8.3 İLETKEN ORTAMDA ELEKTROMAGNETİK DALGA 8.3.1

8.3 İLETKEN ORTAMDA ELEKTROMAGNETİK DALGA
8.3.1 Değişik bir dalga denklemi
Bu bölümün başında elektromanyetik dalga denklemini çıkarırken, ρf serbest yük ve ⃗jf serbest
akım yoğunluklarının her yerde sıfır olduğunu varsaymıştık. Bu kısıtlama boşlukta veya cam, saf su
gibi dielektrik maddeler için gayet uygundur. Fakat metaller veya tuzlu su gibi iletkenlerde, yüklerin
hareketini engelleyemeyiz ve genelde Jf sıfırdan farklıdır. Ohm yasasına göre, bir iletkende serbest
akım yoğunluğu elektrik alanla orantılıdır.
⃗Jf = σE
⃗
(8.125)
Buna göre, lineer iletken bir ortamda Maxwell denklemleri şöyle olur:
⃗⃗
(i)
⃗∇ ⋅ ⃗E = ρf
ε
(iii)
⃗∇xE
⃗ = − ∂B
∂t
(ii)
⃗ ⋅B
⃗ =0
∇
(iv)
⃗
⃗⃗⃗⃗x B
⃗ = μσE
⃗ + με∂E
∇
̅̅̅
∂t
(8.126)
Serbest akımlar için yük korunumunu yazalım:
⃗ ⋅ ⃗jf = − ∂ρf
∇
(8.127)
∂t
Ohm yasası ve (i) Gauss yasası kullanılırsa
∂ρf
∂t
⃗ ⋅ ⃗E) = − 𝜎 𝜌𝑓
= −σ(∇
𝜀
Bu diferansiyel denklem hemen çözülürse:
ρf (t) = ρf (0)ⅇ−(σ∕ε)t
(8.128)
Bu sonuca göre, başlangıçta olabilecek ρf (0) serbest yük yoğunluğu r = (ε ∕ σ) gibi karakteristik bir
süre içinde sıfıra gidecektir. Bu, iletken içine konulan serbest yüklerin hemen yüzeye gidişi demektir.
O halde, bu karakteristik zaman kadar beklersek, iletkenler içinde ρf = 0 alabiliriz. Buna göre
Maxwell denklemleri
⃗⃗
(i)
⃗ ⋅E
⃗ =0
∇
(iii)
⃗ xE
⃗ = ∂B
∇
∂t
(ii)
⃗ ⋅B
⃗ =0
∇
(iv)
⃗ xB
⃗ = με ∂E + μσE
⃗
∇
∂t
(8.129)
⃗
Olur. Bu denklemlerin, dielektrik ortamdan tek farkı (iv) deki son terimdir.
Yine (iii) ve (iv) denklemlerinin rotasyoneli alınırsa, ⃗E ve ⃗B için değişik birer dalga denklemi elde edilir:
∂2 ⃗E
𝜕𝐸⃗
⃗ = με 2 + 𝜇𝜎
∇2 E
∂t
𝜕𝑡
⃗
∂2 ⃗B
⃗⃗
∂B
⃗ = με 2 + μσ
ve ∇2 B
∂t
∂t
(8.130)
Bu denklemlerin de düzlem dalga çözümleri vardır:
̃
̃(x, t) = B
̃0 ⅇⅈ(kx−ωt)
E(x, t) = ̃
E0 ⅇⅈ(kx−wt) ve B
(8.131)
Bu çözümler iki yukardaki denklemlerde kulanıldığında, bu kez K dalga sayısının kompleks olduğu
görülür:
k 2 = μεω2 + ⅈμσω
(8.132)
Bu ifadenin karekökü alınır ve kompleks dalga sayısının reel ve sanal kısımları ayrı yazılırsa (kompleks
sayıların iki karekökü olur)
k = k + + ⅈk −
(8.133)
hesap sonucu şunu verir:
2
εμ
𝜎
k ± = w√ 2 [√1 + (𝜀𝑤) ± 1]1∕2
(8.134)
Dalga sayısının k − sanal kısmı, sönümlü bir dalga olduğunu gösterir.
