Document

Magnetic Materials
4. Ders: Paramanyetizma-2
Numan Akdoğan
[email protected]
Gebze Institute of Technology
Department of Physics
Nanomagnetism and Spintronic Research Center (NASAM)
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
 Kuantum mekaniği klasik teorinin özelliklerini değiştirmeden, deneyle teorik
sonuçların birbiriyle uyumlu olmalarını önemli ölçüde artırmıştır.
 Kuantum mekaniğinin temel varsayımı “bir sistemin enerjisinin sürekli
olarak değişmediğidir”. Değiştiği zaman enerji kesikli miktarlarda değişmelidir.
Bu kesikli miktarlar quanta olarak isimlendirilir.
 Eğer bir sistemin enerjisi bir açının fonksiyonuysa, bu açı yalnızca kesikli
olarak değişebilir. Bu bir paramanyetik malzemedeki durumun ta kendisidir.
 Paramanyetik bir malzemede H alanına maruz kalmış her bir  atomik
momentinin potansiyel enerjisi -Hcos ile verilir. Klasik teoride, enerjinin
dolayısıyla ’nın sürekli olarak değiştiği düşünülür ve  alanla herhangi bir açı
yapabilir. Kuantum teorisinde ise  yalnızca kesin 1, 2, ... değerlerini alabilir.
Ara değerler izinli değildir.
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
H
J=1/2
J=2
θ2
θ
a)
H
b)
θ3
c)
Klasik durumda (a) momentler her değeri alabilirler. Kuantum mekaniğinde ise (b ve c)
ancak kesikli değerleri alabilirler. Bunun sebebi ileride bahsedilecek olan J’dir.
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
 Moment alanla 1, 2, 3, ... açıları yapabilir. Bu açıları belirlemektense H
alanı yönündeki alabileceğe mümkün değerlerini belirleyelim. Bu mümkün
değerler:
  gmJ B
(3.25)
 Burada mJ, J ile ilgili bir kuantum sayısıdır. J toplam açısal momentumuna
sahip bir atom için izin verilen mJ değerleri:
J, J-1, J-2, … , -(J-2), -(J-1), -J
 Bunların sayısı (2J+1) tanedir. Mesela J=2’ye sahip bir atom için alan
yönündeki moment bileşeni aşağıdaki 5 değerden biri olmalıdır:
2 g B , g B ,0,  g B , 2 g B
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
’nün en büyük değeri:
  gJ B
(3.26)
 Bir atom için ’yü hesaplayabilmek için g’yi ve J’yi bilmeliyiz. g faktörü
(spektroskopik yarılma faktörü) Landé denklemi ile hesaplanır.
J  J  1  S  S  1  L  L  1
g  1
2 J  J  1
L : Orbital açısal momentumu kuantum sayısı
S: Spin açısal momentumu kuantum sayısı
J: Toplam açısal momentum kuantum sayısı
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
(3.27)
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
J  J  1  S  S  1  L  L  1
g  1
2 J  J  1
Eğer hiç orbital katkı yoksa L=0 ve J=S’dir. Böylece g=2 bulunur.
Eğer spin yok sayılırsa S=0 ve J=L olur. Böylece g=1 hesaplanır.
Birçok atom için g faktörü 1 ile 2 arasında değişir.
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
HUND KURALLARI
1. Toplam spin açısal momentumu (S) maksimum olmalıdır: Toplam spin
S’in maksimum değeri Pauli dışarlama ilkesiyle belirlenir ve spinler
orbitallere toplam spin mümkün olduğunca en büyük olacak şekilde
yerleşirler.
2. Toplam orbital açısal momentumu (L) maksimum olmalıdır: Elektronlar,
toplam orbital açısal momentumu en büyük yapacak şekilde orbitallere
yerleşirler. Onların pozisyonunu Pauli dışarlama ilkesi ve 1. Hund kuralı
belirler.
3. Toplam açısal momentum J’nin değeri:
 Kabuk yarıdan az dolu olduğu zaman: L-S
 Kabuk yarıdan fazla dolu olduğu zaman: L+S
 Kabuk yarı dolu olduğu zaman: L=0, J=S
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
HUND KURALLARI
4f kabuğunda 5 elektron bulunan bir atom için Hund kurallarını
uygulayalım:
L:
s p d f
0 1 2 3
+3
+2
mL=2L+1
+1
mL  2  3  1  7
0
-1
mL= 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3
-2
-3
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
S  5
1 5

2 2
L  3  2  1  0 1  5
5 5
J  L  S  5 
2 2
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
Şimdi tek bir atomun manyetik momentinin manyetik alan doğrultusundaki bileşeninin
ortalama değerini hesaplayalım.

