DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA

DOĞRUSAL OLMAYAN
PROGRAMLAMA
-IITek değişkenli doğrusal olmayan
karar modelinin çözümü
Hazırlayan
Doç. Dr. Nil ARAS
Anadolu Üniversitesi, Endüstri
Mühendisliği Bölümü
İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi
2011-2012 Öğretim Yılı
1
Tek değişkenli doğrusal olmayan karar modelleri
n 
Tek değişkenli doğrusal olmayan karar modelleri, x∈R
olmak üzere, genel olarak izleyen iki şekilde karşımıza
çıkabilir.
n  X karar değişkeninin alabileceği tanım aralığı verilmiş
kısıtsız karar modeli olarak.
n  Kısıtlı karar modeli olarak.
n  Çözüm aşamasında, kısıtlardan hareketle X karar
değişkeninin tanımlı olduğu aralıklar belirlenip,
model kısıtsız hale dönüştürülebilir.
≤
X ∈ [ a, b]
g i ( x ) = b i ; i = 1,2,..., m k.a.
≥
Eniyi (Enb/Enk) f ( X )
kısıtları altında
Eniyi (Enb/Enk) f ( X )
2
n 
n 
n 
Modelin çözümü iki aşamada gerçekleştirilir.
1. 
Yerel enbüyük / enküçük noktaların araştırılması
2. 
Eniyi (bütünsel eniyi) noktanın belirlenmesi
Tanımlı aralıkta –eğer varsa- bir yerel enbüyüğe ya da
yerel enküçüğe sahip olan nokta 3 farklı durumda
karşımıza çıkabilir.
1. 
Birinci türevin sıfır olduğu noktalarda, f’(X)=0, yerel
enb/enk olabilir.
2. 
Birinci türevin alınamadığı noktalarda yerel enb/enk
noktalar olabilir.
3. 
[a, b] aralığının başlangıç ve bitiş noktaları.
Problemin çözümünde, öncelikle yukarıdaki 3 duruma
uyan yerel enb/enk noktaların tümü araştırılıp, bunların
içinden bütünsel enb/enk noktalar belirlenir.
3
I- Yerel enbüyük / enküçük
noktaların araştırılması
4
Durum 1. f ’ (X)=0 olan noktalar
(Adım 1. Yerel eniyi için GEREKLİ KOŞUL)
f(X)’in birinci mertebeden türevi alınarak, f’(X)=0
denkleminin kökü (veya kökleri) araştırılır.
i. 
ii. 
iii. 
Bu denklemin kökleri yok ise durulur. Modelin çözümü
(hiçbir yerel enbüyük veya yerel enküçük nokta) yoktur.
Denklemin kökleri analitik olarak bulunamıyorsa yine
durulur. Analitik çözüm mümkün olmadığından, sayısal
çözüm tekniklerine başvurulacak demektir.
Bu denklemin x1, x2 gibi şekillerde gösterilebilen kökleri
bulunmuş ise, izleyen adıma geçilir.
5
(Adım 1. Yerel eniyi için GEREKLİ KOŞUL)
f(X) verilen bir A⊂R kümesinde tanımlı ve sürekli iken, eğer
x0∈A için bir yerel enb/enk değer sözkonusu ise, f’(x0)=0 olur.
(GEREKLİ KOŞUL)
f(X), f’(X)=0 eşitliğini gerçekleyen X’ler için yerel enbüyük
veya yerel enküçük değere erişebildiği gibi, bu noktada dönüm
noktası da olabilir.
Bu nedenle, verilen modelin uygun çözüm alanı içinde amaç
fonksiyonunun birinci türevini sıfıra eşitleyen noktalarda ek
işlem ve irdeleme gerekir.
6
(Adım 2. Yerel eniyi için YETERLİ KOŞUL)
f’(x)=0 denklemini çözen her xi için, f(n)(xi ) ≠ 0
koşulunu sağlayan ilk f(n)(xi ) değerleri bulunur.
i. 
ii. 
