T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
advertisement
T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ SĠRKÜLANT MATRĠSLERĠN SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE KULLANIMI Ahmet ÖTELEġ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Anabilim Dalını Ağustos-2011 KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ SĠRKÜLANT MATRĠSLERĠN SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE KULLANIMI Ahmet ÖTELEġ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı DanıĢman: Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT 2011, 50 Sayfa Jüri Prof. Dr. AĢır GENÇ Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Yrd. Doç. Dr. Yıldıray KESKĠN Sirkülant matrisler son yıllarda nümerik hesaplamalarda, işaret işlemede, kodlama teorisinde ve petrol araştırmalarında sıklıkla kullanılmaktadır. Bu çalışmada, sayısal işaret işlemenin önemli alanlarından olan ayrık Fourier dönüşümünün (AFD) ve dairesel konvolüsyonun sirkülant matrislerle ilişkisi ele alındı. Öncelikle; ayrık Fourier dönüşümü (AFD), onun özellikleri ve AFD tabanlı elde edilen hızlı Fourier dönüşümü (HFD) verildi. Daha sonra sirkülant matrislerin AFD matrisiyle köşegenleştirilmesi, sirkülant matrislerin öz değerlerinin HFD yardımıyla hesaplanması, yine bu matrisin öz vektörlerinin AFD matrisinin satır veya sütun vektörleri olduğu ve sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin HFD ile hızlı bir şekilde çözüldüğü gösterildi. Son olarak; dairesel konvolüsyon ve onun sirkülant matrislerle ilişkisi verildikten sonra bu defa sirkülantlı matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin dairesel konvolüsyon metoduyla çözüm yöntemi verildi. Bütün bu yapılanları somutlaştırmak için çalışmamız örneklerle zenginleştirildi. Anahtar Kelimeler: Ayrık Fourier Dönüşümü (AFD), Dairesel Konvolüsyon, Hızlı Fourier Dönüşümü (HFD), Sayısal İşaret İşleme, Sirkülant matrisler IV ABSTRACT MS THESIS ON USING OF CIRCULANT MATRICES IN DIGITAL SIGNAL PROCESSING Ahmet ÖTELEġ THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Prof. Dr. DurmuĢ Bozkurt 2011, 50 Pages Jury Prof. Dr. AĢır GENÇ Prof. Dr. DurmuĢ BOZKURT Asst. Prof. Dr. Yıldıray KESKĠN The circulant matrices have applied in numerical computation, signal processing, coding theory and oil investigation in recent years, and so on. In this study; we have discussed relationship with the circulant matrices of Discrete Fourier Transform (DFT) and the circular convolution. Firstly, we have presented DFT, its properties and Fast Fourier Transform (FFT) obtained from DFT-based. Then, we have showed the diagonalization of the circulant matrices with DFT matrix, the calculation of the eigenvalues of the circulant matrices with FFT. We have also showed that the eigenvectors of these matrices correspond to the row or the column vectors of DFT matrix and the linear equations system having the circulant matrices could easily be solved with FFT. Finally, after the discussing the circular convolution and its relationship with the circulant matrices, we have given the solution method the linear equations system having the cirrculant matrices with the circular convolution method. To embody all the work that we have done, we have tried to enrich them with the examples. Keywords: Circulant matrices, Digital Signal Processing, Discrete Fourier Transform (DFT), Fast Fourier Transform (FFT), Circular Convolution V ÖNSÖZ Bu tez çalışması Selçuk Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü öğretim üyesi, Prof. Dr. Durmuş BOZKURT danışmanlığında yapılarak, Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü’ne yüksek lisans tezi olarak sunulmuştur. Bu tez; 1. Bölüm Giriş bölümü, 2. Bölüm Kaynak Araştırması, 3. Bölüm Temel Kavramlar, 4. Bölüm Sayısal İşaret İşlemede Sirkülant Matrislerin Kullanımı, 5. Bölüm Sonuç ve Öneriler, 6. Bölüm Kaynaklar olmak üzere toplam altı bölümden oluşmaktadır. Çalışmalarım boyunca beni yönlendiren ve yardımlarını esirgemeyen danışmanım Prof. Dr. Durmuş Bozkurt’a teşekkürü bir borç bilirim. Ahmet ÖTELEŞ VI ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET ............................................................................................................................. IV ABSTRACT .................................................................................................................... V ÖNSÖZ .......................................................................................................................... VI ĠÇĠNDEKĠLER ........................................................................................................... VII 1. GĠRĠġ ........................................................................................................................... 1 1.1. Tezin Yapısı ........................................................................................................... 2 2. KAYNAK ARAġTIRMASI ....................................................................................... 4 3. TEMEL KAVRAMLAR ............................................................................................ 5 3.1. Bazı Özel Matrisler ................................................................................................ 5 3.2. Öz değerler ve Öz vektörler ................................................................................... 6 3.3. Bir Matrisin Köşegenleştirilmesi ........................................................................... 7 3.4. Lineer Denklem Sistemleri ve Çözümleri ............................................................. 9 3.5. Sirkülant Matrisler ve Özellikleri ........................................................................ 11 4. SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE SĠRKÜLANT MATRĠSLER ........................... 17 4.1. Sayısal İşaret İşleme ............................................................................................ 17 4.2. Sirkülant Matrislerin Ayrık Fourier Dönüşüm (AFD) ile İlişkisi ........................ 19 4.2.1. Ayrık Fourier dönüşüm (AFD) matrisi ......................................................... 19 4.2.2. Ayrık Fourier dönüşümü (AFD) ................................................................... 22 4.2.3. Matris formunda AFD ve ters AFD gösterilimi............................................ 22 4.2.4. Hızlı Fourier dönüşümü ................................................................................ 23 4.2.5. Matris gösterimi yardımıyla HFD................................................................. 24 4.2.6. AFD ile HFD’nin karşılaştırılması ............................................................... 25 4.2.7. AFD matrisi ile sirkülant matrislerin köşegenleştirilmesi ............................ 26 4.2.8. Sirkülant matrisin öz değerlerinin HFD yardımıyla hesaplanması ............... 28 4.2.9. Sirkülant matrisin öz vektörlerinin AFD matrisiyle ilişkisi.......................... 31 4.2.10. Sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin HFD yardımıyla çözümü .................................................................................................................... 32 4.3. Lineer ve Dairesel Konvolüsyonda Sirkülant Matrisler ...................................... 35 4.3.1. Lineer konvolüsyon ...................................................................................... 35 4.3.2. Dairesel konvolüsyon ................................................................................... 37 4.3.3. Dairesel konvolüsyonun matris gösterimi .................................................... 