DERSİN ADI: TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ ( GOT101, 3T+

DERSİN ADI: TEKNOLOJİNİN BİLİMSEL İLKELERİ ( GOT101, 3T+1U)
DERSİ VEREN ÖĞRETİM ELEMANI : Yrd. Doç. Dr. Fahrettin ÖVEÇ
DERSİN İÇERİKLERİ:
1-Fiziksel Büyüklükler ve Boyut Analizi (Temel ve Türev Büyüklükler, Birim Sistemleri,
Birim dönüşümleri)
2- Skaler ve Vektörel Büyüklükler
3-Statik(Kuvvetler, Kütle, Hacim,Yoğunluk, Kütle ve Ağırlık
Merkezi, Denge,
4-Kinematik(Yol, hız, zaman kavramları arasındaki ilişki, İvmeli ve İvmesiz
Moment)
hareketler,
hareketlerin grafiksel temsili, yörüngesel hareket,)
5-Dinamik(Newton’un I, II ve III Hareket Kanunları, Sürtünmeli Hareket)
6- İş, Güç ve Enerji(İş Tanımı, Kinetik ve Potansiyel Enerji, Verim, Diğer Enerji Türleri)
7-Elektrik ve Magnetizma(Elektrik Yükleri, Elektriklenme, Coulomb Kanunu, Akım,
Potansiyel, Ohm Kanunu, Direnç, Dirençlerin Bağlanması, Mıknatıslanma,
8-Madde Yapısı ve Özellikleri(Tanımlar, Oksitlenme, Kırılganlık, Esneklik, Genleşme ve
Boyca uzama)
9-Katılarda ve Akışkanlarda Basınç(Tanımlar, U-tüpü, Açık hava basıncı, Basınç ölçerler)
Yararlanılan Kaynaklar:
1. Modern Üniversite Fiziği; Cilt-1, Mekanik, Isı ve Termodinamik
Yazarlar:. Sears-Zemansky
Çeviren : Prof. Dr. F. DOMANİÇ
Prof. Dr. N. ZENGİN
Prof. Dr. E. ERDİK
Yayınlayan: Çağlayan Basımevi
2. Üniversite Fiziği:
Yazar: Harris BENSON
Yayınlayan:John Willey & Sons
3. Fiziğin Temelleri; Cilt-1 Mekanik ve Termodinamik
Cilt-2 Elektrik
Yazarlar: Halliday/Resnick
Çeviren : Prof. Dr. Cengiz Yalçın
4. Berkeley Fizik Serisi: Cilt-1 Mekanik
Cilt-2 Elektrik ve Magnetizma
TEKNOLOJİNİN BİLKİSEL İLKELERİ DERS İÇERİKLERİ( GOT101)
1-Fiziksel Büyüklükler(Temel ve Türev Büyüklükler, Birim Sistemleri)
2-Statik(Vektörel ve Skaler Büyüklükler Kuvvetler, Kütle, Hacim,Yoğunluk, Kütle ve
Ağırlık Merkezi, Denge, Moment)
3-Kinematik(Yol, Hız, Zaman Kavramları Arasındaki İlişki, İvmeli ve İvmesiz
Hareket, Hareketlerin Grafikleri, Dairesel Hareket ,Viraj Alma Problemi)
4-Dinamik(Nevton’un I, II ve III. Kanunları, Sürtünmeli Hareket, Momentum)
5- İş,Güç ve Enerji(İş Tanımı, Kinetik ve Potansiyel Enerji, Verim, Diğer Enerji Türleri)
6-Madde Yapısı ve Özellikleri(Tanımlar, Oksitlenme, Kırılganlık, Esneklik, Genleşme ve
Boyca uzama)
7-Elektrik ve Magnetizma(Elektrik Yükleri, Elektriklenme, Coulomb Kanunu, Akım,
Potansiyel, Ohm Kanunu, Direnç, Dirençlerin Bağlanması, Kondansatörler
Mıknatıslanma, Elektromağnetik İndüksiyon, Transformatörler, Elektrik Motorları)
8-Akışkanlarda Basınç(Tanımlar,U-tüpü, Basınç Ölçerler)
9-Elektromağnetik ve Mekanik Dalgalar (Dalga Tanımları, Frekans, Peryod, Genlik,
Frekans
Bantları , Yansıma ve Kırılma )
2
BÖLÜM-1
1.1 Fiziksel Büyüklükler ve Birim Sistemleri
Çevremizde görünen veya algılanan varlıkları(nicelikleri) tanımlamak, kıyaslamak ve
ifade etmek için ortak bir dil kullanma zorunluluğu vardır. Farklı kültürler ile diller
arasındaki karmaşayı gidermek ve herkesçe ilk bakışta anlaşılabilmesi için bilinen tüm
fiziksel büyüklükler uluslararası belirli semboller ile ifade edilmektedir. Tüm fiziksel
büyüklükler genellikle ingilizce karşılıklarının baş harfleri ile sembolleştirilmiştir.
Fiziksel büyüklükler;
içinde başka
hiçbir
büyüklüğü
barındırmayan Temel
Büyüklükler ve temel büyüklüklerin çeşitli kombinezonlarını içeren Türev Büyüklükler
olarak iki temel grupta değerlendirilir.
Temel Büyüklükler:
1. Uzunluk
( Long : L )
2. Kütle
( Mass: M )
3. Zaman
( Time :T )
5. Elektrik Yükü ( Quart: Q )
Türev Büyüklükler:
S=L.L=L2
1. Yüzey
( Space:
S) ,
2. Hacim
( Volume:
V) ,
V=S.L=L.L.L=L3
3. Hız
(velocity:
v) ,
v=L/T
4. İvme
(accelaration:
a),
a=v/T=(L/T)/T=L/T2
5. Kuvvet
(Force:
F) ,
F=a.M=( L/T2 ).M=(L.M)/ T2
6. Akım şiddeti( İntencity:
I) ,
I=Q/T
7. İş
( Work:
W) ,
F.L= =[(L.M)/ T2 ].L= (L2.M)/ T2
8. Güç
(Power:
9. Basınç
(pressure:
P) , P= W/T= (L2.M)/ T
p) , p=............ ?
10. Hacimsel Yoğunluk(density: d) ,
d=............?
11. Elektrik alanı( Electric Field: F) , E=............?
12. Moment
( Torque:
Γ) , Γ=............?
13. Sığa
(Capacity
C) , C=...........?
13. Direnç
(Resistance:
R) , R=............?
3
Birim Sistemleri
Fiziksel büyüklükleri ölçmek için kullanılan temel birim sistemleri üç tanedir. Türev
büyüklüklerin birimleri temel büyüklüklerin birimlerinden oluşturulur. Bazı türev
büyüklüklerin birimleri özel tanımlara sahiptir.
Birim Sistemi
Uzunluk
Kütle
Zaman
Elektrik Yükü
CGS
cm
gr.
s
esyb
MKSA(SI)
m
Kg
s
A(c/s)
MKfS
m
Kg-Kuvvet
s
A
Örnek 1: Güç birimini MKSA birim sisteminde ifade edimiz.
Çözüm:
P
W Nenton.metre N .m Joule



 Watt
T
saniye
s
s
Örnek 2: Basınç birimini MKSA birim sisteminde ifade ediniz.
Çözüm:
p
Kuvvet F
N
N
 
 2  paskal
Yüzey
S m.m m
ÖDEVLER
1. Γ dönme momentinin birimini CGS birim sistemindeki ifadesi nedir?
2. 20Km/h = ? m/s
3. N.m birimi hangi fiziksel büyüklüğü tanımlar?
4. 2000N kaç dyn dir?
5. 250 km = ?m.
6. 5m3= ?cm3 .
7. M.L2/T2 hangi fiziksel büyüklüğü tanımlar?
8. 10 J(joule)= ? erg .
4
1.2 Boyut Denklemleri
Türev büyüklüklerin Temel büyüklükler cinsinden ifade edildiği sembolik gösterime
boyut denklemleri denir. Bir fiziksel büyüklüğün boyut gösterimi köşeli parantez içine
alınmış büyük harfler ile tanımlanır.
örnek 1.2
Hız.=v=s/t=L/T=L.T-1
İvme=a=v/t= L.T-2
Kuvvet=F=a.M=M.L.T-2
Akım= I=Q/T
Direnç=R= /I= M.L2. T-2
ÖDEVLER
Aşağıdaki fiziksel büyüklüklerin boyut analizini yapınız.
1. Basınç
( p),
2. Hacimsel Yoğunluk (d),
3. Elektrik alanı
(E),
4. Moment
( Γ),
5. Sığa
(C),
6. Direnç
(R),
5
BÖLÜM-2 Skaler ve Vektörel Büyüklükler
2.1 Skaler Büyüklükler
Yalnızca sayısal değerler ve birimler ile ifade edilebilen büyüklüklerdir. Kütle, zaman,
Hacim, enerji, yoğunluk gibi.
2.2 Vektör Büyüklükler
Bir uygulama noktası, şiddeti(büyüklüğü), doğrultusu ve yönü olan fiziksel
büyüklüklerdir. Hız, ivme, kuvvet, basınç, tork, momentum gibi. Vektörün büyüklüğü
skaler bir büyüklüktür. Yönü kendine paralel ve tüm özelliklerini temsil eden bir birim
büyüklüğündeki vektörler ile tayin edilir.

