v vektörü uzayında tanımlı olsun c bir skaler olmak üzere, n cv c v elde edilir. Burada c , c skalerinin mutlak değeridir. uzayında tanımlı iki vektör u ve v arasındaki uzaklık n (mesafe), d u, v u v u 1 v u v 2 1 n n 2 Uzaklık Ölçünün Özellikleri 1. d u, v 0 2. d u, v 0 ancak ve ancak u v 3. d u, v d v, u Tanım: Bir V reel vektör uzayındaki iç çarpım u.v, bu uzaydaki tüm vektörler için aşağıdaki aksiyomları sağlayan ve V vektör uzayındaki her u ve v vektörleri ile u.v reel sayısını bağdaştıran bir fonksiyondur. 1. u.v v.u 2. u.v w u.v u.w 3. cu.v cu .v u.cv 4. v.v v 2 5. v.v 0 ve v.v 0 ancak ve ancak v 0 İç Çarpım ve İki Vektör Arasındaki Açı Sıfırdan farklı her hangi u ve v gibi iki vektörün arasındaki açısının belirlenebilmesi için üçgenler üzerinde tanımlanan cosinüs kanunu kullanılır: v u v u . v u 2 v.v u u.v u v.v 2u.v u.u İç çarpım özellikleri uygulanarak, Cosinüs kanunu: v u v u 2 v u Cos 2 2 2 Cosinüs denklemi Cos için çözüldüğünde, v u v u v v u u 2 v u Cos v 1 u v u 2 1 n 2 n v v u u 2 2 2 2 1 n 1 n 2 v u Cos Cos u v u v uv Cos u.v uv 1 1 n n Ortogonal Vektörler Tanım: u ve v vektörleri uzayında tanımlı olsun, n u.v 0 eşitliği sağlanıyor ise vektörler ortogonaldir. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği Tanım: Eğer u ve v vektörleri uzayında tanımlı ise, n u.v u v eşitsizliği geçerlidir. Burada u.v değeri iç çarpımın mutlak değeridir. İspat: Eğer u 0 ise. 0.v 0 ve 0 v 0 teorem sağlanır. Eğer u 0 ise. t olmak üzere tu v vektörü ele alınsın. Bu durumda, tu v . tu v 0 tu v . tu v t u.u 2t u.v v.v 0 2 eşitsizliği sağlanır ve a u.u , b 2u.v, c v.v alınarak at bt c 0 2 Bu karesel ifade asla negatif olmayacağı için kökler karmaşıktır ya da katlı tek kök vardır. Diskriminant, b 4ac 0 2 4u.v 4u.uv.v 2 Karekök alınarak, u.v u.u v.v u v Üçgen Eşitsizliği Bir üçgenin iki kenar uzunlukları u ve v olsun. Üçüncü kenar uzunluğu u v olacaktır. Tanım: Üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamından büyük olamayacağı için Üçgen Eşitsizliği: uv u v İspat: u v u v . u v 2 u.u v vu v u.u 2u.v v.v u v 2u.v 2 2 2 2 u v 2 u.v Burada Cauchy-Schwarz u.v u . v eşitsizliği kullanılarak; u v u v 2 u v u v 2 2 2 2 uv u v elde edilir. Pisagor Teoremi Üçgen eşitsizliğinin ispatında, 2 2 u v u 2 u.v v 2 elde edilmişti. Eğer u ve v vektörleri ortogonal ise Pisagor Teoremi; 2 2 uv u v 2 elde edilir. İç Çarpım ve Matris Çarpımı n uzayındaki bir u u1 , u2 ,..., un vektörü nx1 boyutlu sütun vektörü (matris) olarak tanımlanabilir. u u . u . . u 1 2 n Bu durumda iki vektörün iç çarpımı, u vektörünün transpozunun v vektörü ile matris çarpımı v v . . . . u u v ... u v . . v 1 2 u.v u v u T 1 u 2 1 n 1 n n n ile gösterilebilir. İç Çarpım Uzayında Ortogonal İzdüşüm Tanım: u ve v vektörleri uzayında tanımlı olsun. Eğer v n vektörü sıfırdan farklı ise u vektörünün v