KES KL KUANTUM YÜRÜYÜ MODEL VE UYGULAMALARI

DOKUZ EYLÜL ÜNVERSTES
FEN BLMLER ENSTTÜSÜ
KESKL KUANTUM YÜRÜYܓ MODEL
VE
UYGULAMALARI
Meltem GÖNÜLOL
Aralk, 2011
ZMR
KESKL KUANTUM YÜRÜYܓ MODEL
VE
UYGULAMALARI
Dokuz Eylül Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Doktora Tezi
Fizik Bölümü, Fizik Anabilim Dal
Meltem GÖNÜLOL
Aralk, 2011
ZMR
TE“EKKÜR
Bu tez çal³masnn sürdürülmesi ve tamamlanmasnda çok de§erli deste§i ve
katklar olan dan³man hocam Prof. Dr. Hamza POLAT'a (Dokuz Eylül Üniversitesi
Fizik Bölümü Ögretim Üyesi) çok te³ekkür ederim.
Bu tezin ortaya çkmas, sürdürülmesi ve tamamlanmas sürecinde çok eme§i olan
ve bilimsel birikiminden her zaman yararland§m ikinci dan³manm Doç. Dr. Ekrem
AYDINER'e ( stanbul Üniversitesi Fizik Bölümü Ögretim Üyesi) ve ayrca bilimsel
katklarndan dolay Doç. Dr. Özgür Esat MÜSTECAPLIO‡LU'na (Koç Üniversitesi
Fizik Bölümü Ögretim Üyesi) çok te³ekkür ederim.
Bu tez çal³mas, yürütücülü§ünü Doç.
benimde
bursiyer
E³-evresizlik"
doktora
(109T681)
problemlerden üretilmi³tir.
ö§rencisi
adl
Dr.
olarak
TÜBTAK
yer
Ekrem AYDINER'in yapt§ ve
ald§m
Ara³trma
"Kuantum
Projesinde
Yürüyü³te
ele
alnan
Bu projeyi ve dolaysyla tez çal³masn destekleyen
TÜBTAK'a te³ekkür ederim.
Doktora çal³masn yürüttü§üm süre içinde dostluklarn,
manevi ve teknik
desteklerini benden esirgemeyen arkada³larm Ara³. Gör. Ebru KI“ ÇAM, Yrd. Doç.
Dr. Cenk AKYÜZ, Ara³. Gör. Dr. Ümit AKINCI, Ara³. Gör. Ahmet ÇELKO‡LU
ve Ara³. Gör. Sevil SARIKURT'a te³ekkür ederim.
Ayrca deste§ini hep yanmda hissetti§im aileme çok te³ekkür ederim.
Meltem GÖNÜLOL
iii
KESKL KUANTUM YÜRÜYܓ MODEL VE UYGULAMALARI
ÖZ
Bu tezde, kesikli kuantum yürüyü³ modeli incelenmi³ ve bu modelle ilgili baz
uygulamalara
yer
tasarlanmasnda
matematiksel
verilmi³tir.
ve
bir
kuantum
Kuantum
difüzyon
modeldir.
Kuantum
yürüyü³,
olaylarnn
yürüyü³ün
kuantum
algoritmalarnn
açklanmasnda
potansiyelini
kullanlan
tam
olarak
kullanabilmek ve etkili kuantum algoritmalar olu³turabilmek için kuantum yürüyü³ün
özelliklerini iyi bilmek ve e³-evresizlik (decoherence) problemi kar³snda kuantum
yürüyü³ün davran³n anlamak gerekir. E³-evresizlik yokken ve e³-evresizlik etkisi
altnda kuantum yürüyü³ün dinami§i ile ile ilgili birçok çal³ma yaplm³ ve çe³itli
e³-evresizlik modelleri önerilmi³tir. Bu konudaki çal³malar halen devam etmektedir.
Bu
nedenle
bu
incelenmi³tir.
tezde,
lk
kuantum
çal³mada,
e³-evresizlik problemi,
yürüyü³
iki
ve
boyutlu
kuantum Hadamard,
e³-evresizlik
tuzakl
örgüde
ile
ilgili
kuantum
problemler
yürüyü³te
Fourier ve Grover yürüyü³leri için
incelenmi³, Hadamard yürüyü³ünde ortaya çkan e³-evresizli§in Fourier ve Grover
modelindeki e³-evresizlikten daha küçük oldu§u gösterilmi³tir. kinci çal³mada, ayn
fakat üç boyutlu tuzakl örgü modelinde Hadamard yürüyü³ü kullanlarak, kuantum
e³-evresizli§in boyuta ba§ll§ incelenmi³ ve e³-evresizlik ile örgü-boyutu arasndaki
ili³kiler bulunmu³tur. Son çal³mada, kuantum yürüyücülerin tuzakl örgüde ya³ama
olaslklar tart³lm³, yürüyücülerin ya³ama olaslklarnn (survival probability)
zamana ba§l evriminin gerilmi³ üstel yasaya uydu§u bulunmu³tur.
Anahtar sözcükler: Klasik rastgele yürüyü³, kuantum yürüyü³, e³-evresizlik,
ya³ama olasl§.
iv
DISCRETE QUANTUM WALK MODEL AND ITS APPLICATIONS
ABSTRACT
In this thesis, discrete quantum walk model is examined and presented some
applications of this model. Quantum walk is a mathematical model which is used for
designing quantum algorithms and explaining quantum diffusion processes. In order
to use the quantum walk's potential fully and compose efcient quantum algorithms, it
is important to know its properties and understand its behavior against to decoherence
problem. A lot of studies of the quantum walk's dynamics in the absence and presence
of decoherence have been made and various decoherence models have been presented.
Studies of this subject have still continued. Therefore, in this thesis, quantum walk
and decoherence problems have been examined.
In the rst study,
quantum
Hadamard, Fourier and Grover walks have been analyzed in two dimensional trapped
lattice and found that generated decoherence in Hadamard walk is more smaller than
generated in Fourier and Grover walks. In the second study, using the same but three
dimensional trapped lattice model with Hadamard walk, the dependence of dimension
of decoherence has been investigated and relations between decoherence and lattice
dimension have been found. In the last study, survival probability of quantum walkers
has been examined in trapped lattice and found that evaluation of the time dependence
of the survival probability of quantum walkers obeys the stretched exponential law.
Keywords: Classical random walk, quantum walk, decoherence, survival probability.
v
İÇİNDEKİLER
Sayfa
DOKTORA TEZİ SINAV SONUÇ FORMU ............................................................ ii
TEŞEKKÜR .............................................................................................................. iii
ÖZ .............................................................................................................................. iv
ABSTRACT ............................................................................................................... v
BÖLÜM BİR - GİRİŞ ............................................................................................... 1
BÖLÜM İKİ – KUANTUM YÜRÜYÜŞ VE EŞ-EVRESİZLİK........................... 5
2.1 Giriş .................................................................................................................. 5
2.2 Klasik Rastgele Yürüyüş .................................................................................. 5
2.2.1 Bir Boyutlu Örgü Üzerinde Klasik Rastgele Yürüyüş ............................ 6
2.2.2 Klasik Rastgele Yürüyüşte Varyans ve Momentler ................................. 7
2.2.3 Klasik Rastgele Yürüyüş ve Difüzyon Denklemi .................................... 9
2.3 Kuantum Yürüyüş .......................................................................................... 12
2.3.1 Kesikli Kuantum Yürüyüş Modeli ......................................................... 14
2.3.2 Sürekli Kuantum Yürüyüş Modeli ......................................................... 18
2.4 Kuantum Yürüyüşün Fiziksel Uygulamaları ................................................. 21
2.5 Kuantum Yürüyüşte Eş-Evresizlik ................................................................ 23
BÖLÜM ÜÇ – İKİ BOYUTLU TUZAKLI ÖRGÜDE KUANTUM
YÜRÜYÜŞTE EŞEVRESİZLİK ........................................................................... 26
3.1 Giriş ................................................................................................................ 26
3.2 İki Boyutta Kuantum Yürüyüş ...................................................................... 27
3.3 Model ve Hesaplamalar ................................................................................. 28
3.4 Sonuçlar ve Tartışma ..................................................................................... 30
vi
BÖLÜM DÖRT – ÜÇ BOYUTLU ÖRGÜDE KUANTUM YÜRÜYÜŞ ........... 38
4.1 Giriş ................................................................................................................ 38
4.2 Üç Boyutta Kuantum Yürüyüş ....................................................................... 38
4.3 Model ve Hesaplamalar .................................................................................. 40
4.4 Sonuçlar ve Tartışma ...................................................................................... 41
BÖLÜM BEŞ – BİR BOYUTLU TUZAKLI ÖRGÜDE KUANTUM
YÜRÜYÜŞTE YAŞAMA OLASILIĞI ................................................................ 49
5.1 Giriş ................................................................................................................ 49
5.2 Model ve Hesaplamalar .................................................................................. 51
5.2.1 Çok Parçacık ile Kuantum Yürüyüş ....................................................... 52
5.2.2 Yaşama Olasılığı .................................................................................... 53
5.3 Sonuçlar ve Tartışma ...................................................................................... 55
5.3.1 Kuantum Yürüyüşte Yaşama Olasılığı ................................................... 55
5.3.2 Klasik ve Kuantum Yürüyüşte Yaşama Olasılığı ................................... 58
5.3.3 Tek Parçacık ile Kuantum Yürüyüşte Konum Ölçümü ve Çok Parçacık
ile Kuantum Yürüyüşte Yaşama Olasılığı ....................................................... 60
BÖLÜM ALTI - SONUÇLAR ............................................................................... 64
KAYNAKLAR ......................................................................................................... 66
vii
BÖLÜM BR
GR“
Kuantum yürüyü³ (quantum walk), klasik rastgele yürüyü³ün (classical random
walk) kuantum mekaniksel kar³l§dr.
algoritmalarnn
geli³tirilmesi
ve
Kuantum yürüyü³, son yllarda kuantum
kuantum
difüzyon
olaylarnn
açklanmasnda
yaygn olarak kullanlan bir modeldir (Grover, 1996; Shor, 1994). Kuantum yürüyü³
ilk defa 1993 ylnda Aharonov, Davidovich ve Zagury tarafndan modellenmi³tir.
Fakat kuantum yürüyü³ün tarihi, zik literatüründe etraca çal³lm³ olan kuantum
difüzyon dinami§i çal³malarna kadar gider (Feynman, Leighton ve Sands, 1964).
Günümüzde kullanlan dijital bilgisayarlarn algoritmik çal³ma prensipleri, klasik
mantk temeline dayanr. Mevcut bilgisayarlarn kapasiteleri geçmi³e oranla ³a³rtc
hz, bellek ve i³lem kapasitesine sahiptir.
Fakat bilgisayar teknolojisinin sürekli
geli³meye devam etmesi ve üreticilerin giderek daha küçük devreler tasarlamas ile
çok daha hzl ve çok yüksek i³lem kapasiteleri olan bilgisayarlar elde etme serüveni
durmakszn devam etmektedir.
Bunun sonucu olarak bilgisayar teknolojisi de
kuantum zi§inin snrlarna do§ru evrilmektedir. Kuantum hesaplama prensiplerine
göre çal³an kuantum bilgisayar elde etmek mümkün olabilecek mi bunu zaman
içinde görece§iz. Fakat ³unu söyleyebiliriz ki, günümüzde kuantum bilgisayar elde
edebilmek
için
hem
teorik
hem
de
deneysel
çal³malar
çok
yo§un
olarak
sürdürülmektedir.
Kuantum mekani§inin algoritmik problemlerde kullanlma kri, Feynman'a kadar
dayanr. Feynman bu krin uygulamasn, kuantum mekaniksel sistemlerin ancak bir
kuantum sistemi ile modellenebilece§ini dü³ünerek gerçekle³tirmi³tir (Feynman,
1982, 1986). Feynman, kuantum mekaniksel sistemlerin di§er kuantum mekaniksel
sistemleri modellemek için iyi bir donanma sahip oldu§unu, bu nedenle kuantum
bilgisayar ile bu tür bir modellemenin yaplabilece§ini öne sürmü³tür. Bu probleme
bir ba³ka yakla³mda Deutch (1985) tarafndan yaplm³tr.
Deutch,
mekani§i ile Church-Turing prensibini birle³tirmeye çal³m³tr.
kuantum
E§er makine
kuantum mekaniksel ise makinenin ziksel temeli üzerinde bir uyarlama yaplmas
1
2
gerekti§i dü³üncesini önermi³ ve Church-Turing-Deutch prensibini olu³turmu³tur.
Deutch bu çal³masnda ayn zamanda klasik bilgisayarlarla çözümü mümkün
olmayan fakat kuantum zi§i prensiplerine uygun, kolay bir çözümü olan ve ilk somut
saysal çal³ma olan Deutch algoritmasn önermi³tir.
Bu algoritma, iki kubitten
olu³an en küçük algoritma olmasnn yannda sonraki algoritmalarn da ana bile³enini
olu³turur ve kuantum algoritmalarnn nasl çal³t§n anlamak açsndan önemlidir.
Kuantum algoritmalarnda esas bulu³, Peter Shor (1994) tarafndan yaplm³tr.
Shor, büyük bir saynn çarpanlarn bulmak için etkili bir kuantum algoritmas
tasarlam³ ve bu algoritma ile bir tamsayy çarpanlarna ayrma i³inin en iyi bilinen
klasik kar³l§ndan üstel olarak daha hzl yaplabilece§ini göstermi³tir.
Shor'un
ardndan Grover (1996), önerdi§i algoritma ile sral olmayan bir veri tabannda arama
probleminin
göstermi³tir.
klasik
algoritmadan
kuadratik
olarak
daha
hzl
yaplabilece§ini
Bu geli³meler, kuantum bilgi ve kuantum hesaplama alanlarnda
kuantum zi§i, bilgisayar bilimi, matematik, mühendislik gibi çok çe³itli disiplinlerde
aktif çal³malar yaplmasn sa§lam³tr.
Çe³itli problemlerin klasik algoritmalardan
daha etkili çözümü için önerilen kuantum algoritmalarnn tasarm ve analizi en çok
ilgi gören ara³trma konularndan biri olmu³tur (Nielsen ve Chuang, 2000).
Mevcut bilgisayarlarda kullanlan klasik algoritmalarn ço§u rastgele yürüyü³ü
temel alr. Di§er bir söyleyi³le rastgele yürüyü³, klasik algoritmalarn matematiksel
modelidir. Bu nedenle rastgele yürüyü³, klasik algoritmalarn yap ta³dr diyebiliriz.
Benzer ³ekilde kuantum yürüyü³ modeli de kuantum algoritmalar ve kuantum
hesaplama için önemli bir yap ta³dr.
Kesikli ve sürekli kuantum yürüyü³ modellerinin ikisi de algoritmalarda çe³itli
problemlerin çözümü için yaygn bir ³ekilde kullanlm³tr. Kesikli kuantum yürüyü³
için ilk kuantum algoritmalar Aharonov ve ark. (2001) ve Ambainis ve ark. (2001)
tarafndan olu³turulmu³tur. Bu çal³malar takiben, hiperküpte (hypercube) kuantum
yürüyü³te bir kö³eden di§er kö³eye ula³ma zamannn (hitting time), klasik durumdan
üstel olarak daha hzl oldu§u gösterilmi³ (Kempe, 2005) ve Moore ve Russel (2002)
tarafndan yaplan çal³mada ayn hzllk, yürüyü³ün kararl bir da§lma ula³mas
için gerekli zaman olan birle³tirme zamannda da (mixing time) elde edilmi³tir.
3
Kuantum
yürüyü³
önerilmi³tir.
kullanlarak
kuantum
arama
(quantum
search)
algoritmalar
(Aaronson ve Ambainis, 2005; Ambainis, Kempe ve Rivosh, 2005;
Childs ve Glodstone 2004; Shenvi, Kempe ve Whaley, 2003). Childs ve ark. (2003)
tarafndan yaplan çal³mada, sürekli kuantum yürüyü³ kullanarak özel bir grakte bir
kö³eden di§er kö³eye,
klasik durumdan üstel olarak daha hzl ula³labilece§i
gösterilmi³tir. 2007 ylnda Ambainis, en etkili kuantum algoritmasn olu³turmak için
kuantum yürüyü³ü eleman farkll§ (element distinctness) problemine uygulam³tr.
Bu çal³malarn yan sra kuantum yürüyü³, sorgu (query) modeli olarak birçok farkl
probleme uygulanm³tr. Bu problemlerden bazlar üçgen bulma (Magniez, Santha,
ve Szegedy, 2005), matris çarpmn kontrol etme (Buhrman ve Spalek, 2006), grup
birle³me özelli§ini test etme (Magniez ve Nayak, 2007) olarak saylabilir.
Teorik olarak kuantum yürüyü³,
kauntum algoritmalarnda bir model olarak
kullanlabilmektedir. Fakat kuantum yürüyü³ün algoritmik realizasyonlarnda önemli
zorluklarn ortaya çkmas kaçnlmazdr.
sisteminin
çevresiyle
etkile³erek
bilinen
bu
klasik
durum,
Bu zorluklardan birisi,
sisteme
kuantum
dönmesidir.
yürüyü³lerde
bir kuantum
E³-evresizlik
(dechorence)
olarak
de
kar³mza
çkmaktadr.
Kuantum yürüyü³lerde ortaya çkabilecek bu tür sorunlarn detayl
olarak anla³labilmesi, kuantum algoritmalar açsndan büyük önem ta³maktadr. Bu
nedenle son yllarda kuantum yürüyü³lerinde e³-evresizlik olay zikte güncel
problemler arasna girmi³tir. E³-evresizlik olay, kuantum algoritma çal³malarnda,
ayrca bir kat malzeme içinde elektron ta³nm, bir kubitin optik örgüde veya bir
optik bo³luk (kavite) içinde ta³nm, ya da nötral bir atomun tuzakl bir optik uzayda
ta³nm gibi pek çok kuantum sürecinde ortaya çkmaktadr. Bu nedenle günümüzde
bu tür sistemler için e³-evresizli§e yol açan mekanizmalarn anla³lmas ve hangi tür
mekanizmalarn ne miktarda e³-evresizli§e yol açt§nn belirlenmesi büyük önem
ta³maktadr.
E³-evresizli§in kuantum yürüyü³lerle modellendi§i çe³itli çal³malar
yaynlanm³tr.
Özellikle engelleyici veya so§urucu tuzaklarn varl§nda ya da
yanstc veya so§urucu snr ko³ullarna sahip geometrilerde yaplan kuantum
yürüyü³
çal³malarnda,
edilmi³tir.
Ancak
e³-evresizlik
kuantum
davran³
yürüyü³lerdeki
güncelli§ini koruyan problemler arasndadr.
hakknda
ilginç
e³-evresizli§in
sonuçlar
anla³lmas,
elde
halen
4
Bu tezde, tuzakl örgü modeli kullanarak, kesikli örgü (discrete lattice) uzaynda
kuantum yürüyü³ler gerçekle³tirilmi³ ve bu model kullanlarak e³-evresizlik problemi
incelenmi³tir. So§urucu tuzakl uzay modelinin seçilmesinin önemli bir nedeni vardr.
Bir
kuantum
sisteminde
kuantum
durumlarnn
tamamyla
mekanizmalarn olmas nedeniyle bu tuzak modeli,
modeldir.
ziksel
ziksel duruma uygun bir
Bu modeli çal³mak, kuantum ta³nm ve kuantum algoritma tart³malar
açsndan faydal olacaktr.
Ayrca konunun yeni olmas açsndan bu konuda
literatürde oldukça büyük bir bo³luk vardr.
kuantum