37 4.3.4. Dairesel konvolüsyonun hesaplanmasında AFD ve ters AFD metodu......... 42 4.3.5. Sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin çözümü için dairesel konvülasyon metodu ............................................................................................... 43 5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER ................................................................................. 47 5.1. Sonuçlar ............................................................................................................... 47 VII 5.2. Öneriler ................................................................................................................ 47 6. KAYNAKLAR .......................................................................................................... 48 ÖZGEÇMĠġ .................................................................................................................. 50 VIII 1 1. GĠRĠġ Sayısal İşaret İşleme (Digital Signal Processing) DSP, sayısal işaretler ve bu işaretlerin işleme yöntemlerini inceler. Amacı genellikle analog sinyalleri ölçmek ya da filtrelemek olan DSP bu işlemi yapabilmek için öncelikle bir analog-sayısal dönüştürücü (A/D) kullanır ve sinyalleri işleyebileceği bir hale getirir. Yapılmak istenen işlemler yapıldıktan sonra da sayısal-analog dönüştürücü (D/A) kullanarak tekrar analog sinyal elde edilir (Karaboğa, 1995). Bir Sayısal işaret İşlemenin Blok Diyagramı İşaretlerin işlenmesi, elektrik mühendisliğinin en önemli konularından biridir. Çeşitli nedenlerden dolayı işaretler işlenmektedir. Haberleşmede işareti gürültüden ayırmak, radar ve sonar sistemlerinde hedefi belirlemek için işaretler işlenir. Ayrıca işaretler çeşitli uygulamalarda kullanılmak amacıyla da işlenebilir. Televizyonda görüntüleme, haberleşmede transmisyon ve sayısal sistemlerin kontrolünde kullanmak için işaretler işlenir. Ayrık Fourier Dönüşümü (AFD), ayrık zamanlı işaret işleme algoritma ve sistemlerin analizi, tasarımı, gerçekleştirilmesi ile doğrusal filtreleme, korelasyon analizi ve spektrum analizi gibi işaret işleme uygulamalarında önemli bir rol oynar. AFD’nin bu öneme sahip olmasının ardındaki temel neden AFD’yi hesaplamakta kullanılan verimli algoritmaların varlığıdır. C cij n kare bir matris olmak üzere elemanları cij c j i ; j i k (mod n) (i, j 1, 2, , n) şeklinde tanımlanan n n mertebeli C matrisine sirkülant matris denir ve matris formu 2 C circ(c0 , c1 , c0 c n 1 , cn 1 ) cn 2 c1 c1 c0 cn 1 c2 c1 c0 c2 c3 cn 1 cn 2 cn 3 c0 biçimindedir. C , bir sirkülant matris ve da köşegen elemanları C sirkülant matrisinin özdeğerleri olan köşegen bir matris olmak üzere C F *F şeklinde AFD matrisi ile köşegenleştirilebilir. Bir sirkülant matrisin öz değerleri, bu sirkülant matrisin ilk satırının veya sütununun AFD’sinden oluşur. Bu da hızlı Fourier dönüşümü (HFD) ile hızlı bir şekilde hesaplanabilir. Ayrıca sirkülant matrislerin öz vektörleri AFD matrisinin sütun vektörleridir. Yine sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin çözümleri de HFD yardımıyla hızlı bir şekilde yapılabilir. Lineer ve dairesel konvolüsyon, sayısal işaret işlemede çok sık uygulanılan hesaplama metotlarından birisidir. a ve b, n bileşenli iki vektör ve C (a) da a vektöründen üretilmiş bir sirkülant matris olmak üzere bu iki vektörün dairesel konvolüsyonu a b C (a)b biçimindedir. Yine, sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemleri dairesel konvolüsyon yardımıyla çözülebilirler. Sonuç olarak bütün bunlar bize sirkülant matrislerin sayısal işaret işlemede önemli bir yerinin olduğunu gösterir. Bu tez çalışmasında sirkülant matrisler bu yönden ele alındı ve yukarıda anlatılanlara tezin esas kısmında ayrıntılı olarak değinildi. 1.1. Tezin Yapısı Bu tez altı bölümden oluşmaktadır. 1. Bölüm: Giriş bölümü olup bu bölümde tez konusu hakkında önceden yapılan çalışmalar ve tez konusu kısaca tanıtılmıştır. 2. Bölüm: Tez konusu ile ilgili literatürde yer alan kaynaklar araştırılıp; kaynak araştırması başlığı altında bu kaynaklar hakkında bilgi verilmiştir. 3. Bölüm: Tez boyunca faydalanılacak bazı kavramlar hakkında ön bilgiler verilmiştir. 3 4. Bölüm: Tezin esas kısmını oluşturmaktadır. Bu bölümde sayısal işaret işlemede çok önemli olan ayrık fourier dönüşümü, hızlı fourier dönüşümü ve dairesel konvolüsyonun sirkülant matrislerle olan ilişkisi detaylı bir şekilde ele alınmıştır. 5. Bölüm: Tezin sonuç ve öneriler bölümü olup bu bölümde, bu konuda ileride ne tür çalışmalar yapılabileceği ifade edilmiştir. 6. Bölüm: Tez boyunca faydalanılan kaynaklar belirtilmiştir. 4 2. KAYNAK ARAġTIRMASI X. Liu ve P. Wei (2009), sirkülant matrislerin bir çeşidi olan permütasyon sirkülant matrisler, sayısal işaret işlemede uygulama alanı olan matrislerdir. Bu çalışmada hızlı Fourier dönüşümü yardımıyla n inci mertebeden permütasyon çarpan sirkülant matrislerin çarpımı ve k ıncı kuvveti için hızlı bir algoritma verilmiştir. G. Zhao (2009), sirkülant matrislerin bir çeşidi olan r sirkülant matrisler sayısal işaret işlemede kullanılmaktadır. Bu çalışmada, tekil olmayan r sirkülant matrislerin sadece ilk satır elemanları kullanılarak sirkülant matrislerin ters problemi incelenmiştir. M. Teixeira ve D. Rodriguez (1994) çalışmalarında, dairesel konvolüsyon yardımıyla, biçimsel olarak AFD matrisinin bazı çarpanlarının sirkülant matrisin çarpanlarıyla ilişkili olduğunu göstermiştir. H. Li, X. Liu ve P. Wang (2009), hızlı Fourier dönüşümü yardımıyla n inci mertebeden permütasyon faktör sirkülant matrislerin k ıncı kökü için hızlı bir algoritma verilmiştir. W. Zhao (2009), sayısal işaret işlemede, ters sirkülant matrislerin ters problemini ele almıştır. N. L. Tsitsas, E. G. Alivizatos ve G.H. Kalogeropoulos (2007), sirkülant bloklu matrislerin sayısal işaret işlemede birçok uygulama alanı vardır. Bu tip matrislerin tersi ayrık Fourier dönüşümü yardımıyla her bir sirkülant bloğun köşegenleştirilmesine dayanmaktadır. Bu çalışmada sirkülant bloklu matrislerin tersi için rekürsif (yinelemeli) bir agoritma ele alınmıştır. H. Karner, J. Schneid ve C. W. Ueberhuber (2003) çalışmalarında, sirkülant matrisleri sağ ve sol sirkülant matris olarak sınıflandırmışlardır. Ayrıca ters sağ sirkülant ve ters sol sirkülant matrisler tanımlanarak, bu matrislerin öz değer ve singüler değer ayrışımları Fourier matrisi kullanılarak elde edilmiştir. D. S. G. Pollock (2002), sirkülant matrislerin spektral ayrışımını Fourier matrisi yardımıyla elde etmiştir. Buna ek olarak simetrik sirkülant matrisleri tanımlamış ve bu matrisin Fourier dönüşümlerini incelemiştir. H. Li ve X. Liu (2009), sayısal işaret işlemde önemli bir yeri olan r sirkülant matrislerin sadece ilk satır elemanları kullanılarak bazı özellikler verilmiştir. C. Dong (2009), sayısal işaret işlemde önemli bir yeri olan simetrik r sirkülant matrislerin sadece ilk satır elemanları kullanılarak bazı özellikler verilmiştir. 5 3. TEMEL KAVRAMLAR 3.1. Bazı Özel Matrisler Tanım 3.1. A aij bir kare matris olmak üzere eğer i j için her zaman nn aij 0 oluyorsa, o takdirde A matrisine köşegen matris denir ve diag ( A) şeklinde gösterilir. Üçüncü mertebeden bir köşegen matrise, örnek olarak a11 0 diag ( A) 0 a22 0 0 0 0 a33 matrisini verebiliriz (Taşcı, 2005). Tanım 3.2. Eğer verilen bir kare matrisin transpozesini alarak elde edilen matris, verilen matrisin kendisine eşit oluyorsa bu matrise simetriktir denir. Başka bir ifade ile A kare matrisi için AT A ise bu matrise simetrik matris denir. Üçüncü mertebeden bir simetrik matrise, örnek olarak a11 b A b a22 c d c d a33 matrisini verebiliriz (Taşcı, 2005). Tanım 3.3. 