q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNİN BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Pelin KARATAŞLI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 2015 Pelin KARATAŞLI tarafından hazırlanan “ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNİN BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ” adlı tez çalışması aşağıdaki jüri tarafından OY BİRLİĞİ ile Gazi Üniversitesi Matematik Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Prof. Dr. Ogün DOĞRU Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum ...………………… Başkan : Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum …………………... Üye : Prof. Dr. Oktay DUMAN Matematik Anabilim Dalı, TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi Bu tezin, kapsam ve kalite olarak Yüksek Lisans Tezi olduğunu onaylıyorum Tez Savunma Tarihi: …………………... 05/02/2015 Jüri tarafından kabul edilen bu tezin Yüksek Lisans Tezi olması için gerekli şartları yerine getirdiğini onaylıyorum. …………………….……. Prof. Dr. Şeref SAĞIROĞLU Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü ETİK BEYAN Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Tez Yazım Kurallarına uygun olarak hazırladığım bu tez çalışmasında; Tez içinde sunduğum verileri, bilgileri ve dokümanları akademik ve etik kurallar çerçevesinde elde ettiğimi, Tüm bilgi, belge, değerlendirme ve sonuçları bilimsel etik ve ahlak kurallarına uygun olarak sunduğumu, Tez çalışmasında yararlandığım eserlerin tümüne uygun atıfta bulunarak kaynak gösterdiğimi, Kullanılan verilerde herhangi bir değişiklik yapmadığımı, Bu tezde sunduğum çalışmanın özgün olduğunu, bildirir, aksi bir durumda aleyhime doğabilecek tüm hak kayıplarını kabullendiğimi beyan ederim. Pelin KARATAŞLI 05/02/2015 iv q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNİN BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ (Yüksek Lisans Tezi) Pelin KARATAŞLI GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Şubat 2015 ÖZET q-Balazs-Szabados operatörlerinin bir genelleşmesinin yaklaşım özelliklerinin incelendiği bu tezde ilk olarak Korovkin teoremi ispatlanmış; Balazs ve Balazs-Szabados operatörlerinin tanımı verilmiş; bazı özellikleri incelenerek Balazs-Szabados operatörlerinin q analoğu ve ilgili bazı kavramlar tanıtılmıştır. Daha sonra ise Korovkin teoremi yardımıyla q-Balazs-Szabados operatörlerinin Korovkin tip yaklaşım özellikleri incelenmiş; süreklilik modülünün tanımı ve özellikleri verilerek süreklilik modülü yardımı ile q-Balazs-Szabados operatörünün yaklaşım hızı elde edilmiştir. Ayrıca Volkov teoreminin yardımıyla iki değişkenli q-Balazs-Szabados operatörleri tanıtılarak q-BalazsSzabados operatörlerinin özellikleri incelenmiştir. Son olarak ise iki değişkenli süreklilik modülü yardımıyla iki değişkenli q-Balazs-Szabados operatörlerinin yaklaşım özellikleri incelenmiştir. Bilim Kodu : 204.1.138 Anahtar Kelimeler : Lineer pozitif operatörler, Korovkin tipli teoremler, süreklilik modülü, q-serileri, q-Balazs-Szabados operatörleri Sayfa Adedi : 33 Danışman : Prof. Dr. Ogün DOĞRU v APPROXIMATION PROPERTIES OF A GENERALIZATION OF q-BALAZS SZABADOS OPERATORS (M. Sc. Thesis) Pelin KARATAŞLI GAZİ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES February 2015 ABSTRACT This thesis in which a generalization of q-Balazs-Szabados operators is introduced and the approximation properties of these operators are investigated, first of all, Korovkin theorem is proved; definitions of Balazs and Balazs-Szabados operators are given, some properties of these operators are investigated and q-analogue of Balazs Szabados operators and some related concepts are introduced. After that, Korovkin type approximation properties of qBalazs-Szabados operators are investigated via Korovkin theorem; the definition of modulus of continuity and