İntegral 8

İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
İNTEGRAL İLE ALAN HESABI
y
y
y=f(x)
b
a
y
y=f(x)
x
UYARI 2
b
a
x
[ a , b ] a r a l ı ğ ı n d a f (x ) i ş a r e t d e ğ i ş t i r i yo r s a ,
f o nk s i yo n p a r ç a l a r a a yr ıl ır
y=f(x)
b
a
a
Ş e k i l d e y= f ( x ) e ğ r i s i yl e x e k s e n i a l t ı n d a
k al a n a l a n ı b u lm a k i ç i n e ğ r i n i n a l t ı n d a
k al a n b ö l g e yi d ik d ö r t g e n l e r e a yı r ı r v e b u
a l a n l a r ı t o p l a ya r ak b i r R i e m a n n t o p l a m ı
e l d e e d e r i z.
E l d e e d i l e n R i em a n n t o p l a m ı n a i n t e g r a l
h e s a b ı n t em e l t e o r em i n i u yg u l a ya r a k
a ş a ğ ı d a k i s o n u ç l a r ı ç ık a r ı r ı r ı z
A2
c
x
b
A1
Ta r a l ı t o p l am a l a n = A 1 + A 2
b
c
b
=∫|f ( x )|dx=−∫ f ( x ) dx+∫ f ( x ) dx
a
a
c
UYARI 3
ALAN HESABI
y
a
b
x
f : [ a , b ] →ℝs ü r e k l i f f o nk s i yo n u i l e x = a , x= b
v e O x e k s e n i a r a s ı n d a k al a n b ö l g e n i n
b
a l a n ı ∫||f ( x )||dx i l e h e s a p l a n ı r.
a
y
b
y=f(x)
∫ f (x )dx
www.matbaz.com
y=f(x)
Ta r a l ı a l a n
y=f(x)
y
x
Ş ek i l d ek i
taralı
bölgelerin
alanları
v e r i lm i ş t i r
y=f(x)
y
a
c
9
3
b
x
b
Soru 1
∫ f (x )dx = ?
a
İ s t e n e n a l a n l a r ın i ş a r e t l i ( c e b i r e l ) t o p l am ı
olup cevap -9+3=-6 olur
S o r u 2 [ a , b ] a r a l ığ ın d a O x ek s e n i v e
y= f ( x ) e ğ r i s i yl e s ın ır l ı a l a n k a ç b r 2 d i r ?
İstenen toplam alanlar olup integralle
a
a
b
x
b
if a d e s i
∫∣f ( x )∣dx v e
eşiti 9+3=12 olur
a
A l a n s o r u l a r ı n ı ç ö zm e k i ç i n u yg u n ş ek l i
ç i ze r i z, g e r ek i r s e i n t e g r a l l e r i p a r ç a l a r v e
u yg u n a r a l ık l a r d a i n t e g r a l l e r i h e s a p l a r ı z
UYARI 1
N o t f (x ) < 0 i s e
y
Örnek...1 :
b
Ta r a l ı a l a n −∫∣f ( x )∣dx
a
a
b
x
y=f(x)
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
y= x + 3 d o ğ r u s u x = - 1 , x= 2 d o ğ r u l a r ı v e x
e k s e n i a r a s ın d a k a l a n a l a n k a ç b r 2 d i r ?
21
2
1/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
Örnek...2 :
Örnek...6 :
y = x 2 p a r a b o l ü , y = 0 v e x = 2 d o ğ r u l a r ı n ın
s ı n ı r l a d ı ğ ı k ap a l ı b ö l g e n i n a l a n ı k aç b r 2 ?
Grafiği verilen
y= f ( x ) f o n k s i yo n u
y=f(x)
y
2
için
8
3
∫ x.f ( x2 +3) dx = ?
0
4
6
2
7
3
x
5
3
Örnek...3 :
2
y=3− x e ğ r i s i i l e o x ek s e n i a r a s ı n d a k al a n
3
kapalı bölgenin alanı kaç br2 dir?
12
Örnek...7 :
y = 9 x - x 2 e ğ r i s i x = - 1 v e x= 1 d o ğ r u l a r ı v e
o x e k s e n i a r a s ın d a k al a n b ö l g e n i n a l a n ı k aç
b r 2 d i r.
