PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ A-TOPLANABİLME VE POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER YÜKSEK LİSANS TEZİ Onur GENÇ Anabilim Dalı : Matematik Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN KASIM/2013 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET ............................................................................................................... ii SUMMARY .................................................................................................... iii ÖNSÖZ ........................................................................................................... iv 1. GİRİŞ ........................................................................................................... 1 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR ...................................................... 2 2.1 Lineer Pozitif Operatörler ....................................................................... 2 2.2 Temel Toplanabilme Kavramları ............................................................ 5 2.3 Süreklilik Modülü ................................................................................... 7 3. KOROVKIN TEOREMLERİ ................................................................... 9 4. TOPLANABİLME VE KOROVKIN TİPLİ TEOREMLER .............. 23 5. YAKINSAKLIK ORANI ......................................................................... 29 KAYNAKLAR .............................................................................................. 34 i ÖZET A – TOPLANABİLME VE POZİTİF LİNEER OPERATÖRLER Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, temel tanım ve kavramlar tanıtılıp bunlara ilişkin bilinen bazı sonuçlar hatrlatılmıştır. Üçüncü bölümde, C a, b , C2 ve C K uzaylarında tanımlı lineer pozitif operator dizileri için Korovkin tipli teoremler incelenmiştir. Dördüncü bölümde , toplam süreci metodu kullanılarak geliştirilen korovkin tipli yaklaşım teoremleri incelenmiştir. Beşinci bölümde, dördüncü bölümde verilen teoremler için yaklaşımın oranı hesaplanmıştır. Anahtar Kelimeler: Korovkin Teoremi, pozitif lineer operatörler, A -toplanabilme ii SUMMARY A – SUMMABILITY AND POSITIVE LINEAR OPERATORS This thesis consists of five chapters. The first chapter has been devoted to the introduction. In chapter two, the basic definitions and consepts have ben recalled and some results concerning these concepts have also considered. In chapter three, we obtain Korovkin type approximation theorems for linear positive operators on C a, b , C2 and C K . In chapter four, Korovkin type approximation theorems developed with the help of summation process has been analysed. In the final chapter, the rate of convergence has been examined for theorems given in chapter four. Keywords: Korovkin Theorem, positive linear operators, A Summabiltiy. iii ÖNSÖZ Bu tez çalışmamda beni yönlendiren ve bana yardımcı olan çok değerli hocam Yrd. Doç. Dr. Özlem GİRGİN ATLIHAN’a ve desteklerini benden hiç esirgemeyen aileme teşekkür ederim. Onur GENÇ iv 1. GİRİŞ Klasik Yaklaşım Teorisi, Alman matematikçi Karl Weierstrass‟ın sonlu aralıkta sürekli olan her fonksiyona bu aralıkta yakınsayan bir polinom olacağını ispat etmesiyle başlamıştır. Birçok matematikçi bunun ispatını farklı şekilde ele almıştır. Örneğin Bernstein polinomlarının C 0,1 uzayındaki fonksiyonlara düzgün yakınsadığını ispatlamıştır. Daha sonraları lineer pozitif operatör dizilerinin yaklaşım özellikleri üzerine çalışılmıştır. Dolayısıyla Ln n dizisinin sürekli bir fonksiyona düzgün yakınsak olması için gerekli şartlar nelerdir sorusu akla gelmektedir. Bu sorunun cevabını iki matematikçi Bohman (1952) ve Korovkin (1953) birbirinden bağımsız olarak bulmuşlardır. Bu sonuçlar birçok matematikçinin bu