Örnek 1.2.2.

1
BÖLÜM 1
KOMPAKT UZAYLAR
Örtü
1.1.
Tanım 1.1.1 ( , ) bir topolojik uzay, A  ( i )iI  kümesinin alt
i ise A   i i sınıfına 
kümelerinin bir sınıfı olsun. Eğer  
i
kümesinin bir örtüsü denir. Eğer i  için i kümeleri açık ise bu
örtüye açık örtü denir. Eğer için i kümesi kapalı ise bu örtüye kapalı
örtü denir. Eğer J  I sonlu ise ( i )iJ örtüsüne sonlu örtü denir. Eğer
( i )iI sınıfının bir alt ailesi ise  kümesinin örtüsü ise bu alt sınıfa
 kümesinin bir alt örtüsü denir.
Örnek 1.1.2. A  Dx : x  Z  Z ,
2
düzleminde x   m, n  merkezli
r  1 yarıçaplı Dx açık dairelerinin bir sınıfı olsun.  m, n  Z için A
kümesi
2
düzleminin bir örtüsüdür. Fakat r  1 ise A kümesinin x
2
merkezli, 1 yarıçaplı açık dairelerinin B  Dx : x  Z  Z sınıfı ,
2
2
1 1
düzleminin bir örtüsü değildir. Örneğin;  ,  
2 2
noktası B
kümesinin hiçbir üyesine ait değildir.
Örnek 1.1.3.    a.b bir kapalı ve sınırlı bir aralık ve A  ( i )iI ,

i olacak şekilde açık kümelerin bir sınıfı olsun. Bu durumda
iI
i1 , i2 ,...im sonlu sayıda açık kümelerin bir sınıfı seçilebilir öyle ki
  i1  i2  ...  im olur.
2
Bu teorem aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
Heine-Borel Teoremi 1.1.4 Bir    a.b kapalı ve sınırlı aralığın her
açık örtüsü bir sonlu örtüye sahiptir.
1.2. Kompakt uzay
 , 
bir topolojik uzay olsun. Eğer  uzayının her açık örtüsünün
sonlu bir alt örtüsü varsa  uzayına kompakt uzay denir.
Tanım 1.2.1.  ,  topolojik uzayı ve bir    alt kümesi verilsin.
Eğer (,  ) alt uzayı kompakt ise  kümesine  uzayında bir
kompakt alt uzay denir.
Örnek 1.2.2. ( , U) alışılmış uzayı kompakt değildir.
Çözüm. A   n, n   : n 

açık aralıklar sınıfı
açık örtüsüdür. Fakat bu sınıftan
uzayının bir
uzayını örten bir alt sınıf
2
seçilemez. ( Benzer şekilde ( ,U ) uzayı da kompakt değildir ).
Örnek 1.2.3. Sonlu bir  kümesi üzerinde tanımlanan her topolojiye
göre kompakttır.
Örnek 1.2.4. Herhangi bir  kümesi (sonlu-sonsuz) için
 ,C 
sonlu tümleyen uzayı kompakttır.
Çözüm. A  ( i )iI  kümesinin bir açık örtüsü olsun.  kümesinin
bir  j açık alt kümesini alalım. Bu durumda    j kümesi sonludur.
Buradan
   j  a1 , a2 ,...an 
yazılabilir.
Bu
durumda
a1  1 , a2  2 ,..., an  n olacak şekilde sonlu tane 1 , 2 ,...n açık
3


i  elde edilir. Dolayısıyla 
 i1 
kümeleri vardır. Böylece    j  
n
uzayının sonlu sayıda açık kümelerle örtüldüğünden kompakttır.
Örnek 1.2.5.  sonsuz ise  ,  ayrık uzayı kompakt değildir. 
kümesinin her sonsuz alt kümesi de kompakt değildir.
Çözüm.
x   : x 
sınıfı    kümesinin bir açık örtüsüdür.
 sonsuz olduğundan bu açık örtüsünün  kümesini örten sonlu bir
açık örtüsü yoktur. Yani  kompakt değildir.
Örnek 1.2.6. Heine-Borel teoremi ile
reel sayılar kümesinin her
kapalı ve sınırlı  a.b  aralığı kompakttır.
Örnek 1.2.7.
reel sayılar kümesi üzerinde alışılmış topoloji
   0,1 aralığı kompakt değildir.
Çözüm. Açık aralıkların
 1   1 1   1 1 


 1
1 
, 
A   ,1 ,  ,  ,  ,  ,...  n  
 n  1 n 
 3   4 2   5 3   

sınıfını alalım. A 
 n olduğundan A,  kümesinin bir açık
i 1
örtüsüdür. Fakat bu örtüde  kümesini örten bir sonlu örtü seçilemez.