Örnek...4 :
y
Ş ek i l d ek i y= f ( x )
y=f(x)
parabolü ve x ekseni
a r a s ı n d a k al a n t a r a l ı
a l a n k aç b i r i m k ar e d i r ?
-1
1
x
-1
4
3
www.matbaz.com
9
Örnek...8 :
8
v e x= 5 d o ğ r u s u v e x e k s e n i
x
a r a s ın d a k a l a n a l a n ı h e s a p l a yı n ı z
y= x ² , y=
8 8 ln 5
+
3
2
Örnek...5 :
Ş ek i l d ek i t e p e n o k t a s ı A
o l a n y= f ( x ) p a r a b o l ü i l e
x ek s e n i a r a s ı n d a k a l a n
a l a n k aç b i r i m k ar e d i r ?
y
4
A(2,4)
x
2
y=f(x)
32
3
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
2/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
DEĞERLENDİRME 1
1) y=x+1 doğrusu x=0, x=3 doğruları ve x ekseni
arasında kalan alan kaç br2 dir?
y=f(x)
5) Grafiği
verilen y=f(x)
fonksiyonu için
15
2
2
∫ x.f ' (x ) dx
y
4
9
2
3
7
x
8
0
-4
2) Şekildeki y=f(x) parabolü ve x ekseni
arasında kalan alan kaç
y=f(x)
birim karedir?
y
8
x
-2
6) y=x²-2x parabolü x=1 ve x=5 doğruları ve x
ekseni arasında kalan alanı hesaplayınız.
www.matbaz.com
16
3
y
3) Şekildeki tepe noktası
T(r,6) olan y=f(x)
parabolü ile x=2 ve x=4
ve x ekseni arasında
kalan alan kaç birim
karedir?
y=f(x)
7
T
2
x
4
56
3
7) y= 5 , x=e ve x=e19 doğruları ve x ekseni
x
arasında kalan alanı hesaplayınız
90
12
2
27
4) y = 4 - x2 eğrisi x = 1 ve x=3 doğruları ve Ox
ekseni arasında kalan bölgenin alanı kaç br2
dir
4
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
3/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN
y
Örnek...9 :
y = x2 eğrisi ile y = x + 12 doğrusu arasında
k al a n k a p a l ı b ö l g e n i n a l a n ı k a ç b r 2 d i r ?
y
y=g(x)
y=f(x)
343
6
y=g(x)
y=f(x)
A
x
a
xx
a
b
b
İ k i e ğ r i a r a s ı a l a n b u l u n u rk e n g r a f ik l e r
a r a s ı n d a k i a l a n yi n e d i k d ö r t g e n l e r e
bölünerek alan Riemann toplamına
d ö n ü ş t ü r ü l ü r.
y
K
y=g(x)
Örnek...10 :
y=f(x)
x
L
a
y = x 2 - 1 4 v e y = 4 - x 2 p a r a b o l l e r i a r a s ın d a
k al a n k a p a l ı b ö l g e n i n a l a n ı k a ç b r 2 d i r
72
G e n e l o l a r ak e ğ r i l e r a r a s ı n d ak i a l a n ı
b u l m ak i ç i n g r af ik l e r ç i zi l d i k t e n s o n r a O y
e k s e n i n e p a r a l e l K L ş e r i d i ç i zi l i r. B u
ş e r i d i k e n d i s i n e p a r a l e l o l a r a k k a yd ı r a r a k
b ö l g e yi t a r a d ı ğ ı m ı zd a ü s t v e h e p y = f (x )
e ğ r i s i ü ze r i n d e a l t u c u d a h e p g ( x ) e ğ r i s i
ü ze r i n d e d e ğ i şm e s i g e r e k i r. Ş e k l i
i n c e l e yi n i z
b
Bu durumda alanA=
www.matbaz.com
b
∫∣f ( x )−g (x )∣dxo l u r.
a
A k s i t a k d i r d e i n t e g r a l i p a r ç a l am a k g e r e k i r
y
a
L
c
4
15
y=g(x)
K
Örnek...11 :
y= x 2 v e y= x 4 e ğ r i l e r i a r a s ın d a k a l a n a l a n ı
b u l u n u z.
x
b
y=f(x)
Ta r a l ı a l a n l a r t o p l am ı
b
c
b
∫∣f ( x )−g (x )∣dx=∫ ( f ( x )−g (x ) )dx +∫ ( g( x )−f ( x ) )dx
a
a
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
c
4/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
Örnek...12 :
Örnek...14 :
y= x 3 v e b u e ğ r i ye x= 1 d e ç i zi l e n t e ğ e t i
a r a s ı n d a k al a n b ö l g e n i n a l a n ı n ı
4
∫ √ 16−x2 dx
27
4
i n t e g r a l i n i h e s a p l a yın ı z .