R
R  R x ; birim vektör= x 
R

R
-x
O
+x
x
Birim vektör gösterimleri için;
xˆ  i
yˆ  j
zˆ  k
Sembolleri kullanılır.
a) Uygulama noktası ; O
b) x Doğrultusunda
c) +x yönünde
d) R = R = Rx şiddetindedir.
(vektör sadece x yönünde olduğundan büyüklüğü aynı zamanda Rx büyüklüğünü ifade eder)
2. 3 Vektör Bileşenleri
Herhangi bir vektörün eksenlerdeki izdüşümlerine vektörün bileşenleri denir.
Bileşenlerin toplamı vektörün kendini oluşturur. Bir vektörün yatay ve düşey iki eksen takımı
üzerindeki bileşenleri
y

R
R
y

Rx  Rx . x

y^


,


Ry  R y . x
den
R  Rx x  R y y olur. Büyüklük R 
x^
R
x
x
Üç boyutlu vektör gösterimine uygulanırsa;
6
Rx2  R y2 dir.




R  Rx x  R y y  Rz z
ve R 
R x2  R y2  R z2 olur.
Örnek 2.1

A  2 xˆ  y  3 zˆ

B  4 xˆ  2 yˆ  zˆ
a) Vektörlerinin bileşenlerini tanımlayınız.
b) Vektörlerin büyüklüklerini bulunuz.
Çözüm 2. 1

a) A  Ax xˆ  Ay y  Az zˆ
Ax  2
, Ay  1
den
, Az  3

B  B x xˆ  B y y  B z zˆ
den
B x  4
, B z  1
, By  2
bulunur.
bulunur.
b)
Ax2  A y2  Az2
A
A  2 2  ( 1) 2  3 2  4  1  9  14
A  14
B
bulunur .
B x2  B y2  B z2
B  (  4) 2  2 2  3 2
B  16  4  9  29
bulunur .

A  2 xˆ  5 y  4 zˆ
Örnek 2. 1
Vektörünün büyüklüğünü bulunuz.
Çözüm 2.1
A
Ax2  A y2  Az2
A  2 2  ( 5) 2  4 2
A  4  25  16 
A3 5
45
bulunur .
2. 4 Vektör İşlemleri
7
a) Toplama
Vektörlerin aynı yöndeki bileşenlerinin kendi arasında toplanması ile oluşan yeni
vektördür.

A  Ax xˆ  A y y  Az zˆ

B  B x xˆ  B y y  B z zˆ
ise
  
C  A  B   Ax  B X xˆ  A y  B y yˆ   Az  B z zˆ
olur .
Örnek 2. 3

A  2 xˆ  y  3 zˆ

B  4 xˆ  2 yˆ  zˆ
Vektörlerinin toplamının büyüklüğü nedir?
Çözüm 2. 3

A  2 xˆ  y  3 zˆ

B  4 xˆ  2 yˆ  zˆ
  
C  A  B  2 xˆ  y  3 zˆ  4 xˆ  2 yˆ  zˆ  2 xˆ  yˆ  2 zˆ

C  2 xˆ  yˆ  2 zˆ

2
C  C   2   12  2 2  4  1  4
C  9 3
Örnek 2. 4

A  3 xˆ  yˆ  2 zˆ

B  xˆ  2 yˆ  zˆ
Vektörlerinin toplamının büyüklüğü nedir?
Çözüm 2. 4
  
C  A  B  3 xˆ  yˆ  2 zˆ  xˆ  2 yˆ  zˆ

C  4 xˆ  yˆ  zˆ
2
C  4 2  12   1  11
C  11
8
c) Çıkarma (fark alma)
İki vektörün farkını almak veya çıkarma işlemini yapmak, birinin tersini(negatifini) alarak
diğeri ile toplamaktır.

A  Ax xˆ  A y y  Az zˆ

B  B x xˆ  B y y  B z zˆ
ise
ters
vektör ;
  
C  A  B   Ax  B X xˆ  A y  B y yˆ   Az  B z zˆ

 B   B x xˆ  B y y  B z zˆ
olur .
Örnek 2. 5

A  2 xˆ  y  3 zˆ

B  4 xˆ  2 yˆ  zˆ
Vektörleri verildiğine göre;
a)


b)

A B  ?
 
ve A  B  ?
değerlerini bulunuz
 
A B  ?
değerlerini bulunuz.

B  A  ? ve
Çözüm 2. 5

A  2 xˆ  y  3 zˆ

B  4 xˆ  2 yˆ  zˆ
a)
ters
ters

vektörü ; A  2 xˆ  y  3 zˆ

vektör ; B  4 xˆ  2 yˆ  zˆ
 

C  A  ( B)  2 xˆ  yˆ  3 zˆ  4 xˆ  2 yˆ  zˆ

C  6 xˆ  3 yˆ  4 zˆ
 
2
C  A  B  6 2   3  4 2
C  36  9  16  61
b)
 

C  B  ( A)  4 xˆ  2 yˆ  zˆ  2 xˆ  y  3 zˆ

C  6 xˆ  3 yˆ  4 zˆ
 
2
2
C  B  A   6   3 2   4 
C  36  9  16  61
9
dir .
Örnek 2. 6



A  2 x 3 y
,



B  3 x  y
a) A=?
ise
b) B=?


c) A B  ?


d) A B  ?
değerlerini bulunuz.
Çözüm:
a) A  2 2  3 2 = 13
b) B=
2
 3
c)
  



 
A  B  A   B  2 x  3 y  3x  y
d)  


A  B  5x  2 y
 
2
 1 = 10
Örnek 2.7

 

A  2 x  y  2z


 
B  3x  4 y  z
 


 
A  B  2 x  3 y  3x  y
 


A  B  x  4 y
a) A  ?
b) B  ?
c) A  B  ?
Çözüm:
a)
b)
2
A  2 2   1  2 2  9
A3
c)


 
  

A   B  2 x  y  2 z  3x  y  z
 



A  B   x  2 y  3z
 
 
A B  A B 
 12   22  3 2
10
2
B  3 2  4 2   1  26
2. 5 Vektör çarpımları
a) Skaler çarpım








A  Ax x  Ay y  Az z ve B  Bx x  B y y  Bz z gibi iki vektörün aynı bileşenlerinin
çarpılıp toplanmasına skaler veya nokta çarpımı denir. Ve
 
A  B  Ax B x  Ay B y  Az B z ile tanımlanır. Ayrıca bu iki vektör arasındaki açı  ise

A
 
A  B  A  B  cos


B
Örnek 2. 8

 

A  2 x  y  2z


 
B  3x  4 y  z
ise
 
a) A  B  ?
ile verilir.
ve
b) cos  ?
Çözüm 2. 8
 
a) A  B  2.3  ( 1).4  2.( 1)
 
A  B  6  4  2 =0
2
b) A  2 2   1  2 2 =3
2
B  3 2  4 2   1 = 26
 
A B
0
cos 

0
A  B 3. 26
b) Vektörel çarpım








A  Ax x  Ay y  Az z ve B  Bx x  B y y  Bz z gibi iki vektörün vektörel çarpımı;
ve bu ifadenin açılımı

x
 
A  B  Ax

y
Ay
Bx
By

z
 Ay
Az  x
By
Bz
Az
 Ax
y
Bz
Bx
 Ax
z
Bx
Bz
Az
Ay
By
  


A  B  x ( Ay B z  B y Az )  y ( Ax Bz  Bx Az )  z ( Ax B y  Bx Ay )
olarak verilir.
11
Bu çarpımın sonucu daima bunlara dik bir vektördür.
  
C  A B

B

İki vektörün vektörel çarpımının büyüklüğü;
 
A  B  A  B  sin 

A
ile verilir.
Örnek 2-9

 

A  2x  y  2z


 
B  3x  4 y  z
Çözüm 2. 9
Vektörlerinin vektörel çarpımını ve aralarındaki açıyı
bulunuz.

x
 
A B  2
3

y
1

z



2  x  1
.  1  2.4   y 2 1  2.3  z 2.4  3. 1
4
1
   


A  B  C  x (1  8)  y (2  6)  z (8  3)
  



A  B  C  7 x  8 y  11z
2
A  2 2   1  2 2
A3
C
2
B  3  4   1
2
2
 7 2  82  112
C  49  64  121
B  26
C  234

 
C  A B
den
sin  
Örnek 2-10
A.B
234
1
3. 26
bulunur.


Şekildeki F1 ve F2 kuvvetlerin bileşkesini bileşenlerine

y

F1

F2
sin  
ayırarak bulunuz.
 

