doğrusal olmayan programlama - Anadolu Üniversitesi Endüstri

DOĞRUSAL OLMAYAN
PROGRAMLAMA -IDışbükeylik / İçbükeylik
Hazırlayan
Doç. Dr. Nil ARAS
Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü
İST328 Yöneylem Araştırması 2 Dersi
2011-2012 Öğretim Yılı
1
Doğrusal olmayan programlama
n 
n 
Gerçek hayatta karşılaşılan çoğu problem için
geliştirilen karar modellerinin kısıtlarında ve
amaç fonksiyonunda doğrusal ilişkileri gözlemek
zordur.
Karar modelinin kısıtlarından en az biri veya
amaç fonksiyonunun doğrusal olmadığı
durumlar için geliştirilen kavram ve teknikler
“Doğrusal Olmayan Programlama” başlığı
altında incelenmektedir.
2
Doğrusal Olmayan Karar Modelinin Genel Yapısı
n 
n 
n 
n 
X
: Karar değişkenleri vektörü, X=(x1, x2, x3, …, xn),
gi(x) : i. Kısıtın ifadesi (i=1,2,…,m),
bi
: i. Kısıtın sağ taraf sabiti (i=1,2,…,m),
f(X)
: Amaç fonksiyonu ve
en az bir gi(X) ve/veya f(X) doğrusal olmayan vektör
fonksiyonları olmak üzere; f(X) fonksiyonunu eniyileyen X
vektörünün bulunması.
≤
g i ( X ) = b i i = 1,2,..., m
≥
kısıtları altında
Enyi Z = f ( X )
3
DİKKAT !
n 
n 
Doğrusal olmayan karar modellerinin çözümü
için genel bir algoritma ve etkin bir yöntem
geliştirilmemiştir.
Amaç fonksiyonu ve kısıtların yapılarına göre,
özel modellerin çözüm teknikleri söz konusudur.
4
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 1
Uygun
Çözüm
Alanı
Eniyi nokta
5
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 2
Uygun
Çözüm
Alanı
Eniyi nokta
6
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 3
Maximize f(x) = (x1 – 2)2 + (x2 – 2)2
subject to –3x1 – 2x2 ≤ –6
–x1 + x2 ≤ 3
x1 + x2 ≤ 7
2x1 – 3x2 ≤ 4
x2
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
x1
7
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 4
8
Doğrusal Olmayan Karar Modeline Örnek 5
Max f(x1, x2) = x1x2
x2
s.t. 4x1 + x2 ≤ 8
8
x1 , x2 ≥ 0
f(x1, x2) = 2
f(x1, x2) =1
2
x1
9
DIŞBÜKEY KÜME
n 
n 
Verilen bir S kümesinin farklı her iki noktasının
dışbükey bileşimiyle bulunan nokta (farklı her iki
noktayı birleştiren doğru parçası) S kümesinin bir
öğesi ise, S’ye dışbükey küme denir.
xi, xj ∈ S, 0 ≤ λ ≤1 iken,
x0 = λxi + (1- λ)xj, ∀ i ≠j için x0 ∈ S
x1
•
x2
•
x1
•
x1
•
dışbükey
x2
dışbükey
x2
•
•
içbükey
10
Dışbükey bir uygun çözüm alanı
Maximize f(x) = (x1 – 2)2 + (x2 – 2)2
subject to –3x1 – 2x2 ≤ –6
–x1 + x2 ≤ 3
x1 + x2 ≤ 7
2x1 – 3x2 ≤ 4
x2
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
x1
11
Dışbükey olmayan bir uygun çözüm alanı
S = {(x1, x2) : (0.5x1 – 0.6)x2 ≤ 1; 2(x1)2 + 3(x2)2 ≥ 27; x1, x2 ≥ 0}
x2
x1
12
DIŞBÜKEY / İÇBÜKEY
FONKSİYONLAR
13
DIŞBÜKEY FONKSİYON
n 
n 
X=(X1, X2, ..., Xn); f(X), verilen bir S kümesinde
tanımlı bir fonksiyon olsun.
