integral işareti,f(x)

• Tanım: f : a, b  R tanımlı iki fonksiyon olsun.Eğer F(x)
in türevi f(x)veya diferansiyeli f(x).dx olan F(x)
fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve  f ( x ).dx  F( x )  c
biçiminde gösterilir.
•  f ( x ).dx  F( x )  c eşitliğinde; işaretine,integral işareti,f(x) e
integrand(integral altındaki fonksiyon),f(x).dx e
diferansiyel çarpanı,F(x) e f(x) in ilkel fonksiyonu ve C
ye integral sabiti denir.
1.Bir belirsiz integralin türevi,integrali alınan fonksiyona
eşittir:
'
'
f
(
x
).
dx

(
F
(
x
)

C
)
 f (x)



2.Bir belirsiz integralin diferansiyeli,integral işaretinin
altındaki ifadeye eşittir:

d
 f ( x).dx   f ( x).dx
3.Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali,bu
fonksiyon ile bir C sabitini toplamına eşittir:
 d ( f ( x))  f ( x)  c
Örnek-1-
 4x
d
Çözüm :
dx
5
.dx belirsiz integralinin türevini bulunuz.
 4 x
Örnek-2-
 d ( x  x)
Çözüm :
 d (x
3
Örnek-3- 
bulunuz.
Çözüm :

3
5

.dx  4 x 5
belirsiz integralini bulunuz.
 x)  x  x  c
3
x 2  1.dxbelirsiz integralinin diferansiyelini
x 2  1.dx 
x 2  1.dx
1
1.  x dx 
x n 1  c
n 1
(n  1)
n
2.  e x .dx  e x  c
4.  a x .dx  1 a x  c
1
3.  dx  ln x  c
x
(a  0, a  1)
ln a
5.  sin x.dx   cos x  c
6. cos x.dx  sin x  c

7.  tan x. sec x.dx  sec x  c 8. cot x. cos ecx.dx   cos ecx  c
9.
1
2
sec
xdx

dx

(
1

tan
x)dx  tan x  c

 cos 2 x 
10.
1
2
cos
ec
xdx

dx

(
1

cot
x)dx   cot x  c

 sin 2 x 
11.
1
 1  x 2 dx  arctan x  c
2
2
12. 
1
1 x
2
dx  arcsin x  c
Örnek-1Çözüm:

x 5 dx
I 

belirsiz integralini bulunuz.
1 6
x dx 
x c
6
5
Örnek-2-
3
x
(
e

e
) dx belirsiz integralini bulunuz.

Çözüm:
I   (e3  e x )dx  e 3 .x  e x  c
5
4
x

x
 2x
Örnek-3 x5 dx belirsiz integralini bulunuz.
dx
 1 2
Çözüm:
I   1   4 .dx  x  ln x  2. 4  x  ln x  2. x 4 dx
x
 x x 
x 3
2
 x  ln x  2.
 x  ln x  3  c
3
3x
x

3
Örnek-4-  3 1 

x

x

dx belirsiz integralini bulunuz.

x
1
3


Çözüm: I    3x  dx 
 ln x  c
x
ln 3

Örnek-5-
2
tan
 xdx

belirsiz integralini bulunuz.




Çözüm: I  1  tan 2 x  1 dx  1  tan 2 x dx  dx  tan x  x  c

Örnek-6- cot 4 xdx
integralini hesaplayınız.
1
cos
4
x
1
4
cos
4
x
1
(sin
4
x
)
Çözüm: cot 4 xdx 

 sin 4 x dx  4  sin 4 x dx  4  sin 4 x
1
 ln sin 4 x  c
4

f  g (x)  g ' ( x ) dx İntegralinde u=g(x) ve u '  g ' ( x)dx
Dönüşümü yapılarak integral
Örnek-1-
 (x
4
 f ( x)du haline getirilir.
 2 x  3).( x  x).dx integralini hesaplayınız
2
3
Çözüm: u  x 4  2 x 2  3
 du  (4 x 3  4 x).dx
du  4( x  x).dx
du
 ( x 3  x ).dx
4
3
4
du
1
1
u
I   u 3   u 3 .du 
c
4 4
4 4
1 4
I  ( x  2 x 2  3) 4  c
16
Örnek-2Çözüm:
e
sin x
. cos x.dx
integralini hesaplayınız.
u  sinx
du  cosx.dx
I   e .du  e  c
u
Örnek-3Çözüm:
u
x
integralini hesaplayınız.
dx
 1  x2
du
2
du

