xy ve inf( , ) - Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü

Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
LATİS SIRALANMIŞ 2-BÖLÜNEBİLİR GRUPLAR
*
Lattice Ordered 2-Divisible Groups
Şebnem UYSAL
Matematik Anabilim Dalı
Ali ÖZKURT
Matematik Anabilim Dalı
ÖZET
Bu çalışmada Gusic tarafından yapılan bir çalışma incelenmiş olup bu
çalışmada sözü geçen bazı teoremlerin ispatlarına farklı açılardan yaklaşılmıştır.
Gusiç bu çalışmasında Arşimed aksiyomunu sağlayan 2-bölünebilir latis sıralı
grupların C topolojisi ile birer topolojik grup olduğunu göstermiştir.
Anahtar Kelimeler: Latis sıralı grup, N normu, C topoloji, C grup.
ABSTRACT
In this work, we study Gusic’s work with some different aproaches for some
theorems In addition Gusic shows that if a lattice ordered group is 2-divisible and
satisfies Archimedes’ axiom then this group is a topological group with C topology.
Key Words: Lattice ordered group, N norm, C topology, C group
Giriş
Latis sıralı toplamsal grupların ve bu gruplardaki norm fonksiyonunun bir
takım özellikleri incelenip bu gruplarda kabul edilebilir elemanlar olarak adlandırılan
bir takım özel elemanlar tanıtılmıştır. Daha sonra bu özel elemanlar yardımıyla
latis sıralı gruplar üzerinde tanımlanan bir topoloji incelenmiştir ve Arşimed
aksiyomunu sağlayan 2-bölünebilir latis sıralı grupların bu topoloji ile bir ayrık
olmayan topolojik grup olduğu gösterilmiştir.
Tanım 1: A toplamsal bir sıralı grup olsun. Eğer 
x , y  A için
sup( x, y) ve inf( x, y) varsa A ya latis sıralı toplamsal grup denir.
inf( x, y) =  sup( x,  y)
dır.
Tanım 2: A latis sıralı toplamsal grup olsun. N: A  A olmak üzere
N( x )= | x| =sup( x ,  x )  x  ( x)
biçimindeki fonksiyona mutlak değer fonksiyonu veya N normu denir.
Teorem 1: N bir A latis sıralı toplamsal grubu üzerinde N norm olsun. O zaman
(i) N ( x)  sup( x,0)  inf( x,0)
(ii) N( x )= x  x ≥0 ve özel olarak N(N( x ))=N( x )
*
Yüksek Lisans Tezi-MSc. Thesis
87
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
(iii) N( x )≥0
(iv) N( x )=0  x =0
(v) N (mx) | m | N ( x) , x  A ve m 
(vi) N( x + y )≤ N( x )+N( y )
için
Tanım 3: G bir toplamsal grup olsun. Eğer her x  G için
y  y  ...  y  x olacak şekilde bir y  G varsa G grubuna n-bölünebilir
n  defa
y  G varsa bu elemanın tek olduğu kolayca görülür.
x
Dolayısıyla bu y  G elemanını
ile göstereceğiz. Her n 
için n-bölünebilir
n
grup denir. Böyle bir
gruplara kısaca bölünebilir gruplar denir.
Tanım
4:
A,
2-bölünebilir
latis
sıralı
toplamsal
grup
olsun.

  C  A ={ x  A: x ≥0} ve
i) 0  C
ii) ( x  C ve y ≥ x )  y  C
iii) x , y  C  inf ( x , y )  C
x
iv) x  C 
C
2