1, 2, , n kümesinin bir, 1 n (n) 2 (1) (2) permütasyonu olsun. E j , j. bileşeni 1 diğer bileşenleri 0 olan E j 0, ,0,1,0, ,0 şeklinde gösterilen n bileşenli birim satır vektör olmak üzere n. mertebeden permütasyon matris 6 E (1) E (2) P P E ( n ) biçimindedir. Yani, i 1, 2,..., n olmak üzere P 'nin i. satırının (i). sütunundaki elemanı 1, diğer elemanları 0 olan matrise permütasyon matris denir. En genel anlamda bir permütasyon matris, birim matrisin satırlarını ya da sütunlarını değiştirmekle elde edilen bir matristir. Üçüncü mertebeden permütasyon matrisine, örnek olarak 0 1 0 P 0 0 1 1 0 0 matrisini verebiliriz (Davis, 1979). Tanım 3.4. U kompleks bir kare matris olmak üzere U *U UU * I ise bu matrise üniter matris denir. Burada U * , U 'nun eşlenik transpozesi ve I birim matristir (Taşcı, 2005). 3.2. Öz değerler ve Öz vektörler Tanım 3.5. A , n kare bir matris olmak üzere A ( ) det( I A) polinomuna A matrisinin karakteristik polinomu denir. Tanım 3.5 ile verilen polinomu A ( ) n a1 n1 a2 n2 an1 an şeklinde açık bir şekilde de yazabiliriz (Bozkurt ve ark., 2005). Tanım 3.6. A ( ) 0 denklemine A matrisinin karakteristik denklemi denir (Bozkurt ve ark., 2005). Tanım 3.7. A ( ) 0 denkleminin köklerine A matrisinin öz değerleri veya karakteristik değerleri veya aygen değerleri denir (Bozkurt ve ark., 2005). 7 Tanım 3.8. i (1 i n) için ( I A) x 0 denkleminin xi çözüm vektörüne A matrisinin öz vektörü veya karakteristik vektörü veya aygen vektörü denir (Bozkurt ve ark., 2005). Teorem 3.1. n. mertebeden bir kare matrisin karakteristik polinomu n. dereceden bir polinomdur ve en yüksek dereceli terimin katsayısı 1, polinomdaki sabit terim an (1)n A ve n1 'in katsayısı -iz (A)'dır. Eğer A matrisinin öz değerleri n 1 , 2 , , n ise iz (a)= i ve det( A) 12 n şeklindedir (Bozkurt ve ark., 2005). i=1 Teorem 3.2. A, n. mertebeden herhangi bir kare matris ise, A matrisinin her öz değerine en az bir öz vektör karşılık gelir (Bozkurt ve ark., 2005). 3.3. Bir Matrisin KöĢegenleĢtirilmesi Tanım 3.9. A ve B herhangi iki kare matris olsun. B P1 AP olacak şekilde P düzgün (tersi olan) matris varsa A ve B matrislerine benzer matrisler, P ' ye dönüşüm matrisi ve dönüşüme de benzerlik dönüşümü denir (Bozkurt ve ark., 2005). Teorem 3.3. Benzer matrislerin karakteristik polinomları ve dolayısıyla öz değerleri aynıdır (Bozkurt ve ark. 2005). Ġspat: A ve B benzer matrisler olsun. Bu durumda B P1 AP dir. det(B I ) det( P 1 AP I ) det( P 1 ( A I ) P) det P 1 det( A I ) det P det( A I ) olup istenen elde edilmiştir. 8 Teorem 3.4. A herhangi bir kare matris olsun. A matrisi, i (1 i n) öz değerlerine karşılık ( A i I ) xi 0, denklemini sağlayan x1 , x2 , xi 0 , xn şeklinde n tane lineer bağımsız öz vektöre sahip olsun. Bu durumda; P x1 xn ve x2 diag (1 , 2 , , n ) olmak üzere P1 AP veya A PP1 dir (Bozkurt ve ark. 2005). Ġspat: 1 i n için Axi i xi olduğundan A matrisi ile P matrisini çarparsak; AP A x1 A x1 x2 Ax2 1 x1 2 x2 xn Axn n xn P elde edilir. P matrisinin sütun vektörleri lineer bağımsız olduğundan det P 0 olup P 1 vardır. Bu durumda elde edilen AP P eşitliği soldan P 1 ile çarpılırsa; P1 AP sağdan P 1 ile çarpılırsa da A PP1 elde edilir. Teorem 3.5. A köşegenleştirilebilen bir kare matris ise herhangi bir pozitif k tamsayısı için Ak Pk P1 dir (Bozkurt ve ark. 2005). Ġspat: A köşegenleştirilebilir olduğundan A PP1 9 olacak şekilde P düzgün matrisi vardır. k tane PP 1 matrisini çarpım şeklinde yazarsak; Ak ( PP 1 )( PP 1 ) ( PP 1 ) k tane olur. Matrislerde çarpma işlemi, birleşme özelliğine sahip olduğundan; Ak P( P1P) ( P1P)P1 şeklinde yazılabilir. P1P I olduğundan, sonuç olarak Ak Pk P1 dir. Sonuç 3.1. Herhangi n kare bir matrisin benzerlik dönüşümü ile köşegenleştirilmesi için gerek ve yeter şart matrisin n tane lineer bağımsız öz vektöre sahip olmasıdır ( Bozkurt ve ark. 2005). 3.4. Lineer Denklem Sistemleri ve Çözümleri Tanım 3.10. K bir cisim olsun. b1 , b2 , cisminin verilen elemanları; x1 , x2 , bm ve aij (1 i m,1 j n), K xn de bilinmeyenler olmak üzere a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm (3.1) sistemine n bilinmeyenli m denklemden oluşan bir lineer denklem sistemi denir (Bozkurt ve ark., 2005). (3.1) ile verilen sistem a11 a 21 am1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 amn xn bn şeklinde matris notasyonu ile gösterilebilir. Bunu da; A, m n matris; x, n1 ve b de m1 vektörler olmak üzere, kısaca 10 Ax b olarak gösterebiliriz (Bozkurt ve ark., 2005). Tanım 3.11. (3.1) ile verilen sistemi sağlayan ( x1 , x2 , xn ) ( xi 'ler K 'nın elemanları) n lisine sistemin çözüm takımı denir. Tanım 3.12. Herhangi iki lineer denklem sisteminin çözüm takımı aynı ise bu sistemlere denk sistemler denir. Teorem 3.6. Bir lineer denklem sistemindeki herhangi bir denkleme diğer denklemlerin lineer kombinasyonlarını eklemekle veya denklemlerden birisini sıfırdan farklı bir skalerle çarpmakla elde edilen yeni lineer denklem orijinal sisteme denktir (Bozkurt ve ark., 2005). (3.1) sistemi verilsin ve sistemin çözümü var olsun. Eğer A katsayılar matrisinde a11 0 ise (eğer a11 0 ise uygun bir satır değişikliğiyle a11 pozisyonuna sıfırdan farklı bir eleman getirilir.) sistemin ilk satırı a21 ile çarpılıp ikinci satıra, a11 a31 a ile çarpılıp üçüncü satıra ve bu işleme bu şekilde devam ederek m1 ile çarpılıp a11 a11 son satıra eklenirse a11 x1 a12 x2 a x (1) 22 2 am(1)2 x2 a1n xn b1 a2(1)n xn b2(1) (1) (1) amn xn bm (3.2) (1) (1) (1) elde ederiz. a22 pozisyonuna 0 ise ( eğer a22 0 ise uygun bir satır değişikliğiyle a22 sıfırdan farklı bir eleman getirilir.) sistemin ikinci satırı a32(1) ile çarpılıp üçüncü satıra, (1) a22 (1) am(1)2 a42 ile çarpılıp dördüncü satıra ve bu işleme bu şekilde devam ederek ile (1) (1) a22 a22 çarpılıp son satıra eklenirse 11 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 (1) a22 x2 a2(1)n xn b2(1) (2) a33 x3 (2) a3(2) n xn b3 am(2)3 x3 (2) amn xn bm(2) elde edilir. k eleminasyon sayısını göstermek üzere aij( k ) aij( k 1) aik( k 1) ( k 1) akj ; akk( k 1) k 1, 2, , m 1; i k 1, , m; j k , , m; aij aij(0) seçmek suretiyle işleme A katsayılar matrisini satır indirgenmiş forma getirene kadar devam edilir. Elde edilen sistem, verilen sisteme denk bir sistem olup buradan çözüme gidilir (Bozkurt ve ark., 2005). 3.5. Sirkülant Matrisler ve Özellikleri n kare bir matris olmak üzere elemanları Tanım 3.13. C cij nn cij c0, j i c j i ; j i k (mod n) şartını sağlayan n n mertebeli C matrisine sirkülant matris denir ve C circ(c0 , c1 , c2 , , cn1 ) şeklinde gösterilir. Ayrıca açık olarak c0 c n 1 C cn 2 c1 c1 c0 cn 1 c2 c1 c0 c2 c3 cn 1 cn 2 cn 3 c0 biçimindedir. n n mertebeli sirkülant bir matris n elemanlı bir vektör ile temsil edilir ve bu vektör, matrisin ilk satırını oluşturur. Böylece takip eden satırlar önceki satırın son elemanını başa alarak devam eder. Bir sirkülant matrisin esas köşegeni üzerindeki elemanları ile esas köşegene paralel olan doğrultu üzerindeki elemanları aynıdır. C circ(c0 , c1 , c2 , olsun ve bunu açık şekilde yazalım. , cn1 ) aij 12 c0 c n 1 C cn 2 c1 c1 c0 cn 1 c2 c1 c0 c2 c3 cn 1 a11 cn 2 a21 cn 3 a31 c0 an1 a12 a22 a32 a13 a23 a33 an 2 an 3 a1n a2 n a3n ann Yukarıdaki eşitlikten, aij ai 1, j 1 ; 1 i n, 1 j n ain ai 1,1 ; 1 i n anj a1, j 1 ; 1 j n ann a11 dir. Bunu da aşağıdaki gibi genelleştirebiliriz. 