some features of it are given and rate of convergence of qBalazs-Szabados operators are obtained via modulus of continuity. Moreover, twovariable q-Balazs-Szabados operators are defined and some properties of them are investigated via Volkov theorem. Finally, approximation properties of bivariate q-BalazsSzabados operators are investigated via modulus of continuity. Science Code Key Words Page Number Supervisor : 204.1.138 : Linear positive operators, Korovkin type theorems, modulus of continuity, q-serials, q-Balazsa-Szabados operators : 33 : Prof. Dr. Ogün DOĞRU vi TEŞEKKÜR Bu tezi hazırlama sürecinde beni her aşamasında yönlendiren, sabırla ilgilenen,saygıdeğer hocam , Sayın Prof. Dr. Ogün DOĞRU ‘ ya en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. vii İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET .............................................................................................................................. iv ABSTRACT .................................................................................................................... v TEŞEKKÜR .................................................................................................................... vi İÇİNDEKİLER .............................................................................................................. vii SİMGELER VE KISALTMALAR................................................................................. viii 1. GİRİŞ........................................................................................................................ 1 2. q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİ……………………………… 9 3. KOROVKİN TİP YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ .......................................... 11 4. q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRÜNÜN SÜREKLİLİK MODÜLÜ İLE YAKLAŞIM HIZI ................................................................... 15 5. İKİ DEĞİŞKENLİ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİ........... 21 6. İKİ DEĞİŞKENLİ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNIN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ .............................................................................. 25 KAYNAKLAR………………………………………………………………………… 31 ÖZGEÇMİŞ………………………………..……………………………………… 33 viii SİMGELER KISALTMALAR Aşağıda bu çalışmada kullanılmış simgeler açıklamalarıyla sunulmuştur. Simgeler Açıklamalar [a,b] aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı ‖ ‖ C[a,b] uzayındaki norm ( f n ) fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması Balazs Operatörü Balazs-Szabados Operatörü q-Balazs-Szabados Operatörü f nin süreklilik modülü iki değişkenli q-Balazs-Szabados Operatörü 1 1. GİRİŞ Bu bölümde lineer pozitif operatör tanımı yapılarak temel bazı teoremler ispat edilecektir. Ayrıca sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanım ve teoremler verilecektir. Temel Kavramlar Tanım X ve Y iki fonksiyon uzayı olsun. T : X Y şeklinde tanımlanan dönüşümlere operatör adı verilir. Tanım X ve Y iki fonksiyon uzayı olmak üzere T : X Y operatörü α,β ve f,g X için T ( f g ) T ( f ) T ( g ) eşitliğini sağlıyorsa T operatörüne lineer operatör denir. Tanım f bir fonksiyon ve T bir operatör olmak üzere f 0 iken T ( f ) 0 sağlanıyorsa T operatörüne pozitif operatör denir. Tanım Bir [a,b] kapalı aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli fonksiyonlardan oluşan kümeye [a,b] aralığındaki sürekli fonksiyonlar uzayı denir ve C[a,b] ile gösterilir. Bu uzaydaki norm f C a ,b max f ( x) a xb biçiminde tanımlanır. 