F  Fx  Fy







F

F

F
x
1x
2 x  6 x  3x  3 x
x






Çözüm ; Fy  F1 y  F2 y  4 y  7 y  3 y



F  3x  3 y
F  3 2   3  3 2
2
12
BÖLÜM: 3 KİNAMATİK
Kinematik cisimlerin hareketini inceleyen bilim dalıdır. Cisimler etkisinde kaldıkları
kuvvetlerin uygulanış biçimine göre değişik hareket tarzları sergiler.
Fiziksel etkiyi yaratan kuvvet süreklilik gösteriyorsa cisim ivmeli bir hareket yapar.
Kuvvet pozitif yönde, cismin hareketine paralel yönde, uygulanıyorsa cisim pozitif ivmeli
(hızlanan) hareket yapar. Kuvvet negatif yönde, hareketi azaltacak veya engelleyici yönde,
uygulanırsa cisim yavaşlama eğilimine girer negatif ivmeli (yavaşlayan) hareket yapar.
İvmeli hareket, kuvvetin sabit olmasına göre sabit ivmeli değişken olmasına göre de
değişken ivmeli olarak adlandırılır.
Cisme hareketi veren kuvvet (net veya bileşke kuvvet) kaldırılır veya sıfırlanırsa, cisim
o andaki hızı ile sabit hızlı olarak hareketine devam eder.
3.1 Düzgün doğrusal (sabit hızlı) hareket
Hareketin temel karakteri ivme sıfırdır. Cisim eşit zaman aralıklarında eşit yollar alır.
dolayısıyla alınan yol hız ile zamanın çarpımıdır.
Hareketi temsil eden grafikler;
y
v
alan= y=v.t
t
yol-zaman
t
hız-zaman
Örnek 3.1 y(m)
20
a
K
10
Yol-zaman grafikleri şekildeki gibi olan K, L, M
araçlarının hızları arasında nasıl bir ilişki vardır?
L
t(s)
10
Çözüm 3.1
; 20
vK 
 4m / s
5
20
vL 
 2m / s
10
10
vM 
 1m / s
10
t
ivme-zaman
M
5
ivme=0
v K  v L  vM
13
v = 5m/s
Örnek 3.2
A
Çözüm 3.2
y=?m
t = 4s
B
Cisim AB = y yolunu 4s de alıyorsa aldığı yol;
y = v.t , y = 5m/s . 4s = 20m dir.
Hız, zaman içindeki yol değişimi olduğuna göre v 
t2
y dy

olarak ifade edilebilir.
t dt
t
y   v  dt  v t2 t  v t 2  t1  integrali şeklinde yazılabilir.
Buna göre alınan yol;
1
t1
Örnek 3.3 Bir cisim 2m/s hızla 20s boyunca hareket ediyor. Cismin 4s ile 12s arasında
aldığı yol kaç m dir?
Çözüm 3.3
y  vt 2  t1   212  4   2.8  16m
Ortalama hız ( vor ); Bir cisim bir yolun tamamını değişik hızlar ile örneğin v1 , v2 , v3 gibi
alabilir. Bu durumda cismin ortalama hızından söz edilebilir.
olur.
vor 
v1  v2  v3
3
Örnek 3.4 Bir hareketli gittiği 1200m yolu 10m/s , 20m/s ve 30m/s lik hızlar ile tamamlıyor.
Bu hareketlinin ortalama hızı ve bu yolu alması için harcadığı ortalama zamanı bulunuz.
Çözüm 3.4
vor 
10  20  30
1200
 20m / s ; t or 
 60 s
3
20
Örnek 3.5 Aralarında 120 km mesafe olan iki şehirden aynı anda ve karşılıklı olarak yola
çıkan iki araçtan birinin hızı 40km/h, diğerinin ise 20km/h olan iki araç kaç saat sonra ve
nerede karşılaşırlar?
Çözüm 3. 5
vA=40m/s
A
vB=20m/s
120km
2 saat sonra ve A dan 80m uzaklıkta
B
t
14
120
 2s
40  20
y  v A .t
y  40.2  80 m
3.2 Düzgün hızlanan (pozitif ivmeli) hareket
Bir hareketlinin hareketi esnasında hızında düzgün artışlar meydana geliyorsa düzgün
hızlanan hareket yapar. Bu durumda hareketlinin herhangi bir andaki hızı;
dir. İvmesi,
v = a.t
a
v 2  v1 v

olarak yazılır.
t 2  t1
t
Çok küçük bir dt zaman aralığında alınan dy yolu ise; dy  v.dt olur. Bu ifade de hız yerine
yazılırsa;
olur. Toplam yolu bulmak için eşitliğin her iki tarafının integrali alınırsa;
dy  a.t.dt
t2
y   a.t.dt 
t1
1
 a  t 2 olur.
2
Hareketin grafik temsilleri;
y
v
a
y
t
1 2
a.t
2
v=a.t
t
hız-zaman
yol-zaman
t
ivme-zaman
Örnek 3.6 6m/s2 ivme ile hareket eden bir cismin 3s sonundaki hızı ve aldığı yol ne olur?
Çözüm 3.6 v  a.t  6 .3  18 m / s
1
1
y   a  t 2   6  32
2
2
y  3  9  27 m
v(m/s)
Örnek 3.7
Aynı anda harekete başlayan K ve L araçları
L
arasındaki yol farkı kaç metredir?
K
6
t(s)
0
6
Çözüm 3.7 K aracı sabit hızlı hareket yapar; y K  v K  t  6  6  36m
vL 6
  1m / s
t
6
1
1
y L   a  t 2   1  6 2  18m
2
2
aL 
L aracı ivmeli hareket yapar;
yol farkı = y K  y L  36  18  18m olur.
15
3.3 Düzgün yavaşlayan (negatif ivmeli) hareket
Belirli bir hızla hareket halindeyken, çeşitli fiziksel etkenler sonucu hızında düzgün azalma
meydana gelen (negatif ivmeli) hareketdir. Hareketlinin başlangıctaki vo hızı belirli bir t
süresi sonunda v0  a  t değerine iner veya sıfırlanır. Bu durumda yavaşlama ivmesi;
v0  a  t  0
a
olur.
v0
t
Yavaşlarken durma mesafesi;
y
1
a  t 2 olur.
2
Hareketin grafik temsilleri;
y
v
a
t
v0
v=-a.t
1
y  a.t 2
2
t
yol-zaman
t
-a
hız-zaman
ivme-zaman
Örnek 3.8 10m/s sabit hızla yol almakta iken 2m/s2 ivme ile yavaşlamaya başlayan bir araç
kaç saniye sonra durur ve durma mesafesi kaç metredir?
Çözüm 3.8 Durma süresi;
Durma mesafesi;
v0  a  t  0
y
10
t
 5s
2
Örnek 3.9
Hız-zaman grafiği şekildeki gibi olan bir hareketli
v(m/s)
16
1
1
a  t 2   2  5 2  25 m
2
2
kaç saniye sonra durabilir?
8
t(s)
0
2
?
Çözüm 3.9 Doğrunun eğimi ivmeyi verdiğine göre;
16  8 8
  4m / s 2
2
2
v 0  a.t  0
a
16  4.t  0,
16
t
 4s
4
Olarak bulunur.
16
3.4 Dairesel Hareket
Bir hareketlinin sabit yarıçaplı yörünge üzerindeki hareketidir. Yörünge üzerinde hareket
eden cisim, yörüngenin her noktasında dengelenmiş ve içeri doğru yönelmiş olan merkezcil
kuvvet ile dışarı yönelmiş olan merkezkaç kuvvetinin etkisi altındadır. Cisim r yarıçaplı
yörüngenin her noktasında yörüngeye teğet olan v doğrusal hızı ve bu hız ile ilişkili olan w
açısal hıza sahiptir. v hızı yörünge yolunu alırken w açısal hızı ise cismin zaman süresince bir
 açısı oluşturmasını sağlar.
Cisim küçük bir t zamanında A noktasından B
B
r
O
v
noktasına gelerek  açısını yapıyorsa açısal hızı

A
2  r y
 v
t
t
v  wr
r  
Fm
w

olur. Cisim bir turda 2 radyanlık açı yaparsa;
t
w
2 olur. Eşitliğin her iki tarafı r ile çarpılırsa;
t
olur. 2r cismin v doğrusla hızı ile aldığı yörünge yoludur. Böylece
açısal hız ile doğrusal hız arasındaki bağıntı elde edilir.
Doğrusal ivme;
y

r
Çok küçük yer değişimlerinde tan    
olur.
Buradan
y v
v 
r
ivme a 

v
v
y
r
ve hız vektörlerinden de tan    
v
v
V y  v v 2


bulunur.
t
t  r
r
Yörüngede hareket eden m cisminin etkisinde kaldığı kuvvet ise;
Fm 
a  m mv 2 Olur.

r
r
Yörünge üzerinde bir tur için geçen süreye periyot( T ) denir. Birim zamandaki tur sayısına
frekans( F ) denir ve her zaman ;
F.T=1 dir. Ayrıca
w  2F 
2
olarak ifade edilebilir.
T
17
Örnek 3.10 r = 2m yarı çaplı daire üzerinde 10s de 720 açı tarayacak şekilde hareket eden
m=3kg kütleli bir cismin;
b) F=? herz(s-1)
a) w açısal hızı kaç rad/s dir?
c) T=?s
d) v çizgisel hızı kaç m/s dir?
(=3 alınacak)
Çözüm 3.10
r = 2m,
m=3kg,
a)
2  720 
 
 4  4.3  12 rad
360
12 rad
w
 1, 2 rad / s
10 s
d)
= 720,
b)
t =10s

720
n

2
360 360
n 2
F 
 0, 2 s 1
t 10
c)
F T  1
1
1
T 
F 0,2 s 1
T  5s
v  wr
v  1, 2  2  2, 4m / s
Örnek 3.11 r = 2m yarı çaplı dairesel yörünge üzerinde 4m/s hızla hareket eden m=3kg
kütleli bir cismin yörünge
dışına çıkmadan hareketine devam edebilmesini sağlayan
merkezcil kuvvet kaç N dur?
Çözüm 3.11
mv 2 3  4 2

r
2
3  16
F
 3  8  24 N
2
F
T
F
mv 2
r
18
Bölüm : 4 STATİK
4. 1 Kuvvet:Cisimlere hareket veren veya durduran etkidir. Vektörel bir büyüklük olan
kuvvet F sembolü ile gösterilir vektörlerin bütün özelliklerini sergiler. MKS birim
sisteminde birimi N(newton),CGS birim sistemindeki birimi dyn(din) . Dinamometre ile
ölçülür. Birkaç kuvvetin yaptığı etkiyi
tek başına yapabilen etkiye bileşke kuvvet
denir.

