Işığın Kutuplanması © 2008 HSarı 1 Ders İçeriği • • • • • © 2008 HSarı Kutuplanma Doğrusal Kutupluluk Dairesel Kutuplanma Eliptik Kutuplanma Jones Vektörleri ve Matrisleri 2 Işığın Kutuplanması z-yönünde ilerleyen EM dalga (ışık) için elektrik ve manyetik alan bileşenleri x E i (k.z E(z, t) = Eo e −ωt +φ ) y H z, k i (k.z H (z, t) = H o e −ωt +φ ) Işığın kutuplanma doğrultusu elektrik alanın doğrultusudur. Manyetik alan doğrultusunu değil de elektrik alanı seçmek optikte gelenektir. x i Eo z j y © 2008 HSarı − i(kz −ωt +φ ) E (z, t) = Eo e = ( Eox iˆ + Eoy ˆj )e − i(kz −ωt +φ) k Eo alanının yönü ışığın kutuplanma doğrultusudur 3 Kutuplanmamış Işık Doğal ışık (kutuplanmamış ışık) anlık elektrik alan doğrultusu (Eo) ışığın yayılma doğrultusuna dik düzlem içinde (ışık z-doğrultusunda yayılıyor ise, xy düzlemi) kalacak şekilde zaman içinde sürekli değişim göstermektedir. Kutuplanmamış ışığın kutuplanma yönü gelişigüzel değişir KutuplanMAmış Işık k E (örnek: Termal ışık kaynakları, LED, güneş ışığı) E E ε2 k ε1 E x y k ν=(ε2-ε1)/h z t=0 Kutuplanmış Işık (örnek: lazerler) E E ε2 k x E k ε1 © 2008 HSarı E ν=(ε2-ε1)/h k y z t=0 4 Işığın Kutupluluğunun Önemi - Kırılma indisleri farklı iki ortamın ara yüzeyinden yansıyan ve ikinci ortama geçen ışığın miktarı kutuplanmaya bağlıdır - Işığın bir ortamda soğrulması ve saçılması kutuplanma doğrultusuna bağlıdır - Anizotropik ortamdaki hız kutuplanmaya bağlıdır - Işığın kutuplanma özelliğine dayanan bir çok optoelektronik devre elemanı vardır (sıvı kristaller, genlik modülatörleri) © 2008 HSarı 5 Işığın Kutupluluğu +z doğrultusunda ilerleyen, genlikleri (Eo1 ve Eo2) olan, birbirlerine dik iki EMD’yi düşünelim. Bu iki dalganın aralarında birbirlerine göre faz farkı δ ise bu dalgaları ˆ o 2 cos(kz − ωt ) E1 = iE x j E1 z i y x k δ E2 = ˆjEo 2 cos(kz − ωt ± δ ) z k y E2 Toplam elektrik alan bu iki alanın vektörel toplamı olacağı için E=E1+E2 ˆ o1 cos(kz − ωt ) + ˆjEo 2 cos(kz − ωt ± δ ) E = iE Alan genlikleri ve faz farkı δ’ye bağlı olarak Her hangi Eo1 ve Eo2 ve δ=0 ve π © 2008 HSarı Doğrusal Kutuplu Eo1=Eo2=Eo ve δ = π/2 Dairesel Kutuplu Eo1≠Eo2 Eliptik Kutuplu ve δ = π/2 6 Doğrusal Kutupluluk δ=0 Doğrusal Kutuplu ˆ o1 cos(kz − ωt ) + ˆjEo 2 cos(kz − ωt ) E = iE Doğrusal kutuplanmış ışıkta alan doğrultusu zaman içinde değişmez x-doğrultusunda kutuplanmış ışığın doğrultusu zamanla değişmez (yönü ise ω sıklığı ile değişir) x x x-Kutuplanma doğrultusu E x Eo E +z y H y y H z, k z=0 , E(t) © 2008 HSarı t=0 , E(z) x-doğrultusunda