geometri - Pegem.net

Önce
biz sorduk
kpss
2 0 1 8
120 Soruda
83
SORU
Güncellenmiş
Yeni
Baskı
Genel Yetenek
Genel Kültür
GEOMETRİ
Konu Anlatımı
Pratik Bilgiler
Sınavlara En Yakın Özgün Sorular ve Açıklamaları
Çıkmış Sorular ve Açıklamaları
Kerem Köker / Kenan Osmanoğlu
KPSS GEOMETRİ KONU ANLATIMLI
ISBN 978-605-318-848-3
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir.
© Pegem Akademi
Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir.
Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,
kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt
ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları
satın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM'nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ
SORULAR'ın her hakkı ÖSYM'ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir
kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da
kullanılması, yayımlanması ÖSYM'nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi
Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
37. Baskı: 2017, Ankara
Yayın-Proje: Özge Işıkcı
Dizgi-Grafik Tasarım: Vedat Hancı
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş.
İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA
(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 14749
Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA
Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51
Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60
Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60
İnternet: www.pegem.net
E-ileti: [email protected]
SUNU
Değerli Adaylar;
Bu kitap Kamu Personeli Seçme Sınavı (KPSS) Genel Yetenek Testinde
önemli bir yer tutan “Geometri” kapsamındaki 3 veya 4 soruyu etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla hazırlanmıştır.
Kitap, sorulmuş ve sorulması olası soruların titizlikle incelenmesiyle meydana getirilmiş olup;
GEOMETRİ
- Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar,
- Çokgenler ve Dörtgenler,
- Çember ve Daire,
- Analitik Geometri ve
- Katı Cisimler
bölümlerinden oluşmaktadır.
Kitapta; bölümlerin sınav formatına uygun ve soru çözümünü kolaylaştıracak bir şekilde ele alınmasına ve bilgilerin açık ve
anlaşılır bir dille ifade edilmesine özen gösterilmiştir.
Her ünitenin sonunda,
- çıkmış sorular ve
- cevaplı testlere;
yer verilmiştir.
Bu kitabın hazırlanmasında yardım, destek ve katkılarını esirgemeyen Pegem Akademi sınav komisyonuna teşekkürü bir
borç biliriz.
Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da
arttıracaktır. Değerli görüş ve önerilerinizi lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle, KPSS’de ve meslek hayatınızda başarılar.
Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu
İÇİNDEKİLER
1. BÖLÜM
GEOMETRİK KAVRAMLAR VE
DOĞRUDA AÇILAR....................................................1
Geometrik Kavramlar................................................3
Tanımsız Kavramlar...................................................3
Açılar..........................................................................3
Açının Ölçüsü............................................................3
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler..........................3
Açı Ölçü Birimleri......................................................3
Derecenin Alt Birimleri..............................................4
Açı Çeşitleri................................................................4
Dar Açı........................................................................4
Dik Açı........................................................................4
Geniş Açı....................................................................4
Doğru Açı...................................................................4
Tam Açı.......................................................................4
Komşu Açılar.............................................................4
Açıortay......................................................................4
Tümler Açılar..............................................................5
Bütünler Açılar...........................................................5
Ters Açılar..................................................................6
Paralel İki Doğrunun Bir Kesen ile
Yaptığı Açılar..............................................................6
Paralel İki Doğrunun Birden Çok Kesen
ile Meydana Getirdiği Açılar.....................................6
Kenarları Paralel Açılar.............................................8
Kenarları Dik Açılar...................................................8
Üçgenler.....................................................................11
Üçgen Çeşitleri..........................................................11
Ağırlık Merkezi...........................................................27
Kenarortay Bağıntıları...............................................29
Özel Üçgenler............................................................31
İkizkenar Üçgen.........................................................31
Eşkenar Üçgen..........................................................34
Üçgende Alan.............................................................38
Üçgende Benzerlik....................................................44
Açı – Açı – Açı Benzerlik Kuralı................................44
Tales Teoremi.............................................................46
