İspat. : (X,), -uzayı olsun. Bu durumda her x,yX (xy) için veya

BÖLÜM I
AYIRMA AKSİYOMLARI
1.1. Giriş
Bir X kümesi üzerinde ayrık olmayan topolojiden ayrık topolojiye kadar çok değişik
topolojik yapılar kurulabilir. Topolojik yapı inceldikçe uzay üzerinde sürekli
fonksiyonlar çoğalır. Farklı nokta ve farklı kümelerin, farklı komşuluklarla ayırma
imkanı doğar ki bu yakınsak dizi ve süzgeçlerin tek limite gitmelerini sağlar.
Yine topolojik yapının incelmesi birinci sayılabilir ve ikinci sayılabilir
aksiyomlarının sağlanmasını zorlaştırır. Yakınsak dizi ve süzgeçlerin sayısı azalır.
Kısacası topoloji inceldikçe sürekli fonksiyonların sayısı artar, yakınsak dizilerin
sayısı azalır. Topoloji kabalaştıkça sürekli fonksiyonların sayısı azalır ve yakınsak
dizilerin sayısı azalır.
Sonuç olarak, X üzerinde  1   2 ile iki topolojik yapı olsun. (X,  1 ) üzerinde sürekli
olan fonksiyon (X,  2 ) uzayında süreklidir. (X,  2 ) de yakınsak dizi (X,  1 ) uzayında
da yakınsaktır. (X,  2 ) uzayı CI ve C II ise (X,  1 ) uzayı da CI ve C II olur.
1.2. T0 -Uzayları
Tanım 1.2.1. (X,  ) bir topolojik uzay olsun. X uzayının farklı her iki noktasından
birini içeren diğerini içermeyen (en az) bir komşuluğu varsa (X,  ) uzayına T0 -uzayı
veya Kolmogorow uzay denir. Yani her x  y ile x,y  X için U  N ( x)  y U veya
V  N ( y )  x  V ise (X,  ), T0 -uzayıdır.
Teorem 1.2.1. (X,  ), T0 -uzayıdır  x, y  X ( x  y ) için U  ( x U )  y U veya
V  ( y  V )  x V .
1
İspat.  : (X,  ), T0 -uzayı olsun. Bu durumda her x,y  X (x  y) için
U  N ( x)  y U veya V  N ( x)  x V olur. Buradan T1   x  T1  U ve y  T1
veya T2   x  T2  V ve x  T2 olur.
 : Her x, y  X (x  y) için U  ( x U )  y U veya V  ( y V )  x V olsun. U
ve V açık komşuluklar olduğundan X, T0 -uzayıdır.
Uyarı 1.2.1. Her T0 -uzayı bir topolojik uzaydır. Tersi genelde doğru değildir.
Örneğin X, birden çok elemana sahip küme ise bu küme üzerindeki ayrık olmayan
topolojiye göre bir topolojik uzaydır. X, T0 -uzayı değildir. Gerçekten her x, y  X
için (x  y) x ve y noktalarını içeren tek açık küme X in kendisidir.
Teorem 1.2.2. (X,  1 ) T0 -uzayı,  1   2 ise (X , 2 ) uzayı da T0 -uzayıdır.
İspat. (X,  1 ) bir T0 -uzayı ise her x  y  X için U 1  x U ve y  U veya
V 1  x V ve
y V olur.
1   2 olduğundan aynı şartlarda U,V   2
olduğundan (X ,  2 ) bir T0 -uzayıdır.
Örnek 1.2.1. X  0,1 üzerinde    X , , 0 verilsin. (X,  ) uzayı bir T0 uzayıdır. Gerçekten 0  N (0)  10 olur. Bu uzaya Sierpinski uzayı denir.
Örnek 1.2.2. (
, D  ) ve ( , D  ) uzayları birer T0 -uzayıdır.
