Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri Salim Yüce Prof. Dr. DİFERANSİYEL GEOMETRİ ISBN 978-605-318-812-4 DOI 10.14527/9786053188124 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. © 2017, PEGEM AKADEMİ Bu kitabın basım, yayım ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ye aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Pegem Akademi Yayıncılık, 1998 yılından bugüne uluslararası düzeyde düzenli faaliyet yürüten uluslararası akademik bir yayınevidir. Yayımladığı kitaplar; Yükseköğretim Kurulunca tanınan yükseköğretim kurumlarının kataloglarında yer almaktadır. Dünyadaki en büyük çevrimiçi kamu erişim kataloğu olan WorldCat ve ayrıca Türkiye'de kurulan Turcademy.com ve Pegemindeks.net tarafından yayınları taranmaktadır, indekslenmektedir. Aynı alanda farklı yazarlara ait 1000’in üzerinde yayını bulunmaktadır. Pegem Akademi Yayınları ile ilgili detaylı bilgilere http://pegem.net adresinden ulaşılabilmektedir. 1. Baskı: Şubat 2017, Ankara Yayın-Proje: Özlem Sağlam Dizgi-Grafik Tasarım: Tuğba Kuşcuoğlu Kapak Tasarımı: Pegem Akademi Baskı: Vadi Grup Ciltevi A.Ş. İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105 Yenimahalle/ANKARA (0312 394 55 91) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 26687 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: [email protected] İçindekiler iii ÖN SÖZ Kitabımı, bu ülke için canlarını feda eden tüm 15 Temmuz şehitlerimiz nezdinde mesai arkadaşım Prof. Dr. İlhan VARANK kardeşime ithaf ediyorum. Bu kitap, üniversitelerin Matematik, Matematik Mühendisliği, Matematik Bilgisayar, İstatistik, Matematik Öğretmenliği ve Jeoloji Mühendisliği bölümlerinde lisans ve lisansüstü düzeyde okutulan “Diferansiyel Geometri” derslerinin kaynak kitabı olacağı düşüncesiyle kaleme alınmıştır. Bu kitap sadece Öklid uzayı üzerine inşa edilmiştir. planlanan bir sonraki kitapta ise sadece Manifoldların incelenmesi düşünülmektedir. Bu bağlamda, kitabın birinci bölümünde temel kavram olarak Afin ve Öklid uzayları tanıtılmış; ikinci bölümde, diferansiyellenebilir fonksiyonlar, tanjant vektör-vektör alanı, yöne göre türev, kovaryant türev, Lie operatörü, kotanjant vektör, 1 form, diferansiyel formlar, gradient-divergens-rotasyonel fonksiyonlar ve türev dönüşümü verilmiş; üçüncü bölümde, 2 veya 3 veya nboyutlu Öklid uzaylarında ve Minkowski 3-uzayında eğriler teorisi incelenmiş, ayrıca özel eğriler ve özel eğri çiftleri verilmiş; dördüncü bölümde, n-boyutlu Öklid uzayında hiperyüzeyler ile 3-boyutlu Öklid uzayında yüzeyler teorisi incelenmiş ve ayrıca yüzey üzerindeki eğrilerin eğrilikleri ile yüzeyin eğrilikleri arasında bağıntılar elde edilmiştir. Beşinci bölümde ise yüzeylerin dönüşümleri, global özellikleri, yüzeyler üzerinde formlar ve Gauss Bonnet teoremi üzerinde durulmuş; altıncı bölümde özel yüzeyler incelenmiş ve her biri için matlab çizimleri verilerek örneklendirilmiştir. Bunlara ek olarak her bölüm içerisinde konulara özel sorular çözülmüş ve konu sonunda da alıştırmalar verilmiştir. En önemlisi de yedinci ve son bölüm olan “Maple Uygulamaları” bölümünde kitap içerisinde anlatılan bazı geometrik formüller için kodlar verilmiştir. Kitabın tüm metnini titizlikle okuyarak yapıcı uyarı ve önerilerinde bulunan Prof. Dr. Ertuğrul ÖZDAMAR Hocama, ayrıca kitabın yazımını gerçekleyen Yrd. Doç. Dr. Nurten (BAYRAK) GÜRSES, Arş. Gör. G. Yeliz ŞENTÜRK, Arş. Gör. Esra ERKAN, ve doktora öğrencim G. Kemal NALBANT ile MAPLE kodlarını yazan Yrd. Doç. Dr. Mutlu AKAR nezdinde tüm geometri grubu asistanlarıma teşekkür ederim. iv ÖklidUzayındaDiferansiyelGeometri Son olarak, akademik hayatımın her noktasında yanımda olan Hocam Sayın Prof. Dr. Nuri KURUOĞLU’na emekleri için teşekkürlerimi sunarım. Bana olan sevgi, güven ve yardımları ile her zaman yanımda olan sevgili annem, babam, eşim, çocuklarım ve kardeşlerim bu kitabın gerçek yazarlarıdır. Prof. Dr. Yıldız Teknik Üniversitesi [email protected] İçindekiler v İÇİNDEKİLER Ön Söz .......................................................................................................................iii İçindekiler.................................................................................................................. v 1. Bölüm Temel Kavramlar 1.1. Afin Uzay ........................................................................................................... 2 1.2 Öklid Uzayı ......................................................................................................... 7 2. Bölüm Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar 2.1. k-yıncı Sınıftan Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar ................................... 18 2.2. Tanjant Vektörler ve Tanjant Uzaylar ......................................................... 