yaklaşımları farklı uzaylara genişletmesine kaynak sağlamıştır. Böylelikle Yaklaşım Teorisi‟nin özel bir dalı olan Korovkin Tipi Yaklaşım Teorisi ortaya çıkmıştır. Kompakt bir aralıkta sürekli fonksiyonların yaklaşımı hakkındaki klasik Korovkin Teoremi, bir lineer pozitif operatör dizisinin birim operatöre yakınsayıp yakınsamayacağına ilişkin şartları belirler. Burada pozitif lineer operatör dizisinin birim operatöre yaklaşmaması durumunda yakınsaklık kaybını gidermek için Cesaro tipli toplanabilme metotlarını kullanmak yarar sağlar (Bojanic ve Khan 1992). Fejer, Cesaro metodunun sürekli periyodik fonksiyonların Fourier serisini yakınsak yapmada etkili olduğunu göstermiştir. Yaklaşım Teorisi‟nde son zamanlarda matris toplanabilme metodu kullanılarak lineer pozitif operatör dizilerinin yakınsaklığı çalışılmaktadır. Bu tezde 1983 yılında T. Nishishiraho tarafından bir matris toplanabilme yöntemi kullanılarak geliştirilen Korovkin tipli yaklaşım teoremleri incelenmiştir. 1 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR Bu bölümde ihtiyaç duyacağımız temel tanım ve kavramları vereceğiz. 2.1. Lineer Pozitif Operatörler Tanım 2.1.1. X boştan farklı bir küme, F reel veya kompleks sayıların bir cismi olsun. : XX X . : FX X fonksiyonları aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa, X kümesine F cismi üzerinde bir lineer uzay (vektör uzayı) denir. x, y, z X ve a, b F için L1 x y y x , L2 x y z x y z , L3 x x olacak şekilde X vardır, L4 x X için x x x x olacak şekilde bir x X vardır, L5 1.x x, L6 a x y ax ay, L7 a b x ax bx , L8 a bx ab x . Tanım 2.1.2. Vektör uzayları üzerinde tanımlı dönüşümlere operatör denir. 2 Tanım 2.1.3. X ve Y aynı cisim üzerinde iki lineer uzay olmak üzere L : X Y operatörü verilmiş olsun. Eğer, x, y X ve a, b F için L ax by a.L x b.L y şartları sağlanıyorsa L ' ye lineer operatör denir Maddox[14]. Tanım 2.1.4. X, Y vektör uzayları ve L : X Y lineer operatör olsun. operatörünün noktasındaki değeri L f ; x g x şeklinde gösterilir. uzayından alınan her f 0 fonksiyonu için L f 0 ise operatörüne pozitif operatör denir. Tanım 2.1.3 ve Tanım 2.1.4‟ü sağlayan L operatörüne lineer pozitif operatör denir. Teorem 2.1.5. X , Y vektör uzayları , L : X Y lineer pozitif operatör olsun. Bu taktirde, a) L operatörü monoton artandır. b) L( f ) L( f ) koşulları sağlanır. İspat a) f g olsun. f g g f 0 L( g ) L( f ) 0 L g L f elde edilir. Böylece operatörünü monoton artandır. b) L( f ) L( f ) L( f ) olduğunu gösterirsek istenilen elde edilir. f f f L( f ) L( f ) L( f ) L( f ) L( f ) L( f ) 3 L( f ) L( f ) Tanım 2.1.6. X kompleks veya reel vektör uzayı olmak üzere : X fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu fonksiyona X üzerinde bir norm ve X , ikilisine de normlu uzay denir. x, y X ve F olsun. N1 x 0 x , N2 x . x , N3 x y x y . Tanım 2.1.7. X boştan farklı bir küme ve d : X X fonksiyonu, aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa bu fonksiyona X üzerinde bir metrik ve X , d ikilisine de metrik uzay denir. x, y, z X olsun. M1 d x, y 0 x y , M 2 d x, y d y, x M3 d x, y d x, z d z, y [14]. Tanım 2.1.8. X , d metrik uzay ve xn bu uzayda bir dizi olsun. 0 için m, n n0 olduğunda d xn , xm olacak şekilde bir n n0 varsa xn dizisine Cauchy dizisi denir. Tanım 2.1.9. X , d metrik uzay ve xn bu uzayda bir dizi ve x X olsun. 0 için n n0 olduğunda d xn , x olacak şekilde bir n n0 varsa xn dizisine yakınsaktır denir. Tanım 2.1.10. X , d metrik uzayındaki her Cauchy dizisi X ' in bir elemanına yakınsıyorsa X , d ‟ye tam metrik uzay denir. [14]. 4 Tanım 2.1.11. Tam ve normlu bir lineer uzaya Banach uzayı denir. Tanım 2.1.12. X , d1 ve Y , d2 iki metrik uzay ve f : X Y bir fonksiyon a X olsun. 