̃(x, t) = E
̃0 ⅇ−k−x ⅇ ⅈ(𝑘+𝑥−𝑤𝑡) ve B
̃(x, t) = B
̃0 ⅇ−k−x ⅇ ⅈ(𝑘+𝑥−𝑤𝑡)
E
(8.135)
Genliğin ilk değerinden 1/e kadar azaldığı uzunluğa deri kalınlığı denir :
1
d = (k )
(8.136)
−
Deri kalınlığı elektromagnetik dalganın iletken içine ne kadar nüfuz edebildiğinimn bir ölçüsüdür.
Dalga sayısının reel kısmı ise dalgaboyu, hız ve kırılma indisini tayin eder:
2π
λ=k ,
+
w
v=k ,
n=
+
ck+
ω
(8.137)
“Kötü iletken” denilen iletken türü
σ << 𝜔𝜀
(8.138)
olarak tanımlanır. Bu durumda
σ
μ
k + ≃ ω√εμ, k − ≃ 2 √ ε
(8.139)
Olup, deri kalınlığı frekanstan bağımsız olur.
“İyi iletken” maddeler
σ >> 𝜔𝜀
(8.140)
olarak tanımlanır. Bu duruma k + ve k − yaklaşık eşit olurlar.
wσμ
2
k+ ≃ k− ≃ √
(8.141)
İyi iletkenlerde frekans arttıkça deri kalınlığı azalır. Bu durumda dalga boyu kavramının geometrik
anlamı kalmaz. Çünkü içeri girebilen kısım bir dalgaboyunun üçte biri (1/e) kadarı olur.
λ
d ≃ 2π
(8.142)
buna göre 1010 Hz’den daha yüksek frekanslı (görünür ışık bölgesi ve ötesi) dalgalar için deniz suyu
1
kötü bir iletken olur. Bu durumda deri kalınlığı d = (k) formülülyle bulunur.
d≃
2 ε
√ ≃ 1 cm
σ μ
bu sonuç gerçeğe pek uymaz çünkü σ öziletkenliği de frekansa bağımlıdır.
Daha düşük frekanslı bölgede deniz suyu iyi bir iletken olur. Radyo frekansı bölgelerinde deri kalınlığı
oldukça büyük olur. Örneğin 10 m derinlikteki bir denizaltıyla iletişim kurabilmek için kullanılması
gereken frekans
v=
w
1
=
≃ 500 Hz
2π πσωd2
olup buna karşılık gelen (havadaki) dalga boyu 600 km’dir. Bu suyun altındaki bir denizaltıyla iletişim
kurmanın imkansız olduğunu gösterir.
8.3.2 iletken Ortamda Tekrenkli Düzlem Dalgalar
̃0 ve B
̃0 için (8.130) yeni dalga denklemini sağlar.
(8.135) denklemindeki sönümlü düzlem dalga her E
Buna ek olarak (8.129) Maxwell denklemlerinin getirdiği diğer kısıtlamalar vardır; bunlar da genlik
oranlarını, fazları ve polarizasyon düzlemlerini tayin eder.
(8.129) denklemlerinden (i) ve (ii) denklemleri yine x- bileşenlerinin sıfır, yani elektromagnetik
̃ nin polarize olduğu yönde seçelim:
dalganın enine olduğunu gösterir. Bu durumda y- eksenimizi E
Buna göre (iii) denklemi magnetik alanı şöyle verir:
̃
̃0 ⅇ−k−x ⅇ ⅈ(𝑘+𝑥−𝜔𝑡) 𝑗̂
E(x, t) = E
(8.143)
(iv) denklemi de aynı şeyi verir.
k
̃(x, t) = ( ) E
̃0 ⅇ −𝑘−𝑥 ⅇ ⅈ(𝑘+𝑥−𝑤𝑡) 𝑘̂
B
x
(8.144)
Yine elektrik ve magnetik alanlar birbirine diktir. Her kompleks sayı gibi k da mutlak değer ve fazı
cinsinden yazılabilir.