doğrusal kutuplanmış ışık 7 Doğrusal Kutuplulu Işık-2 Eo1 ≠ Eo2 ve δ =0 x φ x E Eo φ Eox tan φ = Eoy Eox +z y Eoy z H z=0 , E(t) © 2008 HSarı y t=0 , E(z) Eo1=Eo2 ve δ=0 tanφ=45o 8 Doğrusal Kutuplayıcı Doğrusal kutuplayıcı, kutuplanmamış ışığı doğrusal olarak kutuplayan optik elemandır. Doğrusal kutuplayıcının bir çok çeşidi vardır. “dichroism” olarak bilinen özellik doğrusal kutuplayıcılarda ışık soğurması izotropik olmayan maddelerdir. Bu özellikteki maddelerde belli bir doğrultuda kutuplanmış ışığın soğrulması diğer doğrultulara göre daha fazladır dolayısı ile bu maddede ilerleyen ışığın sadece bir doğrultuda alan çizgileri soğrulmadan geçebilir Doğrusal Kutuplanmış ışık Kutuplanmamış ışık E Gelen ışık Kutuplanmamış ışık E Geçiş Ekseni, çok az kayıpla veya kayıpsız olarak ışığın geçebildiği eksen © 2008 HSarı 9 Doğrusal Kutuplayıcı Doğrusal Kutuplanmış ışık E Kutuplanmamış ışık I Gelen ışık I1 E1=E.cos[θ(t)] θ Işık şiddeti Ortalaması alındığında I1=I.cos2θ I1=I<cos2θ>=Ι/2 Geçiş Ekseni, çok az kayıpla veya kayıpsız olarak ışığın geçebildiği eksen © 2008 HSarı 10 Dairesel Kutuplu Işık-1 Genlikleri aynı (Eo), doğrusal olarak birbirlerine dik iki kutuplanmış EMD’yi düşünelim. Bu iki dalganın aralarındaki faz farkı δ=±π/2 ise Eo1=Eo2=Eo ve δ=±π/2 Dairesel Kutuplu x ˆ o cos(kz − ωt ) E1 = iE E1 φ=π/2 π E2 = ˆjEo cos(kz − ωt ± ) = ∓ ˆjEo sin(kz − ωt ) 2 z k y Toplam elektrik alan E=E1+E2 E2 E = Eo iˆ cos(kz − ωt ) ∓ ˆjEo sin(kz − ωt ) x E1 k y z E2 Bu eşitlik, elektrik alan vektörü (Eo) bir noktada sabit genliği olan fakat ω açısal hızı ile dönen bir dalga denkleminin çözümü olarak yorumlanabilir. Bu tür bir dalgaya dairesel olarak kutuplanmıştır denir. © 2008 HSarı Eo1=Eo2=Eo ve δ= − π/2 Dairesel Sağ El Kutuplu Eo1=Eo2=Eo ve δ= + π/2 Dairesel Sol El Kutuplu 11 Sağ El Yönünde Dairesel Kutuplanmış Işık Eo1=Eo2=Eo ve δ= - π/2 Dairesel Kutuplu Faz farkının φ=- π/2 olduğu duruma ( veya - nπ/2 n:tamsayı) bakalım E = Eo iˆ cos(kz − ωt ) + ˆjEo sin(kz − ωt ) z=0 E x z=λ/4 x -z E ω k= ExH +z y z=λ/2 H x E y k=ExH z=0 y +z z=0 , E(t) (a) t=0 , E(z) (b) (Akılda kalması için eğer yayılma yönünü sağ elin baş parmağı ile gösterirsek diğer parmakların yönü elektrik alanın uzay içinde yönünün değişme yönünü gösterecektir) © 2008 HSarı 12 Sol El Yönünde Dairesel Kutuplanmış Işık Eo1=Eo2=Eo ve δ=+π/2 Dairesel Kutuplu Faz farkının φ=+π/2 olduğu duruma ( veya +nπ/2 n:tamsayı) bakalım E = Eo iˆ cos(kz − ωt ) − ˆjEo sin(kz − ωt ) z=0 E(z) x z=λ/4 x z=λ/2 E(t) -z ω k= ExH +z y z=0 H k y k=ExH