Boşlukta Elektromanyetik Dalgalar

FZM450 Elektro-Optik
2. Hafta
Işığın Elektromanyetik Tanımlanması-1:
Boşlukta
Elektromanyetik Dalgalar
© 2008 HSarı
1
2. Hafta Ders İçeriği
•
•
•
•
•
•
© 2008 HSarı
Maxwell Denklemleri
Boşlukta Maxwell denklemleri ve çözümleri
Işığı oluşturan elektrik ve manyetik alanlar
arasındaki ilişki
Faz ve grup hızları
Işığın kuantumluluğu
EM dalga ile iletilen enerji
2
Elektromanyetik Dalgalar-Maxwell Denklemleri
J. C. Maxwell, elektrik ve manyetizmaya yönelik çalışmaları birleştirerek
ışığın elektromanyetik tabiatlı olduğunu göstermiştir
Maxwell denklemleri en genel olarak aşağıdaki şekilde yazılabilir
∇.E =
ρ
ε0
∇.B = 0
∇× E = −
Gauss Yasası- Elektrik
Gauss Yasası- Manyetik
∂B
∂t
Faraday Yasası
∇ × B = μ0 J
Amper Yasası
⎡ ∂E
⎤
∇ × B = μ 0 ⎢ε 0
+ J⎥
⎣ ∂t
⎦
Maxwell’in katkısı ile Amper Yasası
Burada; E elektrik alan, B manyetik alan, ρ uzaysal yük yoğunluğu, J ise akım yoğunluğudur
εo boş uzayın elektriksel, μo ise manyetik geçirgenliği olup sayısal değerleri
© 2008 HSarı
ε0=8.85x10-12 F/m (Boş uzayın elektriksel geçirgenliği)
μ0=4πx10-9 H/m (Boş uzayın manyetik geçirgenliği)
3
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-1
“..And God said ’Let there be light: and there was light’ ”
Eski Ahid. Yaradılış 1:3
Boşlukta J=0 (akım yoğunluğu), ρ=0 (yük yoğunluğu) olacağından Maxwell denklemleri
ρ
ε0
(1)
∇.E =
(2)
∇.B = 0
(3)
∇× E = −
(4)
∂B
∂t
⎡ ∂E
⎤
∇ × B = μ0 ⎢ε 0
+J⎥
⎣ ∂t
⎦
∇.E = 0
∇.B = 0
∇× E = −
∂B
∂t
∇ × B = μ 0ε 0
∂E
∂t
E ve B hem konumun hem de zamanın fonksiyonları olduğundan vektörel olarak en genel şekilde
aşağıdaki gibi ifade edilebilir
E(x,y,z,t)=Ex(x,y,z,t)î+ Ey(x,y,z,t)ĵ + Ez(x,y,z,t)k
B(x,y,z,t)=Bx(x,y,z,t)î+ By(x,y,z,t)ĵ + Bz(x,y,z,t)k
Burada 6 bileşen ( 3 E alan, 3 de B alan bileşeni) ve 4 değişken (3 konum (x,y,z) ve zaman t) vardır
© 2008 HSarı
4
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-2
Bu denklemleri nasıl eş zamanlı olarak çözeriz?
3. denklemin dönüsünü (curl ) alıp, manyetik alan (curlB) yerine denklem (4)’yi koyarsak
∂
∇ × (∇ × E ) = − (∇ × B )
∂t
∂B
(3) ∇ × E = −
∂t
∇ × (∇ × E ) = −
∇ × B = μ 0ε 0
∂E
∂t
(4)
∂ ⎡
∂E ⎤
μ
ε
0 0
∂t ⎢⎣
∂t ⎥⎦
∂2 E
∇ × (∇ × E ) = − μ 0ε 0 2
∂t
Vektörel eşitlik
∇ × ( ∇ × E ) = −∇ 2 E + ∇.( ∇.E )
kullanıldığında
∂2E
− ∇ E + ∇.(∇.E ) = − μ 0 ε 0 2
∂t
2
Boş uzayda ρ=0 olduğu için
∇.E = 0
∂2E
∇ E = μ 0ε 0 2
∂t
2
© 2008 HSarı
5
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-3
Genel dalga Denklemi
1 ∂ 2Φ
∇ Φ= 2 2
v ∂t
∂2E
∇ E = μ 0ε 0 2
∂t
2
2
şeklinde yazabiliriz.