Temel Orantı Teoremi................................................46
Çapraz Tales Teoremi................................................47
Kenar – Açı – Kenar Benzerlik Kuralı......................49
Kenar – Kenar – Kenar Benzerlik Kuralı..................49
Üçgende Açı – Kenar Bağıntıları..............................53
Üçgen Eşitsizliği........................................................53
Çıkmış Sorular...........................................................59
1. Geometrik Kavramlar............................................63
2. Üçgende Açılar......................................................65
3. Dik Üçgen...............................................................67
4. Üçgende Açıortay Teoremleri...............................69
5. Üçgende Kenarortay Teoremleri..........................71
6. Özel Üçgenler........................................................73
7. Özel Üçgenler........................................................75
8. Üçgende Alan.........................................................77
9. Üçgende Alan.........................................................79
10. Üçgende Benzerlik..............................................81
11. Üçgende Benzerlik..............................................83
12. Üçgende Benzerlik..............................................85
13. Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları...........................87
Açılarına Göre Üçgenler...........................................11
Kenarlarına Göre Üçgenler.......................................11
Üçgende Temel ve Yardımcı Elemanlar...................12
Yükseklik....................................................................12
Açıortay......................................................................12
Kenarortay.................................................................12
Üçgende Açılar ile İlgili Özellikler............................13
Dik Üçgen...................................................................17
Pisagor Teoremi.........................................................17
Öklid Bağıntıları.........................................................18
Kenarlarına Göre Özel Dik Üçgenler........................19
Açılarına Göre Özel Dik Üçgenler............................20
Üçgende Açıortay Teoremleri...................................23
İç Açıortay Teoremi...................................................24
Dış Açıortay Teoremi.................................................25
Üçgende Kenarortay Teoremleri..............................27
2. BÖLÜM
ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER..............................89
Çokgenler...................................................................91
Dışbükey ve İçbükey Çokgenler..............................91
Düzgün Çokgen.........................................................92
Dörtgenler..................................................................97
Dörtgenlerde Alan.....................................................99
Paralelkenar...............................................................101
Paralelkenarda Alan..................................................102
Paralelkenarın Alan Özellikleri.................................103
Paralelkenarda Uzunluk İle İlgili Özellikler..............105
Eşkenar Dörtgen........................................................105
Dikdörtgen .................................................................107
Kare............................................................................109
Yamuk – Deltoid.........................................................112
İkizkenar Yamuk.........................................................115
Dik Yamuk..................................................................117
Deltoid........................................................................117
Çıkmış Sorular...........................................................118
1. Çokgenler...............................................................120
2. Dörtgenler..............................................................122
4. BÖLÜM
ANALİTİK GEOMETRİ................................................161
Noktanın Analitik İncelenmesi..................................163
Analitik Düzlem..........................................................163
İki Nokta Arasındaki Uzaklık.....................................164
Doğrusal Noktalar.....................................................165
Doğrusal Olmayan Noktalar.....................................168
3. Paralelkenar-Eşkanar-Dörtgen.............................124
Doğrunun Analitik İncelenmesi................................171
4. Dikdörtgen-Kare....................................................126
Doğrunun Eğim Açısı ve Eğimi................................171
5. Yamuk-Deltoid........................................................128
Doğrunun Grafiğinin Çizimi......................................173
Doğrunun Denklemleri..............................................173
Özel Doğrular.............................................................176
3. BÖLÜM
ÇEMBER VE DAİRE...................................................131
Çemberde Açı............................................................133
Çemberde Yardımcı Elemanlar.................................133
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları...................176
