İspat. - SABİS

1
BÖLÜM V.
DİZİSEL KOMPAKT UZAYLAR
Tanım 5.1.1.  ,  uzayındaki her dizinin yakınsak bir alt dizisi varsa
bu uzaya dizisel kompakt uzay denir.
Eğer  uzayındaki bir  alt kümesindeki her dizinin  kümesine
yakınsayan yakınsak alt dizisi varsa  kümesine dizisel kompakt
küme denir.
Örnek 5.1.2. Bir  topolojik uzayının her sonlu  alt kümesi dizisel
kompakttır.
Gerçekten
 an    a1, a2 ,...

kümesinin
elemanlarından
oluşan
dizisinde  kümesinin elemanlarından en az biri
örneğin ak sonsuz defa tekrarlanacaktır. Bu durumda  ak    an , an ,...
dizisi  an  dizisinin bir alt dizisidir ve sabit dizi olduğundan ak  
noktasına yakınsar.
Örnek 5.1.3.    0,1 
alışılmış topolojiden indirgenen topolojiye
sahip olsun.    0,1 kümesi dizisel kompakt değildir. Gerçekten
 an   
1

: n   dizisi 0 noktasına yakınsar. Dolayısıyla dizinin her
n

alt dizisi de 0 noktasına yakınsar. Ancak 0 dır.
Uyarı 5.1.4. Kompakt uzaylar genelde dizisel kompakt değildir.
Gerçekten
doğal sayılar kümesi P 
üzerinde ayrık topoloji verilsin. P 


indis kümesi A = 0,1
kümesinden A kümesine
tanımlanan bütün fonksiyonların kümesine  diyelim. Yani
olsun. Bu durumda  üzerindeki ayrık topolojinin P 
 A
P

 indis kümesi
üzerinden çarpım topolojisidir. A kompakt olduğundan  kümesi
2
kompakttır.

kompakt
uzayında
bir
 fn 
dizisi
şeklinde
tanımlayalım:
  P
 ve n
olmak üzere
1, n 
fn    
0, n 
olsun. Bu durum bir
f 
nh
n
alt dizisi ve   n1 , n2 ,..., n2u 1,...
(Burada p  q  n p  nq ) olsun. Bu durumda
1, u; tek
f nh     
0, h; çift
olsun. O halde bu dizi  uzayında yakınsak değildir. Böylece
f 
nh
dizisi  uzayında yakınsak değildir. O halde  uzayı dizisel
kompakt değildir.
Ayrıca bu örnek gösteriyor ki   0,1 kümesi dizisel kompakt
olduğu halde sonlu olmayan bir indis kümes üzerinde dizisel kompakt
uzayların kartezyen çarpımı da dizisel kompakt değildir.
Teorem 5.1.5. Dizisel kompakt uzayın her alt kümesi dizisel
kompakttır.
İspat.  ,  topolojik uzay    kapalı alt küme  an    bir dizi
olsun. Bu durumda
 an   
dir.  kümesi dizisel kompakt
olduğundan bir dizinin her alt dizisi yakınsaktır.  kümesi kapalı
olduğundan limit noktasını ihtiva eder. O halde  kümesi dizisel
kompakttır.
Teorem 5.1.6. Dizisel kompakt uzayın sürekli fonksiyon altındaki
görüntüsü dizisel kompakttır.
3
İspat. ( X , ) uzayı dizisel kompakt, Y ,  bir topolojik uzay ve
 yn  , f  X 
üzerinde bir dizi
olsun. Bu durumda  xn     f  xn   yn , n 
dır.  kümesi
f :   Y sürekli fonksiyon olsun.
dizisel kompakt olduğundan  xn  dizisinin  xn  alt dizisi vardır öyle
x
ki
xnx  x0  
 
dir.
f xnx  f  x0   f   
f
fonksiyonu
dir. O halde
sürekli
olduğundan
f  X  fonksiyonu dizisel
kompakttır.
Sonuç 5.1.7 i. Eğer f fonksiyonu örten sürekli ise Y dizisi de
dizisel kompakttır.
ii. Dizisel kompaktlık topolojik özelliktir.
4
BÖLÜM Vİ.
SAYILABİLİR KOMPAKT UZAYLAR
Tanım 6.1.1.  ,  topolojik uzayının her sonsuz alt kümesinin en az
bir yığılma noktası varsa  uzayına Bolzano-Weirstrass özelliğini
sağlıyor denir.
Teorem 6.1.2. Her kompakt uzay Bolzano-Weirstrass özelliğini
sağlar. Yani bir  ,  kompakt uzayın her sonsuz alt kümesinin en az
bir yığılma noktası vardır.
İspat.  kompakt ve    kümesi sonsuz olsun. Varsayalım ki 
kümesinin hiçbir yığılma noktası yoktur. Başka bir deyişle her x  
için Vx 
kompakt
 x
açık  Vx  x     olsun.  
olduğundan