k = k + + ⅈk − = |𝑘|ⅇ ⅈ∅
(8.145)
Bu değerler hesaplanırsa
𝜀𝜇
2
𝛼
|k| = √k 2+ + k 2− = 𝜔 = √ √1 + ( )
𝜀𝜔
k
ϕ = arctan (K− )
+
(8.146)
(8.147)
̃0 = E0 ⅇⅈδE ve B
̃0 = B0 ⅇİδB kompleks genlikleri arasında şöyle
(8.143) ve (8.144) ifadelerine göre, E
bir bağıntı olmalıdır:
ⅈϕ
̃0 = ⅇⅈδB = |k|ⅇ 𝐸0 ⅇ ⅈ𝛿𝐸
B
ω
(8.148)
Görüldüğü gibi artık elektrik ve magnetik alanlar aynı fazda değillerdir. Bunlar arasındaki faz
gecikmesi
δB − δE = ϕ
(8.149)
Olur. Şekil 8.21 de görüldüğü gibi magnetik alan elektrik alanın gerisinden gelir. Öte yandan fiziksel
genlikler arasındaki bağıntı şöyle olur:
B0 =
|k|
ω
σ
2
E0 = √𝜀𝜇√1 + (εw) E0
(8.150)
Şekil 8.21
Sonuç olarak fiziksel elektromagnetik dalga şöyle olur:
̃
E(x, t) = E0 ⅇ−k−x 𝐶𝑜𝑠(k + x − ωt + δE )ĵ
⃗ (x, t) =
B
|k|E0
ω
(8.151)
ⅇ −𝑘−𝑥 (𝑘𝑥 − 𝑤𝑡 + 𝛿𝐸 + 𝜙)𝑘̂
Bu elektromagnetik dalga şekil 8.21 de gösterilmiştir.
İletken ortamda enerji elektrik ve magnetik alanlar arasında eşit paylaşılmaz:
1
U = 2 (εE 2 +
B2
)
μ
(8.152)
Bir periyottai ortaama enerji hesaplanırsa :
1
𝜎
2
⟨u⟩ = εE02 ⅇ−2k−x [1 + √1 + ( ) ]
4
𝑐𝜔
(8.153)
Bulunur; görüldüğü gibi magnetik katkı (ikinci terim) daima daha baskındır. Aslında ”iyi” iletkenlerde
enerjinin yaklaşık tümü magnetik olur
⟨u⟩ =
1 σ 2 −2k−x
E ⅇ
4ω 0
(8.154)
Öte yandan enerji akısını veren Poynting vektörü hesaplanırsa
s=
⃗ExB
⃗⃗
μ
=
|k|1
μw
E02 ⅇ2k−𝑥 [𝐶𝑜𝑠(𝑘 + 𝑥 − 𝑤 − 𝐿 + 𝛿𝐸 )𝐶𝑜𝑠(𝑘 + 𝑥 − 𝑤𝑡 + 𝛿𝐸 + ∅)]𝑖̂
(8.155)
Artık fazları farklı olduğundan, iki konisnüs çarpımının bir periyottaki ortalama değeri ½ olmaz:
1 2π
∫ cos θ cos(θ
2π 0
Burada |k|cosϕ = k + olduğundan,
1
+ ∅) dθ = 2 cos 𝜙
(8.156)
1 k+ 2 −2k−x
E ⅇ
î
2 με 0
⟨s⟩ =
(8.157)
8.3.3 iletken Yüzeyden Yansıma ve Geçme
Dielektrik yüzeyler için kullandığımız (8.83) sınır koşulları serbest yük ve akım olduğu durumda
geçersizdir. Bunların yerine, daha genel olan;
(i) ε1 E1⊥ − Σ2 E2⊥ = σf
(ii) B1⊥ − B2⊥ = 0
(iii) ⃗E1ll − ⃗E2ll = 0
(iv)
⃗⃗ 1
B
μI
(8.159)
⃗⃗
B
− μ2 = k f xn̂
2
Burada σf⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vⅇ k f ara kesit yüzeydeki yük ve akım yoğunluklarıdır. Yüzey normali arakesite dik ve 2.
