Document

6. Uygulama
Hatırlatma:
Rasgele Değişkenlerde Beklenen Değer Kavramı
X bir rasgele değişken ve g : R ® R bir fonksiyon olmak üzere,
i)
X kesikli ve
 g  x  f  x    olduğunda E  g  X     g  x  f  x  sayısına,
xDX
ii)
X sürekli ve
xDX




 g  x  f  x  dx   olduğunda E  g  X     g  x  f  x  dx sayısına
g  X  in beklenen değeri denir.
c R ve k bir doğal sayı olmak üzere:
k
* E  X  c  değerine X ‘in c ye göre k ‘inci momenti denir.
*
E  X k  değerine X ‘in k ‘inci momenti denir.
*
E  X  değerine X ‘in beklenen değeri denir.
*
E  X  E ( X )  değerine X ‘in varyansı denir.
2
Alışagelmiş olarak bir X rasgele değişkenin beklenen değeri  X veya sadece   varyansı ise
Var  X    X2 veya sadece  2 ile de gösterilmektedir. Varyansın kareköküne standart sapma
denir ve bir X rasgele değişkenin standart sapması  X veya sadece  ile gösterilmektedir.
*
E  X  X  1 X  2 
 X  k  1  değerine
*
momenti denir.
Var olması halinde, M X (t )  E (etX )   h  t  h (h  0) fonksiyonuna X ‘in
moment üreten fonksiyonu veya moment çıkaran fonksiyonu denir.
*
 X (t )  E (eitX )  t  R
X ‘in k ‘inci çarpımsal
fonksiyonuna X ‘in moment karakteristik fonksiyonu denir.
Ragele Vektörlerde Beklenen Değer Kavramı
( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör ve g : R n  R ye bir fonksiyon olmak üzere, kesikli
dağılımlarda,
 ...  g  x1 , x2 ,..., xn  f X1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn )  
x1
x2
xn
ve sürekli dağılımlarda,
 

 


 ...
 g  x , x ,..., x  f
1
2
n
X1 , X 2 ,..., X n
 x1 , x2 ,..., xn  dx1dx2 ...dxn  
olması halinde,
 ...  g  x1 , x2 ,..., xn  f X1 , X 2 ,..., X n ( x1 , x2 ,..., xn )
 x1 x2
xn
E  g  X 1 , X 2 ,..., X n   =    
   ...  g  x1 , x2 ,..., xn  f X , X ,..., X  x1 , x2 ,..., xn  dx1dx2 ...dxn
1
2
n
   
sayısına g  X1 , X 2 ,..., X n  ‘nin beklenen değeri denir.
* ( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör olmak üzere, j = 1, 2,..., n için



E ( X j )= 


...  ...  x j f X , X ,..., X

x
x
x
x
j 1
1
 

 


 ...
1
j 1
x
2
n
( x1, x2 ,..., xn )
n
j
f X1 , X 2 ,..., X n  x1 , x2 ,..., xn  dx1...dx j 1dx j 1...dxn

 x j f X (x j )
j
 xj

= 

x f x dx j
  j X j j
sayısı X j nin beklenen değeri olmak üzere,
 

Cov( X i , X j ) = E ((X i - E ( X i ))( X j - E ( X j ))) , i, j = 1, 2,..., n
sayısına X i ile X j ‘nin kovaryansı ve
йCov ( X 1 , X 1 ) Cov( X 1 , X 2 ) L Cov( X 1 , X n ) щ
к
ъ
кCov ( X 2 , X 1 ) Cov ( X 2 , X 2 ) L Cov ( X 2 , X n ) ъ
ъ
S = кк
ъ
M
M
M
к
ъ
кCov ( X , X ) Cov ( X , X ) L Cov ( X , X )ъ
n
1
n
2
n
n ы
л
matrisine X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenlerinin varyans-kovaryans matrisi denir.
. Cov( X i , X j ) sayısı s ij
( s ij = Cov( X i , X j ) ) ile de gösterilmektedir. j = 1, 2,..., n için
s jj = Cov( X j , X j ) = Var ( X j ) dır.
( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör ve
Cov( X i , X j )
r Xi , X j =
, i, j = 1, 2,..., n
Var ( X i )Var ( X j )
X i ile X j arasındaki korelasyon katsayısı olmak üzere,
й 1
к
кr
X ,X
R = кк 2 1
к M
к
клr X n , X1
r X1 , X 2
L
1
L
M
r Xn ,X2
L
r X1 , X n щ
ъ
r X2 ,Xn ъ
ъ
ъ
M ъ
ъ
1 ъ
ы
matrisine X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenlerinin korelasyon matrisi denir.
* ( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör olmak üzere (var olması halinde),
M X1 , X 2 ..., X n (t1 , t2 ..., tn ) = E (et1 X1 + t2 X 2 + ...+ tn X n ) ) , - h < t1 , t2 ..., tn < h
fonksiyonuna ( X 1 , X 2 ..., X n ) vektörünün moment çıkaran fonksiyonu veya X 1 , X 2 ..., X n rasgele
değişkenlerinin ortak dağılımının moment çıkaran fonksiyonu denir.
* ( X 1 , X 2 ..., X n ) bir rasgele vektör olmak üzere,
j
X1 , X 2 ..., X n
(t1 , t2 ..., tn ) = E (ei (t1 X1 + t2 X 2 + ...+ tn X n ) ) , t1 , t2 ..., tn О R
fonksiyonuna ( X 1 , X 2 ..., X n ) rasgele vektörünün karakteristik fonksiyonu denir.
Alıştırmalar:
1. a)
a b  R olmak üzere,
м
п
п
п
еx (a + bx) f ( x) = a еx f ( x) + b еx xf ( x) = a + bE ( X )
п
п
п
14442 4443
14442 4443
п
1
E( X )
п
п
п
E (a + bX ) = н
п
п
Ґ
Ґ
Ґ
п
п
п
т (a + bx) f ( x)dx = a т f ( x)dx + b т xf ( x)dx = a + bE ( X )
п
п
- Ґ
-14442
Ґ
-1444
Ґ 42 44443
п
4443
п
1
E(X )
п
о
 aE  X   b
2
2
b) Var (aX + b) = E (aX + b - E (aX + b)) = E (aX + b - aE ( X ) - b )
2
2
= E (aX - aE ( X )) = a 2 E (X - E ( X ))
= a 2Var ( X )
c)