1
a
J

 e

EmJ
kT

mJ  J
1
J

a m
J
 J
gmJ B  e
gmJ B H
kT
(3.28)
Buradaki EmJ bir atomun mJ kuantum durumundaki manyetik enerjisidir.
EmJ   gmJ B H
Denklem 3.28’deki a atomun EmJ enerjisine sahip olma olasılığı gösterir ve
üleşim fonksiyonu (partition function) ile hesaplanır:
a 
N. Akdoğan
J

mJ  J
e

EmJ
kT
J


mJ  J
4. Ders: Paramanyetizma-2
e
g B H
mJ
kT
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi

J
1

a
 e

EmJ
kT

mJ  J
1
J

a m
J
 J
gmJ B  e
gmJ B H
kT
(3.28)
Şimdi 3.28 denklemindeki toplam ifadesini çözelim.
J

mJ  J
gmJ B  e
Böylece:
N. Akdoğan
gmJ  B H
kT
d
 kT
dH
J

e
gmJ B H
kT
mJ  J
d a
d ln a
  kT
 kT
a
dH
dH
1
4. Ders: Paramanyetizma-2
d a
 kT
dH
olur.
(3.29)
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
d a
d ln a
  kT
 kT
a
dH
dH
1
(3.29)
3.29 denklemini aşağıdaki gibi de yazabiliriz:
d ln a dx
  kT
dx dH
(3.30)
3.30 denklemini çözebilmek için a’yı x’e bağlı olarak yazalım.
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
a 
J

e

EmJ

kT
mJ  J
J

mJ  J
g B H
x
kT
a 
J

e
g B H
mJ
kT
kısaltması yapılırsa:
e xmJ  e xJ  e x ( J 1)  e x ( J 2)    e xJ
(3.31)
mJ  J
Bu bağıntı sonlu bir geometrik seridir ve aşağıdaki gibi yazılabilir:
a 
N. Akdoğan
e
 xJ
x ( J 1)
e
x
1 e
4. Ders: Paramanyetizma-2
(3.32)
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
a 
e
 xJ
x ( J 1)
e
x
1 e
Pay ve paydayı e-x/2 ile çarparsak:
a 
e
1
 x( J  )
2
e
veya
x

2
e
e
1
x( J  )
2
(3.33)
x
2
1

sinh  J   x
2

a 
x
sinh
2
olur.
(3.34)
Artık 3.34 ifadesini 3.30 denkleminde kullanabiliriz.
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
d ln a dx
  kT
dx dH
1

sinh  J   x
2

a 
x
sinh
2
ve
g B H
x
kT
(3.30)
idi.
Böylece:
d ln  a
  g B
dx
Bu logaritmik fonksiyonun türevini alırsak:
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
(3.35)
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi

1
1

 x 
J

cosh
J

x
cosh



 

2
2
1


 2 
  g B 
 
1

 2  sinh  x  

sinh  J   x
 

2

2
 1 
1
1
1

 x  
  g B J   J   coth  J   x  coth   
2
2
2

 2  
 J 
g B H
x
kT
(3.36)
(3.37)
olarak tanımlamıştık. Bunu a cinsinden yazabiliriz.
a
H
kT
ve
  gmJ B
idi.
mJ’nin en büyük değeri J olduğundan ’nün en büyük değeri:
gJ  B H
a
kT
N. Akdoğan
  gJ B
ve
4. Ders: Paramanyetizma-2
olur. Böylece:
x
a
J
olur.
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
 1 
1
1
1

 x  
  g B J   J   coth  J   x  coth   
2
2
2

 2  
 J 
(3.37)
Denklem 3.37’de x yerine a/J yazarsak:
 2J 1
1
a 
 2J 1 
  g B J 
coth 
coth 
a 
2J
2J 
 2J 
 2J
Denklem 3.37’de parantez içindeki kısım Brillouin fonksiyonudur ve BJ(a) ile gösterilir.
BJ  a  
N. Akdoğan
2J 1
1
a
 2J 1 
coth 
a

coth

2J
2
J
2J
2J


4. Ders: Paramanyetizma-2
(3.38)
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
Dolayısıyla tek bir atomun manyetik alan doğrultusundaki ortalama manyetik momenti:
  g B JBJ (a)
(3.39)
Birim hacimde n tane atom olan sistemin
manyetik momenti (mıknatıslanması) ise:
M  ng B JBJ (a)
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
(3.40)
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
a>>1 için (düşük sıcaklık), cotha 1 ve BJ(a) 1 olur. Böylece:
M  ngJ B
a<<1 için (yüksek sıcaklık),
(3.41)
1 a a3
coth a      ve
a 3 45
BJ (a) 
a( J  1)
3J
3.40 denkleminde BJ(a)’i yerine yazarsak:
a( J  1)
M  ngJ B BJ (a)  ngJ B
3J
gJ  B H
a
kT
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
idi.
(3.42)
Paramanyetizmanın Kuantum Teorisi
nJ ( J  1) g 2  B 2 H
M
3kT
neff 2
M nJ ( J  1) g  B



H
3kT
3kT
2
2
neff 2
C


3kT
T
eff  g J ( J  1)B
eff: etkin manyetik moment
N. Akdoğan
4. Ders: Paramanyetizma-2
(3.43)
(3.44)
(3.45)
(3.46)