29 2.3. Vektör Alanları ve Vektör Alanlarının Uzayı ............................................. 34 2.4. Yöne Göre Türev ............................................................................................. 39 2.4.1. Yöne Göre Türevin Geometrik Yorumu .......................................... 42 2.4.2. Reel Değerli Fonksiyonların Bir Vektör Alanı Yönündeki Türevi ................................................................................ 52 2.5. Bir Vektör Alanının Bir Diğer Vektör Alanına Göre Kovaryant Türevi................................................................................... 58 2.6. Lie Operatörü .................................................................................................. 67 2.7. Kotanjant Vektör ve Kotanjant Uzay ........................................................... 87 vi ÖklidUzayındaDiferansiyelGeometri 2.8. Diferansiyel Operatör (d Operatörü) ........................................................... 90 2.9. Grandient, Divergens ve Rotasyonel Fonksiyonlar .................................. 100 2.9.1. Gradient Fonksiyonu ........................................................................ 100 2.9.2. Divergens Fonksiyonu ...................................................................... 105 2.9.3. Rotasyonel Fonksiyon ....................................................................... 107 2.10. Diferansiyel Formlar................................................................................... 111 2.10.1. Alterne (Dış, Kutupsal, Anti-Simetrik) Çarpım .......................... 111 2.10.2. Dış Türev .......................................................................................... 118 2.10.3. Alterne Çarpımın Determinantla İlgisi ........................................ 126 2.11. Bir Dönüşümün Diferansiyeli ................................................................... 128 2.11.1. Türev Dönüşümünün Geometrik Yorumu ................................. 138 2.11.2. Türev Dönüşümünün Matrisi ....................................................... 146 3. Bölüm Eğriler Teorisi 3.1. Eğri Tanımı .................................................................................................... 156 3.2. Hız Vektörü ................................................................................................... 161 3.3. Skalar Hız Fonksiyonu ve Skalar Hız ......................................................... 164 3.4. Parametre Değişimi ...................................................................................... 167 3.5. Düzlemde Eğriler .......................................................................................... 179 3.5.1. Düzlemde Eğrilerin Eğriliği ............................................................. 181 3.5.2. Açı Fonksiyonları .............................................................................. 187 3.5.3. Düzlemsel Eğriler İçin Frenet Formülleri ...................................... 192 3.5.4. E2 de Özel Eğriler ............................................................................... 198 3.5.5. Toplam İşaretli Eğrilik ...................................................................... 205 3.5.6. Bir Kapalı Eğrinin Dönme İndeksi ................................................. 208 İçindekiler vii 3.6. En Uzayında Eğriler ....................................................................................... 212 3.6.1. Serret-Frenet Vektörleri ................................................................... 212 3.6.2. Bir Eğrinin Oskülatör Hiperdüzlemleri ......................................... 217 3.6.3. Frenet Formülleri ve Eğrilikler ........................................................ 219 3.7. E3 Uzayında Eğriler ....................................................................................... 224 3.7.1. Frenet Formülleri ve Eğrilikler ........................................................ 224 3.7.2. Özel Düzlemler .................................................................................. 235 3.7.3. κ ve τ Eğriliklerinin Geometrik Yorumu .................................. 237 3.7.4. Birim Hızlı Olmayan Eğriler İçin Frenet Formülleri ve Eğrilikler ......................................................................................... 244 3 3.8. ! 1 Minkowski Uzayında Frenet Formülleri ve Eğrilikler ...................... 257 3.9. Özel Eğriler .................................................................................................... 261 3.9.1. Küresel Eğriler .................................................................................... 261 3.9.2. Oskülatör Küre................................................................................... 262 3.9.3. Helisler (Eğilim Çizgileri) ................................................................. 