2 Tanım Her x [a,b] için lim f n () f () lim max f n ( x) f ( x) 0 n n a x b koşulu sağlanıyorsa ( f n ) fonksiyonlar dizisi f fonksiyonuna C[a,b] normunda düzgün yakınsaktır denir ve f n f ile gösterilir. Tanım T : X Y şeklinde tanımlı T operatörü verilsin. Eğer T( f ) Y M f f X için X olacak şekilde bir M>0 sayısı varsa T ye sınırlı operatör adı verilir. Teorem(Cauchy-Schwarz Eşitsizliği) de herhangi x ( x1, x2 ,..., xn ), y ( y1, y2 ,..., yn ) iki nokta verilmiş olsun. Bu durumda n i 1 xi yi n i 1 xi 2 n . y i 1 2 i eşitsizliği vadır. Teorem(Korovkin Teoremi)[1] C[a,b] ve tüm reel eksende f ( x) M f (1.1) olsun. Eğer ( i. ii. iii. ) lineer pozitif operatör dizisi her x [a,b] için (1,x) 1 (t,x) x ( ,x) 3 şartları sağlanıyorsa bu durumda her f (f;x) C[a,b] için [a,b] de f(x) dir. İspat C[a,b] olsun. Sürekli fonksiyonların tanımı gereği her pozitif Kabul edelim ki, f sayısına karşılık öyle bir ( ) sayısı bulunabilir ki t x iken f (t ) f ( x) olur. (1.1) ve üçgen eşitsizliğinden f (t ) f ( x) f (t ) f ( x) 2M f (1.2) yazabiliriz. Eğer t x ise (t x)2 tx 1 olacağından 1 2 (1.3) sağlanır. (1.2) ve (1.3) den ise f (t ) f ( x) 2M f (t x)2 2 yazabiliriz. O halde |t-x|≤ |t-x|> için |f(t)-f(x)|< için f (t ) f ( x) 2M f (t x)2 2 dir. Dolayısıyla her x,t [a,b] için f (t ) f ( x) 2M f (t x)2 2 (1.4) sağlanır. Eğer (i), (ii), (iii) koşulanlını sağlayan ( Ln ) operatör dizisinin lim Ln ( f ) f Ca ,b 0 n 4 eşitliğini sağladığını gösterirsek ispat tamamlanmış olur. Şimdi bunu gösterelim. Lineerlikten; Ln ( f (t ); x) f ( x) Ln ( f (t ); x) f ( x) Ln ( f ( x); x) Ln ( f ( x); x) = Ln ( f (t ); x) Ln ( f ( x); x) Ln ( f ( x); x) f ( x) = Ln ( f (t ) f ( x); x) f ( x)( Ln (1; x) 1) yazabiliriz. Üçgen eşitsizliğinden; Ln ( f (t ); x) f ( x) Ln ( f (t ) f ( x); x) f ( x) Ln (1; x) 1 (1.5) elde edilir. Diğer taraftan lineer pozitif operatörler monoton artan ve f (t ) f ( x) f (t ) f ( x) olduğundan Ln ( f (t ) f ( x); x) Ln ( f (t ) f ( x) ; x) dir. O halde (1.1) yardımıyla (1.5) eşitsizliği Ln ( f (t ) f ( x); x) Ln ( f (t ) f ( x) ; x) M f Ln (1; x) 1 olur. ( Ln ) monoton artan olduğundan (1.4) den dolayı Ln ( f (t ); x) f ( x) Ln ( 2 Mf 2 (t x) 2 ; x) M f Ln (1; x) 1 (1.6) olur. Diğer taraftan ( Ln ) lineer ve pozitif olduğundan Ln ( 2 Mf 2 (t x) 2 ; x) = Ln ( ; x) Ln (2 Mf = Ln (1; x) 2 Mf = Ln (1; x) 2 Mf = Ln (1; x) 2 Mf = Ln (1; x) 2 Mf 2 2 2 2 2 (t x) 2 ; x) Ln (t 2 2tx x 2 ; x) L (t ; x) x 2 x 2 2 x 2 2 xLn (t; x) x 2 Ln (1; x) L (t ; x) x 2 2 x 2 2 xLn (t; x) x 2 Ln (1; x) x 2 2 n 2 n {( Ln (t 2 ; x) x 2 ) 5 2 x( x Ln (t; x)) x2 ( Ln (1; x) 1)} yazılabilir. Bu ifade (1.7) de kullanılacak olursa Ln ( f (t ); x) f ( x) Ln (1, x) 2 Mf 2 {( Ln (t 2 ; x) x 2 ) 2 x( x Ln (t; x)) x 2 ( Ln (1; x) 1)} M f Ln (1; x) 1 (1.8) elde edilir. (i), (ii), (iii) koşulları (1.8) de kullanılırsa Ln ( f (t ); x) f ( x) sağlanır. O halde Ln ( f ) f lim max Ln ( f ; x) f ( x) 0 n olur ve böylece ispat tamamlanır. Tanım ve pozitif sayılar, x≥0, n 1 Rn f x (1 an x)n n olmak üzere k n f ( b ) k (a x) k 0 n k n operatörüne Balazs Operatörü denir. [4] Teorem[4] (x)= , i=0, 1, 2 olmak üzere i) ( Rn e0 )( x) 1 ii) ( Rn e1 )( x) n an x bn 1 an x 2 n(n 1) an x n an x iii) ( Rn e2 )( x) 2 2 bn 1 an x bn 1 an x sağlanır. İspat a xb 6 = n n 1 i) Rn e0 x (1 an x)n k (a x) k 0 k n 1 (1 an x)n n (1 an x) =1 k n k (an x) k n n ii) Rn e1 x = 1 (1 an x)n b = 1 (1 an x)n b = 1 (1 an x)n k 1 n k 1 (an x) k 0 bn k 1 = an x (1 an x)n k 1 n! . (an x)k (k 1)! n k 1! k 0 bn = an x n . bn (1 an x)n k 0 k n k (an x) n k n k 1 n 1 n 1 (n 1)! n 1 k ! n k 1!(a x) k 0 = an x n . .(1 an x)n 1 bn (1 an x) n = n an x . bn 1 an x 1 iii) Rn e2 x = (1 an x)n 1 (1 an x)n k n k2 n (an x)k 2 k 0 bn k n n k b k 1 n 2 n! (an x)k (k 1)! n k ! = n n 1 n! n! (an x)k (an x) k n bn (1 an x) k 2 (k 2)! n k ! k 1 ( k 1)! n k ! = n 1 n2 n.(n 1).(n 2)! 1 n.(n 1)! k 2 ( a x ) (an x)k 1 n 2 n bn (1 an x) k 0 k !. n 2 k ! k 0 k ! n 1 k ! = 1 2 bn (1 an x)n 2 n2 n 2 n 1 n 1 2 k n .( n 1).( a x ) ( )( a x ) n .