1 1. G R Ş Kuantum mekaniğinin faz

1. GİRİŞ
Kuantum
mekaniğinin
faz-uzayı
formülasyonu
olarak
da
bilinen
deformasyon
kuantumlaması (ya da kuantizasyonu), basitçe, klasik faz-uzayında tanımlı sıra değişen
fonksiyonlarla, Hilbert uzayında, fonksiyonlar üzerine etkiyen işlemciler olan kuantum
gözlenirleri arasında bir eşleştirme olarak tanımlanır. Bu yöntemde, klasik faz-uzayı
üzerinde kuantumlama yapılarak, kuantum mekaniği bir klasik istatistik teoriye uygun
olarak geliştirilebilmektedir. Ayrıca, işlemciler yerine klasik faz-uzayında tanımlı gerçel
değerli klasik gözlenirler kullanıldığı için, kuantum-klasik karşılığı konusunda önemli
içgörüler elde edilebilmektedir. Bu formülasyonun, kuantum mekaniksel olguların klasik
mekaniğin
diliyle
otonom
olarak
(işlemcilerle
eşleştirmelere
gerek
duymadan)
betimlenmesine olanak vermesi, diğer yöntemlerle kolayca elde edilemeyen yararlı fiziksel
yaklaşımların ortaya çıkmasını sağlamaktadır. Kuantum mekaniğinin otonom olarak fazuzayı formülasyonunun kurulduğu bu yöntem deformasyon kuantumlaması olarak
adlandırılır.
Deformasyon kuantumlamasının temeli esas olarak, Herman Weyl, Eugene Wigner,
Hilbrand Groenewold ve Jose Moyal’in çalışmalarına dayanmaktadır (Bu klasik öncü
çalışmaların kopyalarının tamamının tıpkı basımları için bkz. Zachos et al. 2005). Bu
nedenle
Weyl-Wigner-Groenewold-Moyal
(WWGM)
kuantumlaması
adıyla
da
anılmaktadır. 1927 yılında Weyl, faz-uzayı çekirdek (kernel) fonksiyonlarına “Weyl-sıralı”
(Weyl-ordered) işlemcilerin karşılanırlığını (correspondence) göstermiştir (Weyl 1927). Bu
yaklaşım, tam bir formülasyon olmamakla birlikte, genel bir kuantumlama çerçevesi
sunması açısından önemlidir. Bir diğer önemli adım 1932 yılında Wigner’in, sonradan
“Wigner fonksiyonları” olarak anılacak olan, faz-uzayı dağılım fonksiyonlarını
tanımlamasıdır (Wigner 1932). Wigner fonksiyonları ve daha genel olarak faz-uzayı
dağılım fonksiyonları deformasyon kuantumlamasının temelini oluşturmakta ve kuantum
mekaniğindeki dalga fonksiyonlarının yerini almaktadır. Groenewold’un, tez çalışmasına
dayanan 1946 tarihli katkısıysa, Weyl karşılanırlığının, tutarlı bir kuantumlama kuralından
çok, tersinir bir dönüşüm olduğunu göstermesidir (Groenewold 1946). Böylelikle Wigner
1
fonksiyonları, yoğunluk matrisinin faz-uzayı çekirdeği olarak elde edilmektedir.
Groenewold ayrıca, “Groenewold-van Hove” teoremi olarak da bilinen çalışmasıyla,
Poisson parantezlerinin kuantum mekaniğinin Lie parantezleriyle olan önemli farklılıklarını
ortaya koymuştur. 1949 yılındaysa Moyal, kuantum mekaniğinin bağımsız bir faz-uzayı
formülasyonunu geliştirmiştir (Moyal 1949). Bu kuantumlamayla, Weyl-sıralı işlemcilerin
beklenen değerleri hesaplanabilmektedir. Ancak en önemlisi, Moyal’in tanımladığı ve
kendi adıyla bilinen yıldız-çarpım ve bu çarpım ile oluşturulan Moyal parantezlerinin
aslında Poisson parantezlerinin bir deformasyonu olduğunu göstermesidir. Bu çalışma
klasik limite geçişi standart hale getirmesi açısından önemlidir.
Kuantum mekaniğinin bilinen formalizmindeki belirli sırada işlemci çarpımlarına karşılık
gelen s-sıralı yıldız-çarpımın tanımlanarak, faz-uzayı dağılım fonksiyonlarının en genel
halinin sunulduğu çalışmalar da WWGM kuantumlaması için geniş bir çerçeve sunması
açısından önemlidir (Dereli ve Verçin 1997, Zachos et al. 2005). Deformasyon
kuantumlamasındaki bağımsız çalışmaların bir araya getirilip, sistematik bir formalizm
çerçevesine oturmasında pek çok katkı olmakla birlikte, Bayen, Flato, Fronsdal,
Lichnerowicz ve Sternheimer’in birlikte yayınladıkları 1978 tarihli iki makale (Bayen et al.
1978), kuantum mekaniğinin faz-uzayı formülasyonunun kurulmasında önemli çalışmalar
olarak kabul edilmektedir. Bu çalışmalar, kuantum mekaniğinin standart problemlerine bu
formülasyonla çözüm getirmesinin yanında, yıldız-üstel açılımı (star-exponantial), yıldızözdeğer denklemleri ve yıldız özfonksiyonlar gibi teknik araçları kullanmasıyla da
önemlidir. Kontsevich, Fedosov, Zachos, Fairlie ve Curtright’ın yaptıkları çalışmalar, bu
formalizmin genel bir çerçeveye oturmasında önemli katkılar sağlamıştır (Zachos et al.
2005). Bu çalışmalar ve özellikle geçtiğimiz yüzyılın son çeyreğinden bugüne kadar
yapılan diğer özgün katkılar sayesinde, göreli olmayan kuantum mekaniğinin tam bir
otonom faz-uzayı formülasyonu kurulabilmiştir. Bu tez çalışmasında kullanılan
deformasyon kuantumlaması, Schrödinger ve Feynman formülasyonları yanında, kuantum
mekaniğinin üçüncü bağımsız formülasyonu olarak kabul edilmektedir.
2
Elde ettiği tüm başarılı uygulamalara karşın, spin ya da göreli kuantum mekaniğinin ve
süpersimetrik kuantum mekaniğinin deforme edilmesi konusunda bu formülasyonun
standart cebirsel araçlarının yeterli olmaması nedeniyle, henüz tamamlanmamış bir
formalizm olduğu söylenebilir. Süpersimetrik kuantum mekaniğinin bu formalizm
içerisinde ele alınması ancak 1998 yılına rastlarken, göreli kuantum mekaniği ve
fermiyonik serbestlik derecelerine sahip sistemlere ilişkin çalışmalar çok daha yenidir ve
henüz her ikisi için de tam ve oturmuş bir cebirsel altyapı bulunmamaktadır. Süpersimetrik
kuantum mekaniğinin deformasyon kuantumlaması bağlamında ele alındığı ilk çalışma;
Fairlie, Zachos ve Curtright’in, asıl olarak zamandan bağımsız Wigner fonksiyonlarını
yıldız özfonksiyonlar olarak ele alan ve kuantum mekaniğindeki harmonik salınıcı, çizgisel
potansiyel gibi kimi uygulamaları deformasyon kuantumlaması yöntemiyle çözen, 1998 yılı
makaleleridir (Zachos et al. 1998). Bundan sonraki bir diğer önemli katkı Henselder’in
2007 yılında yayınlanan ve iki boyutlu faz-uzayında Clifford cebirinin deformasyonunun
temel alınarak bir süpersimetri yapısının faz-uzayı formülasyonunda nasıl tanımlanacağını
gösteren makalesidir (Henselder 2007a).
Göreli kuantum mekaniğinin ve spin sistemlerinin, Dirac kuramını da içerecek şekilde,
deforme edilip bu formalizm içerisinde yapılandırılmasına ilişkin bağımsız kimi çalışmalar
olmakla birlikte, Hirshfeld, Henselder ve Spernat’ın (HHS) 2004 yılında yayınladıkları
makale (Hirshfeld et al. 2004) toparlayıcı bir bakış açısı sunması nedeniyle öne
çıkmaktadır. Bu makaleyi izleyen, Henselder ve Hirshfeld’in bağımsız ya da birlikte
yaptıkları diğer çalışmalar da, tam bir cebirsel yapı oluşturulamamış olmakla birlikte,
önemli yaklaşımlar sunmuştur. Bunlardan en önemlisi Henselder’in, dörtlü Moyal yıldızçarpımını ve has-zaman (proper time) formalizmini ele alarak göreli kuantum mekaniği için
bir yaklaşım öne sürdüğü 2007 tarihli bir başka çalışmasıdır (Henselder 2007b).
Bozonik sistemler için yapılabilen deformasyon kuantumlamasının fermiyonik serbestlik
derecelerini ve bunlara bağlı etkileşmeleri de içerecek şekilde özel göreli olarak
genişletilmesini amaçlayan bu tez çalışmasında, fermiyonik değişkenlerin eklenmesiyle
tanımlanan yeni Moyal-Clifford (MC) çarpımı ile Clifford cebirinin bu genişlemede temel
3
rol oynadığı gösterilmektedir. Simetrilerin analitik ifadeleri olan gruplar için doğal bir
çalışma çerçevesini Clifford cebiri sağlamaktadır. Bu cebirin çarpımı, Moyal yıldızçarpımıyla bir arada kullanıldığında Dirac denklemi için de en uygun çalışma ortamını