0
4π
Örnek...15 :
√2
2
∫ ( √ 1−x 2−x ) dx
Örnek...13 :
0
y= √ x v e y= x - 2 d o ğ r u s u v e x e k s e n i
a r a s ı n d a k al a n a l a n ı b u l u n u z .
π
8
www.matbaz.com
18−2 √ 2
3
Örnek...16 :
y
Ş ek i l d ek i m er k e zc i l d a i r e n i n n
ç a p ı 1 2 b i r i m d i r. t a r a l ı a l a n ı
integralle ifade ediniz
x
6
∫ ( √ 36−x 2−6 +x ) dx
Hatırlatma
S t a n d a r t ç em b e r d e nk l e m i n i k ul l a n a r a k
aşağıdaki bağıntıları elde ederiz
0
X=F(Y) VE Y EKSENİYLE SINIRLANDIRILMIŞ
ALANLAR
Örnek...1 :
x = f ( y) f o n k s i yo n l a r ı p a r a b o l d e nk l em l e r i n i
ya z ı n ı z
1)
y
x=f(y)
A(3,18)
x
2
x= y
108
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
5/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
y
2)
Y EKSENİNDE ALAN HESABI
x=f(y)
2
y
b
x
-4
Ta r a l ı a l a n =
b
∫ f ( y ) dy
x=f(y)
a
-2
a
U YA R I 1
N o t x= f ( y) < 0 i s e
x
x=f(y)
2
x= y
4
3)
b
b
t a r a l ı a l a n = - ∫ f ( y ) dy
y
3
x=f(y)
y
x
a
a
UYARI 2
27 x
[ a , b ] a r a l ı ğ ı n d a f ( y) i ş a r e t d e ğ i ş t i r i yo r s a ,
f o nk s i yo n p a r ç a l a r a a yr ıl ır
-3
y
b
x=−3 y 2+27
x
x=f(y)
y
x
4)
T(2,-7)
x=
−2 2
( y +14 y )
49
www.matbaz.com
Ta r a l ı t o p l am a l a n
b
c
b
a
a
c
= ∫|f ( y )|dy=∫ f ( y ) dy−∫ f ( y ) dy c
x=f(y)
a
İKİ EĞRİ ARASINDA KALAN ALAN
y
x=g(y)
b
taralı alan
5)
∫|g ( y )−f ( y )|dy
b
a
y
c
x=f(y)
b
∫ ( f ( y )−g ( y )) dy+∫ (g ( y )−f ( y ) )dy
a
c
L
K
2
A(5,1)
x
x
c
a
x=5 ( y−2 )2
x=f(y)
UYARI
y= f ( x ) e ğ r i s i v e r i l i p y ek s e n i i l e s ın ı r l ı
b ö l g e n i n a l a n ı s o r u l d u ğ u n d a s ık l ık l a
v e r i l e n f on k s i yo n u n t e r s i yl e i ş l em
ya p a r ı z .
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
6/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
Örnek...2 :
Örnek...4 :
Ve r i l e n p a r a b o l l e r v e y ek s e n i yl e
s ı n ı r l a n d ı r ı lm ı ş t a r a l ı a l a n l a r ı b u l u n u z
y = lnx eğrisi, y = 1 ve y = 3 doğruları ve Oy
e k s e n i a r a s ın d a k a l a n k ap a l ı b ö l g e n i n a l a n ı
k aç b r 2 d i r ?
e3-e
y
A(1,3)
2
1)
x
x=f(y)
8
3
Örnek...5 :
Grafiği verilen y=f(x) fonksiyonuna göre
−2
∫ f ( x ) dx +∫ f
−3
y
y
2
−1
(x ) dx kaçtır?