üzerindeki ortogonal izdüşümü, v vektörü yönünde olup uzunluğu v vektöründen farklıdır, iz vu a v Eğer a 0 ise cos 0 . a v a v u cos v u cos u.v v v sonuç olarak a skaleri a u.v v u.v v.v 2 ve ortogonal izdüşüm vektörü, iz u v u.v v v.v Şekil 5.11 Ortogonal İzdüşüm ve Uzaklık Tanım: V iç çarpım uzayındaki iki vektör u ve v olsun. v 0 olmak üzere, d u, iz vu d u, cv , c u.v v.v İspat: İzdüşüm vektörünün skaleri u.v v.v olsun. Herhangi bir izdüşüm vektörü ile u vektörü arasındaki b uzaklığın karesi, u cv u bv b c v 2 2 olup u bv ve b c v ortogonal vektörlerdir. u bv.b cv 0 Pisagor Teoremi uygulanarak u bv b c v 2 u bv b c v 2 u cv u bv b c v 2 2 2 2 2 2 Bu eşitlikte b c ve v 0 olduğundan b c 2 v 0 ve sonuç olarak; u bv u cv 2 2 d u, bv d u, cv Şekil 5.14 Ortogonal ve Ortonormal Kümeler Bir vektör uzayının farklı bazlara sahip olabileceği daha önce belirtildi. Bununla birlikte bazı özelliklere sahip bazlarla çalışmak daha uygundur. Tanım: V iç çarpım uzayında tanımlı bir S vektör kümesi olsun. Kümedeki her vektör çifti ortogonal ise ortogonal, ek olarak kümedeki her bir vektör, birim vektör ise ortonormal olarak adlandırılır. S v , v ,...,v 1 Ortogonal; 2 n için vi . v j 0 i j Ortonormal; vi . v j 0 i j vi 1 i 1,2,..., n Ortogonal Kümeler Doğrusal Bağımsızdır. Tanım: Eğer bir S v1 , v 2 ,..., v n vektör kümesi V iç çarpım uzayında tanımlı sıfırdan farklı ortogonal vektörlerin bir kümesi ise S kümesi doğrusal bağımsızdır. İspat: Doğrusal bağımsızlık için c1 v1 .... cn v n 0 Denkleminin tek çözümü c c ... c 0 1 2 n olmalı. S kümesindeki her bir vektör ile bu denklemin her iki tarafının iç çarpımı; (c1 v1 .. ci v i .. cn v n ).v i 0.v i c1 v1 .v i ... ci v i .v i ...cn v n .v i 0 S kümesi ortogonal olduğundan v i . v j 0 ve denklem ci vi .vi 0 i j için eşitliğine indirgenir. S kümesindeki vektörler sıfırdan farklı olduğundan, v i . v i v i 2 0 Sonuç olarak ci 0 olmalıdır. Sonuç olarak küme doğrusal bağımsız olmalıdır. Tanım: V boyutu n olan bir iç çarpım uzayı ise, sıfırdan farklı herhangi n adet ortogonal vektörün oluşturduğu küme, V için bir baz oluşturur. Ortonormal Baza Göre Koordinatlar Tanım: Eğer S v1 , v 2 ,..., v n kümesi bir V iç çarpım uzayının ortonormal bazı ise, herhangi bir w vektörünün S ortonormal bazına göre koordinatı: w.v 1 v1 ... w.v n v n w İspat: S kümesi V için bir baz tanımladığından türetendir. c1v1 ... cn v n w denklemin her iki tarafının v i ile çarpımı c1 v1 .vi ... ci vi .vi ... cn v n .vi w.v i S kümesi ortogonal olduğundan, ci v i .vi w.v i S kümesi ortonormal olduğundan, w.v i ci Standart (ortonormal) Baza Göre Koordinatlar Örnek olarak 2 uzayı ve onun standart(ortonormal) bazı i (1,0) j (0,1) ele alınsın. 