Var  X   E  X  E ( X )   E X 2  2 XE ( X )   E ( X ) 
2
 E  X 2   2 E ( X ) E ( X )   E ( X ) 
 E  X 2    E ( X ) 
2

2
2
d) Cov( X , Y ) = E [( X - E( X ))(Y - E(Y ))]
= E [XY - E ( X )Y - XE (Y ) + E ( X ) E (Y ) ]
= E ( XY ) - E (E ( X )Y )- E (XE (Y ))+ E (E ( X ) E (Y ))
= E ( XY ) - E ( X ) E (Y )- E (Y ) E (X )+ E ( X ) E (Y )
= E ( XY ) - E ( X ) E (Y )
X ile Y bağımsız olduğunda,
Cov( X , Y ) = E( XY ) - E( X ) E (Y )= E( X ) E (Y )- E( X ) E (Y )= 0
dır.
e) Ortak dağılıma sahip olan X , Y gibi iki rasgele değişken için tanımlanan,
Cov( X , Y )
Var ( X )Var (Y )
r X ,Y =
korelasyon katsayısına, Pearson korelasyon katsayısı denir. r X ,Y
korelasyon katsayısı
X ile Y rasgele değişkenleri arasındaki lineer ilişkinin bir ölçüsüdür. Şimdi,
- 1Ј r X ,Y Ј 1
olduğunun ispatlayalım.
E ( X - tY ) 2 = E ( X 2 ) - 2tE (XY )+ t 2 E (Y 2 ) і 0
Buna göre,
E (Y 2 )t 2 - 2 E (XY )t + E ( X 2 ) = 0
denkleminin diskriminantı
2
4 (E (XY )) - 4 E (Y 2 )E ( X 2 ) Ј 0
olup,
2
(E (XY ))
Ј E (Y 2 )E ( X 2 )
dır (Schwartz Eşitsizliği). Buradan,
2
йE ((X - E ( X ))(Y - E (Y )))щ Ј E (Y 2 ) E ( X 2 )
к
ъ
л
ы
E ((X - E ( X ))(Y - E (Y ))) Ј
E (Y 2 ) E ( X 2 )
, t ОR
E ((X - E ( X ))(Y - E (Y )))
E (Y 2 ) E ( X 2 )
Ј 1
r X ,Y Ј 1
elde edilir. Eşitlik olması için gerek ve yeter şart X = cY (c О R ) olmasıdır.
r X ,Y = 0 olduğunda X ile Y rasgele değişkenlerine doğrusal ilişkisizdir veya kısaca
ilişkisizdir denir. r X ,Y korelasyon katsayısı 1 yakın olduğunda X ile Y arasında güçlü pozitif
ilişki, -1 ‘e yakın olduğunda güçlü negatif ilişki vardır denir.
X ileY bağımsız Ю r X ,Y = 0 ( X ileY doğrusal ilişkisiz )
f) a, b, c, d О R olmak üzere,
щ
Cov(aX i + b, cX j + d ) = E й
к(aX i + b )(cX j + d )ы
ъ- E (aX i + b )E (cX j + d )
л
= acE ( X i X j ) + adE ( X i ) + bcE ( X j ) + bd - acE ( X i ) E ( X j ) - adE ( X i ) - bcE ( X j ) - bd
= acE ( X i X j ) - acE ( X i ) E ( X j )
= acCov( X i , X j )
g)
r aX + b,cX
i
j
=
+b
=
=
Cov(aX i + b, cX j + b)
Var (aX i + b)Var (cX j + b)
acCov( X i , X j )
a 2Var ( X i )c 2Var ( X j )
ac
a c
r X ,X
i
j
dır.
h) X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenlerin beklenen değerleri ve kovaryansları mevcut olsun.
a1 , a2 ,..., an О R olmak üzere,
жn
ц
E ззе ai X i ч
ч
ч=
зи i= 1
ш
n
е
i= 1
ai E ( X i )
жn
ц
Var ззе ai X i ч
ч=
зи i= 1
ч
ш
n
n
е е
n
n
ai a j Cov ( X i , X j ) = е ai2Var ( X i ) + 2е
i= 1 j = 1
i= 1
n
е
ai a j Cov ( X i , X j )
i= 1 j = i + 1
dır.
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız olduğunda kovaryanslar sıfır olacağından,
жn
ц
Var ззе ai X i ч
=
ч
ч
з i= 1
и
ш
ж
ц
Var ззе X i ч
ч
ч=
з i= 1 ш
и
n
n
е
ai2Var ( X i )
i= 1
n
е
Var ( X i )
i= 1
Var ( X1 ± X 2 ) = Var ( X1 ) + Var ( X 2 )
ve ai =
1
, i = 1, 2,..., n için
n
жn
ц
зз е X ч
iч
ч
з
ч
Var ззз i= 1 ч
ч=
зз n ч
ч
ч
ч
ч
ззи
ш
n
е
Var ( X i )
i= 1
n2
dır.
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri aynı (  ) ortalamalı, aynı (  2 ) varyanslı ve bağımsız
olduklarında,
 n