(n) tek ise, xi yerel bir özel nokta değildir. xi,
dönüm noktası olabilir.
(n) çift ise,
a. 
f(n)(xi ) >0 ise, xi noktasında f(x) yerel
enküçük
b. 
f(n)(xi ) <0 ise, xi noktasında f(x) yerel
enbüyük değer alıyor demektir.
7
Durum 2. Türevi alınamayan noktalar
n 
Eğer f(X), x0’da bir türeve sahip değilse, x0 bir yerel eniyi
olabilir. Bunu sınamak için, tanım aralığı içerisinde kalan,
x0’ın solunda ve sağında (x1<x0<x2) ε kadar uzaklıkta iki
nokta alınır. Bu üç noktanın fonksiyon değerlerine
bakılarak karar verilir.
f(x0), f(x1), f(x2) arasındaki ilişki
x0
f(x2) > f(x0) > f(x1)
Yerel eniyi YOK
f(x1) > f(x0) > f(x2)
Yerel eniyi YOK
f(x0) ≥ f(x1) & f(x0) ≥ f(x2)
Yerel enbüyük
f(x0) ≤ f(x1) & f(x0) ≤ f(x2)
Yerel enküçük
8
Durum 3. Tanım aralığının başlangıç ve bitiş değerleri
y
y
●
y=f(x)
y=f(x)
●
●
a
b
f’(a)>0
a yerel enküçük
a
●
f’(b)>0
b yerel enbüyük
y=f(x)
●
b
b
x
y
●
a
●
x
y
f’(a)<0
a yerel enbüyük
x
y=f(x)
f’(b)<0
●
b yerel enküçük
a
b
x
9
II-Eniyi noktaların belirlenmesi
(bütünsel eniyilik)
f(X)’in dışbükey veya içbükey
olup olmadığı araştırılır.
10
i. 
ii. 
iii. 
f(x) dışbükey bir fonksiyon ise, yerel enküçük olan
noktada fonksiyon bütünsel enküçük değere
erişiyor demektir. Yani modelin ENK f(x) için
çözümü vardır.
f(x) içbükey bir fonksiyon ise, yerel enbüyük olan
nokta verilen modelin ENB f(x) için çözümü olup,
f(x) ilgili noktada bütünsel enbüyük değerini alıyor
demektir.
f(x), R2’de bölgesel dışbükey veya içbükey ise,
bütünsel eniyi, fonksiyonun yerel eniyi ve uygun
çözüm alanının uç noktalarındaki ( ± ∞ da olabilir)
değerleri dikkate alınarak belirlenebilir.
Eniyi f(x)= Eniyi {Yerel Eniyi f(x)}
11
ÖRNEK-1
n 
n 
n 
n 
3
f( x ) = x , x ∈ R f(x), ∀x∈R için türevi alınabilir bir
fonksiyondur.
x ∈[-∞,+ ∞] olduğundan tanım aralıklarının
başlangıç ve bitiş noktaları yerel eniyi olarak
gözönüne alınmayacaktır.
∞
DURUM 1’e göre yerel eniyiler araştırılır.
Daha sonra fonksiyonun içbükey/dışbükeyliği
araştırılarak bütünsel eniyi noktalara karar
verilir.
12
n 
n 
n 
GEREKLİ KOŞUL: f’(x)=0
2
n  f’(x)=3x =0 à x0=0
n  Bu noktada yerel enb/yerel enk/dönüm
noktası olabilir.
YETERLİ KOŞUL: Sıfırdan farklı n. mertebe türev
n  f’’(x)=6x à f’’(0)=0
n  f’’’(x)=6 > 0, n=3, tek sayı.
SONUÇ: ENBÜYÜK /ENKÜÇÜK nokta YOK !