yutuldu§u
e³-evresizlik
konusunda
Bu çal³madan elde edilecek sonuçlar,
ara³trma
yapanlar
ve
kuantum
algoritmas
geli³tirmeye çal³anlar için de önemli bir katk sunacaktr.
Tez ³u ³ekilde organize edilmi³tir: kinci Bölüm'de, klasik rastgele yürüyü³ ksaca
sunulduktan sonra kuantum yürüyü³ ve kuantum yürüyü³ modelleri (kesikli ve sürekli
kuantum yürüyü³) ele alnarak kesikli kuantum yürüyü³ modelinin dinami§i ayrntl
³ekilde
incelenmi³tir.
Ayrca
kuantum
yürüyü³ün
ziksel
uygulamalarndan
bahsedilmi³ ve bu bölümde son olarak, kuantum yürüyü³te e³-evresizlik olay ele
alnm³tr. Üçüncü, Dördüncü ve Be³inci Bölüm'lerde, bu tez kapsamnda olu³turulan
ve literatüre katks olan kesikli kuantum yürüyü³ çal³malar anlatlm³tr.
Üçüncü
Bölüm'de, iki boyutlu tuzakl örgüde kuantum yürüyü³te e³-evresizlik problemi
tart³lm³tr.
Dördüncü
Bölüm'de,
üç
boyutlu
tuzakl
kuantum
yürüyü³te
e³-evresizli§in boyuta ba§ll§ ara³trlm³tr. Be³inci Bölüm'de, bir boyutlu tuzakl
örgüde, birbiriyle etkile³meyen çok parçackla gerçekle³tirilen kuantum yürüyü³te,
parçacklarn ya³ama olasl§nn zaman evrimi incelenmi³ ve son olarak altnc
bölümde ise yaplan çal³malarn sonuçlar ksaca yorumlanm³tr.
BÖLÜM K
KUANTUM YÜRÜYܓ VE E“-EVRESZLK
2.1
Giri³
Klasik rastgele yürüyü³, Brownian hareketin özel bir hali olup, genellikle bir örgü
uzay üzerinde gerçekle³en stokastik hareketi temsil eder.
Rastgele yürüyü³, basit
görüntüsüne ra§men oldukça güçlü matematiksel yaps olan bir modeldir ve zik,
ekonomi,
biyoloji,
kozmoloji
gibi
(Guillotin-Plantard, ve Schott, 2006).
çok
çe³itli
alanlarda
uygulamalar
vardr
Kuantum yürüyü³ modeli, klasik rastgele
yürüyü³ modelinde oldu§u gibi pek çok alana henüz uygulanmam³ olsa da kuantum
hesaplama prensiplerine dayal olarak çal³abilecek kuantum bilgisayarlar için
geli³tirilecek algoritma modelleri olu³turmak için önemli adaylardan birisidir.
Bu
nedenle kuantum yürüyü³ modelinin ziksel sistemlere uygulanabilirli§i, dinami§i,
sonuçlar oldukça önemlidir. Bu bölümde, klasik rastgele yürüyü³, kuantum yürüyü³
ve kuantum yürüyü³te e³-evresizlik konular ksaca ele alnm³tr.
2.2
Klasik Rastgele Yürüyü³
Rastgele yürüyü³ terimi ilk defa 1905 ylnda Pearson tarafndan,
"sarho³
yürüyü³ü" olarak bilinen probleme çözüm önerdi§i çal³masnda kullanlm³tr. Bu ilk
uygulamadan ksa bir süre sonra Brownian hareketin açklamas Einstein (1905)
tarafndan yaplm³tr.
Brownian hareket, denge halindeki gaz yada sv içindeki
büyük toz parçacklarnn rastgele yürüyü³ ile modellenmesine dayanr. Bu modelden
ba§msz olarak bir yl sonra benzer teorik bir çal³ma,
tarafndan yaplm³tr.
Klasik rastgele yürüyü³te bir veya birden fazla parçack
stokastik hareket yaparak yer de§i³tirebilir.
etkile³imsiz olabilirler.
Smoluchowski (1906)
Bu parçacklar,
etkile³imli veya
Burada temel olan ³ey, klasik rastgele yürüyü³ün ziksel
argümann klasik bir parçack olmasdr.
Bu yürüyü³te parçack, ko³ullu veya
ko³ulsuz olaslk dinami§i kurallarna göre hareket eder. Basit rastgele yürüyü³ bize,
5
6
makroskobik
bir
difüzyon
sürecinin
mikroskobik
temsilini
ve
modelini
sunar.
Geçekten de rastgele yürüyü³ süreci, süreklilik limitinde makroskobik difüzyon
dinami§ini verir. Bu sayede difüzyon denklemi, basit bir rastgele yaylm sürecinden
elde edebilebilir. Bunun yannda basit bir rastgele yürüyü³ sürecine baz ek ko³ullar
konuldu§unda, kesirli (fractional) difüzyon denklemi, Fokker-Planck, Langevin ve bu
denklemlerin kesirli hallerini de elde etmek mümkündür.
Ayrca klasik rastgele yürüyü³, algoritmik problemlere uygulanabilmesi açsndan
da teorik bilgisayar biliminin yap ta³larndan biri olarak kabul edilir. Örne§in, klasik
rastgele yürüyü³, grak birle³tirici (Sinclair, 1993), 3-SAT (Schöning, 1999) ya da
matrisin süreklili§i (Jerrum,
Sinclair,
ve Vigoda,
2001) gibi birçok problemin
çözümünde kullanlr.
2.2.1
Bir Boyutlu Örgü Üzerinde Klasik Rastgele Yürüyü³
Basit rastgele yürüyü³, parçac§n örgü üzerinde kesikli zaman admlarnda
hareket
etti§i
stokastik
bir
süreçtir.
Yürüyü³ün
bir
boyutlu
örgü
üzerinde
gerçekle³ti§ini dü³ünürsek, her admda parçack, bulundu§u konumdan sa§ndaki
veya solundaki en yakn kom³u örgü noktalarna e³it olaslkla hareket eder.
Parçac§n sa§a ve sola gidi³i rastgele bir olay olan para at³nn yaz ve tura
gelmesine göre belirlenebilir. Parçac§n
dü³ünelim. lk admdan sonra parçack,
noktasnda bulunur.
(t = 0) annda (x = 0) noktasnda oldu§unu
1/2 olaslkla x = 1 noktasnda ya da x = −1
Bu i³lem birçok kez tekrarland§nda, parçac§n
t
annda,
x
konumunda bulunma olasl§,
1
1
P (x, t) = P (x − 1, t − 1) + P (x + 1, t − 1), x ∈ Z
2
2
³eklinde tekrarlama ba§nts yardmyla bulunabilir.
(2.2.1) ba§nts kullanlarak
P (x, t)
(2.2.1)
P (0, 0) = 1 ba³langç ko³ulu ve
olaslk da§lm çizdirildi§inde, “ekil (2.1)'den
de görüldü§ü gibi Gaussyan da§lm elde edilir. Yürüyü³ün örgü üzerinde yaylmn
karakterize etmek için varyansnn zamanla de§i³imini incelemek gerekir.
7
P(x,t=100)
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
-100
-50
0
50
100
x
“ekil 2.1
t = 100
zaman adm sonunda bir boyutta
klasik rastgele yürüyü³te konumlarn olaslk da§lm.
2.2.2
Klasik Rastgele Yürüyü³te Varyans ve Momentler
Bir boyutta varyans,
σ 2 (t) = hx2 i − hxi2
denklemi ile verilir.
Bu denklemde
hxi
ve
(2.2.2)
hx2 i, P (x, t)'nin
birinci ve ikinci
momentleridir.
Bir boyutlu örgü üzerinde rastgele yürüyü³ü gerçekle³tiren
dü³ünelim.
i. parçac§n konumu xi ise M
M
parçack oldu§unu
parçac§n ortalama konumu ya da rastgele
yürüyü³ün birinci momenti,
M
1 X
hxi =
xi
M i=1
³eklinde verilir.
E§er yürüyü³ü
x
konumunda bitiren parçack says
denklem,
hxi =
1 X
ω(x)
M x
(2.2.3)
ω(x)
ise bu
(2.2.4)
³eklinde de ifade edilebilir. Bir parçac§n sa§a ve sola gitme olasl§ e³it oldu§undan,
x
konumunda ne kadar parçack varsa
Bu durumda denklemindeki toplamda
−x
konumunda da o kadar parçack olacaktr.
xω(x) ve −xω(x) birbirini yokeder ve rastgele
8
yürüyü³ için birinci moment,
hxi = 0
(2.2.5)
olarak bulunur. Bu sonuca göre bir boyutta kuantum yürüyü³te ortalama yerde§i³tirme
sfrdr. Denklem (2.2.2)'de
hxi yerine yazld§nda, bir boyutta rastgele yürüyü³ için
varyans,
σ 2 = hx2 i
(2.2.6)
³ekline dönü³ür. Varyans hesaplayabilmek için ikinci momenti bilmek gerekir.
N adm sonunda parçac§n konumu
x ise, orijinden yürüyü³e ba³layan parçack için
x,
x=
N
X
∆j
(2.2.7)
j=1
denklemiyle tanmlanabilir. Bu denklemde
∆j , j.
admdaki yerde§i³tirmeyi gösterir.
x2 'de (2.2.7) denklemine benzer ³ekilde,
2
x =
N
X
∆i
i=1
N
X
∆j
(2.2.8)
j=1
³eklinde tanmlanabilir. Bu denklemde her iki tarafn ortalamas alnarak ikinci moment
hx2 i,
­ 2®
x =
*
N
X
i=1
olarak
bulunur.
h∆i ∆j i = 0'dr.
∆i
N
X
+
∆j
j=1
Admlar
=
* N N
XX
+
∆i ∆j
i=1 j=1
birbirinden
h∆i ∆j i
(2.2.9)
i=1 j=1
ba§msz
Bu durumda (2.2.9) denklemi,
=
N X
N
X
oldu§undan,
(i 6= j)
iken
(i = j) için yeniden yazlrsa,
N
­ 2®
­ 2® X
∆j
x =
(2.2.10)
j=1
ifadesi elde edilir. Her adm uzunlu§unun ayn oldu§u kabul edilip, bu uzunluk
l
ile
gösterilirse, ikinci moment her admda sabit bir sayya e³it olur.
hx2 i = N l2
(2.2.11)
9
Bu sonuca göre varyans,
σ 2 = hx2 i = N l2
(2.2.12)
olarak bulunur ve varyansn karekökü ile tanmlanan standart sapma da,
√
ifadesine e³it olur.
σ2 =
Standart sapma,
p
√
hx2 i = N l
N
(2.2.13)
adm sonra parçac§n yürüyü³e ba³lad§
noktadan ne kadar uzakta oldu§unu gösterir. Bu sonuca göre adm uzunlu§u
l = 1
alnd§nda, bir boyutlu örgüde rastgele yürüyü³ yapan parçack, ba³langç noktasndan
adm saysnn karekökü kadar uzakla³m³ olur.
2.2.3
Klasik Rastgele Yürüyü³ ve Difüzyon Denklemi
Rastgele yürüyü³, süreklilik limitinde, klasik difüzyon denklemi ile tanmlanabilir
(Hughes, 1995; Weiss, 1994). Difüzyon denklemi elde edilirken, bir boyutlu rastgele
yürüyü³ü kullanmak, matematiksel ifadelerin türetilmesinde kolaylk sa§lar.
Bu alt
bölümde, bir boyutlu klasik rastgele yürüyü³ten yola çklarak difüzyon denkleminin
elde edili³i ve bu denklemin çözümü gösterilmi³tir.
Bir boyutta rastgele yürüyü³te, yürüyücünün sa§a do§ru bir adm atma olasl§
sola do§ru bir adm atma olasl§
sonunda
a,
b = 1 − a ile gösterilirse, yürüyücünün N + 1 adm
i konumunda olma olasl§ P (i, N + 1),
P (i, N + 1) = aP (i − 1, N ) + bP (i + 1, N )
(2.2.14)
³eklinde tanmlanan tekrarlama ba§nts yardmyla bulunabilir. Süreklilik limitinde,
kesikli de§i³kenler
(i, N ), sürekli de§i³kenler (x, t) ile yerde§i³tirmelidir.
De§i³kenler
arasndaki ili³ki,
t = N ∆t
³eklinde verilir. Burada
∆x,
ve
x = i∆x
örgü noktalar arasndaki mesafeyi,
(2.2.15)
∆t,
ard arda gelen
10
admlar arasndaki zaman belirtir. Bu tanmlamalar altnda
P (i, N + 1),
P [i, N + 1] = p[i∆x, (N + 1)∆t]
(2.2.16)
formunda yazlabilir ve denklem (2.2.14) de,
p[i∆x, (N + 1)∆t] = a p[(i − 1)∆x, N ∆t] + b p[(i + 1)∆x, N ∆t]
³ekline dönü³ür.
∆t → 0, ∆x → 0
limitinde,
x = 0
ve
t = 0
(2.2.17)
civarnda, denklem
(2.2.17) Taylor serisine açld§nda, bu denklemdeki terimler tek tek a³a§daki gibi
bulunur.
p[i∆x, (N + 1)∆t] ≈ p(x, t) + ∆t
p[(i ± 1)∆x, N ∆t] ≈ p(x, t) ± ∆x
∂p(x, t)
+ ...
∂t
(2.2.18)
∂ 2 p(x, t)
∂p(x, t) 1
+ (∆x)2
...
∂x
2
∂x2
(2.2.19)
Bu terimlere göre denklem (2.2.17) yeniden düzenlenip, gerekli sadele³tirmeler
yaplrsa,
∆t
∂p(x, t)
∂p(x, t) 1
∂ 2 p(x, t)
= (a − b)∆x
+ (∆x)2
∂t
∂x
2
∂x2
denklemi elde edilir.
(2.2.20)
((∆x)2 /2∆t) oran sonlu iken, ∆t → 0 , ∆x → 0 limitinde,
D=
(∆x)2
∆t,∆x→0 2∆t
lim
ve
v=
lim (b − a)
∆t,∆x→0
(2.2.21)
(∆x)
∆t
(2.2.22)
tanmlamalar yaplrsa denklem (2.2.20),
∂ 2 p(x, t)
∂p(x, t)
∂p(x, t)
=D
−v
2
∂t
∂x
∂x
(2.2.23)
³eklini alr. (2.2.23) denklemi, Fokker-Planck denklemi olarak bilinir ve bu denklemde
D, difüzyon katsaysn, v , sürüklenme hzn gösterir.
Rastgele yürüyü³te her zaman
admnda sa§a ve sola adm atma olasl§ e³it ise sürüklenme hz,
v=0
olur ve bu
durumda (2.2.23) denklemi,
∂ 2 p(x, t)
∂p(x, t)
=D
∂t
∂x2
(2.2.24)
11
klasik difüzyon denklemine indirgenir.
−∞ < x < ∞ aral§nda ve t > 0 iken denklem (2.2.24)'ün çözümü, p(x, 0) = δ(x)
ba³langç ko³ulu kullanlarak Fourier dönü³ümü yardm ile yaplabilir.
Fourier dönü³ümü,
Z
∞
pe(w, t) =
³eklindedir.
¡ ∂n
∂xn
(2.2.25)
−∞
¢
p(x, t) fonksiyonunun Fourier dönü³ümü ise,
Z
∞
−∞
³eklinde verilir.
eiwx p(x, t)dx
p(x, t)'nin
eiwx
∂n
p(x, t) = (−iw)n p̃(w, t)
n
∂x
(2.2.26)
(2.2.25) ve (2.2.26) ba§ntlar kullanlarak, (2.2.24) denkleminin
Fourier dönü³ümü,
∂
p̃(w, t) = −Dw2 p̃(w, t)
∂t
(2.2.27)
³eklinde elde edilir. Bu denklemin çözümü,
p̃(w, t) = p̃(w, 0) exp(−Dw2 t)
formundadr. (2.2.28) denklemdeki
(2.2.28)
p̃(w, 0) terimi, p(x, 0) = δ(x) ile verilen ba³langç
ko³ulunun Fourier dönü³ümünü ifade eder ve bu dönü³üm,
p̃(w, 0) = 1
(2.2.29)
olarak bulunur. Bu durumda denklem (2.2.28),
p̃(w, t) = exp(−Dw2 t)
³ekline dönü³ür.
(2.2.30)
p(x, t) fonksiyonunu elde etmek için denklem (2.2.30)'a ters fourier
dönü³ümü uygulanrsa,
Z ∞
1
e−iwx p̃(w, t)dw
p(x, t) =
2π −∞
Z ∞
1
=
exp(−iwx − Dw2 t)dw
2π −∞
ifadesi elde edilir.
(2.2.31)
(2.2.32)
ntegralin kolay alnabilmesi için üstel ifade tam kare formunda
12
yazlrsa,
" µ
#
¶2
√
ix
x2
−
exp −
Dtw − √
dw
4Dt
2 Dt
−∞
" µ
µ
¶Z ∞
¶2 #
√
1
x2
ix
= exp −
exp −
Dtw − √
dw
2π
4Dt −∞
2 Dt
1
p(x, t) =
2π
denklemi elde edilir.
Z
∞
ξ =
³√
Dtw −
ix
√
2 Dt
(2.2.33)
(2.2.34)
´
de§i³ken dönü³ümü yaplp, (2.2.34)
ifadesi tekrar düzenlenirse,
µ
x2
p(x, t) = √
exp −
4Dt
4π 2 Dt
1
¶Z
∞
exp(−ξ 2 )dξ
(2.2.35)
−∞
³eklinde bilinen bir integral ifadesine dönü³ür. Bu integralin çözümü,
Z
∞
exp(−ξ 2 )dξ =
√
π
(2.2.36)
−∞
³eklinde verilir. ntegralin çözümü, denklem (2.2.35)'de yerine yazlarak,
µ
¶
1
x2
p(x, t) = √
exp −
4Dt
4πDt
ifadesi elde edilir.
Elde edilen bu çözüme göre olaslk da§lm fonksiyonu
konum ortalamas sfr, varyans
2.3
(2.2.37)
p(x, t),
2Dt olan Gaussyan da§lma uymaktadr.
Kuantum Yürüyü³
Kuantum yürüyü³, klasik rastgele yürüyü³ün süperpozisyon (üst üste binme) ve
giri³im gibi kuantum mekani§i sonuçlar kullanlarak genelle³tirilmi³ halidir. Klasik
rastgele yürüyü³te, yürüyü³ü gerçekle³tiren eleman bir parçacktr ve bu parçack,
konum uzaynda belirli bir olaslkla hareket eder.
Kuantum yürüyü³ün eleman ise
parçack de§il, bir kuantum durumudur (quantum state). Klasik yürüyü³te parçacklar
giri³im yapmaz ve her hangi bir
t annda uzayn yalnzca bir noktasnda bulunabilirler.
Fakat kuantum yürüyü³ yapan bir durum, ayn anda uzayn her noktasnda bulunabilir.
Bir kuantum ölçümü yapana kadar kuantum durumunun uzayn hangi noktasna
13
lokalize olaca§n bilmek olas de§ildir. Ancak ölçüm sonucunda, kuantum durumunu
bir parçack olarak uzayn her hangi bir noktasnda gözlemlememiz mümkündür.
Ayrca kuantum zi§i ilkelerine göre kuantum durumlar giri³im yapma özelli§ine de
sahiptirler.
Kuantum yürüyü³te bir kuantum durumu, ayn anda muhtemel yollar
kontrol ederek farkl yollarn giri³imine kar³lk gelen genlikler ile hareket eder. Bu
durum, kuantum yürüyü³te varyansn, adm saysnn karesiyle orantl artmasna yol
açar. Klasik yürüyü³te ise varyans, adm says ile lineer artar. Bu da bize, kuantum
yürüyü³ün klasik rastgele yürüyü³ten kuadratik olarak daha hzl yayld§n gösterir
ve kuantum algoritmas olarak kullanlabilece§inin sinyallerini verir.
Kuantum yürüyü³te klasik parçac§n yerini, elektron, atom yada foton gibi bir
kuantum parçac§ ve stokastik evrimin yerini, üniter evrim alr. Kuantum yürüyü³ün
zaman evrimi, ara basamaklarda ölçüm yaplmadan her zaman admnda evrim
operatörünün
ba³langç
durumuna
uygulanmasyla
kuantum giri³imden dolay kuantum yürüyü³,
davran³
gösterir
(Kempe,
2003).
Klasik
olu³ur
ve
zaman
evriminde
klasik rastgele yürüyü³ten farkl
rastgele
yürüyü³te
ykc
giri³im
bulunmamasna ra§men kuantum yürüyü³te ayn noktada bulu³an iki farkl yol
birbirini yok ederek ykc giri³ime neden olabilir ve bu durum kuantum yürüyü³te,
klasik rastgele yürüyü³ün olaslk da§lm olan Gaussyan da§lmdan çok farkl bir
olasllk da§lmnn olu³masna neden olur.
Sürekli kuantum yürüyü³ ve kesikli kuantum yürüyü³ olmak üzere kuantum
evrimini karakterize eden iki farkl model bulunur. 1998 ylnda Farhi ve Gutmann
tarafndan kullanlan sürekli kuantum yürüyü³te, yürüyü³ direkt olarak konum uzay
ile tanmlanabilir.
ark.
Yönelim uzayna gerek yoktur.
1990'larn ba³nda Aharonov ve
tarafndan kullanlan kesikli kuantum yürüyü³te ise parçac§n yönelimini
belirlemek için konum uzaynn yannda, yönelim uzayna da ihtiyaç vardr. Sürekli
kuantum yürüyü³ ile kesikli kuantum yürüyü³ün sonuçlar genellikle benzerdir. Fakat
kesikli kuantum yürüyü³, kuantum algoritmalar olu³turmada daha etkilidir.
Çünkü
bir kuantum bilgisayar, kesikli kaytlarla çal³r. Kuantum yürüyü³ün kesikli olmas
ise onu, bir kuantum bilgisayar ile hesaplamamza olanak verecektir.
Böylece
kuantum yürüyü³ü kullanarak, bir kuantum bilgisayarnda kullanlabilecek daha etkili
algoritmalar bulmak olasdr. Bu nedenle bu tez kapsamnda, kesikli kuantum yürüyü³
14
üzerine yo§unla³lm³tr.
2.3.1
Kesikli Kuantum Yürüyü³ Modeli
Bir boyutta kuantum yürüyü³te, her bir zaman admnda parçack, sa§ ve sol
genliklerin e³it oldu§u süperpozisyon durumunda hareket eder.
Fakat böyle bir
yürüyü³, yöntemin üniter olmamasndan dolay ziksel olarak imkanszdr.
Sadece
homojen üniter yöntemler kom³u örgü noktalar arasndaki geçi³i sa§lar.
E§er
parçack, hareketini destekleyen ekstra bir serbestlik derecesine sahip olursa, üniter
bir yürüyü³ sa§lanabilir.
Böylece parçack, yönelim ve konum olmak üzere iki
serbestlik derecesine sahip olur.
Yürüyü³ Hilbert uzaynda
uzaydr.
HC ⊗ HP
ile gösterilir.
HC
yönelim uzay,
HP , konum
t annda sistemin durumu,
|ψ(t)i =
1
∞
X
X
Aj,m (t) |ji |mi
(2.3.1)
j=0 m=−∞
ile verilir.
Aj,m
genli§i, reel yada kompleks say olabilir ve
denklemini sa§lar. Durum vektörü
P
|mi, m = 0, ±1, ±2, . . . , ±∞
üzerinde yürüyücünün konumunu belirtir.
Durum vektörü
j,m
|Aj,m |2 = 1
olmak üzere örgü
|ji, |↑i = |0i
yada
|↓i = |1i durumlarnda bulunur ve sa§a veya sola yönelimi belirtir. |↑i ve |↓i standart
bazlarda,

|↑i = 

1
0
,

|↓i = 

0

(2.3.2)
1
vektörleriyle gösterilir. Kuantum yürüyü³ün zaman evrimi,
|ψ(t + 1)i = U |ψ(t)i
ile gösterilir. Yürüyü³ün bir adm,
U
operatörü ile verilir.
U = S(C ⊗ I)
(2.3.3)
U
operatörü,
(2.3.4)
15
C , Coin (kuantum para) operatördür ve sadece yönelim uzayna etki
olarak gösterilir.
eder.
S , öteleme operatörü ise durum uzayna etki eder. I , birim operatördür.
Üniter
dönü³üm C 'nin seçimi keydir ve C 'yi de§i³tirerek farkl davran³larda birçok yürüyü³
tanmlanabilir. Herbir zaman admnda parçac§n yöneliminin Hadamard dönü³ümü
sonucunda belirlendi§i yürüyü³e Hadamard yürüyü³ü denir.
Bir boyutta Hadamard operatörü,