Yukardaki denklem üç boyutta dalga denklemi formundadır.
1 ∂2 E
∇ E= 2 2
c ∂t
2
* Işık hızı diğer hızlar gibi v ile
değil de c ile gösterilir.
Bu gösterim, latince “hızlı”
anlamına gelen“celer”
kelimesinden gelmektedir
Dalganın ilerleme hızı ise c=1/(εoμo)1/2 ve değeri:
c=
1
μ 0ε 0
=
1
(4πx10 ).(8,85 x10
−7
−13
)
= 2,99 x108 m / s
Boş uzayda elektromanyetik dalganın (ışığın) yayılma hızı
(Boş uzayda
elektromanyetik
dalganın (ışığın)
yayılma hızı)
☺ Ödev 2.1: Manyatik alan içinde benzer dalga denklemini aşaşıdaki gibi sağladığını gösteriniz!
∂2B
∇ B = μ 0ε 0 2
∂t
2
© 2008 HSarı
6
Işık Hızı
c = 2,99 x10 m / s
8
Işık, Dünya’dan Ay’a 1.2 saniyede gitmektedir.
http://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_light
© 2008 HSarı
7
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-4
∂2E
∇ E = μ 0ε 0 2
∂t
2
Bu denklemler
Burada
∂2B
∇ B = μ 0ε 0 2
∂t
2
1 ∂ 2Φ
∇ Φ= 2 2
v ∂t
dalga denklemi formundadır
2
Φ ( x, y , z ; t ) = E , B
1
= ε o μo
v2
Bu denklemlerin çözümleri nedir?
Basitlik olması açısından üç boyutta verilen bu dalga denklemini bir boyut için yazarsak
1 ∂ 2Φ
∇ Φ= 2 2
v ∂t
2
Φ (x,y,z;t) => Φ(z;t)
∂2 y 1 ∂2 y
= 2 2
2
∂z
v ∂t
Φ (z,t)
v
z,t
Burada, z dalganın ilerleyiş doğrultusunu, t zamanı, v ise dalganın yayılma hızını
göstermektedir
© 2008 HSarı
8
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-5
∂ 2Φ 1 ∂ 2Φ
= 2 2
2
∂z
v ∂t
Bu diferansiyel dalga denklemin en genel çözümü
Φ(z,t)=f(z-vt)+g(z+vt)
g(z+vt)
f(z-vt)
formunda olması durumunda dalga denkleminin çözümünü sağlar
∂Φ
∂Φ
∂ ( z − vt )
=
.
∂z ∂ ( z − vt )
∂z
∂Φ
∂Φ
∂ ( z − vt )
∂Φ
=
.
=
.(−v)
∂t ∂ ( z − vt )
∂t
∂ ( z − vt )
==>
∂Φ
= Φ ' .1
∂z
==>
∂ 2Φ
''
2
=
Φ
.(
v
)
2
∂t
1 '' 2
Φ = 2 Φ (v )
v
==>
∂ 2Φ
= Φ '' .1
2
∂z
==>
∂ 2Φ
= Φ '' .(v 2 )
2
∂t
''
© 2008 HSarı
9
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-5
Yukarıdaki ifade bize argümanı (z±vt) olan herhangi bir f veya g fonksiyonunun dalga denklemini
sağlayacağını söylemektedir (önemli olan f veya g’nin formu değil de argümanın (z±vt) şeklinde olması)
Örneğin aşağıdaki atma şekline sahip olan dalga x-ekseni boyunca v hızı ile ilerleyen dalga
denklemini sağlayacaktır
Φ(z,t)
v
z, t
Ancak,
f ( z − vt ) = 3ln( z )e − vt
fonksiyonu çözüm değildir çünkü (z-vt) ifadesi bu denklemde tam olarak (z-vt) şeklinde değildir!
