ZAMAN UZAYI SONLU FARKLAR YÖNTEMİ

Zaman Uzayı Sonlu Farklar Yöntemi
Dr. Serkan Aksoy
ZAMAN UZAYI SONLU FARKLAR YÖNTEMİ
Zaman Uzayı Sonlu Farklar (ZUSF) yöntemi bunlardan en sık kullanılanlarındandır. Bu çözümlerin temel
dezavantajlarından biri zaman uzayında fazladan ızgaralamaya (discretization) ihtiyaç duymalarıdır. Temel
avantajları:
- Lineer cebir kullanmaz. Lineer bir denklem sisteminin çözülmesine ihtiyaç duymaz. Basitçe her bir
zaman adımında matris-vektör çarpımı gerektir. Bu nedenle teorik olarak bilinmeyen sayısı bakımından üst
sınır yoktur.
bilinmeyene kadar çözülmüş örnekler vardır.
- Doğruluğu kontrol edilebilir çözüm sunar. Hataları iyi anlaşılmış olduğundan, çözüm kontrol altındadır.
- Darbe (geniş bantlı işaretler) cevabını direkt verir. Böylece tek bir çalıştırmada geniş bantlı darbe veya
sinüzoidal sürekli hal cevabını elde etmek Maxwell denklemlerinin direkt zaman uzayı çözümleri ile
mümkündür.
- Malzeme türü ve geometrisi bakımından geniş bir yelpazede çözümler mümkündür. Kayıplı, homojen
olmayan, anizotropik, dispersif ve lineer olmayan karmaşık geometrili malzemelerin incelenmesi
mümkündür.
- Sistematik bir yaklaşım sağlar. Farklı problemler için ızgara düzenlenmeleri hariç, yeni formülizasyon
gerektirmez. Ör: yapıya göre değişen Green fonksiyonu, potansiyel vb.hesabına ihtiyaç duymaz.
- Tam-dalga (full-wave) çözüm sağlar. Fiziksel olmayan hayali (spurious) çözümler içermez.
- Hafıza gereksinimi ihtiyacı çözülmektedir. Gerekli bilgisayar kaynakları bilinmeyen sayısı ile lineer
olarak ilişklidir. Günümüzde yarıiletken teknolojilerinde ki gelişmeler sayesinde ZUSF için gerekli olan
hafıza problemleri yüksek oranda çözümlenmiştir.
- Gerçek zamanlı görüntüleme ihtiyaçları çözülmektedir. Günümüzde yarıiletken teknolojilerinde ki
gelişmeler sayesinde ZUSF ile alan dağılımlarının gerçek zamanlı görüntüleme imkânları artmaktadır.
ZUSF yöntemi temelde düşük mertebeden polinom yaklaşımı üzerine kurulu lokal (yerel) bir yöntemdir.
Türevler bir fonksiyonun lokal özelliği olduğundan, düzgün (smooth) olmak zorunda değildirler. Bu
avantajlar çerçevesinden ZUSF ile ilgili yayın sayısı giderek artmaktadır. Böylece sayısal sistemler, tümleşik
optik uygulamalar vb. birçok yeni elektromanyetik sistem uygulaması mümkün olmuştur. Standard ZUSF
yönteminin en önemli iki dezavantajı; geometrik modellemenin merdivenleme (staircase) ile yapılmasından
kaynaklanan model hataları ve sayısal dispersiyon hatalarıdır. Yine ZUSF ile zaman uzayında elde edilen
verilen Hızlı Fourier Dönüşümü (Fast Fouier Transform) frekans uzayına kolayca geçirilmesi mümkündür.
Standart ZUSF yönteminde (explicit time integration method) birim hücre uzunluğu birim zaman adımını
kararlılık kapsamında belirlediğinden şartlı kararlı bir yöntemdir. Bununla birlikte yarı-kapalı (semi-implicit)
veya kapalı (implicit) versiyonları da mevcuttur. Yarı kapalı türünde örneğin yönü şartlı kararlı, yönü
şartsız kararlı olabilir.