∀ x1, x2 ∈ S, x1 ≠ x2 , 0 ≤ λ ≤1 iken, izleyen
eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(X) dışbükey bir
fonksiyondur.
f [λx1 + (1- λ)x2] ≤ λf(x1 )+ (1- λ)f(x2)
n 
f [λx1 + (1- λ)x2] < λf(x1 )+ (1- λ)f(x2) ise,
“kesin dışbükey fonksiyon”
14
f [λX1 + (1- λ)X2] ≤ λf(X1 )+ (1- λ)f(X2)
f(X2)
λf(X1)+(1- λ)f(X2)
f(X1)
f(λX1+(1- λ)X2)
X1
λX1+(1- λ)X2
X2
15
16
İÇBÜKEY FONKSİYON
n 
n 
n 
n 
X=(X1, X2, ..., Xn)
f(X), verilen bir S kümesinde tanımlı bir fonksiyon.
∀ x1, x2 ∈ S, x1 ≠ x2 , 0 ≤ λ ≤1 iken, izleyen
eşitsizlik gerçekleşiyorsa f(X) içbükey bir
fonksiyondur.
f [λx1 + (1- λ)x2] ≥ λf(x1 )+ (1- λ)f(x2)
f [λx1 + (1- λ)x2] > λf(x1 )+ (1- λ)f(x2) ise,
“kesin içbükey fonksiyon”
17
f [λX1 + (1- λ)X2] ≥ λf(X1 )+ (1- λ)f(X2)
f(λX1+(1- λ)X2)
f(X2)
λf(X1)+(1- λ)f(X2)
f(X1)
X1
λX1+(1- λ)X2
X2
18
f( x ) = x
19
f(x)
x
Ne dışbükey ne de içbükey olan fonksiyon
20
ÇALIŞMA KONUSU !
n 
n 
f(X)=aX+b şeklinde verilen bir doğrusal
fonksiyonun hem içbükey hem de dışbükey
bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız.
f(X)=aX2 fonksiyonunun a’nın pozitif
değerleri için dışbükey, negatif değerleri için
içbükey bir fonksiyon olduğunu ispatlayınız.
n  İPUCU
2 ; f(X )=aX 2
n  f(X1)=aX1
2
2
2
n  f [λX1+ (1- λ)X2]=a. ( λX1+ (1- λ)X2 )
21
ÖZELLİKLER
n 
n 
n 
n 
Doğrusal bir fonksiyon hem içbükey, hem
dışbükey bir fonksiyondur.
Dışbükey fonksiyonların toplamı da dışbükey bir
fonksiyon, içbükey fonksiyonların toplamı da
içbükey bir fonksiyondur.
f(X) dışbükey iken, -f(X) içbükey bir
fonksiyondur.
n  f(X) içbükey iken, -f(X) dışbükeydir.
Bir fonksiyon, belirli bir alt kümede dışbükey
iken, başka bir alt kümede içbükey olabilir.
22
YEREL ENİYİLERLE
BÜTÜNSEL ENİYİLER
ARASINDAKİ İLİŞKİ
23
DIŞBÜKEYLİK – ENİYİLİK İLİŞKİSİ
n 
n 
Doğrusal olmayan programlamada, ele alınan
fonksiyonun dışbükey veya içbükey olduğunun
belirlenebilmesi son derece önemlidir.
f(x)’in tanımlı olduğu S kümesi içinde, X0’in δ
komşuluğu A olsun. Bu durumda,
1. 
Eğer f(x), X0’da yerel enküçük değerini
alıyorsa, f(X), A kümesinde dışbükeydir.
2. 
Eğer f(x), X0’da yerel enbüyük değerini
alıyorsa, f(X), A kümesinde içbükeydir.
24
f(x), A kümesi içerisinde X0’da yerel enbüyük değerini
aldığından, f(X), A kümesinde içbükeydir.
