KONU ANLATIMI ÖRNEKLER

İNTEGRAL


0


n 0
KONU ANLATIMI
ÖRNEKLER
1
Ġntegral almak , ‘’türevi verilen bir
fonksiyonu bulmak’’tır.
ÖRNEK:

dy
 f (x) , x  (a, b)
dx

ÖRNEK:

( C , herhangi bir sabit.)

dx
1
  x 2 dx  2 x  C
x

4
 6x 2 
2
x2
 (1  u)(1  u u
biçiminde gösterilir.
 dF ( x)   f ( x)dx  F ( x)  C
2

5
3
dx  x  2 x   C
x

ÖRNEK:
 f ( x)dx  F ( x)  C
2
)du   (1  u 3 )du
1
 u  u4  C
4
)
ÖRNEK:
ÖRNEK:

dy
 3x 2 , dy  3x 2 dx
dx
y   3x 2 dx  x 3  C
3
4
3
x dx   x dx  x 3  C
4
  5x
koĢulunu sağlayan y = F(x)
fonksiyonuna f(x) in x ‘e göre
integrali denir.
 d (x
1
3
ÖRNEK:
dF ( x)
 f ( x)
dx
(
3
ÖRNEK:
dy
 2 x için y nin x cinsinden ifadesi:
dx
(
3
2 2
x C
3
ÖRNEK:
fonksiyonu olarak verildiğini ve
y=F(x) in istendiğini varsayalım.
y=x2 + C dir.
1
x dx   x 2 dx 
v 1
v
1
dv   dv   dv
v
v
v
1

)  x3  C )
u n 1
C
n 1
2
v v 2 v C
3
 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
 sec xdx  tan x  C
 csc xdx   cot x  C
 sec x tan xdx  sec x  C
 csc x cot xdx   csc x  C
 du  u  C
 adu  a  du
 (du  dv)   du   dv
n
 u du 
1
  v 2 dv   v 2 dv 
2
2
( n  1 )
ÖRNEK:
 dx  x  C
ÖRNEK:
1
 cos 2 xdx  2 sin 2 x  C
ÖRNEK:
1
 xdx  2 x
2
C
 f (ax  b)dx 
2
F (ax  b)
C
a
ÖRNEK:
ÖRNEK:
2
 cos xdx 

x
1
(1  cos 2 x)dx
2
d
(1  sin t ) 25 dt  (1  sin x) 25

dx 1
1
1
x  sin 4 x  C
2
4
ÖRNEK:
x
d 20
t (1  t ) 20 dt  x 20 (1  x) 20

dx 0
ÖRNEK:
 tan xdx   (1  tan x)dx   dx
  sec xdx   tan xdx  tan x  x  C
2
2
2
TEOREM:
f , [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon
ÖRNEK:
ve bir ilkeli F ise ;
x4 1
( x  1)( x 3  x 2  x  1)
dx
 x  1 dx  
x 1
x4 x3 x2
  ( x 3  x 2  x  1)dx 


 xC
4
3
2
b
 f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
ÖRNEK:
ÖRNEK:
sin x
 cos 2 xdx   sec x tan xdx  sec x  C
2
x4
2
x
dx

1
2
2
8
3
ÖRNEK:
dx
sin 2 x  cos 2 x

 sin 2 x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x dx
1
1 15

2 2
ÖRNEK:
5
5
 ( x  1)( x  1)dx   ( x  1)dx
  sec xdx   csc xdx  tan x  cot x  C
2
dır.
2
4
4
5
5
  ( x  1)dx 
4
TEOREM:
f, [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon ve

x2
25
x 
 5  (8  4)
2
2
4
7
2
x
F(x) =
 f (t ).dt
, x  [a,b]
y=f(x) eğrisi , x=a , x=b doğruları ve
x ekseni ile sınırlı bölgenin alanı :
a
b
ise F fonksiyonu (a,b) aralığında türevi
alınabilir bir fonksiyon olup
F’(x) = f(x)
,
x  (a,b)
A   f ( x)dx dir.
a
dir.
ÖRNEK:
x
d
f (t )dt  f ( x)
dx a
3
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x3 1
( x  1)( x 2  x  1)
dx

dx
2 x  1 2
x 1
8
8
8
8
x3 x2
  ( x  x  1)dx 

x
3
2
2
2
2

512
8
 32  8  (  2  2)  204
3
3
UYARI:
Fonksiyon x=1 için TANIMSIZ (süreksiz)
olduğundan integral sınırları içinde olsaydı
integral alma iĢlemi yapılamazdı.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
y=2x3-2x eğrisi ve x ekseni ile sınırlı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
2x3-2x=2x(x-1)(x+1)=0
x1=-1 , x2=0 , x3=1
ÖRNEK:
0
1
A   (2 x 3  2 x)dx   | 2 x 3  2 x | dx
1

