.

3 2
3



3 2
3
3 2
3 2 3 2
2
9 2
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
6
3 1
5
1
3
3  32
1
4
2 1

1
3

3 2

3
3

3
2  3  4  3  83 3
3
 12  8  3 3  63 9 olur.
2
3 1
3 1
3  32

3
9  36  34
4
2
Etkinlik – 4.265
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
2  32  42
c.
2
1
3

3
3
b.
2 1

9 2
81  2 3 9  4
Toplama işleminde “önce paydaların rasyonel
yapılacağı” kuralının bir doğa kuralı olmadığını
görüyorsunuz. Duruma göre, önce paydaları
eşitlemeyi de seçebiliriz.
Örnek – 4.168

2  33

3 3
 9
3 1

3
3

2
2 1
1
3
3 5
3 2
2 1
4


olur.

2 1
2 1
3 2
3


 2  1 olur.
2 1
1
3
4
2
2 1



5
2 1
4
6
4

2 1
4

olur.
1
4

72  6 72  6 9  27   35
6
olur.
6
6
  35  32  23  3  2


6 2 6 3
6 3
 3  3  2  3 2


d.

olur.

3
c.

3 1
 4  2  5  3  3  5  2  5  5  7 5 olur.
3
b.
3 1
 3 2 3 2 3  3 3
 26  2  3  33  2  2  23  2
a.
3 1

3 12 4  2 3 4  2 3


6
2
2

a. 4  2  5  3  3  5  2  5  5
d.
3 1

6
b.
2
c.
3 2
 6

Çözüm
b.
Muharrem Şahin
3 2
31
1
 2
2 2
d.
12  6
6
34
96
2
1
 33 3 3  6
2
5
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
Muharrem Şahin
3  1 3 1
Etkinlik – 4.266
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
2
3


3
2
a.
c.
d.
e.
g.

3
2

3 3
6
2 1

6 2 2


2
1
f.

2  43
olur.
Çözüm
Kök içindeki köklü sayılar köklerden çıkarılarak
işlem yapılabilir.
6
6
5  52  33  32  53  35
Daha kullanışlı bir yol izleyelim:
3 5
4 7  4 7
 x2  4  7  4  7  2
Örnek – 4.169
 x2  2
a b
olduğunu gösteriniz.
Bundan yararlanarak; aşağıda verilen, kök içindeki köklü sayıları kök dışına çıkarınız.
b.
 4  7  4  7 
 x2  8  2 9
a,b  R  olmak üzere;
52 6
2
2  43
5 7
a  b  2 ab 
42 3
4  7  4  7 işlemini yapınız.
1
10  15  14  21
c.
74 3
 x   2 veya x  2 bulunur.
Verilen sayının negatif olduğu dikkate alınırsa
x   2 olur.
2 3
Etkinlik – 4.267
Çözüm
a  b  2 ab
gösterelim:
2
6 2
2

Örnek – 4.170
x
a.

2 2 3
12
4  32  1
6
3 1

5 3 3
232
3
2 3 
3 3 16
5

3
4
9
36

6 5
h.
3
b.
9  3 4 3  3 18  2  3 12  6
3
3
1
6
c.
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
ifadesinin bir tamkare olduğunu
a  b  2 ab  a  2 ab  b 
a

a b

b
2 ab
a.
8  2 15  4  2 3
b.
9  4 5  14  6 5
c.
3
9
 2
2 2
2
2
d.
3  5  6  35
e.
3 5  3 5
f.
73 5  73 5
Buna göre;
a  b  2 ab 
a.
52 6 

a b
2


a  b dir.
2  3  3  2 olur.
2  3 23
b.
g.
h.