1 1
1

H=√ 
2
1 −1
olarak verilir.
(2.3.5)
Hadamard dönü³ümü ayrlabilirdir ve uzaysal serbestlik dereceleri
arasnda dola³klk olu³maz. Bu özellik bize, Hadamard dönü³ümünü her uzay boyutu
için bir i³lemciye ayrma olana§ verir. Bir boyut için Hadamard operatörü,
P
ve
Q
gibi iki i³lemciye ayrlabilir.

P =
H = P + Q'ya
e³ittir.
P,

0
0
√1
2
− √12
,


Q=
√1
2
√1
2
0
0
yürüyücünün sa§a do§ru
Q,

(2.3.6)
sola do§ru e³it olaslkla
hareketini temsil eder.
Hadamard i³lemcisi
|↑i ve |↓i durumlarna uyguland§nda,
1
H |↑i = √ (|↑i + |↓i)
2
1
H |↓i = √ (|↑i − |↓i)
2
süperpozisyon durumlar olu³ur.
Bundan sonra öteleme operatörü
(2.3.7)
(2.3.8)
S,
yürüyücünün
hareketini durum vektörlerine göre a³a§daki gibi belirler.
S |↑i |mi = |↑i |m + 1i
(2.3.9)
S |↓i |mi = |↓i |m − 1i
(2.3.10)
16
0.14
P(x,t=100)
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
x
“ekil 2.2
Ba³langç durumu
yürüyü³ü için
100
|↑i ⊗ |0i
olan kuantum
adm sonunda konumlarn asimetrik
olaslk da§lm.
U
dönü³ümü sonucunda,
t + 1 annda, m konumunda yürüyücünün dalga fonksiyonu,
|ψ(m, t + 1)i = P |ψ(m + 1, t)i + Q |ψ(m − 1, t)i
(2.3.11)
denklemiyle bulunur. Dalga fonksiyonu,

|ψ(m, t)i = 
³eklinde iki bile³ene sahiptir. Yürüyücünün,

|ψ↑ (m, t)i

|ψ↓ (m, t)i
(2.3.12)
t annda, m konumunda bulunma olasl§
da,
P (m, t) = | h↑ | ψ(m, t)i |2 + | h↓ | ψ(m, t)i |2
(2.3.13)
ba§nts ile verilir.
H
ve
S
operatörlerinin
| ↑i ⊗ |0i durumuna srasyla uygulanmasyla,
1
H
| ↑i ⊗ |0i −→ √ (|↑i + |↓i) ⊗ |0i
2
1
S
−→ √ (| ↑i ⊗ |1i + | ↓i ⊗ | − 1i)
2
(2.3.14)
17
0.08
P(x,t=100)
0.06
0.04
0.02
0.00
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
x
“ekil 2.3
1
Ba³langç durumu √
2
olan kuantum yürüyü³ü için
(|↑i + i |↓i) ⊗ |0i
100 adm sonunda simetrik
olaslk da§lm.
elde edilir.
Bu durumun standart bazlarda ölçülmesi ile
| ↓i ⊗ | − 1i}
sonuçlarndan biri elde edilir.
korelasyon olmaz.
1/2
olaslkla
{| ↑i ⊗ |1i,
Bu ölçümden sonra spinler arasnda
E§er kuantum yürüyü³e, her iterasyonda ölçüm yaparak devam
edilirse, klasik rastgele yürüyü³ün sonuçlarna ula³lr.
Kuantum yürüyü³te ara iterasyonlarda ölçüm yaplmaz. Böylece farkl konumlar
arasndaki korelasyon korunmu³ olur. Bu, daha sonraki admlarda durumlar arasnda
giri³im etkilerinin olu³masna neden olur. Giri³im etkileri nedeniyle kuantum yürüyü³,
da§lmn Gaussyan olmamas ve da§lmn yürüyü³teki adm saysna lineer ba§l
olmamas gibi farkl davran³lar sergiler.
|↑i ⊗ |0i ba³langç durumu ile ba³land§nda, 100 adm sonunda kuantum yürüyü³,
“ekil (2.2)'den de görüldü§ü gibi asimetrik olaslk da§lm verir. Bu asimetriklik,
kuantum durumlarnn yapc ve ykc gir³iminden kaynaklanr. Yürüyü³e
|↓i ⊗ |0i
durumu ile ba³land§nda, bu sefer sola do§ru meyil gözlenir. Simetrik bir da§lm elde
etmek için
| ↑i ve | ↓i durumlarnn süperpozisyonu olan bir durumla ba³lamak gerekir.
Böylece ba³langç durumu,
1
|Φi = √ (| ↑i + i| ↓i) ⊗ |0i
2
(2.3.15)
18
olur. Hadamard operatörü duruma herhangi bir kompleks genlik ilave etmeyece§inden,
| ↑i durumu için reel, | ↓i durumu için tamamen sanal ksmlar elde edilir ve böylece bu
durumlar arasndaki giri³im engellenmi³ olur ve toplam da§lm “ekil (2.3)'te görüldü§ü
gibi simetrik hale gelir.
Klasik rastgele yürüyü³te
√
uzaklk,
σ =
uzaklk,
σ ∼ t
t
t
adm sonra varyans,
σ2 = t
'dir. Kuantum yürüyü³te varyans,
olur ve orjinden beklenen
σ 2 = t2
olup orjinden beklenen
kadardr. Bu sonuç, kuantum yürüyü³ün kuadratik olarak daha hzl
oldu§unu gösterir. Ayrca “ekil (2.2) ve (2.3)'ten de görüldü§ü gibi yürüyü³,
aral§na yaylm³tr.
Bu durum da klasik duruma tamamen zttr.
[− √t2 , √t2 ]
Çünkü klasik
durumda da§lm, orjin etrafnda bir pik yapar ve üstel olarak dü³erek orjinden uzakla³r.
2.3.2
Sürekli Kuantum Yürüyü³ Modeli
Kesikli yürüyü³ modeli,
yollarndan biridir.
kuantum olaylarn rastgele yürüyü³e uygulamann
Bir di§er yol ise sürekli zaman modelidir.
Bu model, kesikli
modelden çok uzak görünmesine ra§men baz benzer yanlar da vardr.
Sürekli kuantum yürüyü³te konum uzay
Hp 'dir.
Kesikli kuantum yürüyü³teki gibi
bir yönelim uzayna gerek yoktur. Bu modelin temeli, sürekli klasik Markov zincirine
dayanr.
Bunu,
V
tepe noktas takmna sahip grak üzerinde rastgele yürüyü³ ile
açklamaya çal³alm. Klasik rastgele yürüyü³te bir adm,
Mi,j
giri³leri, yürüyü³ün bir admnda parçac§n
p~t = (pt1 , pt2 , . . . pt|V | ), t zamanda V
M
i'den j 'ye
matrisi ile gösterilebilir.
geçme olasl§n verir.
tepe noktas üzerinden olaslk da§lm ise,
pt+1
=
i
X
Mi,j Pjt
(2.3.16)
j
ile verilir. Di§er bir yazm ³ekliyle,
p~t+1 = M p~t
³eklinde ifade edilir. Sadece i'den
(2.3.17)
j 'ye geçme olasl§ sfrdan farkl oldu§unda, Mi,j
19
giri³leri sfrdan farkl olur.
Mi,j
Bu denklemde
dj ,

 1/d , i 6= j ve i ve j ba§l
j
=
 0,
di§er durumlarda
tepe nokas
j 'nin
derecesini belirtir.
(2.3.18)
³lem,
M 'in
iterasyonu ile
devam eder ve sadece tamsay zamanlarda durumlar dönü³türür. Yöntemi zamanda
sürekli yapmak için geçi³lerin her zaman oldu§unu kabul edebiliriz.
parçac§n bir tepe noktasndan kom³usuna atlama oran
ba§msz bir sabittir.
γ
ile verilir.
γ
zamandan
Yani kom³u dü§ümler arasndaki geçi³, her birim zamanda
olaslkla gerçekle³ir. Bu yöntem için sonsuz küçük, üretici matris