0
x4
 x2
2
0
1
1
  (2 x 3  2 x)dx
0
1
1
 0  (  1)  (  1)  0  1
2
2
b

a
f ( x)dx    f ( x)dx
a
b
a
 f ( x)dx  0
EK BİLGİ :
a
Parabol ve x ekseni ile sınırlı alan =
f , [a,b] de sürekli bir fonksiyon ve
2
2
32
Taban x Yükseklik= (2  (2)).4 
3
3
3
c  [a, b] için ;
b
c
b
a
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
4
ÖRNEK:
2
 1  x .dx  ?
y=f(x) ve y=g(x) eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı ;
0
1-x = 0 için x=1
2
b
1

2
 1  x .dx   1  x .dx   1  x .dx
0
0
1
f ( x)  g ( x) .dx
a
1
2
  (1  x).dx   ( x  1).dx
0
1
2 1
x
 x
2
 1
0
ÖRNEK:
y = x3 – x2 – 2x eğrisi ve x ekseni ile sınırlı
bölgenin alanı kaç br2 dir?
2
x2

x
2
1
1
1
 0  2  2  (  1)  1
2
2
ÖRNEK:
y = 2-x doğrusu ve y = x2 parabolü ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir ?
x 3  x 2  2 x  x( x  1)( x  2)  0
x1=-1 ,
x2=0
, x3=2
2
y = 2-x doğrusu ve y = x parabolü
2-x = x2 , x2+x-2=0 , x1=-2 ve x2=1
noktalarında kesiĢirler.
2
A
x
3
 x 2  2 x .dx
1
0
 2  x   x .dx   (2  x  x
1
A=
2
x2 x3
 2x 

2
3
3
2
).dx
2
1
2
2
2
  ( x  x  2 x).dx   ( x 3  x 2  2 x).dx
1
x4 x3


 x2
4
3
1
2
0
0
2
x4 x3
( 
 x2 )
4
3
1
0
8
1 1  
 37
 0     1   4   4  
3
4 3  
 12
1 1 
8 9
 2     4  2   
2 3 
3 2
5
ÖRNEK:
y = x2 – 1 ve y = 1 – x2 eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
ORTALAMA DEĞER TEOREMĠ:
f , [a,b] de sürekli bir fonksiyon iken ;
b
 f ( x)dx  (b  a) f (c)
a
eĢitliğini sağlayan bir c  [a,b] vardır.
ÖRNEK:
y = f(x) = x2 + 1 fonksiyonu için ;
[-2,1] aralığında ortalama değer teoremine
uygun c değerini bulunuz ?
x 2  1  1  x 2  2x 2  2  0
2( x  1)( x  1)  0  x1  1 ve x 2  1
A
 (x
1
1
x3
(
x

1
).
dx

x

3
2
2
1
2
2
 1)  (1  x 2 ) .dx
1
1
2x3
  (2  2 x ).dx  2 x 
3
1
1

2
1

8
3
1
 8

 1     2  6
3
 3

1
 (x
 1).dx  (1  (2)) f (c)
2
ÖRNEK:
y=|x| ve y=2-x2
eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2dir?
|x|=2-x2
x < 0 için ;
x  0 için ;
2
 3 f (c )  6  f (c )  2
x2 1  2  x2  1
x1 = -1
, x2 = 1
-x-2+x2=0 , x1=-1
x-2+x2=0 , x2=1
1
A
 2 x
2
 x .dx
UYARI:
1
0
Dikdörtgen dıĢında kalan taralı alanın ,
Dikdörtgen içinde kalan taranmamıĢ alana
eĢitliğine dikkat ediniz.
1
  (2  x 2  x)dx   (2  x 2  x)dx
1
0
3
2 0
x
x
 2x 

3
2
x3 x2
 2x 

3
2
1
1
0
7 7 7
  
6 6 3
6
ÖRNEK:
y x
ve
y  x 2 eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir ?
b
A   [ f ( y )  g ( y )]dy
a
ÖRNEK:
x  x 2  x1  0 , x2  1
x  y 2 ve x 
1
A   ( x  x 2 ).dx
1 2
y  2 eğrileri ile
2
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
0
1
3
2
1
 x 2  x3
3
3
ÖRNEK:
y  sin x ve
x

4
, x

0
2 1 1
 
3 3 3
y  cos x eğrilerinin
5
aralığında sınırladığı
4
y2 
2
bölgenin alanı kaç br dir?
1 2
y  2  y1  2 ve y 2  2
2
1 
1


A    y 2  2  y 2 .dy    2  y 2 
2
2 

 2
 2
2
1
 2y  y3
6
2
2
 4
2
4 
4  16
  4   
3 
3 3
UYARI:
5
4
A   (sin x  cos x).dx

4
5
4
a
b
0
0
A1   f ( x).dx ve A2   f 1 ( y ).dy
  cos x  sin x   2 2
4
7
ÖRNEK :
y  x 3 ve
y3 x
eğrileri ile
sınırlı bölgenin alanı kaç br2 dir?
f , bir çift fonksiyon ise :
a
a
a
0
 f ( x).dx  A  A  2 A  2 f ( x).dx
x3  3 x  x9  x  0
 x1  1 , x2  0 , x3  1
 x
0
1
3

1
 3 x .dx  
4 0
a
 f ( x).dx  A  A  0
dır.

a
3

x  x 3 .dx
0
x4 3 3

 x
4 4
f , bir tek fonksiyon ise :

4
3
x4
 x3 
4
4
1
1
0
1 1
 1
2 2
ÖRNEK :
ÖRNEK :
4 2

 4
 sin x

 1dx değeri kaçtır?