sunmaktadır; çünkü Clifford cebirleri Dirac’ın gama matrislerinin sağladığı cebirleri
genellemektedirler. Moyal-Clifford cebirinin bir diğer önemli yararı süpersimetrik kuantum
mekaniği kapsamında ortaya çıkmaktadır. MC-çarpımı ve MC-cebiri kullanılarak faz
uzayında süpersimetri yapısı kurulabilmektedir. Bu sayede elde edilen eş-spektral
Hamiltonianların (matris değerli Hamilton fonksiyonları) spektrumları, öz-vektörleri (özspinörleri) ve ilgili Wigner fonksiyonları gibi faz-uzayı karakteristiklerinin elde edilmesi de
bu tez çalışmasının özgün katkılarından birisidir. İlgili bölümlerde gösterileceği gibi, bu
yaklaşımlar pek çok diğer sisteme de uygulanabilmektedir.
Bu tez çalışmasında ilk olarak 2. Bölüm’de, göreli kuantum mekaniğinin deformasyon
kuantumlamasının cebirsel altyapısı kurulmasına yönelik olarak, Moyal yıldız-çarpımı ve
Clifford çarpımları tanımlanarak, bunların bir arada ele alınmasıyla oluşturulan MoyalClifford (MC) cebiri ve MC-çarpımı incelenecektir. Spin sistemleri ve Dirac kuramı için
öne sürülen Hirshfeld-Henselder-Spernat (HHS) yaklaşımı, kurulan bu cebir ve yıldızçarpımıyla yeniden ele alınacak ve Dirac kuramının göreli olmayan limiti için FoldyWouthuysen dönüşümü yine MC-cebiri kapsamında tartışılarak standart formülasyonla
karşılaştırılacaktır.
3. Bölüm’de, süpersimetrik kuantum mekaniğinin faz-uzayı formülayonunun temel cebirsel
yapısı kurulacaktır. MC-cebiri için özel bir durum ele alınarak, Clifford cebirinin dörtboyutlu faz-uzayında kompleksleştirilmesiyle oluşturulan C4 ( ) cebirinin bazları ve gerçel
faz-uzayı fonksiyonlarının bir arada işleme sokulmasına olanak sağlayan MC-çarpımı ile
süpersimetrik
kuantum
mekaniğinin
deformasyon
kuantumlaması
tanımlanacaktır.
Böylelikle, faz-uzayında fermiyonik serbestlik derecelerini tanımlamak olanaklı hale
gelmektedir. Kullanılan cebirin bir matris temsili kurularak, bu fermiyonik serbestlik
dereceleri bilinen matris temsilleriyle ifade edilebilmektedir. Ardından, çarpanlarına
ayırılmış terimlerin toplamı olan iki eş-spektral (isospectral) matris Hamiltonian yazılmakta
4
ve bu Hamiltonianların çift bağlaşımlı (doubly intertwined) olamalarının yanı sıra, sıfırın
bölenleri (divisors of zero) olan matris değerli bağlaştıran (intertwining) faz-uzayı
fonksiyonlarını içerdikleri de gösterilmektedir. Bu şekilde ele alınan her sistem için hareket
sabitleri de elde edilmektedir. 3. Bölüm’ün sonunda, bu yönteme özel bir örnek olarak
kuantum optiğinden iyi bilinen Jaynes-Cummings (JC) tipi Hamiltonian sistemleri
incelenmekte ve bu Hamiltonianların spektrumları, öz-vektörleri ve ilgili Wigner
fonksiyonları elde edilmektedir.
4. Bölüm, fiziğin güncel ve önemli araştırma alanlarından seçilen beş farklı eş-spektral
Hamiltonian ailesinin, 3. Bölüm’de geliştirilen yönteme özel uygulamalar olarak
incelenmesine ayrılmıştır. Bu örnekler arasında, iki-boyutlu Pauli Hamiltonianı’na karşılık
gelen sistemler, spin-yörünge etklişmelerini içeren Aharonov-Casher (AC) tipi sistemler,
bir süpermembran örnek model, merkezsel olmayan elektromanyetik alanda hareketi tarif
eden sistemler ve yarı-iletken fiziğinden iyi bilinen Rashba ve Dresselhaus tipi sistemler
yer almaktadır. Bu örnekler, 3. Bölüm’de MC-cebirinin süpersimetri yapısında ele
alınmasıyla tanımlanan koşulların uygun seçimleriyle ortaya çıkmakta ve bu seçimlerin
farklı kombinasyonlarıyla fiziksel olarak anlamlı ve çok daha geniş eş-spektral Hamiltonian
ailelerinin elde edilebileceğini göstermektedir.
Bu tez çalışmasının temelini oluşturan MC-cebiri yardımıyla göreli kuantum mekaniğinin
deformasyon kuantumlamasına getirilen 2. Bölüm’deki yaklaşımın iki önemli probleminin
çözümüne yönelik olarak, yine MC-cebiri içerisinde, ancak bu sefer dörtlü Moyal yıldızçarpımı yardımıyla, Lorentz dönüşümlerini de içerecek biçimde genelleştirilmesi 5.
Bölüm’de incelenmektedir. Bu bölümde, zaman ile enerjinin ek koordinatlar olarak
tanımlandığı 8-boyutlu faz-uzayının deforme edilmiş çarpımı tanımlanarak, parametrize
edilmiş göreli klasik mekaniğin deformasyon kuantumlaması için bu çarpımın nasıl
kullanılacağı gösterilmektedir. Bu yaklaşım, spin terimlerinin de kendiliğinden ortaya
çıkması açısından önemlidir.
5
Göreli kuantum mekaniği ve süpersimetrik
kuantum
mekaniğinin deformasyon
kuantumlamasının cebirsel temelini kurmada Clifford cebirleriyle Moyal yıldız-çarpımının
birlikte ele alınmasının, şimdiye değin elde edilememiş başarılı sonuçlara ulaşmada anahtar
rol oynayabileceği bu tez çalışmasının 2, 3, 4 ve 5. bölümlerindeki hesaplar ve tartışmalarla
açıkça görülmektedir. MC-cebiri yardımıyla dört-boyutlu faz-uzayında süpersimetri yapısı
eksiksiz olarak bu bağlamda incelenebilirken, göreli kuantum mekaniğinin tam bir
formülasyonu için yine bu tez çalışmasında önerilen yöntemin anahtar rol oynacağı
öngörülmektedir. 6. Bölüm’de, deformasyon kuantumlamasının, özellikle göreli kuantum
mekaniği için, alternatif bir klasik mekaniksel bakış açısı olmasına ilişkin sonuçlar ve
tartışmalar yer almaktadır.
6
2. MOYAL-CLIFFORD CEBİRİ VE GÖRELİ KUANTUM MEKANİĞİNİN
DEFORMASYON KUANTUMLAMASI
Deformasyon
kuantumlamasında,
kuantum
kuramının
sıra
değişmezliği
(noncommutativity) faz-uzayındaki fonksiyonlar üzerine etkiyen yine sıra değişmez bir
çarpımla tarif edilir. Bu çarpım deformasyon parametresi h olan ve h → 0 limitinde fazuzayı fonksiyonlarının bilinen noktasal çarpımına (pointwise product) indirgenen yıldızçarpımdır. Bu tanımıyla kuantum mekaniği klasik mekaniğin deforme edilmiş halidir. Bu
sayede klasik limit ve karşılanırlık ilkesi gibi kavramlar daha kolayca anlaşılabilirken,
klasikten kuantum mekaniğine geçişte de gözlenirler açısından kavramsal bir sorunla
karşılaşılmaz. Göreli kuantum mekaniğinin deformasyonu da fermiyonik yıldız-çarpım
yardımıyla uzay-zaman cebirinin formülasyonu ve böylelikle deformasyon kuantumlaması
bağlamında Dirac kuramının ifade edilmesi şeklinde anlaşılabilir (Henselder 2007b).
Dirac denkleminin cebirsel yapısı bozonik ve fermiyonik yıldız-çarpımlarla tanımlanabilir.
Buradaki bozonik yıldız-çarpım, deformasyon kuantumlamasından iyi bilinen Moyal
yıldız-çarpımı, fermiyonik yıldız-çarpım ise Clifford çarpımıdır. Bu bölümde ilk olarak
deformasyon kuantumlamasının en önemli araçlarından olan Moyal yıldız-çarpımı ve
ardından da fermiyonik yıldız-çarpımı simgeleyen Clifford çarpımı incelenecektir. Bu iki
yıldız-çarpımın bir arada ele alınmasıyla yeni bir cebir ile yeni bir yıldız-çarpım
tanımlanacak ve ardından bu cebirin Dirac kuramının faz-uzayı formülasyonunun
kurulması için A.C. Hirshfeld, P. Henselder ve T. Spernat tarafından 2004 yılındaki
makaleleriyle ortaya atılan ve kısaca HHS olarak adlandırılacak olan yaklaşım bu
kapsamda yeniden ele alınacaktır (Hirshfeld et al. 2004).
2.1 Moyal Yıldız-Çarpımı
Faz-uzayı 2n-boyutlu bir simplektik M manifoldu ile ve bunun üzerinde tanımlı olan, her
mertebeden türevlenebilir kompleks değerli fonksiyonların oluşturduğu doğrusal (linear)
uzay da F ile gösterilsin. F’nin gerçel değerli elemanları Hamilton mekaniğinden bilinen
7
klasik gözlenirlerdir. Kanonik z = (q, p)=(q1, q2, ..., qn, p1, p2, ..., pn) koordinatlarında F
üzerinde Moyal yıldız-çarpımı aşağıdaki gibi tanımlanır:
←
→
1 n ← →