 n

X

i


  Xi   2

   , Var ( X n )  Var  i 1
E ( X n )  E  i 1
 n 
 n  n








dır.
2. Bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu varsa,
dn
M X (t )  E ( X n )  n  1 2…
n
dt
t 0
dır.
Beklenen değer işleci (operatörü) E, sürekli rasgele değişkenlerde integral, kesikli rasgele
d
değişkenlerde toplam olmak üzere, aşağıda E ile
türev alma işlemlerinin yer
dt
değiştirebileceği varsayılsın.
 d k tX 
dk
dk
tX
k tX
M
(
t
)

E
(
e
)

E
 k e   E  X e  , k=1,2,3,...
X
k
k
dt
dt
 dt

olmak üzere,
dk
M X (t )  E  X k etX   E ( X k ) , k=1,2,3,...
k
t 0
dt
t 0
dır. Benzer yoldan,
¶ k M X1 , X 2 ..., X n (t1, t2 ..., tn )
= E (X ik )
¶t
k
i
t1 = 0,t2 = 0,...,tn = 0
¶ M X1 , X 2 ..., X n (t1 , t2 ..., tn )
¶ ti ¶ t j
= E (X i X j )
t1 = 0,t2 = 0,...,tn = 0
elde edilir.
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız olduğunda,
M X1 , X 2 ..., X n (t1, t2 ..., tn ) = E (et1X1 et2 X 2 ...etn X n ) )= E (et1X1 )E (et2 X 2 )...E (etn X n )
= M X1 (t1 ) M X 2 (t2 )...M X n (tn )
dır.
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı dağılımlı (aynı ortalamalı ve aynı
n
е
n
varyanslı) olursa ,
е
X i ve X n =
i= 1
Xi
i= 1
n
rasgele değişkenlerinin dağılımlarını elde etmek
oldukça kolay olmaktadır.
n
M
(t ) =
n
е
i= 1
Xi
ХM
i= 1
Xi
(
n
)
(t ) = M X1 (t )
n
sonucundan
е
X i ‘nin dağılımı ve
i= 1
t
M X (t ) = M n (t ) = M n ( ) =
n
е Xi
е Xi n
i= 1
i= 1
n
sonucundan X n ‘nin dağılımı bulunabilir.
n
t
M Xi ( ) =
Х
n
i= 1
n
ж
ц
ззM X ( t )ч
ч
ч
зи 1 n ш
X rasgele değişkenin olasılık fonksiyonu,
e   x
f  x 
 x  01 2… (  0)
x
-l x
Ґ
k e l
olsun. k=1,2,3,.. için е x
< Ґ olduğundan X in bütün momentleri vardır. X ‘in
x!
x= 0
beklenen değeri,
Ґ
Ґ
e- l l x
e- l l x
E( X ) = е x
= е x
x!
x!
x= 0
x= 1
3.
Ґ
= l e- l
е
x= 1
l x- 1
= l e- l
( x - 1)!
Ґ
ln
еn= 0 n!
=l
dır. X  X  X 1  X ifadesinden faydalanarak,
2
E  X 2   E  X  X  1   E  X 


x  x  1 e    x
x
x 0


x  x  1 e    x
x
x2

  2e  
x2
 x2
 x  2



 2  
elde edilir. Buradan,
Var  X   E  X 2    EX   
2
bulunur.
X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu,


t
e  x
e   (e t  ) x
(et  ) x

M X (t )   e

e 
 e   ee 
x!
x!
x!
x 0
x 0
x 0

tx
 e ( e 1)  t  R
t
dır. X ‘in beklenen değeri,
E( X ) 
ikinci momenti,
dM X (t )
t 0   et e (t 1) t 0  
dt
d 2 M X (t )
t 0
dt 2
[ete (et 1) (et )2 e (et 1) ]t 0    2
E( X 2 ) 
ve varyansı,
Var ( X )  E ( X 2 )   EX      2      
2
2
olarak elde edilir.
Örneğin, bir X rasgele değişkenin moment üreten fonksiyonu,