276 3.9.3.1. E3 Öklid Uzayında Eğilim Çizgileri ........................................ 277 3.9.4. İnvolut (Basit) ve Evolut (Mebsut).................................................. 284 3.9.4.1. E3 de İnvolut-Evolüt Eğri Çifti ................................................ 285 3.9.5. Bertrand Eğri Çifti ............................................................................. 288 3.9.5.1. E3 de Bertrand Eğri Çifti .......................................................... 288 3.10. Bir Eğrinin Küresel Göstergeleri ............................................................... 294 3.11. Bağ Formları ................................................................................................ 302 viii ÖklidUzayındaDiferansiyelGeometri 4. Bölüm En de Hiperyüzeyler 4.1. Dik Koordinat Sisteminde Kapalı Denklem Yardımıyla Yüzeyin Tanımı ............................................................................................. 310 4.2. E3 Öklid Uzayında Yüzey ............................................................................. 318 4.3. Hiperyüzeylerde Yönlendirme .................................................................... 329 4.4. Hiperyüzeyler Üzerinde Geodezik Eğriler................................................. 331 4.5. Hiperyüzeyler Üzerinde Şekil Operatörü (Weingarten Dönüşümü) ............................................................................. 336 4.5.1. E3 de Bir M Yüzeyinin Şekil Operatörünün Matrisinin Hesabı .............................................................................. 342 4.6. Gauss Dönüşümü .......................................................................................... 347 4.6.1. Gauss Dönüşümü ve Şekil Operatörü Arasındaki İlişki .............. 349 4.7. Temel Formlar ............................................................................................... 350 4.8. Yüzeyin Normlar Eğriliği ............................................................................. 352 4.9. Şekil Operatörünün Cebirsel Değişmezleri ............................................... 355 4.9.1. Asli Eğrilikler, Asli Doğrultular ....................................................... 357 4.9.2. Gauss Eğriliği ..................................................................................... 359 4.9.3. Ortalama Eğrilik ................................................................................ 365 4.9.4. Eğrilik Çizgisi (Asli Eğri) .................................................................. 369 4.10. Yüzeyler Üzerinde Eğrilerin Geodezik ve Normal Eğriliği ................... 384 4.11. Hiperyüzeylerin Global Özellikleri ........................................................... 390 4.11.1. Temel Formun Özellikleri .............................................................. 390 4.11.2. Hiperyüzeyler İçin Euler Teoremi ................................................ 391 4.11.3. Dupin Göstergesi ............................................................................. 396 4.12. Hiperyüzeyler Üzerinde Gauss Anlamında Kovaryant Türev.............. 398 4.12.1. Gauss Denklemlerinin Küresel Göstergelere Uygulanması ...... 402 4.13. Bazı Hiperyüzeyler ve Eğrilikleri .............................................................. 404 İçindekiler ix 4.13.1. Hiperdüzlem .................................................................................... 404 4.13.2. Hiperküre ......................................................................................... 407 4.13.3. Hipersilindir ..................................................................................... 412 5. Bölüm Yüzeylerin Dönüşümleri 5.1. Yüzeylerin Dönüşümleri .............................................................................. 418 5.2. Yüzeylerin Global Özellikleri ...................................................................... 437 5.3. Yüzeyler Üzerinde Formlar ......................................................................... 442 5.4. Gauss Bonnet Teoremi ................................................................................. 454 6. Bölüm Özel Yüzeyler 6.1. Minimal Yüzeyler .......................................................................................... 472 6.2. Paralel Yüzeyler ............................................................................................. 476 6.3. Möbiüs Şeridi ................................................................................................. 484 6.4. Klein Şişesi ..................................................................................................... 485 6.5. Dönel Yüzeyler .............................................................................................. 