 −γ, i 6= j
Hi,j =
³eklinde verilir. E§er
Bu durumda,



0,
i 6= j
ve
i ve j ba§l
ve
i ve j ba§l de§il
γ
H,
(2.3.19)
di γ, i = j
pi (t), parçac§n t annda, i tepe noktasnda bulunma olasl§n
gösterirse geçi³, (2.3.16) denklemiyle benzer olur ve a³a§daki diferansiyel denklemle
tanmlanr.
X
dpi (t)
=−
Hi,j pj (t)
dt
j
(2.3.20)
Bu denklemi çözerek, (2.3.17) denkleminin benzeri,
p~(t) = exp(−Ht)~p(0)
(2.3.21)
e³itli§ini elde ederiz.
Markov zinciri teorisi, kesikli ve sürekli modeller arasnda
birçok ba§lant sa§lar.
Birle³tirme zamanlar (mixing times), so§urma olasl§ gibi
büyüklükler, iki modelde de benzer davran³a sahiptir.
Bu yapy kuantum durumuna ta³mak için Farhi ve Gutman (1998) tarafndan
bir çal³ma yaplm³tr.
Bu çal³mada üretici matris yerine,
U (t)
evrimini üreten
Hamiltonyen kullanlm³tr. Bu durumda (2.3.20) denklemi, a³a§daki gibi Schrödinger
denklemine dönü³ür.
d
|ψ(t)i = −iH |ψ(t)i
dt
(2.3.22)
20
“ekil 2.4
G4 gra§i.
Bu denklemin çözümü ile zaman evrimi de a³a§daki forma dönü³ür.
U (t) = exp(−iHt)
|ψi
ba³langç durumu ile ba³layarak,
t
zaman için
(2.3.23)
U
dönü³ümünü uygularsak ve
sonuç durumlarnn konumunu ölçersek önceki gibi gra§in tepe noktalar üzerinden
bir olaslk da§lm elde ederiz. Bu tanmlamalar altnda, kuantum yürüyü³te grakler
çal³lm³tr (Farhi ve Gutmann, 1998). Childs, Farhi ve Gutmann (2002) tarafndan
yaplan çal³mada, sonlu bir grakte bir kö³eden di§er kö³eye ula³ma zamannn (hitting
time) klasik ve kuantum yürüyü³te üstel ayrm gösterdi§i bulunmu³tur. Böyle bir gra§e
örnek olarak “ekil (2.4)'te
2 tane 4 düzeyli parçadan olu³an G4 gra§i verilmi³tir.
Klasik olarak sürekli yürüyü³, kesikli yürüyü³te zaman admnn uzunlu§u sfra
yakla³t§nda olu³an limit durumdur. Fakat kuantum yürüyü³ için bu do§ru de§ildir.
E§er kesikli yürüyü³te zaman admn giderek küçültürsek, `yönelim' kayd de§i³meden
kalr. Bu yüzden limit durum, sürekli yürüyü³ü vermez. Bu sonuçtan yola çkarak,
baz durumlarda kuantum yürüyü³ün bir çe³idinin di§erinden daha faydal olabilece§i
anlamn çkarabiliriz. Fakat bütün bilinen örnekler, iki yürüyü³te de benzer davran³lar
göstermektedir.
21
2.4
Kuantum Yürüyü³ün Fiziksel Uygulamalar
Kuantum yürüyü³ün ziksel olaylara uygulanmas, kuantum bilgisayarlar ile
yaplabilir.
Fakat bu makinalarn henüz geni³ ölçekli in³a edilememesi, ziksel
uygulamalar kstlamaktadr. Bir gra§in yapsnn kullanlabilmesi yada bir parann
karakterinin kullanlabilmesi gibi özellikler kuantum yürüyü³ün gerçek ziksel
sistemlere uygulanmasn kolayla³trmaktadr. Böyle bir uygulama, tam donaml bir
kuantum bilgisayar olu³turmak için yeterli de§ildir.
Fakat kuantum yürüyü³ü
çal³mak ve kuantum yürüyü³ü temel alarak algoritmik problemler çözmek hala
memnun edici sonuçlar vermektedir. Bu nedenle çe³itli ziksel sistemler için öneriler
yaplmaktadr (Dür ve ark.
2002; Sanders, Bartlett, Tragenna ve Knight, 2002;
Travaglione ve Milburn, 2002).
Bugün itibaryla, hangi ziksel yapnn kuantum bilgisayarlar in³a etmek için en
uygun oldu§u belli de§ildir. Bir kuantum bilgisayar için kuantum mantk kaplarna
ve kubitlere ihtiyacmz oldu§unu biliyoruz.
Bu da birçok yoldan yaplabilir.
Kuantum bilginin bu kar³lanabilirli§i, nükleer manyetik rezonans sistemleri, optik
oyuklar, kathal uygulamalar, iyon tuzaklarnda optik örgüler gibi birçok alanda
çal³malarn yaplmasna sebep olmu³tur.
Benzer ³ekilde, kuantum yürüyü³ uygulamalar da çok geni³tir. Tabii ki yürüyü³ün
konumlarnn,
ziksel
uygulamada
gerçek
konumlar
olmas
gerekli
de§ildir.
Konumlar, herhangi bir kesikli serbestlik derecesi içinde kodlanabilir. Ayn ³ekilde,
yönelim uzaynn da spin
1/2
parçac§nn spinine kar³lk gelmesi gerekli de§ildir.
Örne§in, Travaglione ve Milburn (2002) tarafndan yaplan çal³mada, kuantum
yürüyü³ün çizgi üzerinde uygulamasna dayanan bir iyon-tuzak önerilmi³tir. Burada
bir iyon, radyo frekansnda iyon tuza§nda hapsedilmi³ durumda bulunmaktadr.
Tuzak
içindeki
³ifrelenmi³tir.
iyonun
|ii
konumlar,
kesikli
yon, hareketli taban durumu
durumlar, yönelim durumlar
|↑i
ve
|↓i
|0i'da
hareket
bulunur.
ile kodlanm³tr.
sa§lamak için Raman ³n atmalar uygulanr.
halindeki
durumlarla
yonun elektronik iç
Yönelim dönü³ümünü
22
Bir
ba³ka
çal³mada
(Sanders
ve
ark.,
2002)
elektrodinamik makinalarn içine uygulanm³tr.
içinden geçti§i optik bir oyuktur.
kuantum
yürüyü³,
kuantum
Burada ziksel sistem, bir atomun
çinden geçme srasnda atomun iç elektronik
seviyeleri oyuk ile etkile³ir. Ayrca iç atomik düzeyler, mikrodalga atmalar ile idare
edilmektedir.
Bu çal³mann amac, kuantum yürüyü³ü günümüz teknolojisi ile
mikrodalga oyukta gerçekle³tirmektir.
Kuantum yürüyü³ün konumlar, tek oyuk
moduna yönelim durumlar ise iç atomik durumlara kodlanm³tr.
Buradan halka
üzerinde yürüyü³e ula³lmaktadr.
Kuantum yürüyü³ün optik örgüde uygulamas, Dür ve ark.
(2002) tarafndan
önerilmi³tir. Bu çal³mada, optik örgüde nötr bir atomun tuzaklanmas kullanlm³tr
ve çal³mann binlerce adm günümüz teknolojisinde gerçekle³tirilebilmektedir.
Bu çal³malara ek olarak, Du ve ark. (2003) tarafndan yaplan çal³mada, sürekli
kuantum yürüyü³ 2-kubit, Ryan ve ark.
(2005) tarafndan yaplan çal³mada ise
kesikli kuantum yürüyü³ 3-kubit, Nükleer Manyetik Rezonans (NMR) sistemine
uygulanm³tr. Grossman ve ark. (2004), Bose-Einstein yo§u³masn ve yaknlarda
Perets ve ark. (2008), dalga klavuzunda ilerleyen fotonlar kullanarak kesikli kuantum
yürüyü³ uygulamalarn gerçekle³tirmi³lerdir. Ayrca Manouchehri and Wang (2008),
kuantum
noktalar
(quantum
dots)
kullanarak
kuantum
yürüyü³ün
ziksel
uygulamalarn gerçekle³tirmi³lerdir.
Tek atom ve fotonlarn deneysel kontrolünde dikkate de§er geli³meler olmasyla
birlikte kuantum yürüyü³ün bu ilk uygulamalarnn yerini, daha dayankl ve kontrol
edilebilir uygulamalar alm³tr (Schreiber ve ark., 2010; Zähringer ve ark., 2010).
Kuantum yürüyü³ün üstünlü§ü (Shenvi ve ark., 2003), deneysel olarak gösterilmi³tir
(Lu ve ark., 2010) . Ayrca son zamanlarda yaplan deneysel çal³mada (Broome ve
ark., 2010), so§urucu tuzaklarn kuantum yürüyü³ üzerine etkisi ara³trlm³tr.
23
2.5
Kuantum Yürüyü³te E³-evresizlik
E³-evresizlik (decoherence),
bir kuantum mekani§i kavramdr ve e³-evreli
(coherent) durumdan sapmay anlatmak için kullanlmaktadr.
Bir kuantum süreci
(kuantum sistemi), kuantum e³-evrelili§i kaybetti§inde klasik duruma, yani klasik
sisteme yakla³r.
Bir kuantum sisteminin klasik limite gitmesinde en önemli etken,
kuantum sisteminin çevreyle etkile³mesi (çe³itli ziksel mekanizmalar,
scaklk
etkile³imi vb.) ya da d³ardan bir ölçmeye maruz braklmasdr. Bu hallerde sistem,
e³-evreli halini kaybeder. Klasik sistem gibi davranr.
Son yllarda, e³-evresizli§in kuantum yürüyü³lerle modellendi§i çe³itli çal³malar
yaynlanm³tr.
Özellikle engelleyici veya so§urucu tuzaklarn bulundu§u örgülerde
ya da yanstc veya so§urucu snr ko³ullarna sahip geometrilerde yaplan kuantum
yürüyü³
çal³malarndan,
e³-evresizlik
davran³
hakknda
ilginç
sonuçlar
elde
edilmi³tir. Bu tür mekanizmalarn, kuantum yürüyü³lerinde e³-evresizli§e yol açt§
anla³lm³tr.
Bir
kuantum
yürüyü³ünde
kuantumdan
klasi§e
geçi³in
sistematik
bir
de§erlendirmesi, Kendon ve Sanders (2004) tarafndan ele alnm³tr. Bu çal³mada,
kuantum yürüyü³ün hem dalga (tamamyla kuantum) hem de parçack dinami§i
gösterdi§i fakat üniter olmayan kuantum yürüyü³ için e³-evresizli§in artmas veya
azalmas nedeniyle bu dinami§in, iki farkl davran³ arasnda gidip gelebilece§i
gösterilmi³tir.
E³-evresizli§e sahip kuantum yürüyü³ün algoritmik kar³l§, ilk kez Kendon ve
Tregenna (2003) tarafndan bir numerik çal³mada ele alnm³tr. Deneysel hatalarn
olas formlarndan esinlenilen bu çal³mada, ayrca standart sapmann Gaussyan
yaylm uygulanarak mükemmel olmayan Hadamard yürüyü³ü, bir boyutlu uzayda
modellenmi³ ve elde edilen sonuçlar, Mackay ve ark.
kar³la³trlm³tr.
Ayrca Shapira ve ark.
(2002)'nin sonuçlar ile
(2003) tarafndan mükemmel olmayan
kuantum yürüyü³ operasyonlar (üniter gürültü), bir boyutta modellenmi³ ve detayl
numerik sonuçlar elde edilmi³tir. Bu çal³mada, Kendon ve Tregenna (2003)'ün elde
24
etti§i sonuçlarla benzer sonuçlar elde edilmi³tir.
Bir boyutlu çal³malarn yan sra
Alagić ve Russell (2005) yaptklar çal³mada, e³-evresizlik formalizmini d-boyutlu
bir hiperküp için genelle³tirmeye çal³m³lardr.
Kuantum yürüyü³ ile gerçekle³tirilen mükemmel olmayan öteleme (imperfect shift)
Dür ve ark. (2002) tarafndan çal³lm³tr. Yine benzer bir çal³ma, krk ba§cklara
sahip bir boyutlu kesikli kuantum yürüyü³te e³-evresizlik problemi, Romanelli ve
ark.
(2005) tarafndan çal³lm³tr.
Konno (2005b) tarafndan yaplan çal³mada
ise rastgele hareket eden bir kuantum parann (coin) daha genel durumu, bir boyutlu
kesikli kuantum yürüyü³ için analitik yakla³m kullanlarak ele alnm³ ve mükemmel
olmayan (imperfect) yani e³-evresizli§e yol açan etkilerin varl§ durumunda, kuantum
yürüyü³ten klasik yürüyü³ün elde edilebilece§i gösterilmi³tir.
Oliveira, Portugal ve Donangelo (2006), iki boyutlu kuantum yürüyü³ü krk
ba§cklarn bulundu§u iki boyutlu örgüye genelle³tirerek, böyle bir uzayn kuantum
yürüyü³ üzerindeki etkisini analiz etmi³ler, farkl ba³langç ko³ullar kullanarak
kuantum yürüyü³ler için olaslk da§lm fonksiyonlar ve difüzyon katsaylarn
hesaplam³lardr.
Böylece
Grover'dan daha dayankl,
oldu§unu göstermi³lerdir.
kullandklar
model
için
Hadamard
yürüyü³ünün
Grover'in da Fourier yürüyü³ünden daha dayankl
E³-evresizlik konusunda detayl bir çal³ma, Kendon
(2007) tarafndan yaynlanm³tr.
Kendon bu çal³mada, e³-evresizlik konusunda
yaplan çal³malar gözden geçirmi³tir. Karski ve ark. (2009), bir boyutlu spin-ba§l
(spin
dependent)
tart³m³lardr.
çal³mada,
optik
Gönülol,
örgüde
e³-evresizli§i,
kuantum
bulunmu³tur.
kullanarak
Aydiner ve Müstecaplo§lu (2009) tarafndan yaplan
iki boyutlu tuzakl uzayda Hadamard,
yürüyü³leri incelenmi³tir.
yürüyü³ü
Fourier ve Grover kuantum
Bu çal³mada, tuzak yo§unlunun e³-evresizli§i artrd§
Ayrca bir boyutlu tuzakl uzayda kuantum difüzyon dinami§inin
incelendi§i modelde (Gönülol, Aydiner, Shikano ve Müstecaplo§lu, 2011), kuantum
yürüyü³e ait olaslk da§lm fonksiyonlarnn yaylma hzlarnn, gerilmi³ üstel
(stretched exponential) karakterde oldu§u gösterilmi³tir.
Yukarda belirtti§imiz gibi e³-evresizlik probleminin anla³lmas hem kuantum
algoritmalarnn
modellenmesinde
hem
de
kuantum
difüzyon
süreçlerinin
25
anla³lmasnda büyük önem ta³maktadr.
Literatürden de görülebilece§i gibi
e³-evresizli§in
günümüze
kuantum
çal³lmam³tr.
yürüyü³
modelleri,
gelene
kadar
çok
fazla
Bu konu üzerinde çal³malar, yeni yeni yaygnla³maya ba³lam³tr.
Yaplan bu çal³malarda, çe³itli geometrik mekanizmalarn e³-evresizli§e yol açt§
anla³lm³tr.
Yanstc snr ko³ullar,
optik tuzaklar veya so§urucu tuzaklar,
e³-evresizli§e yol açan geometrik yaplara iyi bir örnek olu³turmaktadr.
Ancak
e³-evresizli§in boyuta ba§ll§ henüz anla³lmam³tr.
E³-evresizli§in nicel ölçümü, standart sapmann zamanla de§i³imi incelenerek
bulunabilir.
E³-evresizlik parametresi
yürüyü³ gerçekle³ir.
³eklinde de§i³ir.
E³-evresizlik parametresi
∼ t1/2 )
ula³lr.
|1i |0i, |11i |00i, |111i |000i
yokken
(p = 0)
sfr de§erini ald§nda, ideal kuantum
Bu durumda kuantum yürüyü³ için standart sapma,
e§imi azalr ve sonunda belirli bir
sapmasna (σq
p,
p
p'nin
σq ∼ t
de§eri arttkça, standart sapmann
de§eri için klasik rastgele yürüyü³ün standart
Bir, iki ve üç boyutta ba³langç durumlar srasyla
olan Hadamard yürüyü³ü için sistemde e³-evresizlik
standart sapmalarn zamanla de§i³imi “ekil (2.5)'deki gibidir.
Üç
boyut içinde de§i³im zamanla lineer olarak artar. Fakat e§imleri farkldr. E§imler,
(
∆σ1 ∆σ2 ∆σ3
∆σ1 √ ∆σ1 √ ∆σ1
,
,
)=(
, 2
, 3
)
∆t ∆t ∆t
∆t
∆t
∆t
³eklinde de§i³ir (Mackay ve ark., 2002).
1D
40
2D
Standart Sapma (
)
3D
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
Zaman (t)
“ekil 2.5
Hadamard yürüyü³ü için bir, iki ve üç
boyutta standart sapmann zamanla de§i³imi.
(2.5.1)
BÖLÜM ÜÇ
K BOYUTLU TUZAKLI ÖRGÜDE KUANTUM
YÜRÜYܓTE E“-EVRESZLK
3.1
Giri³
Kuantum yürüyü³te,
e³-evresizli§e neden olabilecek durumlar ve bunlarn
etkilerini anlamak oldukça önemlidir. Çünkü ziksel uygulamalarda bu tür durumlar
sklkla kar³mza çkmaktadr. Ayrca bir boyuttan daha yüksek boyutlarda çal³mak
da önemlidir.
ki boyutta, bir boyuttan farkl davran³lar elde edilebilmektedir
(Oliveira ve ark., 2006).
Bunun yannda iki ve daha yüksek boyutlarda yaplan
çal³malar, gerçek sistemlere daha yakn olacaktr.
So§urucu tuzaklar, e³-evresizli§e neden olan mekanizmalardan birisidir.
tuzaklar,
kuantum
yürüyücünün
yaylma
do§rultusu
boyunca
belirli
Çünkü
yerlerde
so§urulmasn sa§layarak üniter olmayan yürüyü³ meydana getirirler. Bu da e³ evreli
kuantum yürüyü³ü bozar ve e³-evresizli§e neden olur. Bu olay, optik realizasyonlarda
fotonun so§urulmas ya da iyon-tuzak yaplarnda atom ya da iyonun termal
dalgalanmalarla ya da çarp³malarla kayb gibi fziksel durumlara kar³lk gelir.
Kuantum yürüyü³te e³-evresizli§i incelemek için önerdi§imiz bu modelde (Gönülol,
Aydner ve Müstecaplo§lu,
2009),
tuzaklarn rastgele (random) fakat düzgün
(uniform) olarak da§ld§ iki boyutlu örgüde kuantum yürüyü³ ele alnm³tr.
Kuantum Hadamard, Fourier ve Grover yürüyü³lerindeki e³-evresizlik, farkl tuzak
yo§unluklar için ayrntl olarak incelenmi³tir. Ayrca bu yürüyü³lerde ortaya çkan
ve nicel olarak ölçülebilen e³-evresizlikler kar³la³trlm³tr.
26
27
3.2
ki Boyutta Kuantum Yürüyü³
ki boyutlu örgüde kesikli kuantum yürüyü³ yapan yürüyücünün,
|ψ(t)i =
1
∞
X
X
t anndaki durumu,
Aj,k;m,n (t) |j, ki |m, ni
(3.2.1)
j,k=0 m=−∞
³eklinde verilir. Bu tür bir yürüyü³ün bir adm, U
= S(C⊗I4 ) operatörü ile gerçekle³ir.
C , Coin (kuantum para) operatörüdür ve
C=
1
1
X
X
j,k=0
ifadesiyle verilir.
Cj,k;j 0 ,k0 |j, ki hj 0 , k 0 |
(3.2.2)
j 0 ,k0 =0
Burada Coin operatörü yerine kullanlan operatörler Hadamard,
Fourier ve Grover operatörleridir. Ayrca I4 , 4×4 birim matris S , öteleme (translational)
operatörüdür ve a³a§daki gibi verilir.
¯
®
S |j, ki |m, ni = |j, ki ¯m + (−1)j , n + (−1)k
Zaman evrim operatörü
bir
U,
(3.2.3)
denklem (3.2.1)'de verilen kuantum durumuna, herhangi
t annda uyguland§nda, bu kuantum durumunun t + 1 annda, (m, n) konumunda
bulunma olasl§na ait genlik, zamann fonksiyonu olacak ³ekilde,
1
X
Aj,k;m,n (t + 1) =
Cj,k;j 0 ,k0 Aj 0 ,k0 ;m−(−1)j ,n−(−1)k (t)
(3.2.4)
j 0 ,k0 =0
³eklinde verilir. Öte yandan bir kuantum yürüyücünün, her hangi bir
t annda, (m, n)
konumunda bulunma olasl§ ise,
Pm,n (t) =
1
X
|Aj,k;m,n (t)|2
(3.2.5)
j,k=0
ifadesiyle verilir.
Denklem (3.2.2) ile tanmlad§mz Coin operatörleri, Hadamard, Fourier ve Grover
28
operatörleri, iki boyutlu yürüyü³ için a³a§daki gibi verilir.