1, 2, , n , n uzunluğunda bir devir olmak üzere aij a (i ), ( j ) ; 1 i n, 1 j n (3.3) olur (Davis, 1979; Gray, 2001). Sonuç 3.2. A ’nın sirkülant olması için gerek ve yeter şart (3.3)’ün sağlanmasıdır (Davis, 1979). Sirkülant matrislere örnek verecek olursak a a b c a b d b a ; c a b ; c b c a b b a d c c b a d d c b a sırasıyla 2 2, 3 3 ve 4 4 mertebeli sirkülant matrislerdir. Teorem 3.7. A aij n kare bir matris olsun. O zaman A 'nın sirkülant olması için gerek ve yeter şart A A olmasıdır (Davis, 1979). Ġspat: ) A aij n kare bir matris ve A A olsun. Eşitliğin her iki yanını sağdan * ile çarparsak ( A ) * A * A( * ) A * ( * I ) 13 olup, bu son eşitlikten A A * (3.4) elde ederiz. P, permütasyon matris olmak üzere PAP * a (i ), ( j ) olup ayrıca, de bir permütasyon matris olduğundan P dir. O halde A * a (i ), ( j ) (3.5) dir. (3.4) ve (3.5) eşitliklerinden aij a (i ), ( j ) olur ki, Sonuç 3.2’ye göre A sirkülanttır. ) A n - kare matrisi sirkülant olsun. 1, 2,..., n n uzunluğunda bir devir olmak üzere aij a (i ), ( j ) (3.6) dir. (3.5) ifadesinden A * a (i ), ( j ) (3.7) olduğunu biliyoruz. (3.6) ve (3.7)’den A A * (3.8) elde ederiz. (3.8) eşitliğini sağdan ile çarparsak A ( A * ) A( * ) A ( * I ) elde ederiz ki, bu da ispatı tamamlar. Sonuç 3.3. A ’nın sirkülant olması için gerek ve yeter şart A* ’ın sirkülant olmasıdır (Davis, 1979). Ġspat: (3.4)’ den A A * olup, her iki tarafın eşlenik transpozesini aldığımızda A* ( A * )* A* A* * A* ( A* * ) A* A* ( * ) A* A* ( * I ) 14 olur bu da Teorem 3.7 gereği A* sirkülanttır. A ve B, n n iki sirkülant matris olsun. Yani; Aij a0k ve Bij b0k ; j i k (mod n) olsun. n 1 ( AB )ij a0 r brk r 0 n 1 ar bk r r 0 ( AB )0 k veya A ve B 'yi A circ(a0 , a1 , an1 ) ve B circ(b0 , b1 , a0 , a1 , an 1 b0 , b1 , bn 1 a0b0 , a1b0 bn1 ) biçiminde gösterip an 1b0 an 1b1 , a0b1 , , an 2b1 a1bn 1 , a2bn 1 , , a0bn 1 şeklinde düzenlersek, her sütunun toplamı bize AB ’nin ilk satır elamanlarını verir. Yani; AB circ(a0b0 a1bn1 , a1b0 a2bn1 , , an1b0 a0bn1 ) dir (Davis, 1979). Teorem 3.8. A ve B n kare sirkülant matrisler da bir skaler olmak üzere aşağıdaki özellikler mevcuttur: i) A B , A ve AB de sirkülant matrislerdir. ii) Aynı mertebeli iki sirkülant matrisin çarpımının değişme özelliği vardır. Yani; AB BA 'dır. iii) Eğer bir sirkülant matris tekil değilse, tersi de sirkülant matristir. Yani; det A 0 ise A1 mevcut ve sirkülant matristir. iv) AT sirkülant matristir. v) Sirkülant matrisler normal matrislerdir (Davis, 1979). Ġspat: 15 i) A ve B sirkülant ise A A ve B B dir. Bu iki eşitliği taraf tarafa toplarsak A B A B ( A B) ( A B) olur ki, A B toplam matrisi sirkülanttır. A sirkülant ise A A dır. da bir skaler olmak üzere, eşitliğin her iki tarafını ile çarparsak, ( A ) ( A) ( A) ( A) elde edilir. Bu da, A matrisinin sirkülant olmasıdır. Şimdi de AB ’nin sirkülant olduğunu gösterelim. O halde ( AB) ( AB) olduğunu göstermek yeterlidir. A ve B sirkülant olsun. O halde A A ’dir. Eşitliğin her iki tarafını sağdan B ile çarparsak ( A ) B ( A) B A( B) ( AB) A( B ) ( AB) ( AB) ( AB) matris çarpımının birleşme özelliği B sirkülant olduğundan olur ki, istenendir. ii) Sirkülant matris çarpımından açıktır. iii-iv) İspat, Sonuç 3.3’ den açıktır. v) Sirkülant matrislerde çarpmanın değişme özelliği olduğundan, açıktır. Bir n n sirkülant matrisi oluşturabilmek için öncelikle n n temel sirkülant matrisi tanımlamak gerekir. Tanım 3.14. permütasyon matrisi ilk satırı (0,1, 0, matris ise ’e temel sirkülant matris denir. 3 3 temel sirkülant matrisi 0 1 0 0 0 1 1 0 0 dir (Davis, 1979). , 0) olan n n sirkülant 16 İlk satırı c0 , c1 , c2 , , cn1 olan n n sirkülant matrisi oluşturmak için katsayıları C ’nin ilk satır elemanları olan p ( z ) c0 c1 z c2 z 2 ...... cn 1 z n 1 polinomu tanımlansın. Bu durumda C p ( ) şeklindedir. Örneğin 3 3 sirkülant matris oluşturmak için p ( z ) c0 c1 z c2 z 2 polinomunu ele alalım. O halde C p ( ) c0 I c1 c2 2 1 0 0 0 c0 0 1 0 c1 0 0 0 1 1 c0 c1 c2 0 c2 c0 c1 0 c1 c2 c0 c2 c0 c2 c1 c1 c0 c2 1 0 0 0 1 c2 1 0 0 0 c1 0 0 0 c1 c2 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 c2 0 0 c2 0 c2 c1 c0 elde edilir (Davis, 1979). Sonuç 3.4. İlk sütunu c0 , c1 , c2 , , cn1 T olan n n sirkülant matrisi oluşturmak için katsayıları CT 'nin ilk sütun elemanları olan p ( z ) c0 c1 z c2 z 2 ...... cn 1 z n 1 polinomu tanımlansın. Bu durumda C T p ( T ) şeklindedir (Davis, 1979). 17 4. SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE SĠRKÜLANT MATRĠSLER Bu bölüm tezin esas kısmını oluşturmakta olup üç başlık altında toplanmıştır. 4.1. Sayısal ĠĢaret ĠĢleme İşaret; zamanla, uzayla veya diğer bağımsız değişken veya değişkenlere bağlı olarak değişen herhangi bir fiziksel büyüklük olarak tarif edilir. Konuşma, radyo dalgaları işarete örnek olarak verilebilir. Bir işaret üzerine, herhangi bir işlemi uygulayan fiziksel cihaz da sistem olarak tanımlanır ve işaret bir sistemden geçirildiği zaman bu işlem işaret işleme olarak adlandırılır. İşaretlerin işlenmesi, elektrik mühendisliğinin en önemli konularından biridir. Çeşitli nedenlerden dolayı işaretler işlenmektedir. Haberleşmede işareti gürültüden ayırmak, radar ve sonar sistemlerinde hedefi belirlemek için işaretler işlenir. Ayrıca işaretler çeşitli uygulamalarda kullanılmak amacıyla da işlenebilir. Televizyonda görüntüleme, haberleşmede transmisyon ve sayısal sistemlerin kontrolünde kullanmak için işaretler işlenir. Bilim ve mühendislikte karşılaşılan işaretler tabii olarak analog formda olan işaretlerdir. Yani, işaretler zaman ve uzay gibi sürekli bir değişkenin fonksiyonlarıdır. Bunlar sürekli olan bir sahada (domain) değer alırlar. Böyle işaretler, direkt olarak karakteristiklerini değiştirmek veya bazı arzu edilen özelliklerini çıkarıp değerlendirmek gayesiyle filtreler, frekans analiz cihazları, frekans çarpanları gibi uygun analog sistemlerde işleme tabii tutulmaktadırlar. Bu durumda işaretin direkt analog formda işlendiği söylenebilir. Şekil 4.1’de böyle bir sistem görülmektedir. ġekil 4.1. Analog işaret işleme Sayısal işaret işleme ise analog işaretlerin işlenmesi için alternatif bir yoldur. Böyle bir sistem Şekil 4.2’de gösterilmektedir. İşlemeyi sayısal olarak gerçekleştirmek için analog işaret ile sayısal işaret işleyici arasında analog-sayısal (A/D) kullanılır ve 18 işaretleri işleyebileceği bir hale getirir. Yapılmak istenen işlemler yapıldıktan sonra da sayısal-analog dönüştürücü (D/A) kullanarak tekrar analog işaret elde edilir. ġekil 4.2 Bir sayısal işaret işlemenin blok diyagramı İşaretleri, zamana göre değişimleri dikkate alınarak sürekli-zamanlı ve ayrıkzamanlı işaretler olarak iki gruba ayırmak mümkündür. Biz bu tezde ayrık zamanlı işaretleri ele alacağız. Ayrık zamanlı işaret, bir dizi sayıdan oluşur ve genellikle dizi, fonksiyon vektör, grafik veya tablo şeklinde gösterilir. Bir ayrık zamanlı işaretin grafik gösterimi Şekil 4.3’de gösterilmiştir. ġekil 4.3. Bir ayrık zamanlı işaretin grafik gösterimi Bir ayrık zamanlı işaret, dizi olarak x(n) 0,0,1, 2 1,3, 4,0 şeklinde gösterildiği gibi bu işareti vektörel olarak da x 0,0,1, 2 1,3, 4,0 şeklinde gösterebiliriz (Tolimieri ve ark., 1997; Kayran ve Ekşioğlu, 2010; Karaboğa, 1995). 19 4.2. Sirkülant Matrislerin Ayrık Fourier DönüĢüm (AFD) ile ĠliĢkisi Ayrık Fourier Dönüşümü (AFD), ayrık zamanlı işaret işleme algoritma ve sistemlerin analizi, tasarımı, gerçekleştirilmesi ile doğrusal filtreleme, korelasyon analizi ve spektrum analizi gibi işaret işleme uygulamalarında önemli bir rol oynar. AFD’nin bu öneme sahip olmasının ardındaki temel neden AFD’yi hesaplamakta kullanılan verimli algoritmaların varlığıdır (Oppenheim, 1999; Proakis ve Manolakis, 2007). Ayrık Fourier dönüşümü (AFD), bir sayısal işaretin zaman bölgesindeki karşılığını eş değer frekans bölgesindeki karşılığına dönüştürür. Ters AFD ise geri işlemi gerçekleştirerek işaretin frekans bölgesindeki karşılığını zaman bölgesindeki karşılığına dönüştürür (Oppenheim, 1999). Ayrık Fourier dönüşüm matrisi, AFD’yi anlamamızda kolaylık sağlayacağından, bu matrisi ve onun özelliklerinin bilinmesi yararlı olacağı düşüncesiyle AFD’den önce verilmiştir. 