Çünkü; A   a1 , b1  ,  a2 , b2  ,...  an , bn  kümesi, A kümesinin sonlu bir
alt
örtüsü
olsun.
Eğer
 a1,b1  ,  a2 , b2  ,...,  an , bn    ,1
  min  a1, a2 ,...an  ise
dir.
 0,  
ve
 ,1
  0 ve

ayrık kümeler
olduğundan A  kümesi,    0,1 aralığının bir örtüsü değildir.
4
Tanım 1.2.8. A   i i kümeler sınıfının her sonlu alt sınıfının
arakesiti boş değilse  i i sınıfına sonlu arakesit özelliğine sahiptir
denir.



1  1
 


Örnek 1.2.9. A   0,1 ,  0,  ,  0,  ,... açık aralıklarının sınıfını göz
2
3


önüne alalım. A kümesi sonlu arakesit özelliğine sahiptir. Genelden,
b  min  a1 , a2 ,..., an  olmak üzere;
 0, a1    0, a2   ... 0, an    0, b  0
dır. Buradan A kümesinin kendisi boş arakesite sahiptir.
 0, a   0 
A dır. (A kümesinin sonsuz arakesiti boştur).
j
iJ
iJ
Örnek 1.2.10. B  ...  , 2  ,1 ,  , 0 ,  , 1 ,..., sonsuz kapalı
aralıklarının sınıfını düşünelim:
B kümesi bir boş arakesite sahiptir. Yani
B n : nZ .
Burada
B n   , n dir. Fakat B kümesinin sonlu alt kümelerinin herhangi
bir sınıfı boş olmayan arakesite sahiptir. Yani B kümesi sonlu arakesit
özelliğine sahiptir.
Buradan aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz:
Teorem 1.2.11.
 , 
bir topolojik uzay olsun. Bu taktirde
aşağıdakiler eş değerdir.
i.
 topolojik uzayı kompakttır.
ii.
 topolojik uzayının kapalı alt kümelerinden oluşan ve boş
arakesite sahip bir  Fi i arakesitinin boş arakesitine sahip sonlu
bir  Fi iJ (J sonlu ) alt ailesi vardır.
5
iii.  topolojik uzayının kapalı alt kümelerinden oluşan ve sonlu
arakesit özelliğine sahip olan her
 Fi i
ailesi boş olmayan
Fi   dir.
arakesite sahiptir. Yani
iJ
iv.
 topolojik uzayı üzerindeki her süzgecin en az bir kapanış
noktası vardır.
v.  topolojik uzayı üzerindeki her ultra süzgeç yakınsaktır.
İspat. i.  ii.
Fi   olan  uzayının kapalı alt kümelerinden
iJ
oluşan bir  Fi i sınıfı verilsin. Buradan
   Fi 
kompakt olduğundan  
   Fi   
olur.  uzayı
iJ
olacak şekilde ( J   sonlu)
iJ
kapalı kümelerinden oluşan sonlu bir
 Fi iJ
alt ailesi vardır.
Fi   dır.
Dolayısıyla
iJ
ii  iii. J   sonlu olmak üzere
Fi   olan  uzayının alt
iJ
kümelerinden oluşan bir
 Fi i
Fi   olsun. Bu
ailesi verilsin.
iJ
Fi   olur. Bu bir çelişkidir. O halde
durumda ii. önermesinden
iJ
Fi   dir.
iJ
iii.  iv. S, X kümesi üzerinde bir ultra süzgeç olsun.  uzayının
kapalı alt kümelerinin bir FFS ailesini alalım. S süzgeç olduğundan
FFS
sonlu arakesit özelliğini sağlar. Yani J   sonlu olmak üzere
  olur. Buradan S süzgecinin en az bir kapanış noktasına sahip
F S
olduğu çıkar.
6
iv.  v. S ,  bir ultra düzgün olsun. iv. önermesinden S kümesinin en
az bir kapanış noktası vardır. O halde S kümesinden daha ince olan
yakınsak bir S1 süzgeci vardır. S ultra süzgeç olduğundan S  S1 olur.
O halde  uzayı üzerindeki her ultra süzgeç yakınsaktır.
v.  vi.  i i ,  uzayının bir açık örtüsü olsun. J   sonlu olmak
i  
üzere
olduğunu
i  
göstereceğiz.
iJ
olduğunu
iJ
(   i )   olur.
varsayalım. Buradan
iJ