( a x ). ( )(an x) k n n n k k k 0 k 0 2 n(n 1) an x n an x = 2 2 bn 1 an x bn 1 an x 7 Şimdi an k bn,k cn ve n için n 1 cn (1.9) olmak üzere [3] de O. Doğru tarafından tanımlanan An f x 1 (1 an x)n n k n ) (an x)k , x 0 , n,k k f (b k 0 (1.10) lineer pozitif operatörünü göz önüne alalım. Eğer her n ve k için an 1 , bn,k n k 1 seçersek cn n 1 olur. Bu seçimler (1.9) şartını sağlar. Bu seçimle (1.10) operatörü Bleimann, Butzer ve Hahn operatörüne dönüşür. Böylelikle bu operatöre Balazs operatörünün Bleimann, Butzer ve Hahn operatör tipli bir genelleşmesi denir. [5] de K. Balazs ve J. Szabados aşağıdaki lineer pozitif operatörü tanımlamıştır. Rn ( f ; x) Burada 0 1 (1 n 1 x)n n k n f ( n ) k (n k 0 1 an n 1 , bn n , n 1, 2,3,..., x) k , x 0 olup ve yakınsaklığın sağlanması için 2 olmalıdır. Bu operatöre Balazs-Szabados operatörü denir. 3 8 9 2. q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİ Bu bölümde Balazs-Szabados operatörlerinin q analoğu tanıtılacaktır. Öncelikle bu kısımda kullanılacak kavramları hatırlatalım. 2.1 Tanım q>0 için r q 1 q r ; q 1 (1 q) r ; q=1 r r 1q ...1q r q ! q 1 , ; r 1, 2,... ;r0 , nq ! n r r ! n r ! , r 0,1, 2...n q q q dir. [2] de O. Doğru tarafından q-Balazs-Szabados operatörü Rn f ; q; x k q k ( k21) n 1 k )q k ( n q x) 1 x) k 0 nq q n , q ( n q n 1 f( şeklinde tanımlanmıştır. Bu tezde q (qn ) dizisi alarak bu operatörü 0 1 , 2 lim qn 1 , lim[n]qn 0 koşulları altındaki yakınsaklık özelliklerini inceleyeceğiz. n n Burada x 0 ve n 1 s n , q ( x) (1 q x) dir. s 0 Bu operatör lineer pozitif operatördür ve q=1 alındığına klasik Balazs-Szabados operatörüne dönüşür. 10 11 3. KOROVKİN TİP YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Şimdi O. Doğru tarafından [2] de ispatlanan lemmaları hatırlatalım. 3.1 Lemma[2] q-Balazs-Szabados operatörleri için aşağıdaki eşitlikler sağlanır. i) Rn e0 ; q; x 1 ii) Rn e1 ; q; x x 1 nq x 1 n 1q x2q2 nq (1 nq 1 x)(1 nq 1 qx) iii) Rn e2 ; q; x İspat i) Rn n 1 e0 ; q; x = ( nq x) k 0 1 n,q n 1 n ( x) (1 q x) q k n,q q k ( k 1) 2 k 0 k 0 k ( k 1) 2 n 1 k k ( nq x) q n k k x q olup [7,syf 293] x yerine n q x alınmasıyla 1 Rn e0 ; q; x 1 bulunur. ii) Rn e1 ; q; x = k q k ( k21) n 1 k q k ( nq x) 1 x) k 1 nq q n , q ( n q 1 n k 1q k ( k21) n 1 k 1 q k 1 ( nq x) 1 x) k 0 nq q n , q ( n q 1 n 1 12 = k 1q k ( k21) nq ! 1 1 q nq x( nq x)k 1 k 1q ! n k 1q ! x) k 0 nq n , q ( n q = ( nq x) k 0 n 1 ( nq q x) n 1q ! 1 x( n q x)k k q ! n k 1q ! k 2 k k k 2 k 0 n 1 q ( nq x) k 0 1 n,q k ( k 1) 2 q x = iii) Rn n 1 1 n,q 1 x = = n 1 1 n,q = 1 k ( k 1) 2 n 1 1 k k ( nq qx) q n 1 x (1 nq x)( n 1 1 k k ( nq x) q 1 ( nq 1 n 1, q q qx)) k 0 k ( k 1) 2 n 1 1 k k ( nq qx) q x 1 nq x 1 e2 ; q; x k q k ( k21) n 1 k q k ( nq x) 1 2 ( n x ) n k 1 q n,q q q 2 n 1 = k q k ( k21) nq ! 1 q ( nq x)k 1 2 k q ! n k q ! x) k 1 nq n , q ( n q = k q k ( k21) nq ! 1 q ( nq x)k 1 2 k 1q ! n k q ! x) k 1 nq n , q ( n q n 1 = 1 n 1 n ( nq x) k 2 1 n,q 2 q k 1q nq 2 q k ( k 1) 2 nq ! 1 ( nq x)k k 1q ! n k q ! 13 n 1 n,q ( nq ( nq 1 n,q k 1 n2 1 = x) 1 x) k 0 1 q nq 2 q nq 2 q k ( k 1) 2 nq ! 1 ( nq x)k k 1q ! n k q ! ( k 2)( k 1) 2 nq ! k q ! n k 2q ! ( nq x)k 2 1 k q k ( k21) n 1 k q k ( nq x) 1 x) k 1 nq n q q n , q ( n q n 1 nq n 1q q ( nq x)2 n2 ( k 2)(2 k 1) n 2 1 k = q k ( nq x) 2 1 x) k 0 q nq n , q ( n q 1 x + 1 nq 1 nq 1 x nq n 1q q nq x 2 n2 2k 1 k ( k21) n 2 1 k = . q q k ( nq x) 2 1 x) k 0 nq n , q ( n q 2 2 1 nq 1 nq 1 nq n 1q 2 nq = = x x x x2q2 ( nq x) 1 n,q n2 . q k 0 k ( k 1) 2 n 2 1 2 k k ( nq q x) 1 nq 1 nq 1 x nq n 1q x2q2 . 2 1 1 nq (1 nq x)(1 q nq x) n2 q k 0 k ( k 1) 2 1 ( n q q 2 x) 1 n 2, q n 2 1 2 x 1 k k ( nq q x) 1 nq 1 nq x 14 n 1q x2q2 nq (1 nq 1 x)(1 nq 1 qx) elde edilir ve ispat tamamlanır. 