t=0 z=0 , E(t) (a) +z t=0 , E(z) (b) Akılda kalması için eğer yayılma yönünü sol elin baş parmağı ile gösterirsek diğer parmakların yönü elektrik alanın uzay içinde yönünün değişme yönünü gösterecektir © 2008 HSarı 13 Dairesel Kutupluluk-Kompleks Gösterim Yukarıdaki dairesel kutuplanmış ışığın gösteriminde kompleks notasyon kullanırsak E = iˆEo exp i (kz − ωt ) + ˆjEo exp i (kz − ωt ± π 2) e iπ 2 =i i ( kz −ωt ) E = Eo e E = Eo (iˆ ∓ ˆji )ei ( kz −ωt ) Bu denklem genel olarak dairesel kutuplanmış ışığı göstermektedir Eğer işaret (+) ise dalganın alan genliği sağ, (-) ise sol el yönünde dönüyor demektir Her iki durumda da dalganın gerçek genliğinin büyüklüğünün aynı olduğuna dikkat ediniz © 2008 HSarı 14 Eliptik Kutuplu Işık Genlikleri farklı, doğrusal olarak birbirlerine dik iki kutuplanmış EMD’yi düşünelim. Bu iki dalganın aralarındaki faz farkı δ= ± π/2 ise Eo1 ≠ Eo2 ve δ= ± π/2 Eliptik Kutuplu x ˆ o1 cos(kz − ωt ) E1 = iE E1 π E2 = ˆjEo 2 cos(kz − ωt ± ) = ∓ ˆjEo 2 sin(kz − ωt ) 2 φ=π/2 z k y Toplam elektrik alan E=E1+E2 E2 E = Eo1iˆ cos(kz − ωt ) ∓ ˆjEo 2 sin(kz − ωt ) x H ω E ω y Eliptik kutuplanmış ışık Dairesel kutuplanmada olduğu gibi δ= ± π/2 işaretlerine bağlı olarak eliptik kutuplanmada da sağ el ve sol el yönlü kutuplanma sözkonusu olabilir. Dairesel ve Eliptik kutuplanmanın en büyük farkı dalganın genliğinin büyüklüğünün değişiyor olmasıdır. © 2008 HSarı 15 Dairesel kutuplanmada genliğin vektörü dönmesine rağmen hep sabit kalmaktadır. Eliptik Kutuplulu Işık E = Eo1iˆ cos(kz − ωt ) ∓ ˆjEo 2 sin(kz − ωt ) x Ex x Eo(t) -z δ= − π/2 k= ExH +z δ= + π/2 y z=0 z=0 , E(t) © 2008 HSarı x δ= ± π/2 y E ω Ey +z y t=0 , E(z) 16 Ödev 4.1: (a) Genlikleri farklı E x ( z , t ) = Eox cos(kz − ωt ) π E y ( z , t ) = Eoy cos( kz − ωt + ) 2 2 Ex E y olarak verilen ışığın + Eox Eoy elips denklemini sağladığını gösteriniz. 2 = 1 (b) Faz farkının δ olduğu durumunda en genel olarak elips denkleminin 2 2 Ex E y Ex E y − 2 + Eox Eoy Eox Eoy © 2008 HSarı 2 cos(δ ) = sin (δ ) 17 Kutupluluk-Kompleks Gösterim Kutuplamayı genelleştirmek istersek, eğer kompleks bir alan vektör genliği tanımlarsak i ( kz −ωt ) E = Eo e ˆ o1 + ˆj (iEo 2 ) Eo = iE iˆ ve ˆj birim vektörler i karmaşık sayı Yukarıdaki gösterim her türden kutuplanmayı ifade etmektedir Eğer Eo; Gerçek ise: doğrusal kutuplanmış dalgayı, Karmaşık ise: eliptik kutuplanmış dalgayı, Sanal ve gerçek kısımları eşit ise: dairesel kutuplanmayı temsil edecektir. © 2008 HSarı 18 Kutupluluk-Jones Vektör Gösterimi Bir EMD’nın kompleks