t
etx
M X (t )  e(e 1)  
x 0 x
ise X in olasılık fonksiyonu,
e1
f ( x) 
 x  01 2…
x
dır.
4. Bir günde 5 parça işleyen bir torna makinası için kusursuz olarak işlediği parçaların sayısı X
olsun. X in olasılık fonksiyonunun
x
5 x
 5 4   1 
f  x         x  01 2 3 4 5
 x 5   5 
x
 5 4   1 
f  x       
 x 5   5 
x
0
1
3125
5 x
1
20
3125
2
160
3125
3
640
3125
4
1280
3125
5
1024
3125
olduğu bilinsin. Bir günde üretilen kusursuz parça sayısının beklenen değeri (ortalaması),
5
E( X ) =
е
xf ( x) = 0 ґ
x= 0
1
3125
+ 1ґ
20
3125
+ 2ґ
160
3125
+ 3ґ
640
3125
+ 4ґ
1280
3125
+ 5ґ
1024
3125
= 4
varyansı,
5
Var ( X ) = E (( X - 4) 2 ) =
е
( x - 4) 2 f ( x)
x= 0
2
= (0 - 4) ґ
1
3125
=
4
2
+ (1 - 4) ґ
20
3125
2
+ (2 - 4) ґ
160
3125
2
+ (3 - 4) ґ
640
3125
2
+ (4 - 4) ґ
1280
3125
2
+ (5 - 4) ґ
1024
3125
= 0.8
5
dır. İşlenmemiş parçanın alış değeri a , işleme masrafı b , kusurlu işlenmiş parçanın hurda
değeri c ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri d olmak üzere günlük kazancın beklenen
değeri nedir?
K rasgele değişkeni günlük kazancı göstermek üzere,
K  5  a  b    5  X  c  Xd  5(c  a  b)  (d  c) X
olarak ifade edilebilir.
E ( K )  E  5(c  a  b)  (d  c) X   5(c  a  b)  (d  c) E ( X )
Var ( X )  Var  5(c  a  b)  (d  c) X   (d  c) 2Var ( X )
olmak üzere, örneğin işlenmemiş parçanın alış değeri a =100 TL, işleme masrafı b =100 TL,
kusurlu işlenmiş parçanın hurda değeri c =10 TL ve kusursuz işlenmiş parçanın satış değeri
d =310 TL olduğunda,
K  5(c  a  b)  (d  c) X  950  300 X
E ( K )  950  300 E ( X )  950  300  4  250
Var ( X )  3002Var ( X )  3002 
4
 72000
5
 X  72000  268.3
Günlük kazancın beklenen değeri, başka bir ifade ile ortalama günlük
Günlük kazancın olasılık dağılımı,
x
0
1
2
3
1
20
160
640
P( X  x)
3125
3125
3125
3125
-950
-650
-350
-50
k  950  300x
1
20
160
640
P( K  k )
3125
3125
3125
3125
kazanç 250 TL dir.
4
1280
3125
250
1280
3125
5
1024
3125
550
1024
3125
olmak üzere, bazı günlerde 550 TL kazanç olduğu gibi, 950, 650 ya da 350 TL kayıp söz konusu
olabilir.
5. X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu,
x1 = 1, 2
x2 = 0,1, 2
1
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =
x1 ( x2 + x3 ) ,
x3 = 1, 2
45
olsun.
E ( X1 ) =
е е е
x1
=
x2
x3
2
x1 f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = е
2
2
е е
x1
x1 = 1 x2 = 0 x3 = 1
1
x1 ( x2 + x3 )
45
1 2 2 2 2
1 2 2 2
1 2
5
x
(
x
+
x
)
=
x
(2
x
+
3)
=
15 x12 =
е
е
е
е
е
е
1
2
3
1
2
45 x1 = 1 x2 = 0 x3 = 1
45 x1 = 1 x2 = 0
45 x1 = 1
3
olmak üzere, bu beklenen değeri X1 ‘in marjinal dağılımından da hezaplayabiliriz. X1 ‘in
marjinal olasılık fonksiyonu,
2
2
x
1
f X1 ( x1 ) = е е
x1 ( x2 + x3 ) = 1
, x1 = 1, 2
3
x2 = 0 x3 = 1 45
ve olasılık tablosu,
1
2
x1
f X1 ( x1 )
olup
1/3
2/3
E ( X 1 ) = 1ґ
1
2 5
+ 2ґ =
3
3 3
dır.
E ( X 1 X 2 ) değerini hesaplayalım.
E ( X1 X 2 ) =
е е е
x1
x2
2
2
x1 x2 f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = е
x3
2
е е
x1 x2
x1 = 1 x2 = 0 x3 = 1
1
x1 ( x2 + x3 )
45
=
1 2 2 2 2 2
1 2 2 2
x
(
x
+
x
x
)
=
е е е 1 2 2 3 45 еx = 1 еx = 0 x1 (2 x22 + 3x2 )
45 x1 = 1 x2 = 0 x3 = 1
1
2
=
19 2 2 19
е x1 = 9
45 x1 = 1
olmak üzere, bu değeri ( X 1 , X 2 ) vektörünün marjinal dağılımından ( X1 ile X 2 ‘nin marjinal
ortak dağılımından) da bulabiliriz. X1 ile X 2 ‘nin marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) =
еx
2
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =
3
еx =
3
1
x1 ( x2 + x3 )
1 45
x = 1, 2
1
x1 (2 x2 + 3) , 1
x2 = 0,1, 2
45
olmak üzere, olasılık tablosu
0
1
2
x
x
=
1
f X1 ( x1 ) = P( X1 = x1 )