Doğru Demeti.............................................................178
Simetriler....................................................................181
Noktanın Simetriği.....................................................181
Çemberde Yay ve Açı Özellikleri..............................135
Doğrunun Simetriği...................................................184
Merkez Açı..................................................................135
Eşitsizlikler.................................................................187
Çevre Açı....................................................................135
Çıkmış Sorular...........................................................189
Teğet Kiriş Açı............................................................136
Cevaplı Test................................................................191
İç Açı...........................................................................137
Dış Açı........................................................................137
Çemberde Kiriş Yay Özellikleri.................................138
Kirişler Dörtgeni........................................................139
Çemberde Uzunluk....................................................140
Bir Noktanın Bir Çembere Göre Kuvveti.................140
Kuvvet Ekseni............................................................142
İki Çemberin Ortak Teğetleri.....................................144
İki Çemberin Birbirine Göre Durumları....................145
5. BÖLÜM
KATI CİSİMLER..........................................................193
Prizma.........................................................................195
Dikdörtgenler Prizması.............................................196
Küp..............................................................................198
Üçgenin Çemberleri..................................................146
Silindir........................................................................198
Üçgenin İç Teğet Çemberi.........................................146
Dönel Silindir.............................................................199
Üçgenin Dış Teğet Çemberi......................................146
Piramit........................................................................201
Teğetler Dörtgeni.......................................................147
Düzgün Piramit..........................................................201
Dairede Alan...............................................................148
Kesik Piramit..............................................................202
Dairenin Alanı ve Çevresi.........................................148
Daire Diliminin Alanı..................................................148
Çember Yayının Uzunluğu........................................148
Daire Kesmesinin Alanı.............................................149
Daire Halkasının Alanı...............................................150
Çemberde Benzerlik..................................................150
Çıkmış Sorular...........................................................153
1. Çemberde Açı........................................................154
2. Çemberde Uzunluk................................................156
3. Dairede Alan...........................................................158
Koni.............................................................................203
Küre............................................................................204
Çıkmış Sorular...........................................................205
Cevaplı Test - 1 .........................................................206
Cevaplı Test - 2 .........................................................208
Geometrİk Kavramlar ve
Doğruda Açılar
� GEOMETRİK KAVRAMLAR
Yı
2005
2
� DOĞRUDA AÇILAR
2006
� ÜÇGENLER
-
� ÜÇGEN ÇEŞİTLERİ
lla
So ra G
ru ö
A re Ç
na
liz ıkm
ler ış
i
2007
2
� ÜÇGENDE TEMEL VE YARDIMCI ELEMANLAR
� ÜÇGENDE AÇILAR
2008
2
� DİK ÜÇGENLER
� ÜÇGENDE AÇIORTAY TEOREMLERİ
2009
1
� ÜÇGENDE KENARORTAY TEOREMLERİ
� ÜÇGENDE ALAN
2010
1
� ÜÇGENDE BENZERLİK
� ÜÇGENDE AÇI – KENAR BAĞINTILARI
2011
1
2012
1
2013
1
2014
2017
1
2016
1
2015
1
-
“... Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri
öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle yazılmıştır;
harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek
sözcüğü bile anlaşılamaz; bunlarsız ancak karanlık bir labirente dalanılır.”
Galıleo
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar
AÇILAR
GEOMETRİK KAVRAMLAR
Başlangıç noktaları aynı
Tanımsız Kavramlar
B
olan iki ışının birleşimi-
V
[AB ∪ [AC = A
Nokta, doğru, düzlem gibi kavramlar tanımsız kavramlardır.
ne “Açı” denir.
Nokta
ışınlarının birleşimi ile
oluşan açı BAC ya da CAB açısıdır.
Yani; 6AB ve 6AC
Kalem ucunun kâğıt üzerine bıraktığı işaret veya izdir.
Noktanın belli bir alanı, hacmi veya boyutu yoktur. Nokta
büyük harfle gösterilir.
A noktası
B
Açının Ölçüsü
6AB ve 6AC ışınları arasında ka-
Doğru
tek reel sayı karşılık gelir. Bu reel
sayıya BAC açısının (ya da CAB
açısının) ölçüsü denir.
İki ucu sınırsız aynı doğrultulu noktaların kümesidir.
B
d
Doğrular genelde küçük harfle temsil edilirler. d doğrusu
veya AB diye sembolize edilebilir.
Yani BAC açısının ölçüsü α’dır.
Doğru Parçası
%
s ( BAC ) = s (W
A) = a ile gösterilir.
C
W ) & A ile B açıları eş açılardır.