Ortamdan 1. Ortama doğru alınır. Ohm yasasına uyan iletkenlerde serbest yüzey akımı olamaz, aksi
takdirde yüzeyde sonsuz magnetik alan olması gerekirdi. O halde, ⃗k f = 0
Şimdi iletken olmayan lineer bir ortam ile iletken bir ortamın ara kesit düzlemini yz- düzlemi olarak
seçelim. Yine şekil 8.16 da olduğu gibi x- yönünde ilerleyen tekrenkli bir düzlem dalga sol taraftan
arakesite yaklaşıyor olsun.
̃
̃I (x, t) =
E1 (x, t) = ̃
E0ı ⅇ(k1 x−ωt) ĵ ve B
1
̃
E ⅇⅈ(k1 x−wt) k̂
v1 0I
(8.160)
Bunun sonucu yüzeyden yansıyan bir dalga
̃T (x, t) = E
̃0T ⅇ(k 2 x − wt) ve B
̃T (x, t) = k2 E
̃ ν ⅇⅈ(k2 x−ωt) 𝑘̂
E
ω 0T 2
(8.161)
Ve 2. Ortama geçen bir dalga
(k x−ω t)
ĵ
̃
̃T (x, t) = k2 ̃
ET (x, t) = ̃
E0 T ⅇⅈ 2
ve B
E0v 2 ⅇⅈ(k2 x−ωt) 𝑘̂
ω
(8.162)
Olur. k 2 kompleks olduğundan (8.133) denklemine göre iletken içindeki dalga sönümlü olacaktır.
X=0 arakesitinde 1. Ortamdaki toplam dalga ile 2. Ortamdaki dalga (8.159) sınır koşularına
uymalıdırlar. Her iki tarafa E⊥ = 0 olduğundan (i) koşulu σf = 0 verir. Yine B⊥ = 0 olduğundan (ii)
koşulu kendiliğinden sağlanmış demektir. (iii) koşuluna gelince
̃
E0I + ̃
E0R = ̃
E0R
(8.163)
Ve (iv) koşuluna göre
1
̃OI
(E
μ1 v 1
k
−̃
E0R ) − μ 2ω ̃
E0T = 0
2
(8.164)
Veya
̃0I − E
̃0R = βE
̃ 0T
E
(8.165)
Bulunur. Bu kez β parametresi şöyle oluşur.
μ1 v1 k2
)
μ2 ω
β=(
(8.166)
(8.163) ve (8.165) denklemleri çözülürse
1−β
2
̃
E0R = (1+β) ̃
E0I ve ̃
E0T = (1+β) ̃
E0I
(8.167)
Olur. Bu sonuçlar şekil olarak dielektrik ortamdakilere benzeyebilir, fakat bu yanıltıcıdır çünkü bu
kez β parametresi içindeyeralan k 2 kompleks bir sayıdır.
İdeal iletken (σ = ∞) için β sonsuzluk olur ve
̃
̃0I ve ̃
E0R = −E
EoT = 0
(8.168)
Bulunur. Yani elektromagnetik dalga tümüyle yansır ve 1800 faz farkıyla geri döner. İyi iletkenlerde
(σ ≫ ωε2 ) | β | çok büyük olur ve yukardaki sonuçları 1/ β nın serisi olarak açabiliriz :
1−β
(1+β) = −
(1−1⁄β)
(1+1⁄β)
1 2
2
≃ − (1 − 𝛽) ≃ 𝛽 − 1
(8.169)
Bu yaklaşıklıkta yansıma katsayısı
R=
̃ o |2
|E
R
2
̃ 0 I|
|E
2
2
≃ |(+ 𝛽)| ≃ 1 − 2
(𝛽+𝛽 ∗ )
|𝛽|2
Bu denklemler göz önüne alınırsa
μ
ωΣ1
)
σ
R = 1 − √8 μ2 (
1
8.4 DİSPERSİYON
8.4.1 𝛆, 𝛍 𝐯𝐞 𝛔’ nın Frekansa Bağlılığı
Buraya kadarki kısımlarda madde içinde elektromagnetik dalga yayılışının maddenin üç özelliğine
bağlı olduğunu gördük. Bunlar ε, μ elektrik ve magnetik geçirgenlikleri ile σ öziletkenlik katsayısıdır.