 


Fb  R  F1  F2  F3  ......
Aralarında bir  açısı olan iki kuvvetin bileşkesi;

 

Fb  R  F1  F2
 
 
 


R  R  R 2  F1  F1  2  F1  F2  F2  F2
F12  2 F1  F2  cos   F22
R
olarak bulunur. Buna kosinüs teoremi
denir.
Örnek 4. 1
 

R  F1  F2


F1  6 N y

R?


F2  8 Nx
R
F12  2 F1  F2  cos   F22 ,  90 
R
F12  F22  6 2  8 2
R  10 N
 

R  F1  F2
Örnek 4. 1

F1  6 N

R?
  60

F2  8 N

F1

F2
F12  2 F1  F2  cos   F22 ,  60 
R
6 2  2  6  8  cos 60   8 2
R
6 2  2  6  8 1 / 2  8 2
R  148 

y
Örnek 4. 2
R
 

R  R x  R y ; R  R x2  R y2




Rx  7 x  7 x  3 x  3 x





Ry  6 y  3 y  6 y  3 y
R=?N

x
R

F3
19
 3 2  32
2 3
4. 2 Denge: Bir cismin üzerindeki kuvvetlerin varlığına rağmen hareketsiz durumudur.
Dengede olmayan bir cismin hareketi için iki yargı geçerlidir. Cisim ya bir doğrultu boyunca
sabit hızlı hareket yapar yada bir dönme hareketi yapar.
Dengenin iki şartı vardır;
1-Bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır. Bir başka deyimle

y

F1 y

F2 x

F2
 

R  Rx  R y  0




R x   Fx  F1x  F2 x  0




R y   Fy  F1 y  F2 y  0

F1

F1x

F2 y
Örnek 4. 3



F2  2 Nx  8 Ny

x

y



F1  8 Nx  6 Ny
olmalıdır.
Şekildeki kuvvetlerin

dengede kalabilmesi için F3  ? N
olmalıdır?

x
Çözüm 4. 3  

R  Rx  Ry  0



 
R x   Fx  8 x  2 x  F3 x  0
ve
 
6 x  F3 x  0

F3 x  6 x





bulunur. Böylece F3  F3 x  F3 y  6 Nx  14 Ny



 
R y   Fy  6 y  8 y  F3 y  0
 
14 y  F3 y  0


F3 y  14 y
olur.
Örnek 4. 4
Aralarında 90  açı yapacak şekilde iki ip
60
T2  ? N
T1  60 N
ile tavana asılan bir cismin G ağırlığı ve T2 ipinde
meydana getirdiği gerilme kaç N dur?
G=?N
cos 60  sin 30  0.5
cos 30  sin 60  0.8
20
alınacaktır.
Çözüm 4. 4
T2 y
T1 y
R x   T x  T1x  T2 x  0
60
T2  ? N
60  0,5  T2  0,8  0
T1  60 N
T2 
T2 x  T2 cos 30
T1x  T1 cos 60
30
 37 ,5 N
0,8
G=?N
T1 y  T1 sin 60  60  0,8  48 N
G  T1 y  T2 y
T1 y  48 N
G  48  18,75  66,75 N
T2 y  T2 sin 30  37,5  0,5  18,75 N
T2 y  18,5 N
F2=12N
Örnek 4. 5
30
F1=?N
Şekildeki cismin sadece +x


x
yönünde sabit hızlı hareket etmesi için
F1 kuvveti kaç N olmalıdır? cos 30  0,5
G

y
Çözüm 4. 5
F2=12N
F2 y
30
F1=?N
F1x  F1
F2 x

x
G
+x yönünde sabit hızlı hareket etmesi için




R y   Fy  F1 y  F2 y  0




R x   Fx  F1 x  F2 x  0
olmalıdır.
R x   Fx   F1 x  F2 x   F1  12  cos 30  0
F  12  0,5  6 N
1
21
ve
Sinüs teoremi: Dengede olan üç kuvvetin karşılarındaki açıların sinüslerine oranı eşittir.
F2
F1

F1
F
F
 2  3
sin  sin  sin 


F3
T ?N
Örnek 4. 6
cos30=sin60=0.8 alınacak
sin30=cos60=0.5 dir.
60
30 
G  50 N
Çözüm 4. 6
F
T ?N
60

30 
90
90
150 
30
F1
F
F
 2  3
sin  sin  sin 
F
T
G


sin 120 sin 150 sin 90
T
50
 ;
sin 30 1
T  50  0,5  25N
F
G

;
sin 60 sin 90
F  50  0,8  40 N
G  50 N
2-Bir cisme etki eden kuvvetlerin dönme noktasına göre momentleri sıfır olmalıdır.

 


M  Fd
n
F3
M o   i Fi  d i  0

F3 y
F1
M  M  F  d  sin 

x1
x3
  90 
O
M  F d
F1 . x1  F2 . x 2  F3 y . x 3  0
F2

22
Örnek 4. 7
Şekildeki düzgün homojen çubuğun
x1  4 m
x 2  6m
dengede kalabilmesi için F kaç N
olmalıdır?
x3  2 m
P  60 N
F  ?N
G  18 N
Çözüm;
n
M o   i Fi  d i  0
x1  4 m
x 2  6m
-60.4 +18.2+F.6=0
240  36 204

6
6
F  34 N
x3  2 m
P  60 N
F
F  ?N
G  18 N



Örnek 4. 8
Şekildeki 30N luk düzgün ve homojen çubuğun ipte yarattığı
T=?
53
T gerilme kuvveti kaç newtondur?
Cos53=sin37=0.6 , Cos37=sin53= 0.8
alınacak.
P=60N
Çözüm 4. 8
n
Ty=T.Cos53=T. sin37
+
T=?
53
M   i Fi  d i  0
T . sin 37 . / 2  60.  30 / 2  0
O
/2


T .0,6.  60.  30 .  0
2
2
0.3T  75
/2
G=30N
-
P=60N
T  250 N
-
23
Örnek 4. 9
Şekildeki gibi bir duvara dayalı durmakta olan
F1
100N luk bir merdivenin kaymaması için F1 ve F2 kuvvet
leri kaç newton olmalıdır?
F2
Cos53=sin37=0.6 , Cos37=sin53= 0.8
53
Çözüm 4. 9
a)
B
G./2.cos53 =F1..sin53
F1
X=72.cos53
Y=.sin53
100.0,6 .1/2=0.8.F1
F1=300/8=37,5N
53
G=100N
A
F2. .cos53 =G. /2.cos53
b)
F2 =100.1/2.=50N
F2
G=100N
53
24
alınacak.
4. 3 Kütle ve Ağırlık merkezi
Kütle merkezi :Bir cismin her kütle parçasına etki eden yerçekimi kuvvetlerinin bileşke
sinin uygulama noktasıdır.Bu nokta toplam kütleye etki eden yerçekimi kuvvetinin yarattığı
cismin ağırlık merkezidir.
1-Düzgün cisimlerin kütle merkezleri
a) Düzgün ve homojen çubuk :İki ucu birleştiren doğrunun orta noktasıdır.
L/2
L/2
G
b) Düzdün ve homojen kare – dikdörtgen levhalar:
G
Köşegenlerin kesim noktasıdır.
G
c) Düzgün ve homojen üçgen levhalar:
A
vc
vb
B
C
va
G
Kenar ortayların kesim noktasıdır. İlgili kenar ortayın tepelerlerden itibaren 2/3 de veya
kenar orta noktalarından itibaren 1/3 .de bulunur.
d) Düzgün ve homojen silindir:
h/2
h/2
G
Taban merkezlerini birleştiren doğrunun (yüksekliğin) orta noktasıdır.
e) Kare, küp ve dikdörtgen prizma:
Karşılıklı kenar orta noktalarını birleştiren doğrunun ortasıdır.
25
2.Düzgün olmayan cisimlerin kütle merkezi:
Düzgün olmayan cisimlerin kütle merkezleri dik koordinat sistemi yardımı ile bulunur.
Cisim küçük kütle parçacıklarına ayrılır ve bu parçalar ile toplam kütlenin x ile y
eksenlerine göre dönme momentleri alınarak bir birine eşitlenir.
y
x1 O1
y1
O(x,y)
O2
y2
x2
x
x eksenine göre moment alınırsa;
y1  m1  g  y 2  m2  g  m1  m2   g  y
y
bulunur.Benzer şekilde ,
y1  m1  y 2  m2
m1  m2 
y eksenine göre moment alınırsa;
x1  m1  g  x 2  m2  g  m1  m 2   g  x
x
n
 m
x
bulunur.Genel ifade formunda yazılmak istenirse
x1  m1  x 2  m 2
m1  m2 
i
n
 xi 
i 1
 m
i
ve
n
y
m
i
i 1
 yi 
i 1
olur.
n
m
i
i 1
Örnek 2.15
Ağırlıksız bir levhanın üzerine m1=2g(2,1) , m2 =4g(1,-3) ve m3 =6g(-1,2) gibi kütleler
yerleştirilmiştir.Sistemin kütle merkezinin koordinatları nedir?
x
2  2  4.1  6  1 2 1