2
1
2
f X 2 ( x2 ) = P( X 2 = x2 )
3/45
6/45
9/45
5/45
10/45
15/45
7/45
14/45
21/45
15/45
30/45
1
olup,
2
E ( X1 X 2 ) =
2
е е
x1 x2 f X1 , X 2 ( x1 , x2 )
x1 = 1 x2 = 0
= 1ґ 0ґ f X1 , X 2 (1, 0) + 1ґ 1ґ f X1 , X 2 (1,1) + 1ґ 2ґ f X1 , X 2 (1, 2) + 2ґ 0ґ f X1 , X 2 (2, 0)
+ 2ґ 1ґ f X1 , X 2 (2,1) + 2ґ 2ґ f X1 , X 2 (2, 2)
3
5
7
6
10
14
+ 1ґ 1ґ
+ 1ґ 2ґ
+ 2ґ 0ґ
+ 2ґ 1ґ
+ 2ґ 2ґ
45
45
45
45
45
45
95 19
=
=
45 9
= 1ґ 0ґ
dır.
Tablodan görüldüğü gibi, X 2 ‘nin marjinal dağılımının olasılık tablosu,
olup,
x2
0
f X 2 ( x2 )
9/45
1
2
15/45 21/45
9
15
21 57
+ 1ґ
+ 2ґ
=
45
45
45 45
9
15
21 99
E ( X 22 ) = 02 ґ
+ 12 ґ
+ 22 ґ
=
45
45
45 45
99 57 2 1206
Var ( X 22 ) = E ( X 22 ) - ( E ( X 2 )) 2 =
- ( ) =
45 45
2025
E ( X 2 ) = 0ґ
dır.
Şimdi X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin varyans-kovaryans matrisini hesaplamaya
çalışalım. İlk önce ikişerli marjinal dağılımları elde edelim. Yukarıda, X1 ile X 2 ‘nin marjinal
ortak olasılık fonksiyonu,
2
1
f X1 , X 2 ( x1 , x2 ) = е f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) = е
x1 ( x2 + x3 )
x3
x3 = 1 45
=
x = 1, 2
1
x1 (2 x2 + 3) , 1
x2 = 0,1, 2
45
olmak üzere, olasılık tablosu
0
x1
x2
1
3/45
2
6/45
9/45
f X 2 ( x2 ) = P( X 2 = x2 )
1
2
f X1 ( x1 ) = P( X1 = x1 )
5/45
10/45
15/45
7/45
14/45
21/45
15/45
30/45
1
olduğunu bulmuştuk. Ayrıca,
5
2
E ( X1 ) =
, E ( X 12 ) = 3 , Var ( X 1 ) =
3
9
57
76
171
E( X 2 ) =
, E ( X 22 ) =
, Var ( X 2 ) =
45
45
2025
19
32
E ( X1 X 2 ) =
, Cov( X 1 , X 2 ) = E ( X 1 X 2 ) - E ( X 1 ) E ( X 2 ) =
9
21
değerlerini böyle bir tablodan kolayca hesaplayabiliriz.
Benzer şekilde, X 2 ile X 3 ‘ün marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
f X 2 , X 3 ( x2 , x3 ) =
е
2
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =
x1
=
olup, olasılık tablosu,
x3
x2
1
2
f X 2 ( x2 ) = P( X 2 = x2 )
ve
1
( x2 + x3 ) ,
15
1
x1 ( x2 + x3 )
x1 = 1 45
е
x2 = 0,1, 2 , x3 = 1, 2
0
1
2
f X 3 ( x3 ) = P( X 3 = x3 )
1/15
2/15
3/15
2/15
3/15
5/15
3/15
4/15
7/15
6/15
9/15
1
19
24 8
42 14
6
=
=
, E( X 3 ) =
, E ( X 32 ) =
, Var ( X 3 ) =
15
15 5
15
5
25
30
2
E( X 2 X 3 ) =
= 2 , Cov( X 2 , X 3 ) = E ( X 2 X 3 ) - E ( X 2 ) E ( X 3 ) = 15
75
dır.
E( X 2 ) =
X1 ile X 3 ‘ün marjinal ortak olasılık fonksiyonu,
f X1 , X 3 ( x2 , x3 ) =
е
2
f X1 , X 2 , X 3 ( x1 , x2 , x3 ) =
x2
=
1
x1 ( x2 + x3 )
x2 = 0 45
е
1
x1 (1 + x3 ) , x1 = 1, 2 , x3 = 1, 2
15
olup, olasılık tablosu,
x3
x1
1
2
f X1 ( x1 ) = P( X1 = x1 )
1
2
f X 3 ( x3 ) = P( X 3 = x3 )
2/15
3/15
5/15
4/15
6/15
10/15
6/15
9/15
1
ve
40
15
40 5 8
Cov( X 1 , X 3 ) = E ( X 1 X 3 ) - E ( X 1 ) E ( X 3 ) =
- ґ =0
15 3 5
E ( X1 ) =
5
3
,
E( X 3 ) =
8
,
5
E( X1 X 2 ) =
dır.
X 1 , X 2 , X 3 rasgele değişkenlerinin varyans-kovaryans matrisi
йCov( X 1 , X 1 ) Cov( X 1 , X 2 ) Cov( X 1 , X 3 ) щ
к
ъ
S = кCov( X 2 , X 1 ) Cov( X 2 , X 2 ) Cov( X 2 , X 3 )ъ
к
ъ
кCov( X , X ) Cov( X , X ) Cov( X , X ) ъ
3
1
3
2
3
3 ы
л
й Var ( X 1 )
Cov( X 1 , X 2 ) Cov( X 1 , X 3 ) щ
к
ъ
= кCov( X 2 , X 1 )
Var ( X 2 )
Cov( X 2 , X 3 )ъ
к
ъ
кCov( X , X ) Cov( X , X )
ъ
Var
(
X
)
3
1
3
2
3
л
ы
й2
к
к9
к
к32
= к
к21
к
к0
к
л
щ
32
0 ъ
ъ й
21
щ
0.084444
0
ъ 0.22222
ъ
171
2 ъ кк
0.59556 - 0.026667ъ
ъ= к0.084444
ъ
2025
75 ъ
ъ
ъ кл 0
- 0.026667
0.24 ы
2
6 ъ
ъ
75
25 ы
ve koralasyon matrisi,
й
к
к
к
1
к
к
к
к
к
32
к
к
21
R= к
171
к 2
ґ
к
к 9 2025
к
к
к
к
0
к
к
к
л
щ
ъ
ъ
ъ
0
ъ
ъ
ъ
ъ
ъ=
2
ъ
ъ
75
ъ
171
6 ъ
ґ
ъ
2025 25 ъ
ъ
ъ
ъ
ъ
1
ъ
ъ
ъ
ы
32
21
2
171
ґ
9 2025
1
2
75
171
6
ґ
2025 25
-
й 1
0.61644
0 щ
к
ъ
к0.61644
1
- 0.18732ъ
к
ъ