© 2008 HSarı
f ( z , t ) = 3e
− ( z − vt ) 2
10
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-7
x
Basitlik olsun diye yukarıdaki dalga denklemini tek boyutta çözelim
Yayılma doğrultusunu z-yönünde seçersek yukarıdaki denklemin çözümlerinin
z
c
y
f(z-ct) =E(x,y,z,t)=E(z-ct)
E(z,t) vektörel nicelik
(1)
∇.E = 0
olması gerektiğinden
G G
=
∂Ex ∂E y ∂Ez
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
E(z,t), x ve y’nin fonksiyonu olmadığından
∂E y ( z − ct )
∂Ex ( z − ct )
= 0,
=0
∂x
∂y
E(z,t), z’nin fonksiyonu olduğundan
∂Ez ( z − ct )
= 0 ⇒ Ez = 0
∂z
ve
olması gerekir
•Önemli Sonuç: E alanın yayılma doğrultusunda hiç bir bileşeni olmayacaktır, E alanı tümüyle z
doğrultusuna dik bir düzlemde (xy-düzlemi) bulunacaktır
x
Elektrik alan ilerleme yönü olan z-doğrultusuna
dik yönde enlemesine (transverse) titreşim yapmaktadır
Yani ışık enlemesine bir dalgadır
© 2008 HSarı
E2
E1
E3
y
y E
6
z
c
E4
E5
11
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-7
Ex için özel duruma bakalım Ex alanının x doğrultusunda olduğunu düşünelim
Ey(x,y,z,t)=0 (uygun koordinat sistemi seçerek bu koşulu sağlayabiliriz)
x
E
c
z
y
Dalga denkleminin çözümünün
Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)]
şeklinde olduğunu düşünebiliriz
Burada k bir sabittir ve fiziksel olarak ne anlama geldiği sonra detaylı olarak anlatılacaktır
t=0, z=0 da Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)]=0 ki bu özel durumu gösterdiğinden
k(z-ct) terimine φ gibi bir faz açısı ekleyerek t=0 ve z=0 da dalganın sıfırdan
farklı bir değer almasını sağlayabiliriz
Dolayısı ile Maxwell denklemini sağlayan dalga denkleminin aradığımız çözümü
Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)+φ] Ey=0 Ez=0
φ: faz açısı
© 2008 HSarı
Eox: genlik k: dalga vektörü
z: yayılma doğrultusu c: yayılma hızı
12
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-8
Yayılma doğrultusunu özel bir doğrultu(z) değil de genel olduğu duruma bakalım, yani yayılma
doğrultusu z değil de herhangi bir yön olmuş olsun
x
x
x
c
c
z
E
y
z
z
E
y
Yayılma doğrultusu z
y
Yayılma doğrultusu r
Bu durumda dalga denkleminin çözümünün
Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(r-ct)]
şeklinde olduğunu düşünebiliriz
x
Dolayısı ile Maxwell denklemini sağlayan dalga denkleminin aradığımız çözümü
Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)+φ] Ey=0, Ez=0
φ: faz açısı
© 2008 HSarı
Eox: genlik k: dalga vektörü
E
z
c
y
z: yayılma doğrultusu c: yayılma hızı
13
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-9
Bu dalganın uzaysal değişimine bakacak olursak (t=0)
Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)+φ]
kz1+φ=π/2
Ardışıl iki maksimum noktaya karşı gelmektedir
kz2+φ=5π/2
k(z2-z1)=5π/2-π/2=2π
(z2-z1)=2π/k≡λ Dalgaboyu
k≡
x
2π
λ
k dalga vektörü
E
mesafe
E
c
z
t=0
λ
z
z1
z2
y
© 2008 HSarı
14
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-10
Bu dalganın zaman içersindeki değişimine bakacak olursak (z=0)
Ex(x,y,z,t)=Eoxsin[k(z-ct)+φ]
ckt1-φ=π/2
Ardışıl iki maksimum noktaya karşı gelmektedir.
ckt2-φ=5π/2
x
E
zaman
Τ
z=0
E
c
t
ck(t2-t1)=5π/2-π/2=2π
(t2-t1)≡T Periyod
ckT=2π
t1
z
y
t2
Periyot (T) bir tam salınım için geçen süredir. Birimi saniyedir.