246
12 6
y
2  1  4  3  6  2 2 1


12
12 6
26
y
Örnek 2.16
10g
5g
Ağırlıksız bir tel ile şekildeki gibi birleştirilen
5g,10g ve 15g kütleli cisimlerin oluşturduğu
x
sistemin kütle merkezinin koordinatları nedir?
15g
Çözüm
m1=5g (-1,2) m2=10g (2,3)
m3=15g (1,-1)
5  1  10  2  15  1 30

1
30
30
5  2  10  3  15  1 25 5
y


30
30 6
x
27
BÖLÜM-5 DİNAMİK
5.1 Newton’un Hareket Kanunları
5.1.1 Newton’un I.Kanunu(  R  0 );Duran bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır
ise cisim durmaya devam eder. Hareket halindeki bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi
sıfır ise cisim sabit hızla hareketine devam eder.
m
F2=10N
F1=10N
F F
R0 ,
x
y
0
Eğer cismin başlangıçtaki hızı V=2m/s olsaydı cisim yine aynı hızla hareketine devam ederdi.
örnek 5.1
Çözüm;
Fy
F1 =?N
 F   F  0 dan
 F  F  F  0 , F
 F  F  G  0,F
x
F2=40N
m
Fx
y
x
2
y
G=30N
1x
1y
1x
1y
 40 N
 30 N
R  F12x  F12y  40 2  30 2  50 N
5.1.2 Newton’un II.Kanunu(F=m.a);Bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdan farklı
ise cisim ivmeli bir hareket yapar.Buradan hareketle bir cisme uygulanan veya hareket veren
kuvvetin cismin kütlesine oranı sabittir ve buna ivme denir.
Örnek 5.2 a) Şekildeki m kütlesinin ivmesi a kaç m/s2 dir?
m=8kg
F 40 N
F2=40N
a 
 5m 2
s
m 8kg
(sürtünme yok)
b) Şekildeki m kütlesine yatay eksende hareketi veren ivme ax=? m/s2 dir.
Fy
F =40N
Fx  F . cos 53 
m=8kg 53 Fx
ax 
cos 53=sin 37=0.6 ; cos 37=sin 53=0.8
28
Fx 40 .0,6

 3m 2
s
m
8
5.1.3 Newton’un III Kanunu(Etki=Tepki)
Bir cisme uygulanan F kuvveti kendine eşit ve zıt yöndeki bir kuvvet ile dengelenir.Buna
Etki-Tepki prensibi denir.
N=-G
G=mg
Örnek 5.3
Fy
Şekildeki gibi F= 40N kuvvet ile hareket
F =40N
m=8kg 53 Fx
eden m=8kg kütlenin yüzeye yaptığı etki ve
karşılığında gördüğü tepki kuvveti kaç N dur?
( g=10m/s2 alınacak)
G=mg
N  G  Fy  mg  F . sin 53
N  8.10  40.0,8  80  32
N  48 N
5.2 Sürtünmeli Hareket
5.2.1 Yatay Düzlemde Sürtünmeli Hareket
Sürtünmeli bir yüzey üzerinde hareket eden bir cisim yüzeyin  veya k sürtünme katsayısı
ile cismin o yüzeyden gördüğü N tepki kuvvetinin çarpımı ile verilen bir sürtünme kuvvetinin
etkisinde kalır.
29
Cisme etki eden sürtünme kuvveti Fs ve ax
Örnek5.4
Fy
İvmesi kaç m/s2 dir?
Fs=k.N
F =40N
N  G  Fy  mg  F . sin 53
m=8kg 53 Fx
N  8.10  40 .0,8  80  32
N  48 N
Fs  0,2.48  9.6 N
G=mg
cos 53=sin 37=0.6 ; cos 37=sin 53=0.8
ve sürtünme katsayısı k=0,2 dir.
Örnek 5.5
Şekildeki sistem serbest bırakıldığında ;
m1=8kg
a) sistemin ivmesi kaç m/s2 dir?
T
b) ipte oluşan T gerilme kuvveti kaç N
dur?
T
Sürtünmesiz yüzey
g=10m/s2 alınacak
m2=2kg
G2=m2.g
Çözüm: Sistemi harekete geçiren kuvvet m2 kütlesinin ağırlığıdır. Sistem serbest
bırakıldığında her iki kütlede aynı a ivmesi ile harekete başlar. Bu durumda
m1 kütlesi;
T =F1=m1.a
kuvveti ile,
m2 kütlesi;
T-G2=F2=m2.a
kuvveti ile hareket eder.
Her iki denklemde T gerilmesi elimine
edilirse,
m1.a-m2.g= m2.a
a(m1+m2)=m2.g ,
a)
a
m2
g
m1  m2
a
2
 10  2m / s 2 ,
8 2
bulunur.
Böylece;
b) T  F1  8  2  16 N
30
bulunur.
Örnek 5.6
m1 =10kg
m2=6kg
T=?N
Birbirine bağlı şekildeki kütleler
a)arasındaki T gerilme kuvveti kaç N ?
b)Kütleler t=2s sonunda kaç m yol alır?
F=80N
(Sürtünmesiz yüzey)
Çözüm : Sistem F kuvvetinin etkisinde hareket ettiğine göre ;
a)
b)
F
80
a

 5m / s 2
m1  m2 10  6
1 2 1
a.t  5  2 2  2  5
2
2
y  10 m
y
T  F1  m1  a  10.5  50 N
Örnek 5.7
m1=8kg
Yüzeyleri arasındaki sürtünme katsayısı
k=0,2 olan sistem serbest bırakıldığında
ipte oluşan T gerilme kuvveti kaç N olur?
T
T
(Sürtünmeli yüzey k=0,2
g=10m/s2 alınacak)
m2=2kg
G2=m2.g
Çözüm:
N1=G1
m1=8kg
Fs=k.N1=k.m1.g
T
T
G1=m1.g
m2=2kg
G2=m2.g
m1 kütlesi; F1=m1.a=T-Fs ile m2 kütlesi F2=m2 .a=G2-T ile hareket eder. Her iki eşitlikten
T elimine edilirse ,
a
8 2
a  0 ,4 m / s 2
T  F1  Fs  8  0,4  0,2  2 10
a ( m1  m 2 )  G 2  Fs
a
m 2  g  k .m1. g m2  k  m1 

g
m1  m2
m1  m 2
2  0,2  8 10  2  1,6
ve
T  3,2  4  7 ,2 N
bulunur.
31
Örnek 5.8
m2,
kütlesi kaymadan
hareketine
devam etmesi için iki kütle arasındaki
m2=6kg
k sürtünme katsayısı en az kaç
m1 =10kg
olmalıdır.?
F1 =80N
Sürtünmesiz yüzey
Çözüm:
m2 kütlesinin kaymadan hareketine devam etmesi için Fs=F2=m2.a olmalıdır.
N2 =G2
m2=6kg
k.m2.g=m2.a
Olur.
dan
k
m2  a a

m2  g g
a
F
80

 5m / s 2
m1  m2 10  6
k
5
 0,5
10
F2
Fs=k,N2
F1 =80N
m1 =10kg
Sürtünmesiz yüzey
32
5. 3 Eğik Düzlemde Hareket
T
m1
Fx
N =m1gcos
T
m2
N

Fx =m1gsin
G2 =m2g
m1 kütlesini harekete geçiren Fb net (bileşke)
G1 =m1g
Fb=T-Fx
,
kuvvet ;
m1a=T- m1gsin ;
(5a)
T= m1a + m1gsin
m2
kütlesini harekete geçiren Fbi net (bileşke) kuvvet ;
Fbi=G2-T,
m2a= m2g-T ;
(5b)
T= m2g-m2a
4a ve 4b denklemlerinin birleştirilmesinden ;
a
g (m2  m1 )
m1  m2
elde edilir.
(5c)
Örnek 5.5
Şekildeki sistemin
a) hareket yönü ve ivmesi nedir?
m1=4kg
m2=6kg
b) T gerilmesi kaç N dir?
(g=10N/kg veya 10 m/sn2)
=37
cos 53=sin 37=0.6 ; cos 37=sin 53=0.8
Çözüm 5.5
a) G2=m2.g =6.10=60N
Fx= m1gsin=4.10.0.8=32N olduğundan G2>Fx dir. Bundan dolayı hareket m2 yönündedir.
O halde hareketin ivmesi;
ag
m2  m1 
a  10
m1  m2
6  4  2m / s 2
46
b) T= m2g-m2a=m2(g-a)
T= 6(10-2)=6.8=48N
33
BÖLÜM-6 İŞ,GÜÇ ve ENERJİ
Cisimlerin kuvvet etkisinde yol alma , yer değiştirme veya dönme eylemidir. İş aynı
6.1 İş;
zamanda bir enerji dönüşümüdür ve gidilen yolun şeklinden bağımsızdır. m noktasal
parçacığına r vektörü ile temsil edilen AB yolu boyunca etki eden F kuvvetinin
yaptığı iş ;
W= F.r
 
F  r  F .r . cos 

F
F . cos   Fr
, yapılan iş kinetik enerji
 2r
 (v )
.
r

m
.
.
v
.

t
değişimine eşittir.
t
t 2
v2
B
v2
1
Fr .r  m. v.v  m.(v 2 ) v1
v1
2
1
1
Fr .r  m (v 22  v12 )  m.v 2  E k
2
2
W(erg)=F(dyn).r(cm)
1jolue=107erg 1cal=4,18j

m
dir.
Fr .r  m.