ise C  A \{0} kümesine kabul edilebilir elemanların bir kümesi, C nin
elemanlarına da kabul edilebilir elemanlar denir.
Teorem 2: Varsayalım
a , A nın bir pozitif elemanı olsun.
Aa ={ x  A: x ≥ a } alalım. O zaman Aa tanım 4 deki i, ii ve iii sağlar.
Şimdi  n 
için
1
Aa ,n = n1 Aa olarak tanımlayalım. O zaman Aa ,n 1  Aa ,n olduğu
2
kolayca görülür. C= nN Aa ,n olarak alınırsa C kabul edilebilir elemanların bir
kümesidir. Bu küme a yı içeren minimal kabul edilebilir elemanların kümesidir.
Tanım 5: A, 2 bölünebilir latis sıralı toplamsal grup ve C, A nın kabul
edilebilir elemanlarının kümesi olsun. x0  A ve r  C olmak üzere
U x0 ,r ={ x  A: r-N( x - x0 )  C}
kümesine
x0 merkezli r yarıçaplı açık C –disk denir.
88
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
Teorem 3: A, 2 bölünebilir latis sıralı toplamsal grup olsun. O zaman açık
C-diskleri A üzerinde bir topolojinin bir bazıdır. Bu topolojiye C topolojisi denir.
İspat: i)
ii)
x0 U x0 ,r olduğundan A=
U x0 ,r olur.
z0 U x0 ,r U y0 , R olsun.
c1  r  N ( z0  x0 ),
Dolayısıyla
olur. 
x0 A
c2  R  N ( z0  y0 )  C
 inf(c1 , c2 ) olsun. U z0 ,  U x0 ,r U y0 , R olduğunu gösterelim.
x  U z0 , olsun. Dolayısıyla c3    N ( z0  x)  C olur. O halde
r-N( x - x0 ) = r-N( x - z0 + z0 - x0 ) ≥ r-N( x0 - z0 )+  -N( z0 - x )= c3 + c1 -ε >