CH
CF
CG
1
1
1
1




1
−1
1
−1
1


=




2
 1 1 −1 −1 
1 −1 −1 1


1 1
1
1



1
 1 i −1 i 
=


2  1 −1 1 −1 


1 −i −1 i


−1 1
1
1




1
−1
1
1
1

=



2
1 −1 1 

 1
1
1
1 −1
(3.2.6)
(3.2.7)
(3.2.8)
Coin operatörleri yürüyü³ün gerçekle³ti§i uzay boyutuna ba§ldr.
boyut için Coin operatörlerini yeniden yazmak gereklidir.
Bu nedenle her
Öte yandan bir kuantum
yürüyü³ söz konusu oldu§unda, klasik rastgele yürüyü³ten farkl olarak kuantum
durumunun ba³langç durumu çok önemlidir.
gibi davranmazlar.
Kuantum durumlar, klasik parçack
Bu nedenle kuantum Hadamard, Fourier ve Grover yürüyü³leri
için ba³langç durumlarnn seçimi önemlidir.
3.3
Model ve Hesaplamalar
Bu modelde tuzaklar,
boyutlu
örgüye
rastgele fakat düzgün da§llm olu³turacak ³ekilde iki
yerle³tirilir.
Tuzaklarn
konumlar,
bir
kuantum
yürüyü³ün
gerçekle³tirilme süresince de§i³meden kalr. Modelde bir kuantum yürüyücü,
annda
(m = 0, n = 0)
admnda
U
t=0
konumundan yürüyü³e ba³lar ve bu yürüyü³ için her zaman
dönü³ümü gerçekle³ir.
lgili kuantum yürüyü³ gerçekle³tirildi§inde,
kuantum durumlar örgü üzerinde örgü noktalarn ziyaret edecek ³eklilde yaylm³
olurlar.
Baz kuantum durumlar, örgü noktalarn ziyaret edecek ³ekilde ilerlerler.
29
Fakat tuzakla kar³la³an durumlar, tuzak tarafndan so§urularak ortadan kaldrlrlar.
Kuantum durumlarnn her bir örgü noktasnda bulunma olaslklar ve olaslk
genlikleri farkldr.
Birbirleriyle bir örgü noktasnda kar³la³an durumlar üst-üste
binerken, tuzak ile kar³la³an durumlar ise so§urularak, yok olurlar. Dolaysyla her
bir örgü noktasnda bir kuantum durumunun bulunma olasl§ ve olaslk genlikleri
zamanla de§i³ir.
Her adm sonunda kuantum durumuna ait yeni genlikler, (3.2.4)
denklemi ile bulunur. Kuantum yürüyücü tuzak ile kar³la³t§nda, tuzak noktasnda
(konumunda) kuantum durumunun bulunma olasl§ ve bu olasl§a ait genlik de§eri
sfr olur. Öte yandan yürüyücünün,
t
annda,
(m, n)
konumunda bulunma olasl§,
(3.2.5) denklemindeki ifade yardmyla bulunur.
Kuantum Hadamard, Fourier ve Grover yürüyü³leri için ba³langç durumlarnn
seçimi önemlidir. Bu seçimlerin says snrldr. Örne§in Tregenna ve ark. ( 2003),
bu
yürüyü³ler
için
ba³langç
durumlarn,
örgü
üzerinde
maksimum
yaylm
gerçekle³tirecek ³ekilde;
1
|ψ(0)iH = (|00i + i |01i − i |10i + |11i) |0, 0i
2
1
1−i
1−i
|ψ(0)iF = ((|00i + √ |01i + |10i − √ |11i) |0, 0i)
2
2
2
1
|ψ(0)iG = ((|00i − |01i − |10i + |11i) |0, 0i)
2
(3.3.1)
(3.3.2)
(3.3.3)
³eklinde seçmi³lerdir. Bu çal³mada da kuantum durumlar, denklem (3.3.1), (3.3.2) ve
(3.3.3)'deki gibi seçilmi³tir.
Bu çal³mada so§urucu tuzaklar, Fortran dilinde bir program yardmyla kesikli örgü
uzayna (discrete lattice space) rastgele da§lm gösterecek ³ekilde yerle³tirilmi³tir.
Bunun için bir Monte Carlo say üreteci kullanlm³tr. Di§er ilgili ba§ntlar da bu
program yardmyla numerik olarak hesaplanm³tr.
30
3.4
Sonuçlar ve Tart³ma
So§urucu tuzaklarn bulunmad§ iki boyutlu kesikli uzayda, denklem (3.3.1),
(3.3.2) ve (3.3.3)'te verilen ba³langç ko³ullar kullanlarak kuantum yürüyü³ler
gerçekle³tirildi§inde,
t = 40
adm sonra elde edilen olaslk da§lmlar, hem yüzey
hem de kontür çizimleri olarak “ekil (3.1(a)), (3.1(b)) ve (3.1(c))' de verilmi³tir.
“ekillerden
görülebilece§i
gibi
seçilen
ba³langç
kuantum
durumlar,
simetrik
da§lmlar üretmektedir.
lk olarak Hadamard yürüyü³ünün olaslk da§lm, farkl tuzak yo§unluklar için
incelenmi³tir.
denklem
Tuzak yo§unlu§u,
(4.3.1)
ile
gerçekle³tirilmi³tir.
verilen
p = 0.01
ba³langç
Zaman adm
fonksiyonlar çizdirilmi³tir.
p = 0.1
ve
durumu
t = 100
olacak ³ekilde seçilmi³ ve
için
Hadamard
yürüyü³ü
oldu§unda, bu yürüyü³e ait da§lm
p = 0.01
“ekil (3.2(a))'da
iken kuantum davran³
p = 0.1
iken “ekil (3.2(b))'de görülebilece§i gibi klasik
Bu türden olaslk da§lmlar,
kuantum yürüyü³te ortaya çkan e³-evresizlik
oldukça baskndr.
Fakat
davran³ baskn hale gelir.
konusunda sa§lkl bilgi vermezler. Oysa standart sapmann zamanla de§i³imi, tuzak
yo§unluklarna ba§l olarak ortaya çkan e³-evresizli§i anlamamza yardm eder. Bu
nedenle
“ekil
(3.3)'te
yo§unluklar için
Hadamard
log − log
yürüyü³üne
ait
standart
sapma,
skalasnda çizdirilmi³tir. Bu grakte,
farkl
p = 0
tuzak
için çizilen
standart sapma e§risi, örgü uzaynda hiçbir so§urucu tuza§n olmad§ durumu
göstermektedir.
Tuzak yo§unlu§u arttkça,
kuantum yürüyü³teki lineer art³n
kayboldu§u ve klasi§e yakla³t§ görülür. Bu grak içinde, klasik rastgele yürüyü³e
ait standart sapma e§risi de verilmi³tir.
“ekilden de görülebilece§i gibi tuzak
yo§unlu§u arttkça, standart sapma e§rileri klasik rastgele yürüyü³e ait e§riye do§ru
yakla³maktadr.
Örgüde hiç tuzak yokken
(p = 0) kuantum yürüyü³,
Tuzak yokken iki boyutlu örgü uzaynn
(0, 0)
maksimum yaylma sahiptir.
noktasndan harekete ba³layan
kuantum durumuna ait standart sapmann zamanla de§i³imi,
σq ∼ t ³eklindedir.
Buna
31
“ekil 3.1
t = 100
zaman adm sonunda, a) Hadamard yürüyü³ü, b) Fourier
yürüyü³ü, c) Grover yürüyü³ü için olaslk da§lm.
32
(a)
“ekil 3.2
a)
(b)
p = 0.01, b) p = 0.1 tuzak yo§unluklar için t = 100 zaman adm sonunda
Hadamard yürüyü³üne ait olaslk da§lmlar.
kar³lk tuzaksz uzayda gerçekle³en klasik rastgele yürüyü³ün standart sapmas,
σcl ∼
√
t
³eklinde de§i³mektedir.
Fakat örgü uzayna yerle³tirilen tuzaklarn
yo§unlu§u artrld§nda, her bir yo§unluk de§eri için elde edilen standart sapma
ifadelerinin, tuzak yo§unlu§unun art³na ba§l de§i³ti§i görülebilir. Örne§in, dü³ük
tuzak yo§unlu§u için yaylmlarn halen klasik yaylmdan hzl oldu§u söyleyenebilir.
Gerçekten de dü³ük tuzak yo§unluklar için Hadamard yürüyü³üne ait
sapmas, klasik rastgele yürüyü³e ait
σcl
σq
standart
standart sapma de§erinden daha büyüktür.
Bu sonuç, tuzakl örgü uzaynda gerçekle³tirilen Hadamard yürüyü³ünün, tuzaksz
uzayda gerçekle³tirilen klasik rastgele yürüyü³ten daha hzl yaylaca§na i³aret eder.
Fakat tuzak yo§unlu§unun belli bir de§erinden sonra kuantum yürüyü³ün yaylma
hz, klasik yürüyü³ün hz ile ayn olabilir ve hatta ondan daha küçük bir de§er de
alabilir.
Örne§in bu çal³mada, tuzak yo§unlu§unun
p > 0.5
de§erinden sonra,
Hadamard yürüyü³ününe ait standart sapma e§risinin, klasik rastgele yürüyü³e ait
33
p=0.00
p=0.01
p=0.10
p=0.25
p=0.50
klasik
10
1
1
10
100
t
“ekil 3.3
p = 0, p = 0.01, p = 0.1, p = 0.25, p = 0.5
tuzak yo§unluklar için Hadamard yürüyü³üne ve klasik
rastgele yürüyü³e ait standart sapma fonksiyonlarnn
zamanla de§i³imi.
standart sapma e§risinin altna dü³ütü§ü görülebilir.
Bu sonuç bize, belli bir tuzak
yo§unlu§u de§erinin üstünde kuantum yürüyü³lerin yaylma hzlarnn, klasik rastgele
yürüyü³lerden daha yava³ olaca§n söyler.
Elde etti§imiz bu sonuca bakarak ³unu söyleyebiliriz: ki boyutlu tuzakl uzayda
gerçekle³tirilen Hadamard yürüyü³ünde
art³na ba§l olarak azalarak
ortaya çkt§na i³aret eder.
σcl 'ye
σq
standart sapmasnn, tuzak yo§unlu§unun
gitmesi, kuantum yürüyü³te bir e³-evresizli§in
Tuzak yo§unlu§u arttkça,
kuantum yürüyü³teki
e³-evresizlik, nicel olarak artmaktadr. Kuantum yürüyü³te ortaya çkan e³-evresizlik,
kuantum durumunun çevresiyle (burada tuzaklar) etkile³mesi sonucunda klasik
duruma gitmesi ³eklinde yorumlanabilir. Bu modelde so§urucu tuzaklar, Hadamard
yürüyü³ünde e³-evresizli§e yol açmaktadr. Fakat tuzak yo§unlu§unun belli bir kritik
de§erine kadar Hadamard yürüyü³ünün hala klasik rastgele yürüyü³ten daha hzl
oldu§u görülmektedir.
Kuantum bilgisayarlarnda kullanlacak kuantum algoritmalarnn bir matematiksel
modeli olarak kabul edilen kuantum yürüyü³, her zaman e³-evresizli§e maruz kalmaya
açktr.
Bu çal³mada, Hadamard yürüyü³ünün tuzakl bir uzayda nasl davranaca§
34
(a)
“ekil 3.4
a)
(b)
p = 0.01, b) p = 0.1 tuzak yo§unluklar için t = 100 zaman adm sonunda
Fourier yürüyü³üne ait olaslk da§lmlar.
incelenmi³tir.
Öyle görünüyor ki, e³-evresizli§e neden olacak so§urucu tuzaklarn
varl§ durumunda bile Hadamard yürüyü³ü, kuantum algoritmalarnn realizasyonu
için halen önemli adaylardan birisidir.
Hadamard
yürüyü³lerinde
yürüyü³ünden
ortaya
çkan
sonra
ayn
model
e³-evresizlikler
kullanlarak
incelenmi³tir.
Fourier
Tuzak
ve
Grover
yo§unlu§u,
p = 0.01 ve p = 0.1 olacak ³ekilde seçilmi³ ve ba³langç durumu denklem (3.3.2) ile
verilen kuantum durumu için kuantum Fourier yürüyü³ü geçekle³tirilmi³tir.
adm
Zaman
t = 100 oldu§unda, bu yürüyü³e ait olaslk da§lm fonksiyonlar çizdirilmi³tir.
Hadamard yürüyü³üne benzer ³ekilde, “ekil (3.4(a))'da
p = 0.01
iken kuantum
davran³ oldukça baskndr. Fakat
p = 0.1 iken “ekil (3.4(b))'de görülebilece§i gibi
klasik davran³ baskn hale gelir.
Fakat bu yürüyü³te ortaya çkan e³-evresizli§i
anlamak için standart sapma fonksiyonuna ihtiyaç vardr.
35
p=0.00
p=0.01
p=0.10
p=0.25
p=0.50
klasik
10
1
1
10
100
t
“ekil 3.5
p = 0, p = 0.01, p = 0.1, p = 0.25, p = 0.5
tuzak yo§unluklar için Fourier yürüyü³üne ve klasik
rastgele yürüyü³e ait standart sapma fonksiyonlarnn
zamanla de§i³imi.
“ekil (3.5)'te Fourier yürüyü³ü için farkl tuzak yo§unluklarnda standart sapmann
zamanla de§i³imi görülmektedir.
yürüyü³ünde
de
tuzak
yo§unlu§u
Hadamard yürüyü³ünde oldu§u gibi Fourier
arttkça,
e³-evresizli§in
art§
ve
kuantum
yürüyü³ün klasik yürüyü³e do§ru kayd§ görülmektedir. Dü³ük tuzak yo§unluklar
için Fourier yürüyü³ünün yaylma hz, tuzaksz uzayda gerçekle³tirilen Fourier
yürüyü³ünün hzna yakn olmakla birlikte, tuzak yo§unlu§u artrld§nda, Fourier
yürüyü³ünün ayn tuzak yo§unlu§u için Hadamard yürüyü³ünden daha çabuk bir
³ekilde klasik rastgele yürüyü³ limitine yakla³t§ söyleyenebilir. Bunu, “ekil (3.3) ile
“ekil (3.5)'te verilen standart sapma e§rilerini kar³la³trarak görmek mümkündür.
Bu bölümde son olarak, tuzakl uzayda Grover yürüyü³ü ele alnm³ ve bu yürüyü³te
ortaya çkan e³-evresizlik incelenmi³tir. Burada da yine tuzak yo§unlu§u,
ve
p = 0.1
p = 0.01
olacak ³ekilde seçilmi³ ve ba³langç durumu denklem (3.3.3) ile verilen
kuantum durumu için kuantum Grover yürüyü³ü geçekle³tirilmi³tir.
Zaman adm
t = 100 oldu§unda, bu yürüyü³e ait da§lm fonksiyonlar çizdirilmi³tir.
Hadamard ve
Fourier yürüyü³üne benzer ³ekilde, “ekil (3.6(a))'da
oldukça baskndr. Fakat
p = 0.01 iken kuantum davran³
p = 0.1 iken (3.6(b))'de görülebilece§i gibi klasik davran³
baskn olur. Di§er yürüyü³lerde oldu§u gibi bu yürüyü³te ortaya çkan e³-evresizli§i
36
(a)
“ekil 3.6
a)
(b)
p = 0.01, b) p = 0.1 tuzak yo§unluklar için t = 100 zaman adm sonunda
Grover yürüyü³üne ait olaslk da§lmlar.
anlamak için de standart sapma fonksiyonuna ihtiyaç vardr.
“ekil (3.7)'de Grover yürüyü³ü için farkl tuzak yo§unluklarna ba§l olarak
standart
sapmann
zamanla
yürüyü³lerinde
oldu§u
e³-evresizli§in
artt§
görülmektedir.
gibi
ve
de§i³imi
Grover
kuantum
görülmektedir.
yürüyü³ünde
yürüyü³ün
de
klasik
Hadamard
tuzak
ve
Fourier
yo§unlu§u
arttkça,
yürüyü³e
do§ru
kayd§
Dü³ük tuzak yo§unluklar için Grover yürüyü³ünün yaylma hz,
tuzaksz uzayda gerçekle³tirilen Grover yürüyü³ünün hzna yakn olmakla birlikte,
tuzak yo§unlu§u artrld§nda Grover yürüyü³ü, tpk Fourier yürüyü³ü gibi ayn
tuzak yo§unlu§u için Hadamard yürüyü³ünden daha çabuk bir ³ekilde klasik rastgele
yürüyü³ limitine yakla³maktadr.
Bu sonucu, “ekil (3.3), (3.5) ve (3.7)'de verilen
standart sapma e§rilerini kar³la³trarak görmek mümkündür.
37
100
p=0.00
p=0.01
p=0.10
p=0.25
p=0.50
klasik
10
1
1
10
100
t
“ekil 3.7
p = 0, p = 0.01, p = 0.1, p = 0.25, p = 0.5
tuzak yo§unluklar için Grover yürüyü³üne ve klasik
rastgele yürüyü³e ait standart sapma fonksiyonlarnn
zamanla de§i³imi.
Bu çal³mada, üç farkl kuantum yürüyü³ ele alnm³ ve bu yürüyü³ler iki boyutlu
tuzakl örgü uzaynda gerçekle³tirilmi³tir. Kuantum yürüyücü, tuzakla kar³la³t§nda
ortadan kaldrlm³tr.
Böyle bir mekanizmann varl§ altnda, kuantum yürüyü³ün
halen kuantum yürüyü³ olarak kalp kalmayaca§ incelenmi³tir.
Dü³ük tuzak
yo§unluklar için üç kuantum yürüyü³ün de bozulmad§ yani bu yürüyü³lerdeki
e³-evreli (coherence) durumun kaybolmad§ fakat tuzak yo§unlu§unun artrld§
durumlarda,
bu yürüyü³lerde e³-evresizli§in ortaya çkt§ bu nedenle kuantum
yürüyücünün yaylma hznn, tuzak yo§unlu§una ba§l olarak de§i³ti§i görülmü³tür.
E³-evresizlik
artt§nda,
kuantum
durumunun
yaylma
yürüyücünün yaylma hzna do§ru gitti§i gözlenmi³tir.
hznn,
klasik
rastgele
Öte yandan ayn tuzak
yo§unlu§u de§eri için daha dü³ük de§erli e³-evresizli§e sahip oldu§u için bu kuantum
yürüyü³ler arasnda en dayankl yürüyü³ün, Hadamard yürüyü³ü oldu§u görülmü³tür.
BÖLÜM DÖRT
ÜÇ BOYUTLU TUZAKLI ÖRGÜDE KUANTUM YÜRÜYܓTE
E“-EVRESZLK
4.1
Giri³
Bu çal³ma, bir önceki çal³mann devam niteli§indedir.
Önceki çal³mada,
so§urucu tuzaklarn kuantum yürüyü³ için iyi bir e³-evresizlik kayna§ oldu§u ve
e³-evresizli§e
en
dayanakl
kuantum
yürüyü³ünün
Hadamard
yürüyü³ü
oldu§u
bulunmu³tur. Ancak e³-evresizli§in kuantum yürüyü³ün gerçekle³ti§i uzay boyutu ile
ili³kisi, henüz ele alnmam³tr. Bu nedenle bu çal³mada, örgü uzayna rastgele olarak
yerle³tirilen
so§urcu
tuzaklarn
kuantum
Hadamard
yürüyü³ünde
e³-evresizli§i ve e³-evresizli§in boyuta ba§ll§ ele alnm³tr.
yol
açt§
Böylece üç boyutlu
kuantum Hadamard yürüyü³ünde ortaya çkan e³-evresizlik, farkl tuzak yo§unluklar
için nicel olarak analiz edilmi³ ve ayrca e³-evresizli§in uzay boyutuna ba§l olarak
de§i³ti§i gösterilmi³tir.
4.2
Üç Boyutta Kuantum Yürüyü³
Kesikli bir Hilbert uzaynda tanmlanan herhangi bir kuantum durumunun Hilbert
uzaynda tasvir edilen yürüyü³ü,
HC ⊗HP
ile gösterilir.
HC yönelim uzay, HP
uzaydr. Üç boyutlu örgüde kesikli kuantum yürüyü³ yapan yürüyücünün
konum
t anndaki
durumu, iki boyutta verilen ifadeye benzer ³ekilde,
|ψ(t)i =
1
X
∞
X
Ai,j,k;l,m,n (t) |i, j, ki |l, m, ni
i,j,k=0 l,m,n=−∞
38
(4.2.1)
39
ba§nts ile verilir.
tanmlanr.
P
i,j,k
Bu ifade içinde yer alan
Ai,j,k;l,m,n ,
olaslk genli§i olarak
Genlik fonksiyonu, reel ya da kompleks say olabilir ve bu fonksiyon,
|Ai,j,k;l,m,n |2 = 1 denklemini sa§lar. Durum vektörü {|l, m, ni, l, m, n, tamsay}
olmak üzere, örgü üzerinde yürüyücünün Hilbert uzayndaki konumunu belirtir.
|i, j, ki
vektörleri ise
{|i, j, ki i, j, k ∈ {0, 1}}
olmak üzere parçac§n yönelimini
belirtir.
Kuantum yürüyü³ün zaman evrimi,
|ψ(t + 1)i = U |ψ(t)i
ile gösterilir.
Yürüyü³ün bir adm,
U = S(C ⊗ I)
(4.2.2)
operatörü ile gerçekle³ir.
kuantum yürüyü³ü gerçekle³tirecek olan zaman evrim operatörüdür. Bilindi§i gibi
kuantum para olarak tanmlad§mz Coin operatörüdür. Öte yandan
U,
C,
I , birim matris S
ise öteleme operatörüdür. Üç boyutlu örgü uzaynda gerçekle³en kuantum yürüyü³ü
için Coin operatörü,
C=
³eklinde yazlabilir.
1
X
1
X
i,j,k=0
i0 ,j 0 ,k0 =0
Ci,j,k |i, j, ki hi0 , j 0 , k 0 |
(4.2.3)
Bu çal³mada, kuantum Hadamard yürüyü³ünde e³-evresizlik
incelendi§i için Hadamard operatörünü tanmlamak gerekmektedir. Üç boyutlu uzayda
gerçekle³ecek kuantum Hadamard yürüyü³ü için Hadamard operatörü,


CH







1 

= √ 
2 2







1
1
1 −1
1
1
1
1
1
1
1
1
−1
1
−1
1
−1 −1
1
1
−1
1 −1 −1
1
1
1
1
1 −1
1
1
1
1
1
−1 −1
−1 −1 −1
−1 −1
1
−1 −1 −1 −1
1 −1 −1
1
−1
1
−1
1
1
1