к 0
ъ
0.18732
1
л
ы
olarak elde edilir.
6. ( X , Y ) rasgele vektörünün dağılımı, başka bir ifade ile X , Y rasgele değişkenlerinin ortak
dağılımı aşağıdaki olasılık tablosu ile verilsin.
x
0
1
2
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
1/8
1/8
1/8
3/8
1/8
0
1/8
2/8
1/8
1/8
1/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1
2
,
8
fY (1) 
f X ,Y 1,1  0 , f X (1) 
olmak üzere,
2
8
f X ,Y 1,1  f X 1 fY 1
olduğundan X ile Y bağımsız değildir. Fakat,
14
6
, Var ( X ) =
8
8
14
6
E (Y ) = 1
, E (Y 2 ) =
, Var (Y ) =
8
8
E ( XY ) = 1 , Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) = 0
E( X ) = 1
, E( X 2 ) =
olup,
r X ,Y = 0
dır. Görüldüğü gibi korelasyon katsayısı r X ,Y = 0 olan iki rasgele değişken bağımsız
olmayabilir.
Korelasyon katsayısının büyüklüğünü irdeleyelim
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
3/8
0
0
3/8
0
2/8
0
2/8
0
0
3/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1
x
0
1
2
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
14
,
8
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
,
,
6
8
6
Var (Y ) =
8
Var ( X ) =
Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) =
6
8
olup,
6
8 =1
6 6
ґ
8 8
r X ,Y =
dır. Görüldüğü gibi, P( X = Y ) = P( X - Y = 0) = 1 , yani X ile Y arasında tam bir lineer ilişki
olmak üzere, korelasyon katsayısı r X ,Y = 1 dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında pozitif
bir ilişki söz konusudur. Rasgele değişkenlerden biri büyük değer aldığında diğeri de büyük, biri
küçük değer aldığında diğeri de küçük değer almaktadır.
x
0
1
2
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
2/8
1/8
0
3/8
1/8
1/8
0
2/8
0
0
3/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1
olması durumunda,
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
13
,
8
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
,
,
6
8
6
Var (Y ) =
8
Var ( X ) =
Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) =
5
8
olup,
5
5
r X ,Y = 8 = » 0.83 = %83
6 6 6
ґ
8 8
dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında oldukça güçlü pozitif bir lineer ilişki söz konusudur.
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
0
0
3/8
3/8
1/8
1/8
0
2/8
2/8
1/8
0
3/8
3/8
2/8
3/8
1
x
0
1
2
olması durumunda,
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
3
8
,
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
6
8
6
Var (Y ) =
8
,
Var ( X ) =
,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) = -
5
8
olup,
-
r X ,Y =
5
8
6 6
ґ
8 8
=-
5
» - 0.83 = - %83
6
dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında oldukça güçlü negatif bir lineer ilişki söz konusudur.
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
0
0
3/8
3/8
0
2/8
0
2/8
3/8
0
0
3/8
3/8
2/8
3/8
1
x
0
1
2
olması durumunda,
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
2
8
,
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
,
,
6
8
6
Var (Y ) =
8
Var ( X ) =
Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) = -
6
8
olup,
-
r X ,Y =
6
8
=- 1
6 6
ґ
8 8
dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında tam negatif bir lineer ilişki söz konusudur.
y
0
1
2
f X ( x)
fY ( y )
1/8
0
2/8
3/8
1/8
1/8
0
2/8
1/8
1/8
1/8
3/8
3/8
2/8
3/8
1
x
0
1
2
olması durumunda,
E( X ) = 1
,
E (Y ) = 1
,
E ( XY ) =
7
8
,
14
8
14
E (Y 2 ) =
8
E( X 2 ) =
6
8
6
Var (Y ) =
8
,
Var ( X ) =
,
Cov( X , Y ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) = -
1
8
olup,
-
r X ,Y =
2
8
6 6
ґ
8 8
=-
1
» - 0.33=-%33
3