4.2.1. Ayrık Fourier dönüĢüm (AFD) matrisi n 1 bir tamsayı ve we 2 i n 2 2 cos i sin , n n olmak üzere; a) wn 1 b) ww 1 c) w w1 d) wk w k wnk e) 1 w w2 wn1 0 eşitlikleri vardır. Gerçekten a) w (e 2 i n n ) e2 i 1 b) (c)’yi gösterirsek eşitlik kolayca görülür. c) i 1 20 1 w (e 2 i n 1 cos( ) (e 2 i n 2 2 ) i sin( ) n n ) cos( 2 2 ) i sin( ) w n n d) wn k (e 2 i n nk ) e (2 2 k )i n cos( 2 k 2 k 2 ) i sin( 2 ) n n 2 k 2 i ( )i 2 k 2 k n cos( ) i sin( )e (e n ) k w k n n e) 1 w w2 wn1 wn 1 1 1 0 w 1 w 1 elde edilir (Davis, 1979). Tanım 4.1. n inci mertebeden ayrık Fourier dönüşüm matrisi W w * ( j 1)( k 1) 1 1 1 w 1 w2 1 w( n 1) 1 w 2( n 1) w ( n 1)( n 1) w 1 n 1 2 w w4 w2( n 1) olmak üzere 1 * W n 1 ( w( j 1)( k 1) ) n F* olan F matrisine ayrık Fourier dönüşüm matrisi denir (Davis, 1979). F ve F * matrislerinin tanımdan simetrik oldukları açık olup F F T , F * ( F * )T F , F F * dir. Ayrık Fourier dönüşüm matrisinin en temel özelliği üniter olmasıdır. Şimdi Davis’in aşağıdaki teoremini verelim. Teorem 4.1. F matrisi üniterdir. Yani, F * F FF * I n dır (Davis, 1979). veya F-1 F * (4.1) 21 Ġspat: n ( F * F ) jk ( F * ) jr ( F ) rk r 1 n r 1 1 1 ( w( j 1)( r 1) ) ( w( r 1)( k 1) ) n n 1 n (w( j 1)( r 1) )( w( r 1)(k 1) ) n r 1 1 n ( w( r 1)( j 1 k 1) ) n r 1 1 n 1 wr ( j k ) n r 0 elde ederiz. Buradan j k için 1 n1 r ( j k ) 1 n1 0 1 n1 1 w w 1 n 1 n r 0 n r 0 n r 0 n j k için 1 n1 r ( j k ) 1 ( w j k 1 )n 1 1 ( wn ) j k 1 1 1 1 1 w ( ) ( ) ( ) j k 1 0 j k 1 j k 1 n r 0 n w 1 n w 1 n w 1 olur. O halde 1, ( F * F ) jk 0, j k ise j k ise olur ki, bu da F * F 'ın birim matris olmasından başka bir şey değildir. Benzer şekilde; FF * I n olduğunu da gösterilebiliriz. Teorem 4.2. WW * W *W nI n dır (Davis, 1979; Kayran ve Ekşioğlu, 2010). Ġspat: (4.1)’den FF * I n olduğundan 1 WW * I n n WW * nI n olur. Benzer şekilde W *W nI n olduğu da kolayca görülebilir. 22 4.2.2. Ayrık Fourier dönüĢümü (AFD) Tanım 4.2. x, n bileşenli bir vektör olmak üzere x 'in ayrık Fourier dönüşümü (AFD) ve ters AFD eşitlikleri şu şekilde yazılır. n 1 X k x je 2 ijk n , k 0,1, , n 1 (4.2) j 0,1, , n 1 (4.3) j 0 ve xj şeklinde yazılır. w e 2 i n 2 ijk 1 n1 n X e , k n k 0 olduğu dikkate alınırsa (4.2) ve (4.3) dönüşüm ikilisi, n 1 X k x j w jk , k 0,1, , n 1 (4.4) j 0,1, , n 1 (4.5) j 0 ve xj 1 n1 X k w jk , n k 0 olarak da yazılabilir. Burada hesaplanan n tane X k değeri, x j vektörünün n noktalı AFD’si olarak adlandırılır. x j ise X k vektörünün n noktalı ters AFD’si olarak adlandırılır. AFD yardımıyla sınırlı ve ayrık işaret için sınırlı ve ayrık bir frekans gösterimi elde edilmektedir (Kayran ve Ekşioğlu, 2010). Not 4.1. Literatürde bazen X k 'nın negatif üstel fonksiyon ve buna karşılık gelen x j 'nin de pozitif üstel fonksiyon yardımıyla tanımlandığı görülmektedir. terimi yine denklemlerden herhangi biriyle kullanılabilir (Kayran ve Ekşioğlu, 2010). 4.2.3. Matris formunda AFD ve ters AFD gösterilimi n bileşenli x vektörünün AFD’sinin (4.4)’den n 1 X k x j w jk , k 0,1, , n 1 j 0 bağıntısıyla bulunabileceğini biliyoruz. Yukarıdaki eşitliğin matris formu 1 n 23 1 X 0 1 X 1 w 1 X 2 1 w2 X n 1 1 w( n 1) x0 w( n 1) x1 w2( n 1) x2 ( n 1)2 x w n 1 1 1 w2 w4 w2( n 1) (4.6) biçimindedir. (4.6) ifadesi, AFD’nin matris gösterimi olup Tanım 4.1’den X Wn* x (4.7) şeklinde sembolize edebiliriz. (4.7) ve Teorem 4.2’den ters AFD’nin matris gösterimi 1 x Wn X n biçimindedir. W * ve W matrisinin elemanları, w ' nin özelliklerinden faydalanarak n farklı sayıdan oluşan 1, w, w , 2 , wn1 kümesi yardımıyla basitleştirilebilir. Burada wk , (k 0,1, , n 1) dizisinin elemanları, z n 1 0 denkleminin kökleridir. Örneğin, n 4 için W * matrisinin elemanları z 4 1 0 denkleminin kökleri olan 1, 1, i, i kümesinin elemanlarından oluşur. Gerçekten 1 1 1 w * W4 1 w2 3 1 w 1 w2 w4 w6 1 1 1 w3 1 w w6 1 w2 w9 1 w3 1 w2 w0 w2 1 w3 w2 w 1 1 1 1 1 i 1 i 1 1 1 1 1 i 1 i olup bu kolayca görülebilir (Kayran ve Ekşioğlu, 2010). 4.2.4. Hızlı Fourier dönüĢümü Ayrık Fourier dönüşümünün (AFD) doğrudan hesaplanmasında her bir X k değeri için n karmaşık çarpma ve n 1 karmaşık toplama işlemi kullanılmaktadır. Bu 24 nedenle n adet AFD değeri bulunurken, n 2 çarpma ve n(n 1) toplama işlemi gereklidir. Ayrıca, her karmaşık çarpma işlemi dört gerçel çarpma ve iki gerçel toplama işlemi ve her bir karmaşık toplama, iki gerçel toplama işlemi ile gerçekleşmektedir. Sonuç olarak, işaretin boyutu olan n ' nin büyük olması durumunda AFD nin doğrudan hesaplanması çok fazla miktarda işlem gerektirmektedir. Yani, n sayısı artarken gereken işlem sayısı yüksek hızla artmaktadır. AFD hesaplanmasında etkin ve bugün kullanılan yaklaşım, hızlı Fourier dönüşümü (HFD) algoritmalarıdır. HFD terimi bazen karışıklıklara neden olmaktadır. Her ne kadar dönüşüm olarak adlandırılsa da, hızlı Fourier dönüşümü (HFD) ayrık Fourier dönüşümü (AFD)’den farklı değildir. HFD, AFD hesaplanması için etkili, ekonomik bir algoritmadır (Kayran ve Ekşioğlu, 2010; Cooley ve Tukey, 1965; Kunt, 1987). AFD’nin sayısal işaret işleme alanında spektrum analizi, konvolüsyon ve korelasyon gibi işlemlerin gerçekleşmesinde önemli rol oynamasının önemli bir sebebi HFD algoritmalarıdır. Genel olarak HFD ile ilgili birçok algoritma olmasına karşın konumuzun bütünlüğü açısından biz burada HFD’yi matris formunda inceleyeceğiz. 4.2.5. Matris gösterimi yardımıyla HFD AFD için matris gösterimi, (4.6) ve (4.7) ifadeleriyle verilmişti. Hızlı Fourier dönüşümü ile sağlanmak istenen, bu matris çarpımını daha az sayıda işlem uygulayarak gerçekleştirebilmektir. Bunu yapmanın yolu ise, (4.7)’deki Wn* matrisinin, bol sıfırlar içeren matrislerin çarpımı şeklinde ayrıştırılması olacaktır. Wn* 'ı oluşturan w jk terimlerinin özelliği sayesinde bu mümkün olmaktadır. m n ' nin 2'nin bir kuvveti olduğu (n 2 ) varsayımı altında, 2 tabanlı bir HFD algoritması geliştirilecektir. HFD’yi gerçekleyecek matris ayrıştırması için izlenecek yol, Wn* matrisinin Wn*/ 2 matrisiyle ilişkilendirilmesi olacaktır. Örnek olarak n 4 durumunu ele alalım. n 4 için 1 1 1 w W4* 1 w2 3 1 w olmaktadır. W4* matrisini 1 w2 w4 w6 1 w3 w6 w9 ve W 0 * 2 1 1 0 0 0 1 w 0 0 W2* 0 0 1 1 0 0 1 w 25 1 0 * W4 1 0 0 1 0 1 1 1 0 w 1 w 0 1 0 0 0 1 0 w 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 w 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 şeklinde ayrıştırmak mümkündür. En sağdaki matris bir permütasyon matrisidir. Çift ve tek indisli vektör elemanlarını birbirinden ayırmaktadır. Ortadaki matris iki tane * 2 noktalı AFD işlemi gerçekleştirmektedir. W4 için sağlanan bu ayrıştırma, çarpımda yer alan matrislerin bol sıfırlı olmasından dolayı matris çarpımında işlem sayısında bir azalma getirmektedir. n 4 için geliştirilen bu ayrıştırma genel bir n için I W n/2 In / 2 * n n / 2 Wn*/ 2 0 çift-tek indis n / 2 0 Wn*/ 2 ayrıştırması şeklinde yapılabilir. Burada (k 0,1, 2, köşegen elemanları (1, w, w2 , n , 1) olmak üzere I k birim matrisi, k ise 2 , wk 1 ) olan köşegen matrisi göstermektedir (Kayran ve Ekşioğlu, 2010; Strang, 1998). Tablo 4.1. AFD için Doğrudan Hesaplama ve HFD Algoritmasının Gerektirdiği Çarpma İşlemleri HFD AFD’nin Doğrudan Çarpma Hesaplanmasındaki Sayısı Çarpma Sayısı Adım Nokta Sayısı Sayısı l n nl n log 2 n n 1 2 2 4 2 4 16 64 256 4 8 256 2048 65536 32 10 1024 10240 1048576 102,4 2 Oran n2 nl 4.2.6. AFD ile HFD’nin karĢılaĢtırılması (4.4) bağıntısı ile verilen AFD’nin hesaplanmasında n 2 karmaşık çarpım ve n(n 1) karmaşık toplama gereklidir. Oysa HFD