−1 

−1 


1 


−1 


1 


1 

−1
(4.2.4)
40
matrisi ile tanmlanr. Bunun d³nda gerekli olan öteleme operatörü
S
ise,
¯
®
S |i, j, ki |l, m, ni = ¯l + (−1)i , m + (−1)j , n + (−1)k
ifadesiyle verilir. Bu operatörler tanmlandktan sonra kuantum yürüyü³ü,
(4.2.5)
U
operatörü
yardmyla gerçekle³tirmek mümkündür.
Zaman evrim operatörü
U , denklem (4.2.1)'de verilen kuantum durumuna, herhangi
bir t annda uyguland§nda, bu kuantum durumunun, t+1 annda, herhangi bir (l, m, n)
konumunda bulunma olasl§na ait genlik, zamann fonksiyonu olacak ³ekilde,
Ai,j,k;l,m,n (t + 1) =
1
X
Ci,j,k;i0 ,j 0 ,k0 Ai0 ,j 0 ,k0 ;l−(−1)i ,m−(−1)j ,n−(−1)k (t)
(4.2.6)
i0 ,j 0 ,k0 =0
biçiminde verilir. Öte yandan ayn kuantum durumunun, yani yürüyücünün, herhangi
bir
t annda, her hangi bir (l, m, n) konumunda bulunma olasl§,
Pl,m,n (t) =
1
X
|Ai,j,k;l,m,n (t)|2
(4.2.7)
i,j,k=0
ifadesiyle belirlenir.
4.3
Model ve Hesaplamalar
Önerilen model, bir önceki çal³mada önerilen modelin ayns fakat üç boyutlusudur.
Bu modelde de tuzaklar, tam so§urucu bir karaktere sahiptir. Yani herhangi bir kuantum
durumu bir tuza§a girerse, bu kuantum durumunun so§urularak tamamyla ortadan
kalkt§ varsaylr. Modelde, Hadamard Coin operatörü kullanlm³tr. Hadamard Coin
operatörü için Hadamard yürüyü³ü yapacak olan kuantum durum vektörü,
1
√ (|000i + i |001i + i |010i − |011i − i |100i + |101i + |110i + i |111i)
2 2
(4.3.1)
41
³eklinde
seçilmi³tir.
Fakat
bir
permütsayonlar da tercih edilebilir.
(l = 0, m = 0, n = 0)
kuantum
durumunu
Bu modelde,
temsil
t = 0
eden
ba³ka
olas
annda örgü uzaynn
koordinat noktasnda bulunan bir kuantum yürüyücü,
bulundu§u konumu terk eder ve her zaman admnda, tuzakl örgü uzay içerisinde
kuantum yürüyü³ gerçekle³tirecek ³ekilde hareket eder.
Üç boyutlu örgü uzaynda
hareket eden kuantum yürüyücünün, her zaman admndaki hareketi,
operatörü ile belirlenir. Öte yandan bu yürüyücünün, her hangi bir
U
zaman evrim
t annda, (l, m, n)
konumunda bulunma olasl§ da (4.2.7) denklemi yardmyla bulunur.
Bu yürüyü³te ortaya çkan e³-evresizli§in nicel ölçüsü ise iki boyutlu çal³mada
oldu§u gibi yürüyü³e ait standart sapma yardmyla belirlenebilir.
Ayrca standart
sapmann e§imi incelenerek, e³-evresizli§in boyuta ba§ll§ ortaya çkarlabilir.
4.4
Sonuçlar ve Tart³malar
So§urucu tuzaklarn bulunmad§, üç boyutlu kesikli uzayda gerçekle³en kuantum
Hadamard yürüyü³üne ait olaslk da§lmnn,
t = 40
adm sonraki XY düzlemi
üzerindeki projeksiyonu, hem yüzey hem de kontür çizimleri olarak “ekil (4.1)'de
verilmi³tir.
Olaslk da§lm fonksiyonun di§er düzlemlerdeki projeksiyonlarda
çizilebilirdi.
olacaktr.
Fakat di§er projeksiyonlar da XY düzlemindekine benzer biçimde
Üç boyutlu örgü uzayndaki Hadamard yürüyü³ünün XY düzlemindeki
projeksiyonu ile iki boyutlu örgü uzayndaki Hadamard yürüyü³üne ait olaslk
da§lmlarnn genel formlarnn birbirine ne ölçüde benzedi§ini görmek mümkündür.
So§urucu tuzaklarn rastgele olarak yerle³tirildi§i, üç boyutlu kesikli uzayda
gerçekle³en Hadamard yürüyü³ünde, tuzaklarn e³-evresizli§e yol açp açmad§n
görmek için yürüyü³, ilk olarak
p = 0.01
ve
p = 0.1
tuzak yo§unluluklar için
gerçekle³tirilmi³ ve bu yürüyü³lere ait olaslk da§lm fonksiyonlar,
t = 40
zaman
adm sonunda çizdirilmi³tir. ki boyutlu kuantum Hadamard yürü³ünde oldu§u gibi
üç boyutlu yürüyü³te de “ekil (4.2(a)) ve “ekil (4.2(b))'den görülebilece§i gibi
p = 0.01
iken kuantum davran³ oldukça baskndr. Yani bu kuantum yürüyü³e ait
42
“ekil 4.1
Hadamard yürüyü³ünde
t = 40
zaman adm sonunda olaslk da§lm.
olaslk da§lm fonksiyonu “ekil (4.1)'de verilen tuzaksz yürüyü³e ait olaslk
da§lm fonksiyonu ile benzerlik göstermektedir. Fakat
p = 0.1 iken, “ekil (4.2(b))'de
görülebilece§i gibi olaslk fonksiyonu dramatik ³ekilde bozulmaktadr.
Bu durum
bize, kuantum yürüyü³ün iyice bozuldu§unu ve klasik davran³n baskn oldu§unu
ifade eder. Benzer ³ekilde
p = 0.25
ve
p = 0.5
tuzak yo§unluklar için Hadamard
yürüyü³leri gerçekle³tirilmi³, bu yürüyü³lere ait olaslk da§lm fonksiyonlar,
admda “ekil (4.3(a)) ve (4.3(b))'de çizdirilmi³tir.
t = 40
“ekilden görülebilece§i gibi
olaslk da§lmlar, Hadamard yürüyü³ü yapan kuantum durumunun örgü uzaynda
ilerleyemedi§ini, harekete ba³lad§ koordinat noktas civarnda y§lp kald§n
ortaya koymaktadr.
“ekil (4.1), (4.2) ve (4.3)'e bakld§nda, üç boyutlu tuzakl örgü uzayndaki
Hadamard yürüyü³ü ile iki boyutlu tuzakl örgü uzayndaki Hadamard yürüyü³ünün
43
(a)
“ekil 4.2
a)
(b)
p = 0.01 ve b) p = 0.1 tuzak yo§unluklar için t = 40 zaman adm
sonunda Hadamard yürüyü³üne ait olaslk da§lmlar.
ortak karakteristi§e sahip oldu§u söylenebilir. Öte yandan tuzak yo§unlu§u arttkça,
yürüyü³te e³-evresizli§in artm³ oldu§u, bu olaslk da§lm prollerine bakarak
söylenebilir.
Ancak her bir tuzak yo§unlu§u için e³-evresizlik yine yürüyü³e ait
standart sapma ifadesi ile kestirilebilir. Bu nedenle bu tuzak yo§unluklar için a³a§da
standart sapmalar ve bunlarn e§imleri verilmi³tir. Fakat bir önceki çal³madan farkl
olarak, standart sapma ifadeleri bu kez, ayn tuzak yo§unlu§u de§erleri için hem iki
hem de üç boyutlu yürüyü³ için hesaplanarak kar³la³trlm³tr.
e³-evresizli§in
boyuta
ba§ll§
hakknda
bilgi
sa§lamas
Bu kar³la³trma,
bakmndan
oldukça
önemlidir.
Örgüde hiçbir tuza§n olmad§,
p=0
durumunda, iki ve üç boyutlu kesikli örgü
uzaynda gerçekle³tirilen kuantum yürüyü³e ait standart sapma fonksiyonlarnn
zamanla de§i³imleri, “ekil (4.4)'de verilmi³tir.
“ekilden görüldü§ü gibi standart
44
(a)
“ekil 4.3
a)
(b)
p = 0.25 ve b) p = 0.5 tuzak yo§unluklar için t = 40 zaman adm
sonunda Hadamard yürüyü³üne ait olaslk da§lmlar.
2D
3D
p=0
10
1
1
10
t
“ekil
4.4
Tuzaksz
(p
=
0),
iki
ve
üç boyutlu örgüde Hadamard yürüyü³üne ait
standart sapmann zamanla de§i³imi.
45
10
2D
2D
3D
10
3D
p=0.1
p=0.5
1
1
1
10
1
10
t
t
(a)
“ekil 4.5
a)
(b)
p = 0.1,
b)
p = 0.5
tuzak yo§unluklar için iki ve üç boyutlu
Hadamard yürüyü³üne ait standart sapma fonksiyonlarnn zamanla de§i³imi.
sapma e§imleri, kuantum yürüyü³ için üst üste dü³memektedir. Bunun nedeni standart
sapma ifadesinin de§erinin, boyuta ba§l olarak de§i³mesidir. Çünkü boyut arttkça,
standart sapma e§risinin e§imi de§i³mektedir. Bu durum, hem klasik hem de kuantum
yürüyü³ler için geçerlidir.
Bu iki yürüyü³e (bir ve iki boyutlu) ait standart sapma
e§rilerinin bir arada çizilmesinin nedeni yürüyücünün yaylma hznn bir ölçüsü olan
standart sapma fonksiyonun davran³larn kar³la³trabilmektir.
Tuzak yo§unlu§u
p = 0.1 ve p = 0.5 için iki ve üç boyutlu örgü uzaynda kuantum
yürüyü³lere ait standart sapmalarn zamana ba§l de§i³imleri srasyla “ekil (4.5(a)) ve
(4.5(b))'de verilmi³tir. Bu iki ³ekilden görülebilece§i gibi tuzak yo§unlu§u arttkça,
iki ve üç boyuta ait standart sapmalar birbirlerinden ciddi ölçüde ayrlmaktadrlar. Bu
³ekiller ister tuzaksz, ister tuzakl örgü modeli olsun her iki durumda da kuantum
yürüyücünün üç boyutlu uzayda daha hzl yaylaca§n göstermektedir. Dolaysyla
bu davran³, üç boyutlu kuantum yürüyü³te ortaya çkan e³-evresizli§in, iki boyutlu
yürüyü³te ortaya çkan e³-evresizlikten daha az olaca§n gösterir. Ancak bu e§rilerin
e§imleri, bize daha do§ru bilgi verecektir. Son olarak ³unu söyleyebiliriz: Özellikle
yüksek tuzak yo§unluklu örgü uzaylarnda gerçekle³tirilen kuantum yürüyü³ler,
yeterince uzun zaman adm için izlenebilirse, belli bir zaman adm sonunda çok
keskin olmayan bir geçi³in ortaya çkmas beklenebilir.
Bu geçi³, ba³ka yollar
kullanlarak görülebilece§i gibi standart sapma e§risine bakarak da görülebilir.
46
1.0
2D
3D
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
p
“ekil 4.6
için
ki ve üç boyutlu kuantum yürüyü³
β parametresinin tuzak yo§unlu§u p'ye göre
de§i³imi.
Kuantum yürüyü³ün numerik hassasiyetinin fazla olmas nedeniyle daha uzun zaman
admlarna gitmek zor olmaktadr.
Ancak yine de standart sapma e§risindeki
bükülmeler, yüksek tuzak yo§unlu§u için (4.5(b))'de daha net olarak görülmektedir ve
bu bükülme sürecinde kuantum yürüyü³ün, e³-evresizlikten ba³ka, ayn zamanda bir
anormal difüzyon sürecine uydu§una i³aret etmektedir.
“ekil
(4.6)'da
iki
ve
üç
boyutlu
kuantum
yürüyü³lere
ait
standart
sapma
e§imlerinin tuzak yo§unlu§una ba§ll§ verilmi³tir. “ekilden de görülece§i gibi hem
iki hem de üç boyutlu kuantum yürüyü³ için
e§im arasnda belli bir aç vardr.
kaynaklanmaktadr.
β
β
lineer olarak azalmaktadr.
Bu aç,
Her iki
yürüyü³ün boyuta ba§ll§ndan
parametresi, yürüyü³lerdeki e³-evresizli§i ölçen bir niceliktir.
Bu parametrenin e§imine bakarak, e³-evresizli§in iki boyutlu kuantum yürüyü³te daha
fazla oldu§unu söylememiz mümkündür. Ayn tuzak yo§unlu için üç boyutlu uzayda
kuantum yürüyücüler, iki boyuttakinden daha hzl yaylmaktadrlar.
“ekil (4.6), iki ve üç boyutlu tuzakl örgü uzaynda gerçekle³en kuantum yürüyü³te
ortaya çkan e³-evresizli§e ba§l olarak yürüyücünün uzayda yaylma hz hakknda kir
verir. Fakat bu yürüyü³ün yaylma hznn, klasik rastgele yürüyü³ün yaylma hzna
nasl gitti§ini görmek için ayn tuzak yo§unluk de§erleri göz önünde bulundurularak,
bu kez, klasik rastgele yürüyü³ ve kuantum yürüyü³ süreçleri, iki ve üç boyut için
47
1.0
CW 2D
CW 3D
QW 2D
QW 3D
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
p
“ekil 4.7
ki ve üç boyutlu kuantum yürüyü³
ve klasik rastgele yürüyü³ için
tuzak yo§unlu§u
β
parametresinin
p'ye göre de§i³imi.
kar³la³trlm³tr. “ekil (4.7)'de iki ve üç boyutlu klasik rastgele yürüyü³ ve kuantum
yürüyü³ün hem tuzaksz hem de tuzakl uzayda yaylm hzlarnn de§i³imleri çok
açk bir ³ekilde görülmektedir.
Örne§in
p = 0
de§erinde, hem iki hem üç boyutlu
uzayda gerçekle³en klasik rastgele yürüyü³ün, zamana ba§l olarak standart sapmasnn
σ ∼ t1/2 , kuantum yürüyü³ün ise σ ∼ t ³eklinde de§i³ti§ini söyleyebiliriz.
Bu, bizim
bekledi§imiz bir sonuç olup ayn zamanda elde edilen numerik sonuçlarn do§rulu§unu
onaylar niteli§e sahiptir.
“ekil (4.7)'den görülebilece§i gibi klasik rastgele yürüyü³ için standart sapmann
e§imleri, boyuta ba§llk göstermektedir. Tpk kuantum yürüyü³te oldu§u gibi klasik
rastgele yürüyü³te de iki boyutlu uzayda gerçekle³en yürüyü³lerin standart sapma
de§erleri ile üç boyutlu uzayda gerçekle³en yürüyü³lerin standart sapma de§erleri
birbirlerinden bir aç yapacak ³ekilde ayrlmaktadr.
Bu da, bizim bekledi§imiz bir
sonuçtur. Fakat her iki yürüyü³e ait açlarn, birbirlerinden farkl olmas ilginçtir. Bu
açlar arasndaki ili³ki, yaylmann hzyla ili³kili olmaldr.
Dü³ük tuzak yo§unluklar için kuantum durumlarnn yaylma hzlarnn, klasik
parçacklarn yaylma hzlarndan daha yüksek olaca§ açktr ve bu, “ekil (4.7)'de
çok net olarak görülmektedir. Fakat tuzak yo§unluklar artrld§nda, her iki boyutta
geçekle³en
kuantum
yürüyü³ün
(burada
Hadamard
yürüyü³ü)
örgü
uzayndaki
48
yaylma hzlar giderek, klasik rastgele yürüyü³lerin yaylma hzlarna yakla³maktadr.
Örne§in, iki boyutlu kuantum yürüyü³ünün yaylma hz, yakla³k olarak
de§eri civarnda üç boyutlu klasik yaylm hzna ula³maktadr.
p = 0.35
Tuzak yo§unlu§u
artrld§nda ise klasik yürüyü³ün yaylm hznn altna dü³mektedir. Öte yandan üç
boyutlu kuantum yürüyü³ün yaylm hz, tuzak yo§unlu§u ile azalmakla birlikte yine
de en yüksektir.
BÖLÜM BE“
BR BOYUTLU TUZAKLI ÖRGÜDE KUANTUM YÜRÜYܓTE
YA“AMA OLASILI‡ININ ZAMAN EVRM
5.1
Giri³
Bir
klasik
yürüyü³ün
zaman
evrimini
fonksiyonunun, boyuttan ba§msz olarak
veren
< r2 >∼ t
kare-ortalama
yerde§i³tirme
³eklinde gitti§i bilinmektedir.
Bu, Einstein yasas olarak bilinir. Ancak ayn klasik rastgele yürüyü³, e§er yürüyü³ü
engelleyecek uzaysal bozukluklar, deformasyonlar, kusurlar, so§urucu tuzaklar, kuyu
veya bariyerlerin oldu§u bir uzayda gerçekle³tirilirse, bu durumda uzayn yapsna
ba§l olarak yürüyü³ün yaylma hz, Einstein yasasndan saparak, hzl veya yava³
olarak adlandrlan difüzyon sürecine uyacak ³ekilde davranr. Bu süreçler, anormal
difüzyon süreçleri olarak bilinir. Hzl difüzyon, `anormal super-diffusion' ve yava³
difüzyon ise `anormal sub-diffusion' olarak adlandrlr.
Deformasyonlar, kusurlar,
so§urucu tuzaklar, kuyu veya bariyerlerin oldu§u uzaylar, temelde Öklid uzay olarak
geçmekle birlikte bu tür uzaylara gömülmü³ (embeded) uzaylar demek daha do§rudur.
Bu uzaylarn sa§lad§ e³itsizlikler ile kusursuz Öklid uzaynn sa§lad§ e³itsizlikler
farkldr. So§urucu tuzaklarn yer ald§ uzayda parçack yaylmn incelemek, di§er
uzaylardaki kadar ilginçtir.
Bu nedenle önceki bölümlerde, so§urucu tuzaklarn
oldu§u uzaylarda gerçekle³tirilen kuantum yürüyü³ler incelenerek, bu yürüyü³lerdeki
e³-evresizlik problemleri ele alnm³tr.
Fakat önceki çal³malarda,
tuzaklarn
kuantum durumlarnn yaylma hzlar üzerindeki etkisi, zamana ba§l olarak detayl
olarak incelenmemi³tir. Bu çal³mada, farkl bir model kullanlarak, bu kez tuzaklarn
varl§ durumunda kuantum durumlarnn ya³ama olaslklar zamana ba§l olarak
incelenmi³tir.
ba§ldr.
ilgiliyken,
Kuantum durumlarnn ya³ama olasl§, yürüyü³teki e³-evresizli§e
E³-evresizlik, kuantum durumlarnn örgü uzayndaki yaylma hz ile
ya³ama olasl§ ise tuzaklara yakalanmadan ya³amaya devam eden
kuantum durumlarnn says ile ilgilidir.
Tuzaklara dü³meyen ve yaylma devam
49
50
eden kuantum durumlar,
yaylm sürecinde halen var olan e³-evrelili§e kar³
gelece§inden, e³-evresizlik ile ya³ama olasl§ birbirleriyle ili³kilidir.
Tuzakl örgülerde ortaya çkan anormal difüzyon sürecinin ilginç bir özelli§i
vardr. Bu tip difüzyon süreci (bu difüzyon süreci tek bir paçac§ veya çok sayda
parçac§ içine alr), Einstein yasasna uymaz. Bu tür difüzyon süreçleri, difüzyonun
gerçekle³ti§i uzay boyutuna ba§l olmaktadr.
difüzyonun
ksa
de§i³mektedir.
zaman
ve
uzun
zaman
Ayrca bu tür difüzyon süreçlerinde,
limitlerinde,
Yani difüzyonun yaylma hznda,
yaylma
karakteristikleri
kritik bir zaman de§erinde,
ölçeklenebilir bir geçi³ (time crossover) gözlenmektedir. Benzer davran³n kuantum
durumlarnn yaylmnda ortaya çkp çkmad§n görmek için bu çal³mada, bir
model önerilmi³tir.
Tuzakl klasik rastgele yürüyü³te ya³ama olasl§nn, hem ksa zaman hem de
uzun zaman diliminde, nasl de§i³ti§i literatürde ayrntl olarak çal³lm³tr (Anlauf,
1984; Gallos ve Argyrakis, 2001; Havlin ve Avraham, 1987; Weiss, 1994).
Klasik
rastgele yürüyü³te ksa zaman davran³, Rosenstock (RS) (Rosenstock, 1970) rejimi
olarak bilinir ve RS rejiminde, dü³ük tuzak yo§unlu§unda bir boyutlu klasik rastgele
1/2
yürüyü³te ya³ama olasl§, üstel olarak zamann karekökü ile (t
) orantl azalr.
Asimptotik olarak uzun zaman davran³nda, RS rejiminden farkl bir rejime geçi³
gözlenir (Barkema ve ark., 2001).
Bu rejim, Donkser ve Varadhan (DV) (Donsker
ve Varadhan, 1979; Grassberger ve Procaccia, 1982; Haus ve Kehr, 1987; Havlin ve
ark., 1984) olarak adlandrlr ve bu rejimde yüksek tuzak yo§unluklarnda ya³ama
olasl§ üstel olarak
(t1/3 )
ile orantl azalr (Jayannavar ve Köhler, 1990; Lifshitz,
1964; Nieuwenhuizen, 1989).
Kuantum yürüyü³teki giri³im etkisi ve kuantum e³evrelili§i nedeniyle klasik
sonuçlarn kuantuma nasl geni³letilece§i belli de§ildir.
Bu nedenle bu çal³mada
(Gönülol, Aydner, Shikano ve Müstecaplo§lu, 2011), bir boyutlu tuzakl örgüde
kuantum difüzyon dinami§i, özellikle de klasik erken zaman Rossenstock (RS) ve
uzun zaman Donsker ve Varadhan (DV) rejimlerinin kuantum yürüyü³teki kar³lklar
ara³trlm³tr.
51
5.2
Model ve Hesaplamalar
Klasik rastgele yürüyü³te, RS'den DV'ye geçi³i görmek zordur.
Klasik rastgele
yürüyü³te, ya³ama olasl§nn zamanla de§i³iminde, sadece çok uzun zaman sonra
geçi³ gözlenir. Fakat daha yüksek tuzak yo§unluklar için ya da daha büyük difüzyon
sabitleri (Schotland, 1988) için bu geçi³, daha erken olabilmektedir.
Bu çal³mada,
klasik rastgele yürüyü³te difüzyon sabitinin, geçi³ zamann ksaltmas esas alnarak,
kuantum yürüyücülerin DV rejimine klasik yürüyücülerden daha erken girece§i
öngörülmü³tür.
yürüyü³lerde,
Klasik rastgele yürüyü³te, geni³ so§urucu bölgelerin bulundu§u
niteliksel
olarak
(Grassberger ve Procaccia, 1982).
farkl
DV
ölçeklendirmeleri
olabilmektedir
Bu bölgelerin ya³ama olasl§na katks, daha
yaygn ve küçük tuzak bölgelerinin yürüyücülerini kaybettikten sonra dominant olur.
Kuantum yürüyü³te,
yürüyücülerin yaylm daha geni³ oldu§undan,
bu tuzak
bölgelerinin daha geni³ ve daha seyrek olmas gerekir ve bu bölgelerin ortalamasnn,
klasik kar³lklarndan daha dü³ük azalma zaman vermesi beklenir.
Gerçekten de sürekli zaman bir boyutlu ta³nm probleminde, ya³ama olasl§nn
üstel olarak
t1/4
ile orantl azald§ görülmü³tür (Parris, 1989a). Kuantum yürüyü³
temelli çok ajanla arama algoritmalarnda, kuantum e³-evrelili§in bu yava³lamas,
kuantum hzll§na küçük hedef (tuzak) yo§unluklarnda bile ek bir snrlama
getirebilir.
Bu snrlama da genel kuantumdan klasi§e geçi³i gösteren e³-evresizlik