D  = , A 
:  
için A  (,  )}
D  = , A 
:  
için A    ,  

Her 1 < 2 için D  ya göre A1  A2 olduğundan 1  A2  2  A2 olur. D  ye
göre A2  A1 olduğundan 2  A1  1  A1 olur.
Uyarı 1.2.1. T0 -uzayından daha kaba bir uzay T0 -uzayı olması gerekmez.
Örneğin X=(a, b) üzerinde  1 = , X  en kaba topoloji ve  2 = , X ,a iki
topolojik yapıdır.  1   2 olur. (X,  2 ) T0 -uzayıdır. Gerçekten a   2  b a
2
Ancak (X,  1 ) T0 -uzayı değildir. Çünkü a  b ile a,b  X için a ve b yi ihtiva eden tek
açık küme X dir.
Teorem 1.2.3. (X,  ) uzayının T0 –uzayı olması için gerek ve yeter şart her x,y X
(x  y) için x   y olmasıdır.
İspat : x, y  X (x  y) için x   y olsun Varsayalım ki X, bir T0 -uzayı
değildir. Bu durumda x veya y noktalarından birini ihtiva eden her açık küme x ve y
nin her ikisini de içerir. Herhangi bir z   x alalım Kapanış tanımından z yi ihtiva
eden her açık küme x noktasını kapsar. Yani her u   (z  u) için x  u olur.
Varsayımımız gereği X noktasını içeren her açık küme y yi kapsadığından z yi
içeren her açık u kümesi y yi kapsar. Böylece z   y Buradan  x   y olur.
Benzer şekilde  x   y elde edilir. Dolayısıyla  x =  y olur ki bu çelişkidir. O
halde X T0 -uzayıdır.
 : (X,  ), T0 -uzayı olsun. Varsayalım ki her x,y  X (x  y) için  x =  y dir. x 
 x
olduğundan x   y olur. Benzer şekilde y   y y   x olur. x   y
olduğundan noktası tanımından her u   (x  u) için y u olur. y   x olduğundan
her v   (y  v) için x  v olur. Bu ise X in T0 -uzayı olması ile çelişir. O halde  x,y (x
 y) X için x   y olur.
Örnek 1.2.3. X=(a,b,c) ,  = , X ,a ,b , a, b olsun. (X,  ) T0 -uzayıdır.
 = , X ,b, c ,a, c , c
a  a, c , b  b, c , c  c
a  b  a  b
a  c  a  c
b  c ise b  c olur.
3
Örnek 1.2.4.   , ,a,  ,
üzerinde bir topolojidir. x<y için (x,  ) aralığı y
nin bir ancak. x in bir komşuluğu değildir. ( , ) T0 -uzayıdır.
Teorem 1.2.4. i. T0 -uzayı olma özelliği kalıcı özelliktir.
ii. T0 -uzayı olma özelliği topolojik özelliktir.
İspat. i. (X,  ) bir T0 -uzayı A  X olsun (A,  A ) uzayının T0 -uzayı olduğunu
göstereceğiz. a,b  A(a  b) alalım. A  X olduğundan a,b  X dir. (X,  ) T0 -uzayı
olduğundan ve b u veya v   b  v ve a v olur. Buradan en az bir A  U   A
vardır öyle ki a  A  U olur. O halde (A,  A ) bir T0 -uzayıdır.
ii. f:(X,  1 )  (Y,  2 ) bir homeomorfizm ve (X,  1 ) bir T0 -uzayı olsun. Her y1 , y 2 
Y ( y1  y 2 ) için f, birebir ve örten olduğundan ve f  x2   y2 olur. (X,  1 ) T0 -uzayı
olduğundan U 1  x1 U ve veya V  1 öyle ki x2  V, x1  V olur. f açık
fonksiyon olduğundan f U   2  f  x1   y1  f U  ve f  x2   y2  f U  veya
f V   2  f  x2   y2  f U  ve f  x1   y1  f U  olur. Böylece (Y,  2 ) bir T0 uzayıdır.
4