2  3  11  6 2
2  2  46  4 2
7  4 3  7  2 12  2  3 olur.
43
43
6
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
Muharrem Şahin
Örnek – 4.171
Örnek – 4.172
Aşağıda iç içe sonsuz sayıda köklerle belirtilen
sayıları bulunuz.
Aşağıdaki denklemlerin R’deki çözüm kümelerini
bulunuz.
a.
6 6 6 6...
b.
c.
6  6  6  ...
d.
6  6  6  ...
5
65 65 6...
Çözüm
a.
a.
x  x2
b.
2x  3  x
c.
x2 
d.
x  x  x  ...  5
x 2
Çözüm
a. x  0 olmak koşuluyla,
6 6 6...  x olsun.
x  x2
x
 x  x2  4x  4
 6x  x  x  6 bulunur.
b.
 x2  5x  4  0   x  1  x  4   0
 x  1 veya x  4 bulunur.
6  6  6  ...  x olsun.
Ç  1, 4 dir.
x
b. 2x  3  0 ve x  0 olmak koşuluyla,
 6x x
2
2x  3  x
 x  0;6  x  0
6x  x
 2x  3  x2  x2  2x  3  0
2
 x x6  0
  x  3   x  1  0  x  3 veya x  1 olur.
  x  3   x  2   0  x  3 bulunur.
x  1 değeri koşulları sağlamaz.
c.
olsun.
6  6  6  ...  x
x
Ç  3 dir.
c. x  2  0 ve
 6x  x
x2 
 6  x  x2
 x  0;6  x  0 
 x2
2
 x x6  0
5
65 65 6...  x olsun.
 5 6x  x
5
 x  0
x4  x 
4
bulunur.
6 3 3 3...
3
3 2 3 23 3...
x  x  x  ...  5
5
 x  5  5  x  20 olur.
Aşağıda iç içe sonsuz sayıda köklerle belirtilen
sayıları bulunuz.
3
2

Ç   dir.
6
Etkinlik – 4.268
c.
x 2
1
değeri x  2  0 koşulunu, dolayısıyla
4
denklemi sağlamaz.
d.
a.

x
x
 56 
x 2
 x2 x4 x 4
1
1
 x  x
bulunur.
2
4
  x  3  x  2   0  x  2 bulunur.
d.
x  2  0 olmak koşuluyla,
b.
2 3 2 3 2...
d.
7  12  12  12  ...
Ç  20 dir.
Etkinlik – 4.269
Aşağıdaki denklemlerin R’deki çözüm kümelerini
bulunuz.
7
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
a.
2x  1  x  1
c.
x 2  3 x 1
d.
x  x  x  ...  4
e.
2 x  2 x  6
f.
x  2x  x  2x  ...  3
Tanım – 4.72
x2  x  x  2
b.
Muharrem Şahin
m, n  Z  ve m ile n aralarında asal
aR ;
olmak üzere,
m
a n  R ise
n
m
a n  a m dir.
Örnek – 4.173
4.11.3 – Gerçek Sayıların Rasyonel
Kuvvetleri
2
a  R ; n  m  k ve n, m,k  Z olmak üzere,
m n
a 
m k m
a
m

m
a 
k
 ak 
n
am

Demek ki; a  R ve m n iken,
dir.
m n
a
sayısı
n
am
3
3
9  32  3 3
tür.
b.
4
2  21 
1
24
tür.
c.
3
2 
d.
3
 2   2  3  23 tür.
e.
6
 2 2
a.
4
olarak yazılabilir.
4 8
Örneğin;
4
3 
3 
2
4
 32 
8
34
m n olmak üzere; m tek iken
aR

tür.
m n
a 
n
am
5
3
 4 
6
 2 
  4 
  2 
  4   64 ;
  2   4 tür.
m n
a 
n
am
eşitliği yazılabildiğine
a  ax olsun.
m
 
a  ax  an  ax
 2 3
6
 22

1
3
2  3 2  2 3 ve
2
1
 2 3 olup  2  6   2  3 olmaktadır.
n
m n
n
1
ki;  2  6 
m
göre, bu koşul olmadan da bu eşitliğin yazılabileceğini düşünebiliriz.
m n
2
2 1
  Q olduğundan  2  6 ile
6 3
arasında bir fark olmaması gerekir. Hâlbu2
3
2
m n koşuluyla
2
sayısı  2  6 olarak yazılmaz.
1
 2 3
1
6
3
 23 tür.
2
2
2
Bu durumda;
eşitliği
Örneğin,
15
5
1
1
 21   2 3
Yazılabildiğini varsayalım:
olduğunda da geçerlidir.
15
3
xm
a a
 n  xm
n
x
m
Demek ki; a  R  ve an  R iken am nin tanımlı olması için, m ile n aralarında asal olmalıdır.
Bu durumda, m kesinlikle tek olur. (Neden?)
n
a  R  iken, her m,n  Z için
yazılabilir.
6
 2 2
m n
a  am eşitliği
sayısını yine de üslü biçimde yazmak is-
tersek; kök derecesini ve kök içindeki üssü, aralarında asal duruma getirmemiz gerekir:
1
6
 22