dır. X ile Y rasgele değişkenleri arasında zayıf, negatif bir lineer ilişki söz konusudur.
Marjinal dağılımları aynı olan yukarıdaki olasılık dağılımlarını, korelasyon katsayıları ile
birlikte bir kez daha göz önüne alalım.
x
0
1
2
y
x
0
1
2
y
x
0
1
2
y
0
1
2
3/8
0
0
0
2/8
0
0
0
3/8
0
1
2
0
0
3/8
0
2/8
0
3/8
0
0
0
1
2
2/8
1/8
0
1/8
1/8
0
0
0
3/8
r X ,Y = 1
r X ,Y = - 1
r X ,Y = %83
x
0
1
2
y
x
0
1
2
y
x
0
1
2
y
0
1
2
0
0
3/8
1/8
1/8
0
2/8
1/8
0
0
1
2
1/8
0
2/8
1/8
1/8
0
1/8
1/8
1/8
0
1
2
1/8
1/8
1/8
1/8
0
1/8
1/8
1/8
1/8
r X ,Y =0
0
1
2
f X ( x)
9/64
6/64
9/64
3/8
6/64
4/64
6/64
2/8
9/64
6/64
9/64
3/8
3/8
2/8
3/8
1
r X ,Y = - %83
r X ,Y = - %33
ve
x y
0
1
2
fY ( y )
olması durumunda X ile Y rasgele değişkenleri bağımsız (ortak olasılıklar marjinallerin
çarpımı) olduğundan r X ,Y =0 dır.
7. ( X , Y , Z ) rasgele vektörünün olasılık yoğunluk fonksiyonu,
( x  y)e z , 0  x  1 , 0  y  1 , z  0
f X ,Y ,Z ( x, y, z )  
, d . y.
0
olsun. ve ( X , Y , Z ) vektörünün varyans-kovaryans matrisi ile korelasyon matrisini bulalım.
X ‘in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 Ґ
f X ( x) =
т т ( x + y)e
- z
0
1
=
dydz
0
Ґ
1
т ( x + y)dy т e
- z
0
0
dz =
т ( x + y)dy =
0
( x + y)2
2
1
= y+
y= 0
1
2
,
0<y<1
ve
Ґ
1
т xf X ( x)dx = т
E( X ) =
- Ґ
0
Ґ
1
x( x + )dx =
2
1
жx3 1 x 2 ц
7
ч
зз +
ч
=
ч
ч
зи 3 2 2 ш
12
x= 0
1
жx 4 1 x3 ц
5
ч
зз +
ч
E ( X ) = т x f X ( x)dx = т
ч = 12
ч
зи 4 2 3 ш
x= 0
- Ґ
0
5
7
11
Var ( X ) = E ( X 2 ) - ( E ( X )) 2 =
- ( )2 =
12 12
144
1
2
2
1
x ( x + )dx =
2
2
dır.
Y ‘nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1 Ґ
fY ( y ) =
т т ( x + y )e
- z
0
1
=
dxdz
0
Ґ
1
т ( x + y)dy т e
- z
0
т ( x + y)dx =
dz =
0
( x + y)2
2
0
1
= y+
x= 0
1
2
,
0<x<1
ve
Ґ
1
т
E (Y ) =
yfY ( y)dy =
- Ґ
т
0
Ґ
2
E (Y ) =
1
y( y + )dy =
2
1
т
2
y fY ( y)dy =
- Ґ
т
0
Var (Y ) = E (Y 2 ) - ( E (Y )) 2 =
1
y ( y + )dy =
2
2
1
жy 3 1 y 2 ц
7
ч
зз +
ч
=
ч
ч
зи 3 2 2 ш
12
y= 0
1
жy 4 1 y 3 ц
5
ч
зз +
ч
=
ч
зи 4 2 3 ш
ч
12
y= 0
5
7
11
- ( )2 =
12 12
144
dır.
Z ‘nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
1
f Z ( z) =
1
1
т т ( x + y)e
- z
0
- z
dxdy = e
0
т т ( x + y)dxdy
0
ж( x + y)2
з
= e т зз
зи 2
0 з
1
- z
1
0
1
ц
ж
ч
- z
ч
dy = = e т зз y +
ч
ч
зи
ч
x= 0 ш
0
1
ц
1ч
dy = e- z , z > 0
ч
ч
2ш
olup, Z rasgele değişkeni q = 1 parametreli üstel dağılıma sahiptir ve
E (Z ) = 1
Var ( Z ) = 1
dır.
X ile Y nin ortak marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
Ґ
т ( x + y)e
- z
f X ,Y ( x, y) =
dz = x + y
,
0< x< 1 , 0< y < 1
0
olmak üzere,
f X ,Y , Z ( x, y, z )  f X ,Y ( x, y ) f Z ( z )
dır. Z rasgele değişkeni X ile Y rasgele değişkenlerinden bağımsızdır. Buna göre,
Cov ( X , Z ) = 0
Cov (Y , Z ) = 0
dır.
Cov( X , Y ) hesabına gelince,
Ґ
E ( XY ) =
Ґ
т т
xyf X ,Y ( x, y)dxdy
- Ґ - Ґ
1
=
1
т т xy( x + y)dxdy = т
0
1
=
1
т
0
0
0
1
ж x2
ц
ч
x2
зз
y з( + y ) ч
dy
ч
ч
ззи 3
2 x= 0 ш
ч
1
ж1 y ц
y 2 y3
1
y зз + ч
dy
=
(
+ )
=
ч
зи3 2 ч
ш
6
6 y= 0 3
olmak üzere,
Cov( XY ) = E ( XY ) - E ( X ) E (Y ) =
1 7 7
1
ґ
=3 12 12
48
dır.
( X , Y , Z ) rasgele vektörünün varyans-kovaryans matrisi
й Var ( X ) Cov( X , Y ) Cov( X , Z )щ
к
ъ
S = кCov(Y , X )
Var (Y )
Cov(Y , Z ) ъ=
к
ъ
кCov( Z , X ) Cov( Z , Y )
ъ
Var
(
Z
)
л
ы
ve koralasyon matrisi,
й11 - 1
к
к144 48
к
к- 1 11
к
к48 144
к
к0
0
к
л
щ
0ъ
ъ
ъ
ъ
0ъ
ъ
ъ
1ъ
ъ
25 ы
й
к
к
1
к
к
к
к
к
- 1
к
к
48
R= к
к 11 11
к
ґ
к 144 144
к
к
0
к
к
к
к
к
л
- 1
48
11 11
ґ
144 144
1
0
щ
ъ
0ъ
ъ
ъ
ъ
ъ
ъ
ъ й 1
-0.27273 0щ
ъ
ъ к
1
0ъ
0ъ = кк-0.27273
ъ
ъ
ъ
ъ к 0
0
1
ы
ъ л
ъ
1ъ
ъ
ъ
ъ
ъ
ъ
ы
olarak elde edilir.