Frekans (v) ise birim zamandaki salınım sayısıdır ve birimi 1/saniye=Hertz (Hz) dir.
Frekans ile peryod arasındaki ilişki
Açısal frekans
2π 1
1
T≡
= ⇒ ck = 2πν ≡ ω
T=
ω=2πν
ν
ck
ν
ω=açısal frekans (rad/s) ν=frekans(1/s)
2π
2π
λ
T≡
© 2008 HSarı
ck
=
c(
2π
=
)
c
λ
Optoelektronik teknolojisinde kullanılan optik dalganın frekansı 1014-1015 Hz 15
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-11
Dalgaboyu (λ) yerine vektörel nicelik olan dalga vektörünü (k) tanımlayalım
büyüklüğü
k
k=
==>
2π
λ
(dalga sayısı)
yönü ise ilerleme yönü veya faz hızının doğrultusundadır
Seçtiğimiz koordinat sistemi için k’yı yazarsak
G 2π ∧
k =
k
λ
Yukarıdaki çözümü yeni tanımladığımız nicelikler
(dalga vektörü k ve açısal frekans ω) cinsinden yazarsak dalga denkleminin
çözümlerini herhangi bir k doğrultusunda ilerleyen en genel çözümler şeklinde yazabiliriz
E(x,y,z,t)=Eosin[(k.r-ωt)+φ]
x
E
k
z
y
© 2008 HSarı
16
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-12
B manyetik alanı için neler söyleyebiliriz? E alanı ile ilişkisi nedir?
∂2E
∇ E = μ 0ε 0 2
∂t
2
E(z,t)=Eoxsin[(k.r-ωt)+φ]
Manyetik alan, E alan için yapılan benzer işlemlerden sonunda B’nin de dalga denklemi formunda
olduğu görülecektir
∂2B
∇ B = μ 0ε 0 2
∂t
2
3. Maxwell denkleminden
B(z,t)=Bosin[(k.r-ωt)+φ']
∇× E = −
G
E = Eox sin(kz − ωt + φ )iˆ
∧
ı
∂
∇× E =
∂x
Ex
∧
j
∂
∂y
0
© 2008 HSarı
∂B
∂t
(3)
−
Ex(z,t)=Eoxsin[kz-ωt)+φ]
∂B
= +ωBo cos( kr − ωt + φ ' )
∂t
∧
k
∧
∂
=−j
∂z
0
⎡ ∂
⎤ ∂E x
−
(
,
)
E
z
t
x
⎢ ∂z
⎥ = ∂z j
⎣
⎦
∧
∂Ex ∧
∂B
'
−
= +ω Bo cos(kz − ωt + φ ) =
j
∂t
∂z
∂Ex ∧
∂B
'
ˆ ox cos(kz − ωt + φ )
−
= +ω Bo cos(kz − ωt + φ ) =
j = − kjE
∂t
∂z
17
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-13
∂Ex ∧
∂B
'
ˆ ox cos(kz − ωt + φ )
j = − kjE
−
= +ω Bo cos(kz − ωt + φ ) =
∂t
∂z
Yukarıdaki denklemin eşit olabilmesi için hem argümanlarının hem de katsayılarının eşit olması gerekmektedir
Argümanların eşitliğinden
Genliklerin eşitliğinden
φ' = φ
kz − ωt + φ ' = kz − ωt + φ
(E ve B’nin fazı aynı)
ˆ
ωBo = kE oxˆj
Dolayısı ile Bo, y-doğrultusunda olmak zorundadır
x
E
k
z
* E, x-doğrultusunda ise
B alanı MUTLAKA
y-doğrultusunda olmalıdır
y
B
© 2008 HSarı
Eox ω 2πν
= =
= νλ = c
Boy k 2π λ
Eox, Box den 8 mertebe daha büyük!
18
☺ Ödev 2.2: xz düzleminde hareket eden düzlem dalganın k dalga vektörü k=2i+j ise;
Buna göre
(a) Elektrik alan (E) ile k dalga vektörünün diklik koşlunu sağladığını
(b) Manyetik alan (B) ile k dalga vektörünün diklik koşulunu
(c) E ve B nin diklik koşulunu sağladığını gösteriniz.