486 6.6. Regle Yüzeyler ............................................................................................... 488 6.7. Tor Yüzeyi ...................................................................................................... 500 x ÖklidUzayındaDiferansiyelGeometri 7. Bölüm Maple Uygulamaları 7.1. Diferansiyellenebilir Fonksiyonlar İçin Maple Uygulamaları ................ 502 7.1.1. Tanjant Vektörü Yönünde Türev.................................................... 502 7.1.2. Reel Değerli Fonksiyonların Bir Vektör Alanı Yönündeki Türevi .............................................................................. 505 7.1.3. Bir Vektör Alanının Bir Diğer Vektör Alanına Göre Kovaryant Türevi ............................................................................. 506 7.1.4. Gradient Fonksiyonu ........................................................................ 507 7.1.5. Divergens Fonksiyonu ...................................................................... 508 7.1.6. Rotasyonel Fonksiyon ....................................................................... 509 7.1.7. Bir Dönüşümün Diferansiyeli .......................................................... 510 7.2. Eğriler Teorisi İçin Maple Uygulamalar .................................................... 511 7.3. Yüzeyler İçin Mapple Uygulamalar ............................................................ 533 Kaynaklar ............................................................................................................. 545 Dizin ............................................................................................................. 549 Temel Kavramlar 1 1. BÖLÜM TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, Afin uzaylar ve Öklid uzayları ele alınacaktır. Her iki uzay da, bir vektör uzayı ile ilişkilendirilmiş nokta kümeleridir. Böyle bir ilişkilendirme sonucunda, vektör uzaylarının özellikleri yardımıyla nokta uzayları ve o uzaylardaki geometrik biçimler incelendi. 2 Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri Afin Uzay Tanım 1.1 (Afin uzay): A bir küme ve V , reel sayılar cismi üzerinde n -boyutlu bir vektör uzayı olsun. Eğer f : A A V P, Q f P, Q PQ fonksiyonu, A1) P, Q, R A için f P, Q f Q, R f P, R ( veya PQ QR PR ) A2) P A, V için PQ olacak şekilde bir tek Q A vardır. özelliklerini sağlıyorsa A ’ya V vektör uzayı ile birleşen n-boyutlu bir Afin Uzay denir. Ayrıca A1) ve A2) özelliklerine ise afin aksiyomlar adı verilir. Örnek 1.1: V n (vektör uzayı) ve A üzere A n kümesi V n n (sıralı n -lilerin kümesi) olmak vektör uzayı ile birleşen bir afin uzaydır. Gösteriniz. Çözüm f: n n n P, Q f P, Q PQ Q P OQ OP Temel Kavramlar 3 fonksiyonunu tanımlayalım. A1) PQ QR PR olduğunu göstereceğiz. f P, Q f Q, R = PQ QR Q P R Q R P PR f (P, R) P p 1 , p 2 ,..., p n A2) n A, 1 , 2 ,..., n PQ q1 p1 , q2 p2 ,..., qn pn 1 , 2 ,..., n n V için olmak üzere qi pi i ; i 1,2,..., n bulunur. O halde verilen i ve pi için qi ler de tektir. Bu durumda n sıralı n -lilerin kümesi, n standart vektör uzayı ile birleşen n -boyutlu bir afin uzaydır. Afin Uzay ile Vektör Uzayının Karşılaştırılması V vektör uzayında 0 0 olacak şekilde bir 0 vektörü varken afin uzayda benzer özelliğe sahip bir nokta yoktur. V vektör uzayının elemanları vektörler iken V ile birleşen A afin uzayının elemanları bir kümenin sıradan elemanlarıdır. Bu nedenle A afin uzayının elemanlarına noktalar denir. Bilindiği gibi elemanları nokta diye adlandırılan bir küme uzay adını alır. Afin Aksiyomlardan Elde Edilen Sonuçlar boy V boy A A1) aksiyomu gereğince; afin uzayda iki nokta bir vektör belirtir. 4 Öklid Uzayında Diferansiyel Geometri A2) aksiyomu gereğince; afin uzayda bir nokta seçilirse uzaydaki her nokta bir vektör belirtir. Tanım 1.2 (Afin Çatı): V n -boyutlu bir vektör uzayı ve A , V vektör uzayı ile birleşen bir afin uzay olsun. P0 , P1 ,..., Pn A noktaları için P P , P P ..., P P 0 1 0 2 0 n vektör sistemi V ’nin bir bazı ise P0 , P1 ,..., Pn kümesine A afin uzayının bir afin çatısı denir. P0 noktasına çatının başlangıç noktası, P1, P2 ,..., Pn noktalarına da afin çatının uç noktaları denir. Teorem 1.1: A , V vektör uzayı ile birleşen n-boyutlu bir afin uzay olsun. A ’da belli bir P0 A noktası tespit edildiğinde başlangıç noktası P0 olan bir afin çatı vardır. İspat: boyV n olmak üzere V ’nin bir bazı 1 , 2 ..., n olsun. A afin uzayında gereğince P0 noktasını tespit edelim. Böylece A2) afin aksiyomu P0 Pi i , 1 i n olacak şekilde bir tek Pi A noktası vardır. O halde P1 , P2 ,..., Pn A noktaları elde edilir. i sistemi V nin bir bazı olduğundan P0 Pi i için P P , P P ..., P P de 0 1 0 2 0 n V ’nin bir bazıdır. O halde afin çatı tanımından, P0 , P1 ,..., Pn nokta kümesi A da bir afin çatıdır.