3
3
2  21  23
n

m n
a  am olur.
Öyleyse; köklü gerçek sayıların, gerçek sayıların rasyonel kuvvetleri olduğunu söyleyebiliriz.
8
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
Muharrem Şahin
2. yol
Teorem – 4.121
+
a, b  R ve m, n  Q olmak üzere;
3
1 12 4 3 1 12 6
 3 3 3  3  3
3
3  433
1. am  an  am  n dir.
2.
a 
m
n
36
c.
 a m  n dir.
3  4 2  6 3 2  3 işlemini yapalım.
1. yol
n
3.  a  b   a n  bn dir.
1
36
n
an
a
4.    n dir.
b
b
5
n
36
am
1
 am  n  n  m dir.
n
a
a
d.
3
3
25  12 2 
3

Örnek – 4.174
2
3
4
9
işlemini yapalım:
2
3
3
3
4
 
9 3
2
 2 3
 
3
1
 2 6
 
3

6
2
3
25  12 2 
b.
3
1
 212

3
4 5
3
10
2
26
1
 54
1
26
1
 56


2 1 1 1 1
 
 
 53 4 12 6 6

1
23
2
 53

3
4

9
3  433
2
1
6
4
 
2 9 
3
 
3
3

63
2
   
2 3
4

6
2
3

3
2  45
34
2 5
3
2  45
34
2 5
65
işlemini yapalım:

1
26
1
 512
1
1
212  56
 3 2  3 25  3 50
3  433
1

3
1
 34
1
 312
12
3
4 5
3
10

3
2  45
34
2 5
24  53 22  5

22  52 2  52
3
24  58  2  52  3 50
Tabanların negatif olması durumunda Teorem4.120 geçerli değildir.
Örneğin;
1
1
işlemini yapalım.
3
1
33
25  12 2 
1
 2 2  2   2 2 2 ;


1/2
 2    8  
1. yol
3
2
53
 12 58  2 
Kök derecelerinin 6’da eşitlendiğine dikkat ediniz.
2
3
10
2
26
3
1

2 2
2. yol
1
4 5
36
3  23  22  33 
2. yol
1. yol
1
36 2
3  42  6 32  3 
Köklü sayıların üslü gösterimleri, köklü sayılarla
işlemlerde iyi bir seçenek oluşturur.
3
65
1. yol
Teorem-4.121’i ispatlayınız.
1
36
2. yol
Etkinlik – 4.270
a.
1
5
 236  336 
1
1
5.    n  a  n dir.
a
 
a
6.
1
1
3  4 2  6 3 2  3  318  212  218  312

4  3 1
3 12

1
32
 3
1
1
  2 2   8 2 olur.
Böyle durumlarda, üslü sayılarla işlemleri hatasız yürütebilmeniz için, tabanları pozitif yapmanızı öneriyoruz.
Şöyle ki:
9
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
2x 1
a  R  ve m, n tek ise,
m n
a 
aR
m

a
n

n
m
a
2
a.  
3
n
  am ;
n
a 
m
a
n
3x  2
3
 
2
1
b.
ve n çift ise,
m n
Muharrem Şahin
 x  1 3

6
3x  72
n
 am  a m dir.
Çözüm
2x 1
2
a.  
3
Örnek – 4.175
3x  2
3
 
2
2x 1
1
1
1
2
a.  2 3   2   4  23  22


 
1
1
1
4
5
 23  2 2  2 6  6 32
1
46
1
3
b.  9    3



2
 33
2
 33


4
3 3
1
32 3
3x  2
2
2
 
 
3
 3
 2x  1  3x  2
1
x
bulunur.
5
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
 1
Ç    dir.
 5
1
34 6
   
