Alt Vektor Uzayi

2.2- Alt Vektör Uzayı
27
2.2− ALT VEKTÖR UZAYI
1. H = {(t, −5t) : t ∈ R} olduğuna göre H kümesinin, R2 uzayının bir alt vektör uzayı olduğunu gösteriniz. Bu alt vektör uzayını geometrik olarak açıklayınız.
Cevap: Geometrik olarak H kümesi, düzlemde başlangıç noktasından ve (1, −5) noktasından geçen doğrudur.
––––––––––––––––—
2. H = {(t + 1, 2t) : t ∈ R} olduğuna göre H kümesinin, bir alt vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz.
Cevap: H kümesi, bir alt vektör uzayı değildir.
3. H =
gösteriniz.
––––––––––––––––—
2t, 3t2 : t ∈ R olduğuna göre H kümesinin, bir alt vektör uzayı olup olmadığını
Cevap: H kümesi, bir alt vektör uzayı değildir.
––––––––––––––––—
4. R3 uzayında H = {(4a + 3b, −2a + b, b) : a, b ∈ R} eşitliğiyle verilen H kümesinin, bir
alt vektör uzayı olduğunu gösteriniz. Bu alt uzayı üreten bir küme bulunuz.
Cevap: {(4, −2, 0) , (3, 1, 1)} kümesi, H alt uzayının bir üretecidir.
––––––––––––––––—



−4t


5. H =  2t − s  : t, s ∈ R olduğuna göre H kümesinin, M31 (R) uzayının bir alt


5t − 3s
vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz.
Cevap: H kümesi, alt vektör uzayıdır.
––––––––––––––––—
6. 3 × 1 biçimindeki matrislerin kümesi M31 (R) ile gösteriliyor.



 −t + s

H =  −s  : t, s ∈ R


t−s
olduğuna göre H kümesinin, M31 (R) uzayının bir alt vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz.
Cevap: H kümesi bir alt vektör uzayıdır.
7. H =
t − 2k
−t
0
3k
––––––––––––––––—
: t, k ∈ R olduğuna göre H kümesinin, M2 (R) uzayının bir alt
Mat 201 Lineer Cebir Çalışma Soruları
28
vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz.
Cevap: H kümesi, alt vektör uzayıdır.
––––––––––––––––—
8. Aşağıda verilen kümelerin alt vektör uzayı olup olmadığını gösteriniz.



 −4t

(a) H = {(2t, −7t) : t ∈ R}
(b) S =  4t2  : t ∈ R


5t



 3t − s

t−k
t


(c) S =
2s + 3t : t, s ∈ R
(d) S =
: t, k ∈ R
−3t 5k


t+s
Cevap: (a) H kümesi, Rn uzayının bir alt vektör uzayıdır.
(b) S kümesi, M31 (R) uzayının bir alt kümesidir. Alt vektör uzayı değildir.
(c) S kümesi, M31 (R) uzayının bir alt vektör uzayıdır.
(d) S kümesi, M2 (R) uzayının bir alt vektör uzayıdır.
––––––––––––––––—
n
9. A ∈ Rm
n olsun. x ∈ R1 olmak üzere Ax = 0 olacak biçimdeki x matrislerinin kümesi
H olsun. H nın bir alt vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
Cevap: H kümesinin alt vektör uzayı tanımını sağladığını gösteriniz.
––––––––––––––––—
10. A ∈ Mn (R) olsun. x ∈ Mn1 (R) olmak üzere Ax = x olacak biçimdeki x matrislerinin kümesi H olsun. H nın bir alt vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
Cevap: H kümesinin alt vektör uzayı tanımını sağladığını gösteriniz.
––––––––––––––––—
11. A ∈ Mn (R) olsun. H = {X : X ∈ Mn (R), AX = XA} olduğuna göre H kümesinin,
Mn (R) uza-yının bir alt vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
Cevap: H kümesinin alt vektör uzayı tanımını sağladığını gösteriniz.
––––––––––––––––—
12. n × n biçimindeki simetrik matrislerin kümesinin, Mn (R) uzayının bir alt vektör uzayı
olduğunu gösteriniz.
2.2- Alt Vektör Uzayı
29
Cevap: Verilen kümenin alt vektör uzayı tanımını sağladığını gösteriniz.
––––––––––––––––—
13. n × n biçimindeki ters simetrik matrislerin kümesinin, Mn (R) uzayının bir alt vektör
uzayı olduğunu gösteriniz.
Cevap: Verilen kümenin alt vektör uzayı tanımını sağladığını gösteriniz.
––––––––––––––––—
14. n × n biçiminde, izi sıfır olan matrislerin kümesi H olsun. H kümesinin Mn (R) uzayının bir alt vektör uzayı olduğunu gösteriniz.
Cevap: Verilen kümenin alt vektör uzayı tanımını sağladığını gösteriniz.
––––––––––––––––—
Kaynaklar:
“Mühendislik ve İstatistik Bölümleri Lineer Cebir ”; Arif Sabuncuoğlu. Nobel Yayıncılık.
“Mühendislik ve İstatistik Bölümleri Çözümlü Lineer Cebir Alıştırmaları”; Arif Sabuncuoğlu. Nobel Yayıncılık.
“Elementary Linear Algebra”, Kolman, Bernard and Hill, R, David. Prentice-Hall, inc.
Englewood Cliffs, New Jersey, 2008.
“Elementary Linear Algebra”, Anton, Howard and Rorres, Chris. John Wiley & Sons,
New York, Chicherter, Brisbane, Toronto, Singapore, 2005.