4
1 x

2
f ( x) 
sin x
tek fonksiyon olduğundan
1 x4
y2+2y=4-y2
4 2

 4
 sin x 

.dx  0 dır.
1 x4 
2
4 2

 4
 y1=-2 , y2=1
1
A   [(4  y 2 )  ( y 2  2 y )].dy
2
4 2
 sin x

 1dx  0   dx  8 2

4
1 x

2
 4 2
1
2y3
  (4  2 y  2 y ).dy  4 y  y 
3
2
2
 4 1
8
2 
16 
  8  4    9
3 
3
1
2
2
ÖRNEK :
n  N için :
  x .dx  ?
2
1
n çift iken ;
1
2
n
1 x dx  n  1
 1  x  0   x   1
0  x  1 x  0
n tek iken ;
1  x  2   x   1 olduğundan ;
1
x
0
1
1
1
2
0
1
dx  0 dır.
1
  x .dx    1.dx   0.dx  1.dx
2
n
  x 1  0  x 1
0
2
 0 1 2 1  0
r pozitif rasyonel sayıları için :
1
1
 x dx   x
r
0
1
r
dx  1
0
ÖRNEK :
f (x) 
6 ;
-2 < x < 1 için
-4 ;
1 < x < 3 için
5 ;
b
 xf
3 < x < 8 için
''
( x).dx  bf ' (b)  af ' (a)  f (a)  f (b)
a
8
 f ( x).dx =?
2

8
1
3
8
1
3
dx
1 x2
 arcsin x  C
( |x| < 1 )
 f ( x).dx   6.dx    4.dx   5.dx
2
2
 6 x 2  4 x 1  5 x 3
1
3
8
 6  (12)  (12  4)  40  15

 35
9
dx
a2  x2
 arcsin
x
 C (a >0 , |x|<a)
a
ÖRNEK :
2
3

dx

4  9x 2
0
dx
 ln x  C
x
?
dx
2
3
dx

4  9x 2
0
1

3
2
3


0

4
 x2
9
0
( a 0 )
dx
4
9(  x 2 )
9
xa
 x  b dx  x  (a  b) ln x  b  C
2
dx
1
 ax  b  a ln ax  b  C
2
3
1
3x  3
  arcsin 
3
2 0
ÖRNEK :
1
1
 1  
  arcsin
 arcsin 0     
3
2
 3  4  12
dx
1
 5x  7  5 ln 5x  7  C
ÖRNEK :
3
2( x  )
2x  3
2 dx
 6 x  1dx  
1
6( x  )
6
3
x
1
2 dx  1  x   3  1  ln x  1   C
 
1
3
3   2 6 
6 
x
6
1
5
1
 x  ln x   C
3
9
6
dx
 x 2  1  arctan x  C
x
2
dx
1
x
 arctan  C ( a  0 )
2
a
a
a
ÖRNEK :
y
1
1 2
ve y  x eğrileri ile sınırlı
2
x 1
2
bölgenin alanı kaç br2 dir?

1
1
 x 2  x1=-1 , x2=1
2
x 1 2
1 
1 
 1
 1
A   2
 x 2 dx  2  2
 x 2 dx
2 
2 
1 x  1
0  x 1
1
f ' ( x)
dx  ln f ( x)  C
f ( x)
1
1
1 
 1

 2 arctan x  x 3   
6 0 2 3

ÖRNEK :
x
2
2x  3
dx  ln x 2  3x  2  C
 3x  2
ÖRNEK :
sin x
(cos x) '
 tan x.dx   cos xdx    cos x dx
  ln cos x  C  ln sec x  C
10
 tan x.dx  ln sec x  C
dx
1
  cot x.dx  ln sin x  C
xa
 ( x  a)( x  b)  b  a ln x  b  C
ÖRNEK :
0
(a  b)
dx
1
xa
 x 2  a 2  2a ln x  a  C
y
2
3
(a  0)
dy
dy