c3 +ε-ε= c3  C olup dolayısıyla tanım 4 (ii) den
r-N( x - x0 )  C bir başka ifade ile x  U x0 , r sonucu elde edilir. Benzer şekilde
y0 )=R-N( x - z0 + z0 - y0 ) ≥ R-N( y0 - z0 )+  -N( z0 - x )- 
= c3 + c2 -  > c3 +  -  = c3  C
olup x  U y0 , R elde edilir.
R- N( x -
NOT 1: A, 2 bölünebilir olmasa bile teorem 3 geçerlidir. Bu durumda tanım
4 ün iv. maddesine ihtiyaç yoktur. Ayrıca N normunun C topolojisi ile sürekli olduğu
kolayca görülebilir.
Kolayca görülüyor ki eğer Vx0 , r ={ x  A: N( x - x0 )< r } ve
Fx0 ,r ={ x  A:N( x - x0 )  r} ise o zaman U x0 ,r  Vx0 ,r  Fx0 ,r dir.
Örnek 1: A=
ve ( a ,b)≤(c,d )  ( a ≤c  b≤d ) biçiminde tanımlanan sıralama
olsun. O zaman A bölünebilir latis sıralı toplamsal gruptur.
2
sup (( a , b), (c, d ))=(sup( a , c), sup(b, d )), A ={( a , b): a ≥0  b≥0}dır ve
C={( a ,b): a >0  b>0} kümesi kabul edilebilir elemanların bir kümesidir.
U ( x0 , y0 ),r ={( x , y )  2 :- r < x - x0 < r ve - r < y - y0 < r } ;
F( x0 , y0 ),r ={( x , y ) 
2
:- r ≤ x - x0 ≤ r ve - r ≤ y - y0 ≤ r };
V( x0 , y0 ),r = F( x0 , y0 ),r \{( x0 + r , y0 + r ), ( x0 + r , y0 - r ), ( x0 - r , y0 + r ),( x0 - r , y0 - r )}.
Bu yüzden A üzerindeki C topoloji
denktir. Öte yandan C ={( x ,
y) 
2
89
:(
2
üzerindeki standart topolojiye
x ≥0)  ( y >0)}kümesi de kabul
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
edilebilir elemanların bir kümesidir. Fakat bu kümeye uygun C topolojisi
üzerinde standart topoloji değildir.
2
Teorem 4: A, 2 bölünebilir latis sıralı toplamsal grup ve C kabul edilebilir
elemanların bir kümesi olsun. O zaman
(i) C, C topolojisinde bir açık kümedir.
(ii) A=C-C
c
c
c
ise sup( x -c, - x +c)< olup x -c< ve
2
2
2
c
c
3c
– x +c< dir. Dolayısıyla
≤x ≤
olur. Bu sebeple U c  C dir.
c,
2
2
2
2
(ii) Her x  A ve her c  C için teorem 1 (i) den
x =sup( x ,0)-sup(- x ,0)=(sup( x ,0)+c)-(sup(- x ,0)+c)  C-C olur.
İspat: (i) c  C ve N( x -c)≤
A, latis sıralı toplamsal grup ve C kabul edilebilir elemanların bir kümesi
olsun. Eğer her x, y  C için ny  x olacak şekilde bir n 
varsa A ya C
arşimedyan grup denir.
Tanım 6: Eğer A bir latis sıralı, 2 bölünebilir, C arşimedyan grup ise A ya
bir C grubu diyeceğiz.
Örnek 2: A, örnek 1 deki gibi tanımlansın. Eğer biz C={( x ,y): x >0, y >0}
olarak alırsak o zaman A bir C grubudur. Eğer C={( x , y ):x≥0, y >0} olarak
alırsak o zaman A bir C grubu değildir.
Örnek 3: Tüm dyadic sayıların
Q2 grubu bir C grubudur.
Teorem 5: A bir C grubu olsun. Bu durumda her
x
+c  C olacak şekilde bir n 
2n
x  A ve her c  C için
vardır.
İspat: c  C, x  A olsun. O zaman teorem 4 (ii) den
x = c1  c2 dir. Bundan dolayı her n 
arşimedyan grup olduğundan c 
c1 , c2  C vardır öyle ki
c
c
x
için n = 1n – 2n . A, C
2
2
2
c2
>0 olacak şekilde bir n 
2n
Dolayısıyla
90
vardır.
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
c
c
x
+c= 1n +(c– 2n )  C
n
2
2
2
dir.
Tanım 7: Eğer her 
bir
n0 
 C için n≥ n0 iken  -N( x - xn )  C olacak şekilde
varsa x  A elemanına is xn dizisinin limiti denir ve
lim xn  x ile
gösterilir.
Teorem 6: (i) F  A olsun. O zaman F nin kapanışı
clF ={ lim xn : xn  F}
dir.
(ii)
A = clC
X ={ x :F de bir xn dizisi için lim xn = x } olsun. x  X
varsayalım. O zaman x in her komşuluğu F i keser. Bu yüzden X  clF olur.
İspat: (i)
Varsayalım ki
x  clF ve   C ve U n , yarıçapı

2n
olan
x etrafındaki açık C
x  clF olduğundan her n  için
U n  F  Ø olur. xn  U n  F seçelim. O zaman x = lim xn dir. Bu yüzden
clF  X olur.

(ii)
Varsayalım x  A olsun. Bir keyfi c  C seçelim. O zaman
c
lim ( x + n )= x
2
diski olsun.
c
 C dir. Dolayısıyla x  clC olup A  clC dir.
n
2
x  clC alalım. O zaman x = lim xn , xn  C için. N normunun sürekliliğinden ve
teorem 1 (ii) den Nx =N( lim xn )= lim (N xn )= lim xn = x . Bu yüzden x ≥0 olup
ve her n 
için
x+
x  A olur. Dolayısıyla A = clC dir.
Teorem 7:
x ≥0 ve her c  C için x <c ise o zaman x =0 dır.
91
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
x >0 olsun. x = lim xn (her n  için xn  C) olur.
Dolayısıyla yeteri kadar büyük bir n 
ve keyfi   C için N( x - xn )<  olur.
İspat: Varsayalım ki
Dolayısıyla
-  < x - xn olup
xn < x + 
olur.
Bu
yüzden yeterince büyük
için xn < x +  <  +  =2  yazılabilir. Dolayısıyla yeteri kadar büyük bir K

n
bir

için
xK
x
x
 C alınırsa xK  K  K  xK olur. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla x=0
2
2
2
olmalıdır.
Teorem 8: A bir Hausdorff uzaydır.
İspat: Varsayalım
x ve y nin
zaman