Fakat gerçekte bu parametreler de dalganın frekansına bağlı olarak değişebilirler. Bu böyle olmasaydı
örneğin dielektriklerde ε vⅇ μ sabit olsalardı, dalga hızı ve kırılma indisi
v=
1
C
n=
v
√εμ
sabit olurlardı. Oysa optikten bilindiği üzere n kırılma indisi frekansa bağımlıdır. Buna göre prizmadan
geçen mavi ışık kırmızıdan daha çok kırılır. Beyaz ışık ise gökkuşağı gibi tüm renklerine ayrılır. Bu olaya
dispersiyon diyoruz. Benzer şekilde dalga hızının frekansa bağımlı olduğu ortamlara da dispersif ortam
denir.
Bir maddenin kırılma indisi, o maddede yol alan ışığın ya da diğer elektromanyetik dalgaların boşlukta
yol alan ışığa göre ne kadar yavaş ilerlediğini gösteren bir katsayıdır. Genellikle n sembolü ile
gösterilir.
Şekil 8.23
Dispersif ortamda farklı frekanstaki dalgalar farklı hızlarda ilerlediğinden değişik frekanslardan oluşan
w
bir dalga paketi ilerledikçe şekli değişecektir. Fakat ω frekanslı her bir sinüsel bileşen v = k ile verilen
hızda ilerleyecektir. Buna o bileşenin dalga hızı veya faz hızı denir. Dalga paketinin bir bütün olarak
ilerleme hızına grup hızı denir.
vg =
dω
dk
Bir göle taş attığımızda oluşan dalgayı gözlemlersek dairesel dalga bir bütün halinde vg hızıyla
yayılırken bunu oluşturan tepecikler iki misli daha hızlı giderler. Tepecikler dalga paketinin gerisinde
ortaya çıkar, giderek büyür ve ön tarafta yok olurlar. Dispersif ortamda bir dalganın taşıdığı enerji
grup hızıyla ilerler. Bu nedenle bazı durumlarda v faz hızı c ışık hızından daha büyük çıkabilir.
Bir dalganın grup hızı, dalga şiddetinin genel şekli (dalga modülasyonu veya sarımı) ile boşlukta
yayılan hızıdır
Şekil 8.24
ε, μ, σ katsayılarının ω frekansına bağlı olması doğaldır. Çünkü bu parametreler maddenin elektrik ve
magnetik alanlara verdiği yanıtın birer ölçüsüdür. Bu yanıt tıpkı bir salıncağın hareketinin uygulanan
itmenin frekansına bağlı oluşu gibi frekansa bağlı olmalıdır. Fakat maddelerin çoğunda μ katsayısı μ0
değerine çok yakın olup frekansa bağımlılığı önemsizdir. Geriye ε, vⅇ σ kalıyor. Bu kısımda madde
içindeki elektronların davranışını basit bir modelle ele alıp bu fonksiyonları elde edeceğiz.
8.4.2 Dielektrik Dispersiyon
Şekil 8.25
Dielektrik bir ortamda elektronlar belirli moleküllere bağlıdırlar. Bu bağ kuvvetlerinin yapısı son
derece karmaşık olup kuantum mekaniğiyle incelenmesi gerekir. Bizim basit modelimizde elektronu k
sabitli bir yayla bağlanmış varsayacağız.