Yani; m (W
A) = m(B
B
Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
Herhangi bir açı düzlemi üç farklı bölgeye ayırır. Bu bölgeler
6CD@ " CD doğru parçası
CD " CD doğru parçasının uzunluğu olarak gösterilir.
I.
B
Açının kendisi
Işın
II.
Bir ucu başlangıç noktası olup diğer ucu sonsuza giden
noktaların oluşturduğu kümeye ışın denir.
III. Açının dış bölgesi
B
α
Eş Açılar: Ölçüleri eşit olan açılara eş açılar denir.
doğru parçası 6AB@ sembolü ile gösterilir.
A
A
%
A) = a veya
ve m (BAC) = m(W
İki nokta ile bu iki nokta arasında kalan noktaların birleşim kümesine doğru parçası denir.
A
B
lan bölgeye W
A ’nın ölçüsü denir.
W
Her A ’na 0 ile 360 arasında bir
B noktası
A
C
%
%
BAC açısı BAC ya da CAB şeklinde gösterilir.
Örneğin;
A
A
I.
Açının iç bölgesi
II.
A
d
α
III.
C
6AB " AB ışını diye okunur.
Açı Ölçü Birimleri
Yarı Doğru
ölçü birimi olarak derece kullanılır. 20°,40°,... şeklinde
Derece, Grad, Radyan açı ölçü birimleridir. Genelde
6AB ışınından başlangıç noktası yani A noktasının çıkar-
gösterilir.
tılması ile elde edilen noktaların kümesine AB yarı doğrusu denir.
A
B
Bu üç farklı açı ölçü birimleri arasındaki bağıntıyı şöyle
verebiliriz,
d
D: Derece
@ AB " AB ışını diye okunur.
G: Grad
R: Radyan olmak üzere
D
G
R
=
=
bağıntısı vardır.
180
200
r
Düzlem
Bir masanın üstü, durgun su yüzeyi gibi tamamen düz ve
aynı zamanda her yöne sınırsız olan noktaların oluşturduğu kümeye düzlem denir.
3
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar
ÖRNEK
NOT
A, O, B noktaları doğrusal,
1ʹʹ → Bir saniye A
7α
D
2α
O
B
%
m ( AOC ) = 3a
1° = 60ʹ
14243
1ʹ → Bir dakika
3α
%
m ( COD ) = 7a ve
Derecenin Alt Birimleri
1° → Bir derece
C
%
m ( DOB ) = 2a ,
Bir ışının başlangıç noktası etrafında bir tur döndürülmesi ile oluşan açı 360°, 400 Grad ve 2π Radyandır.
Yukarıdaki verilenlere göre, α kaç derecedir?
1ʹ = 60ʹʹ
A) 10
1° = 3600ʹʹ dir.
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
Çözüm:
A, O, B noktaları doğrusal olduğundan doğru açı tanımı
gereği 180°lik açı meydana getirirler.
AÇI ÇEŞİTLERİ
Yani; 3a + 7a + 2a = 180° dir.
Dar Açı
Ölçüsü 0° ile 90° arasında olan
açılara dar açı denir.
B
& 12a = 180°
& a = 15° bulunur.
Yani; 0° < a < 90 + a dar açıdır.
α
A
Komşu Açılar
C
Dik Açı
Köşeleri ve birer kenarı ortak olan
iç bölgelerinin kesişimleri boş
küme olan açılara komşu açılar
denir.
B
Ölçüsü 90° olan açıya dik açı denir.
Yani; a = 90° + a dik açıdır.
A
Ölçüsü 90°ile 180° arasında
olan açılara geniş açı denir.
O
B
AÇIORTAY
Açıyı iki eşit açıya ayıran ışına açıortay denir.
α
90° < a < 180° + a geniş
A
açıdır.
C
%
A
O
C
ÖRNEK
D
A, O, B noktaları doğrusal
6OC ile 6OF açıortay
Tam Açı
Ölçüsü 360° olan açıya tam açı
denir.
Yani;
A
narları) denir.