0 sayısı için d1 x, a olduğunda d2 f x , f a olacak şekilde 0 sayısı varsa f fonksiyonu a noktasında süreklidir denir. Eğer, f fonksiyonu x X için sürekli ise f „ye X uzayında süreklidir, kısaca süreklidir denir. 2.2. Temel Toplanabilme Kavramları Bu kısımda tezde ihtiyaç duyacağımız matris toplanabilme metodundan ve buna ilişkin bazı sonuçlardan söz edeceğiz. Öncelikle matris toplanabilme metodunu hatırlatacağız sonra da A - toplanabilme kavramı ile ilgili bazı bilgiler vereceğiz. Tanım 2.2.1. A : ank , k , n 1,2,3,... sonsuz matris ve bir x xk dizisi verilsin. Reel ya da kompleks terimli x dizisinin “ A dönüşüm “ dizisi Ax : Ax n ile gösterilir. Ayrıca Ax n ank xk k 1 şeklinde tanımlanır. (Burada her bir n için seri yakınsak kabul edilmektedir.) Eğer, lim Ax n L n koşulu gerçekleniyorsa x dizisi L değerine “ A toplanabilir ” denir. Eğer her yakınsak xn dizisi için lim xn L n olduğunda sağlanıyorsa A regüler matris adını alır [14], [5]. 5 lim Ax n L n koşulu A ank matrisinin regüler olması aşağıdaki Silverman-Toeplitz Teoremi ile karakterize edilir. Teorem 2.2.2. Bir A ank matrisinin regüler olması için gerek ve yeter koşul i ) sup ank , n k 1 ii) Her k için ak lim ank 0 , n iii lim ank 1 n k 1 koşullarının sağlanmasıdır [5],[14]. Bell[2], ve Steiglitz[22] Tanım 2.2.1‟ deki düşünceyi kullanarak A ank matrisi yerine A : A n akj n matris dizisini alarak daha genel olan aşağıdaki tanımı vermişlerdir. n n Tanım 2.2.3. A : A akj , k , j 1, 2,3,... sonsuz matrislerin bir dizisi olmak üzere, verilen bir x x j dizisi için lim akj n x j L , ( n ‟ye göre düzgün) k j 1 koşulu gerçekleniyorsa x j dizisi L değerine “A toplanabilir “ denir [2], [22]. Eğer n için A( n ) A ise A toplanabilme klasik matris toplanabilmeyi verir. I birim matris olmak üzere, n için A( n) I ise A toplanabilme klasik yakınsaklığa indirgenir. 6 2.3. Süreklilik Modülü Bu kısımda 4. Bölümde yakınsaklık oranı olarak adlandırılan hesaplamayı yaparken kullanılacak olan süreklilik modülü kavramı ve özellikleri verilecektir. Tanım 2.3.1. f C a, b olsun. f fonksiyonunun süreklilik modülü w f , şeklinde gösterime sahip olup w f , sup xa ,b , x t f x f t şeklinde tanımlıdır Altimore[1]. Teorem 2.3.2. Süreklilik modülü aşağıdaki özellikleri sağlar. (i) w f , 0 (ii) 1 2 w f , 1 w f , 2 (iii) w f g, w f , w g, (iv) w f , m m.w f , (v) R için w f , 1 .w f , (vi) w f , t x f t f x (vii) tx f t f x 1 .w f , İspat. (i) w f , 0 olduğu açıktır. (ii) 1 2 ise t x 1 , t x 2 kümesi tarafından Dolayısıyla supremum özelliğinden w f , 1 w f , 2 bulunur. (iii) w f g, w f , w g, olduğu açıktır. 7 kapsanır. (iv) w f , m sup f t f x t x m . t , x a ,b w f ; m. sup f x mh f x h m 1 sup f x k 1 h f x kh h k 0 h a ,b m 1 sup f x k 1 h f x kh h k 0 w f ; w f ; ... w f ; m.w f ; (v) için 1 1 w f ; w f ; 1 1 .w f ; 1 .w f ; (vi) w f ; t x sup f t f x f t f x t x x ,t a ,b elde edilir. (vii) tx tx f t f x w f ; . 1 .w f ; şeklindedir. 8 3. KOROVKIN TEOREMLERİ Bu bölümde yaklaşımlar teorisinde önemli bir yeri olan 1953‟te Korovkin[10] tarafından verilen yaklaşım teoremlerini ve bu teoremlerin ispatlarını vereceğiz. Burada kullanılan C a, b uzayı a, b aralığında tanımlı reel değerli sürekli fonksiyonlar uzayı olup f Ca ,b sup f x xa ,b normuna göre Banach Uzayı‟dır. Teorem 3.1. Ln : C a, b C a, b lineer pozitif operatörlerin dizisi olsun. fi t t i , i 0,1, 2 olmak üzere aşağıdaki önermeler denktir. i f C a, b için lim Ln f f ii lim Ln fi fi 0 [10]. n C a ,b 0. n İspat. Yeterliliğin ispatı açıktır. Çünkü, f C a, b için eşitlik sağlandığına göre f1 t 1, f2 t t , f3 t t 2 ile verilen fonksiyonlar C a, b uzayının elemanı olduğundan istenen eşitlik sağlanır. Şimdi gerekliliğin ispatına geçelim. f C a, b olduğundan 0 için t x koşulunu sağlayan t , x için f t f x olacak şekilde vardır öyle ki t x ise tx t x 1 2 2 1 olur. Buradan, f t f x f t f x 2 M f 2M f 9 t x 2 2 elde edilir. Buna göre tüm ‟de