X0
A
25
TEOREM
n 
X=(x1, x2, x3, …, xn) ve f(X) dışbükey bir kümede
tanımlı fonksiyon olsun.
n 
n 
Eğer f(X) dışbükey bir fonksiyon ve X0, f(X)’in
yerel enküçük noktası ise, f(X), X0 noktasında
bütünsel enküçük değerini alır.
Eğer f(X) içbükey bir fonksiyon ve X0, f(X)’in
yerel enbüyük noktası ise, f(X), X0 noktasında
bütünsel enbüyük değerini alır.
26
Çok değişkenli içbükey bir fonksiyon,
A noktası enbüyük nokta
27
Çok değişkenli dışbükey bir fonksiyon,
B noktası enküçük nokta
28
Yerel eniyilerle bütünsel eniyiler arasındaki özellikler
n 
n 
Bu iki özellik, dışbükey kümede tanımlı bir
fonksiyonun dışbükey veya içbükey olması
halinde, yerel eniyi (enküçük veya enbüyük)
noktanın bütünsel eniyi nokta olduğunu
belirtmektedir.
Ancak, bunun tersi her zaman doğru değildir.
Yani fonksiyonun bir yerel eniyi noktası varsa,
bu nokta bütünsel eniyi olmayabilir, bu
fonksiyon da dışbükey veya içbükey bir
fonksiyon olmayabilir.
29
Fonksiyonun tanım aralığı içinde A, B ve C noktaları yerel
enbüyük noktalar, C noktası bütünsel enbüyük nokta.
Fonksiyon ne içbükey ne dışbükey.
30
Tanım aralığı içinde bir bütünsel enbüyük ve
bir bütünsel enküçük noktaya sahip fonksiyon,
fakat fonksiyon ne dışbükey ne içbükey.
31
Min {f(x)= sin(x) : 0 ≤ x ≤ 5π} Birden fazla enbüyük ve enküçük noktaya sahip
fonksiyon, fakat fonksiyon ne dışbükey ne içbükey.
32
n 
n 
Fonksiyon, her x için, dışbükey veya içbükey değildir.
Belirtilen eniyi çözümler,
X ∈S
Eniyi f(X)
modelinindir. Bu nedenle, bütünsel eniyi noktalar,
fonksiyonun değil, modelin eniyi çözümleridir.
Fonksiyonun bütünsel eniyi çözümü olduklarını
belirtebilmek için, eniyi çözümlerin,
X ∈R
Eniyi f(X)
için geçerli olduğunun gösterilmesi gerekmektedir.
33
TÜREVİN ANLAMI
(Hatırlatma)
34
35
36
Örnek:
f(x)=x2+9x+3 fonksiyonunun x=7 noktasında türevi?
f(7 + h) − f(7 )
[(7 + h ) 2 + 9( 7 + h ) + 3 ] − [7 2 + 9 .7 + 3 ]
lim
= lim
h →0
h →0
h
h
[( 49 + 14 h + h 2 ) + ( 63 + 9h ) + 3 ] − 115
= lim
h →0
h
h 2 + 23 h
= lim
h →0
h
= lim h + 23
h →0
= 23
37
Tanım
n 
f(X) fonksiyonunun x=a’daki sağdan türevi
soldan türevine eşitse fonksiyonun x=a’da
türevi vardır.
38
n 
n 
f’(a) varsa, f fonksiyonu x=a’da sürekli
fonksiyondur.
n  Tersi doğru olmayabilir!
n  x=a’da fonksiyon sürekli olup, türevi
olmayabilir.
f fonksiyonu x=a’da sürekli değilse, türevli de
değildir.
39
Örnek: f(x)=|x| fonksiyonunun x=0 daki türevi ?
(x=0’da türevi olmayan fakat sürekli olan fonksiyon)
⎧⎪− x; x < 0
x = ⎨
⎪⎩ x; x > 0
0 +h − 0
f(0 + h) − f(0 )
(0 + h) − (0 )
h
lim
= lim
= lim
= lim = 1 h →0 +
h →0 +
h →0 +
h →0 + h
h
h
h
0 +h − 0
f(0 + h) − f(0 )
− (0 + h) − (0 )
−h
lim
= lim
= lim
= lim
= −1 h →0 −
h
→
0
−
h
→
0
+
h
→
0
−
h
h
h
h
40
Örnek: f(x)=|x2-4| fonksiyonunun x=2 deki türevi ?