13
f( x ) = x 3
Dönüm noktası (0,0)
14
4
2
ÖRNEK-2 f( x ) = x − 3 x , x ∈ R n 
n 
n 
n 
f(x), ∀x∈R için türevi alınabilir bir
fonksiyondur.
x ∈[-∞,+ ∞] olduğundan tanım aralıklarının
başlangıç ve bitiş noktaları yerel eniyi olarak
gözönüne alınmayacaktır.
∞
DURUM 1’e göre yerel eniyiler araştırılır.
Daha sonra fonksiyonun içbükey/dışbükeyliği
araştırılarak bütünsel eniyi noktalara karar
verilir.
15
GEREKLİ KOŞUL:
x 1 = 0 f ' ( x ) = 4 x 3 − 6 x = x ( 4 x 2 − 6 ) = 0 Gerekli koşulu sağlayan 3 özel
nokta var. Bu noktalarda yerel
enbüyük, yerel enküçük ya da
dönüm noktası olabilir.
3
x 2 = + 2
3
x 3 = − 2
16
YETERLİ KOŞUL:
f ' ' ( x 1 ) = f ' ' ( 0 ) = −6 < 0 Fonksiyon bu noktada içbükey,
YEREL ENBÜYÜK var.
f ' ' ( x ) = 12 x 2 − 6 3
f ' ' ( x 2 ) = f ' ' ( + ) = 12 > 0 2
Fonksiyon bu noktada dışbükey,
YEREL ENKÜÇÜK var.
3
f ' ' ( x 3 ) = f ' ' ( − ) = 12 > 0 2
Fonksiyon bu noktada dışbükey,
YEREL ENKÜÇÜK var.
17
Bütünsel Eniyilik
n 
n 
n 
f ' ' ( x ) = 12 x 2 − 6 f’’(x), ∀x∈R için ≥ 0 olmadığından DIŞBÜKEY
DEĞİLDİR.
f’’(x), ∀x∈R için ≤ 0 olmadığından İÇBÜKEY
DEĞİLDİR.
NE DIŞBÜKEY NE İÇBÜKEY fonksiyon.
Bütünsel Enbüyük= Enbüyük{Yerel Enbüyük f(xi)}
Bütünsel Enküçük= Enbüyük{Yerel Enküçük f(xi)}
18
Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey olduğundan ve
x ∈[-∞,+ ∞] olduğundan, YEREL ENİYİ NOKTALAR
olduğunu söyleriz.
n 
n 
n 
n 
x <-1.22 à f’(x) <0
0>x >-1.22 à f’(x) >0
3 ENKÜÇÜK *
x 3 = − 2 (Bütünsel)
0<x<+1.22 à f’(x) <0
x >+1.22 à f’(x) >0
3 ENKÜÇÜK *
x 2 = + 2 (Bütünsel)
19
ÖZEL NOKTA
f(X)
f’’(X)
SONUÇ
x 1 = 0 0
yerel enb.
YEREL ENBÜYÜK
-2.25
yerel enk.
ENKÜÇÜK *
(Bütünsel)
-2.25
yerel enk.
ENKÜÇÜK *
(Bütünsel)
3
x 2 = + 2
3
x 3 = − 2
20
Bütünsel enk.
(-1.22,-2.25)
Bütünsel enk.
(-1.22,-2.25)
21
ÖRNEK-3
⎧⎪ 2 − ( x − 1) 2 , 0 ≤ x < 3
f ( x ) = ⎨
⎪⎩− 3 + ( x − 4 ) 2 , 3 ≤ x ≤ 6
n 
n 
f(x), ∀x∈R için türevi alınabilir bir fonksiyon
olmayabilir. f’(3)=?
Yerel eniyiler için DURUM1, DURUM2 ve
DURUM3’e göre yerel eniyiler araştırılır.