t x f t f x 2M f 2 2 olduğu görülür. Bulunan son eşitsizliğe Ln lineer pozitif operatörü uygulanırsa, Ln 2 t x f t f x ; x Ln 2M f ; x 2 Ln f t f x ; x Ln 1; x Ln 1; x 2M f Ln 1; x 2M f 2 Ln t x ; x 2 L t ; x 2 xL t; x x L 1; x 2 2 n 2 2 2.M f n n L t ; x x 2 2 n 2 x Ln t; x x x 2 Ln 1; x 1 Ln 1; x 1 L t ; x x 2M f 2 2 n 2 2x Ln t; x x x 2 Ln 1; x 1 Ln 1; x 1 2M f 2 L t ; x x 2 2 x Ln t; x x x 2 Ln 1; x 1 Ln1 1 2M f 2 Lt n 2 2 n x 2 2b Lnt x b 2 Ln1 1 elde edilir. Burada n için limit alınırsa Ln f t f x ; x 10 (3.1) bulunur. Şimdi de Ln f f sup Ln ( f t ; x) f x 0, n xa ,b olduğunu gösterelim. Ln f t ; x f x Ln f t ; x Ln f x ; x Ln f x ; x f x Ln f t f x ; x f x Ln 1; x 1 Ln f t f x ; x f . Ln 1; x 1 eşitsizliği gerçeklenir. Hipotez ve (3.1) nedeniyle f C a, b için lim sup Ln ( f (t ); x) f x 0 n xa ,b olduğu görülür. Örnek 3.2. C 0,1 deki Bernstein operatörünün Korovkin teoreminin şartlarını sağladığını gösteriniz. Çözüm. C 0,1 de verilen Bernstein Operatörü n nk k n Bn f ; x f x k 1 x k o n k şeklinde tanımlı olup, n n n nk Bn 1; x 1. x k 1 x x 1 x 1 k 0 k bulunur. O halde lim Bn1 1 0 olduğu açıktır. n 11 k n k nk x 1 x k 0 n k Bn t; x n k n! nk x k 1 x k 1 n k ! n k ! n n 1! x k 1 1 x nk 1 k 0 k ! n k 1 ! n 1 x 1 x x n 1 x olduğundan lim maks Bn t; x x 0 n 0 x 1 elde edilir. n k2 k2 n k n! nk nk x 1 x x k 1 x 2 2 k 0 n k k 1 n k ! n k ! Bn t 2 ; x n n 1! xk 1 x nk n 1 n 1! xk 1 x nk k 1 k 2 n k 1 ! n k ! k 1 n k 1! n k ! n n 1! xk 2 1 x n2k n1 1 n 1! xk 1 1 x n1k k 0 n.k ! n 2 k ! k 0 n k ! n 1 k ! n2 n 1 2 n2 n 2 k x n1 n 1 k n 2 k n 1 k x x 1 x x 1 x k 0 k n n k 0 k x2 x x2 n eşitliği gerçeklenir. O halde, lim maks Bn t 2 ; x x 2 0 olduğu görülür. n 0 x 1 12 Örnek 3.3. C 0, r ’ de verilen Szasz Operatörünün Korovkin Teoreminin şartlarını sağladığını gösteriniz. Çözüm. C 0, r ’ de verilen Szasz Operatörü S n ( f ; x) e nx k nx f n k! k 0 k şeklinde tanımlı olup Sn 1; x e nx nx k e nx enx 1 k! k 0 bulunur. O halde lim Sn1 1 0 olduğu açıktır. n Sn t ; x e nx k nx k! k 0 n k nk 1 x k k 1 k 1 ! e nx n k x k 1 k! k 1 e nx x.e nx nx k 0 k k! x olduğundan lim maks Sn t ; x x 0 elde edilir. n 0 x r Sn t ; x e 2 nx k k 0 n e nx k k 1 13 2 nx k! nk 2 x k k 1! k e nx k 1 k 1 e nx nk 2 x k nk 2 x k e nx k 1! k 1 k 1 ! nk xk 2 n k 1 x k 1 nx e k! k! k 0 k 0 2 nx x e x2 n k x k x nx n k x k e n k 0 k ! k 0 k ! x n eşitliği gerçeklenir. O halde, lim maks Sn t 2 ; x x 2 0 elde edilir. n 0 x r Şimdi periyodik fonksiyonlar uzayında verilen Korovkin tipli yaklaşım teoremi verelim. Teorem 3.4. C 0, 2 , 2 periyotlu sürekli fonksiyonlar uzayı ve lineer pozitif operatörlerin dizisi Ln : C 0,2 C 0,2 olsun. Bu taktirde aşağıdaki önermeler denktir. i f C a, b için lim n Ln f f C0,2 0. ii f1 t 1 , f2 t sin t , f3 t cos t için lim Ln fi fi 0 . n İspat. Yeterliliğin ispatı açıktır. f C 0,2 için eşitlik sağlandığına göre f1 t 1, f2 t sin t , f3 t cos t ile verilen fonksiyonlar için de istenen eşitlik sağlanır. Şimdi gerekliliğin ispatına geçelim. f sürekli olduğundan 0 için 0 vardır öyle ki x t koşulunu sağlayan x için f x f t 14 (3.2) gerçeklenir. f , de sınırlı olduğundan f x f t f x f t 2M f (3.3) elde edilir. Şimdi x t , 2 t aralığını alalım. t x t 2 x t 2 olur. Son olarak x t 2 aralığını alalım. 