( y  1)( y  4)
 3y  4
1
y 1

ln
4  (1) y  4
0
3
1 1 1
 ln  ln 4
5 4 5
1
4
  ln 16   ln 2
5
5
ÖRNEK :
dx
dx

( x  2)( x  3)
 x6
1
x2
1 x2

ln
 C  ln
C
3  (2) x  3
5 x3
x
e
2
x
dx  e x  C
ÖRNEK :
e3x  1
(e x  1)(e 2 x  e x  1)
.
dx

dx
 ex 1

ex 1
1
  (e 2 x  e x  1).dx  e 2 x  e x  x  C
2
ÖRNEK :
dx
dx

2
9
(2 x) 2  3 2
 4x

1
2x  3
1 2x  3
ln
 C  ln
C
2(2)(3) 2 x  3
12 2 x  3
x
 a dx 
ÖRNEK :
ax
C
ln a
4
4
dt
1
2 8  5t   5 ln 8  5t 2
1
1
1 2
1
  ln 12  ln 2  ln   ln 6
5
5
5 12
5
ÖRNEK :
1
10 x
10  10 1
99
10
dx



1
ln 10 1
ln 10
10. ln 10
1
x
ÖRNEK :
ÖRNEK :
cos x
 cot x.dx   sin x .dx  ln sin x  C
1
1
u u
u
 4 e du   (4e) du
0

11
0
u 1
(4e)
ln 4e
0

4e  1
ln 4  1
ÖRNEK :
1
 (3

1
0
0
x
 3  x ).dx   3 x dx   3  x dx
x
0

ÖRNEK :
1
1
u  2  3x  du  3.dx
1
 x  (u  2)
3
1
 1
3 1

 3
ln 3
ln 3
x 1
3
3

ln 3 0
ln 3
x
0
2  3x dx
8
3 ln 3
x
2  3x dx 
3
ÖRNEK :
3
1
1
  (u 2  2u 2 ).du
9
5
3
2 2 4 2

u  u C
45
27
2
4

(2  3x) 2 2  3x  (2  3x) 2  3x  C
45
27
 f u( x).u' ( x).dx   f (u).du
 sin
1
(u  2) u .du
9
x. cos x.dx
u  sin x  du  cos x.dx
ÖRNEK :
u4
sin
x
.
cos
x
.
dx

u
du

C


4
1
 sin 4 x  C
4
3
 sec x.dx
3
sec x  tan x
 sec x.dx   sec x. sec x  tan x .dx

ÖRNEK :
 sin
3
x.dx
sec x. tan x  sec 2 x
.dx
sec x  tan x
u  sec x  tan x  du  sec x. tan x  sec 2 x
sin 3 x  sin 2 x. sin x
cos 2 x  sin 2 x  1  sin 2 x  1  cos 2 x
du
 ln u  C
u
 ln sec x  tan x  C

 sin x.dx   sin x.sin x.dx
  (1  cos x). sin x.dx
  sin x.dx   cos x. sin x.dx
3
2
2
2
 sec x.dx  ln sec x  tan x  C
u  cos x  du   sin x.dx
 csc x.dx  ln csc x  cot x  C
  cos x   u 2 du
1
  cos x  u 3  C
3
1
  cos x  cos 3 x  C
3
b
u (b )
a
u(a)
 f u( x).u' ( x).dx   f (u).du
12
ÖRNEK :
 u.dv  uv   v.du
e
ln x
1 x .dx
ÖRNEK :
 x.sin x.dx
dx
x
u  ln x  du 
x  1  ln 1  0
x  e  ln e  1
e
u  x  du  dx
dv  sin x.dx  v   cos x.dx
1
ln x
1 2
1 x .dx  0 u.du  2 u
1

0
 x.sin x.dx   x. cos x    cos x.dx
1
2
  x. cos x  sin x  C
ÖRNEK :
ÖRNEK :
dx
 ln x.dx

x (1  x )
u  x  du 

dx
x (1  x )
dx
u  ln x  du 
2 x
dv  dx  v  x
 2
dx
x
 ln x.dx  x. ln x   dx
du
1 u
 x. ln x  x  C
 2 ln 1  u  C  2 ln 1  x  C
UYARI :
Ġntegrali alınacak ifade de ,
hangi fonksiyona ‘’u’’ , hangisine de ‘’dv’’
denileceğini kolaylaĢtıran bir yol :
ÖRNEK :
3

1
ds
s (1  s)
u  s  du 
s 1 u 1
‘’LAPTÜ’’ kelimesinde ;
L ; logaritma
A ; arcsin, arccos gibi ters trigonometrik
fonksiyonlar
P ; polinom fonksiyon
T ; trigonometrik fonksiyon
Ü ; üstel fonksiyon
ds
2 s
s 3u  3
3

1
ds
s (1  s )
3
du
2
1 1 u
 2

olmak üzere iki değiĢik fonksiyondan önce
gelen fonksiyon ‘’u’’ , diğer kısım ‘’dv’’ ile
gösterilir.