15 4. q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRÜNÜN SÜREKLİLİK MODÜLÜ İLE YAKLAŞIM HIZI f [0,∞) da düzgün sürekli ve sınırlı fonksiyon olmak üzere f nin süreklilik modülü ( f ; ) : sup f (t ) f ( x) dir. x ,t 0 t x Süreklilik modülü aşağıdaki özelliklere sahiptir. i) ( f ; ) 0 ii) 1 2 ise ( f ; 1 ) ( f ; 2 ) iii) için ( f ; m ) m( f ; ) iv) için ( f ; ) ( 1)( f ; ) v) lim ( f ; ) 0 0 vi) f (t ) f ( x) ( f ; t x ) tx 1 ( f ; ) vii) f (t ) f ( x) İspat i)Tanım gereğince mutlak değerin supremumu 0 a eşit ya da daha büyüktür. ii) 1 2 için t x 2 kümesinin t x 1 kümesini kapsadığı aşikardır. Bölge büyüdükçe alınan supremum artacağından ispat açıktır. 16 iii)Süreklilik modülünün tanımı gereğince ( f ; m ) sup f (t ) f ( x) x ,t 0 t x m yazabiliriz. t x m x m t x m olup, t x mh seçimiyle h ve ( f ; m ) sup f ( x mh) f ( x) şeklinde yazabiliriz. x ,t 0 h Diğer taraftan m 1 sup f ( x mh) f ( x) sup f ( x (k 1)h) f ( x kh) x ,t 0 h x ,t 0 k 0 h olup sağ tarafa üçgen eşitsizliği uygulanırsa m 1 sup f ( x mh) f ( x) sup | f ( x (k 1)h) f ( x kh) | x ,t 0 h k 0 x ,t 0 h ( f ; ) ... ( f ; ) bulunur. Buradan ( f ; m ) m( f ; ) elde edilir. iv)⟦ ⟧ ile ⟦ ⟧ sayısının tam değerini gösterirsek ⟦ ⟧ +1 ifadesinin doğruluğu aşikardır. Bu eşitsizlik ve (ii) özelliği kullanılırsa ⟦ ⟧ eşitsizliği yazılabilir. Bu eşitsizliğin sağ tarafına (iii) özelliği uygulanırsa ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ ⟦ ⟧ elde edilir. Ayrıca her için eşitsizliğinden dolayı ⟦ ⟧ eşitsizliği geçerli olur. v) t x eşitsizliğinde 0 olması t x olması anlamına gelir. f fonksiyonu düzgün sürekli olduğundan t x için f (t ) f ( x) 0 olması ispatı bitirir. 17 vi) ( f ; ) ifadesinde t x seçilirse ( f ; t x ) sup f (t ) f ( x) elde edilir. O halde x ,t 0 f (t ) f ( x) sup f (t ) f ( x) olduğu göz önüne alınırsa ispat biter. x ,t 0 vii) (vi) özelliğinden dolayı f (t ) f ( x) ( f ; f (t ) f ( x) ( |t x| |t x| ) yazılabilir. Bu eşitsizlikte (iv) özelliği kullanılırsa 1) ( f ; ) olur. 4.1 Lemma[2] , x≥0 için Her n Rn (e x ) ; q ; x 1 2 1 (1 nq x)(1 nq qn x) n 1 1 n n (qn 1) x 2 + nq x (1 qn ) nq x3 nq 1 n n 2 2 n qn x 4 sağlanır. İspat Rn = (e x) ; q ; x R e ; q ; x 2xR e ; q ; x x R e ; q ; x 2 1 n 1q nq n n n n nq n 1q n x 2 qn 2 2 n (1 nq x)(1 nq qn x) 1 1 = n n 1 n 1 1 n x nq n 2 n n 0 2 x2 1 nq x 1 n q x 1 1 n n x 2 qn 2 x x 2 n q qn 2 x 2 n q 2 x3 n q n q qn 1 nq n n n (1 nq x)(1 nq qn x) 1 1 n n n 1 n n x2 18 ( x 2 nq x3 nq nq n x 4 nq 3 2 n qn x3 ( nq 2 1 n 2 1 n 2 2 n )(1 nq qn x) 1 n (1 nq x)(1 n q qn x) 1 1 n qn nq 2 1 n nq n ) x 2 ( n q 1 n 1 n 1 n qn2 n q qn n q ) x 1 n n n qn x3 ( nq qn nq ) x 2 ( n q n 1q qn2 n q qn 1) x n q 1 1 1 n n n (1 nq x)(1 nq qn x) 1 1 n n 1q (1 nq x)(1 nq qn x) n x 4 nq n 1 n (1 nq x)(1 n q qn x) 1 n n n n n (qn 1) x 2 nq x (1 qn ) n q x3 n q n n n 1 1 1 2 2 qn x 4 olur ki bu da ispatı tamamlar. 4.2 Teorem[2] 0 1 1 olmak üzere (qn ) ; lim qn 1 , lim nq 0 ve qn 1 şartlarını sağlayan bir n n n 2 2 dizi olsun. Eğer f 0, da sürekli bir fonksiyon ise Rn ( f ; qn ; x) f ( x) 2 ( f ; x nq )((1 x ) x 1 2(1 ) ) n sağlanır. İspat Bir önceki özelliklerden (vii), Lemma 3.1 ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılırsa n 1 Rn ( f ; qn ; x) f ( x) ( nq x) k 0 1 n,q | f ( x) f ( n k q nq n n ) | qn k ( k 1) 2 n 1 k k ( n qn x) qn 19 x x n n )qn n 1 ( f ; )(1 (1 ( n q x) k 0 1 n , qn n 1 ( f ; ) k q nq k ( k 1) 2 n 1 k k ( n qn x) qn Rn ((e1 x)2 ; qn ; x)) seçersek ve Lemma4.1 i kullanırsak nq n Rn ( f ; qn ; x) f ( x) ( f ; 2 1 3 2 nq x(qn 1) 1 nq x 2 (1 qn ) n q x3qn 1 n n n ) 1 ( )2 1 1 (1 nq x)(1 n q qn x) n n x nq n olur. 1 qn 1 olduğu kullanılırsa 2 Rn ( f ; qn ; x) f ( x) ( f ; 2 1 3 2 1 nq x 2 (1 qn ) nq x3qn 1 n n ) 1 ( )2 1 1 (1 nq x)(1 n q qn x) n n x nq n 2 1 3 2 3 2 1 qn n q x qn n q 2 x 2 x n n ( f ; ) 2 1 1 (1 nq x) (1 nq qn x) nqn n n 2 1 2 x (1 q n x) n x qn ( f ; ) 2 1 1 nq qn x nqn n ( f ; x nq n 1 2 1 2(1 ) 2 1 x 2(1 ) ) 2 qn n q 2 (1 x ) x 1 n 1 nq qn x n (4.1) bulunur. [ Şimdi bir g ( x) x 1 2 2(1 ) 1 n q qn x 1 n için Rn ( f ; qn ; x0 ) f ( x0 ) noktasal yakınsaklığını gösterelim. alınırsa x0 1 2 1 nqn için g ( x) ’in maximum değerine ulaşırız. qn 20 Böylelikle 1 2 2(1 ) (1 2 ) g ( x0 ) 2(1 ) qn 2 1 2(1 ) 1 2 nq 2 (4.2) n elde edilir. 