1
b.
 x  1 3
3
  34  3  3 3

6
3x  72
1
  x  1 3 

Üslü denklemler ve eşitsizliklerle ilgili olarak
üslü sayılar bölümünde verdiğimiz teoremler, tabanların pozitif gerçek sayılar olması durumunda,
rasyonel üsler için de geçerlidir.
3
3x  7
1
1
  x  13   3x  7  3
 x  1  3x  7
x
olur.
7
iken;
3
x  1  3x  7  x  1  3x  7
Teorem – 4.122
+
a, b  R ve m, n, x, y  Q olmak üzere;
1. am  an  m  n dir.
2. a n  bn  a  b dir.
a x  bm 
x m
3.

dir.

y
n
a y  bn 
 x  2 bulunur.
Ç1  2 dir.
x
7
iken;
3
x  1  3x  7  x  1  3x  7
 x  3 bulunur.
Ç2  3 dir.
Ç  Ç1  Ç2  Ç  2,3 olur.
Etkinlik – 4.271
Teorem-4.122’yi ispatlayınız.
Örnek – 4.176
Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
Örnek – 4.177
6x  12 ve 18y  6 olduğuna
türünden değerini bulunuz.
göre,
y’nin
x
Çözüm
6x  12  2x  3x  22  31
10
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
 2x 2  31 x ; 
a.
18y  6  2y  32y  2  3
y 1
1  2y
2
0,22x 1  5x  2
 52x 1  5x  2
olur. 
3
Muharrem Şahin
 2x  1  x  2  x 
 ve  den;
1


Ç  x x 
, x  Q  dir.
3


x2
1x

y  1 1  2y
 x  2xy  2  4y  y  xy  1  x
 3y  xy  1
y
1
3x
1
b.
2
1
Eşitsizliklerde, iki tarafın tek kuvvetinin alınabileceğine dikkat ediniz.
1
3x 1
2

b. x2  4x  4

1
2

1
1
1
 1  3  1 3

olur.

 
 
2x  1 x  2
 2x  1 
x  2
x 1
3
x  2 iken;
1
1

2x  1 x  2
 x  2  2x  1
Teorem – 4.123
1. a, b  R+ ve n  Q olmak üzere;
n
1
 x  2 3
 1 3  1 3

 
 olur.
 2x  1 
x  2
Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
x 1
2x  1 3
1
bulunur.
Etkinlik – 4.272
1
a.  
 4
1
bulunur.
3
n
a  b  a  b dir.
x3
2x  1   x  2   0
bulunur.
Ç1   dir.
2. 0  a  1, a  R ve m, n  Q olmak üzere;
am  a n  m  n dir.
2  x 
3. a  1, a  R ve m, n  Q olmak üzere;
1
iken;
2
Eşitsizliğin sol tarafı negatif, sağ tarafı pozitif
olacağından eşitsizlik sağlanır.
am  a n  m  n dir.
1

Ç2   2;  dir.
2

1
iken;
2
Etkinlik – 4.273
x
Teorem-4.123’ü ispatlayınız.
1
1

2x  1 x  2
 x  2  2x  1
x3
Örnek – 4.178
x 2
a.
0,2
b.
2x  1 3
c.
 x  1 3  2x  1 3
1
2
bulunur.
Ç3  3;   dır.
Aşağıdaki eşitsizlikleri çözünüz.
2x 1
2x  1   x  2   0
1

Ç  Ç1  Ç2  Ç3  Ç   2;   3;   olur.
2

 x  Q
5
1
 x  2 3
2
c.
2
 x  1 3  2x  1 3
2
Çözüm
11
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
2
4.11.4 – Sayı Sistemlerine Genel Bakış
2
 1 3  1 3

 

 x  1
 2x  1 
2
Rasyonel ve irrasyonel olarak sınıflandırdığımız
gerçek sayılar, cebrik ve transandant [transcendental(İng.)-Üstün] olarak da sınıflandırılır.
2
 1 
 1 