 2 arctan u 1  2 arctan 3  arctan 1
3
   
 2   
3 4 6
13
ÖRNEK :
ÖRNEK :
 x. ln x.dx
 sec x.dx   sec x.sec
dx
x
x2
dv  x.dx  v 
2
u  sec x  du  sec x. tan x.dx
3
u  ln x  du 
2
x.dx
dv  sec 2 x.dx  v  tan x
 sec x. tan x   tan 2 x. sec x.dx
tan 2 x  sec 2 x  1
 sec x. tan x   (sec 2 x  1) sec x.dx

x2
1
x
.
ln
x
.
dx

ln x   x.dx

2
2
1
1
 x 2 ln x  x 2  C
2
4

 sec x. tan x   sec 3 x.dx   sec x.dx
2 sec 3 x.dx  sec x. tan x   sec x.dx
ÖRNEK :
 sec
1
 arctan x.dx
3
x.dx 
1
1
sec x. tan x  ln sec x  tan x  C
2
2
0
u  arctan x  du 
dv  dx  v  x
dx
1 x2
1
ÖRNEK :
e
ax
cos bx.dx
u  cos bx  du  b sin bx.dx
1
x
0 arctan x.dx  x. arctan x 0  0 1  x 2
1
dv  e ax dx  v 
1
1
 arctan 1  ln(1  x 2 )
0
2
 1
  ln 2
4 2
ax
 e cos bx.dx 

ÖRNEK :
x e
2
x
2
e ax
e ax
cos bx  
(b sin bx.dx)
a
a
e ax cos bx b ax
  e sin bx.dx
a
a
u  sin bx  du  b cos bx.dx
dx
dv  e ax dx  v 
u  x 2  du  2 x.dx
dv  e x dx  v  e x
x e
x
e ax
a

dx  x 2 e x  2 x.e x dx
e ax cos bx be ax sin bx b 2 ax

 a  e cos bx.dx
a
a2
a
2
 b  ax
 cos bx b sin bx 
1  2   e cos bx.dx  e ax 


a2 
 a
 a 
dv  e x dx  v  e x


e ax cos bx b  e ax sin bx b ax
 
  e cos bx.dx 
a
a
a
a


u  x  du  dx
 x 2 e x  2 xe x   e x dx
e ax
a


 x 2 e x  2 xe x  2e x  C
14
e
e
cos bx.dx  e ax
ax
sin bx.dx  e ax
ax
a cos bx  b sin bx
C
a2  b2
ÖRNEK :
 cos
a sin bx  b cos bx
C
a2  b2
 cos
 cos
5
1
4
x.dx  cos 4 x. sin x   cos 3 x.dx
5
5
5
1
2
x.dx  cos 2 x. sin x   cos x.dx
3
3
3
1
4
8
x.dx  cos 4 x. sin x  cos 2 x. sin x  sin x  C
5
15
15
ÖRNEK :
 sin
n
( n=2,3,… )
x.dx
x
u  sin n1 x  du  (n  1) sin n2 x. cos x.dx
dv  sin x.dx  v   cos x
 sin
x.dx   sin n1 x. cos x  (n  1) sin n2 x. cos 2 x.dx
n
n
e x dx  x n e x  n x n1e x dx
ÖRNEK :
cos x  1  sin x
 x e dx  x e
  sin n1 x. cos x  (n  1) sin n2 x.dx  (n  1) sin n x.dx
 xe
n sin n x.dx   sin n1 x. cos x  (n  1) sin n2 x.dx
 x e dx  x e
2
2
2
2
x
x
2
x
 2 xe x dx
dx  xe x   e x dx
x
2
x
 2 xe x  2e x  C