4
x , y  A ve x  y olsun. Eğer N( x - y )=   C ise o
komşulukları
U
x,
gösterelim. Varsayalım ki z  U
x,


ve
 U
y,
4
U
y,
4


için
U
4
x,
olsun. z  U
x,
4

 U
y,
4

4
ise

=Ø olduğunu
4

-N( x -z)  C dir.
4

z  U  ise -N( y -z)  C dir. N( x -y)=N( x -z+z- y ) =  alalım.
y,
4
4



 - N( x -z+z- y )> -N( x -z)+ -N( y -z)> -N( x -z)  C olup  -  =0  C olur
4
4
4
ki bu da çelişki yaratır.
Şimdi varsayalım ki N(x-y)
 A \C olsun. Bir ötelemeden sonra y =0

varsayabiliriz. Dikkat edilirse 0 ile N( x )  A elemanlarının açık kümelerle
ayrılabilir olduğunu göstermek yeterlidir. Dolayısıyla x >0 varsayılabilir.
İddia:  ( U
, 0  U ve x  U)
Varsayalım ki iddia yanlış olsun. Dolayısıyla her c  C için
teorem 7 den x =0 olup bir çelişki verir.
açık
Şimdi
x  U 0,2 olsun. V  U
x V
olduğu
z  U 0,
 V olsun.
açıktır.

x  ,
2
x <c olup
alalım.
Şimdi U 0,
V  
olduğunu
gösterelim.
z U 0, olduğundan   N ( z)  C ve dolayısıyla   N ( z ) olur. Benzer
92
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
şekilde z  V ise
x

=N (x



  N ( z  x  )  C    N ( z  x  ) . Öte yandan
) N ( x
2
2
x  U 0,2 olması ile çelişir.

2
2
2
-z)+ N (z)<2  . Dolayısıyla
x
3
olur. Bu ise
2
Teorem 9: Her C grubu topolojik gruptur.
f : A  A, f (a)  a ve g : A  A  A, g(a, b)=a  b olsun.
, -a  V )  (U açık a  U ) vardır öyle ki f(U)  V olduğunu
( V
göstermeliyiz. V = U  a , ={ x  A:  -N( x +a)  C}olsun. U= U a , alalım. x  U ise
İspat:
açık
 -N( x -a)  C dir.  -N(- x +a)=  -N( x -a)
f(U)  V dir. Dolayısıyla f süreklidir.
Şimdi
gösterelim.
W=
U x0  y0 ,
V = U
y0 ,

2
olsun.(x,y)=z
 C olduğundan f(x)= - x  V olup
g : A  A  A, g(a, b)=a  b fonksiyonunun sürekli olduğunu
alalım. U=
U
x0 ,
={y

2
={ x :

: -N( y - y0 )  C}
2

-N( x - x0 )  C}.
2
alalım. g(U× V )
 W g( x , y )  g(U× V )
 U× V olur.
 -N( x0 + y0 -( x + y ))≥



-N( x - x0 )+ -N( y - y0 ) > -N( x - x0 )  C olup
2
2
2
x + y  W dur.
Dolayısıyla g(U× V )  W olduğundan g süreklidir. Bununla birlikte A
g( x , y )=
Hausdorff uzay olduğundan bir topolojik gruptur.
Kaynaklar
BOURBAKİ, NİCHOLAS ; Elements of mathematics algebra Hermann Paris
(1974)
BOURBAKİ, NİCHOLAS ; Elements of mathematics general topology
Addison-Wesley Reading, Mass (1966)
GUSİC. I ; A Topology On Lattice Ordered Groups
Proc. Amer.Math.Soc.126 (1998), No. 9,2593-2597
93
Ç.Ü Fen Bilimleri Enstitüsü Yıl:2009 Cilt:20-1
94