(x=2’de türevi olmayan fakat sürekli olan fonksiyon)
⎧⎪− ( x 2 − 4 ); x < 2
x 2 − 4 = ⎨
⎪⎩ ( x 2 − 4 ); x > 2
f( x ) − f( 2 )
lim
= lim
x →2 +
x →2 +
x −2
x2 − 4 − 4 − 4
x −2
(x 2 − 4) − 0
= lim
x →2 +
x −2
( x − 2 )( x + 2 )
x →2 +
( x − 2)
= lim
= lim (x + 2) = 4 x →2 +
f( x ) − f( 2 )
lim
= lim
x →2 −
x →2 −
x −2
x2 − 4 − 4 − 4
x −2
− (x 2 − 4) − 0
= lim
x →2 −
x −2
− ( x − 2 )( x + 2 )
= lim
x →2 −
( x − 2)
= lim -­‐ (x + 2) = −4
x →2 −
41
Örnek: İşaretli noktada türevli değil, sürekli değil.
42
Birinci türev
a: Yerel enbüyük
b: Dönüm noktası
c: Yerel enküçük
(a, f(a))
f ′(a)=0
y=f(x)
(b, f(b))
f ′(b)=0
(c, f(c))
f ′(c) YOK!
a
f′(x)>0
b
f′(x)<0
c
f′(x)<0
f ′(x)>0
43
y=f(x) fonksiyonunun birinci türevi x=x0 noktasında sıfıra
eşitse ve;
n 
Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken pozitiften
negatife doğru işaret değiştiriyorsa yerel enbüyük,
n 
Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken
negatiften pozitife doğru işaret değiştiriyorsa yerel
enküçük,
n 
Türevin işareti, x0’ın solundan sağına giderken işaret
değiştirmiyorsa ne yerel enbüyük ne de yerel enküçük
nokta vardır.
44
ÖRNEK
b noktasında
• yerel enküçük
• f′(b)=0
• f′′(b)>0
d noktasında
• yerel enbüyük
• f′(d)=0
• f′′(d)<0
45
[a,b] aralığında
• f(x) azalan
• f′(x)<0
b noktasında
• yerel enküçük
• f′(b)=0
[b,d] aralığında
• f(x) artan
• f′(x)>0
d noktasında
• yerel enbüyük
• f′(d)=0
46
[a,c] aralığında
• f(x) dışbükey
• f′′(x)>0
b noktasında
• yerel enküçük
• f′′(x)>0
[c,∞] aralığında
• f(x) içbükey
• f′(x)<0
d noktasında
• yerel enbüyük
• f′′(x)<0
47
ÖRNEK
f’(x)=0 eşitliğini sağlayan x0
değerine kritik değer (yerel
enbüyük veya dönüm noktası
olabilir), f(x0) değerine de
durağan değer (durgunluk
değeri) denir.
A, B,C ve D noktalarında
birinci türev sıfır olup,
fonksiyon bu noktalarda birer
durgunluk değerine sahiptir.
Ancak tüm durgunluk
noktaları, birer uç değer
anlamına gelmez. Şekil (a)
ve (b)’de birer durgunluk
noktası olmasına rağmen, bir
yerel eniyi yoktur. Buna
karşın şekil (c) ve (d)’deki
durgunluk noktalarında
sırasıyla bir enküçük ve
enbüyük vardır.
48
49
50
ÖRNEK
n 
n 
n 
Üzerinde çalışılan y=f(x) fonksiyonunun, sürekli ve
türevlenebilir olduğu varsayılmaktadır.Bazı durumlarda
fonksiyonun birinci türevinin alınamadığı bir noktada da
uçdeğer olabilir.
(a) şeklinde, A ve B noktaları birer uçdeğer olmakla birlikte
bu noktada fonksiyonun tanımlı türevi yoktur.