Fbağ = −ky = −mω20 𝑦
(8.172)
k
Burada y denge konumundan uzaklık m elektron kütlesi ve w0 = √m doğal titreşim frekansıdır. Bu
modelin çok basit olması sizi rahatsız edebilir ama bir de şunu düşünelim :
Her bağ kuvveti denge konumundan küçük yer değiştirmeler için bu yapıda olur. Örneğin elektronun
bağlı olduğu U(y) potansiyel enerjisi y=0 denge konumu etrafında seri açılırsa
1 ⅆ2 𝑈
ⅆu
U(y)=U(0)+( | ) y + ( 2 | ) 𝑦 2 + ⋯
ⅆy
2 ⅆ𝑦
0
0
Birinci terim bir sabit olup fiziksel bir anlamı yoktur. İkinci terim daima sıfırdır, çünkü denge
konumunun tam tanımı –dU/dy = F kuvvetinin sıfır olduğu yerdir. Üçüncü terim tam bizim modeldeki
terimdir, çünkü k = d2U/dy2 yay sabiti olarak tanımlanır. Yer değiştirmeler çok küçük olduğu sürece
daha yüksek terimler yok sayılabilir. Elektron titreşim yaptığında belli bir sürtünme kuvveti de
olabilir.burada hızla orantılı bir sürtünme kuvveti varsayalım
ⅆy
FS = −mv ⅆt
(8.173)
Yine basit bir sürtünme modeli yani hıza ters yönde ve hızla orantılı bir kuvvet alalım. Sürtünmenin
nereden kaynaklandığı burada bizi ilgilendirmiyor ama ivmelenen yükün radyasyon yoluyla enerji
kaybetmesi olabilir.
Elektron üzerine frekansı ω olan bir dış elektromagnetik alan gönderildiğinde bir de bunun uyguladığı
dış kuvvet vardır.
Fdiş = qE = qE0 Cosωt
(8.174)
Burada q elektron yükü, E0 dalanın elektronunun bulunduğu yerdeki genliğidir. Tüm bu kuvvetler
Newton hareket yasasında kullanılırsa:
ⅆ2 y
Ftop = m ⅆt2 + 𝐹𝑏𝑎ğ + 𝐹𝑆 + 𝐹ⅆ𝚤ş
(8.175)
m
d2 y
dy
+ mv + 𝑚𝜔02 𝑦 = 𝑞𝐸0 𝐶𝑜𝑠𝜔𝑡
2
dt
dt
Bu modelde elektronun ω frekanslı harmonik bir dış kuvvetin etkisiyle sönümlü harmonik salınıcı gibi
hareket yaptığı görülmektedir.
(8.175) denklemini şöyle bir kompleks denklemin reel kısmı olarak görebilirsek çözüm daha kolay
olur.
̃
ⅆ2 y
+
ⅆt2
mν
ⅆy
+
ⅆt
mω20 𝑦 =
𝑞𝐸0 −ⅈ𝜔𝑡
ⅇ
𝑚
(8.176)
Kararlı durumda bu sistem dış kuvvetin frekansıyla salınım yapar:
ỹ(t) = ỹ0 ⅇ−ⅈωt
(8.177)
Bu çözüm yerine koyulursa
ỹ0 =
(q∕m)
E
(w20 −w2 )⋅ⅈνω 0
(8.178)
Olur. O halde bu elektronun hareketinden kaynaklanan dipol momenti şu ifadenin reel kısmı olur.
p̃(t) = qỹ(t) =
(𝑞2 ∕𝑚)
(𝑤02 −𝜔2 )−𝐼̇𝑣𝜔
𝐸0 ⅇ −ⅈ𝜔𝑡
(8.179)
Paydada bulunan sanal terim p dipol momentinin elektrik alanla aynı fazda olmayacağını gösterir.
Aralarındaki faz farkı arctan{vw ∕ (w02 ω2 )] olup ω << w0 için çok küçük olur ve ω >> w0 için π
değerine yaklaşır. Bir moleküldeki farklı elektronların doğal frekansları ve sürtünme kuvvetleri farklı
olabilir. Bunu hesaba katmak üzere her molekülde fj sayıdaki elektronun frekanslarının wj ve
sürtünme sabitlerinin vj olduğunu varsayalım. Birim hacimdeki molekül sayısı N ise ortamdaki P
polarizasyon vektörü şu ifadenin reel kısmı olur:
p̃ =
Nq2
fj
(∑ 2
) 𝐸̃
2
m
(wⅈ −w) −νj 𝑤
j
(8.180)
Bir ortamın elektrik duygunluğu ̃
P = ε0 X ⅇ ̃
E ile tanımlanmıştı. Yukarıdaki ifade kompleks E alanıyla
orantılı olan kompleks bir P polarizasyonu gibi görülebilir. Buna göre kompleks bir duygunluğu şöyle
tanımlayabiliriz.