problemlerine ek olarak dikkate alnmaldr.
Florry benzeri heuristik argumanlar (Florry, 1971) temel alan tahminlerimizi test
edebilebilmek için bu çal³madaki tart³malar, kesikli bir boyutlu kuantum yürüyü³le
snrlandrlm³tr.
Fakat sürekli kuantum yürüyü³te de ta³nm problemleri gibi
kar³la³trma yaplabilecek çal³malar bulunmaktadr (Mülken ve ark., 2007, Agliari
ve ark., 2010, Parris, 1989a).
Sonuçlarn güncel deneysel sistemlere yararl olmas
için detayl numerik simülasyonlar gerçekle³tirilmi³tir.
Tuzakl klasik yürüyü³ ile
direkt benzerli§i sa§layabilmek için çok sayda yürüyücü ile çal³lm³ ve klasik
sistemdeki gibi örgüye rastgele yerle³tirilmi³ durgun tuzaklarla kuantum yürüyü³
gerçekle³tirilmi³tir. Ksa zaman davran³nda, dü³ük tuzak yo§unlu§u ara³trlm³tr.
52
Bunun yannda RS ve DV rejimindeki fark anlamak için ve kuantumdan klasi§e geçi³
dinami§ini ara³trmak için yüksek tuzak yo§unluklaryla da çal³lm³tr.
5.2.1
Çok Parçack ile Kuantum Yürüyü³
Çok
parçackla
gerçekle³tirilen
kuantum
yürüyü³,
özellikle
kuantum
arama
algoritmalarnda birden fazla parçackla (kuantum durumu ile) arama yaplabildi§i
için çok avantajldr.
Son zamanlarda yaplan çal³malar da çok parçack ile
gerçekle³tirilen
kuantum
Chandrashekar,
2010;
yürüyü³ün
Omar,
önemini
Paunkoviç,
ortaya
koymaktadr
(Goyal
Sheridan ve Bose 2006).
ve
Kuantum
yürüyü³ün bir parçack yerine, herbiri örgü üzerinde farkl noktalarda yürüyü³e
ba³layan,
ayrdedilebilir
ve
birbiriyle
gerçekle³tirildi§ini dü³ünelim. Bu
N
N
etkile³meyen
tane
parçack
ile
parçack için Hilbert uzay, tek parçack Hilbert
uzaylarnn tensör çarpm ile verilir.
H=
N
O
(HC ⊗ HP )i
(5.2.1)
i=1
Parçacklar
(kuantum
gerçekle³tirdi§inden,
N
durumlar),
birbirinden
ba§msz
olarak
yürüyü³ü
parçac§n her bir adm bütün sistemin evrim operatörü ile,
U1,2,...,N = U ⊗N
³eklinde belirlenir.
Bu ba§ntda
(5.2.2)
U , U = S(C ⊗ I)
ile verilen tek parçack zaman
evrim operatörüdür ve tüm parçacklar için ayndr.
N
parçac§n
ba³langç
durumlar,
durumlarnn tensör çarpm ile bulunur.
sahip
oldu§u
ve
xi , (xi = 1, ..., N )
“ekil
(5.1)'de
her
bir
parçack
için
verilen
Bütün parçacklarn ayn
gösterildi§i
gibi
tuzak
|χi
ba³langç
yönelimine
haricindeki
bütün
örgü noktalarnn dolu oldu§u dü³ünülürse, sistemin ba³langç
durumu,
|ψ(0)i =
N
O
i=1
|χ, xi ii
(5.2.3)
53
“ekil 5.1
|↑i ba³langç durumuna sahip 11 parçack
ve 3 tuzak noktas (siyah renk) ile gerçekle³tirilen
kuantum yürüyü³ün ³ematik gösterimi.
³eklinde ifade edilir.
t
zaman adm sonunda sistemin durumu, (5.2.2) ve (5.2.3)
ba§ntlar yardmyla,
t
|ψ(t)i = U1,2,...,N
|ψ(0)i
(5.2.4)
olarak bulunur. ndirgenmi³ tek parçack yo§unluk matrisi,
Φi (t) = T rj6=i |ψ(t)i hψ(t)|
(5.2.5)
ba§nts ile bulunur. Bu ba§nt kullanlarak, t annda tek parçack için olaslk da§lm,
Pi (x, t) =
X
hj, x| Φi (t) |j, xi
(5.2.6)
j=↑,↓
³eklinde elde edilir.
parçac§n,
Pi (x, t), t = 0
annda,
xi
konumundan yürüyü³e ba³layan
t annda, x konumunda olma olasl§n gösterir.
olaslk gibi yorumlanabilece§ini gösterir.
i = 1, . . . , N
Bu da
Pi (x, t)'nin ³artl
'e bütün parçacklar için
{Pi (x, t)} 'ler, tek parçack için {xi }'den x'e geçme olaslklarndan olu³an bir takm
olu³turur. Bu nedenle çal³lan çok parçack problemi, farkl ba³langç konumlarndan
harekete ba³layan tek parçac§n hareketine e³de§erdir.
5.2.2
Ya³ama Olasl§
Bu çal³mada, klasik rastgele yürüyü³te ya³ama olasl§n hesaplamak için tam
sayma yöntemi (exact enumeration method) kullanlm³tr.
Bu yöntemde, yürüyü³ün ba³langcnda
yerle³tirilir.
(t = 0)
(Havlin ve ark., 1984).
tuzaklar, bir boyutlu örgüye rastgele
Tuzak olmayan her örgü noktasnda bir parçack bulunur.
Her zaman
54
admnda
N
parçack, bir boyutlu örgü üzerinde klasik rastgele yürüyü³ü gerçekle³tirir.
Bir parçac§n, t annda, belirli bir x konumunda bulunma olasl§ Pi (x, t), t−1 annda,
en yakn kom³ularnn bulunma olaslklarnn toplamnn ikiye bölümü ile bulunur.
t
adm sonunda örgü uzayndaki tüm parçacklar için ya³ama olasl§ ise,
Pr (t) =
ba§nts ile bulunur. Burada
N,
N
K
1 XX
Pi (x, t)
N i=1 x=1
(5.2.7)
rastgele yürüyü³ü gerçekle³tiren parçack says,
herhangi bir kongürasyonu gösterir.
N , örgü uzunlu§u K
N = K − n ³eklinde ya da tuzak yo§unlu§u ρ = n/K
³eklinde ifade edilebilir. Örgü noktalar örgü üzerinde
ve tuzak says
'ya ba§l olarak
r,
n cinsinden
N = K(1 − ρ)
{1, 2, 3, . . . , K − 1, K} ³eklinde
sralanr.
Tuzaklar,
tamamen
so§urucu
ve
hareketsiz
oldu§undan,
yürüyü³
parçacklarn tuzak noktalarda bulunma ve ya³ama olaslklar sfrdr.
boyunca
Bu nedenle
ya³ama olasl§ hesaplanrken yaplan toplam, tuzak noktalardan etkilenmez.
Klasik rastgele yürüyü³te ya³ama olasl§ incelendikten sonra ya³ama olasl§nn
kuantum kar³l§na (Jayannavar, 1991; Parris, 1989a, 1989b) baklm³tr. Kuantum
yürüyü³te, bir boyutlu kesikli bir örgüde uzaynn her bir noktasnda ya bir kuantum
durumu ya da bir so§urucu tuzak vardr. Tuzaklar, örgü üzerine rastgele da§tlr ve
sonsuz potansiyel kuyular gibi yutucu karaktere sahiptir. Bu tuzaklarda her hangi bir
kuantum durumunun ya³amayaca§ kabul edilir.
Tuzaklar d³ndaki noktalar ise
hareketin ba³langcnda belirlenen bir kuantum durumunda bulunurlar.
Kuantum
durumlar, her bir zaman admnda örgü üzerinde kuantum yürüyü³ü gerçekle³tirirler.
Her bir zaman admnda yeni konumlar ve kuantum durumlar,
belirlenir. Kuantum durumlarnn her hangi bir
t
U
üniter dönü³ümü ile
annda her hangi bir
x
konumunda
bulunma olasl§ da,
P (x, t) = |ψ↑ (x, t)|2 + |ψ↓ (x, t)|2
(5.2.8)
denklemiyle hesaplanr.
Kuantum parçacklarnn ya³ama olaslklarnn bulunabilmesi için bir önceki
55
bölümde anlatlan basitle³tirmeden yararlanlarak,
olaslklar,
farkl
konumlardan
harekete
t annda tüm parçacklarn ya³ama
ba³layan
bir
parçac§n
ya³ama
olaslklarnn toplam olarak klasik ya³ama olasl§na benzer ³ekilde denklem (5.2.7)
deki gibi bulunabilir.
Kuantum yürüyücü, tuzak noktalardan birine geldi§inde tuzak tarafndan so§rulur.
Bir ba³ka deyi³le tuzak noktalar, kuantum yürüyücünün kuantum durumlarn yok eder.
Bu nedenle tuzak noktalar için ya³ama olasl§ndan bahsedilemez. Yürüyü³ boyunca
tuzak noktalarn ya³ama olaslklar sfrdr.
Kuantum yürüyü³te ya³ama olasl§, üç farkl ba³langç durumu için incelenmi³tir.
Birinci durumda, bütün kuantum durumlar
da
|↓i ve son durumda
√1 (|↑i
2
|↑i, ikinci durumda rastgele olarak |↑i ya
+ i |↓i) ³eklinde süperpozisyon durumunda seçilmi³tir.
Bu durumlar srasyla yukar, miks (kar³k) ve simetrik olarak adlandrlabilir.
Tuzaklarn
rastgele
da§lmn
sa§lamak
için
farkl
ba³langç
³ekillenimleri
üzerinden ya³ama olasl§nn istatistik ortalamas hesaplanm³tr.
M
1 X
hP (t)i =
Pr (t)
M r=1
Burada
5.3
5.3.1
(5.2.9)
M , farkl ³ekillenim saysn gösteririr.
Sonuçlar ve Tart³ma
Kuantum Yürüyü³te Ya³ama Olasl§
Farkl tuzak yo§unluklarnda (ρ
= 0.05, ρ = 0.1, ρ = 0.2 ve ρ = 0.3), durumlarn
ya³ama olasl§nn zamanla de§i³imini incelemek için yukar, miks ve simetrik
ba³langç durumu için
t = 200000
zaman adm,
K = 101
M = 10000 farkl ³ekillenim kullanlarak “ekil (5.2) çizdirilmi³tir.
örgü noktas ve
56
1.5
log(-ln<P(t)>)
log(-ln<P(t)>)
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
1
2
3
-1.5
0
4
1
logt
2
3
4
logt
(a)
(b)
log(-ln<P(t)>)
1.8
1.2
0.6
0.0
-0.6
-1.2
0
1
2
3
4
logt
(c)
“ekil 5.2
1
Ba³langç durumlar a) |↑i (yukar), b) |↑i yada |↓i (miks), c) √
(simetrik) olan kuantum yürüyü³ünde
T = 20000, K = 101, M = 10000
ρ = 0.05, ρ = 0.1, ρ = 0.2
2
(|↑i+i |↓i)
ρ = 0.3,
ve
için kuantum durumlarnn ya³ama olasl§nn
zamanla de§i³imi.
Ya³ama olasl§, beklendi§i gibi zamanla azalr ve tuzak yo§unlu§u arttkça daha
dü³ük de§erler alr. Ya³ama olasl§nn dinami§ini daha yakndan inceleyebilmek için
log(− lnhP (t)i) − log t skalasnda bakld§nda, “ekil (5.2)'den de görüldü§ü gibi üç
farkl ba³langç durumu içinde ya³ama olasl§nn zamanla de§i³iminde iki farkl rejim
ortaya çkar. Bu iki rejim, belirli bir
tc 'nin
tc
zamannda bir geçi³e (crossover) neden olur.
yeri, tuzak yo§unlu§una ba§ldr. Geçi³ zaman (crossover time)
simetrik ba³langç durumu için
tc ≈ 25/ρ,
miks ba³langç durumu için
tc ,
yukar ve
tc ≈ 8/ρ'da
gözlenir.
Geçi³ zamanndan önce ve sonra,
t = 1'den t = tc 'ye
ve
t = tc 'den t = T 'ye
ya³ama olasl§ zamana lineer olarak ba§ldr. Bu lineer ba§llk, ya³ama olsl§nn
zamanla de§i³iminin gerilmi³ üstel (stretched exponential ) fonksiyona (Phillips, 1996)
57
0.90
0.75
yukar
0.60
miks
simetrik
yukar
miks
0.45
simetrik
0.30
0.15
0.05
“ekil 5.3
durumlar
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Yukar, miks ve simetrik ba³langç
kullanlarak
gerçekle³tirilen
kuantum
T = 20000, K = 101, M = 10000
β1,2 parametrelerinin ρ ile de§i³imi.
yürüyü³te
için
uydu§unu gösterir.
Burada
£
¤
hP (t)i ∼ exp −tβ
β , hP (t)i'nin azalma hzn belirleyen parametredir.
ve sonra srasyla
β1
ve
β2
de§erlerini alr.
(5.3.1)
Bu parametre tc 'den önce
“ekil (5.3)'de
β1
ve
β2 'nin
yo§unlu§una göre de§i³imleri görülmektedir. Tuzak yo§unlu§u arttkça,
β2
artar. Dü³ük tuzak yo§unlu§unda
anla³labilir.
β1 'in
β1
tuzak
azalrken,
davran³, klasik RS yakla³m metodu ile
st , t adm sonunda ziyaret edilen farkl noktalarn says ise yürüyücünün
tuzaklanmama olasl§
λ = − ln (1 − ρ)
pt = (1 − ρ)st
tanm ile birlikte
olarak yazlabilir.
Ortalama olaslk ise
P (t) = hpt i = hexp (−λst )i
biçiminde ifade
edilebilir. RS yakla³mn, ksa zaman ve dü³ük tuzak yo§unlu§unda kullanmak için
P (t) ≈ exp (−λhst i)
oldu§undan
olarak alnabilir.
√
hst i ∼
√
t
P (t) ≈ exp (−λ t)
ifadesi, bilinen RS ölçeklendirme formunu verir.
hst i ∼ t
oldu§undan (Konno, 2002; Konno, 2005a) RS
Kuantum yürüyü³ için
rejiminin kuantum kar³l§nda
hst i'nin
Klasik rastgele yürüyü³ için
β1 ∼ 1 bulunur.
en büyük de§eri, perdeleme (screening) yada nüfuz etme (penetration)
uzunlu§u ile ili³kilendirilir ve yürüyücülerin ba³langç noktas ile tuzakland§ nokta
arasndaki mesafeyi belirtir. Kuantum yürüyücüler, klasik bir yürüyücüden daha büyük
nüfuz etme uzunlu§una sahiptir ve daha büyük gruplarda yürüyü³e ba³ladklarnda çok
58
uzun süre tuzaklanmadan kalabilirler. DV rejiminin kuantum kar³l§nda bu dominant
gruplar, klasik DV rejiminde oldu§undan daha büyük olmaldr.
Yava³ azalan bu
büyük gruplarn ortalamas, DV rejiminin kuantum kar³l§nda ya³ama olasl§nn
klasik difüzyondan daha yava³ azalmasna neden olur. Benzer ³ekilde sürekli kuantum
yürüyü³le yaplan kuantum ta³nm probleminde,
1989a). “ekil (5.3)'den de görüldü§ü gibi
β = 1/4 olarak bulunmu³tur (Parris,
β2 bu de§ere ρ > 0.3 için yaknsar.
Yaplan bu analizler sonucunda, “ekil (5.2)'de görülen geçi³in, RS'den DV'ye
geçi³in kuantum kar³l§ oldu§u söylenebilir.
Klasik rastgele yürüyü³te bu geçi³,
çok uzun zaman sonra ortaya çkar ve gözlenmesi zordur. Klasik sistemlerde, tuzak
yo§unlu§unu arttrarak ya da büyük difüzyon katsaylar olan sistemler kullanlarak
tc
azaltlabilir.
Kuantum yürüyü³ içinde
tc 'nin ρ
arttkça azald§ “ekil (5.2)'den
görülebilir.
Tuzak
yo§unlu§unun
artmas,
kuantum
yürüyü³te
e³evrelili§i
bozar
ve
kuantumdan klasi§e geçi³ gözlenir (Romanelli ve ark., 2005, Chandrashekar ve ark.,
2007, Gönülol ve ark., 2009).
Ayrca DV rejiminin kuantum kar³l§nda ya³ama
olasl§nn klasik difüzyondan daha yava³ azalmas, kuantum yürüyü³ temelli arama
algoritmalarnn uygulamalarnn,
neden olabilir.
yo§unlu§u
için
dü³ük tuzak yo§unlu§u ile snrlandrlmasna
Kuantumdan klasi§e geçi³te bilinen kstlama faktörü, yüksek tuzak
geçerlidir.
Bu
nedenle
a³a§daki
alt
ba³lkta,
yüksek
tuzak
yo§unlu§unda kuantum yürüyü³ün davran³ ara³trlm³ ve kuantumda RS'den
DV'ye geçi³in, klasikten daha önce gerçekle³ti§i kantlanm³tr.
5.3.2
Klasik ve Kuantum Yürüyü³te Ya³ama Olasl§
Klasik rastgele yürüyü³te ya³ama olasl§nn ksa ve uzun zaman davran³ ve
RS'den DV'ye geçi³in belirtileri “ekil (5.4)'de görülüyor. Ksa zaman davran³nda
ya³ama olasl§ “ekil (5.4(a))'daki gibi dü³ük tuzak yo§unlu§unda RS rejimi ile ve
β = 1/2 ile uyumludur.
Tuzak yo§unlu§u arttrld§nda, e§im azalr ve yüksek tuzak
yo§unluklar için “ekil (5.4(b))'de görüldü§ü gibi DV davran³na ula³lr ve
β , 1/3'e
59
-0.2
1.4
=0.01
log(-ln<P(t)>)
=0.005
log(-ln<P(t)>)
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
1.2
1.0
0.8
0.6
-1.2
0.4
2.0
2.5
3.0
3.5
2.0
2.5
(a)
“ekil 5.4
3.0
3.5
logt
logt
(b)
K = 50000 için klasik rastgele yürüyü³te
T = 2000 ve ρ = 0.01, ρ = 0.005. Kesikli
b) T = 2000 ve ρ = 0.2, ρ = 0.5. Kesikli çizgiler
Farkl tuzak yo§unluklarnda
ya³ama olasl§nn zamanla de§i³imi a)
β = 1/2 e§imi belirtir.
β = 1/3 e§imi belirtir.
çizgiler
yaknsar. DV ölçeklendirme formuna yaknsama, daha yüksek tuzak yo§unluklarnda
daha hzl olur.
Bu analitik de§erler, termodinamik olarak büyük sistemler için
geçerlidir.
Kuantum yürüyü³ ile klasik yürüyü³ü kar³la³trabilmek için örgü uzunlu§u
K = 101
seçilerek
T = 1000
zaman adm sonunda “ekil (5.5(a))'da klasik yürüyü³
için “ekil (5.5(b))'de kuantum yürüyü³ için ya³ama olaslklarnn zamanla de§i³imi
çizdirilmi³tir. Bu durumda, kuantum yürüyü³te RS'den DV'ye geçi³ olmasna ra§men
klasik yürüyü³ün hala RS rejiminde oldu§u görülmektedir.
1.5
1.2
QW
CRW
1.0
log(-ln<P(t)>)
log(-ln<P(t)>)
0.8
0.4
0.0
-0.4
-0.8
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.2
-1.5
0
1
2
3
logt
(a)
“ekil 5.5
0
1
2
(b)
a) Klasik rastgele yürüyü³te, b) ba³langç durumlar
yürüyü³te ya³ama olasl§nn zamanla de§i³imi.
3
logt
|↑i
olan kuantum
60
0.8
cl
0.6
0.4
0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
“ekil 5.6
Klasik rastgele yürüyü³ ve kuantum
yürüyü³te
azalma
yo§unlu§u
parametresi
β 'nn
tuzak
ρ ile de§i³imi.
Tuzak yo§unlu§unun ölçeklendirmeye etkisini sistematik bir ³ekilde inceleyebilmek
için “ekil (5.6)'da
β1 , β2 , ve βcl 'nin tuzak yo§unlu§u ile de§i³imi çizdirilmi³tir.
yo§unlu§u arttkça
β1
ve
βcl
azalrken,
β2
Tuzak
tam tersine artar. RS ve DV rejimin en iyi
ayrtedilebildi§i tuzak yo§unlu§u aral§ “ekil (5.5(b))'deki gibidir. Çok yüksek tuzak
yo§unluklarnda bu ayrm, zor ayrdedilir ve
β1,2 ,
“ekil (5.6)'da görüldü§ü gibi
βcl
de§erine yaknsar. Bu durum, yüksek tuzak yo§unluklarnda kuantumdan klasi§e geçi³
tahminleriyle uyu³maktadr.
“ekil (5.5(b))'de görülen kuantum yürüyü³teki ksa ve
uzun zaman davran³ arasndaki dinamik geçi³in, “ekil (5.6)'ya bakarak kuantumdan
klasi§e geçi³ olmad§, bu geçi³in, klasik RS den DV'ye geçi³in kuantum kar³l§
oldu§u anla³lmaktadr.
5.3.3
Tek Parçack ile Kuantum Yürüyü³te Konum Ölçümü ve Çok Parçack ile
Kuantum Yürüyü³te Ya³ama Olasl§
Bu altbölümde, ya³ama olasl§ ile bir boyutta kuantum yürüyü³te konum ölçümü
arasndaki ili³ki analitik olarak gösterilmi³tir. Bir boyutta kuantum yürüyü³te konum
ölçümünde (Shikano ve ark., 2010; Chisaki ve ark., 2010; Shikano, 2011), konum
Hilbert uzay
HP = {|zi : z ∈ Z}
olarak verilir.
Kuantum yürüyü³te bir adm
61
1.0
1
1- /2
0.8
2
cl
0.6
0.4
0.2
/2
0.0
0.0
“ekil 5.7
0.2
0.4
0.6
0.8
K = 101
ve t = 1000 için klasik
|↑i ba³langç durumu ile
azalma parametresi β 'nn
rastgele yürüyü³te ve
kuantum yürüyü³te
tuzak yo§unlu§u
ρ'ya
göre de§i³imi. Kesikli
çizgiler analitik sonuçlar gösterir.
dinami§i,
ρ(t + 1) = (1 − p)U ρ(t)U †
+ p |χi hχ| ⊗ TrC
X h
i
† ˆ
0
0
ˆ
(I ⊗ |zi hz|)Û ρ(t)Û (I ⊗ |z i hz |) (5.3.2)
z,z 0 ∈Z
denklemiyle bulunur. Denklemde
ile verilir.
¯
¯
¯
E
ED
¯
¯
¯
¯ψ̃(0) = |χ, 0i, ρ(0) = ¯ψ̃(0) ψ̃(0)¯ ve p ∈ [0, 1]
p = 1/tγ (0 ≤ γ ≤ 1)
asimptotik davran³,
iken kuantum yürüyü³te konum ölçümü için
(D)
hst i ∼ t(1+γ)/2 olarak elde edilir (Shikano ve ark., 2010; Chisaki
ve ark., 2010).
Termodinamik limitte
K → ∞ (ρ sabit, t yeteri kadar büyük iken), çok parçack ile
kuantum yürüyü³, tek parçack ile kuantum yürüyü³e indirgenebilir.
Birbiriyle
etkile³meyen kuantum parçacklar ve kuantum para (coin) için çok parçack ile
kuantum yürüyü³ modelindeki parçac§n tuzak noktasna dü³erek so§urulmas,
konum ölçümü durumuna e³de§erdir. Bu yüzden kuantum yürüyü³te konum ölçümü
sonuçlar, bu sisteme uygulanabilir.
gösteren
(D)
hst i ∼ t(1+γ)/2
p = tρ /t = (1/t)(1−ρ)
Kuantum yürüyü³ün asimptotik davran³n
ba§ntsnda,
t
annda parçac§n tuza§a dü³me olasl§
yerine yazld§nda,
(T )
ρ
hst i ∼ t1− 2
elde edilir.
Bu, ortalama
serbest yol olarak alnabilir. Termodinamik limitte, merkezi limit teoremi uygulanarak
62
1.0
K=81
1- /2
K=101
0.8
K=201
1
0.6
0.4
2
0.2
K=81
/2
K=101
K=201
0.0
0.0
“ekil 5.8
0.2
|↑i
0.4
0.6
0.8
ba³langç durumu ile ba³layan
kuantum yürüyü³ünde
K = 81, K = 101
ve
K = 201 örgü noktas için azalma parametresi
β 'nn tuzak yo§unlu§u ρ ile de§i³imi.
ya³ama olasl§nn serbest yol ile,
"
(N T )
hP (t)i ∼ exp −
hst
i
#
(T )
hst i
³eklinde üstel azald§ bulunur. Bu denklemde
h ρi
∼ exp −t 2
(N T )
hst
i ∼ t,
(5.3.3)
tuzak noktalar olmadan
ortalama serbest yolu belirtir. Ayn zamanda konum ölçümü olmadan kuantum yürüyü³
davran³n belirtir.
Sabit tuzak yo§unlu§unda ya³ama olasl§, termodinamik limit
t¿K