 

 x  1
 2x  1 
1
1
1
1




x 1
2x  1
x 1
2x  1
 2x  1  x  1

1 

olur.  x  1,  
2 


Tanım – 4.73
an , an  1 ,..., a1 , a0  Z ve n, n  1,...  N
x  1 iken;
olmak üzere;
2x  1  x  1  2x  1   x  1
an x n  an 1 x n  1  ...  a2 x2  a1 x  a0  0 gibi bir
cebirsel denklemi sağlayan bir x sayısına cebrik
sayı denir.
Bu türden bir denklemi sağlamayan sayılara ise
transandant sayılar (üstün sayılar) adı verilir.
 x  2 bulunur.
Ç1   dir.
1  x 
Muharrem Şahin
1
iken;
2
2x  1  x  1  2x  1  x  1
 x  0 bulunur.
a
rasyonel sayısının bx  a  0 denklemini
b
sağlayacağı açıktır.
Her
 1
Ç2  0;  dır.
 2
x
Öyleyse; her rasyonel sayı bir cebrik sayıdır.
Buradan, transandant sayıların irrasyonel sayılar
olduğu sonucu çıkarılır.
1
iken;
2
2x  1  x  1  2x  1  x  1
Sinx, cosx, tanx ifadelerini tanıyorsunuz.
 x  2 bulunur.
a  Q iken sin a0 , cos a0 ve tan a0 nin cebrik
sayılar oldukları ispatlanmıştır.
1 
Ç3   ;2  dır.
2 
Açıların değerleri derece cinsinden değil de
radyan cinsinden verildiğinde bazı özel değerler
dışında, a  R iken sina, cosa ve tana sayıları
transandanttır.
 1 1 
Ç  Ç1  Ç2  Ç3  Ç  0;    ;2  olur.
 2 2 
Örneğin; sin2 transandant bir sayıdır. (Burada
2, 20 yi değil 2 radyanı gösterir.)
Etkinlik – 4.274
a  R olmak üzere;
Aşağıdaki eşitsizlikleri çözünüz.
2
a.  
5
x 2
 25 


 4 
x 1
c. 3x  1  4
g.  x  4 


3
5
2
3
1
b. 2x  13  3
2
3
e.  4x  3
d. 5x  2 
1

5
4
Çemberin uzunluğunun çapına oranı olan
  3,1416...
sayısının
transandant
olduğu
ispatlanmıştır.
2
4
f.  x  3  5  2x  9  5
9
 3x 
sin x  a, cos y  a ve tan z  a eşitliklerini sağlayan x, y, z R sayıları, bazı özel değerler dışında, transandanttır.

3
5
h.  x  2 

4
5
 2x  7 

4
5
Tanım – 4.74
a  R  olmak üzere; 10x  a eşitliğini sağlayan x sayısına a’nın 10 tabanına göre logaritması denir. Bu x sayısı log 10a ya da loga biçiminde gösterilir.
12
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
10
x
Demek ki; karmaşık sayılar kümesi hem gerçek,
hem de sanal sayılar kümelerini kapsayan en
büyük sayı kümesidir.
 a  x  loga dır.
a sayısının 10’un tam kuvveti olmadığı durumlarda loga sayısı transandanttır.
Örneğin;
10x  2 eşitliğini sağlayan log2  0,301029 …
sayısı bir transandant sayıdır.
Tam sayıların irrasyonel kuvvetleri transandanttır. ( 2 2 gibi.)
Bir transandant sayının (örneğin ) cebrik sayılarla çarpımı veya toplamı olan tüm sayılar
transandant olacağından, transandant sayıların
cebrik sayılardan çok çok fazla olduğu söylenebilir.
Tanım-4.73’e dayanarak, gerçek sayıları aşağıdaki gibi sınıflandırabiliriz:
Gerçek Sayılar
Cebrik Sayılar
Transandant Sayılar
(Tümü irrasyoneldir.)
Rasyonel S.
İrrasyonel S.
Gerçek bir büyüklüğe karşılık gelmeyen sanal
sayıları var saymanın bir işe yaramayacağı düşünülebilir. Ancak; gelişen bilimde, karmaşık sayılar
kümesindeki işlemler geniş uygulama alanları
bulmuştur.
Karmaşık sayılar kümesini 11. sınıfta inceleyeceksiniz. Biz burada cebrik sayılara birkaç örnek
vererek konuyu bağlayalım:
Örnek – 4.179
Aşağıdaki sayıların cebrik sayılar olduğunu gösteriniz.
a.
3
b.
5
c.
2 1
x2  1  0 denkleminin gerçek kökleri yoktur.
Ancak; gerçek bir büyüklüğe karşılık gelmeyen
1 sayısının bulunduğu bir sayı kümesinde bu
tür denklemleri de çözebiliriz:
x2  1  0  x2  1  x   1 bulunur.
2
1  i dersek, x  1  0  x   i olur.
i sayısına sanal sayı birimi denir.
Tanım-4.73’de belirtilen bir cebirsel denklemin
gerçek sayı olmayan kökleri i türünden yazılabilir.
d.
3
3  39
Çözüm
a.
3
5  x  5  x3  x3  5  0
5 , tam kat sayılı bir cebirsel denklemin kökü
olduğundan bir cebrik sayıdır.
b. x  2  1  x  1  2  x2  2x  1  2
 x2  2x  1  0
c. x  1  2  3  x2  1  2  3
 x2  1  2  3  x4  2x2  1  2  3