yardımıyla n 2l noktadan oluşan bir dizinin ayrık Fourier dönüşümünün hesabında nl / 2 karmaşık çarpma ve nl karmaşık toplama işlemi yeterlidir. Adım sayısı l log 2 n yazılırsa, işlem yoğunluğu açısından 26 AFD ile HFD’nin karşılaştırılması Tablo 4.1’de gösterildiği gibidir. Tablo incelendiğinde n 210 1024 noktalı AFD için yüz katın üzerinde bir kazanç sağlanmaktadır. Başka bir deyişle, n 1024 için HFD dönüşüm algoritmasının gerektirdiği çarpım sayısı doğrudan yöntemin yüzde birinden daha azdır (Kayran ve Ekşioğlu, 2010). Bir vektörün AFD’si HFD yardımıyla MATLAB’da fft komutuyla hesaplanır. Örneğin x (1,0, 1,1) vektörünün AFD’si X olmak üzere MATLAB’da Şekil 4.4’deki gibi hesaplanır. ġekil 4.4. Bir vektörün AFD’sinin MATLAB’da hesaplanması 4.2.7. AFD matrisi ile sirkülant matrislerin köĢegenleĢtirilmesi Sirkülant matrisleri AFD matrisi ile köşegenleştirmede, temel sirkülant matrisin köşegenleştirmesinden yararlanacağız. Tanım 4.3. n 1 bir tamsayı, w e2 i / n cos(2 / n) i sin(2 / n), i 1 27 ve , wn1 ) n diag (1, w, w2 , olsun. Bu durumda , w( n1) k ) k diag (1, wk , w2k , dır (Davis, 1979). Teorem 4.3. F *F dir (Davis, 1979). Teorem 4.3’den C circ p ( ) p ( F *F ) F * p () F F *diag ( p (1), p ( w), , p ( wn 1 )) F olup, biz sirkülant matrisler için aşağıdaki temel teoreme ulaşmış oluruz. Teorem 4.4. C bir sirkülant matris ise, bu matris bir AFD matrisi ile köşegenleştirilebilir. Daha açık olarak, C diag ( p (1), p (w), , p (wn1 )) olmak üzere C F *F (4.8) T F F * (4.9) dir (Davis, 1979). Sonuç 4.1. dir (Davis, 1979). Ġspat: Teorem 4.3’den açıktır. Sonuç 4.2. C bir sirkülant matris olmak üzere CT Fdiag ( p (1), p (w), dir (Davis 1979). Ġspat: (4.9)’dan , p (wn1 )) F * (4.10) 28 C T circ p ( T ) p ( F F * ) Fp () F * Fdiag ( p (1), p ( w), , p ( wn 1 )) F * olur ki, istenendir. 4.2.8. Sirkülant matrisin öz değerlerinin HFD yardımıyla hesaplanması Bu kısımda, C sirkülant matrisinin öz değerlerinin, bu sirkülant matrisin sadece ilk satır elemanlarını kullanarak, HFD yardımıyla bulunabileceği gösterilecektir. (4.8)’den C I = F * F I F * F F * F = F * ( I ) F F* I F I F* F I F *F I I I elde ederiz ki, C ve aynı karakteristik polinoma sahiptir. O halde bu iki matrisin öz değerleri de aynıdır. , esas köşegen üzerindeki elemanları p (1), p (w), p (w2 ), , p (wn1 ) olan köşegen bir matris olduğundan bu değerler aynı zamanda 'nın öz değerleridir. O halde 1 p (1) , 2 p (w) , 3 p (w2 ), , n p (wn1 ) dir. Bunu da genelleştirecek olursak C sirkülant matrisinin öz değerleri j 1, 2, ,n olmak üzere j p (w j 1 ) dir. diag (1 , 2 , olmak üzere , n ) (4.11) 29 1 L 2 ; n c0 c T 1 cn 1 olsun. (4.11)’den 1 p (1) c0 c1 cn 1 2 p ( w) c0 c1w cn 1wn 1 n p ( wn 1 ) c0 c1wn 1 cn 1w( n 1)( n 1) yazabiliriz. Bu denklem sisteminin matris formu 1 1 1 1 w 2 n 1 n 1 w c0 c 1 ( n 1)( n 1) w cn 1 1 wn 1 şeklindedir. Buradan L nF * T elde ederiz. Ayrıca yukarıdaki eşitlikten T dir. AFD matrisinin tanımından 1 FL n 1 * W n F* eşitliğini kullanarak yukarıdaki eşitliklerden L W * T (4.12) ve 1 n T WL elde edilir. Sirkülant matrisin ilk sütunu için de benzer şeyler yapılabilir (Davis, 1979). Böylece bir sirkülant matrisin öz değerleri, bu sirkülant matrisin ilk satırının veya sütununun AFD’sinden oluşur. Sonuç olarak bir sirkülant matrisin ilk satırı veya sütunu da bu sirkülant matrisin öz değerlerinin ters AFD’sinden oluşur. Bu da HFD ile hızlı bir şekilde hesaplanır. Örnek 4.1. 30 1 2 1 3 3 1 2 1 C 1 3 1 2 2 1 3 1 4 4 sirkülant matrisinin öz değerlerini AFD yardımıyla MATLAB’da hesaplayalım. Çözüm: c vektörü, C matrisinin ilk satırı ve L vektörü de, bu matrisin öz değerleri olsun. (4.12) eşitliğinden faydalanarak işlem MATLAB’da Şekil 4.5’deki gibi yapılır. ġekil 4.5. Örnek 4.1’in MATLAB’da çözümü Teorem 4.5. A, n n bir sirkülant matris olsun. Eğer A F *F , diag (1 , 2 , , n ) ise A 'nın tersi 1 diag (11 , 21 , , n 1 ) olmak üzere A1 F *1F dir (Davis, 1979). (4.13) 31 4.2.9. Sirkülant matrisin öz vektörlerinin AFD matrisiyle iliĢkisi C , n n bir sirkülant matris olsun. Bu matrisin öz vektörleri F veya F * 'ın sütun vektörleridir. Yani X j , C sirkülant matrisinin öz vektörleri olmak üzere Xj 1 (1, w j 1 , w2( j 1) , n w( n 1)( j 1) )T dir. Örneğin C , c0 C= c2 c1 c1 c0 c2 c2 c1 c0 şeklinde bir sirkülant matris olsun ve 3 3 tipinde bir F * matrisinin sütun vektörler kümesi 1 1 1 1 1 1 2 1 , X2 w , X3 w X1 3 3 2 3 1 w w olup c2 1 c0 c1 c 2 1 1 c1 1 c0 c1 c 2 3 3 1 c0 c1 c 2 c0 1 1 (c0 c1 c 2 ) 1 p (1) X 1 1 X 1 3 1 c0 CX 1 c2 c1 c1 c0 c2 olur ki X 1 , C ' nin öz bir vektörüdür. c0 c1w c 2 w2 c2 1 1 1 c1 w c 2 c0 w c1w2 3 2 3 2 w c0 c1 c 2 w c0 w 1 1 w p ( w) X X (c0 c1w c 2 w2 ) 2 2 2 3 2 w c0 CX 2 c2 c1 c1 c0 c2 dir. X 2 vektörü de C ' nin bir öz vektörüdür. Benzer şekilde, 32 c0 c1w2 c 2 w c2 1 1 2 1 2 c1 w c c w c w 2 0 1 3 3 2 w c0 c1 c 2 w c0 w 1 1 2 2 (c0 c1w c 2 w) w p ( w2 ) X 3 3 X 3 3 w c0 CX 3 c 2 c1 c1 c0 c2 olup, bu da X 3 'ün de C ' nin öz vektörü olduğu görülmüş olur (Easton, 2010). Sonuç 4.3. Aynı mertebeli bütün sirkülant matrislerin öz vektörleri aynıdır.(Easton, 2010). 4.2.10. Sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin HFD yardımıyla çözümü C , n n bir sirkülant matris olmak üzere Cx b lineer denklem sistemi verilmiş olsun. Teorem 4.4’den C bir sirkülant matris ise C F *diag (1 , 2 , , n ) F dir. C aynı zamanda tekil de değilse Teorem 4.5’den C 1 F *diag (11 , 21 , , n 1 ) F dir. O halde Cx b lineer denklem sisteminin çözümü x C 1b ifadesinde C 1 'in eşitini yazarsak x F *diag (11 , 21 , , n 1 ) Fb (4.14) olur (Chen, 1985). Bir vektörü F * veya F matrisi ile çarpmak, o vektörün AFD’si ile ilişkili olduğundan bu da HFD yardımıyla hızlı bir şekilde hesaplanabilir. C ' nin öz değerleri C ' nin ilk satırının veya sütununun AFD’si olduğundan HFD yardımıyla hesaplarız. Bu algoritmayı aşağıdaki gibi verebiliriz: Algoritma 4.1. CIRS(CIRculant Solver) 1985 yılında Chen tarafından önerilen bu algoritma sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerini çözer. 33 1. Adım b Fb, HFD ile hesaplanır. 2. Adım C ' nin öz değerleri HFD ile hesaplanır. 3. Adım b diag (11 , 21 , , n 1 )b hesaplanır. 4. Adım x F *b HFD yardımıyla bulunur. Örnek 4.2. x1 2 x2 x3 3x4 5 3 x1 x2 2 x3 x4 0 x1 3x2 x3 2 x4 0 2 x1 x2 3x3 x4 5 sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemini yukarıdaki algoritmayı kullanarak çözünüz. Çözüm: Bu lineer denklem sisteminin matris formu 1 2 1 3 x1 5 3 1 2 1 x 0 2 1 3 1 2 x3 0 2 1 3 1 x4 5 şeklinde olup c, C ' nin birinci satırının transpozesi olmak üzere 1 2 c 1 3 5 0 b 0 5 ve dir. (4.14)’den lineer denklem sisteminin çözümü x F *diag (11 , 21 , , n 1 ) Fb olup, şimdi algoritmayı uygulayalım. 1. Adım b Fb 1 1 Wb n ( Wb) n n eşitliğindeki son ifade b vektörünün ters AFD’sinin yardımıyla hızlı bir şekilde hesaplanabilir. O zaman n ile çarpımı olduğundan HFD 34 5 2,5 2,5i b 0 2,5 2,5i bulunur. 2. Adım L, C ' nin öz değerleri olmak üzere 5 2 i * L W c 5 2 i 3. Adım b diag (11 , 2 1 , , n 1 )b 0 0 0 5 0, 2 0 0, 4 0, 2i 0 0 2,5 2,5i 0 0 0, 2 0 0 0 0 0, 4 0, 2i 2,5 2,5i 0 1 0,5 1,5i 0 0,5 1,5i 4. Adım x F *b 1 * 1 Wb (W *b ) n n eşitliğindeki son ifade b vektörünün AFD’sinin 1 ile çarpımı olduğundan HFD n yardımıyla hızlı bir şekilde hesaplayabiliriz. O halde 1 1 x 0 2 bulunur. Şimdi çözümün doğruluğunu görmek için MATLAB’da matris yöntemini kullanalım. Lineer denklem sistemimizin matris formu Cx b şeklinde olup, çözüm x C 1b 35 olacağından, bunu MATLAB’da x inv(C )* b komutuyla hesaplarız. Gerçekten 0, 2 0 C 1 0, 2 0, 2 0,2 0, 2 0 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 0 0 0, 2 0, 2 0, 2 dir. O halde 1 1 1 xC b 0 2 şeklinde yine aynı sonuca ulaşırız. 