r
A

W(J)=F(N).r(m),
C
W AC  F . AC
AC yolunda yapılan iş
W AB  F  cos   AB ; yatay yolda yapılan iş
W BC  F  sin   BC ;düşey yolda yapılan iş
Fy=Fsinα
Toplam yapılan iş;
F
α
m
W AC  W AB  W BC
Fx=Fcosα
B
A
Örnek 6.1
Şekildeki kütleye uygulanan F kuvvetinin t=4s de
m=8kg
F=40N
a) yaptığı iş kaç joule dur?
b) cisme kazandırdığı hız kaç m/s dir?
Sürtünme yok.
Çözüm:
a)
b)
F 40

 5m / s
m 8
1
1
r  a.t 2  .5.4 2  40 m
2
2
W  F .r  40 .40  1600 J
a
1
W  8.v 2  1600
2
2
v  400
v  400  20m / s
34
Örnek 6.2
m=8kg
a) Şekildeki cismin 40 m sonundaki
F=40N
enerji kaybı kaç cal dir?
sürtünme katsayısı k=0.2
g=10 m/s2
1cal=4 joule alınacak
Ws  Fs .r
Çözüm:
Fs  k .m. g  0,2.8.10  16 N
Ws  16.40  640 J
Ws  640 / 4  160cal
Örnek 6.3 V=10m/s hızla hareket etmekte olan 4 kg lık bir cismin hızını t=4s de 30m/s ye
çıkarmak için kaç joule luk enerji verilmelidir?
Çözüm:
v ilk  a.t  v son
30  10
 5m / s
4
1
1
x  v 0  t  a  t 2  10.4   5  4 2
2
2
x  40  40  80 m
F  m.a  4.5  20 N
a
W  F  x  20.80 J  1600 J
6.2 Enerji : İş yapabilme yeteneğidir.Enerji değişik görünümlere sahiptir..
a) Potansiyel enerji; Konum yada yüksekliğe bağlı olarak depolanan enerjidir.
b) Kinetik enerji; Hareket enerjisidir. Hareket halindeki cisimlerde depolanır.
c) Güneş enerjisi ; Değişik reaksiyonlar sonucu güneşteki patlamalardan yayılan çeşitli
dalga boyundaki elektromağnetik ışınımlardır.
d) Bio enerji; Bitkilerden elde edilen enerjidir.
e) Elektrik enerjisi; Madde yapısındaki elektronların kendileri veya diğer parçacıklar ile
, bir potansiyel etkisi altında, etkileşmeleri sonucunda meydana gelir.
f) Nükleer enerji: Radyo aktif maddelerin nükleer reaktörlerde kontrolü parçalanması
ile elde edilen enerjidir.
35
Potansiyel enerji, Bir konum veya yükseklik enerjisi olup, yerçekimine karşı yapılan iş
sonucu depo edilir. Benzer olarak bir yayın boyunda yaratılan konum değişikliği de
(sıkıştırılmasıda) potansiyel enerjinin depolanmasıdır. Yükseklik kazandırılan cismin veya
sıkıştırılan yayın depoladığı potansiyel enerji serbest bırakıldığında hareket(kinetik) enerjisine
dönüşür.
B
Bir cismin A noktasından B noktasına
taşınması sonucu yapılan İş,C
h
noktasından B noktasına çıkarılması
F
m
için harcanan enerjiye eşittir.Bu enerji
potansiyel olarak cisimde depolanır.
C
A
Potansiyel enerji ;
E p  G.h  mgh
E p  F . AB
Örnek 6.4:
B
F=60N kuvvet etkisinde AB=15m
yol alan m cismi kaç m yükseklik
kazanmış olur?
F=60N
h=?m
m=3kg
Sürtünme yok, g=10m/s2
A
Çözüm : AB yolunda yapılan iş veya harcanan enerji potansiyel enerji olarak depolanır.
E p  mgh  F . AB
3  10  h  60  15
h  2  15  30 m
Örnek 6.5:
m=4kg
h=15m
h yüksekliğinden serbest bırakılan m
kütlesi h/3 seviyesine geldiğinde enerjisinin
ne kadarını kaybeder?( g=10m/s2)
h/3
Çözüm : Kaybedilen yükseklik ; hk=h-h/3= 2h/3=2.15/3=10m
Kaybedilen potansiyel enerji; Ekp=mghk =4.10.10=400J
36
Sıkıştırılan veya gerilen bir yay da depolanan potansiyel enerji :
k
k
F=-kx
x
O
Serbest yay
A
O
x kadar sıkıştırılan yay
Yayı dx miktarı kadar sıkıştırmak veya germek için gösterdiği direnci ;
(kuvvetini) kırmak için;
dF=-k.dx
kadar bir iş yaptırılmalıdır. x yolu boyunca yapılan iş;
dW= dF.x
x
x
W   dF .x   k  x.dx
0
0
2
W  k
x
2
Yaya yaptırılan bu iş potansiyel enerji olarak depolanır ve serberst
bırakıldığında ise kinetik enerji olarak boşalır.
Örnek 6.6:
Şekildeki yay 25cm gerildiğinde;
a) Kaç J enerji depolar?
b) Yaya uygulanan germe
kuvveti kaç N dir?
k=40N/m
A x=25cm B
Çözüm : a) Yayın boyundaki değişme CGS de verildiğinden MKS dönüşümü yapılması
gerekir.
x=25cm=0.25m
1
1
k  x 2   40  0,25
2
2
W p  20  0,25  5 J
Wp 
b) F  k  x  40.0, 25  10 N
Örnek 6.7:
k=10N/m
m=2kg
50 cm sıkıştırıldıktan sonra önüne
2kg lık kütle konan bir yay serbest
bırakılırsa kütleye kaç m/s2 ivme
A x=50cm B
verir? (sürtünme yok)
Çözüm :Sıkıştırılan yay kütleye F=k.x kadar kuvvet uygular.Bu kütleye hareketi veren F=m.a
kuvvettidir.
k.x=m.a dan; a 
k  x 10  0,5

 2,5m / s 2
m
2
37
Kinetik enerji; Cisimlerin hareketi esnasında açığa çıkan enerji türüdür.Harcanan enerji
hızda bir değişim yaratır. m kütleli ve v hızlı bir cismin kinetik enerjisi;
Ek 
ile verilir.
1 2
mv
2
Örnek 6.8
V =10m/s hızla hareket etmekte olan 4 kg lık bir cismin hızını 30m/s ye çıkarmak için
kaç joule luk enerji verilmelidir?
Çözüm:
1
1
m. v 22  v12  4. 30 2  10 2
2
2
E k  2.800  1600 J

Ek 



Örnek 6.9 45m yükseklikteki A noktasından bırakılan bir cismin C noktasındaki yere
çarpma hızı kaç metredir?(g=10m/s2)
Çözüm :
1
mv 2 , v  2 gh  2.45.10
2
v  30 m / s
mgh 
Örnek 6.10
37 lik eğime sahip 20m yüksekliğindeki
B
F
sürtünmesiz bir eğik düzlemde serbest
bırakılan 40kg lık kütle 0,4 sürtünme
h
katsayılı düzlemde A noktasından kaç m
N
G
ileriye gidebilir?

C
A
Çözüm: Eğik düzlemde hareketi veren F kuvveti
1
mv 2  4.40.10  1600 J
2
Fs  kmg  0,4.40.10  160 J
E p  E k ; mgh 
Ws  E p ;160 .r  1600
r  10 m
38
(sin37=0.6,g=10m/s2)
Örnek 6.11 Esneklik sabiti k=20N/m olan bir 25cm sıkıştırılarak önüne 100g lık bir cisim
konuyor. Yay serbest bırakıldığında cismi kaç m/s lik hızla fırlarır?
Çözüm :
k  x 2 20 N / m  25 2.10 4 m 2

2
2
4
E p  10  625  10  0.625 J
EP 
E p  Ek ;
m v2
 0.625; v  1.250  1.18 m / s
2
6.3 Güç,Birim zamanda yapılan iş miktarıdır.
1Kw= 100W
P(watt)=W(joule)/t(s),
verim 
1 hp=746Watt
alinaniş
verileniş
Örnek 6.12 20 saniyede 1200joul ısı yayan bir ocağın gücü kaç wattır?
P=1200/20=60W
Örnek 6.13 Bir deniz motorunun hızı 18km/saat iken pervanenin gücü 40 beygirdir.Motor
bu hızla durdurmak istenirse bağlı olduğu ipte kaç N luk gerilme yaratır?
Çözüm:
18000
 5m / s
3600
W F .r
P

 F .v
t
t
P 40.746
F 
 8.746 N
v
5
F  5968 N
Verimi %80 olan bir motor 20m derinliğindeki bir kuyudan dakikada 90lt su
v
Örnek 6.14
çekebilmektedir.Bu motorun gücü kaç wattır ve bu işi yaparken kaç joule enerji
harcamaktadır?
Çözüm :
Motorun yaptığı iş ,
W  20.90.1.10  18000 J
ve harcadığı
W 18000 J

 300 w
t
60 s
P  300W
verim=alınan iş/verilen iş veya verim=alınan güç/verilen güç ifadesinden,
Güç
,
P
verim 
pa
Pv
300 3000