 x4  2x2  1
2

3
 x8  4x6  2x4  4x2  2  0
d. x  3 3  3 9 diyelim.
 x2  3 9  3  3 3  6
x2  4x  7  0
 x2  4x  4  3
2
 x2 

3

9  3 3  6  23 3
2
3
  x  2   3  1
 x x6 2 3
 x2   3 i
 x2  x  6
 x  2  3 i
1 2 3
3
Sayıların öyküsü burada bitmiyor.
Örneğin;
Muharrem Şahin

olur.
Böylece ortaya çıkan,
C  z z  x  yi; x, y  R kümesine karmaşık
3

 24
olur.
Eşitliğin sol yanı açılıp ifade sıfıra eşitlenirse,
tam kat sayılı bir cebirsel denklem elde edileceğinden,
3
3  3 9 bir cebrik sayıdır.
sayılar kümesi denir. x  yi sayılarının C kümesi
y  0 iken gerçek sayılar kümesine, x  0 iken
sanal sayılar kümesine eşit olur.
13
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
Alıştırmalar ve Problemler – 4.12
1.
e.
Aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
Yanlış olanları, doğru önermelere dönüştürünüz.
3
a. a  R;
a
a
1
2 2
a 
b. a  R;
5.
12 4
a
3
e. a  R;
4 2
a  a2  a
a 3a 
a.
c.
4
3
 3
2
 4

3
m n
a 
18
b.
3
a.
a3b3c2
b.
3 4
c.
4 2 2 2
a c d
d.
4 a5
e.
6
 a  b 6  a  b 2
f.
e. x  R, x  2;
6.
2
 x  2
 2

3 2
5
3

2

b. 3  3 2
f. 2  3 22  2
e.  3 3 3
h.

c. 2  3
2

7.
3 2
d.
j.
d.  2  6
2
9
33
3
4
m.

2 2  2 2
p.
4.
Aşağıdaki sayıları, b  Z ve b en küçük olmak üzere, a  n b biçiminde yazınız.
a.
63
b.
3
48
c.
4
32
125
d.
3
4
4,
5
5
65  122
8.
b.
15
x 2
g.
3,
b.
5
3
5
4,
8,
7
32
Aşağıdaki kesirlerin paydalarını rasyonel yapınız.
a.
3
2
3
2,
d. 24 15,  30 20,  36 24
Kök dışındaki sayıları kök içine alınız.
a. 4 2
 a  b 7
 c  d5
c. 3 4,  4 6,  6 8
g.
3.
6
b  c 5
Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru
sıralayınız.
a.
x2  2x  1  x  1
f. x  R;
a  b3c
n
m a 
6

d.
2
10
244  1011
a
Aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
Yanlış olanlarını, doğru önermelere dönüştürünüz.
9
5
f.
6 5
f. a  R ve m,n  Z için
2.
2  106
a  b  0  c  d ve a,b, c, d  Z dir.
2
3
5
Buna göre, aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazınız.
 1
c. a  R;  a2   a
 
 
d. a  R;
Muharrem Şahin
20
3
e.
25  2
3 3
4 3
2 3 5
3
6
3
3 3
r.
6
3
f.
8 39
2 1
i.
4
2 2
2
k.
3