2xdx
 x.dx

u  1 x
I 
2
du
2  1 ln u  c  1 ln( 1  x 2 )  c
u
2
2
ln x
dx
x
Örnek-4-

Çözüm:
u  ln x
I 
integralini hesaplayınız.
1
du  dx
x
1
2
3
2
u
u du   u du 
c
3
2
3
2
 (ln x) 2  c
3
Örnek-5-
dx
 e x  1 dx
integralini hesaplayınız.
Çözüm:
dx
ex 1 ex
ex 1
ex
ex
I   x dx   x
dx   x dx   x dx   dx   x dx
e 1
e 1
e 1
e 1
e 1
ex
I2   x
dx
e 1
u  e  1  du  e .dx
x
du
I2  
 ln u  c
u
I  x  ln e  1  c
x
x
Örnek-6Çözüm:

e
x
x
integralini hesaplayınız.
dx
u x
du 
1
2 x
I   eu .2du  2 eu du  2eu  c
Örnek-7-
 sin x. cos x.dx
Çözüm:
u  sin x
2
u
I   u.du   c
2
1
2du 
dx
x
dx
I  2e  c
x
integralini hesaplayınız.
du  cos x.dx
2
sin x
I
c
2
Örnek-8-

Çözüm:
u  x2  4x
x 2  4 x ( x  2).dx
integralini hesaplayınız.
du  (2 x  4 x).dx  2( x  2).dx
du
 ( x  2).dx
2
3
2
3
du 1
1u
1 7
I u
  u .du 
c  u c
2
2
2 3
3
2
3
1 2
I  ( x  4 x) 2  c
3
arctan x
dx
Örnek-9- 
2
1 x
integralini hesaplayınız.
1
u

arctan
x
du 
dx
Çözüm:
2
1 x
2
2
u
arctan
x
I   u.du   c I 
c
2
2
x
x
e

e
Örnek-10 e x  ex dx
u  e x  e x
I 
du
 ln u  c
u
integralini hesaplayınız.
x
du  (e  e )dx
x
I  ln e x  e x  c
Örnek-11Çözüm:
 (cot x  tan x)dx
integralini hesaplayınız.
 cot xdx   tan xdx
I1
I2
t  cos x
du  cos x dt   sin x.dx
u  sin x
I  ln u  ln t  c
I  ln sin x  ln cos x  c
sin 2 x
 3  cos2 x dx
Örnek-12-
Çözüm: u  3  cos 2 x
I  
du  2 cos x sin x   sin x
du
  ln u  c
u
I   ln 3  cos2 x  c
4
2
(tan
x

tan
x)dx integralini hesaplayınız.

Örnek-13Çözüm:
integralini hesaplayınız.
I   tan x(tan x  1)dx
2
u  tan x
du  (1  tan x)dx
2
3
u
I   u du   c
3
2
2
3
tan x
I
c
3
Örnek-14-

dx
9  25 x
integralini hesaplayınız.
2
Çözüm:
a, b  R  0


1
 bx 
 arcsin    c
2
2 2
b
a
a b x
dx
1
 5x 
 arcsin    c
2
5
 3
9  25 x
dx
sin 2x  2 sin x.cos x
1.
sin x  cos x  1
3.
2.
sec 2 x  tan 2 x  1
4. cos 2 x  2. cos 2 x  1
2
2
 1 2 sin 2 x
*
*
*
1
sin a.sin b   cos( a  b)  cos( a  b)
2
1
sin a. cos b  sin( a  b)  sin( a  b)
2
1
cos a. cos b  cos( a  b)  cos( a  b)
2
Örnek-1-
integralini hesaplayınız.
cos
4
x
.
cos
2
x
.
dx

Çözüm:
1
11
1

I   (cos 6 x  cos 2 x).dx   sin 6 x  sin 2 x   c
2
26
2

1
1
I  sin 6 x  sin 2 x  c
12
4
2
sin
 x.dx
Örnek-2-
integralini hesaplayınız.
1

cos
2
x
1
1
Çözüm: sin x.dx 

 2 dx   2dx  2  cos 2 x.dx
2

1
1
sin 6 x  sin 2 x  c
12
4
 cos
Örnek-3Çözüm:
2
xdx
integralini hesaplayınız.
1  cos 2 x
1
1
 cos xdx   2 dx   2 dx  2  cos 2 xdx
2
x 1
I   sin 2 x  c
2 4
4
sin
 x.dx
Örnek-4Çözüm:
integralini hesaplayınız.
1
 1  cos 2 x 
2
 sin x.dx   (sin x) .dx    2  dx  4  (1  cos 2 x) .dx
2
4
2
2
1
1
1
2
  (1  2 cos 2 x  cos 2 x)dx  ( x  2. sin 2 x   cos 2 2 xdx)
4
4
2
1  cos 4 x