22
Durum 1 :
Tanımlı aralıklardaki f’(x)=0 olan noktalar
A ) 0 ≤ x <3 aralığı için f’(x)=0
n 
n 
n 
n 
f’(x)=-2(x-1)=-2x+2=0 à x1=1
f’’(1)=-2<0
Bu aralıktaki ∀x için f’’(x) <0 olduğundan
fonksiyon bölgesel içbükey
x1=1 noktasında YEREL ENBÜYÜK
⎧⎪ 2 − ( x − 1) 2 , 0 ≤ x < 3
f ( x ) = ⎨
⎪⎩− 3 + ( x − 4 ) 2 , 3 ≤ x ≤ 6
23
B ) 3 ≤ x ≤ 6 aralığı için f’(x)=0
n 
n 
n 
n 
f’(x)=2(x-4)=2x-8=0 à x2=4
f’’(4)=2>0
Bu aralıktaki ∀x için f’’(x) >0 olduğundan
fonksiyon bölgesel dışbükey
x2=4 noktasında YEREL ENKÜÇÜK
⎧⎪ 2 − ( x − 1) 2 , 0 ≤ x < 3
f ( x ) = ⎨
⎪⎩− 3 + ( x − 4 ) 2 , 3 ≤ x ≤ 6
24
Durum 2 : f’(x) tanımlı mı?
x=3’te fonksiyon sürekli fakat türevsiz olabilir.
n 
n 
n 
n 
f’(3-)=-2(3-1)=-4
f’(3+)=2(3-4)=-2
f’(3-)≠ f’(3+) olduğundan f’(3) tanımlı değildir.
ÖZEL BİR NOKTA OLABİLİR Mİ ?
n  x=3’ün ε kadar solunda ve sağında iki nokta
alalım. (2.9 < 3< 3.1)
n  f(2.9)=-1.61; f(3)=-2, f(3.1)=-2.19
n  f(2.9)> f(3)> f(3.1) olduğundan x=3 noktası
YEREL ENİYİ OLAMAZ!
25
Durum 3 : Tanım aralığının başlangıç ve bitiş
noktaları
n 
n 
n 
x=0 ve x=6
f(0)=1, f’(0)=2>0 à bu noktada f(x) artan
YEREL ENKÜÇÜK.
f(6)=1, f’(6)=4>0 à bu noktada f(x) artan
YEREL ENBÜYÜK.
y
y
●
y=f(x)
y=f(x)
●
●
●
a
b
x
a
b
x
26
BÜTÜNSEL ENİYİ
ÖZEL NOKTA
f(X)
YEREL
ENİYİLER
X=0
1
YEREL ENK.
X=1
2
YEREL ENB.
BÜTÜNSEL ENB.
X=4
-3
YEREL ENK.
BÜTÜNSEL ENK.
X=6
1
YEREL ENB.
SONUÇ
27
⎧⎪ 2 − ( x − 1) 2 , 0 ≤ x < 3
f ( x ) = ⎨
2
⎪⎩− 3 + ( x − 4 ) , 3 ≤ x ≤ 6
BÜTÜNSEL ENB
BÜTÜNSEL ENK
28
x +3 ≥0
ÖRNEK-4
x −2 ≤0
k .a.
Enb /Enkf ( x ) = − x 3 + x 2 + 5 x + 3 n 
Kısıtlardan hareketle, tanım aralığını
belirleyelim.
n  x+3≥0 à x≥ -3
n  x-2≤ 0 à x ≤2
n  -3 ≤ x ≤2
x ∈ [−3, 2 ]
k.a.
Enb /Enkf ( x ) = − x 3 + x 2 + 5 x + 3 29
x ∈ [−3, 2 ]
k.a.
Enb /Enkf ( x ) = − x 3 + x 2 + 5 x + 3 n 
n 
f(x), tanım aralığı içerisinde sürekli ve türevi
alınabilir bir fonksiyon.
DURUM 1 ve DURUM 3 gözönüne alınarak yerel
eniyiler belirlenir.