2 uzayındaki herhangi bir vektör w olsun. Bu vektör w iz w 1 i w iz w 2 j olmak üzere ww w 1 2 yazılabilir. i, j vektörleri birim vektör olduğundan w .i iz w i w . i i c i i .i i iz w j 1 w.j j w . jj c j j. j 2 w c ic j 1 2 burada c1 ve c2 katsayıları koordinatlardır. Şekil 5.17 Ortogonal Bütünleyen uzayının bir S alt uzayı verilmiş olsun. S kümesindeki her n bir vektöre ortogonal olan tüm vektörlerin kümesi, S kümesinin ortogonal bütünleyeni olarak adlandırılır. Tanım: Eğer S kümesi uzayının bir alt uzayı ise, S n kümesinin ortogonal bütünleyeni, S u , u.v 0 tüm v S için n Sıfır alt uzayının 0 ortogonal bütünleyeni, uzayının n kendisidir. Bu ifadenin tersi de geçerlidir. uzayının bir alt uzayının bütünleyeni aynı zamanda n uzayının bir alt uzayıdır. n uzayının bir alt uzayının ortogonal bütünleyeni, matrisin n boş uzayının Ax 0 çözülmesi ile bulunur. Ortogonal Alt Uzaylar uzayının iki alt uzayı, her bir alt uzaydaki vektörler diğer n alt uzaydaki vektörlere ortogonal ise ortogonal alt uzaylardır. Tanım: S1 ve S2 kümeleri uzayının alt uzayları olsun. S1 n kümesindeki tüm v1 vektörleri ve S2 kümesindeki tüm v2 vektörleri için v .v 0 1 2 koşulu sağlanıyor ise ortogonal alt uzaylardır. Eğer S1 ve S2, uzayının ortogonal alt uzayları ise, kesişim n kümesi sadece sıfır vektörünü içerir. Örnek: A matrisi 1 2 1 0 A 0 0 0 1 Satırları uzayındadır. Satır uzayı Ax b , 4 1 0 2 0 R A , R A r ,r 1 0 0 1 1 Boş uzayı Ax 0 , 2 2 1 1 0 N A , 0 1 0 0 N A n ,n 1 2 r .n 0 i i N A R A Doğrudan Toplam uzayının iki ortgonal alt uzayı S1 ve S2 olsun. Bu uzaydaki n her bir vektör x , S1 kümesinden bir s1 vektörü ve S2 n kümesinden bir s2 vektörünün toplanmasıyla eşsiz bir şekilde s s x 1 2 elde edilebilir. Diğer bir ifade ile uzayı, S1 ve S2 alt n uzaylarının toplamı S S n 1 2 şeklinde elde edilebilir. Ortogonal Alt Uzayın Özellikleri uzayının bir alt uzayı S olsun. n 1. dim S dim S 2. S S 1 3. S n n 2 S Alt Uzay Üzerine İzdüşüm Bir vektörün bir diğer vektör üzerine izdüşümü iz u v daha önce açıklanmıştı. Konu bir v vektörünün bir S alt uzayına izdüşümü açıklanarak genellenecektir. S S n olması nedeniyle uzayında tanımlı bir v vektörü, S alt n uzayından bir vektör ve S alt uzayından bir vektörün toplamı olarak vv v 1 v S , v S 2 1 2 yazılabilir. v1 vektörü S alt uzayı üzerine v vektörünün izdüşümüdür ve v iz v 1 S ile gösterilir. Benzer şekilde v2 vektörü S alt uzayı üzerine v vektörünün izdüşümüdür ve v iz v 2 S ile gösterilir. Alt uzaylar ortogonal oldukları için, v v v v iz v 2 1 S yazılabilir. Diğer bir deyişle v2 vektörü S alt uzayına diktir, v v. 2 1 uzayının bir S alt uzayı verildiğinde S için bir ortanormal n baz, Gram-Schmidt yöntemi ile bulunabilir. Daha sonra da S üzerine v vektörünün izdüşümü elde edilebilir. Tanım: uzayının bir alt uzayı S için ortanormal baz n u ,...,u ve v ise iz v v.u u v.u u n 1 t S 1 1 t t elde edilir. Bir Matrisin Temel Alt Uzayları Boyutu m×n olan bir A matrisi için, R(A) satır