∗ = exp  ih ∑( ∂ q j ∂ p j − ∂ p j ∂ q j ).
 2 j =1

(2.1)
s
r
Burada h Planck sabitini ve ∂ altındaki değişkene göre sol tarafa, ∂ ise sağ tarafa işlem
yapan türev işlemcilerini temsil etmektedir. Moyal Yıldız-çarpımı
F ∗ (aG + bH ) = aF ∗ G + bF ∗ H
(aF + bG ) ∗ H = aF ∗ H + bG ∗ H
ile verilen iki-doğrusallık (bilinearity) özelliğinin yanında birleşmeli (associative) bir
çarpımdır:
( F ∗ G ) ∗ H = F ∗ (G ∗ H ).
Bu son iki bağıntıdaki F, G ve H’ler F’nin keyfi elemanları olup, iki-doğrusallık
bağıntılarındaki a ve b’ler keyfi skalerlerdir. Kompleks eşlenik altında, iki fonksiyonun
yıldız-çarpımı aşağıdaki bağıntıyı sağlar:
( F1 ∗ F2 ) = F 2 ∗ F 1.
(2.2)
Burada F , F’nin kompleks eşleniğini göstermektedir.
Yıldız-çarpım cinsinden Moyal parantezi [, ]M tüm faz-uzayı fonksiyonları için aşağıdaki
gibi tanımlanır:
[ F , G ]M = F ∗ G − G ∗ F
8
(2.3)
Moyal parantezi, anti-simetrik ve iki-doğrusal olup, Jacobi özdeşliği ile Leibnitz kuralını
sağlar:
[ F , G ]M = −[G, F ]M
[ F , aG + bH ]M = a[ F , G ]M + b[ F , H ]M
(Anti-simetriklik)
(Sağdan-doğrusallık)
[[ F , G ]M , H ]M + cp. = 0
(Jacobi Özdeşliği)
[ F , G ∗ H ]M = [ F , G ]M ∗ H + G ∗ [ F , H ]M .
(Leibnitz Kuralı)
Burada cp. devirsel permütasyonu (cyclic permutation) ifade etmektedir. Son iki özellik
yıldız-çarpımın birleşme özelliğinin açık sonuçlarıdır. Dolayısıyla Moyal parantezine göre
F bir Lie cebiri yapısına sahiptir. Denklem (2.2) yardımıyla iki gerçel değerli fonksiyonun
Moyal parantezinin saf-sanal (pure-imaginary) değerli olduğu aşağıdaki genel bağıntı ile
gösterilebilir:
[ F , G ]M = −[ F , G ]M .
(2.4)
Moyal yıldız-çarpımın ve parantezinin en önemli özellikleri aşağıdaki limit bağıntılarıdır:
lim F ∗ G = FG,
h→0
1
[ F , G ]M = [ F , G ] P .
h→0 ih
lim
Bu bağıntılardan da görülebileceği gibi, h → 0 limitinde Moyal parantezi Poisson
parantezine indirgenmektedir. Benzer şekilde, iki fonksiyonun yıldız-çarpımı da aynı
limitte, bu fonksiyonların bilinen FG çarpımına dönüşmektedir. Bu bağıntılar h ’dan
bağımsız tüm genel faz-uzayı fonksiyonları için geçerlidir. Bu ifadeler bize, birleşmeli
yıldız-cebirinin ve Moyal paranteziyle verilen F’nin Lie cebiri yapısının sırasıyla, noktasal
çarpıma göre F’nin birleşmeli cebir yapısının ve Poisson parantezine göre belirlenen Lie
cebiri yapısının deformasyonları olduğunu söyler.
9
2.2 Clifford Çarpımı
Yukarıda değinilen Lie cebirlerinde olduğu gibi, herhangi bir cebir, üzerinde bir ikili
işlemin (iki-doğrusal olan bir çarpım) tanımlandığı bir vektör uzayıdır. Vektör uzayının
boyutu cebirin de boyutudur. Ancak Clifford cebirleri, üzerinde dejenere olmayan bir g iç
çarpımının tanımlandığı vektör uzayları için tanımlanan cebirlerdir. g ile tanımlanan iç
çarpıma kimi zaman skaler çarpım, g’ye de metrik ya da metrik tensörü adı verilir. Simetrik
(g(x, y)=g(y, x)) ve iki-doğrusal olan g’nin dejenere olmaması, ona karşılık gelen ve
elemanları vektör uzayının bir {ej} bazında gij=g(ei, ej) ile gösterilen matrisin tekil
olmamasına (detg≠0) eşdeğerdir. Bu dejenere olmama özelliğiyle vektörler ve bunların
duali olan 1-formlar arasında bire-bir eşleşme kurulabilir. Verilen bir y vektörü için, bir x
vektörünün metrik duali ~
x
~
x ( y) = i y (~
x ) = g ( x, y )
ile tanımlanan 1-formdur. Burada i y iç çarpımı temsil etmektedir ve bir β k -formu (antisimetrik kovaryant k-tensör) üzerine etkisi, verilen x1 , K, xk −1 vektör alanları için
(i y β )( x1 , K, xk −1 ) = kβ ( y, x1 , K , xk −1 )
şeklindedir. İki-doğrusal, birleşmeli dış çarpım (exterior product) da herhangi bir α
j -formu ile β k -formu için
α ∧ β = (−1) jk β ∧ α
eşitliğiyle tanımlanır. Tüm formların doğrusal uzayı dış çarpıma göre 2n boyutlu (n, vektör
uzayının boyutu) dış cebir (exterior algebra) oluşturur; bu, tensör cebiri gibi
birleşmeli bir cebirdir.
10
-dereceli
Herhangi bir 1 -form ~
x ve herhangi bir β formu için ∗C Clifford çarpımı, yukarıda
tanımlanan iç ve dış çarpımların toplamı olarak, aşağıdaki gibi tanımlanır:
~
x ∗C β = ~
x ∧ β + ix β ,
Bu çarpım; dış cebiri, Clifford cebiri olarak da adlandırılan
(2.5)
2-dereceli
birleşmeli cebire
dönüştürür. Clifford cebiri ayrıca Geometrik Cebir olarak da bilinir (Artin 1957, Hestenes
1966, Hestenes 1993). Birleşme özelliğinin de yardımıyla (2.5) bağıntısı herhangi bir form
üzerine etkiyen Clifford çapımının ( ∗C ) tümüyle belirlenmesi için yeterlidir.
2
dereceliliğin anlamı, bir doğrusal cebir olarak, tüm cebirin tek ve çift formların uzaylarının
direkt toplamı (direct sum) şeklinde ifade edilebilmesi ve tüm çift formların kendi
içerisinde kapanarak bir alt-cebir oluşturmalarıdır. Bir α
j -formu ile β k -formunun
Clifford çarpımı, genelde,
l = j + k , j + k − 2, K, | j − k |
ile verilen l -formların bir toplamını içeren homojen olmayan bir formdur. Özel olarak j ve
k’nın her ikisi de birer çift tamsayı ise yukarıdaki gibi hesaplanan tüm l ’ler de çift
olacaktır. Çift formların Clifford çarpımına göre bir alt-cebir oluşturmaları bu özelliğin bir
sonucudur. Clifford çarpımı cinsinden Clifford parantezi de aşağıdaki gibi tanımlanır:
[α , β ]C = α ∗C β − β ∗C α .