2 x t x t sin sin 2 2 2 2 x t sin 2 1 sin sin 2 sin 2 x t 2 1 2 (3.4) 2 elde edilir. Dolayısıyla (3.2) , (3.3) ve (3.4) ifadeleri nedeniyle, f x f t 2M f .1 2M f . sin 2 x t sin 2 2 (3.5) 2 bulunur. Bu son eşitsizliğe Ln lineer pozitif operatörü uygulanırsa, Ln f ; x f x Ln f t f x ; x f x . Ln 1; x 1 2 x t sin 2 .Ln 1; x 2M f .Ln ; x f x . Ln 1; x 1 sin 2 2 15 (3.6) olduğu görülür. x t 1 cos x t sin 2 2 2 ve sinüs ve cosinüs fonksiyonları 2 periyotlu olduğundan sin x 2k sin x ve cos x 2k cos x eşitlikleri sağlanır. Şimdi (3.5) eşitsizliğinde x 2k x yazarsak, f x 2k f t 2M f .1 2M f . sin 2 x 2 k t 2 sin 2 ve 2 x t , 2 t x 2 2 t , 4 t x 4 4 t , 6 t ... x 2k 2k t , 2k 2 t olduğundan t , 2 t kısıtlanmasında çalışmak yeterlidir. Şimdi (3.6) eşitsizliğini tekrar ele alalım. Ln f ; x f x .Ln 1; x 2M f . x t ; x Ln sin 2 2 sin 2 2 1 + f x . Ln 1; x 1 .Ln 1; x 2M f . .Ln 1; x 2M f 1 cos x.cos t sin x.sin t Ln ; x + f x . Ln 1; x 1 2 2 2 sin 2 1 1 Ln 1; x cos x.Ln cos t; x sin x.Ln sin t; x sin 2 2 2 1 n için limit alınırsa, keyfi olduğundan 16 lim Ln f f 0 n elde edilir. Şimdi çift değişkenli lineer pozitif operatör dizileri için Klasik Korovkin Teoremini verelim. Burada I a, b , J c, d ve K I J olmak üzere C K vektör uzayı ise K üzerinde tanımlı sürekli fonksiyonların uzayı ile gösterilecektir. Bu uzay üzerindeki norm ise f sup f x, y x , y K şeklinde tanımlıdır. Teorem 3.5. Ln , C K dan C K uzayına tanımlı pozitif lineer operatör dizisi olsun. Eğer, lim sup Ln 1; x, y 1 0, n x, y lim sup Ln t ; x, y x 0, n x, y lim sup Ln ; x, y y 0 n x, y ve limsup Ln t 2 2 ; x, y x 2 y 2 0 n x, y koşulları gerçeklenirse, her f C K için limsup Ln f t , ; x, y f x, y 0 n x, y sağlanır. İspat f C K alalım. O halde 0 için vardır koşulu sağlandığında 17 x, y t , f t , x, y eşitsizliği sağlanır. x, y t , x, y t , 1 x t y 2 2 1 2 elde edilir. Ayrıca f fonksiyonu sınırlı olduğundan f t , f x, y 2.M f eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla f t , f x, y 2.M f x t y . 2 2 2 elde edilir. O halde tüm kümesinde f t , f x, y 2.M f x t y . 2 2 2 eşitsizliği gerçeklenir. f t , f x, y 2M f 2 . x 2 y 2 2 xt y t 2 2 eşitsizliğinin her iki tarafına Ln lineer pozitif operatörünü uygularsak, Ln f t , ; x, y Ln f x, y ; x, y .Ln 1; x, y + 2M f 2 . x 2 y 2 .Ln 1; x, y 2x.Ln t; x, y 2 y.Ln ; x, y Ln t 2 2 ; x, y olur. Bu eşitsizliği düzenlersek 18 Ln f t , ; x, y Ln f x, y ; x, y .Ln 1; x, y 2M f . x 2 y 2 . Ln 1; x, y 1 2x. Ln t; x, y x 2 y. Ln ; x, y y Ln t 2 ; x, y x 2 y 2 2 2 elde edilir. O halde eşitsizliğin son hali Ln f t , ; x, y Ln f x, y ; x, y . Ln 1; x, y 2M f 2 x 2 y 2 . Ln 1; x, y 1 2 x . Ln t; x, y x 2 2 2 2 2 y . Ln ; x, y y + Ln t ; x, y x y şeklinde olup burada n için limit alınırsa, Ln f t , ; x, y Ln f x, y ; x, y (3.7) eşitsizliği bulunur. Ln f t , ; x, y f x, y Ln f t , ; x, y Ln f x, y ; x, y Ln f x, y ; x, y f x, y f x, y Ln 1; x, y 1 eşitsizliği gerçeklenir. (3.7) nedeniyle Ln f t , ; x, y f x, y elde edilir. yeterince keyfi olduğundan, limsup Ln f t , ; x, y f x, y 0 n x, y bulunur. Teorem 3.6. n n A : A akj terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz regüler matris, L j , C* 2 den C* 2 ye lineer pozitif opreratör dizisi, f0 u, v 1, f1 u, v cos u , f2 u, v sin u , f3 u, v cos v , f 4 u, v sin v 19 olsun. Bu taktirde aşağıdaki önermeler denktir. i fi u, v C* 2 ii lim n için lim Ln fi fi 0 . n Ln f f 0 . İspat. Yeter şartın ispatı aşikardır. Şimdi gerek şartın ispatına geçelim. f C * 2 , olmak üzere I ve J 2 uzunluğunda kapalı aralıklar olsun. f sürekli olduğundan 0 için x, y I J vardır u x , v y olduğunda f u, v f x, y (5.1) şeklindedir. Diğer yandan f C * 2 olduğundan f u, v f x, y 2 f eşitsizliği sağlanır.Şimdi 2 boyundaki x , 2 x (5.2) ve y , 2 y aralıkları düşünelim. x u 2 2 x u 2 xu sin 2 2 1 sin 2 2 ve benzer işlemlerle yv sin 2 2 1 sin 2 2 elde edilir. u, v x , 2 x y , 2 y için 20 f u, v f x, y 2 f sin 2 . u, v (5.3) 2 bulunur. Burada ux 2 yv sin 2 2 u , v sin 2 1 2 cos u.cos x sin x.sin u cos y.cos v sin y.sin v 2 (5.4) şeklindedir. (5.4)‟ e Ln lineer pozitif operatörü uygulanırsa, Ln ; x, y 1 2 Ln f 0 ; x, y cos x.Ln f1; x, y sin x.Ln f 3 ; x, y 2 cos y.Ln f 2 ; x, y sin y.Ln f 4 ; x, y (5.5) elde edilir. Şimdi (5.3)‟e Ln lineer pozitif operatör uygulanırsa, Ln f ; x, y f x, y f . Ln f 0 ; x, y f 0 x, y 2 f sin 2 Ln ; x, y 2 sağlanır. Bu eşitsizlikte (5.5) eşitliğini kullanırsak Ln f ; x, y f x, y + 2 f Ln f0 ; x, y f 0 x, y f 2 sin 2 f sin 2 2 L f ; x, y f x, y L f ; x, y f x, y n 1 1 n 2 + Ln f3 ; x, y f3 x, y Ln f 4 ; x, y f 4 x, y yazılabilir. Bu eşitsizliğin supremumu alınırsa 21 2 (5.6) Ln f f B Ln f 0 f 0 Ln f1 f1 Ln f 2 f 2 Ln f 3 f 3 Ln f 4 f 4 bulunur. Burada B f 2 f sin 2 2 dır. Böylece elde edilen son eşitsizlikte n için limit alınırsa istenen sonuç elde edilir. 