uzayı, C(A) sütun uzayı, N(A) boş uzay, N A T sol boş uzay temel alt uzaylardır. R(A) ve N(A), uzayının ortogonal alt uzaylarıdır. n C(A) ve N A , uzayının ortogonal alt uzaylarıdır. m T RA N A n C A N A T m En Küçük Kareler Problemi Bazı denklem sistemleri çözümsüzdür. Bununla birlikte bu tip sistemler için mümkün olan en iyi çözümün nasıl elde edilebileceği araştırılabilir. Çözümsüz sistemler için bir çözümün elde edilebilmesi genellikle en küçük kareler regresyon doğrusunun elde edilmesi probleminde ortaya çıkar. En Küçük Kareler Regresyon Doğrusu uzayındaki üç nokta (1,0), (2,1), (3,3) olsun. Bu üç noktaya 3 en iyi uyumu sağlayan, y c c x 0 1 doğrusu nasıl bulunabilir? Eğer bu üç nokta bir doğru üzerinde olsaydı, aşağıdaki denklem sistemi c c 0 0 1 c 2c 1 0 1 c 3c 3 0 1 çözümlü olurdu. Bu sistem, 1 1 A 1 2 1 3 0 b 1 3 c x c 1 2 alınarak matris yapısında Ax b tanımlanabilir. Bunula birlikte noktalar bir doğru üzerinde olmadığı için, sistem çözümsüzdür. Bu nedenle Ax b şeklinde çözüm veren bir x vektörü bulmak imkansızdır. Fakat Ax ve b vektörleri arasındaki farkı Ax b minimize eden bir x vektörü araştırılabilir. Vektörler arasındaki fark, hata olarak adlandırılır. Bu minimizasyon probleminin çözümü x c , c T 0 1 ile elde edilen doğru y c cx 0 1 regresyon doğrusu olarak adlandırılır. Bu problemin çözümünde, ortogonallik ve izdüşüm kavramları kullanılır. Yukarıdaki problemin daha genel bir yapısı, m×n boyutlu bir A matrisi ve uzayında tanımlı bir b vektörü ile m verilebilir. Tanım: Boyutu m×n olan bir A matrisi ve uzayında m tanımlı bir b vektörü verilmiş olsun. Ax b 2 fonksiyonunu minimize eden, uzayında tanımlı x n vektörünün elde edilmesi, en küçük kareler problemi olarak adlandırılır. Problem, Ax b uzaklığını en küçükleyen bir x vektörünün belirlenmesidir. Burada A, m×n boyutlu bir matris, b ise m uzayında bir vektördür. A matrisinin sütun alt uzayı S = C(A) olsun. b vektörünün S alt uzayında yer almadığı kabul edilsin. Çünkü b vektörü, S alt uzayında ise Ax b tutarlı (çözümlü) bir denklem sistemidir. Problem, b vektörüne olabildiğince yakın olan ve S alt uzayında yer alan bir Ax vektörünü bulmaktır. Daha önceki bilgiler ışığında, araştırılan vektör b vektörünün S alt uzayı üzerine ortogonal izdüşümü tanımlayan vektördür. Ax iz b s Ayrıca Ax b iz b b s vektörünün S = C(A) uzayına ortogonal olduğu görülebilir. Diğer bir ifadeyle Ax b vektörü, C(A) alt uzayına diktir. Aynı zamanda N A T alt uzayındadır. C A N A T olduğundan A Ax b 0 T ortogonallik koşulu sağlanmalıdır. A Ax A b T T denklem sistemi (normal denklemler) elde edilir. En küçük kareler probleminin çözümü n×n boyutlu doğrusal denklem sisteminin çözümüne indirgenmiştir. Bilinmeyen vektörü x A A A b 1 T T Alt uzaydaki izdüşüm vektörü iz b Ax AA A A b T 1 T S Burada S alt uzayı için izdüşüm matrisi H AA A A T 1 T