8. a) X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı l parametreli Poisson dağılıma sahip
olsun.
t
M X i (t ) = el (e - 1) , i = 1,2,..., n
olmak üzere,
k
M
(t ) =
k
е
i= 1
Xi
ХM
t
Xi
(t ) = (el (e - 1) ) n =
t
enl (e - 1)
i= 1
k
olup,
е
X i rasgele değişkeni parametresi nl olan Poisson dağılımına sahiptir.
i= 1
b) X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı q parametreli üstel dağılıma sahip olsun.
M Xi (t ) = (1- qt )- 1 , i = 1,2,..., n
olmak üzere,
k
M
(t ) =
k
е
i= 1
Xi
ХM
n
Xi
(t ) = ((1- qt )- 1 ) = (1- qt )- n
i= 1
k
olup,
е
X i rasgele değişkeni parametreleri a = n ve b = q olan gamma dağılımına sahiptir.
i= 1
k
е
X i : G(n, q) dır.
i= 1
n
ж
t ц
t
q
M X (t ) = зззM X ( )ччч = (1- q )- n = (1- t )- n
n
и
1
n ш
n
n
olup, X n : G(a = n, b =
q
) dır.
n
c) X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız, aynı m ortalamalı ve aynı  2 varyanslı
N (m, s 2 ) normal dağılımına sahip olsun.
2 2
mt + s t
M X i (t ) = e
2
, i = 1,2,..., n
olmak üzere,
n
ж mt + s 2 t 2 ц
з
2 ч
ч
M k (t ) = Х M X i (t ) = ззe
=
ч
ч
з
ч
з
i
=
1
X
и
ш
е i
k
e
2 2
nmt + ns t
2
i= 1
k
olup,
е
X i : N (nm, ns 2 ) dır.
i= 1
n
ж
ж ц2 ц
зз t s 2 зззиnt шччч ч
n
ч
ж
t ц зз mn + 2 ч
ч
ч
M X (t ) = ззM X1 ( )ч
=
e
=
ч
з
ч
ч
n
зи
з
ч
n ш з
ч
ч
ззи
ч
ш
olup, X n : N (m,
9.
mt +
e
s 2 t2
n
2
s2
) dır.
n
X 1 , X 2 ..., X n rasgele değişkenleri bağımsız ve aynı b(1, p) Bernoulli dağılımına sahip
n
olduğunda, Y =
е
X i : b(n, p ) rasgele değişkeninin aldığı değerler, y = 0,1, 2,..., n olmak
i= 1
üzere olasılık fonksiyonu,
n
жn ч
ц y nfY ( y ) = P(Y = y ) = P(е X i = y ) = зз ч
p q
ч
зиyч
ш
i= 1
y
, y = 0,1, 2,..., n
n
е
Xi
1 2 3
Y
rasgele değişkeninin aldığı değerler, xn = 0, , , ,...,1 olup, bu
n n n
n
n
değerleri alması olasılıkları
dır. X n =
i= 1
=
n
n
i= 1
i= 1
f X n ( xn ) = P( X n = xn ) = P(е X i = nxn ) = P(е X i = y )
жn ц y nчp q
= ззз ч
ч
зиy ч
ш
dır.
y
1 2 3
n n n
, xn = 0, , , ,...,1
10. a) Belli bir tür pil için dayanma süresinin N (   35( saat ),  2  16) dağılımına sahip
olduğu bilinsin. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
20
25
30
35
40
45
50
dır. Bu piller arasından rasgele seçilen 10 pilin dayanma sürelerinin ortalamasını göz önüne
alalım. 10 tane pilin dayanma süreleri X1 , X 2 ..., X10 rasgele değişkenleri olmak üzere, bu rasgele
değişkenlerin her biri
bağımsız ise,
N (   35,  2  16) dağılımına sahiptir. Ayrıca,
X10 : N (mX = 36, s X2 =
10
10
16
10
X1 , X 2 ..., X10 ‘ler
)
dır. X 10 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
20
25
30
35
40
45
50
dır.
X 20 : N (mX = 36, s X2 =
20
20
16
20
)
rasgele
değişkeninin
fonksiyonunun grafiği,
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
20
dır.
25
30
35
40
45
50
olasılık
yoğunluk
b) Belli bir tür elektronik parça için dayanma süresinin aynı q = 5 yıl ortalama ile üstel
dağılıma sahip olduğu bilinsin. Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
dır.
Bu parçalar arasından rasgele seçilen 10 tanesinin dayanma sürelerinin ortalamasını göz
önüne alalım. 10 tane parçanın dayanma süreleri X1 , X 2 ..., X10 rasgele değişkenleri olmak üzere,
bu rasgele değişkenlerin her biri
q = 5 parametreli üstel dağılıma sahiptir. Ayrıca,
X1 , X 2 ..., X10 ‘ler bağımsız ise,
5
X 10 : G(a = 10, b = )
10
dır. X 10 rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
dır.
X 20 : G(a = 20, b =
5
) rasgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği,
20
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
dır.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20