30
DURUM 1 :
GEREKLİ KOŞUL
f ' ( x ) = −3 x 2 + 2 x + 5 = 0 5
x 1 = 3
x 2 = -­‐1 Gerekli koşulu sağlayan ve tanım
aralığı içinde yer alan 2 özel nokta var.
Bu noktalarda yerel enbüyük, yerel
enküçük ya da dönüm noktası olabilir.
31
YETERLİ KOŞUL:
5
f ' ' ( ) = −8 < 0 3
f ' ' ( x ) = −6 x + 2
Sıfırdan farklı değer alan
türevin mertebesi n=2 ve çift.
Bu noktalarda yerel eniyi var!
Fonksiyon bu noktada içbükey,
YEREL ENBÜYÜK var.
f ' ' ( −1) = 8 > 0 Fonksiyon bu noktada dışbükey,
YEREL ENKÜÇÜK var.
32
DURUM 3 :
TANIM ARALIĞININ BAŞLANGIÇ VE BİTİŞ DEĞERLERİ
x ∈ [−3, 2 ]
k.a.
Enb /Enkf ( x ) = − x 3 + x 2 + 5 x + 3 n 
n 
f (-3) =24, f’(-3)<0 à fonksiyon azalan à YEREL
ENBÜYÜK
f (2) =9, f’(2)<0 à fonksiyon azalan à YEREL
ENKÜÇÜK
y
y
●
●
y=f(x)
●
●
a
b
y=f(x)
x
a
b
x
33
Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey fonksiyon
ÖZEL NOKTA
f(X)
YEREL
ENİYİLER
X=5/3
9.5
YEREL ENB.
X=-1
0
YEREL ENK.
BÜTÜNSEL ENK.
X=-3
24
YEREL ENB.
BÜTÜNSEL ENB.
X=2
9
YEREL ENK.
SONUÇ
34
Bütünsel enb.
Bütünsel enk.
35
ÖRNEK-5
|x+3| ≤ 5
(x + 2) 2 ≤ 25
kısıtları altında,
EnbZ = ( x + 2 ) 3
karar modelinin çözümünü araştırınız.
36
Birinci kısıt :
x + 3 | ≤ 5 è -5 ≤ x + 3 ≤ 5 è -8 ≤ x ≤ 2
İkinci kısıt :
(x + 2) 2 ≤ 25 è ± (x + 2) ≤ 5 è -7 ≤ x ≤ 3
İki kısıt birlikte ele alındığında:
UÇA ={ x | -7 ≤ x ≤ 2 , x Є R }
Karar modeli :
-7 ≤ x ≤ 2
kısıtları altında
EnbZ = ( x + 2 ) 3
37
Yerel eniyi için gerekli koşul:
n 
f (X) = ( x + 2 )3 è
f’ (X) = 3 (x+2)2 = 0 è
x = -2 ve x Є UÇA olduğundan
x=-2 noktasında bir yerel enb/enk veya
dönüm noktası olabileceği söylenir.
38
Yeterli Koşul:
n 
f” (X) =6(x +2) è
f” (-2) =0
f”’ (X) =6 è
sıfırdan farklı ilk türevin derecesi tek sayı
olduğundan x=-2 noktasında bir yerel eniyi
yoktur. Dönüm noktası olabilir.
39
Tanım aralığının başlangıç ve bitiş
değerleri
n 
n 
n 
f(-7)=(x+2)3=(-7+2)3=-125,
f’(-7)=3(-7+2)2=125
fonksiyon artan, yerel enk.
f(2) =(x+2)3=(2+2)3= 64,
f’(2)=3(2+2)2=48 fonksiyon artan, yerel enb.
Sonuç: Fonksiyon tanım aralığı içinde
enbüyük değerini x=2 noktasında almakta,
enbüyük f(x) değeri 64 olmaktadır.
40
f (x) = ( x + 2 ) 3 fonksiyonunun grafiği
41