0.80
8
Pv  375 w
Pv 
39
bulunur.
Harcanan enerji; E  Pv  t  375  60 J
E  22500 J
Örnek 6.15
Yerden yukarıya doğru v hızıyla
fırlatılan m cismi kaç metre yukarıya
çıkabilir?( g=10m/s2)
h=?m
v=4m/s
m=2kg
Çözüm : Sahip olduğu kinetik enerji sıfır oluncaya kadar yükselmeye devam eder.Bu
durumda kinetik enerjisi tamamıyla potansiyel enerjiye dönüşür.
Ek  E p
1
 m  v2  m  g  h
2
v 2  2 gh
v2
42
h

 0,8m
2 g 2  10
Şekildeki cisim 6m/s hızla giderken AB
sürtünmeli yoluna giriyor. Bu yolda en
fazla kaç metre ilerleyebilir?
Örnek 6.16
v=6m/s
m=5kg
A
B
k=0.2 , g=10m/s2
Çözüm:
Enerjisi bu yolda tamamen tükeninceye kadar yol alır. Sürtünme kuvveti bu enerjiyi iş
yaparak çeker.
Ek 
1
m  v 2  Fs  x
2
x
1
 5  6 2  0, 2  5  10  x
2
40
90
 9m
10
BÖLÜM-7:ELEKTRİK
7.1 Elektrik yükleri
Maddeleri oluşturan atomlar sahip oldukları elektron durumuna göre maddeyi pozitif veya
negatif yüklü kılar.
Bir maddeyi oluşturan atomlar kolay elektron verebilen türden ise maddeye pozitif değerlik
kazandırır.
Eğer madde kolay elektron alabilen türden atomlardan oluşmuş ise negatif değerlik
kazanır. Benzer yüklü maddeler birbirini iterken, zıt yüklü maddeler birbirini çeker.
Elektrik yükü bakımından yüksüz olan maddelere nötr denir. Bunlar elektriği iletmezler.
Elektrik akımı metallerin içindeki serbest elektronların hareketi ile meydana gelir.
Elektrik yükleri kendilerinden r kadar uzaklıktaki bir noktada q yük miktarı ile doğru, r
uzaklığının karesi ile ters orantılı olarak,
E= q/r2
şiddetinde bir elektrik alanı meydana getirir.
Elektrik alan çizgileri(ışınları) yönü + yükten dışarıya doğru, - yükte ise içeri doğru
yönelmiştir.
+
+
-
a)
b)
-
c)
Şekil 7.1 a) + yükün , b) – yükün ve c) dipolün
elektrik alan çizgileri
Bir E elektrik alanı içine konan Q yüküne etkiyen kuvvet
F  Q  E ile verilir.
41
Bir
Q yükünü r uzaklığındaki bir noktadan alan kaynağının sıfır noktasına kadar
yaklaştırmak için,
W=F.r= Q.E.r
veya
W 
Q.q.r Qq

r
r2
kadar bir iş yapılmalıdır. Burada q/r
V=q/r
ifadesi potansiyel olarak adlandırılır.Bu durumda yapılan iş,
W=Q.V
formunu alır.
Birimler;
Elektrik alanı E Yük Q veya q
Kuvvet F
Enerji=iş W
Potansiyel V
Birim sistemi
N/C
N
J
V
MKS
dyn
erg
statvolt
cgs
C
dyn/statcoulmb Stat coulomb
1 Coulomb yük=3.109 statcoulomb dur.
Örnek 7.1 +50 coulmb değerindeki bir yükün kendisinden 2m uzaklıktaki bir noktaya konan
+10c luk bir yüke etkiyen kuvvet kaç N dir? ve bu yükleri üst üste getirmek için kaç joulluk
iş yapılması gerekir?
Çözüm ;
q=50c
a)
r=2m
A
EA=?
q 50

 12.5 N / C
4
r2
F  Q  E  10.12,5 N
E
F  125N
b) W  F  r  125  2  250J
42
7.2 Akım ve Direnç
r=2m
Bir iletkenin iki ucuna uygulanan potansiyel farkının yaratığı elektrik alanı iletkenin
içindeki elektronları harekete zorlar. Belirli kesitten birim zamanda geçen elektrik yük
miktarına akım denir.
I ( A) 
I=Q/t ile verilir.
Q (Coulomb )
1 A  10 3 mA  10 6 A  10 9 nA
;
t ( s)
Örnek 7:2 Kesitinden 12 dakikada 600C yük geçen bir iletkenin akımı kaç A dir?
Çözüm:
I
Q 7200 C

 10 A
t 12  60 s
Bir V potansiyeli altında tutulan iletkenin içinden geçen I akımına oranı sabittir. Buna
direnç denir. Direnç birimi Ohm () dur.
V
R
R=V/I
I
-
+
V
Şekil 7.2 Sabit sıcaklıktaki bir iletkenin akım-voltaj grafiği
I
Örnek 7.2 400voltluk potansiyel altında tutulan bir iletkenden 20A akım akıyorsa direnci
kaç ohm dur?
Çözüm:
R
400V
 20ohm
20 A
V potansiyeli altındaki bir R direncinden t süresi içinde geçen yük miktarı Q ise bu yüke karşı
yapılan iş,
W  V  Q olur. Birim zamanda yapılan iş güç olduğuna göre,
43
P
W
Q
 V   VI olarak yazılabilir. Buna bir direncin gücü denir ve
t
t
P=V.I veya , V=R.I den
P=R.I2
formuna sokulabilir.
Örnek 7.3 1200 watt lık bir ısıtıcının 200 volt taçektipi akım kaç amperdir?
Çözüm : I  1200W  6 A
200V
Örnek 7.3 40 ohm luk bir direnç 240V luk bir kaynak ile beslendiğinde kaç 10 saniyede kaç
joule enerji harcar?
Çözüm:
I
240V
 6A
40ohm
,
W  P  t  240  6 10  14400 J
7.3 Ohm Kanunu
Kapalı bir devreyi besleyen potansiyel farkı devrenin toplam eşdeğer direnci ile akımın
çarpımına eşittir.
R1
R2
n
R3
V
-
V  I  Ri  r 
i 1
I
r
Örnek 7.4
+
8
25
Şekildeki devrenin potansiyeli kaç
V
5
I=3A
+
r=2
Çözüm:
V  3  (2  8  25  5)
V  120 volt
Örnek7.5
8
22
44
V=132v
volttur?
Şekildeki devreden 4A akım akması için
r iç direnci kaç amper olmalıdır?
Çözüm:
4  r  132  48  22 
4  r  132  120
12
r
 3ohm
4
7.4 Dirençlerin bağlanması ; Elektrik ve elektronikte akım kontrol elemanı olarak kullanılan
devre elemanlarından biri olan dirençlerin değerlerini çeşitli bağlama metotları ile elde
etmek mümkündür. Seri , paralel ve karışık olarak uygulanan bağlama çeşitleri piyasada
bulunamayan veya acil durumlarda gereksinim duyulan bazı direnç değerlerine kolaylıkla
ulaşılmasını ve bazı devre hesaplamalarında kolaylıklar sağlar.
a) Seri bağlama ; Dirençlerin uç uca eklenmesi ile oluşan bağlama türüdür. Eşdeğer
direnç tüm dirençlerin cebirsel toplamıdır ve tüm dirençlerden aynı akım geçer.
R1
R2
R3
A
B
V AB  V1  V2  V3
R AB  I  I ( R1  R2  R3 )
R1
I
R2
V1
V2
R AB  R1  R2  R3
V3
R3
V
8Ω
Örnek 7.6 : Şekildeki devrenin akımı kaç amperdir?
I
V1
V2
6Ω
V
48
Çözüm: I 

 3
R 8 2 6
V=48v
45
2Ω
b) Paralel bağlama; Dirençlerin birer uçları ortak bir noktada toplanacak şekilde yapılan
bağlama türüdür.
R1,V1
V  V1  V2  V3
I1
I  I1  I 2  I 3
R2 ,V2
A
I2
I
V
V V
V
 1 2  3
R AB R1 R3 R3
1
1
1
1



R AB R 1 R 2 R 3
B
R3, V3
I3
V
12Ω
Örnek 7.7 : Devreden geçen akım kaç amperdir?
Çözüm: I 
6Ω
V
1
1 1 1 6 1
,
   

Reş Reş 12 6 4 12 2
I
16
 8A
2
4Ω
7.5 Kondansatör:
V=16v
Kondansatörler elektrik yükü depo eden devre elemanlarıdır. Yapılarına göre
elektrolitik(kutuplu, paralel veya silindirik), kutupsuz (sabit veya ayarlanabilir) gibi
sınıflandırılabilir. Genelde elektrolitik kondansatörlerin üzerinde voltajı ve kapasitesi
belirtilir. Ayarlı kondansatörlerin üzerinde max ve min değerleri belirtilirken, kutupsuz
kondansatörlerin üzerinde renk kodlar bulunur.Birinci ve ikinci renk kodları yan yana
yazılarak üçüncü renk onun üstü olarak yazılır ve piko farad olarak okunur. Dördüncü renk
tolerans ve beşinci renk çalışma gerilimi olarak yazılır.
Paralel Levhalı Kondansatör:İki iletken levha arasına bir yalıtkan madde yerleştirilmesi ile
oluşur.Bir V potansiyelli altında q yükü depolayan kondansatörün depoladığı yükün
potansiyeline oranı sabittir.Bu sabite kapasite (sığa) denir.
Yalıtkan(ε)
C
anot
katot
A
+q
q
-q
anahtar
I
d
q (Coulomb )
( farad )C 
V (Volt )
t
V
46
q  q0  e
 t / RC
C 
Arada yalıtkan varken ölçülen değer.   m 3  kg 1  s 2 C 2
A
d
Boşlukta ölçülen değer.  0  8,859  10 12 C  N 1  m _ 2
A
C0   0 
d

r 
0
relative yalıtkanlık sabiti
Örnek 7.8 : 100 V altında 1200C yük depolayan bir kondansatörün kapasitesi kaç
mikrofaraddır?
Çözüm:
q 1200
C 
 12 F
V
100
C  12 10  6 F
Bazı kondansatör sembolleri ve anlamları:
+
C
kutupsuz
C
ayarlanabilir
kutuplu
C
C
trimer
Seri bağlama: Kondansatörlerin ardışık veya birer uçlarının ortak olacak şekilde bağlanması
ile oluşan bağlama türüdür.
CA
CB
C1
C2
C3
1
1
1
1



