MAT345 (2012-2013 G ¨uz), Alıs¸tırmalar VIII

MAT345 (2012-2013 Güz), Alıştırmalar VIII
Bu alıştırmaları 28 Aralık Cuma’ya kadar çözmenizi bekliyorum.
Özer Öztürk
(ii) Y ’nin bir U açık altuzayı R ile homeomorfiktir
ve U ’nun kapanışı Y ’dir. .
1. f : X → Y bir homeomorfizm olsun. p ∈ X ol- (iii) Önceki sorudan önceki sorudan önceki soruda
b olmaz.
X = R alınca Y = X
sun. X − {p} ve Y − {f (p)} uzaylarının homeomorfik
olduğunu ispatlayın. Bunu kullanarak çemberle doğ10. X = S 2 , bir küre yüzeyi ve Y = R, reel sayılar
runun ve çemberle sekizin homeomorfik olmadıklarını
2
kümesi olsun. f : X → Y sürekli olsun. Bir y ∈ Y
gösterin. R ve R homeomorfik midir?
için Xy ⊂ X kümesi
2. {0, 1} üzerindeki {∅, {0}, {0, 1}} topolojisi yol
Xy := {x ∈ X : f (x) = y}
bağlantılı mıdır?
şeklinde tanımlansın. Xy 6= ∅ ve Xy sonlu olacak şe3. İki kompakt altkümenin birleşimi her zaman kilde en fazla iki farklı y ∈ Y olabileceğini ispatlayın.
kompakt mıdır?
11. X ve Y topolojik uzaylar olsun. X’ten Y ’ye
4. X ile Y topolojik uzaylar ve f : X → Y sürekli sürekli fonksiyonların kümesini C(X, Y ) ile göstereörten bir fonksiyon olsun. Ayrıxa X kompakt ve Y lim. Bir K ⊂ X kompakt altkümesi ve bir U ⊂ Y
üzerindeki topoloji f ile elde edilen bölüm topolojisi açık kümesi için
olsun. Y ’nin Hausdorff olması için bir gerek ve yeter
S(K, U ) := {f ∈ C(X, Y ) : f (K) ⊂ U }
koşulun f ’nin kapalı olması olduğunu gösterin.
5. Reel sayılar üzerindeki sonlu tümleyen topolojisinin tüm kompakt altkümelerini bulun.
şeklinde tanımlansın. Ayrıca
S := {S(K, U ) : K ⊂ X kompakt, U ⊂ Y açık}
olsun. S koleksiyonunun C(X, Y ) üzerindeki bir topo6. X bir topolojik uzay olsun. Bu uzaya ∞ sembolü
lojinin alt tabanı olduğunu gösterin. X tek noktadan
ile gösterdiğimiz yeni bir nokta ekleyelim:
oluşan bir kümeyse C(X, Y ) üzerinde S koleksiyonub = X ∪ {∞}
nun ürettiği topoloji nedir?
X
b altkümesi şu iki koşuldan birini
12. Torusa homeomorfik düzgün bir simplekssel
olsun. Bir U ⊂ X
kompleks
bulun. Bulduğunuz kompleks için Simplekssağlarsa açık sayılsın:
sel Gauss–Bonnet teoremini hesaplayarak ispatlayın.
(i) ∞ ∈ U ve X üzerindeki topolojiye göre X − U
kompakttır,
13. Gauss–Bonnet teoremini kullanarak Platonik
cisimlerin 5 tane olduğunu gösterin.
(ii) ∞ 6∈ U ve X üzerindeki topolojiye göre U açıktır.
Bu tanımın gerçekten bir topoloji oluşturduğunu ve
b uzayının kompakt olduğunu
bu yeni topolojide X
ispatlayın. Bu yeni topolojide X’in açık olduğunu
gösterin. X’in kapanışı nedir?
b hangi uzaydır?
7. Önceki soruda X = Rn ise X
8. Önceki sorudan önceki soruda X Hausdorff ise
b uzayı da Hausdorff mudur?
X
9. Şu özellikleri sağlayan bir Y topolojik uzayı
bulun:
(i) Y kompakttır.
http://mat.msgsu.edu.tr/∼ozer • [email protected]
Sayfa 1 / 1