elemanları
uzayı
sonlu
tane
n
i 1
x1 , x2 ,..., xn  
Vx
x
Vxi olacak

şekilde
kümesinin
yığılma
noktaları
olmadığından her i  1, 2,..., n için   Vx   xi    olur. Buradan
i
 kümesi sonlu bir kümedir. Bu durum  kümesinin sonsuz
olmasıyla çelişir. O halde  kompakt uzayı Bolzano-Weirstrass
özelliğini sağlar.
Tanım 6.2.1.  ,  uzayının sayılabilir her açık örtüsünün sonlu bir
alt örtüsü varsa  uzayına sayılabilir kompakt uzay denir.
Örnek 6.2.2. Kompakt her uzay sayılabilir kompakttır. Çünkü
kompakt uzayın her örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır. Bunlar
içinde sayılabilir olanlarında sonlu bir alt örtüsü vardır. Tersi genelde
doğru değildir.
Teorem 6.2.3.  ,  topolojik uzay olsun. Aşağıdakiler denktir.
5
i.
 topolojik uzayı kompakttır.
ii.
 topolojik uzayı Bolzano-Weirstrass özelliklerini sağlar.
iii.
 topolojik uzayındaki her dizi bir limit noktasına sahiptir.
İspat i  ii.    ( sayılabilir) sonsuz bir alt küme olsun.
Varsayalım ki  kümesinin hiçbir yığılma noktası yoktur. Bu
durumda      eşitliğinden    ve her bir ai   için
Vi 
 ai 
açık komşuluğu öyle ki Vi  i  ai  dir. Yani  kümesi
kapalı ve ayrık bir kümedir. Böylece
Vi : i    t
ailesi 
kümesinin sayılabilir bir açık örtüsüdür. Bu örtü içinde  kümesini
örtecek hiçbir sonlu örtü yoktur. Bu bir çelişkidir. O halde 
kümesinin en az bir yığılma noktası vardır.
ii.  iii. f :

fonksiyonu  kümesi içinde bir dizidir, yani
f  N    xn    dir. Eğer f  N  dizisinin  kümesi içinde sayılabilir
sonsuz küme ise hipotezden x0 gibi bir yığılma noktası vardır. Yani
x0 noktasının her komşuluğunda
f  N    xn  dizisinin sonsuz
çoklukta eleman vardır. Diğer taraftan. O halde xn  x0 dır. f  N  , 
kümesinde sonsuz ise bu demektir ki n0  N  n  n0 için f  n   x0
dır. Böylece xn  x0 dir.
iii.  i.  kümesi sayılabilir kompakt olmasın. Bu durumda 
kümesinin sayılabilir
Vi : i  açık
bir örtüsü vardır öyle ki bu
örtünün  kümesini örten bir sonlu örtüsü yoktur. n 
xn   
n
i 1
için
Vi seçersek  xn  dizisi oluşabilir. Bu şekilde oluşan serinin
 kümesinde hiçbir yığılma noktası yoktur. Çünkü her bir x   için
6
Vn x 
 x
vardır   xn  x   Vn  x    olur. Bu bir ….. O halde 
kümesi sayılabilir kompakttır.
Teorem 6.2.4. Dizisel kompakt her uzay sayılabilir kompakttır.
İspat.  ,  dizisel kompakt uzayının bir sonsuz    alt kümesi
verilsin. Bu durumda  kümesinin farklı elemanlarından oluşan bir
 an    a1, a2 ,...
dizisi vardır.  kümesi dizisel kompakt olduğundan
bu dizinin x   noktalarına yakınsayan ve yukarıdaki serinin
elemanlarından oluşan bir
a 
nn
alt örtüsü vardır. Yakınsaklık
tanımından x noktasının her açık komşuluğu
a 
nn
dizisinin,
dolayısıyla  kümesinin sonsuz sayıda elemanını içerir. Yani x
noktası  kümesinin bir yığılma noktasıdır. O halde  uzayı
Bolzano-Weirstrass özelliklerin sağlar. O halde  uzayı sayılabilir
kompakttır.
Uyarı 6.2.5. Sayılabilir kompakt uzayın dizisel kompakt olması
gerekmez.
Kompakt Uzay  Sayılabilir Kompakt Uzay  Dizisel Kompakt Uzay
Bolzano-Weirstrass
Teorem 6.2.6.  ,  , C1 uzayı olsun.  uzayı sürekli kompakt ise
dizisel kompakttır
İspat.
 , 
uzayında herhangi bir
 xn 
dizisi verilsin.  uzayı
sayılabilir kompakt olduğundan bu dizinin ( sonsuz kümenin ) x0 gibi
bir yığılma noktası vardır.  , C1 uzayı olduğundan x0 noktasının iç
içe azalan V1  V2  ... şeklinde açık kümelerden oluşan sayılabilir bir
7
Vn : n  
komşuluk tabanı vardır. x0 noktası  xn  dizisinin yığılma
noktası olduğundan her p 
için V p kümesine ait bir  xn
p