İki-doğrusal, anti-simetrik olan bu parantez de Jacobi özdeşliğini sağlar. Dolayısıyla,
birleşmeli Clifford çarpımı altında tanımlanan Clifford parantezi de aslında bir Lie cebiri
yapısı gösterir. Clifford parantezi, Moyal parantezi gibi, Leibnitz kuralını da sağlar.
11
2.3 Moyal-Clifford Cebiri
Minkowski uzay-zaman manifoldunun gerçel Clifford cebirinin ( C1,3 ( )) ortonormal 1form bazları e µ (µ= 0, 1, 2, 3) ile gösterilsin. Buradaki e µ ’ler, Dirac cebirindeki γ µ
matrislerinin Clifford cebirindeki karşılıklarıdır ve aşağıdaki anti-Clifford sıra değiştirme
bağıntılarını sağlarlar:
{e µ , eν }C = e µ ∗C eν + e µ ∗C eν = 2η µν 1 .
i, j = 1, 2, 3 değerlerini almak üzere, e 0 (= γ 0 = β ) 1-formu ve α j = e0 ∗C e j ( = γ 0 ∗C γ j ) 2formları η µν = diag(1, –1, –1, –1) Lorentz metriğine göre aşağıdaki bağıntıları sağlarlar:
e0 ∗C e 0 = α 1 ∗C α 1 = α 2 ∗C α 2 = α 3 ∗C α 3 = 1
{e 0 ,α j }C = 0
(2.6)
{α ,α }C = 2δ .
i
j
ij
Buraya kadar yapılan tanımlama ve hesaplardaki Clifford formlarının bileşenleri, sıradan
çarpımla çarpıldıklarından, sıra değişen niceliklerdir. Ancak, katsayıların Moyal yıldızçarpımla çarpılmalarını gözeterek sıra değişmeyen duruma geçilebilir. Bunun için yalnızca
iki bağıntıyı bir arada kullanmak yeterli olmaktadır; bunlar da (2.5) ile verilen Clifford
çarpımı ve (2.1) ile verilen Moyal yıldız-çarpımdır. Sonuçta elde edilecek olan birleşmeli
yıldız-çarpım ve cebir, sırasıyla, *MC ile gösterilen Moyal-Clifford (MC) çarpımı ve MCcebiri olarak adlandırılacaktır. Bu cebirin bir F elemanının n. MC-kuvveti de
F n* MC = F ∗MC F ∗MC ... ∗MC F
144424443
n defa
şeklinde tanımlanmaktadır.
12
2.4 Faz-Uzayında Dirac Denklemi ve Göreli Kuantum Mekaniği İçin HHS Yaklaşımı
MC-Cebiri ve MC-çarpımı gözönünde bulundurularak Dirac cebrinin deformasyonu,
dolayısıyla göreli kuantum mekaniğinin deformasyonu incelenebilir. Bunun için ilk olarak
m kütleli bir serbest parçacık için Dirac Hamiltonianı aşağıdaki gibi tanımlanacaktır
(Henselder 2007b):
H D = cp jα j + mc 2 e 0 .
(2.7)
(2.7) denklemi, Dirac Hamiltonianı’nın 1-form ve 2-formlardan oluşan, homojen olmayan
yapısını işaret eder (Burada c ışığın boşluktaki sürati olup, bundan sonra aksi
belirtilmedikçe tekrarlı Latin indisleri üzerinden 1’den 3’e kadar toplam anlaşması
kullanılacaktır). Öte yandan klasik gözlenirleri de içerdiğinden Dirac cebirinin
deformasyonunda MC-çarpımı önemli bir rol oynamaktadır. Dirac Hamiltonianı’nın
kendisiyle MC-çarpımı aşağıdaki gibi bir 0-formdur:
H D ∗MC H D = c 2 p 2 + m 2 c 4 .
Bunu kullanarak Hamiltonian’ın MC-üstel açılımı aşağıdaki gibi hasaplanır:
n
∞
H t
1 t  n
Exp MC ( D ) = ∑   H D∗MC
ih
n=0 n!  ih 
= π − E ( p )e
+itE / h
+ π + E ( p)e
(2.8)
−itE / h
.
Son eşitlik yazılırken sonsuz toplamın tek ve çift kuvvetler içeren terimleri ayrı ayrı
hesaplanmıştır. Burada π ± E ( p) ile verilen “Wigner fonksiyonları” aşağıdaki gibi tanımlıdır:
1
2
π ± E ( p ) = 1 ±
13
HD 
.
E 
(2.9)
Bu Wigner fonksiyonları, 0-form, 1-form ve 2-formdan oluşan, homojen olmayan birer
Clifford formudur (Bu formlara bu tez çalışmasında Wigner formları ya da Wigner-Clifford
formları adı verilecektir). Dirac Hamiltonianı’nda q’ya bağımlı terimler olmadığından
Dirac Hamiltonianı’nın kendisiyle Moyal-Clifford çarpımı aslında Clifford çarpımına
eşittir, dolayısıyla
H D ∗MC H D = H D ∗C H D
= E2
= c 2 p 2 + m 2c 4
yazılabilir. ( H D / E ) ∗MC ( H D / E ) = 1 ifadesi de ( H D / E ) ’nin bir involüsyon olduğunu ifade
eder. π ± E ( p) ’ler aynı zamanda enerji projektörleridir; idempotenttirler ve tam bir küme
oluştururlar:
π ± E ∗MC π ± E = π ± E
π + E ∗MC π − E = 0
π +E + π −E = 1
Bu projektörler ayrıca aşağıdaki yıldız-özdeğer denklemlerini sağlarlar:
H D ∗MC π ± E ( p) = ± Eπ ± E ( p) .
(2.10)
Benzer yıldız-özdeğer denklemleri
Su =
h
z ∗C (u j e j )
2
tanımıyla verilen spin için de yazılabilir.
14
(2.11)
Burada
z = ie 0 ∗C e1 ∗C e 2 ∗C e3
ile verilen hacim formdur (4-form) ve kuantumlama eksenini ifade eden u, p’ye dik birim
vektördür. Buna göre
z ∗C z = 1
z ∗C e j = −e j ∗C z
olduğundan
h
Su ∗C Su = −( ) 2 (u k ek ) ∗C (u j e j )
2
h 1
= −( ) 2 {e k , e j }C u k u j
2 2
h 2
=( )
2
(2.12)
bulunur. Böylece (2.8)’dekine benzer hesaplarla Su için Clifford-üstel açılımı aşağıdaki
gibi hesaplanır:
n
ExpC (
∞
S uϕ
1 ϕ  n
) = ∑   Su ∗C
ih
n = 0 n!  ih 
= π − S ( u)e
+ iϕ / 2
+ π + S ( u)e
(2.13)
− iϕ / 2
.
Burada spin “Wigner fonksiyonları” aşağıdaki gibi verilir:
π ±S =
15
1 1
± Su .
2 h
(2.14)
(2.14) denklemi standart göreli kuantum mekaniğindeki Dirac spin projektörlerinin
1 ± σˆ z
( Pˆ± =
) deformasyon kuantumlamasındaki karşılığıdır ve aşağıdaki yıldız-özdeğer
2
denklemini sağlar:
h
S u ∗C π ± S (u) = ± π ± S (u) .
2
(2.15)
p ve u birbirilerine dik oldukları için, p ⋅ u = 0 eşitliğinden
[e0 , z ∗C ( p j e j )]C = 0 ,
[ p jα j , z ∗C (u k e k )]C = 0
(2.16)
yazılabilir. Buna göre H D ve Su Clifford çarpımına göre aşağıdaki gibi sıra değiştirirler:
[ H D , S u ]C = H D ∗C S u − S u ∗C H D = 0 .
(2.17)
Dolayısıyla π ± E ( p) ve π ±S (u) Wigner fonksiyonları da sıra değiştirirler. Böylece Dirac
problemi için ortak idempotent Wigner fonksiyonları aşağıdaki gibi yazılır:
π ± E , ± S ( p, u) = π ± E ( p) ∗MC π ± S (u) .
(2.18)
Karşılık gelen yıldız-özdeğer denklemleri ise aşağıdaki gibidir:
H D ∗MC π ± E , ± S ( p, u) = ± Eπ ± E , ± S ( p, u)
h
S u ∗MC π ± E , ± S ( p, u) = ± π ± E , ± S ( p, u).
2
16
(2.19)
Dirac Wigner fonksiyonları da idempotenttirler:
π ± E , ± S ( p, u) ∗MC π ± E , ± S ( p, u) = π ± E , ± S ( p, u) .
(2.20)
Şimdi qj’leri xj kartezyen koordinatlarıyla özdeşleştirip bilinen [ p k , x j ]M = −ihδ
jk
bağıntısından yararlanılırsa
[ H D , x j ]MC = −ihcα j
{H D , α j }MC = 2cp j
bulunur. İkinci bağıntıda (2.6)’dan yararlanılmıştır. Bu bağıntılar yardımıyla konum
fonksiyonunun zamana göre değişimi aşağıdaki gibi hesaplanır:
x j (t ) = Exp MC ( −
H Dt
H t
) ∗MC x j ∗MC Exp MC ( D )
ih
ih
−1
= x j + c 2 p j t ∗MC H D ∗MC
+
(2.21)
ihc j
H t
−1
−1
(α − cp j ∗MC H D ∗MC ) ∗MC H ∗MC ∗MC ( Exp MC ( 2 D ) − 1).
2
ih
−1
Burada H D ∗MC , MC-çarpımı altında H D ’nin tersidir ve aşağıdaki gibi tanımlıdır:
−1
H D ∗MC =
HD
.
c p + m 2c 4
2
2
(2.22)
(2.21) denkleminin ikinci satırındaki iki terim klasik harekete karşılık gelirken, üçüncü
satırdaki son terim Zitterbewegung olarak bilinen terimi simgeler. (Almanca bir sözcük
olan Zitterbewegung, konumun beklenen değerinin ortalama değer etrafında salınmasını
ifade eder. Bu çalışmada Zitterbewegung daha fazla ele alınmayacaktır).
17
2.5 Lorentz Dönüşümleri ve Yıldız-özdeğer Denklemleri
Yıldız-çarpım formülasyonunda Dirac denklemini türetmenin bir başka yolu da, durgun
çerçevede yıldız-özdeğer denklemiyle uyumluluk göstermesi gerekliliğini ele almaktır. p=0
seçilirse, (2.10) ifadesi (c ile bölündükten sonra) aşağıdaki şekilde ifade edilir:
(mce 0 ± mc ) ∗C π ± E (0) = 0 .
burada π ± E (0) =
(2.22)
1
(1 ± e 0 ) olup, bu çözüm (2.9) ile verilen Wigner fonksiyonlarının
2
tanımından bulunur. Lorentz dönüşümleri
h
K j = i e 0 ∗C e j ve
2
h
J l = i ε ljk e j ∗C e k
4
olmak üzere birer 2-form olan K j boost ve J j dönme üreticileri ile tanımlanırlar. Bunlar
aşağıdaki Clifford sıra değiştirme bağıntılarını sağlarlar:
[ J l , J j ]C = ihε ljk J k ,
[ J l , K j ]C = ihε ljk K k ,
(2.24)
[ K , K ]C = −ihε J .
l
j
ljk
k
Lorentz boostları için yıldız üstel açılımının
ExpC (ω ⋅ K ) ∗C α µ ∗C ExpC (ω ⋅ K ) = ExpC (ω ⋅ K ) ∗C α µ ∗C ExpC (ω ⋅ K )
= Λµν (ω )α ν
(2.23)
şeklindeki tanımına göre (Hirshfeld et al. 2004), (2.22) ifadesi S = Exp C (ω ⋅ K ) tanımı
yardımıyla hareketli bir çerçeveye ötelenebilirler.
18
(2.23) ifadesindeki ω parametresi hareketli çerçevedeki p momentumuna bağımlıdır. (2.22)
bağıntısından
S −1 ∗C (e 0 mc ± mc) ∗C π ± E (0) ∗C S = ( S −1 ∗C e 0 ∗C Smc ± mc) ∗C S −1 ∗C π ± E (0) ∗C S
=0
(2.25)
yazılabilir. Denklem (2.23) yardımıyla
p
S −1 ∗C e0 ∗C S = /
mc
( p/ = e0 ∗C p)
(2.26)
elde edilir. Böylece
π ± m ( p) = S −1 ∗C π ± E (0) ∗C S
(2.27)
tanımıyla (2.25) ifadesi aşağıdaki hale dönüşür:
( p/ ± mc) ∗C π ±m ( p ) = 0 .
Burada enerji projektörleri π ± m ( p ) =
(2.28)
± p/ + mc
şeklinde tanımlıdır. Denklem (2.28) ise
2mc
Dirac denkleminin yıldız-çarpım formülasyonundaki ifadesidir. Benzer bir yöntem, (2.14)
ve (2.15) kullanılarak, spin yıldız-özdeğerlerini elde etmek için de yinelenebilir.
Su =
h
z ∗C (u j e j ) ifadesinin durgun çerçevede geçerli spin gözlenirleri olduğunu göz
2
önünde bulundurarak, hareketli çerçevedeki ifadeye aşağıdaki gibi ulaşılabilir:
h
S u = S −1 ∗C S u ∗C S = − z ∗C u/
2
19
(u/ = e 0 ∗C u) .
(2.29)
Burada S = Exp C (ω ⋅ K ) ötelenmesi uygulanmıştır. u2=1 ve u⋅p=0 koşulları aslında
sırasıyla u µ uµ = −1 ve u µ pµ = 0 şeklinde anlaşılmalıdır. Böylelikle Su ∗C Su = (h / 2) 2 ve
[ Su , H D ]C = 0 ifadelerinin tüm gözlem çerçevelerinde geçerli olduğu garanti altına alınmış
olur. Sonuç olarak, göreli spin yıldız-özdeğer denklemi ve çözümü aşağıdaki gibi
yazılabilir:
h
z ∗C u/ ∗C π ± S (u )
2
h
= ± π ± S (u ).
2
S u ∗C π ± S (u ) =
(2.30)
Burada (2.14) ile (2.15) ifadelerindeki Su’lar Su şekline dönüşmüştür ve buna göre spin
projektörleri aşağıdaki gibi tanımlıdır:
1 1
± Su
2 h
1 ± z ∗C u/
=
.
2
π ±S (u ) =
Denklem (2.18)’de olduğu gibi, Dirac kuramındaki u ve v dörtlü spinörlerine karşılık gelen
projektörler, (2.28) ve (2.30) denklemleri bir araya getirilerek aşağıdaki gibi yazılır:
π ±m, ± S ( p, u ) = π ±m ( p) ∗MC π ±S (u ) = π ± S (u ) ∗MC π ±m ( p ) .
(2.31)
2.6 Faz-Uzayı Formülasyonu ile Foldy-Wouthuysen Dönüşümü
Şimdiye değin kurulan cebirsel yapı içerisinde Dirac denkleminin göreli olmayan limitini
hesaplamanın en iyi yolu Foldy-Wouthuysen (Foldy and Wouthuysen 1950) dönüşümünü
yıldız-çarpım formülasyonuna uygulamaktır.
20
Wigner fonksiyonun zaman bağımlılığı (Curtright and Zachos 1999)
ih
∂π (t )
= [ H (t ), π (t )]MC
∂t
(2.32)
ifadesinden bulunur. Bu ifade, Wigner fonksiyonunun
π ′(t ) = U (t ) ∗MC π (t ) ∗ MC U (t ) −1
(2.33)
şeklindeki üniter dönüşümüyle aşağıdaki gibi yazılır:
ih∂ t π ′(t ) = [ H ′(t ), π ′(t )]MC .
(2.34)
Burada H ′(t ) ’nin açık ifadesi aşağıdaki gibi elde edilir:
H ′(t ) = U (t ) ∗MC ( H (t ) − ih∂ t ) ∗MC U (t )−1 .
(2.35)
Ele alınan herhangi bir Hamiltonian aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
H
= β +E+O.
mc 2
Burada β = e 0 olup,
1 H
H