genliği en genel şekilde x E = ˆiE ox + ˆjEoy z i y Burda Eox ve Eoy‘nin her ikisi de kompleks olabilir. Üstel şekilde j k Eox = Eox e iφx E oy = E oy e iφ y şeklinde yazılabilir. Yukarıdaki kompleks genlikli denklem çiftini Jones vektör olarak bilinen matris formunda şu şekilde yazabiliriz iφ Eox Eox e x E= = iφ y E oy Eoy e Bu Jones vektörü © 2008 HSarı E ox 2 + E oy 2 ifadesine bölerek normalize edilebilir 19 Kutupluluk-Jones Vektörleri Örneğin Eo 1 E = = Eo 0 0 E x z i y k j ifadesi, x-doğrultusunda doğrusal olarak kutuplanmış A genlikli bir dalgayı temsil etmektedir. Benzer şekilde x 0 0 E = = Eo 1 Eo E y z i k j ise y-doğrultusunda kutuplanmış dalgayı temsil etmektedir. x-ekseni ile 45o kutuplanmış dalga için ise gösterim E Eo Eo 1 E= = 2 1 Eo © 2008 HSarı x z i y j k 20 Kutupluluk-Jones Vektörleri Dairesel olarak kutuplanmış dalgayı ise sol el yönünde olduğu durumda 1 i sağ el yönünde olduğu durumda 1 − i Jones vektör gösteriminin en büyük kolaylığı kutuplanmış birden çok dalgayı topladığımızda ortaya çıkar. Örnek olarak genlikleri aynı biri sağ, diğeri sol el yönünde dairesel olarak kutuplanmış iki vektörün toplamının bulmada kullanalım. + = 1 1 1 + 1 2 1 − i + i = − i + i = 0 = 2 0 Son ifade x-yönünde doğrusal olarak kutuplanmış genliği 2 kat olan dalgayı vermektedir © 2008 HSarı 21 Kutupluluk-Jones Vektörleri Bazı Jones vektörlerinin gösterimi: x 0 1 x y x 1 i y x y x 2 i y © 2008 HSarı 1 0 1 -i y x 1 -2i y 22 Kutupluluk-Jones Matrisleri Işığın kutuplanma durumu düzlemde vektörlerle Jones Vektörleri ile temsil edildiği gibi benzer şekilde optik elemanlar da Jones Matrisleri ile gösterebiliriz A B Optik elemana gelen kutuplanmış ışık Optik elemandan çıkan kutuplanmış ışık y A' ' B y A B x A’ B’ x a b c d a b A A' c d . B = ' B a b © 2008 HSarı Burada c d optik elemanın Jones Matrisi dir 23 Kutupluluk-Jones Matrisleri Birden fazla optik elemanın olduğu durumda y y A B a1 c 1 an c n © 2008 HSarı 2 1 x b1 d1 b2 d 2 an c n b2 a1 d 2 c1 b1 A A' = ' d1 B B a2 c 2 bn a2 ..... d n c2 n A’ B’ x bn d n 24 Kutupluluk-Jones Matrisleri Bazı optik elemanları da Jones matrisleri ile gösterebiliriz Doğrusal Kutuplayıcı Geçiş ekseni yatay eksen 1 0 0 0 Geçiş ekseni dikey eksen 0 0 0 1 Geçiş ekseni ± 45o Çeyrek Dalga plakası Yarım Dalga plakası Hızlı eksen yatay eksen 1 0 0 i Hızlı eksen dikey eksen 1 0 0 −i Hızlı eksen ± 45o 1 2 Hızlı eksen yatay veya dikey eksen 1 ±i ±i 1 1 0 0 −1 Sağ el 1 1 i 2 −i 1 Sol el 1 1 −i 2 i 1 Dairesel kutuplayıcı © 2008 HSarı 1 1 ±1 2 ±1 1 25