ve
t∼K
durumlar için incelenirse; Birinci durum, geçi³ten (crossover) önceki zaman belirtir.
Bu durumda ya³ama olasl§, küçük
t'ler
için hesaplanmaldr. Bu nedenle ya³ama
olasl§ için denklem (5.3.3) direkt olarak kullanlamaz. Ya³ama olasl§ küçük t'ler
için,
hP (t)i ≈ 1 − hst i ∼ 1 − t(1− 2 )
ρ
(T )
(5.3.4)
³eklinde yeniden yazlmaldr.
¤
£
hP (t)i ∼ exp −tβ1 ≈ 1 − tβ1
oldu§undan
β1 ,
β1 = 1 −
ρ
2
(5.3.5)
63
olarak elde edilir. kinci durum, geçi³ten sonraki zaman belirtir ve üstel azalma için
denklem (5.3.3) direk olarak kullanlabilir. Bu durumda
β2 =
ρ
2
β2 ,
(5.3.6)
olarak elde edilir.
Bu analitik sonuçlar, numerik sonuçlarla “ekil (5.7)'deki gibi kar³la³tralabilir. Çok
parçack ile kuantum yürüyü³te, numerik hesaplamalarda, belirli bir yönelim durumu
kullanlm³ olsa da “ekil(5.7)'de görüldü§ü gibi analitik ve numerik sonuçlar birbiri ile
uyumludur. Bunun yannda “ekil (5.8)'de, sonlu boyut ölçeklenmesi olup olmad§n
ara³trlm³tr. Örgü boyu arttrld§nda ve azaltld§nda analitik sonuçlarla uyumda
herhangi bir de§i³iklik olmad§ndan sonlu boyut ölçeklenmesi olmad§ söylenebilir.
BÖLÜM ALTI
SONUÇLAR
Bu tez kapsamnda, kesikli kuantum yürüyü³ modeli incelenmi³ ve konu ile ilgili üç
çal³ma sunulmu³tur. Dördüncü ve be³inci bölümde tantlan, iki boyutlu tuzakl örgüde
kuantum yürüyü³te e³evresizlik ve üç boyutlu tuzakl örgüde e³evresizli§in boyuta
ba§ll§ çal³malar, kuantum yürüyü³ün zaman evriminde büyük öneme sahip olan ve
kuantum yürüyü³ün klasik yürüyü³e geçi³ine neden olan e³evresizlik ile ilgilidir. Bu
çal³malarda e³evresizlik, so§urucu tuzaklarla modellenerek, literatürdeki çal³malara
yeni bir bak³ açs getirilmi³tir. Altnc bölümde tantlan son çal³mada ise bir boyutlu
tuzakl örgüde gerçekle³tirilen kuantum yürüyü³te parçacklarn ya³ama olasklarnn
zamanla de§i³imi incelenmi³tir.
ki boyutlu tuzakl örgüde kuantum Hadamard, Fourier ve Grover yürüyü³lerinde
e³evresizli§in incelendi§i ilk çal³mada, kritik bir tuzak yo§unlu§u de§erine kadar
kuantum yürüyü³ün hznn, her zaman klasik parçacklarn yaylma hzndan büyük
oldu§u görülmü³tür. Ayrca, bu üç yürüyü³ arasnda e³evresizli§e en dayankl olann
Hadamard yürüyü³ü oldu§unu bulunmu³tur.
Üç
boyutlu
tuzakl
örgüde
Hadamard
ba§ll§nn ara³trld§ ikinci çal³mada,
yürüyü³ünde
e³evresizli§in
boyuta
ortaya çkan e³-evresizli§in kuantum
durumlarn yaylma hzlarn etkiledi§i ve bu e³-evresizlik nedeniyle kuantum
durumlarnn yaylma hzlarnn klasik rastgele yürüyü³teki yaylma hzna gitti§i
görülmü³tür.
Üçüncü ve son çal³mada ise bir boyutlu tuzakl örgüde çok parçack ile kuantum
yürüyü³ gerçekle³tirilmi³tir. Bu modelde, e³-evresizli§in tersi olan e³-evreli olma hali
kuantum yürüyücülerin ya³ama olasl§ cinsinden modellenmi³tir.
Bu çal³mada,
di§erlerine göre farkl bir model kullanlsa da aslnda önceki iki çal³mann devam
niteli§inde olup, önceki çal³malarda ele alnmayan ama aslnda önemli olan bir
64
65
problemi tart³mak için yaplm³tr.
Bu çal³mada, kuantum durumlarn ya³ama
olasl§, di§er bir ifadeyle e³-evrelilik, zamann bir fonksiyonu olarak farkl tuzak
yo§unluklar için incelenmi³ ve kuantum durumlarn ya³ama olasl§nn zaman
evriminin, gerilmi³ üstel yasaya uydu§u bulunmu³tur.
Ayrca ksa zaman ile uzun
zaman limiti arasnda bir kritik geçi³ gözlenmi³ olup, bu geçi³in tuzakl örgüde
gerçekle³tirilen klasik rastgele yürüyü³teki RS den DV ye geçi³ oldu§u görülmü³tür.
Elde edilen bu sonuçlar, tuzaklarn kuantum yürüyü³ler için iyi bir e³-evresizlik
mekanizmas oldu§unu ortaya koymaktadr.
mekanizmalar
altnda
realizasyonlarda,
her
nasl
zaman
Kuantum yürüyü³ün,
davrand§n
bilmek
tuzak
tuza§a
veya
e³-evresizlik mekanizmalar sistemde yer alabilir.
önemlidir.
benzer
e³-evresizlik
Çünkü
davran³lar
modelleri,
kuantum
algoritmalarnn
sergileyen
Kuantum algoritma geli³tirme
çal³malar, e³-evresizlik probleminden ba§msz olarak dü³ünülemez.
yürüyü³
ziksel
matematiksel
Kuantum
modeli
olarak
kullanlmaya aday olmas nedeniyle kuantum yürüyü³ modellerinde, e³-evresizlik
olaylarnn anla³lmas önemlidir. Yaplan bu üç çal³ma, bu problemin anla³lmasna
yönelik katk niteli§indedir.
66
KAYNAKLAR
Aaronson, S. ve Ambainis, A. (2005). Quantum search of spatial regions. Monte Carlo
Methods in Theoretical Physics. 1, 47-49.
Agliari, E., Mülken, O., ve Blumen, A. (2010). Continuous-time quantum walks and
trapping. Int. J. Bifurcation Chaos, 20(2), 271-279.
Aharonov, D., Ambainis, A., Kempe, J., ve Vazirani, U. (2001). Quantum walks on
graphs. Proceeding of the 33rd ACM Symposium on Theory of Computing, New
York: ACM Press.
Aharonov, Y., Davidovich L., and Zagury, N. (1993). Quantum random walks. Phys.
Rev. A, 48(2), 1687-1690.
Alagić, G. ve Russell, A. (2005). Decoherence in quantum walks on the hypercube.
Phys. Rev. A, 72, 062304.
Ambainis, A., Bach, E., Nayak A., Vishwanath A., ve Watrous J. (2001). One
dimensional quantum walks. Proceeding of the 33rd ACM Symposium on Theory
of Computing, New York: ACM Press.
Ambainis A., Kempe J., ve Rivosh A. (2005). Coins make quantum walks faster.
Proceedings of ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA), New York:
AMC Press.
Ambainis, A. (2007). Quantum walk algorithm for element distinctness. SIAM Journal
on Computing, 37(1), 210-239.
Anlauf, J. K. (1984). Asymptotically exact solution of the one-dimensional trapping
problem. Phys. Rev. Lett., 52(21), 1845-1848.
Barkema, G. T., Biswas, P. ve Van Beijeren, H. (2001). Diffusion with random
distribution of static traps. Phys. Rev. Lett., 87(17), 170601.
67
Broome, M. A., Fedrizzi, A. P., Lanyon, B., Kassal, I., Aspuru-Guzik, A., ve White, A.
G. (2010). Discrete single-photon quantum walks with tunable decoherence. Phys.
Rev. Lett., 104(15), 153602.
Buhrman, H. and Spalek, R. (2006). Quantum verication of matrix products.
Proceedings of the 17th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. USA: ACM
Press.
Chandrashekar, C. M., Srikanth, R., ve Banerjee, S.(2007). Symmetries and noise in
quantum walk. Phys. Rev. A, 76 (2), 022316.
Childs, A. M., Farhi, E., ve Gutmann S. (2002). An example of the difference between
quantum and classical random walks. Quantum Information Processing, 1, 35-43.
Childs, A. M., Cleve, R., Deotto E., Farhi, E., Gutmann, S., ve Spielman, D.A. (2003).
Exponential algorithmic speedup by quantum walk. Proceeding of the 35th ACM
Symposium on Theory of Computing, New York: ACM Press.
Childs, A. M. ve Goldstone, J. (2004). Spatial search by quantum walk. Phys. Rev. A,
70, 022314.
Chisaki, K., Konno , N., Segawa, E. ve Shikano, Y. (2011). Crossovers induced
by discrete-time quantum walks. Quantum Information and Computation, 11,
0741-0760.
Deutch, D. (1985). Quantum theory, the Church-Turing Principle and the universal
quantum computer. Proc. Roy. Soc. London Ser. A, 400, 97.
Donsker, M., ve Varadhan, S. R. S. (1979). On the number of distinct sites visited by a
random walk. Commun. Pure Appl. Math. 32 (6), 721-747.
Du, J., Li, H., Xu, X., Shi, M., Wu, J., Zhou, X., ve Han, R. (2003). Experimental
implementation of the quantum random-walk algorithm. Phys. Rev. A, 67, 042316.
Dür, W., Raussendorf, R., Kendon, V. M., ve Briegel, H. J.(2002). Quantum walks in
optical lattices. Phys. Rev. A, 66 (5) 052319.
68
Einstein, A. (1905). Über die von der molekularkinetischen theorie der wärme
geforderte bewegung von in ruhenden üssigkeiten suspendierten Teilchen. Ann.
Phys. (Leipzig) 322 (8), 549-560.
Farhi, E., ve Gutmann, S.(1998). Quantum computation and decision trees. Phys. Rev.
A, 58 (2), 915-928.
Feynman, R.P., Leighton, R.B., ve Sands, M. (1964). Feynmann Lectures on Physics.
Boston: Addison Wesley.
Feynman, R. P. (1982). Simulating physics with computers. Int. J. Theo. Phy., 21 (6),
467-488.
Feynman, R. P. (1986). Quantum mechanical computers. Foundation of Physics, 16
(6), 507-531.
Flory, P. J. (1971). Principles of polymer chemistry. Ithaca, NY: Cornell University
Press.
Gallos, L. K. ve Argyrakis, P. (2001). Accurate estimation of the survival probability
for trapping in two dimensions. Phys. Rev. E, 64 (5), 051111.
Gönülol,
M.,
Aydiner,
E.
ve
Mustecaplo§lu,
Ö.
E.
(2009).
Decoherence
in
two-dimensional quantum random walks with traps. Phys. Rev. A, 80 (2), 022336.
Gönülol, M., Aydiner, E., Shikano, Y., ve Mustecaplo§lu, Ö. E. (2011). Survival
probability in a one-dimensional quantum walk on a trapped lattice. New J. Phys.,
13, 033037.
Goyal, S. K. ve Chandrashekar, C. M. (2010). Spatial entanglement using a quantum
walk on a many-body system. J. Phys. A: Math. Theor., 43 (23), 235303.
Grassberger, P. ve Procaccia, I. (1982). The long time properties of diffusion in a
medium with static traps. J. Chem. Phys., 77 (12), 6281.
Grossman, J. M., Ciampini, D., D'Arcy, M., Helmerson, K., Lett, P. D., Phillips, W. D.,
Vaziri, A., ve Rolston, S. L. (2004). Implementation of a quantum random walk with
a sodium Bose- Einstein condensate. The 35th Meeting of the Division of Atomic,
Molecular and Optical Physics, Tuscon, AZ: (DAMOP04).
69
Grover, L. K. (1996). A fast quantum mechanical algorithm for database search.
Proceeding, 28th Annual ACM Sysmposium on the theory of computation. New
York: ACM Press.
Guillotin-Plantard, N. ve Schott, R. (2006). Dynamic random walks:
Theory and
application. Amsterdam: Elsevier.
Haus, J. W., ve Kehr, K. W. (1987). Diffusion in regular and disordered lattices. Phys.
Rep., 150 (5-6), 263-406.
Havlin, S., Weiss, G. H., Kiefer, J. E. ve Dishon, M. (1984). Exact enumeration of
random walks with traps. J. Phys. A: Math. Gen., 17 (6), L347.
Havlin, S., ve Ben-Avraham, D. (1987), Diffusion in disordered media. Adv. Phys., 36
(6), 695-798.
Hughes, B. D. (1995). Random walks and random environments: Volume 1: Random
walks, United States: Oxford University Press.
Jayannavar, A. M. ve Köhler, J. (1990). Density of states in the band tails and random
multiplication in a diffusive medium. Phys. Rev. A, 41 (6), 3391-3394.
Jayannavar, A. M. (1991). Quantum transport in the presence of traps. Solid State
Commun., 77 (6), 457-460.
Jerrum, M., Sinclair, A., and Vigoda E. (2001). A polynomial-time approximation
algorithm for the permanent of a matrix with non-negative entries. Proceedings of
the 33th STOC, New York: ACM Press.
Karski, M., Förster, L., Choi, J. M., Steffen, A., Alt, W., Meschede, D., ve Widera, A.
(2009). Quantum walk in position space with single optically trapped atoms. Science,
325 (5937), 174-177.
Kendon, V. ve Tregenna, B. (2003). Decoherence can be useful in quantum walks.
Phys. Rev. A, 67, 042315.
Kendon, V. M., Sanders, B. C. (2004). Complementarity and quantum walks. Phys.
Rev. A, 71, 022307.
70
Kendon, V. (2007). Decoherence in quantum walks. Math. Struct. in Comp. Science,
17(6), 1169-1220.
Kempe, J. (2003). Quantum random walks: An introductory overview. Contemp. Phys.,
44 (4), 307-327.
Kempe, J. (2005). Discrete quantum walks hit exponentially faster. Probability Theory
and Related Fields, 133 (2), 215-235.
Konno, N. (2002). Quantum random walks in one dimension. Quantum Inf. Proc., 1
(5), 345-354.
Konno, N. (2005). A new type of limit theorems for the one-dimensional quantum
random walk. J. Math. Soc. Japan 57 (4), 1179-1195.
Konno, N. (2005). A path integral approach for disordered quantum walks in one
dimension. Fluctuation and Noise Letters 5 (4), 529-537.
Lifshitz, I. M. (1964). The energy spectrum of disordered systems. Adv. Phys., 13 (52),
483-536.
Lu, D., Zhu, J., Zou, P., Peng, X., Yu, Y., Zhang, S., Chen, Q., ve Du J. (2010).
Experimental implementation of a quantum random-walk search algorithm using
strongly dipolar coupled spins. Phys. Rev. A, 81 (2), 022308.
Mackay, T. D., Bartlett, S. D., Stephenson L. T., ve Sanders, B. C. Quantum walks in
higher dimensions. (2002). J. Phys. A: Math. Gen., 35 (12), 2745.
Magniez, F., Santha, M., ve Szegedy, M. (2005). Quantum algorithms for the triangle
problem. Proceedings of 16th ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms.
Canada: SIAM.
Magniez, F. ve Nayak, A. (2007). Quantum complexity of testing group commutativity.
Algorithmica, 48 (3), 221-232.
Manouchehri, K. ve Wang, J. B. (2008). Quantum walks in an array of quantum dots.
J. Phys. A: Math. Theor., 41, 065304.
71
Moore, C. ve Russell, A. (2002). Quantum walks on the hypercube. In Proceedings of
the 6th International Workshop on Randomization and Approximation Techniques,
London, UK: Springer- Verlag.
Mülken, O., Blumen, A., Amthor, T., Giese, C., Reetz-Lamour, M. ve Weidemüler, M.
(2007). Survival probabilities in coherent exciton transfer with trapping. Phys. Rev.
Lett., 99 (9), 090601.
Nielsen, M. A. and Chuang, I. L. (2000). Quantum computation and quantum
information. Cambridge: Cambridge University Press.
Nieuwenhuizen,
Th. M. (1989). Trapping and lifshitz tails in random media,
self-attracting polymers, and the number of distinct sites visited: A renormalized
instanton approach in three dimensions. Phys. Rev. Lett., 62 (4), 357-360.
Oliveira, A. C., Portugal, R., and Donangelo, R.(2006). Decoherence in twodimensional quantum walks. Phys. Rev. A, 74 (1), 012312.
Omar, Y., Paunkovic, N., Sheridan, L. ve Bose, S. (2006). Quantum walk on a line with
two entangled particles. Phys. Rev. A, 74 (4), 042304.
Parris, P. E. (1989). One-dimensional quantum transport in the presence of traps. Phys.
Rev. B, 40 (7), 4928-4937.
Parris, P. E. (1989). One-dimensional trapping kinetics at zero temperature. Phys. Rev.
Lett., 62 (12), 1392-1395.
Pearson, K. (1905). The problem of the random walk. Nature 72, 294.
Perets, H. B., Lahini, Y., Pozzi, F., Sorel, M., Morandotti, R., ve Silberberg, Y. (2008).
Realization of quantum walks with negligible decoherence in waveguide lattices.
Phys. Rev. Lett., 100, 170506.
Phillips, J. C. (1996). Stretched exponential relaxation in molecular and electronic
glasses. Rep. Prog. Phys., 59 (9), 1133.
Romanelli, A., Siri, R., Abal, G., Auyuanet, A., ve Donandelo, R. (2005). Decoherence
in the quantum walk on the line. Physica A, 347, 137-152.
72
Rosenstock, H. B. (1970). Random Walks on Lattices with Traps. J. Math. Phys., 11
(2), 487.
Ryan, C. A., Laforest, M., Boileau, J. C., ve Laamme, R. (2005). Experimental
implementation of discrete time quantum random walk on an NMR quantum
information processor. Phys. Rev. A, 72 062317.
Sanders, B. C., Bartlett, S. D., Tragenna, B., ve Knight, P. L. (2003) Quantum quincunx
in cavity quantum electrodynamics. Phys. Rev. A, 67, 042305.
Shapira, D., Biham, O., Bracken A. J., ve Hackett, M. (2003). One-dimensional
quantum walk with unitary noise. Phys. Rev. A, 68 (6), 062315.
Schotland, J. (1988). Short-time behavior of diffusion with random traps. J. Chem.
Phys., 88 (2), 907.
Schöning, U. A. (1999). Probabilistic algorithm for k-sat and constraint satisfaction
problem. 40th Annual Symposium on Foundations of Computer Science, New York:
IEEE
Schreiber, A., Cassemiro, K. N., Poto£ek, V., Gábris, A., Mosley, P. J., Andersson, E.,
Jex, I., ve Silberhorn, Ch. (2010). Photons walking the line: a quantum walk with
adjustable coin operations. Phys. Rev. Lett., 104 (5), 050502.
Shenvi, N., Kempe J., ve Whaley, K. B. (2003). Quantum random-walk search
algorithm. Phys. Rev. A, 67, 052307.
Shikano, Y., Chisaki, K., Segawa, E. ve Konno, N. (2010). Emergence of randomness
and arrow of time in quantum walks. Phys. Rev. A, 81 (6), 062129.
Shikano, Y. (2011). Differences between quantum walks and classical random walks
in limit distributions. AIP Conf. Proc., 1327, 487-491.
Shor, P. W. (1994). Algorithms for quantum computation : Discrete logarithms and
factoring. Proceeding, 35th Annual Sysmposium on foundations of Computer Science.
Los Alamitos, CA: IEEE Press.
Sinclair, A. (1993). Algorithms for random generation and counting, a markov chain
approach. Boston: Birkhauser Press.
73
Smoluchowski M.(1906). Zur kinetischen theorie der brownschen molekularbewegung
und der suspensionen. Ann. Phys. (Leipzig), 326 (14), 756-780.
Travaglione, B. C. ve Milburn, G. J. (2002). Implementing the quantum random walk.
Phys. Rev. A, 65, 032310.
Tregenna, B., Flanagan,W., Maile, R., ve Kendon, V. (2003). Controlling discrete
quantum walks: coins and initial states. New J. Phys., 5, 83.
Weiss, G. H. (1994). Aspects and applications of the random walk, Amsterdam:
North-Holland.
Zähringer, F., Kirchmair, G., Gerritsma, R., Solano, E., Blatt, R., ve Roos, C. F. (2010).
Realization of a quantum walk with one and two trapped ions. Phys. Rev. Lett., 104
(10), 100503.