 sin
n
 cos
n
1
n 1
x.dx   sin n1 x. cos x 
sin n2 x.dx

n
n
x
1
n 1
x.dx  cos n1 x. sin x 
cos n2 x.dx
n
n 
x
( n=2,3,….. )
ÖRNEK :
 sin
2
4
n
sin x.dx   x n cos x  n x n1 cos x.dx
cos x.dx  x n sin x  n x n1 sin x.dx
ÖRNEK :
1 3
3
2
 sin x.dx   4 sin x. cos x  4  sin x.dx
x
4
 sin
n
2
sin x.dx   x 2 cos x  2 x cos x.dx
 x cos x.dx  x sin x   sin x.dx
1
1
x.dx   sin x. cos x   dx
2
2
x
1
3
3
x.dx   sin 3 x. cos x  sin x. cos x  x  C
4
8
8
15
2
sin x.dx   x 2 cos x  2 x sin x  2 cos x  C
𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥
ÖRNEK:
ġeklindeki integral iĢlemlerinde:
𝑠𝑖𝑛 5 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
n tek ise:
 sin
m
yazılır.
1−𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
=
x. cos n x.dx   sin m x. cos n1 x. cos x.dx
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛 5 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=−
m tek ise:
 sin x. cos x.dx   sin
m
n
m1
=−
n
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥
dersek
𝑢 4 −2𝑢 2 +1
𝑈1 2
2
𝑑𝑢 = − − 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 olur.
1−𝑢 2
𝑑𝑥 = −
𝑢7
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑢
2
𝑑𝑢
𝑑𝑢
− 2𝑢3
2
+ 𝑢−1
2
𝑑𝑢
x. sin x. cos x.dx
= −29𝑢9
yazılır.
sin2x = 1-cos2x
2
𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
cos2x = 1-sin2x kullanılır.
𝑠𝑖𝑛 4 𝑥
𝑑𝑥 =
2
+ 45𝑢5
= −29 𝑐𝑜𝑠𝑥
kullanılır.
9 2
2
− 2𝑢1
+ 45 𝑐𝑜𝑠𝑥
2
+𝐶
5 2
− 2 𝑐𝑜𝑠𝑥
1 2
+𝐶
m ve n çift ise:
1
1
(1-cos 2x) , cos2x = (1+cos 2x)
2
2
1
sin x.cos x =
sin 2x
kullanılır.
2
sin2x =
ÖRNEK:
𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 𝑑𝑥
ÖRNEK:
𝑠𝑖𝑛4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 7 𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛4 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
=
𝑠𝑖𝑛4 𝑥 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 =
4
7
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
= 18
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥
1
=18𝑥 + 16
𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 18 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 − 18 𝑐𝑜𝑠 3 2𝑥 𝑑𝑥
=
𝑢 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 dersek
2
= 18
𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 = 12
𝑐𝑜𝑠 3 2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 olur.
=
𝑢
4
1−𝑢
2 3
1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 𝑑𝑥 = 12𝑥 + 18𝑠𝑖𝑛4𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
1 − 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑢 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 dersek 𝑑𝑢 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 olur.
4
2
4
6
=
𝑢
=
𝑢4 − 3𝑢6 + 3𝑢8 − 𝑢10 𝑑𝑢
1
1 − 3𝑢 + 3𝑢 − 𝑢 𝑑𝑢
3
1
= 5𝑢5 − 7𝑢7 + 3𝑢9 −
𝑐𝑜𝑠 3 2𝑥 𝑑𝑥 = 12
1 − 𝑢2 𝑑𝑢 = 12𝑢 − 16𝑢3
= 12𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 16𝑠𝑖𝑛3 2𝑥
değerleri yerlerine yazıldığında:
1 11
𝑢 +𝐶
11
𝑠𝑖𝑛2 𝑥. 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 𝑑𝑥
1
= 15𝑠𝑖𝑛5 𝑥 − 37𝑠𝑖𝑛7 𝑥 + 13𝑠𝑖𝑛9 𝑥 − 11
𝑠𝑖𝑛11 𝑥 + 𝐶
1
1
1
= 16
𝑥 − 64
𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 48
𝑠𝑖𝑛3 2𝑥 + 𝐶
16
ÖRNEK:
ÖRNEK:
𝑐𝑜𝑡 3 𝑥𝑐𝑠𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐 4 𝑥 𝑑𝑥 = ( 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥
=
𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1 eĢitliği kulanıldığında;
𝑡𝑎𝑛𝑥 (𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1)𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 dersek
𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑐 4 𝑥 𝑑𝑥 =
= (𝑢5
2
= 27 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥
𝑢 𝑢2 + 1 𝑑𝑢
+ 𝑢1 2 )𝑑𝑢 = 𝑢7
2
7 2
+𝐶
2
7
3 2
+ 23 𝑡𝑎𝑛𝑥
+ 𝑢3
2
3
2
olur.
+𝐶
5
𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 =
2
𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐 4 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥
=
𝑠𝑒𝑐 6 𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 4 𝑥 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥
𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥 dersek
𝑡𝑎𝑛3 𝑥𝑠𝑒𝑐 5 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥𝑑 𝑐𝑠𝑐𝑥
=−
𝑐𝑠𝑐 4 𝑥 − 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑 𝑐𝑠𝑐𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 𝑑𝑥
ġeklindeki integral iĢlemlerinde;
4
=
=−
= −15𝑐𝑠𝑐 5 𝑥 + 13𝑐𝑠𝑐 3 𝑥 + 𝐶
ÖRNEK:
3
𝑐𝑜𝑡 2 𝑥𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑐𝑠𝑐𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 = 12 𝑠𝑖𝑛 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 𝑎 − 𝑏 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 = 12 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥 = 12 𝑐𝑜𝑠 𝑎 − 𝑏 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑎 + 𝑏 𝑥
TersdönüĢüm formülleri kullanılır.
𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 olur.
𝑢6 − 𝑢 4 𝑑𝑢
= 17𝑢7 − 15𝑢5 + 𝐶
ÖRNEK:
= 17𝑠𝑒𝑐 7 𝑥 − 15𝑠𝑒𝑐 5 𝑥 + 𝐶
𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 12 𝑠𝑖𝑛7𝑥 𝑑𝑥 − 12 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑑𝑥
ÖRNEK:
𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥 =
=
1
= −14
𝑐𝑜𝑠7𝑥 + 16𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝐶
𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐 5 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥
ÖRNEK:
𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 ve 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 dersek
𝑑𝑢 = 3𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 ve 𝑣 = 𝑡𝑎𝑛𝑥
olacağından;
𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢 kısmi integralinden
𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑑𝑥 = 12 𝑐𝑜𝑠9𝑥 𝑑𝑥 + 12 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
1
= 18
𝑠𝑖𝑛9𝑥 + 12𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶
𝑠𝑒𝑐 5 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 3 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥 olur.
Yerine yazıldığında;
𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥 = 14𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 14 𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥
𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥 = 12 𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 + 12𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶
ÖRNEK:
𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑠𝑖𝑛6𝑥 𝑑𝑥 = 12 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 − 12 𝑐𝑜𝑠9𝑥 𝑑𝑥
1
= 16𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 18
𝑠𝑖𝑛9𝑥 + 𝐶
𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑒𝑐 3 𝑥 𝑑𝑥
= 14𝑠𝑒𝑐 3 𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 18𝑠𝑒𝑐𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 18𝑙𝑛 𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 +
𝐶
17
𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
𝑎
0
( 𝑎>0 )
1
1
𝑥 𝑎
= 𝑥 𝑎2 − 𝑥 2 + 𝑎2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
2
2
𝑎 0
ġeklindeki integral iĢlemlerinde;
𝑥 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑢
−𝜋 2≤𝑢 ≤𝜋 2
dersek;
=
ve
𝑑𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢
1 2
1
𝜋
1
𝑎 arcsin 1 = 𝑎2
= 𝜋𝑎2
2
2
2
4
UYARI
𝑎2 − 𝑥 2 = 𝑎2 − 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2 𝑢 = 𝑎 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑢
= 𝑎 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑢
𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
olduğundan
𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑎2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 𝑑𝑢
𝑐𝑜𝑠 2 𝑢 𝑑𝑢 = 12
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑢 𝑑𝑢