(b) şeklinde ise C ve D noktalarında birer uçdeğer vardır ve
bunu birinci ve ikinci türev sınamalarıyla anlayabiliriz.
51
(a) 
(b) 
(c) 
Sabit fonksiyon. Fonksiyonun üzerinde farklı x değerlerine
karşılık yer alan tüm y değerleri aynı olduğundan, bu değerleri
eniyi değer olarak söyleyemeyiz.
D noktası enküçük noktadır. Fonksiyon monotonik artan
olduğundan, bir enbüyük noktaya sahip değildir.
Fonksiyonun bir enbüyük noktası (E) bir de enküçük noktası
(F), yani iki uç değeri vardır.
52
ÖRNEK
53
54
TEK DEĞİŞKENLİ
FONKSİYONLARIN
DIŞBÜKEY / İÇBÜKEYLİĞİNİN
BELİRLENMESİ
55
Teorem
n 
f(x), verilen bir S dışbükey kümesinde tanımlı ve ∀
x∈S için ikinci türevi alınabilir bir fonksiyon olsun.
n 
f(x) dışbükey bir fonksiyon⇔ ∀ x∈S için f’’(x)≥0
n 
n 
f(x) kesin dışbükey bir fonksiyon⇔ ∀ x∈S için
f’’(x)>0
f(x) içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ x∈S için f’’(x)≤0
n 
f(x) kesin içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ x∈S için
f’’(x)<0
56
f(x) :tek değişkenli bir fonksiyon
2
d f
≥0
2
dx
2
d f
≤0
2
dx
dışbükey
fonksiyon
içbükey
fonksiyon
57
f(x) :tek değişkenli bir fonksiyon
Hem
içbükey
hem
dışbükey
Ne içbükey
ne dışbükey
fonksiyon
58
ÖRNEK-1
n 
f(x)=x2, S=R1 fonksiyonu
n 
f’(x)=2x
n 
f’’(x)=2
n 
∀ x∈S için f’’(x) ≥ 0 olduğundan fonksiyon
dışbükey bir fonksiyondur.
59
ÖRNEK-2
n 
n 
f(x)=ex, S=R1 fonksiyonu
n 
f’(x)= ex
n 
f’’(x)= ex
∀ x∈S için f’’(x) ≥ 0 olduğundan fonksiyon
dışbükey bir fonksiyondur.
60
ÖRNEK-3
n 
f( x ) = x
f'( x ) =
n 
, S=(0,∞) fonksiyonu
1
2 x
− 1 −3 / 2
f' '( x ) =
x
4
∀ x∈S için f’’(x) ≤0 olduğundan fonksiyon
içbükey bir fonksiyondur.
61
ÖRNEK-4
n 
n 
f(x)=ax+b, S=R1 fonksiyonu
n 
f’(x)= a
n 
f’’(x)= 0
∀ x∈S için f’’(x) = 0 olduğundan fonksiyon hem
dışbükey hem içbükey bir fonksiyondur.
62
ÖRNEK-5
f(x)=x(x-2)2
n 
n 
, ∀ x≥0
n 
f’(x)=3x2-8x+4
n 
f’’(x)=6x-8
Bazı x≥0 için f’’(x) ≥0, bazı x≥0 için f’’(x) ≤0
olduğundan fonksiyon ne içbükey ne dışbükey
bir fonksiyondur.
63
ÇOK DEĞİŞKENLİ
FONKSİYONLARIN
DIŞBÜKEY / İÇBÜKEYLİĞİNİN
BELİRLENMESİ
64
TANIM: Kısmi türev
n 
X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı
olan f(X) sürekli ve ikinci derece kısmi türevleri
alınabilir bir fonksiyon olsun. f(X)
fonksiyonunun xi’ye göre kısmi türevi izleyen
şekilde tanımlanır:
f (x 1 , x 2 , ..., x i + h, ..., x n ) -­‐ f(x 1 , x 2 , ..., x i , ... , x n )
∂f ( x )
= Lim
h →0
∂x i
h
65
TANIM: Hessian Matrisi
n 
X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı olan
f(X) sürekli ve ikinci derece kısmi türevleri
alınabilir bir fonksiyon olsun. f(X) fonksiyonunun
Hessian matrisi izleyen şekilde tanımlanır.