© 2008 HSarı
19
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-15
E(t)
B(t)
k, t
Elektromanyetik dalgayı oluşturan elektrik (E) ve manyetik(B) alan bileşenleri birbirlerine ve aynı
zamanda dalganın ilerleyiş yönü olan k vektörüne diktir. Alan bileşenleri hem zaman içinde hem de
konuma bağlı olarak periyodik bir değişim gösterir. Zaman içersindeki salınım ω, uzaysal
konumdaki salınım ise k ile temsil edilir
x
x
E(z=0, t)
E(z, t=0)
y B(z=0, t)
t
τ
y
© 2008 HSarı
B(z, t=0)
z
λο
20
Boşlukta Elektromanyetik Dalga-15
x
k
E
E=Eosin[(k.r-ωt)+φ]
z
B=Bosin[(k.r-ωt)+φ]
y
B
Dalga Denkleminin farklı gösterimi
Türetilen dalga denkleminin düzlemsel dalga çözümlerini daha şık bir şekilde kompleks gösterim
kullanarak vektörel formda yazabiliriz.
E = Eo e
B = Bo e
i( k.r −ωt +φ )
i( k.r −ωt +φ' )
Burada k, dalga vektörü, i ise kompleks sayıdır.
Dalga Şekilleri
x
x
E
k
z
z
y
B
B
© 2008 HSarı
k
E
y
Düzlemsel dalga
Küresel Dalga
21
Grup ve Faz Hızı-1
vf
E(t)
Taşıyıcı dalga
Modüle edilmediği için bilgi iletmez!
t
vf =
B(t)
Bilgi sinyali
ω
k
Bilgi sinyali
t
E(t).B(t)
vg
Modüle edilmiş dalga
Bilgi iletimi
t
© 2008 HSarı
vg =
∂ω
∂k
22
Grup ve Faz Hızı-2
vf
E1(t)
Taşıyıcı dalga
E1(z,t)=Eocos[k1x-ω1t)]
z
E2(t)
vf
+
λ1
z
=
E1(t)+E2(t)
ω 2πυ
= υλ Faz Hızı
=
2π
k
λ
E2(z,t)=Eocos[k2x-ω2t)]
vf =
λ2
km=(1/2)(k1-k2)
kf=(1/2)(k1+k2)
ωm=(1/2)(ω1−ω2) ωf=(1/2)(ω1+ω2)
z
E(z,t)=2Eocos(kmx-ωmt)sin[kfx-ωft)+φ]
E(t).B(t)
vg
Modüle edilmiş dalga
z
vg =
vf
© 2008 HSarı
E(z,t)=Eoz(z,t)Eosin[kfr-ωft)+φ]
E(z,t)=Eoz(z,t)Eosin[kfr-ωft)+φ]
∂ω
∂k
Grup Hızı
23
☺ Ödev 2.3: SI birim sisteminde verilen düzlemsel elektromanyetik dalgayı (ışığı) düşünelim
Ex=0, Ey=2cos[2πx1014(t-x/c)+π/2] , Ez=0
a) Bu dalganın
frekansı,
dalgaboyu,
hareket doğrultusu,
genliği,
faz açısı ve
polarizasyon doğrultusu nedir?
b) Bu dalganın manyetik alan (B) bileşenini için bir ifade türetin.