0 1 2 2(1 ) 1 2 için (1 2 ) 2(1 ) 1 (4.3) olur. (4.3)’ü (4.2)’de kullanırsak 2 1 1 2 g ( x0 ) qn2(1 ) nq 2 (4.4) n elde edilir. (4.4)’ü (4.1)’de kullanırsak | Rn ( f ; qn ; x0 ) f ( x0 ) | ( f ; x0 nq n ( f ; x0 nq n 1 2 1 2 1 1 2 2(1 ) 2(1 ) 2 qn n q 2 (1 x0 ) x0 qn ) n q 2 n n 1 2(1 2 ) 2(1 ) ) 2 (1 x0 ) x0 qn (4.5) 2(1 ) n olur. (4.5)’de q 1 eşitsizliği göz önüne alındığında ispat tamamlanmış olur. Sonuç:Bu teorem bize x0 noktasında Rn ( f ; qn ; x0 ) operatörünün f ( x0 ) fonksiyonuna noktasal yaklaşım hızını vermektedir. 21 5. İKİ DEĞİŞKENLİ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİ Şimdi de q-Balazs-Szabados operatörünün iki değişkenli genelleşmesini tanıtıp, yaklaşım özelliklerini inceleyelim. Öncelikle [6] da Volkov tarafından ispatlanan aşağıdaki teoremi verelim. 5.1 Teorem[6] f ( x, y) C a, b; c, d ve tüm reel eksenlerde f ( x, y) M f olsun. Ln ( f (t , r ); x, y) lineer pozitif operatör dizisi için düzgün olarak i. Ln (1; x, y) 1 ii. Ln (t; x, y) x iii. Ln (r; x, y) y 2 2 iv. Ln (t 2 r 2 ; x, y) x y koşulları sağlanıyorsa her f ( x, y) C a, b; c, d için x a, b , y c, d de Ln ( f (t , r ); x, y) f ( x, y ) olur. İspat f ( x, y) C a, b; c, d olduğundan ε>0 için ∃δ vardır ki ( x, y) (t , r ) yani ( x t )2 ( y r )2 olduğunda f (t , r ) f ( x, y) sağlanır. ( x t ) ( y r ) olduğunda ise 2 2 f ( x, y) M f olduğunun ( x t )2 ( y r )2 kullanılmasıyla yazılabilir. O halde her durumda 2 1 olup, ( x t )2 ( y r )2 f (t , r ) f ( x, y) 2M f 2 22 ( x t )2 ( y r )2 f (t , r ) f ( x, y) 2M f 2 2M f x 2 y 2 2( xt yr ) t 2 r 2 2 (5.1) yazılabilir. Diğer yandan Ln operatörünün lineerliğinden ve üçgen eşitsizliğinden dolayı Ln ( f (t , r ); x, y) f ( x, y) Ln ( f (t , r ) f ( x, y); x, y) f ( x, y) Ln (1; x, y) 1 Ln ( f (t , r ) f ( x, y); x, y) M f Ln (1; x, y) 1 (5.2) elde edilir. Ln operatörünün monotonluğundan(lineer ve pozitif olduğundan) Ln ( f (t , r ) f ( x, y); x, y) Ln (| f (t , r ) f ( x, y) |; x, y) (5.3) yazılabilir. (5.1) in (5.3) de kullanılmasıyla ve lineerlikten | Ln ( f (t , r ) f ( x, y); x, y) | ( Ln (1; x, y) 1) 2 Mf 2 [( x 2 y 2 )( Ln (1; x, y) 1) 2 x( Ln (t; x, y) x) 2 y( Ln (r; x, y) y) ( Ln (t 2 r 2 ; x, y) ( x 2 y 2 ))] (5.4) yazılabilir. (5.4) ün (5.2) de kullanılmasıyla ve i, ii, iii ve iv koşullarının kullanılmasıyla | Ln ( f (t , r ) f ( x, y); x, y) | elde edilir. Bu da ispatı tamamlar. Öncelikle O. Doğru tarafından [2] de tanımlanan iki değişkenli q-Balazs-Szabados operatörünü hatırlatalım. I 2 0, a 0, a , f C ( I 2 ) olmak üzere 1 Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y) 1 ( n1 q x) 1 n1 , q1 1 k1 q k2 q f ( , k 0 k 0 n1 q n2 q n1 1 ( n2 q 1 n2 , q2 n2 2 1 2 1 2 y) 2 )q1 k1 ( k1 1) 2 q2 k2 ( k2 1) 2 23 n n 1 1 1 2 ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2 1 2 k1 q1 k2 q2 operatörüne iki değişkenli q-Balazs-Szabados operatörü denir. 5.2.Lemma[2] i. Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y) Rn1 ( Rn 2 ( f ; q2 , x, y )) x y ii. Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y) Rn 2 (Rn1 ( f ; q1 , x, y )) y x dir. Burada Rn1 x f ; q1 , x, y k1 q f ( 1 x) k 0 n1 q n , q ( n1 q 1 Rn2 y f ; q2 , x, y n1 1 1 1 1 1 , y)q1 1 k2 q f ( x , 1 y ) k 0 n2 q n , q ( n2 q n2 1 2 k1 ( k1 1) 2 2 2 2 2 )q2 n1 1 k1 k ( n1 q1 x) 1 q1 k2 ( k2 1) 2 2 n2 1 k2 k ( n2 q2 y) 2 q2 dir. İspat İspatta Barbosu’ nun [8] tekniği kullanılacaktır. x y x Rn1 ( f ( x, 2 1 ( n1 q x) k1 ( k1 1) 2 1 2 y) k2 ( k2 1) 2 f ( x, k2 0 ); q1 , x, y)q2 q2 ( n2 q y ) k2 0 n1 1 k1 k ( n1 q1 x) 1 q1 Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y) 2 n2 1 n2 , q2 k2 q n2 q 2 2 1 1 n1 , q1 x ( n2 q y) k2 0 1 n2 , q2 q1 n2 1 ( n2 q 1 n2 , q2 n2 1 i. Rn1 ( Rn 2 ( f ; q2 , x, y )) Rn1 ( k2 ( k2 1) 2 k2 q n2 q 2 2 )q2 k2 ( k2 1) 2 n2 1 k2 k ( n2 q2 y ) ) 2 q2 n2 1 k2 k ( n2 q2 y ) 2 q2 n1 k1 q1 k2 q2 n2 1 k2 ( n y ) f ( n ,n ) k 2 q2 k1 0 1 q1 2 q2 2 q2 24 y x k1 q f ( 1 x) k 0 n1 q n , q ( n1 q ii. Rn2 ( Rn1 ( f ; q2 , x, y )) Rn2 ( 1 ( n1 q 1 n1 , q1 R x) 1 k1 0 1 ( n1 q x) k2 ( k2 1) 2 1 n2 k1 q (f( n1 q 1 1 1 , y ); q2 , x, y)q1 n1 q1 ( n2 q y ) k1 0 2 n2 1 k2 k ( n2 q2 y ) 2 q2 1 1 1 1 n2 , q2 Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y) y 1 1 n1 , q1 q2 n1 1 n1 1 y k1 ( k1 1) 2 k1 ( k1 1) 2 1 , y)q1 k1 ( k1 1) 2 n1 1 k1 k ( n1 q1 x) ) 1 q1 n1 1 k1 k ( n1 q1 x) 1 q1 n2 k1 q1 k2 q2 n1 1 k1 ( n x ) f ( n ,n ) 1 q1 k k2 0 1 q1 2 q2 1 q1 25 6. İKİ DEĞİŞKENLİ q-BALAZS-SZABADOS OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Eğer lim f n,m f C(I 2 ) n , m f C(I 2 ) 0 ise { f n,m } dizisi f fonksiyonuna düzgün yakınsar deriz. Burada max2 f ( x, y) dir. ( x , y )I 6.1.Lemma[2] olmak üzere aşağıdakiler sağlanır. , i. Rn1 ,n 2 (e00 ; q1 , q2 , x, y) 1 ii. Rn1,n 2 (e10 ; q1 , q2 , x, y ) x 1 n1 q x 1 1 iii. Rn1,n 2 (e01 ; q1 , q2 , x, y ) y 1 n2 q 1 y 2 iv. Rn1 ,n 2 (e20 ; q1 , q2 , x, y) n1 1q n1 q 1 (1 n1 q x)(1 n1 q q1 x) 1 1 n2 1q v. Rn ,n (e02 ; q1 , q2 , x, y) n2 q 1 2 2 2 x 2 q12 1 1 1 y 2 q22 2 1 x n1 q 1 n1 q x 1 1 (1 n2 q y )(1 n2 q q2 y) 1 1 2 1 1 y n2 q 2 1 n2 q y 1 2 İspat 1 i. Rn1,n 2 (e00 ; q1 , q2 , x, y) ( n1 q x) 1 n1 , q1 n1 1 1 ( n2 q y) k1 0 k2 0 1 n2 , q2 n2 2 n n 1 1 1 2 ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2 1 2 k1 q1 k2 q2 q1 k1 ( k1 1) 2 q2 k2 ( k2 1) 2 26 =1 (Lemma3.1 den) k1 q k ( k2 1) k ( k2 1) 0 k0 n q1 q2 1 ( n y ) k 1 q n ,q 2 q 1 ii. Rn1 ,n 2 (e10 ; q1 , q2 , x, y ) ( n1 q x) 1 n1 , q1 n1 1 2 1 2 n2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 n n 1 1 1 2 ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2 1 2 k1 q1 k2 q2 x (Lemma3.1 ve Lemma3.2 den) 1 n1 q x 1 1 1 iii. Rn1 ,n 2 (e01; q1 , q2 , x, y ) ( n1 q x) 1 n1 , q1 k2 q k ( k2 1) k ( k2 1) 0 k0 n q1 q2 1 ( n y ) k 2 q n ,q 2 q n1 1 1 2 n2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 n n 1 1 1 2 ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2 1 2 k k 1 q1 2 q2 y 1 n2 q 1 (Lemma3.1 ve Lemma3.2 den) y 2 1 iv. Rn1 ,n2 (e20 ; q1 , q2 , x, y) ( n1 q x) 1 n1 , q1 k1 q k ( k2 1) k ( k2 1) 2 q1 q2 1 y ) k 0 k 0 n1 q n , q ( n2 q n1 1 1 2 2 n2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 n n 1 1 1 2 ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2 1 2 k1 q1 k2 q2 n1 1q n1 q 1 1 x 2 q12 (1 n1 q x)(1 n1 q q1 x) 1 1 1 1 1 x n1 q 1 1 n1 q x 1 1 (Lemma3.1 ve Lemma3.3 den) 1 v. Rn1 ,n2 (e02 ; q1 , q2 , x, y) ( n1 q x) 1 n1 , q1 k2 q k ( k2 1) k ( k2 1) 2 q1 q2 1 y ) k 0 k 0 n2 q n , q ( n2 q n1 1 1 2 2 n2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 27 n n 1 1 1 2 ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2 1 2 k1 q1 k2 q2 n2 1q n2 q 2 2 y 2 q22 (1 n2 q y)(1 n2 q q2 y ) 1 1 2 2 1 y n2 q 2 1 n2 q y 1 2 Lemma3.1 ve Lemma3.3 den elde edilir. Şimdi iki değişkenli süreklilik modülünü ve teoremde kullanacağımız özelliğini hatırlayalım; f R I , f : I 2 R ve (1 , 2 ) R2 için (1 , 2 ) süreklilik modülü 2 (1 , 2 ) sup{ f ( x, y) f ( x' , y ' ) ( x, y) I 2 ,( x ' , y ' ) I 2 , | x x' | 1 ,| y y ' | 2 } şeklindedir. Burada süreklilik modülü monoton artan fonksiyondur. Yani (1 , 2 ) R2 , (1' , 2' ) R2 , 1 1' ve 2 2' ise (1 , 2 ) (1' , 2' ) dir. 6.2.Teorem Her f : I2 R fonksiyonu için ( f , 1 , 2 ) iki değişkenli q-Balazs-Szabados operatörünün süreklilik modülü olmak üzere 1 2 | Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) f ( x, y ) | Rn1 ((e1 x) 2 ; q1 , x) Rn 2 ((e1 y) 2 ; q2 , y) ( f , 1 n1 q 1 , 1 n2 q dir. İspat | Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y) f ( x, y) | 1 | ( n1 q x) 1 n1 , q1 n1 1 1 (f ( ( n2 q y) k1 0 k2 0 1 n2 , q2 n2 2 n n 1 1 1 2 ( n1 q x)k1 ( n2 q y ) k2 | 1 2 k1 q1 k2 q2 sağlanır. Süreklilik modülünün monotonluğundan k1 q k2 q , n1 q n2 q 1 2 1 2 ) f ( x, y))q1 k1 ( k1 1) 2 q2 k2 ( k2 1) 2 (6.1) 2 ) 28 | f( k1 q k2 q , n1 q n2 q ) f ( x, y) | ( f ,| k1 q n1 q n1 q (| 1 2 1 2 1 x| k1 q n1 q k2 q n2 q x |,| 1 2 1 1)(| 1 1 k2 q n2 q 2 2 n2 q y| y |) 1 1) ( f , n1 q , 2 2 1 1 n2 q ) (6.2) 2 olup, (6.2), (6.1) de yerine yazılırsa 1 | Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y) f ( x, y) | ( 1 , n1 q n2 q 1 n1 n2 (| k1 0 k2 0 q1 1 q2 1)(| 1 n1 q , 1 n2 q x |q1 1 n2 q 1) 2 n2 2 2 2 1 ( n1 q x) 1 n1 , q1 k1 ( k1 1) 2 1 k2 n2 q | q k 0 n2 q y| 1 ) 2 k1 n1 q | q k 0 n1 q 1 2 2 n1 n2 1 1 k1 k2 k k ( n1 q1 x) ( n2 q2 y ) 1 q1 2 q2 n1 k2 q n2 q ( n2 q y ) 1 n2 , q2 2 1 ( 1 1 k2 ( k2 1) 2 1 ( n1 q x| ( n1 q x) n1 , q1 2 k1 q n1 q 1 1 1 k1 ( k1 1) 2 ( f , 1 ) y |q2 1 y) 2 n1 1 k1 k ( n1 q1 x) 1) 1 q1 k2 ( k2 1) 2 2 ( n2 q 1 n2 , q2 n2 1 k2 k ( n2 q2 y ) 1) 2 q2 elde edilir. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden faydalanırsak; k1 q 1 | 1 x) k 0 n1 q n , q ( n1 q n1 1 1 1 1 1 x |q1 1 k1 q ( 1 x)2 k 0 n1 q n , q ( n1 q n1 1 1 1 1 1 1 Rn1 ((e1 x)2 ; q1; x) elde edilir. Benzer şekilde k1 ( k1 1) 2 1 x) q1 2 n1 1 k1 k ( n1 q1 x) 1 q1 k1 ( k1 1) 2 2 k1 ( k1 1) n1 n1 n1 1 1 k1 k1 2 ( n x ) q 1 1 k k ( n1 q1 x) q1 k1 0 1 q1 1 q1 (6.3) 29 k2 q | 1 y ) k 0 n2 q n , q ( n2 q n2 1 2 2 2 2 2 ( n2 q y )2 1 n2 , q2 2 n2 1 2 y |q2 k2 ( k2 1) 2 ( k2 0 k2 q n2 q 2 2 y)2 q2 n2 1 k2 ( n y ) 2 q2 k 2 q2 k2 ( k2 1) 2 2 k2 ( k2 1) n2 n2 n2 1 1 k2 k2 2 ( n y ) q 2 k 2 q2 k ( n2 q2 y) k2 0 2 q2 2 q2 Rn 2 ((e1 y)2 ; q2 ; y) olur. O halde 1 2 | Rn1 ,n 2 ( f ; q1 , q2 , x, y ) f ( x, y ) | Rn1 ((e1 x) 2 ; q1 , x) Rn 2 ((e1 y) 2 ; q2 , y) ( f , 1 n1 q 1 dir. , 1 n2 q 2 ) 30 31 KAYNAKLAR 1. Korovkin, P. P . (1953). On convergence of linear positive operators in the space of continuous functions. Dokl. Akad. Nauk SSSR. Vol. 90. No. 953. 2. Dogru, O. (2006). On statistical approximation properties of Stancu type bivariate generalization of q-Balazs-Szabados operators. In Proceedings Of The International Conference On Numerical Analysis And Approximation Theory. 3. Dogru, O. (2002). On Bleimann, Butzer and Hahn type generalization of Balázs operators. Studia Universitatis Babes-Bolyai. Mathematica 47.4 : 37-45. 4. Balázs, K. (1975). "Approximation by Bernstein type rational functions. Acta Mathematica Hungarica 26.1: 123-134. 5. Balázs, K. and Szabados, J. (1982). "Approximation by Bernstein type rational functions. II. Acta Mathematica Hungarica 40.3 : 331-337. 6. Volkov, V. I. (1957). The Convergence Of Sequences Of Linear Positive Operators In The Space Of Continuous Functions Of 2 Variables. Doklady Akademii Nauk SSSR 115.1 : 17-19. 7. Phillips G. M. (2003). Interpolation and Approximation by Polynomials.New York : Springer Verlag, 293. 8. Barbosu D.(2000), Some Generalized bivariate Bernstein Operators, Math.Notes (Miskolc), 1, 3-10. 32 33 ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Soyadı, adı : Pelin, KARATAŞLI Uyruğu : T.C. Doğum tarihi ve yeri : 26.10.1988, Altındağ Medeni hali : Evli Telefon : 0 (506) 6638071 Faks :- E-Posta : [email protected] Eğitim Derece Okul/Program Mezuniyet tarihi Yüksek Lisans Gazi Üniversitesi/Matematik 2015 Lisans Gazi Üniversitesi/Matematik 2010 Lise Mehmetçik Y.D.A.L 2006 Yıl Çalıştığı Yer Görev 2013-2014 Şanlıurfa Kız A.İ.H.L Öğretmen 2014- Ayaş Naime-Ali Karataş Ç.P.A.L. Öğretmen İş Deneyimi Yabancı Dil İngilizce Yayınlar - Hobiler Kitap Okuma, Sinema, Ebru 34 GAZİ GELECEKTİR...