+ β ∗C
∗ β
2
2 C
2  mc
mc

β +E = 
1 H
H

O =  2 − β ∗C
∗ β
2 C
2  mc
mc

tanımları yapılmıştır.
21
(2.36)
E fonksiyonu pozitif pariteye sahipken O fonksiyonu negatif pariteye sahiptir:
β ∗C E ∗C β = E
β ∗C O ∗C β = −OA
Standart Foldy-Wouthuysen dönüşümü için
β

U (t ) = Exp MC  ∗MC O 
2

1β

= ∑  ∗MC O 

n = 0 n! 2
∞
n ∗ MC
(2.37)
seçilirse, (2.33) (ya da (2.35)) ifadesi yardımıyla
H′
= β ∗MC
mc 2
1 
ih & 
 1 2∗MC 1 4∗MC 
− O
O
1 + O
 + E − O,  [O, E ]MC +
8
8 
mc 2  MC
 2

(2.38)
1
1 3∗MC
ih
+ β ∗MC [O, E ]MC − O
+
β ∗MC O& + ...
2
3
2mc 2
elde edilir. Burada ilk satır çift fonksiyonları içerirken ikinci satır tek fonksiyonlardan
oluşur. (2.38) denklemi
H′
= β + E ′ + O′ .
mc 2
(2.39)
şeklinde yeniden yazılıp, aynı dönüşüm bir kez daha
β

U (t ) = Exp MC  ∗MC O′ 
2

ile yapıldığında
22
(2.40)
H ′′
= β + E′
mc 2
(2.41)
elde edilir. Burada (1/c)5 ve üzeri mertebeden terimler ihmal edilmiştir.
Elektromanyetik alan içinde e yüklü bir parçacığın hareketini betimleyen Dirac
Hamiltonianı
H = α ⋅ (cp − eA) + βmc 2 + eϕ
için E ve O fonksiyonları aşağıdaki gibidir:
eϕ
,
mc 2
cp − eA
O =α ⋅
.
mc 2
E=
(2.42)
( H ′′ / mc 2 )’de (1/c)4 mertebesine kadar olan terimler ele alındığında H ′′ Hamiltonianı
aşağıdaki gibi dönüşür:
1
1 
ih & 
 1

H ′′ = mc 2 β ∗MC 1 + O 2∗MC − O 4∗MC  + mc 2 E − mc 2 O,  [O, E ]MC +
O
8
8 
mc 2  MC
 2

2∗


e  MC



−
p
A


4
p  eh
c 
 2 
= β  mc +
− 3 2−
β ∗MC σ ⋅ B + eϕ
2m
8m c
2mc




2
eh
eh
−
σ ⋅ ( E × p) − 2 2 divE .
2 2
4m c
8m c
(2.43)
Burada σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) Pauli matrisleridir. (2.43) ifadesi standart işlemci formalizmindeki
23
ifadeyle aynıdır. Bu ilişkiyi görmek için, faz-uzayı değişkenlerinin çarpımını, karşılık gelen
işlemcilerin çarpımına dönüştüren aşağıdaki ΘW Weyl dönüşümü kullanılmaktadır:
ΘW ( E × p) =
1 ˆ
ih
( E × pˆ − pˆ × Eˆ ) = Eˆ × pˆ + rotEˆ .
2
2
(2.44)
Dolayısıyla (2.43)’e karşılık gelen Hamilton işlemcisi aşağıdaki gibidir:
2∗ MC