1
y=f(x)
2
1
A(4,32)
x
-3
x=f(y)
-2
1
96
x=f(y)
y
1
www.matbaz.com
2)
-2
-1
Örnek...6 :
G r af i ğ i v e r i l e n y= 2 x v e y= 8 / x
f o nk s i yo n l a r ı v e y e k s e n i
a r a s ı n d a k al a n t a r a l ı b ö l g e n i n 8
a l a n ı k aç b i r i m k ar e d i r ?
y
y=2x
y=8/x
3)
4
x
x
-1
4+8ln2
16
3
Örnek...7 :
Ş ek i l d ek i m er k e zc i l d a i r e n i n n ç a p ı
1 4 b i r im s e t a r a l ı a l a n ı
integralle ifade ediniz
Örnek...3 :
y= e x e ğ r i s i y= 1 , y= e v e y ek s e n i a r a s ı n d a
k a l a n a l a n k aç b i r i m k a r e d i r ?
y
x
1
0
∫ (√ 49−x 2−x−7) dx
−7
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
7/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
2
5)
DEĞERLENDİRME 2
1) y=x2 vey=2x+8 doğrusu arasında kalan alanı
bulunuz.
∫ √ 4−x 2 dx=?
−2
2π
36
y
6) y=ex fonksiyonu y=e ile y
ekseni arasında kalan taralı
bölgenin alanı kaç birim
karedir?
y=ex
e
x
2) y=x2 vey=4x-x2 arasında kalan alanı bulunuz.
1
www.matbaz.com
8
3
3) y=x3 vey=x4 arasında kalan alanı bulunuz.
7) x = -y2 +6 parabolü ile x = y doğrusu
tarafından sınırlanan kapalı bölgenin alanı kaç
br2 dir?
125
6
1
20
y
8) Şekilde doğru ile merkezcil
daire arasındaki taralı
bölgenin alanını integralle
-4
ifade ediniz
4) f(x)=x2 ve g(x)=(x-2)2 ile x ekseni arasında
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir.
2
3
0
x
2
y
∫ (√ 16−y 2−2 + 2 )dy
−7
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
8/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
9)
y=
27
ve y=x2 eğrileri ve y=16 doğrusu
x
12)
arasında sınırlı bölgenin alanı kaç birim
karedir?
√ x+ √ y=1 bağıntısıyla birinci
bölgede sınırlı bölgenin alanı
kaç birim karedir?
y
√ x+ √ y=1
74
3
+54 ln
3
4
()
x
1
6
y
32
3
www.matbaz.com
10) y=-x²+x+6 ile y=x+2 doğrusu arasında kalan
alanı bulunuz.
13) Şekilde y=f(x)
fonksiyonunun türevinin
grafiği verilmiştir. f(0)=3
ise f(3) kaçtır?
1
1
-1
3
x
y=fı(x)
1
2
11) y=x3 fonksiyonu x=1 noktasındaki normali ve
x=0 doğrusu ile sınırlandırılmış bölgenin alanı
kaç birim karedir?
14) f ( x )= √ x−2 , g ( x )=x2 +2 fonkiyonları ve x=18 ile
y=18 doğruları ve eksenler arasında kalan
bölgenin alanı kaç birim karedir?
11
12
716
3
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
9/10
İNTEGRAL
İNTEGRAL HESABI-ALAN HESABI
y
15) Şekilde y=f(x)
fonksiyonunun grafiği
verilmiştir. Buna göre
7
∫∣f ' ( x )∣dx kaçtır?
18) x=y 2−4 ile y=3 doğrusu ve y ekseni ile
düzlemin 1. bölgelsinde sınırlandırılmış
bölgenin alanı kaç birim karedir?
y=f(x)
4
5
-2
x
7
−2
7
3
24
16) x=y parabolü ile x = 0 ve y = 2 doğruları
arasında kalan bölgenin alanı kaç br2 dir?
x
-2
www.matbaz.com
6ln6-5
-1
Şekilde merkezi orjin olan dörtte
bir çember yayı veriliyor. Doğru ile
daire arasında kalan taralı bölgenin
alanını integralle ifade ediniz
8
3
17) y = ex eğrisi ile y = 6 doğrusu ve oy ekseni
arasında kalan kapalı bölgenin alanı kaç br2
dir?
y
19)
2
0
y
∫ (√ 4−y 2−1−2 )dy
−2
20) Şekildeki merkezcil elips
ve doğru ile sınırlandırılmış
bölgeyi integralle ifade
ediniz.
y
x
-4
-2
-3
3 π−3
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı
10/
10/10