     :       j    seçilmiş ailesi
 uzayı üzerinde bir
süzgeç tabandır.  kümesinin doğurduğu bir S süzgeci ve bu
süzgeçten ince bir S1 ultra süzgeci vardır.  uzayından S1 süzgeci bir
x   noktasına yakınsar. x   
i
x  i0
olur.
i olduğundan i0  S öyle ki
 kümesinin doğurduğu süzgeç S olduğundan
  i0  S olur. S  S1 olduğundan   i0  S1 olur. S1 süzgeç
olduğundan
   S
i0
1
olur.
        S
i0
j
olmasıyla
1
çelişir. O halde  kompakttır.
Uyarı 1.2.13. Bir  uzayının her ayrık kapalı alt kümeler ailesinin
sonlu ayrık bir alt ailesi varsa  uzayı bir kompakt uzaydır.
Teorem 1.2.14.  ,  bir topolojik uzay ve    olsun.  kümesi

açıklar ailesine göre kompakttır.  ,  göre kompakttır.
İspat.  Gi  ,  kümesinin bir   açık örtüsü olsun. Bu durumda
 Hi 
ailesi
olduğundan
H i  ,
Gi   Hi  Hi .
Böylece

Gi 
i
 kümesinin bir

Hi
i
açık örtüsüdür.  kompakt
7
olduğundan bu örtünün bir sonlu örtüsü seçilebilir. Diyelim ki
  ( H i1  ...  H in ) , Hin Hi  .
Buradan,




    ( H i1  ...  H in )    H i1  ...    H in  Gi1  ...  K in
olur. Böylece Gi  bir Gi ,...Gi
1
n
 sonlu alt örtüsü ihtiva eder ve  ,  
kompakttır.
 Hi  ,  kümesinin bir  açık örtüsü olsun. Gi   Hi diyelim.
Bu durumda


  H i       H i     Gi
 i  iJ
olur. Gi  
olduğundan Gi  ,  kümesinin bir   açık örtüsüdür. ,   kompakt
olduğundan
Gi  bir G ,...G  alt
i1

in
örtüsü ihtiva eder. Buna göre

  (G i1  ...  Gin )    H in  H i1  ...  H in olur.
Böylece
H i 
sonlu bir {H i1  ...  H in } alt örtüye sahip olur. Yani , kompakttır.
Sonuç 1.2.15.
 , 
topolojik uzay     
olsun.
,  
kompakttır  ,  kompakttır.
Örnek 1.2.16.
reel sayılar kümesinin kapalı ve sınırlı  a, b aralığı
kompakttır.
Çözüm.
ailesi
reel sayılar kümesinin herhangi bir (i ) açık kümeler
a, b
kapalı
aralığının
bir
açık
  {x   a, b :  i i ailesinin sonlu bir alt ailesi
örtüsü
olsun.
 a.x
aralığını
örtsün} kümesini alalım. a   olduğundan    ve    a, b dir.
 kümesi üstten sınırlı olduğundan bir en küçük üst sınırı vardır.
sup   m olsun. m  b olduğunu varsayalım. m   i0 kümesi
m
8
noktasının bir açık komşuluğudur. Burada x   ve m   x, n  olacak
şekilde bir n  a, b vardır. Böylece  a, m   a, x   x, m ve buradan
 x, m  i olur.
m
Dolayısıyla
0
a, n  a, m  m, n
dir.
Diğer
taraftan
ve  m, n  i0 dır. Buradan n   olur. Böylece
m  n dir. Bu sup  m olması ile çelişir. O halde
m  b dir ve  a, b
kapalı aralığı kompakttır.
Örnek 1.2.17.

  ,  kümesi U    i i ,
üzerinde bir

topolojidir.(   U    U ,   b   b,    ve
  a   , a   ) (
Çözüm.  i i ,


,U  ) topolojisine göre kompakttır.
uzayının bir açık örtüsü olsun. i, j    i
ve    j dir.  i olduğundan D  topolojisinin tanımından
a    , a   i ve    j olduğundan b    b,    j olur.
Buradan

  a, b  , a   b,  olur.  a, b kapalı aralığı kompakt
olduğundan 1...n gibi sonlu tane örtü ile örtülebileceğinden

 1   2 ...  i   j elde edilir. O halde

kompakttır.