2
x 1
1 1  cos 4 x
x 1
1
1
I   sin 2 x  
dx   sin 2 x  ( x  sin 4 x)  c
4 4
4
2
4 4
8
4
3x sin 2 x 1
I

 sin 4 x  c
8
4
32
Örnek-5-
5
sin xdx
integralini hesaplayınız.
Çözüm:
sin xdx   (sin x) .sin x.dx   (1  cos x) .sin x.dx
5
u  cos x
2
2
2
du   sin xdx
 du  sin x.dx
2
I   (1  u ) .(du )
2 2
I   (1  2u  u ).( du )   (1  2u  u ).du
2
4
2
5
2 3 u
I  u  u 
3
5
4
2 3 1 5
I   cos x  cos x  cos x  c
3
5
 u.du = u.v -  v.du
YARDIM:
1)dv’nin integrali kolay olmalı.
2)
 v.du
integrali ilk integral
3) u’yu seçerken genelde aşağıdaki sıra ile seçmek avantajlıdır.
Logaritma Arc
Polinom
Trig.
Üstel f.
ÖRNEK1:
 x.cos.dx = ?
u= x
;
du=dx ;
dv=cosx.dx
v=sinx
=x.sinx- sinx.dx
=xsinx+cosx+c
ÖRNEK2:

lnx/x2 = ?
= u=lnx
dv=1/x2.dx
= du=(1/x).dx
v=-1/x
= u.v- v.du
= lnx(-1/x)- (1/x).(1/x).dx
= (-lnx/x)-(1/x)+c
= (-lnx-1/x)+c
x  2x  x  2
 x  1 .dx
3
ÖRNEK:
2
x 3  2 x 2  x  2 =x2+x
x 1
= x2  x  2

.dx
x 1
= x  x  2 ln x  1  c
3 2
3
2
kalan:2
Örnek:
x  2x  3
 x3  x .dx
2
x2  2x  3 A B
C
 

x( x  1)( x  1) x x  1 x  1
x  2 x  3  A( x  1)  Bx ( x  1)  Cx( x  1)
2
B=3 ; C=1
2
;A=-3
3
1 
 3


  x x  1 x  1 .dx
=-3ln|x|+3ln|x-1|+ln|x+1|+c
Sadece köklü ifade varsa!!!
* a b x
2
* a b x
2
* b x a
2
2
2
2
2
2
2
 x 
 x 
 x 
a
b
a
b
a
b
sin u
tan u
sec u
dx

???
2
 4 x  4 x  17
4x
2
2+42
=(2x+1)
 4 x  17
dx
 4 x 2  4 x  17
2 x  1  4 tan u
2 x  4 tan u  1
4 x 2  4 x  17
2 x  1  16
4 tan u 2  16

2

2dx  4  4 tan u
 4 tan 2 u  1
dx  2  2 tan u
2 1  tan 2 u
2
2
dx  21  tan u 
2

1
4 1  tan u
2
2
1  tan 2 u
DEVAMI
1
1
1
2
  sec u   sec u  ln sec u  tan u  c
2
2
2
1  tan u  tan u
2
1
4 x  4 x  17 2 x  1
 ln 1 

2
16
4
2
1
 ln
2
4 x  4 x  17  2 x  1  c
2
arc
sec
x
.
dx

???

 arc sec x.dx  x.arc sec x 

dx
x2 1
u  arc sec x
du 
dx
x
2
1
 xarc sec x 
 u  x; du  dx

x  sec u  x 
dx
x
2
1
x
1
1
1
 cos u 
cos u   ln
cos u
x
x

1 
xarc sec x  

ln


c
x


1
xarc sec x  ln
c
x
xarc sec x  ln x  c
b
b
 f x.dx  F ( x)  F (b)  F (a)
a
a
c yok ; c-c=0
h( x)
F ( x) 

f (u ).du 
g ( x)
F ' ( x)  f (h( x).h' ( x)  f ( g ( x)). g ' ( x)
2
sgn
cos
x
.
dx

???


2
1,5
ÇÖZÜM :
2
1
0,5
0
-0,5

2
3
2
-1

-1,5

3
2
2

1
.
dx


1
.
dx

0
.
dx







2

3
2