 ˆ e ˆ


 p − A
4
ˆ
p

c
 eh
2


β σ ⋅ B + eϕ
Hˆ ′′ = β  mc +
−
−
3 2 
2m
8m c
2 mc






2
eh
ie h 2
ˆ − eh div E .
ˆ
−
⋅
(
E
×
p
)
−
⋅
rot
E
σ
σ
4m 2c 2
8m 2 c 2
8m 2 c 2
(2.45)
Bu da bilinen klasik ifade ile aynıdır (bkz. Greiner 1997). (2.45)’te p̂ = −ih∇ momentum
işlemcisidir.
HHS yaklaşımı, her ne kadar özgün makalelerinde Moyal-Pauli yıldız-çarpımı olarak
adlandırılan yıldız-çarpımla hesaplar yapılmış olsa da, bu bölümün başında kurulan MCcebiri bağlamında MC-çarpımı altında da yine Dirac kuramının faz-uzayı formülasyonu
için tutarlı sonuçlar vermekte, ancak kimi kavramsal sorunları da beraberinde
getirmektedir. Bu sorunlardan ilki, Dirac kuramının faz-uzayı formülasyonunun, üçlü
Moyal yıldız-çarpımı ve dörtlü Clifford çarpımını bir arada içermesidir. Ne var ki, üçlü
Moyal yıldız-çarpımıyla göreli kuantum mekaniği için gerekli olan Lorentz dönüşümlerini
betimlemek mümkün görünmemektedir. Bir diğer sorun da Dirac kuramının klasik
karşılığının olmamasıdır. Oysa deformasyon kuantumlamasının temeli, klasik mekaniğin h
parametresiyle deforme edilerek kuantum mekaniğinin faz-uzayında formüle edilmesine
dayanmakta ve h → 0 limitinde klasik mekanik yeniden elde edilebilmektedir. Bu iki
sorunu ortadan kaldırmaya yönelik önerilerden bir tanesi, göreli kuantum mekaniğinin
24
parametrize edilmesine ya da uzay-zaman koordinatı olarak zamanın sistemin gelişim
(evolution) parametresinden ayrılmasına dayanan has-zaman (proper time) fomalizmidir
(Henselder 2007b). Bu yaklaşımla, uzay-zaman cebirinin geometrik yapısının has-zaman
formalizmindeki kuantum yapısının formel bir birlikteliğinin yıldız-çarpım formalizmi
içerisinde elde edilebileceği ileri sürülmektedir. Bunun için de Lorentz dönüşümü için
gerekli yeni bir dörtlü Moyal yıldız-çarpımı tanımlanarak, aktif ve pasif Lorentz
dönüşümleri bu formalizm içerisinde ortaya çıkarılmaktadır. Bu yeni yıldız-çarpımlar
yardımıyla, parametrize edilmiş klasik mekaniğin deformasyon kuantumlanması için de
klasik limit elde edilirken, spin terimleri de kendiliğinden ortaya çıkmaktadır.
Göreli
kuantum
mekaniğinin
deformasyon
kuantumlaması
bu
anlamıyla
henüz
tamamlanmamış bir formalizm olarak ortaya çıkmakla birlikte, MC-cebiri ve çarpımı bu
eksikliğin giderilmesi konusundaki anahtar rolünü korumaktadır. Bununla ilgili ayrıntılı bir
inceleme 5. Bölüm’de verilmektedir.
MC-cebiri ayrıca, bir sonraki bölümde de ayrıntılı olarak gösterileceği üzere, süpersimetrik
kuantum mekaniğinin deformasyon kuantumlaması için çok yararlı araçlar sunmakta ve
dört-boyutlu klasik faz-uzayında tutarlı bir süpersimetri yapısı kurulmasını sağlamaktadır.
25
3. SÜPERSİMETRİK KUANTUM MEKANİĞİNİN FAZ-UZAYI
FORMÜLASYONU
Moyal yıldız-çarpımı bozonik kısım ve Clifford çarpımı da fermiyonik kısım olmak üzere,
bu iki çarpımın bir arada kullanılması süpersimetrik kuantum mekaniğinin (Gendensthěn
and Krive 1985, Cooper et al. 1995, Junker 1996, Kuru et al. 2001) faz-uzayı
formülasyonunu inşa etmeye de uyarlanabilir. İki-boyutlu ( 2 D ) faz-uzayı üzerinde bu
yaklaşımın nasıl uygulanacağını Henselder (Henselder 2007a) göstermiştir. Bu bölümde
temel olarak, benzer bir yaklaşımla, 4-boyutlu ( 4 D ) faz-uzayı üzerinde süpersimetrik
kuantum mekaniğinin nasıl inşa edileceği tartışılacaktır. Bu şekilde kurulan cebirsel yapı,
süpersimetrik kuantum mekaniğinin faz-uzayı formülasyonuna çok daha genel bir çerçeve
sunarken, zengin bir uygulama alanını da beraberinde getirmektedir.
Bu bölümde ilk olarak, Moyal yıldız-çarpım ile birlikte Clifford formlarından oluşan bir
klasik Hamiltonian sistemindeki 4-boyutlu faz-uzayı üzerinde tanımlı kompleks Clifford
cebirinin deformasyonu gösterilecektir. Bu, çarpanlarına ayırılmış terimlerin toplamı olan
iki eş-spektral (isospectral) 2 × 2 ’lik matris Hamiltonian yazmaya da olanak vermektedir.
Gerçel değerli faz-uzayı fonksiyonlarıyla ifade edilebilen bu Hamiltonianlar pek çok
sistemin modellenmesine olanak verecek kadar da geneldirler. Çift bağlaşımlı (doubly
intertwined) bu Hamiltonianlar deforme edilen cebirde sıfırın bölenleri (divisors of zero)
olan matris değerli bağlaştıran (intertwining) faz-uzayı fonksiyonlarını içerirler. Bağlaştıran
matrisleri kompleks eşlenikleriyle bir arada kullanarak ele alınan her sistem için hareket
sabitlerini elde etmek de mümkündür. Atomun alanlarla kuantum etkileşmelerinin (Fink et
al. 2008) doğasını inceleyen ve güncel deneylere konu olan kuantum optiğinin JaynesCummings (JC) tipi Hamiltonian sistemleri de (Jaynes and Cummings 1963, Shore et al.
1993, Schleich 2001) bu yönteme özel bir örnek olarak incelenebilmektedir. JC-tipi
Hamiltonianların dışında pek çok süper-eş Hamiltonian ailesinin spektrumları, özvektörleri
ve ilgili Wigner fonksiyonları gibi faz-uzayı karakteristiklerinin yanı sıra, klasik limitteki
davranışları ve hareket sabitleri de kuantum mekaniğinin standart araçlarına başvurmadan,
bu yöntem yardımıyla otonom olarak incelenebilmektedir (Buğdaycı ve Verçin 2009).
26
3.1 Faz-Uzayı Üzerinde Kompleksleştirilmiş Clifford Cebiri
Ele alınacak faz-uzayı 4-boyutlu (4D) simplektik manifold M ile, bunun üzerinde tanımlı
olan kompleks değerli fonksiyonların oluşturduğu doğrusal uzay da yine F ile gösterilsin.
M’nin her noktasında biri teğet (tangent) ve diğeri onun duali olan ko-teğet (cotangent)
uzayı olmak üzere iki adet 4D vektör uzayı tanımlanabilir. Ko-teğet uzayının elemanları,
teğet uzayının elemanları üzerine doğrusal olarak etkiyen 1-formlardır.