22 4. TOPLANABİLME VE KOROVKIN TİPLİ TEOREMLER Bu bölümde Nishishiraho[17] tarafından A-Toplanabilme metodu kullanılarak geliştirilen Korovkin tipli yaklaşım teoremleri ve bu teoremlerin ispatları incelenmiştir. Tanım 4.1. A A n {akj( n ) }, k , j 1, 2,3,... reel terimli sonsuz matris dizisi olmak üzere, her j için Lj : C a, b C a, b lineer pozitif operatör olsun. Eğer her f C a, b için L j f dizisi f fonksiyonuna A Toplanabilir ise yani her f C a, b için lim k a (n) kj L j f f 0 , ( n „ye göre düzgün) j koşulu gerçekleniyorsa L j dizisine “A toplam süreci “ adı verilir. L j , C a, b uzayını C a, b uzayına dönüştüren her bir n, k için a j 1 L j 1 n kj (4.1) koşulunu sağlayan lineer pozitif operatörlerin bir dizisi olsun. Bu durumda her bir n, k ve f C a, b için Bk( n ) ( f ; x) akj( n ) L j ( f (t ); x ) , k 1, 2,3,... j 1 ile tanımlı operatörü ele alalım. Bk( n) ( f ) sup Bk( n) ( f ; x) xa ,b sup a x a .b j 1 23 (n) kj Lj f t ; x sup a x a .b j 1 f sup (n) kj Lj f ; x a x a ,b j 1 (n) kj L j 1; x f . Bk n 1 elde edilir. Burada (4.1) koşulu nedeniyle Bk n operatörü, her bir n, k için anlamlı olup Bk( n) ( f ) B a, b olur. Şimdi [17]‟deki toplam süreci yardımıyla geliştirilen Korovkin tipli teoremleri ve bu teoremlerin ispatlarını verelim. n n Teorem 4.2. A : A akj terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz matrislerin bir dizisi olsun. L j , C a, b den C a, b ye dönüşüm yapan ve (4.1) koşulunu sağlayan lineer pozitif opreratör dizisi, fi t t i , i 0,1,2 olsun. Bu taktirde aşağıdaki önermeler denktir. i f C a, b için lim k ii lim k Bk n f f 0 , ( n‟ye göre düzgün ). Bk n fi fi 0 , ( n‟ye göre düzgün ). İspat. Yeterliliğin ispatı açıktır. Çünkü, f C a, b için eşitlik sağlandığına göre f1 t 1, f2 t t , f3 t t 2 ile verilen fonksiyonlar C a, b uzayının elemanı olduğundan istenen eşitlik sağlanır. Şimdi gereklilik kısmını ispatlayalım. f C a, b alalım. O halde 0 için t x iken t , x için f t f x 24 yazılır ve t x ise tx 2 2 1 olacağından ve f sınırlı olduğundan f t f x f t f x 2M f t x . 2 2 olduğu görülür. Bu durumda tüm ‟de f t f x 2M f t x . 2 2 olur. Bk n lineer pozitif operatör olduğundan Bk( n) ( f (t ); x) f x Bk( n ) ( f (t ); x) Bk( n ) ( f ( x); x) Bk( n ) ( f ( x); x) f x Bk( n ) f (t ) f ( x) ; x f ( x) . Bk( n) (1; x) 1 n Bk 2 t x ; x 2M f . f ( x) . Bk( n ) (1; x) 1 2 .Bk n 1; x 2M f .Bk n 1; x 2M f 2 2 2 Bk n t x ; x f ( x) . Bk( n) (1; x) 1 Bk n t 2 ; x 2 x.Bk n t; x x 2 .Bk( n ) 1; x f ( x) . Bk( n) (1; x) 1 elde edilir. Bulunan son eşitsizlikte k için limit alınırsa, keyfi olduğundan, f C a, b için lim Bk n fi fi 0 , n ' ye göre düzgün) n olduğu görülür. Şimdi çift değişkenli fonksiyonlar için Teorem 3.5 „te verilen Klasik Korovkin Teoreminin toplam süreci kullanılarak geliştirilmiş hali olan aşağıdaki teoremi ve bu teoremin ispatını inceleyelim. 25 Teorem 4.3. A : A n akj n terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz matrislerin bir dizisi olsun. Lj : C K C K olmak üzere (4.1) koşulunu sağlayan lineer pozitif opreratörlerin bir dizisi olsun. Bu taktirde n‟ye göre düzgün olarak lim sup Bk( n ) Ln 1; x, y 1 0 k x, y lim sup Bk( n ) Ln t ; x, y x 0 k x, y lim sup Bk( n ) Ln ; x, y y 0 k (n) k lim sup B k x, y x, y L t n 2 2 ; x, y x 2 y 2 0 koşulları gerçeklenirse, f C K için limsup Bk( n) f t , ; x, y f x, y 0 , (n‟ye göre düzgün ) k x, y dır. İspat. f C K alalım. 