4.3. Lineer ve Dairesel Konvolüsyonda Sirkülant Matrisler Lineer ve dairesel konvolüsyon sayısal işaret işlemede çok sık kullanılan hesaplamalardan biridir. Bir lineer konvolüsyonu hesaplarken verilen işaret vektörlerinin sonuna gerektiği kadar sıfır ekleyerek dairesel konvolüsyona dönüştürülür ve konvolüsyon teoreminde kullanılır. 4.3.1. Lineer konvolüsyon Tanım 4.4. h ve g sırasıyla m ve n bileşenli vektörler olsun. h ve g 'nin lineer konvolüsyonu s, l m n 1 bileşenli bir vektör olmak üzere k sk hk r g r , 0k l r 0 dir. Burada p m ise hp 0 ve r n ise g r 0 dır (Tolimieri ve ark., 1997). Örnek 4.3. 2 bileşenli h ve 3 bileşenli g vektörünün lineer konvolüsyonu s olmak üzere 36 s 0 h0 g 0 s1 h1 g 0 h0 g1 s 2 h1 g1 h0 g 2 s3 h1 g 2 dir. Örnek 4.4. 3 bileşenli h ve 4 bileşenli g vektörünün lineer konvolüsyonu s olsun. O zaman s 0 h0 g 0 s1 h1 g 0 h0 g1 s 2 h2 g 0 h1 g1 h0 g 2 s3 h2 g1 h1 g 2 h0 g3 s 4 h2 g 2 h1 g3 s5 h2 g3 dir. Bu lineer konvolüsyonun matris gösterimi h0 h 1 h s 2 0 0 0 0 h0 h1 h2 0 0 0 0 0 g h0 h1 h2 0 0 h0 h1 h2 0 şeklindedir. h ve g vektörlerinin bileşenleri sırasıyla m ve n olmak üzere bunların lineer konvolüsyonuna s dersek, genel olarak s Hg yazabiliriz. Burada H matrisi h0 h 1 H hm 1 0 0 0 şeklindedir (Tolimieri ve ark., 1997). 0 h0 h1 hm 1 0 0 0 0 0 hm 1 0 0 0 h0 h1 37 4.3.2. Dairesel konvolüsyon Tanım 4.5. a ve b, n bileşenli iki vektör olsun. a ve b ' nin dairesel konvolüsyonu a b şeklinde gösterilir. Tanım 4.6. c, a ve b ' nin dairesel konvolüsyonu olmak üzere n 1 ck ak r br 0r n r 0 dir. Burada alt indisler mod n 'e göre yazılır. Formülden anlaşılacağı üzere n bileşenli iki vektörün dairesel konvolüsyonu yine n bileşenlidir. Örnek 4.5. 3 bileşenli a ve b vektörlerinin dairesel konvolüsyonları c olmak üzere c0 a0b0 a2b1 a1b2 c1 a1b0 a0b1 a2b2 c2 a2b0 a1b1 a0b2 olup a1 a2 ve a2 a1 olduğuna dikkat çekilmelidir. Yukarıdaki örneği matris formda c Cb şeklinde yazabiliriz. Burada C matrisi a0 C a1 a2 a2 a0 a1 a1 a2 a0 biçiminde olup 3 3 tipinde bir sirkülant matristir (Tolimieri ve ark., 1997). 4.3.3. Dairesel konvolüsyonun matris gösterimi a ve b, n bileşenli iki vektör olsun ( a (a0 , a1 , a0 an 1 a a0 1 C (a ) a2 a1 an 1 an 2 an 2 an 1 a0 an 3 , an1 ) ). a1 a2 a3 a0 38 olmak üzere a ve b vektörlerinin dairesel konvülasyonu a b C (a)b (4.15) şeklindedir. Burada C (a) 'nın n n bir sirkülant matris olduğuna dikkat çekilmelidir (Tolimieri ve ark., 1997). Örnek 4.6. a (1,3,5,7) ve b (2, 4,6,8) vektörleri verilsin. a ve b vektörlerinin dairesel konvolüsyonu a b C (a )b 1 3 5 7 3 2 5 4 7 6 1 8 1 2 7 4 5 6 3 8 84 3 2 1 4 7 6 5 8 92 5 2 3 4 1 6 7 8 84 7 2 5 4 3 6 1 8 60 7 1 3 5 5 7 1 3 olarak elde edilir (Poornachandra ve Sasikala, 2010). Şimdi bileşen sayıları aynı olmayan iki vektörün lineer ve dairesel konvolüsyonunun nasıl hesaplanacağını gösterelim. a ve b bileşen sayıları farklı (bir an için sırasıyla 3 ve 4 bileşenli olsun) iki vektör olsun. Bu iki vektörün lineer konvolüsyonu 3 4 1 6 bileşenli olup a vektörünün sonuna 3 ve b vektörünün sonuna 2 tane sıfır bileşeni eklenerek bileşen sayıları eşitlenir ve daha sonra dairesel konvolüsyonları alınarak bu iki vektörün lineer konvolüsyonlarını hesaplayabiliriz. Örnek 4.7. h (h0 , h1 , h2 ) ve g ( g0 , g1 , g2 , g3 ) vektörleri sırasıyla 3 ve 4 bileşenli iki vektör olsun. . Bu iki vektörün lineer konvolüsyonu 3 4 1 6 bileşenli olup h vektörünün sonuna 3 ve g vektörünün sonuna 2 tane sıfır bileşeni ekleyip daha sonra vektörlerin dairesel konvolüsyonlarını alalım. O halde h ve g 'nin lineer konvolüsyonu s olmak üzere 39 s0 h0 s h 1 1 s3 h s 2 s4 0 s5 0 s5 0 0 h0 h1 h2 0 0 0 0 h0 h1 h2 0 0 0 0 h0 h1 h2 h1 g 0 h2 g1 0 g2 0 g3 0 0 h0 0 h2 0 0 0 h0 h1 h0 g 0 h g h g 1 0 0 1 h2 g 0 h1 g1 h0 g 2 h2 g1 h1 g 2 h0 g 3 h g h g 2 2 1 3 h2 g3 dir. Dikkat edilecek olursa yukarıdaki 6 6 matris bir sirkülant matristir. Şimdi verilen iki işaretin farklı boyuttaki dairesel konvolüsyonunu bir örnekle verelim. Örnek 4.8. a 1,1,1,1 ve b 1,1,1 sırasıyla 4 ve 3 bileşenli iki vektör olsun. Bu iki vektörün 8 bileşenli dairesel konvolüsyonunu hesaplayınız. Çözüm: İki vektörün 8 bileşenli dairesel konvolüsyonu istendiğinden a vektörüne 4 ve b ' ye 5 tane sıfır bileşeni eklenir. Yani, a 1,1,1,1,0,0,0,0 ve b 1,1,1,0,0,0,0,0 olur. Bu iki vektörün dairesel konvolüsyonuna c dersek c0 1 c 1 1 c2 1 c 0 c 3 c4 0 c5 0 c 0 6 c7 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 40 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 3 0 1 1 1 0 0 0 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 bulunur. Böylece a ve b vektörlerinin 8 noktalı dairesel konvolüsyonu c 1, 2,3,3, 2,1,0,0 vektörüdür. Bu vektör c 1, 2,3,3, 2,1 biçiminde de yazılabilir (Chitode, 2009). Teorem 4.6. (Konvolüsyon Teoremi) İki vektörün zaman bölgesindeki dairesel konvolüsyonu, frekans bölgesinde çarpıma dönüşmektedir. Yani; a ve b, n bileşenli iki vektör ve (a) ile (b) de sırasıyla a ve b’nin Fourier dönüşümleri olmak üzere (a b) (a) (b) (4.16) dır (Hunt, 1971). Ġspat: (4.15) ve (4.7)’den (a b) (C (a)b) W * (C(a)b) dir. (4.10)’dan C (a) Fdiag ( p (1), p (w), , p (wn1 )) F * olup C (a) 'nın bu değerini yukarıda yerine yazarsak (a b) W * ( Fdiag ( p (1), p ( w), , p ( wn 1 )) F * )b n ( F * F )(diag ( p (1), p ( w), diag ( p (1), p ( w), elde edilir. , p ( wn 1 )) , p ( wn 1 )W *b 1 * W )b n 41 1 1 1 w * W b 1 w2 1 w( n 1) b0 w( n 1) b1 w2( n 1) b2 ( n 1)2 b w n 1 1 1 w2 w4 w2( n 1) b0 b1 b2 bn 1 2 ( n 1) b0 b1w b2 w bn 1w b0 b1w2 b2 w4 bn 1w2( n 1) b0 b1w( n 1) b2 w2( n 1) bn 1w( n 1)( n 1) n 1 bj j 0 n 1 j bj w j 0 n 1 bj w j2 j 0 n 1 j ( n 1) b j w j 0 olup, W *b 'nin bu değerini yukarıdaki son eşitlikte yerine yazarsak n 1 n 1 b p (1) bj j j 0 j 0 n 1 n 1 j j b j w p ( w) b j w j 0 j 0 n 1 n 1 n 1 , p ( w ) b j w j 2 p ( w2 ) b j w j 2 j 0 j 0 n 1 n 1 j ( n 1) n 1 j ( n 1) b j w p ( w ) b j w j 0 j 0 (a b) diag ( p (1), p ( w), elde edilir. Buradan n 1 (a b) p ( w ) b j w jk k 0,1, k j 0 yazabiliriz. p ( wk ) a0 a1wk a2 w2 k an 1w( n 1) k n 1 a j w jk j 0 olup n 1 n 1 j 0 j 0 (a b) a j w jk b j w jk (a) (b) , n 1 42 olur ki, istenendir. 4.3.4. Dairesel konvolüsyonun hesaplanmasında AFD ve ters AFD metodu Biz iki vektörün dairesel konvolüsyonunu hesaplamak için AFD ve ters AFD metodunu kullanabiliriz. Teorem 4.6’dan zaman bölgesindeki dairesel konvolüsyon frekans bölgesinde AFD a b (a) (b) şeklindeki direkt çarpıma denktir. Frekans bölgesinde herbir sayısal işaret çarpılır ve çıkan sonucun ters AFD’si alınır. Bu da verilen dizilerin dairesel konvolüsyonudur. Bu işlem, MATLAB’da 4 adımda aşağıdaki gibi yapılır. a ve b’nin dairesel konvolüsyonu c olsun. (a) ve (b), sırasıyla a ve b’nin AFD’leri olsun. c aşağıdaki gibi hesaplanabilir. 1. Adım a 'nın AFD’si (a) hesaplanır. 2. Adım b 'nin AFD’si (b) hesaplanır. 3. Adım (c) 4. Adım (c) 'nin ters AFD’si c bulunur (Poornachandra ve Sasikala, 2010). (a) (b) hesaplanır. Örnek 4.9. Örnek 4.8’i AFD-ters AFD metoduyla çözünüz. Çözüm: 1. Adım a 'nın AFD’si 4 1 2, 414i 0 1 0, 414i (a) 0 1 0, 414i 0 1 2, 414i 2. Adım b 'nin AFD’si 43 3 1, 707 1.707i i 0, 293 0, 293i (b) 1 0, 293 0, 293i i 1, 707 1, 707i 3. Adım (c ) 4. Adım 12 2, 414 5,828i 0 0, 4142 0,1716i (a) (b) 0 0, 4142 0,1716i 0 2, 414 5,828i (c) 'nin ters AFD’si c a b 1, 2,3,3, 2,1,0,0 bulunur (Chitode, 2009). 