α=180°
B
B
6OC ile 6OA ye açıortayın kolları (ke-
Doğru Açı
açıya
C
%
%
Yani; m ( COB ) = m ( BOA ) dır.
6OB ye COA nın açıortayı denir.
Yani;
a = 180° + a doğru açıdır.
A
dır.
C
Yani;
Ölçüsü 180° olan
doğru açı denir.
B
%
%
Yani; COB ile BOA komşu iki açı-
α
Geniş Açı
C
α=360°
A
C
%
o
m ( DOE ) = 80
B
A
E
80°
F
O
B
%
Yukarıdaki verilenlere göre, m ( COF ) kaç derecedir?
a = 360° + a tam açıdır.
A) 100
4
B) 110
C) 120
D) 130
E) 140
Geometrik Kavramlar ve Doğruda Açılar
Çözüm:
TÜMLER AÇILAR
A, O, B noktaları doğrusal olduğundan meydana gelen
açıların ölçüleri toplamı 180°dir.
%
%
m ( AOC ) = m ( COD ) = a ,
%
%
m ( EOF ) = m ( FOB ) = b
D
C
A
dersek
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya
tümler iki açı denir.
E
α 80° β
β
α
O
Yani α ile β bulundukları açıların
ölçüleri olmak üzere
F
a + b = 90° + a ile β tümler iki
B
β
A
BÜTÜNLER AÇILAR
Ölçüleri toplamı 180° olan iki
açıya bütünler açılar denir.
Komşu iki açının açıortayları arasında kalan açı 54°dir.
Buna göre, bu iki açının ölçüleri toplamı kaç derecedir?
B) 104
C) 106
D) 108
Yani; α ile β bulundukları
açıların ölçüleri olmak üzere
E) 110
C
β
A
α
O
B
a + b = 180° + a ile β bütünler iki açıdır.
Çözüm:
α’nın bütünleri 180° – α
β’nın bütünleri 180° – β dır.
%
%
BOC ile COA komşu iki açıdır.
A
6OD ile 6OE açıortaydır.
E
O
O
β’nın tümleri 90° – β dır.
ÖRNEK
β
α
α’nın tümleri 90° – α
%
%
m ( COF ) = a + b + 80° & m (COF) = 130° bulunur.
β
C
açıdır.
2a + 2b + 80° = 180° & 2a + 2b = 100° & a + b = 50°
A) 100
B
C
54° D
α
α
B
%
m ( DOE ) = 54° verilmiş
%
%
m ( BOD ) = m ( DOC ) = a ,
ÖRNEK
Bir açının 4 katının 5° fazlası aynı açının tümlerine
eşit olduğuna göre, açının bütünleri kaç derecedir?
%
%
m ( COE ) = m ( EOA ) = b dersek
%
m ( DOE ) = a + b = 54° dir.
A) 157
%
%
Buradan m ( BOC ) + m ( COA ) = 2a + 2b
B) 159
C) 161
D) 163
E) 165
Çözüm:
Açı
& 2 ( a + b ) = 108° bulunur.
14444244443
54°
Tümleri
90° – α dır.
α
Denklem kurulursa;
4α + 5° = 90° – α dır.
NOT
5α = 85° ⇒ α = 17° bulunur.
O halde açının bütünleri
Açıortay üzerinde alınan herhangi bir noktanın, açının
kollarına olan dik uzunlukları birbirine eşittir.
180° - a = 180° - 17° = 163° bulunur.
6OD açıortay, 6OB ile 6OA açıortayın kolları olmak üze-
re
6CK@ = 6OB , 6DL@ = 6OB ,
6CE = 6OA ve 6DF@ = 6OA
K
çizilirse
CK = CE , DL = DF ve
ÖRNEK
B
L
O
Bütünler iki açıdan biri diğerine bölündüğünde bölüm 4,
kalan 10°dir.
D
C
E
Buna göre, küçük açı kaç derecedir?
A) 32
F A
KO = EO , LO = FO dur.
5
B) 34
C) 36
D) 38
E) 40