0 için vardır x, y t , koşulunu sağlandığında f t , x, y elde edilir. Buradan x, y t , x, y t , 1 x t y 2 2 olduğu görülür. Ayrıca f fonksiyonu sınırlı olduğundan f t , f x, y 2.M f eşitsizliği sağlanır. O halde 26 2 1 f t , f x, y 2.M f x t y . 2 2 2 gerçeklenir, dolayısıyla tüm kümesinde f t , f x, y 2.M f x t y . 2 2 2 eşitsizliği sağlanır. 2M f f t , f x, y 2 . x 2 y 2 2 xt y t 2 2 eşitsizliğinin her iki tarafına Bk n lineer pozitif operatörünü uygularsak, Bk( n ) Ln f t , ; x, y Bk( n ) Ln f x, y ; x, y .Bk( n) Ln 1; x, y + 2M f 2 . x 2 y 2 .Bk( n ) Ln 1; x, y 2x.Bk( n) Ln t; x, y 2 y.Bk( n) Ln ; x, y Bk( n ) Ln t 2 2 ; x, y eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik düzenlenirse, Bk( n ) Ln f t , ; x, y Bk( n ) Ln f x, y ; x, y .Bk( n) Ln 1; x, y 2M f 2 . x 2 y 2 .Bk n Ln 1; x, y 1 2 x. Bk( n ) Ln t ; x, y x 2 y. Bk( n ) Ln ; x, y y Bk( n) Ln t 2 2 ; x, y x 2 y 2 bulunur. Dolayısıyla eşitsizliğin son hali Bk( n ) Ln f t , ; x, y Bk( n ) Ln f x, y ; x, y . Bk( n) Ln 1; x, y + 2M f 2 . x 2 y 2 . Bk( n ) Ln 1; x, y 1 2 x . Bk( n ) Ln t; x, y x 2 x . Bk( n ) Ln t; x, y x 27 2 y . Bk( n ) Ln ; x, y y Bk( n) Ln t 2 2 ; x, y x2 y 2 olur. Burada k için limit alınırsa, Bk( n ) Ln f t , ; x, y Bk( n ) Ln f x, y ; x, y (4.2) eşitsizliği bulunur. Bu taktirde Bk( n ) Ln f t , ; x, y f x, y Bk( n ) Ln f t , ; x, y Bk( n ) Ln f x, y ; x, y Bk( n ) Ln f x, y ; x, y f x, y f x, y Bk( n ) Ln 1; x, y 1 gerçeklenir. (4.2) nedeniyle bu son eşitsizlik Bk( n ) Ln f t , ; x, y f x, y halini alır. 0 keyfi olduğuna göre, limsup Bk( n ) Ln f t , ; x, y f x, y 0 , n ' ye k x, y bulunur. 28 göre düzgün) 5. YAKINSAKLIK ORANI Daha önceki bölümlerde Ln f fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna belirli koşullar altında yakınsamasına ilişkin teoremleri incelemiştik. Burada Ln f ; x f x farkı sıfıra yakınsayan bir fonksiyon dizisi olarak göz önüne alınabilir. Ln f ; x f x n eşitsizliğinde n 0 olacak şekilde küçülen n dizisi bulunabiliyorsa n ‟nin sıfıra yaklaşım hızı Ln f ‟in f ‟e yaklaşım hızını değerlendirmemize yardımcı olur. Bu bölümde [11] ve [20] kaynakları incelenmiştir ve süreklilik modülü kullanılarak bulunan yaklaşım oranlarına dair olan teoremler verilmiştir. Teorem 5.1. Ln : C a, b C c, d , c, d a, b lineer pozitif operatörlerin dizisi olsun. x c, d ise Ln f ; x f x f x . Ln 1; x 1 Ln 1; x Ln 1; x .w f ; n ( x) eşitsizliği gerçeklenir. Burada n2 x Ln t x ; x şeklindedir. 2 İspat Süreklilik modülünün özelliğinden tx tx f t f x w f ; . 1 .w f ; sağlanır. Burada eşitsizliğe Ln lineer pozitif operatörü uygulanırsa, Ln f ; x f x Ln f t f x ; x Ln f x ; x f x Ln f t f x ; x f x . Ln 1; x 1 Ln t x ; x w f ; . Ln 1; x f x . Ln 1; x 1 bulunur. Bu eşitsizliğin sağ tarafına Cauchy-Schwartz eşitsizliği uygulanırsa, 29 1 1 L t x 2 ; x 2 L 12 ; x 2 n n Ln f ; x f x w f ; Ln 1; x + f x . Ln 1; x 1 2 elde edilir. O halde n x Ln t x ; x 1 2 alınırsa, n x Ln 1; x Ln f ; x f x w f ; . Ln 1; x + f x . Ln 1; x 1 n alınırsa, Ln f ; x f x w f ; n ( x) . Ln 1; x Ln 1; x f x . Ln 1; x 1 bulunur. Bu ise aranan sonuçtur. Teorem 5.2. Ln : C 0, 2 C 0, 2 pozitif lineer operatörlerin bir dizisi ve f C 0, 2 olsun. Bu taktirde Ln f f f . Ln 1 1 w n Ln 1 1 eşitsizliği gerçeklenir. Burada x t n x . Ln sin 2 ; x 2 dır. İspat x 0, 2 alalım ve t R olsun. t x t x .sin 30 tx 2 1 2 şeklinde olup tx f t f x w t x w . tx .w f ; 1 t x 2 1 .w f ; elde edilir. 