⎡ ∂ 2 f ⎤
H f = ⎢
⎥
⎢⎣ ∂x i ∂x j ⎥⎦ n×n
66
⎡ ∂ 2 f ⎤
H f = ⎢
⎥
⎢⎣ ∂x i ∂x j ⎥⎦ n×n
⎡ ∂ 2 f
⎢
2
⎢ ∂x 1
⎢ ∂ 2 f
⎢
H f = H( x 1 , x 2 ,..., x n ) = ⎢ ∂x 2 ∂x 1
⎢ ...
⎢
2
∂
f
⎢
⎢⎣ ∂x n ∂x 1
∂2f
∂x 1∂x 2
∂2f
2
∂x 2
...
∂2f
∂x n ∂x 2
...
...
...
...
∂ 2 f ⎤
⎥
∂x 1∂x n ⎥
∂ 2 f ⎥
⎥
∂x 2 ∂x n ⎥
... ⎥
⎥
∂ 2 f ⎥
2
∂x n ⎥⎦
n×n
67
Eğer verilen bir noktada f(X)’in ikinci kısmi
türevleri var ve f(X) bu noktalarda sürekli ise, ∀
i ve j için;
n 
∂2f
∂2f
=
∂x i ∂x j ∂x j ∂x i
n 
Hf, simetrik ve kare bir matristir.
68
ÖRNEK:
f(x1, x2)=x13+2x1x2+x22
∂f
∂f
2
= 3 x 1 + 2 x 2 = 2x 1 + 2x 2
∂x 1
∂x 2
⎡6 x 1 2 ⎤
H( x 1, x 2 ) = ⎢
⎥
⎢⎣ 2 2 ⎥⎦
69
Tanım: Asal minör
n 
Bir nxn boyutlu kare matrisin k. asal minörü,
son (n-k) satırın ve (n-k) sütunun matristen
çıkarılmasıyla elde edilen (kxk) boyutlu
matrisin determinantıdır.
70
ÖRNEK-1
⎡ 2 − 1 − 1⎤
⎢
⎥
A = ⎢− 1 2 − 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 1 − 1 4 ⎥⎦
Birinci asal minör A 1 = 2 = 2
İkinci asal minör A 2 =
2
−1
−1
2
2
Üçüncü asal minör A 3 = − 1
= 4 −1 = 3
−1 −1
2
−1 −1
−1 = 6
4
71
ÖRNEK-2
f(x1, x2)=x13+2x1x2+x22
⎡6 x 1 2 ⎤
H( x 1, x 2 ) = ⎢
⎥
⎢⎣ 2 2 ⎥⎦
Birinci asal minör
İkinci asal minör
H 1 ( x 1, x 2 ) = 6 x 1 = 6 x 1
H 2 ( x 1, x 2 ) =
6x 1 2
2
2
= 12 x 1 − 4
72
Tanım : Bir matrisin belirliliği
n 
A, nxn boyutlarında kare ve simetrik bir matris olsun.
n  A matrisi pozitif belirlidir ⇔ A’nın tüm asal minörleri >0
n  A matrisi pozitif yarı belirlidir ⇔ A’nın tüm asal
minörleri ≥0
n  A matrisi negatif belirlidir ⇔ A’nın k. mertebe asal
minörü (-1)k ile aynı işareti taşıyorsa (Asal minörlerin
işareti (- , +, -, +, ...) şeklinde ise)
n  A matrisi negatif yarı belirlidir ⇔ A’nın her tek sıralı
asal minörü ≤0 ve her çift sıralı asal minörün işareti ≥0
ise ( Sıfırdan farklı her asal minörün işareti (-1)k ile
aynı)
n  Yukarıdakilerin dışında bir durum varsa, A matrisi
belirsizdir.