3 1
5
2  33
534
233  34
2
l.
5 3
n.
3  33
c.
49
632
4
h.
1 3
6
7
3
1 2  3
3
7
2  42
o.
2
1 32  34
6
12
s.
3 2  3 2
3
6
3 3
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
3
3  32
b.
3 33  43
14
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
3
c.
3
6  122
e.
g.
d.
2 2 2
7
f.
83 2 2
3
5
9 3  43
5
6
5
3
4 2

1
3
4 2
11. a  4 3  4 2 ve b  4 3  4 2 olduğuna göre,
a
2
6  3 24
6
3 6 
j. 4  3
 18 


20  6 40
1
h.
 35
12  3 6
h.
10  3 4 10
i.
5
Muharrem Şahin
 b2

4
kaçtır?
12. x  3 a  4 a ve y  a  3 a
olduğuna göre,
y’nin x türünden değerini bulunuz.
13. x  3 2 ve y  3 olduğuna göre,
9.
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
aşağıdaki sayıları x ve y türünden yazınız.
a. 3  3 4  3 108  3 500
a.
b.
3
81  3 24  3  3
d.
4
3
4
5

e. 2  3 2  4 3  4 27
f.

3 1

h. 
g.
6
3
3

15 
3
3
3
3
2
a2
4
72
3
 16a4
3a 64
4
2 a2
15. a,b,c R olmak üzere, aşağıdaki ifadelerde
 32  2 
3   50  10  2 
6
a. 3a2  3
b. 2  324a2 
 6 108  3 2 
72  3 3
6
nız.
3 4  43 3 43

b.
48
14. aR olduğuna göre, aşağıdaki işlemleri yapı-
9 8
3
6
2 3
2
c. 2  54 
4
1
9
3
3
köklü çarpanlar birer gerçek sayıdır.
Buna göre, çarpımları en sade biçimde yazınız.
a.
4 2
6
a  a4
b.
a  b 1  c2  a  b3  c 4
10. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
5
3
7


3
5
15
a.
b.
3
2
2 1
4
d.
e.
f.
g.
3
2 3
3
1
6
5 2
5  33
1
6
2 1


b. f : 1;3  R; f  x 
c. f : 4;    R; f  x 
4  65
3
3
17. x  3 a2 , y  4 a3 ve z  7 a6 veriliyor.
3
5 4
6
1
3
 x  22
2  43

3
4  32 1
1


a. f :  ; 4  R; f  x 
2

 x  42
olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonların kurallarını en sade biçimde yazınız.
81 3 5

25
9
3
c.
16. f : R  R; f  x  
5
25  3 15  3 9
aR olduğuna göre;
a. 0  a  1 ise x, y, z’yi sıralayınız.
b. a  1 ise x, y, z’yi sıralayınız.
1
6
2 1
15
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
18. Kök içindeki köklü sayıları kök dışına çıka-
1  1  x2  1  1  x2
biçimde yazınız.
rınız.
a.
15  2 14
b.
15  6 6
c.
9
 2
4
d.
1
e.
5  21
f.
g.
33 3 
i.
2
1 3
5 6  12
12 6
4
4
ifadesini en sade
22. Aşağıda iç içe sonsuz sayıda köklerle belirtilen sayıları bulunuz.
56  24 5
h.
j.
5
9
Muharrem Şahin
a.
17  12 2
68  48 2
19. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
b.
3 3 3...
3
93 93 9...
c.
5
4 45 4...
d.
3 5 3 5...
e.
3
4 23 4 2...
f.
2 : 2 : 2 : ...
5
g.
20  20  20  ...
h.
30  30  30  ...
a.
5  21  5  21
b.
6 3 3  63 3
lerini bulunuz.
c.
4  15  4  15
a.
x  x 2
b.
3x  4  x
d.
28  16 3  21  12 3
c.
x7 
d.
x2  2x  x  1
 3  3  12  6 3
f. 2 2  3 51  36 2
g.  10  2 2   45  20 5
h. 2 3  4 2  88  32 6
e.
4 x  4 x  2
f.
x  2x  x  2x...  1
g.
3  x  x  x  ...  3
h.
x  2  x  2  ...  2
23. Aşağıdaki denklemlerin R’deki çözüm küme-
e.
i.
j.
3  6  4 60  24 6
24.
2 2 3
x 1
22  1  32  1  42  1... n2  1  24 15
olduğuna göre, n kaçtır?
64 2 64 2
k.
l.
2 3
74 3

25. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
2 3
74 3
1
1
2
a. 152  453  753
3 22
3 1 
3 22
3 1
20. 2  x  2 olmak üzere;
2  4  x2 ifadesini
zınız.
a  b biçiminde ya-
1  1
1  5
1
 1
b.  3 4  2 4   3 4  2 4   36  72 6 








1
5  5
1
1
 1
c.  5 6  153  3 6   56  36  153 






2
21. 1  x  0 olmak üzere;
 1 3 2
2
d.  2 6   2 9   2  9
 
 
1
2 6

   2  3 


16
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
26. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a.
3
b.
4
4
Muharrem Şahin
2
3
2 10  125  100  25 10
3
6 3
4
3 6
4

1
c. 2x  1 3   x  13
2
1
d.  x  1 5   x  5 5
18  3 6
8
3
 4 2
6  3 12

e. x2  6x  9

1
2
x  R 
4
f. 3x  1 5   x  3  5
denklemleri kurunuz.
b.
x  R
 2x  3
4
27. Birer kökleri aşağıda verilen tam kat sayılı
a. 2
x  R 
x  R 
4
3
c.
f.
2 3
3
d.
2
3 1
g. 3x  4  7  1
x  R 
2
e.
3
2 5
h.
3
2 3
g.
4
1 2  3
h.  4x  2  3  2
x  R 
34. Aşağıdaki önermelerden hangileri doğrudur?
 
28. x2
1
6
3
5
a. 70,7  70,5
5
 x5  x9
0,3
0,3
c. 0,5 
koşullara göre yapınız.
a. x  R 
0,5
  0,7 
3
b. x  R 
d. 0,3 
3
g. 80,3  40,5
0,3
  0,5 
5
 5 7  3 7
e.       
 8
 4
29. a  2 3  8 ve b  2 6  5 olduğuna göre,
3
b. 0,2    0, 2 
işlemini, aşağıda belirtilen
7
 3 3  3 5
f.       
 5
 5
h. 0,3 
0,5
 0, 09 
0,2
1
1


 3
 1  3
A  a2  a 2  b 3 

 

 

3  2
1

  

1
 a  b 3  

 

 

35. Aşağıdaki eşitsizlikleri çözünüz.
a. 253x  4  125x 1
2x  1
ifadesinin sayısal değeri kaçtır?
 9 
b. 

 25 
30. 2x  10 olduğuna göre, aşağıdakilerin değerlerini bulunuz.
a. 4
x
x 3
b. 2
x 1
c. 8
d.
x 1
2 2
  0,6 
5x
 x  Q
x 2
 42x  3
c. 0,5 
 x  Q
 x  Q
1
d. 1  2x 3  2
x  R 
1
e. 2x  5  4  3
a
x
31. 6  3 ve 12  2 olduğuna göre, x’in a türünden değerini bulunuz.
32. 2x  3y  6z olduğuna göre, z’nin x ve y türünden değerini bulunuz
33. Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
a. 53x 1  251 2x
3
b.  
7
x 2
 x  Q
2x  5
7
 
3
x  Q
x  R 
2
f. 2x  3  3  9

1
3
 31
x  R 

2
3
 41
x  R 
g.  4x  1
h. 3x  1
i. 5x  3 

x  R 

1
2
2
j. x  2x  1
1
x  R 
 2

1
2
x  R 
2
1
k. 5x  2  3   4x  3 3
x  R 
17
Köklü Sayılar
Bölüm – 4.11
2
2
l.  4x  3 5  2x  15
m.  x  2 
n.  x  1


Muharrem Şahin
5
7
1
4
 2x  1
 2x  3 
x  R 


5
7
1
4
x  R 
x  R 
18