̃
P = ε0 X ⅇ ̃
E
(8.181)
Böylece daha önceki formalizmi kompleks alanlar için genişletebilir ve sonunda reel kısmını alırız.
̃ = εE
̃ ifadesiyle kompleks bir geçirgenlik ε− = ε0 (1 + xⅇ ) şeklinde tanımlanırsa.
Özel olarak D
Na2
ε = ε0 [1 + mε ∑
0
𝑗
𝑓𝑗
(𝑤𝑗2 −𝑤 2 )−ⅈ𝑣𝑗 𝑤
]
(8.182)
Olur. Bu ifadenin sanal kısmı genelde küçük olur ancak ω frekansı ωj lerden birine yakın olduğunda
bir rol oynar.
Dispersif ortamda belirli frekansta bir dalga denklemi.
̃
∂2 E
̃ = εμ0 2
∇2 E
∂t
(8.183)
Olur burada artık ε sabiti w nın komleks bir fonksiyonudur.. yine düzlem dalga çözümü
̃
E(x, t) = ̃
E0 ⅇ(−kx−ωt)
(8.184)
k = √εμ0 ω
(8.185)
Şeklinde denkleme konulursa
Artık kompleks bir sabit olur. Bunun reel ve sanal kısımları ayrı ayrı yazılırsa
k = k + + ⅈk −
(8.186)
̃(x, t) = E
̃0 ⅇ−k−x ⅇⅈ(k+x−ωt)
E
(8.187)
Olur. Buna göre düzlem dalga
Olur. Burada k − sönümü belirleyen katsayıdır. Dalga şiddeti E2 ile orantılı olduğundan α soğurma
katsayısı şöyle tanımlanır
α = 2k −
(8.188)
Öte yandan dalga hızı ω ∕ k + ve dolyısıyla kırılma indisi
c
n = ω k+
(8.189)
Olur. 8.182 denkleminin ikinci terimi gazlarda çok küçük olur. buna göre karekökü yaklaşık √1 + x ≃
1
2
1 + 𝑥 alırsak 8.185 denklemi
k=
ω
ε
√
c ε0
=
ω
𝑁𝑞 2
𝑓𝑗
+
[1
∑
]
c
2𝑚𝜀0
(𝑤𝑗2 −𝑤 2 )−ⅈ𝑣𝑗 𝑤
𝑗
(8.190)
Olur. buradan kırılma indisi ve soğurma katsayısı bulunur
c
𝑁𝑞2
n = ω K + ≃ 2𝑚𝜀 ∑
0
α = 2k − ≃
𝑗
𝑓𝑗(𝑤𝑗2 −𝑤 2 )
(𝑤𝑗𝑧 −𝑤 2 )+𝜈𝑗2 𝑤 2
𝑓𝑗 𝑣𝑗
𝑁𝑞2 𝑤 2
∑ 2 2 2 2
𝑚𝜀0 𝑐
(𝜔𝑗 −𝜔 )+𝑣𝑗 𝜔
𝐽
(8.191)
(8.192)
Şekil 8.26 da kırılma indisi ve soğurma katsayısı gösterilmiştir. Kırılma indisi rezonansla beraber artar
fakat rezonansa yaklaştığında kırılma indisi birden azalır. Buna anormal dispersiyon denir.
Şekil 8.26
Rezonanslardan uzak kalmaya dikkat edilirse sönüm terimi çok küçük olur ve kırılma indisi sadeleşir.
n=1+
fj
Nq2
∑ 2 2
2mε0
(wj −ω )
j
(8.193)
Maddelerin çoğunda doğal frekansları spektrumun her bölgesinde rastgele dağılmış olurlar. Saydam
maddelerde en yakın rezonanslar morötesi bölgede yer alır buna göre w<wj olur ve yaklaşık olarak
1
𝑤2
=
−
(1
)
𝑤𝑗2
(wj2 − w 2 ) 𝑤𝑗2
1
−1
≃
1
𝑤2
+
(1
)
𝑤𝑗2
𝑤𝑗2
Olur. böylece kırılma indisi ifadesi
Nq2
fj
∑ w2
2mε0
j
n=1+
(
𝑁𝑞2
+ 𝜔2 (2𝑚𝜀 ∑
0
j
𝑗
𝑓𝑗
𝑤𝑗4
)
(8.194)
)
veya boşluktaki dalgaboyu cinsinden
B
n = 1 + A (1 + λ2 )
(8.195)
Olur. Bu cauchy denklemi olarak bilinir. A sabitine kırınım katsayısı ve b sabitine de dispersiyon
katsayısı denir.