73
Tanım:
Çok değişkenli bir fonksiyonun dışbükey / içbükeyliği
n 
X=(x1, x2, ..., xn), bir S ⊂Rn kümesinde tanımlı
olan f(X) sürekli ve ∀ X∈S için ikinci derece
kısmi türevleri alınabilir bir fonksiyon olsun.
n 
n 
f(X) dışbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ X∈S için Hf
pozitif belirli/pozitif yarı belirli ise.
f(X) içbükey bir fonksiyon ⇔ ∀ X∈S için Hf
negatif belirli/negatif yarı belirli ise.
74
ÖRNEK-1:
f(x1, x2 , x3)=x12 + x22 + 2x32- x1x2 - x2x3 - x1x3 ; S=R3
⎡2 x 1 − x 2 − x 3 ⎤
⎢
⎥
∂f
= ⎢2 x 2 − x 1 − x 3 ⎥ ∂x i ⎢
⎥
⎢⎣4 x 3 − x 2 − x 1 ⎥⎦
H 1 = 2 = 2 > 0
H2 =
2
−1
= 4 − 1 = 3 > 0
−1 2
2 −1 −1
H3 = −1
2
−1 −1
− 1 = 6 > 0
4
⎡ 2 − 1 − 1⎤
⎢
⎥
H f = ⎢− 1 2 − 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 1 − 1 4 ⎥⎦
∀ X∈ S için Hf
pozitif belirli
olduğundan f(X)
fonksiyonu
DIŞBÜKEY bir
fonksiyondur.
75
ÖRNEK-2:
f(x1, x2 )=-x12 -2x22 - x1x2
⎡− 2 x 1 − x 2 ⎤
∂f
⎥ = ⎢
∂x i ⎢ − 4 x − x ⎥
2
1 ⎦
⎣
H 1 = − 2 = −2 < 0
H2 =
−2
−1
−1 − 4
= 8 − 1 = 7 > 0
; S=R2
⎡− 2 − 1 ⎤
H f = ⎢
⎥
⎢⎣ − 1 − 4 ⎥⎦
∀ X∈ S için Hf negatif belirli
olduğundan f(X) fonksiyonu
İÇBÜKEY bir fonksiyondur.
(Asal minörlerin işareti : - , +)
76
f(x1, x2 )=x12 +2x22 -3x1x2 ; S=R2
ÖRNEK-3:
⎡− 2 x 1 − 3 x 2 ⎤
∂f
⎥ = ⎢
∂x i ⎢ 4 x − 3 x ⎥
2
1 ⎦
⎣
H 1 = 2 = 2 > 0
H2 =
2
−3
−3
4
= 8 − 9 = −1 < 0
⎡ 2 − 3 ⎤
H f = ⎢
⎥
⎢⎣− 3 4 ⎥⎦
Asal minörlerin işareti : + , olduğundan f(X) fonksiyonu
belirli değildir.
(Ne içbükey ne dışbükey)
77
f(x1, x2 )=x12 + 2x1x2 + x22 ; S=R2
ÖRNEK-4:
⎡2 x 1 + 2 x 2 ⎤
∂f
⎥ = ⎢
∂x i ⎢2 x + 2 x ⎥
2 ⎦
⎣ 1
H 1 = 2 = 2 > 0
H2 =
2 2
2 2
= 4−4 =0
⎡2 2 ⎤
H f = ⎢
⎥
⎢⎣2 2 ⎥⎦
∀ X∈ S için Hf pozitif yarı
belirli olduğundan f(X)
fonksiyonu DIŞBÜKEY bir
fonksiyondur.
78
ÖRNEK-5:
79
ÖRNEK-6:
" −1
$ 2
$ x1
Hf =$
$ 0
$#
%
0 '
'
−20 '
'
2
x2 '&
80
ÖRNEK-7:
n 
n 
İkinci kısmi türevlerin hepsi sıfırdır.
Hf(X) hem pozitif yarı belirli, hem de negatif yarı
belirli olduğundan, f(X) fonksiyonu hem içbükey
hem dışbükey bir fonksiyon yani doğrusal bir
fonksiyondur.
81