4.3.5. Sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerinin çözümü için dairesel konvülasyon metodu Sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemleri ayrık Fourier dönüşümü kullanılarak hızlı bir şekilde çözülebilir. Biz burada dairesel konvolüsyondan yararlanacağız. C , n kare bir sirkülant matris olmak üzere Cx b matris denklemi verilsin. c, C sirkülant matrisinin birinci sütunu olmak üzere, biz yukarıdaki matris denklemini dairesel konvolüsyon olarak cx b şeklinde yazabiliriz. Ayrık Fourier dönüşümü kullanılarak zaman bölgesindeki iki vektörün dairesel konvolüsyonu, frekans bölgesinde direkt çarpıma dönüşmekteydi. O halde konvolüsyon teoreminden 44 (c x) (c) ( x) (b) yazabiliriz. Buradan x 1 (b) v (c) v v (4.17) şeklinde bulunur. Bu algoritma, hızlı Fourier dönüşümü kullanıldığında lineer denklem sistemini çözmede Gauss eleminasyon metodundan çok daha hızlıdır (MobileReference, 2007). Örnek 4.10. Örnek 4.2’yi dairesel konvolüsyon metoduyla çözünüz. Çözüm: (4.17)’den lineer denklem sisteminin çözümü x 1 (b) v (c) v v 5 0 b , 0 5 x1 x x 2 x3 x4 dir. Burada 1 3 c , 1 2 dir. O zaman b ve c vektörlerinin AFD’sini HFD ile hızlı bir şekilde hesaplayabiliriz. 10 5 5i (b) 0 5 5i ve 5 2 i (c ) 5 2 i dir. ( ( (b))v )v ( (c))v 2 1 3i 0 1 3i olup son ifadenin ters AFD’sini HFD ile hesaplarsak 45 x 1 (b) v ( c ) v v 1 1 0 2 bulunur. Örnek 4.11. x1 2 x2 x3 2 x1 x2 2 x3 3 2 x1 x2 x3 1 lineer denklem sistemini dairesel konvolüsyon metodu ile çözünüz. Çözüm: Bu lineer denklem sisteminin matris formu 1 2 1 x1 2 1 1 2 x 3 2 2 1 1 x3 1 şeklinde olup lineer denklem sisteminin çözümü (4.17)’den x 1 (b) v ( c ) v v dir. Burada 1 c 1 , 2 2 b 3 1 olup b ve c vektörlerinin AFD’sini HFD yardımıyla hesaplayalım. 0 (b) 3 3, 4641i 3 3, 4641i ve 2 (c) 0,5 2,5981i 0,5 2,5981i dir. 46 0 ( (b))v ( )v 1,5 0,8660 ( (c))v 1,5 0,8660 olur. O halde son ifadenin ters AFD’si yine HFD ile hesaplanırsa x 1 1 ( (b))v 0 ( (c))v v 1 bulunur. Şimdi çözümün doğruluğunu görmek için MATLAB’da matris yöntemini kullanalım. Lineer denklem sistemimizin matris formu Cx b şeklinde olup x C 1b dir. 0, 2143 0, 0714 0,3571 C 0,3571 0, 2143 0, 0714 0, 0714 0,3571 0, 2143 1 olup 1 x C b 0 1 1 şeklinde yine aynı sonucu buluruz. 47 5. SONUÇLAR VE ÖNERĠLER 5.1. Sonuçlar Yüksek lisans tezi olarak yapılan bu çalışma, derleme bir çalışmadır. Bu çalışmada Ayrık Fourier dönüşüm (AFD) matrisi ve dairesel konvolüsyonun sirkülant matrislerle olan ilişkisi incelenmiştir. Daha sonra sirkülant matris katsayılı lineer denklem sistemlerin çözümü için HFD metodu ile dairesel konvolüsyon metodu verilmiştir. Ayrıca bir sirkülant matrisin öz değerleri sadece bu sirkülant matrisin bir satır veya sütunun HFD’si olduğu ve aynı mertebeli bütün sirkülant matrislerin öz vektörleri AFD matisinin satır veya sütun vektörleri olduğu gösterilmiştir. Sonuç olarak sirkülant matrislerin AFD matrisi yardımıyla köşegenleştirilmesi, öz değerleri ve öz vektörlerinin bulunması, ayrıca HFD’nin hesaplanması AFD matrisiyle olması sebebiyle sirkülant matrisli sayısal işaret işleme uygulamalarında zamandan tasarruf sağlamaktadır. 5.2. Öneriler Sirkülant matrisler, sayısal işaret işlemede uygulama alanı olan özel bir matris çeşididir. Matrislerin çarpımı, kuvveti, kökü, tersleri gibi işlemler bu uygulamaların kaçınılmaz işlemleridir. köşegenleştirilmesine Yukarıda dayanmaktadır bahsi ve geçen işlemler, hesaplamalarda matrislerin oldukça kolaylık sağlamaktadır. Sirkülant matrislerin köşegenleştirilmesi işleminin AFD matrisi yardımıyla olduğu bu çalışmada görüldü. HFD, AFD matris tabanlı bir algoritma olduğundan bütün bu anlattıklarımızı sirkülant matrislere uyarlayacak olursak n tane farklı sirkülant matrisin çarpımı Bir sirkülant matrisin k ıncı kuvveti Bir sirkülant matrisin k ıncı kökü Sirkülant matrislerin tersleri HFD yardımıyla hızlı bir şekilde hesaplanabilir. 48 6. KAYNAKLAR Bozkurt, D., Türen, B., ve Solak, S., 2005, Lineer Cebir, Dizgi Ofset Matbaacılık, Konya Chen, M., 1985, On the Solution of Circulant Linear Systems, Research Report YALEU, New Haven, 2-3 Chitode, J. S., 2009, Digital Signal Processing, Third revised edition, Techinica Publications Pune, Chennai, 58-64 Cooley, J. W. and Tukey, J. W., 1965, An Algorithm for the machine calculation of complex Fourier series, Math. Comput., 297-301 Davis, P. J., 1979, Circulant Matrices, Wiley-Interscience, New York Dong, C., 2009, The Nonsingularity on the Symetric r-circulant Matrices, Int. Conf. on Comp. and Commun. Security-ICCCS 2009, Honk Kong, 40-43 Easton, R. L., 2010, Fourier Methods in Imaging, John Wiley&Sons, Rochester NY, USA Gray, R. M.,2001, Toeplitz and circulant matrices,Stanford university, Now, Stanford, California Hunt, B. R., 1971, A Matrix Proof of the Discrete Convolution Theorem, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, Vol. AU-19, No. 4, 285-288 Karaboğa N., 1995, Sayısal Filtre Katsayılarının Genetik Algoritma Kullanılarak Yuvarlatılması, Doktora Tezi, Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Kayseri, 1-7 Karner, H., Schneid, J., and Ueberhuber, C., W., 2003, Spectral Decomposition of Real Circulant Matrices, Linear Algebra and Its Applications, 367, 301-311 Kayran, A. H. ve Ekşioğlu, E. M., 2010, Bilgisayar Uygulamalarıyla Sayısal İşaret İşleme, Birsen Yayınevi, İstanbul Kunt, M., 1987, Digital Signal Processing, Artech Hous Li, H., Liu, X. and Wang, P., 2009, An Improved Fast Algorithm for the K-th Root of Permutation Factor Circulant Matrices, ISECS Int. Colloquium on Comp. Commun. Cont. Management-CCCM 2009, Sanya, 316-319 Liu, H., and Liu, X., 2009, The Nonsingularity on the r-circulant Matrices, ISECS Int. Colloquium on Comp. Commun. Cont. Management-CCCM 2009, 324-327 Liu, X., and Wei, P., 2009, A Fast algorithm fort he production of Permutation Factor Circulant Matrices, Asia-Pacific Conf. On Information Processing-APCIP 2009, Shenzhen, 367-37 49 MobileReference, 2007, Linear Algebra Study Guide, MobileReference.com, Boston Oppenheim A. V., Schafer, R.W., 1999, Discrete-Time Signal Processing, 2nd Ed., Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ Pollock, D., S., G., 2002, Circulant Matrices and Time-SeriesvAnalysis, Int. J. Math. Educ. Sci. Technol., 33(2), 213-230 Poornachandra, S. and Sasikala, B., 2010, Digital Signal Processing, 3e, Tata Mcraw Hill, Chennai Strang, G., Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, 495500 Taşcı, D., 2005, Lineer Cebir, Gazi Kitapevi, Ankara Teixeira, M., and Rodriguez, D., 1994, A new method mathematically links fast Fourier transform algorithms with fast cyclic convolution algorithms, Proceedings of the 37th Midwest Symposium on Circuits and Systems, Lafayette-LA, USA, 2, 829833 Tolimieri, R., An, M. and Lu, C., 1997, Algorithms for Discrete Fourier Transform and Convulation, second edition, Springer- Verlag, New York, 100-110 Tsitsas, N. L., Alivizatos, E. G., Kalogeropoulos, G.H., 2007, A recursive algorithm for the inversion of matrices with circulant blocks, Applied Math. And Comp., 188, 877-894 Zhao, G., 2009, The Improved Nonsingularity on the r-Circulant Matrices in signal processing, Inter. Conf. On Computer Techo. and Development-ICCTD 2009, Kota Kinabalu, 564-567 Zhao, W., 2009, The Inverse Problem of Anti-circulant Matrices in Signal Processing, Pacific-Asia Conf. on Knowledge Engineering and Software Engineering-KESE 2009, Shenzhen, 47-50 50 ÖZGEÇMĠġ KĠġĠSEL BĠLGĠLER Adı Soyadı Uyruğu Doğum Yeri ve Tarihi Telefon Faks e-mail : : : : : : Ahmet ÖTELEŞ TC Adıyaman / 25.06.1985 05054743191 [email protected] EĞĠTĠM Adı, Ġlçe, Ġl : Anadolu Öğretmen Lisesi, Adıyaman Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi OFMAE Üniversite : Matematik Eğitimi Bölümü, Konya Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yüksek Lisans : Matematik Anabilim Dalı, Konya Doktora : Derece Lise UZMANLIK ALANI : Cebir ve Sayılar Teorisi YABANCI DĠLLER : Ġngilizce Bitirme Yılı 2003 2009 2011