elemanı
alabiliriz. Böylece elde ettiğimiz  xn , xn ,...,  dizisi  xn  dizisinin bir alt
1
2
dizisidir ve x0 noktasına yakınsar. Çünkü her V 
olacak şekilde bir k 
vardır. Dolayısıyla
 x0 
x 
np
için Vk  V
dizisinin nk .cı
teriminden sonraki bütün elemanlar V içindedirler.
Sonuç 6.2.7. C1 uzayında bir küme dizisel kompakt  sayılabilir
kompakttır.
Sonuç 6.2.8.  ,  C2 uzayı olsun.  kümesi sayılabilir kompakt ise
 kümesi kompakttır.
İspat. Her C2 uzayının her açık örtüsü sayılabilir bir alt örtüye sahip
olduğundan sonuç açıktır.
Sonuç 6.2.9. C2 uzayında bir küme kompakt  sayılabilir kompakttır.
Sonuç 6.2.10. C2 uzayı, C1 uzayı olduğundan; C2 uzayında bir küme
kompakt  sayılabilir kompakt  dizisel kompakttır.
Teorem 6.2.11. Sayılabilir kompakt uzayın kapalı alt kümesi
sayılabilir kompakttır.
İspat.  sayılabilir kompakt uzay F   kapalı olsun. Eğer   F
sonsuz alt küme ise F   olduğundan  kümesi  kümesinin de
bir sonsuz alt kümesidir.  kümesi sayılabilir kompakt olduğundan
 kümesinin bir x   yığılma noktası vardır.   F olduğundan
bütün yığılma noktalarını ihtiva eder. Yani x  F dir. Yani F kümesi
sayılabilir kompakttır.
8
Teorem 6.2.12. Sürekli kompakt uzayın sürekli fonksiyon altındaki
görüntüsünün sürekli kompakt olması gerekmez.

İspat.    ,  , burada
1,2 ,3,4,5,6,...
pozitif tamsayılar kümesi üzerinde
kümeleri ile üretilmiş topoloji olan  kümesi
sayılabilir kompakttır. Y   , D  ayrık uzay olsun. Y sayılabilir
kompakt değildir. Diğer taraftan her n
n noktasına dönüştüren
f : Y
için 2n ve 2n 1 noktalarını
fonksiyonu süreklidir ve
f
fonksiyonu sayılabilir kompakt  kümesini sayılabilir olmayan Y
kümesi üzerine dönüştürür.
Teorem 6.2.13. Sayılabilir kompaktlık topolojik özelliktir.
Teorem 6.2.14. f :  , 1   Y , 2  dönüşümü bir homeomorfizm
olsun. Eğer  kümesi sürekli kompakt ise Y kümesi de sayılabilir
kompakttır.
İspat.
 n n
, Y kümesinin bir sayılabilir açık örtüsü olsun. f
fonksiyonu sürekli olduğundan her n
üzerinde açıktır ve f
1
için f  n  kümesi 
1
fonksiyonu birebir olduğundan f  n n
kümesi sayılabilirdir. Ayrıca
f
fonksiyonu örten olduğundan


  f 1  f  x    f 1  n  
f 1   n 
 i
 i
 f      : n  , 
1
n
olur.
Böylece
kümesinin sayılabilir sonlu örtüsüdür. 
sayılabilir kompakt olduğundan bu örtünün bir sonlu örtüsü yazılır.
Yani

n
i 1
f 1  i 
olur.
Buradan
her
i 1, 2,..., n
f  f 1  i    i olur. O halde f  x   Y sürekli kompakttır.
için
9