C AB C1 C 2 C 3
Örnek 7.9 :
12F, 4F ve 9F üç kondansatör seri olarak 50 volta bağlanırsa Kaç C yük biriktirir?
Çözüm:
q  C eş  V
1
1 1 1 1 3  2 1

  

C eş 12 4 6
12
2
q  2  50  100 C
47
Paralel bağlama: Kondansatörlerin birer uçlarının kendi aralaında ortak olacak şekilde
bağlanması ile oluşur.
C1
C2
CA
CB
C AB  C1  C 2  C 3
C3
Örnek 7.10 :
C1=3F , C2=6F, C3=2F ise
Çözüm: a)
CAB=3F+6F+2F=11F
a) paralel durumda CAB=? F
b) seri durumda
b)
1
1 1 1
   
C AB 3 6 2
1
4  2  6 12


1
C AB
12
12
CAB=? F
48
BÖLÜM –8
MALZEME ÖZELLİKLERİ
8.1 Giriş
Güncel yaşamımızın çok çeşitli alanlarında kullandığımız araç ve gereçlerin işlevlerini
yapıldıkları malzemelerin özellikleri belirler. Dolayısı ile uygun iş ve amaca hizmet edecek
malzeme tipini belirlemek önemlidir. Bunun için de kullanılacak malzemenin tanınması , tüm
özelliklerinin bilinmesi gerekir.Su ile temas halinde olan ortamlarda çabuk korezyone olan
malzemelerin kullanılmasından kaçınılmalıdır.Yüksek hararetli ortamlarda çabuk deforme
olan plastikler kullanılmamalıdır. Kolay kırılgan veya gerekli esnekliğe sahip olmayan
malzemeler ile gerilme sınırları yüksek olan malzemelerin kullanılma yerleri doğru
kararlaştırılmalıdır.
8.2 Paslanma(Korozyon, yenim)
Paslanma metallerde, metal atomlarından elektron uzaklaşması biçiminde gelişen
ve serbest elektron sayısının daha az olduğu daha kararlı bileşiklerin oluşması ile
sonuçlanan elektrokimyasal tepkimedir(demir oksit gibi). İki farklı metal birlikte bir
çözeltinin(elektrolitik) içine konursa metallerden biri diğerinden daha hızlı iyon verir
ve bu hız farkı iki metal arasında elektrik gerilim farkı yaratır. Metallerin nemli
havanın veya suyun oksijenini alarak oluşturdukları bir yanma olayıdır.Bazı metaller
bulundukları ortamın oksijeni ile kolay reaksiyona girerken, bazı metaller de bu çok
yavaş gelişir veya hiç olmaz. Demir ve Bakır Aluminyum ile karşılaştırıldığında daha
kolay paslanır. Krom ve platin gibi malzemeler ise hiç paslanmazlar.Paslanmanın
olabilmesi malzemenin kolay elektron verebilmesi veya kaybetmesi ile ilişkilidir.
8.3 ESNEKLİK
Cisimler dış etkenler karşısında az veya çok şekil değiştirirler. Bu şekil
değişimleri moleküler teoriler ile detaylı ve karmaşık hesaplar ile ortaya konabilmekte ise de
basit fiziksel yaklaşımlar ile de ölçülebilir sonuçlar elde edilebilir. F kuvvetinin etkisiyle
şekil değiştiren bir cisim bu kuvvetin kaldırılması ile tamamen eski haline geri dönebiliyorsa
bu cisme tam esnek cisim, kısmen dönebiliyorsa yarı esnek ve hiç dönemiyor ise esnek
olmayan cisim denir. Kuvvet etkisinde kalan cisimlerin yapısında meydana gelen değişimler
şu şekilde sıralanabilir.
49
1. Sıkıştırma kuvvetleri katı cisimlerin boyunda kısalmaya ve hacimsel değişime neden
olur.
F
F
F
F
2. Germe kuvvetleri katı cismin boyunda uzama ve hacimsel değişime neden olur.
F
F
F
F
3. Yandan uygulanan kuvvetler cisimde kayma (makaslama) deformasyonu meydana
getirebilir.
F
F

4. Katı cisimler eğilme veya bükülme deformasyonu gösterebilirler.
F kuvvetinin etkisiyle şekil değiştiren bir esnek cismin esnekliğinin bozulmaksızın
dayanabileceği maksimum kuvvete o cismin esneklik sınırı denir. Esneklik sınırı aşılmadıkça
bütün cisimler, k: esneklik katsayısı ve L boyda meydana gelen değişim olmak üzere;
F   k  L
Hook kanununa uyarlar.
Böyle bir değişimde depolanan enerji tamamen potansiyel enerjidir. Eğer L0 dan L1 re kadar
gerilmiş olan bir cisim için yapılan iş;
dW  F  dl
W   k  l  dl
olur.
kl 2
W 
2
50
Şekildeki yayın depoladığı potansiyel enerji
Örnek 8.1
k=50N/m
F=?N
kaç joule dur, uygulanan kuvvet kaç N dir?
x=10cm
Çözüm:
1
1
 kx 2   50  0.12  0.25 J
2
2
F   k  x  50  0.1  5 N
W 
8.4 Zor ve Zorlanma: S yüzeyine uygulanan bir F kuvvetinin birim yüzeye düşen miktarına
zor veya basınç denir.
Zor = P  F , F  P  S
S
Örnek 8.2
F(N)/S(m2)=P(pascal), 1Mpascal =1N/ mm2 =0.1Kpound/ mm2
4 mm2 kesitli bir bakır telin ucuna bağlanan 20kg lık bir kütlenin telde yarattığı
zor kaç paskaldır?
Çözüm:
F G Mg
20  10 N
 

S
S
S
4  10  6 m 2
P  25  10 6 pascal
p
Zorlanma:Bir cismin boyutlarında veya hacminde meydana gelen izafi (oransal veya bağıl)
değişmedir.
Germe(boyca) zorlanması=  =
Örnek 8.3
l1  l0 l

l0
l0
1m boyundaki bakır telde 200N kuvvetin meydana getirdiği uzama miktarı
0.2cm ise germe zoru kaçtır?
Çözüm:  
 l 0 .2

 2  10 3
l 0 100
8.5 Esneklik modülü: Esneklik sınırları içinde zorun, zorlanmaya oranına denir.Bu özellik
maddenin sabit bir özelliğidir.Boy ile ilgili zor ve zorlanmanın oranına uzama esnekliği
modülü( boyca young modülü) denir.
Boyca Young modülü =y =
F /S
uzamazoru
 n
(birim kesit yüzeyine dik etkiyen
uzamazorla nması l / l
kuvvet)
51
Örnek 8.4 500 kg kütleli bir cisim 2m uzunluğunda ve 10mm2 kesitli çelik çubuğa
asıldığında 40mm uzamaya neden oluyorsa
a) Zor =?pascal
b) Zorlanma=?
c) Boyca young modülü=?
Çözüm:
Fn 500 kg 10 N / kg

S
10 10 6 m 2
y  5 10  4 pascal
a) Zor= y 
b) Zorlanma=  
l 40 10 3 m

 2 10  3
l0
2  10 m
4
c) Boyca young modülü= y  5 10  0.25
2 10 3
Hacimce Young modülü: Hacim ile ilgili zor ve zorlanmanın oranına hacimsel esneklik
modülü veya ( Hacimce Young modülü) denir.
Hacim(balk) modülü = B = 
Ft / S
P

V / V
V / V
Örnek 8.5 Bir hidrolik lift içinde bulunan k=2.10-5A-1 sıkışma sabitli ve 100 lt hacmindeki
yağın 250A basınc altındaki hacimsel daralması kaç cm3 olur?
Çözüm :
k
1 V

p V0
V  p  V0  k  250  100  2  10 5 lt
V  5  10 1 lt
52
8.6 Kesme modülü: Kesme(makaslama) zorunun, kesme zorlanmasına oranıdır.
F
Kesme modülü = s =
kesmezoru
F /S
 t
kesmezorlanması


Örnek 8.6 Kesme modülü 3,5.1011 din/cm2 olan pirinçten yapılmış 50x50x5cm boyutlu
prizmatik cismin 0,2mm eğilmesi için kaç N kuvvet uygulanmalıdır?
Çözüm: Kesme zoru=
Ft
F
F
 t  t
S 250 250
Kesme zorlanması=   tan  
0,02
 4  10  4
50
F / 250
F
 1  3,5  10 11
4
4  10
10
10
F  3,5  10 din
Kesme modülü= s 
F  3,5  10 5 N
53