8.4.3 İletken ve Plazmalarda Serbest Elektronlar
İletkenlerde elektronlar hiçbir atom veya moleküle bağlı değildir. Bu urumda yukardaki yaklaşımda
bağ kuvvetini sıfır alıp aynı yöntemi uygulayabiliriz. Ancak bu kez çok sayıda çarpışmalardan
kaynaklanan sürtünme kuvveti çok daha büyük olur. (8.176 ) hareket denklemi şimdi şöyle yazılabilir.
ⅆ2 y
+
ⅆt2
Yine kararlı çözüm;
ⅆy
V ⅆt =
𝑞𝐸0 −ⅈ𝜔𝑡
ⅇ
𝑚
(8.196)
ỹ(t) = ỹ0 ⅇ−ⅈwt
(8.197)
Alınırsa;
(q∕m)
ỹ0 = − w2 +ⅈνω 𝐸0
(8.198)
Bulunur. Bu kez elektronların polarizasyonu ile değil, akımla ilgilenelim. Birim hacimde N molekül ve
her molekülde f sayıda serbest elektron varsa dy/dt hızıyla hareket eden elektronların oluşturdukları
akım
Nfq2⁄m
)
v−ⅈω
j̃ = (
(8.200)
Paydadaki sanal terim akımın E alanıyla aynı fazda olmadığını gösterir. Bu ohm yasasına tam uygun
değildir. Fakat kompleks bir σ öziletkenlik katsayısı tanımlarsak
̃J = σE
̃
(8.201)
Olur. bu modelde
σ=
(Nfq2 ∕m)
(8.202)
v−ⅈw
Bulunur. Alçak frekanslarda sanal kısım çok küçüktür ve σ frekanstan bağımsız olur. Fakat yeterince
yüksek frekanslarda J ile E arasındaki faz farkı gözardı edilemez.
Öziletkenlik katsayısının kompleks olması elektromagnetik dalganın iletken içindeki davranışını
özellikle yüksek frekanslarda iletir. Bunu incelemek için kompleks dalga sayısı
k 2 = μεω2 + ⅈσμw
(8.203)
İfadesinde kompleks σ katsayısı kullanılarak hesaplar sürdürülür. Pratikte çok önemi olan özel bir
plazma (iyonlarmı gaz) halidir. Burada σ sanal olur.
Nfq2
σ = ⅈ ( mw )
(8.204)
Ayrıca plazma içinde μ ≃ μ0 ve ε ≃ ε0 olduğundan (8.203) denklemi
k2 =
1
(ω2
C2
− wp2 )
(8.205)
Olur. Burada wp plazma frekansı denilen karakteristik bir frekanstır.
Nfq2
mω
wp = √
(8.206)
wp den dah büyük frekasnlarda dalga sayısı reel olup elektromagnetik dalga plazma ortamında
sönüme uğramadan ilerler. Dalga hızı
v=
w
k
=
c
√1−(wP ∕w)2
(8.207)
Olup v > c çıkar. Plazmanın kırılma indisi ise şöyle olur
wP 2
)
w
n = √1 − (
(8.208)
Frekans wp den dah küçük ise K dalga sayısı sanal olur, dalga plazma ortamında sönümlü olur:
̃(x, t) = ̃
]E
E0 (x, t)ⅇ
2 −𝑤 2 ∕𝑐)𝑥
−(√𝑤𝑃
ⅇ −ⅈ𝑤𝑡
(8.209)
Çok düşük frekanslarda deri kalınlığı c/wp olur; o halde plazma ortamı wp den büyük frekanslı
dalgalar için saydam daha düşük frekansta ise karanlık olur.