= 12𝑢 + 14𝑠𝑖𝑛2𝑢 + 𝑘 = 12𝑢 + 12𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 𝑘
bulunur.
𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = 12𝑎2 𝑠𝑖𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑢 + 12𝑎2 𝑢 + 𝐶
𝑠𝑖𝑛𝑢 =
𝑥
𝑎
,
𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑢 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑢 =
𝑥
𝑎
1−
𝑥2
𝑎2
=
1
𝑎
Belirli integral tanımından
𝑎2 − 𝑥 2
𝑎
0
𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
ifadesi,
x2 + y2 = a2 çemberinin I. Bölgede
sınırladığı alanı verir.
𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
1
1
𝑥
2
2
𝑎
= 𝑥 𝑎2 − 𝑥 2 + 𝑎2 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 + 𝐶
ÖRNEK:
2
4 − 𝑥 2 − 𝑥 𝑑𝑥 integralinin sonucu
0
kaçtır?
1989 ÖYS
Ġntegral iĢlemi grafikte taralı daire diliminin
alanını verir.
1
1
8
2
𝐴 = 𝜋22 = 𝜋
18
ÖRNEK:
2
−2
ÖRNEK:
1
𝑥 2 +𝑥+1
2
𝑥−1
8 − 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
Ġntegrali;
𝑥 2 + 𝑦2 = 8
𝑥 2 +𝑥+1
𝑥−1
çemberi ve
= 𝑥+2+
𝑥 2 +𝑥+1
1
𝑦= 𝑥
2
2
parabolü ile sınırlı bölgenin
𝑥−1
𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
3
𝑥−1
3
𝑥 + 2 𝑑𝑥 +
𝑥−1
𝑑𝑥
1
= 𝑥 2 + 2𝑥 + 3𝑙𝑛 𝑥 − 1 + 𝐶
alanını verir.
2
ÖRNEK:
𝑥 2 −1
𝑥 2 +1
𝑥 2 −1
𝑥 2 +1
=1−
𝑥 2 −1
𝑥 2 +1
2
−2
1
8 − 𝑥 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
= 𝑥 8 − 𝑥 2 + 4𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛
𝑥
2
2 2 −2
= 2 + 𝜋 − —2 −𝜋 −
4
2
2
𝑥 2 +1
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑑𝑥 − 2
𝑥 2 +1
= 𝑥 − 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶
2
1
𝑑𝑥
3
1
− 𝑥3
6
2
−2
4
− (− )
3
ÖRNEK:
4
= + 2𝜋
3
𝑥 2 +2
𝑥−2 𝑥 +1 2
𝑥 2 +2
𝑥−2 𝑥+1 2
𝐴=
𝑥 2 + 𝑎2 𝑑𝑥
𝐴
𝑥−2
+
𝐵=
3
𝑥 2 −1
1
1
𝑥 𝑥 2 + 𝑎2 + 𝑎2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 2 + 𝑎2 + 𝐶
2
2
=
2
𝑥 2 +1
=
𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
𝐵
𝑥+1
1
𝑑𝑥
3
𝑥−2
𝐶
𝑥+1 2
𝐶 = −1
3
2
+
+
1
𝑑𝑥
3
𝑥+1
2
1
1
3
3
𝑥 +1
= 𝑙𝑛 𝑥 − 2 + 𝑙𝑛 𝑥 + 1 +
19
𝑑𝑥
𝑥 +1 2
−
+𝐶
ÖRNEK:
3𝑥 2 +𝑥 +4
𝑥 𝑥 2 +2 2
3𝑥 2 +𝑥+4
𝑥 𝑥 2 +2 2
𝑑𝑥
𝐴
𝐵𝑥 +𝐶
𝑥
𝑥 2 +2
= +
𝐴=1
+
𝐵 = −1
3𝑥 2 +𝑥 +4
𝑥 𝑥 2 +2 2
𝑑𝑥
=
HACĠM:
𝐶=0
𝑥
𝑥 2 +2
1
𝑑𝑥 +
2
𝑥
𝑥 2 +2 2
= ln 𝑥 − ln 𝑥 + 2 −
2
1
4 2
𝐷=1
𝐸=1
𝑑𝑥
−
𝑥
𝐷𝑥 +𝐸
𝑥 2 +2 2
𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
2
1
𝑑𝑥
𝑥 2 +2 2
𝑑𝑥 +
1
2 𝑥 2 +2
+
1
𝑥
4 𝑥 2 +2
y=f(x) eğrisi, x=a, x=b doğruları ve
x ekseni ile sınırlı R bölgesinin x ekseni
etrafında 360o döndürülmesiyle oluĢan dönel
cismin hacmi:
+
+𝐶
𝑏
𝑉=𝜋
𝑦 2 𝑑𝑥 = 𝜋
𝑎
𝑏
𝑓(𝑥) 2 𝑑𝑥
𝑎
ÖRNEK:
3𝑥
𝑥 3 −1
3𝑥
𝑥 3 −1
𝑑𝑥
=
𝐴=1
3𝑥
𝑥 3 −1
𝐴
𝑥−1
+
𝐵𝑥 +𝐶
𝑥 2 +𝑥+1
𝐵 = −1
𝑑𝑥 =
𝑑𝑥
𝑥−1
1
+
𝐶=1
−𝑥+1
𝑥 2 +𝑥+1
𝑑𝑥
=𝑙𝑛 𝑥 − 1 − 𝑙𝑛 𝑥 2 + 𝑥 + 1 + 3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝐶
2
2𝑥+1
3
x=g(y) eğrisi, y=a, y=b doğruları ve
y ekseni ile sınırlı R bölgesinin y ekseni
etrafında 360o döndürülmesiyle oluĢan dönel
cismin hacmi:
+
𝑏
𝑉=𝜋
𝑎
20
𝑥 2 𝑑𝑦 = 𝜋
𝑏
𝑎
𝑔(𝑦) 2 𝑑𝑦
ÖRNEK:
ÖRNEK:
𝑦=
𝑟
𝑕
x doğrusu, x ekseni ve x=h doğrusu ile
sınırlı bölgenin x ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluĢan dönel cismin hacmi:
𝑉=𝜋
𝑕
0
𝑦 2 𝑑𝑥 = 𝜋
𝑕 𝑟2
0 𝑕2
𝑥2
1
= 𝜋𝑟 2 𝑕
3
2. YOL:
𝑦 = 𝑟2 − 𝑥 2
eğrisi ve x ekseni ile sınırlı
bölgenin x ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluĢan kürenin hacmi:
𝑉=𝜋
𝑟
−𝑟
𝑏
𝑎
𝑦 2 𝑑𝑦 = 𝜋
1
= 𝜋 𝑟2 𝑥 − 𝑥 3
3
𝑟
−𝑟
𝑟 2 − 𝑥 2 𝑑𝑥
4
= 𝜋𝑟 3
3
ÖRNEK:
y=mx doğrusunun Ox ekseni etrafında 360o
döndürülmesiyle oluĢan ( 0≤x≤h )
dönel cismin hacmi:
𝑕
𝑉=
𝐴(𝑥) 𝑑𝑥
0
y=mx
doğru denkleminde
A(x)=𝜋𝑦 2 = 𝜋𝑚2 𝑥 2 = 𝜋
y=3-x2 eğrisi, y ekseni, y=1 ve y=2 doğruları
ile sınırlı bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluĢan dönel cismin hacmi:
𝑕
𝑉=
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 = 𝜋
0
𝑉=𝜋
2 2
𝑥
1
1
𝑑𝑦 = 𝜋
= 𝜋 3𝑦 − 𝑦 2
2
2
1
2
1
3 − 𝑦 𝑑𝑦
3
= 𝜋
2
21
𝑟2
𝑕2
𝑟2
𝑕2
m=
𝑟
𝑕
𝑥2
𝑕
0
1
𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝜋𝑟 2 𝑕
3