© 2008 HSarı
24
Elektromanyetik Alanda Depo Edilen Enerji-1
Elektromanyetik dalganın en önemli özelliklerinden biri de enerji taşıyabilmesidir
Elektrik ve Manyetik alanlarda depo edilen
Enerji Yoğunluğu (birim hacım başına enerji)
u EM =
Elektromanyetik alan durumunda E ve B ilişkili olduğu için
1
1
2
2
B
εo E +
2
2μ o
E =
1
B ⇒ B = ε oμ o E
εoμo
2
u EM = εo E =
1 2
B
μo
Elektromanyetik enerji iletimini ifade edebilmek için birim yüzeyden birim zamanda iletilen enerjiyi
simgeleyen S niceliği kullanılır Enerji akısı=S=enerji/(alan-zaman)
SI birim sisteminde birimi W/m2 dir
l=cΔt
© 2008 HSarı
S=
1
u EM ( Δtc )A
εo 2
2
E
= u EM c = ε o E
=
2ε oμ o
AΔt
μo
25
Elektromanyetik Alanda Depo Edilen Enerji-2
G 1 G G
G G
2
S = ( ExB ) = c ε o ( ExB )
μo
S=
εo 2
2
E = cε o E
μo
S vektörüne Poynting vektör denir EM dalganın birim
zamanda birim yüzeyden ilettiği enerji akısının ölçüsüdür
Enerji aktarım yönü dalganın yayılma (k) yönündedir
Düzlemsel dalgalar için |S|
E(r,t)=Eocos[(kr-ωt)+φ]
S=
Enerji akısı |S|=enerji/(alan-zaman)
Eo
2
μoc
cos 2 ( kr − ωt + φ )
Işık algılayıcılar (dedektörler), ışığın frekansı çok yüksek olduğu için (ω≈1015 Hz) bu hıza ayak
uyduramazlar. Gerçekde dedektörlerin alğıladığı, bu kadar hızlı değişen ışık sinyalinin zaman
ortalamasıdır
<cos(kr-ωt+φ)>=1/2
© 2008 HSarı
S =I=
S = I = εoc E
2
Eo
2
2μ o c
eski ismi Şiddet (Intensity)
yeni ismi Parlaklık (Irradiance)
S =I=
c
B2
μo
26
Elektromanyetik Alanda Depo Edilen Enerji-3
Elektrik alan E, madde içindeki yüklere daha etkin şekilde kuvvet uygulayarak iş yapabildiği
için EM dalgayı oluşturan E alanına optik alan denir ve optikte
S = I = εoc E 2
Niceliği tercih edilir
© 2008 HSarı
27
Elektromanyetik Dalga-Kesiklilik(Kuantumluluk)
Şimdiye kadar elektromanyetik dalgayı, yani ışığı, klasik olarak inceledik
Klasik olarak ışığı tanımlamak için
Elektrik alan
Dalga vektörü
Açısal frekans
Parlaklık
E(t)
E
k
ω
I
k, t
B(t)
Elektromanyetik alanın kuantalanmışdır ve alan kuantasına “foton” denir
Kuantun bakış açısından ışık
Durgun kütlesi
Momentum
Enerji
Akı
m=0
p=ħk
Ε = ħω
I=foton sayısı/(m2-s)
ħω
Enerji=(Foton sayısı)x(foton enerjisi)=Nħω
© 2008 HSarı
I=watt/m2=J/(m2-s)=I/ħω=foton sayısı/(m2-s)=parçacık akısı
28
Özet-1
• Işık, elektromanyetik tabiatlıdır
• Işık, elektrik (E) ve manyetik (B) alanın özel olarak salınımından oluşmaktadır
• Bu alanlar her zaman hem birbirlerine dik, hem de yayılma doğrultusuna diktir
• Elektromanyetik dalganın boşluktaki hızı boşluğun εο ve μο değerlerine bağlıdır
Boşluk için bu değer
c=
1
μ 0ε 0
=
1
(4πx10 −7 ).(8,85 x10 −13 )
= 2,99 x108 m / s
• Işığı oluşturan elektrik alanın büyüklüğü (E) manyetik alanın (B) büyüklüğünden dalganın
yayılma hızı kadar daha büyüktür
Eox ω 2πν
= =
= νλ = c
Boy k 2π λ
Dolayısı ile ışığın madde ile olan etkileşmesinde elektrik alan bileşeni etkindir ve bu alana Optik Alan
denir
© 2008 HSarı
29
Özet-2
• Faz hızı taşıyıcı dalganın, grup hızı ise modüle edilmiş dalganın(bilginin) hızıdır
• EM alan kuantalıdır ve kuanta birimine foton denir
• Işık, Poynting vektör ile verilen yön ve doğrultuda enerji taşır
• Dedektörler Poynting vektörün zaman ortalaması olan <|S|> değerini ölçerler bu da birim
yüzey alanı başına düşen güç olan enerji akısıdır
© 2008 HSarı
30