2 t x f t f x 1 2 sin 2 .w f ; 2 olduğu görülür. Bu ise t x ve t x olduğunda k Z olmak üzere t 2k x eşitsizliğinin sağlandığını gösterir. Dolayısıyla tüm ‟de 2 t x f t f x 1 2 sin 2 .w f ; 2 eşitsizliği gerçeklenir. Bu eşitsizlikte her iki tarafa Ln operatörü uygulanırsa, Ln f t f x ; x Ln f t f x ; x t x 2 Ln 1; x 2 Ln sin 2 ; x .w f ; 2 n2 x Ln 1; x .w f ; 2 bulunur. Burada n 0 ve n alınırsa; 31 Ln f t f x ; x Ln 1; x 1.w f ; n f x . Ln 1; x 1 w n . Ln 1 1 f x . Ln 1; x 1 elde edilir. Bu ise ispatı tamamlar. Burada dikkat edilmelidir ki n için n 0 olduğundan Ln f t ; x f x 0 dır, bu da ispatı tamamlar. Şimdi [20]‟de verilen teoremi inceleyelim. n n Teorem 5.3. A : A akj terimleri negatif olmayan reel terimli sonsuz matrislerin bir dizisi olsun. L j :C a, b C a, b (4.1) koşulunu sağlayan lineer pozitif opreratörlerin dizisi olsun. Bu taktirde Bk n ( f ) f f . Bk n (1) 1 w( k n ). Bk n (1) 1 eşitsizliği gerçeklenir. Burada kn x Bk n (t x)2 dır. İspat. Süreklilik modülünün özelliğinden tx tx f t f x w f ; . 1 .w f ; olduğunu biliyoruz. Bk( n) ( f (t ); x) f x Bk( n) ( f (t ); x) Bk( n) ( f ( x); x) Bk( n) ( f ( x); x) f x Bk( n) f (t ) f ( x) ; x f ( x) . Bk( n) (1) 1 32 t x .w f , ; x f ( x) . Bk( n ) (1) 1 Bk n 1 n Bk t x 2 1 .w f , ; x f ( x) . Bk( n ) (1) 1 2 n n t x w f , Bk 1 Bk ; x f ( x) . Bk( n ) (1) 1 2 1 2 w f , Bk n 1 2 Bk n t x ; x + f ( x) . Bk( n ) (1) 1 elde edilir. Burada : k n Bk n t x ; x 2 alınırsa, Bk n f f w k n Bk n 1 1 f . Bk( n ) (1) 1 olduğu görülür. Bu da ispatı tamamlar. 33 KAYNAKLAR [1]. Altomare, F. and Campiti, M., 1994: Korovkin type Approximation Theory and its Application, Walter de gruyter publ., Berlin, Germany. [2]. Bell, H. T., 1973: Order summability and almost convergence. Proc. Amer. Math. Soc., 38; 548-552. [3]. Bohman, H., 1952: On approximation of continuous and analytic functions. Ark. Mat., 2; 43-56. [4]. Bojanic, R. and Khan, M. K., 1992: Summability of Hermite-Fejer interpolation for functions of bounded variation. J. Nat. Sci. Math., 32; 5-10. [5]. Boos, J., 2000: Classical and Modern Methods in Summability. Oxford Mathematical Monographs, Oxford Science Publ., London. [6]. Freedman, A. R., Sember, J. J. and Raphel, M., 1978: Some Cesarotype summability spaces. Proc. London. Math. Lett. 18; 13391344. [7]. Gadjiev A.D, 1976: Theorems of the type of P.P. Korovkin‟s theorems. Mat. Zametki, 20; 781-786. [8]. Hacıyev, A. ve Hacısalihoğlu, H. H., 1995: Lineer Pozitif Operator Dizilerinin Yakınsaklığı. Ankara Üniversitesi Yayınları. [9]. King, J. P. and Swetits, J. J., 1970: Positive linear operators and summability. J. Austral. Math. Soc., 11; 281-290. [10].Korovkin, P. P., 1953: On convergence of linear positive operators in the space of continuos functions. Doklady Akad. Nauk SSSR. 90; 961-964. [11]. Korovkin, P. P., 1960: Linear Operators and Theory of Approximation. Hindustan publ. Co., Delhi. [12]. Lorentz, G. G., 1948: A contribution to the theory of divergent sequences. Acta Math., 80; 167-190. [13]. Lorentz, G. G., 1986: Bernstein polynomials. Chelse Publ. Company. New York. 34 [14]. Maddox, I. J., 1978: A new type of convergence. Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 83; 61-64. [15]. Miller, H. I. and Orhan, C., 2001: On almost convergent and statistically convergent subsequences. Acta Math. Hungar., 93; 135-151. [16]. Mohapatra, R. N., 1977: Quantitative results on almost convergence of a sequence of positive linear operators. J. Approx. Theory. 20; 239-250. [17]. Nishishiraho, T., 1981: Quantitative theorems on linear approximation processes of convolution operators in Banach spaces. Tohoku Math. J., 33; 109-126. [18]. Nishishiraho, T., 1983: Convergence of positive linear approximation process. Tohoku Math. J., 33; 109-126. [19]. Rudin, W., 1953: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Book Company. New York, USA. [20]. Swetits, J.J., 1979: On summability and positive linear oparators. J. Approx. Theory, 25; 186-188. [21]. Zygmund, A., 1979: Trigonometric Series. Cambridge University Press. [22].Stieglitz, M., 1973: Eine verallgenmeinerung des begriftts festkonvergenz. Math. Japonica, 18; 53-70. 35