Simplektik manifold M’nin, dejenere olmayan ikinci-ranktan iki tensör alanlarıyla
tanımlanan iki özel yapısı vardır: Bunlardan birisi simplektik 2-form Ω ve diğeri simetrik
g metrik tensörüdür. Bu iki tensörün dejenere olmaması, her birinin teğet uzayı ile ko-teğet
uzayı arasında birer vektör uzayı eş-yapı dönüşümünü (isomorphism) tanımlamaları
anlamına da gelmektedir. Bu eş-yapı dönüşümüyle ilişkilendirilmiş elemanlar birbirlerinin
simplektik ve metrik duali olarak adlandırılırlar (bkz. Kesim 2.2).
Simplektik 2-form Ω ve simetrik g metrik tensörü, ele alınan komşuluğun her
noktasındaki teğet uzaya, sırasıyla simplektik vektör uzayı yapısı ve bir iç çarpım (interior
product) uzayı yapısı kazandırır. Darboux teoremine göre (Arnold 1989) M’nin her
komşuluğunda (q, p ) = (q1 , q2 , p1 , p2 ) şeklinde kanonik koordinatlar tanımlanabilir ve
bunlar cinsinden
Ω = ∑ jdq j ∧ dp j
yazılabilir. Sonuçta Ω , Hamilton mekaniğinin Poisson parantezinin aşağıdaki gibi
yazılmasını sağlar:
2
[ F , G ]P = ∑(∂ q F∂ p G − ∂ p F∂ q G ).
k =1
k
27
k
k
k
(3.1)
Burada ∂ x , ∂/∂xi türev işlemcisinin kısa gösterimdir. (3.1) eşitliğinin sol tarafında
i
fonksiyonların sıra değişen (commutative) ve birleşmeli nokta (pointwise) çarpımları
aşağıdaki gibidir:
( F1 F2 )( x) = ( F2 F1 )( x) = F1 ( x) F2 ( x) = F2 ( x) F1 ( x) .
Teğet uzaylar,
gerçel sayılar alanının
kompleks sayılar alanıyla değiştirilmesiyle
kompleksleştirilebilir. Böylece g , -doğrusallığı yardımıyla kompleks değerli, simetrik ve
dejenere olmayan iki-doğrusal g C gönderimine genelleştirilebilir.
cebirsel olarak kapalı
olduğundan, g Euclidian olmayan imzaya sahip olsa bile, g C herhangi bir imza ile
karakterize edilmez, böylece kompleks cebirin yapısı yalnızca boyuta bağımlı olur. Burada,
1 ve ortonormal 1-formlar { f 1 , f 2 , f 3 , f 4 } tarafından üretilen 2 4 -boyutlu gerçel C 4,0 ( )
Clifford cebiri ele alınacaktır ( C4,0 ( ) cebirinin baz elemanları, C 4 ( ) cebirinin baz
elemanlarının matris gösterimleri ve birbirleri arasındaki ilişkiyi görmek için bkz. EK1).
Gerçel C 4,0 ( ) cebirinin f j ile gösterilen baz elemanları
f j ∗C f k + f k ∗C f j = 2δ jk
(3.2)
bağıntısını sağlamakta ve Kronecker delta simgesi Euclid metriğinin tersinin bileşenlerini
göstermektedir:
g ( f j , f k ) = δ jk .
C 4,0 ( )’nin kompleksleştirlimesi de C4 ( )
ile gösterilecektir. C4,0 ( ),
kuaterniyon matrislerinin cebirine eş-yapılı (isomorf) iken, C4 ( )
matrislerin cebirine eş-yapılıdır (Benn and Tucker 1987).
28
2 × 2 ’lik
4 × 4 ’lük kompleks
3.2 Temel Süpersimetri (SUSY) Yapısı
2 4 boyutlu C4 ( ) kompleks cebirinin ortonormal bazları e j ile gösterilsin. Bu bazlar
aşağıdaki bağıntıyı sağlarlar:
e j ∗C e k + e k ∗C e j = 2δ jk .
(3.3)
Gerçel değerli faz-uzayı fonksiyonları W j = W j (q, p), Pj = Pj (q, p); j = 1,2 cinsinden
ω = W1e1 + W2 e 2 + P1e3 + P2 e 4
(3.4)
Clifford 1-formu göz önüne alınsın. Bu 1-formlar ve Clifford çarpımı yardımıyla 2-boyutta
geniş bir Hamilton fonksiyonları ailesi aşağıdaki gibi yazılabilir:
1
1
1 2
2
H = ω ∗C ω = ( P12 + P22 ) + (W1 + W2 ) .
2
2
2
(3.5)
Süpersimetri yapısını yıldız-çarpım formülasyonu ile incelemek için aşağıdaki gibi
kompleks 1-formlar tanımlanabilir:
f =
1 1
(e + ie3 ) ,
2
(
1 1
f =
(e − ie3 ),
2
g=
1 2
(e + ie 4 ) ,
2
1 2
(
g=
(e − ie 4 ).
2
Bu 1-formlar
f *C f = 0 = g *C g ,
(
(
(
(
f *C f = 0 = g *C g
29
(3.6)
şeklinde verilen nilpotentlik bağıntılarının yanında, aşağıdaki Clifford anti-parantezi
bağıntılarını da sağlarlar:
(
(
{ f , f }C = 2 = {g , g}C ,
(
(
{g , f }C = 0 = {g , f }C ,
( (
{g , f }C = 0 = {g , f }C .
(3.7)
Kompleks değerli fonksiyonlar C1 , C2 ile kompleks eşlenikleri C1 ,C2
1
1
(W1 + iP1 ) , C1 =
(W1 − iP1 ) ,
2
2
1
1
C2 =
(W2 + iP2 ) , C2 =
(W2 − iP2 )
2
2
C1 =
(3.8)
şeklinde tanımlanarak, bu fonksiyonlar ve kompleks 1-formlar cinsinden süper yükler
aşağıdaki gibi yazılabilir:
q− = C1 f + C2 g
(
(
ve q+ = C1 f + C2 g
(3.9)
Böylece (3.4)’teki 1-formlar da bu süper yükler cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanabilir:
ω = q+ + q−
(3.6) ve (3.7) bağıntılarını kullanarak q± ’lerin nilpotent olmalarının yanı sıra, H ile
birlikte basit bir süpersimetrik cebir yapısında kapandıkları da gösterilebilir:
q± *C q± = 0 ,
1
H = {q− , q+ }C ,
2
[q± , H ]C = 0 .
30
(3.10)
(3.11)
(3.12)
M’nin dış demetinin Clifford yapısı, karşılık gelen klasik sistemdeki süpersimetri yapısının
görülebilmesine olanak verir. Bozonik serbestlik derecelerine ek olarak fermiyonik
serbestlik derecesine de sahip olan bu türden sistemler sözde-klasik (pseudoclassical)
modeller olarak bilinirler (Junker 1996) ve hem bozonik hem de fermiyonik serbestlik
derecelerine sahip kuantum sistemlerinin klasik limitleri gibi davranırlar. Ancak, (3.12)
bağıntısı açıkça sağlandığından üstteki süpersimetri (SUSY) yapısı bu halde pek fazla
ilginç görünmez. H bir 0-form olduğundan tüm formlarla Clifford anlamında sıra
değiştirir. Oysa (3.12) denklemi, q± süperyüklerinin nilpotentliklerinin doğal bir sonucu
olarak ortaya çıkmalıdır. Dolayısıyla, buradan itibaren, bu cebir son üç bağıntı ve yeni bir
Hamiltonian yardımıyla deforme edilerek, 0-form ve 2-formlardan oluşan ve homojen
olmayan bir Clifford çift formuna dönüştürülerek daha ilginç bir SUSY yapısı
kazandırılacaktır.
3.3 Deformasyon ve SUSY Yapısı
(3.10) denkleminde verilen işlem MC-çarpımıyla yeniden yapıldığında artık eşitliğin sağ
tarafı doğrudan sıfır vermeyecektir:
(
(
q+ *MC q+ = [C1 , C2 ]M f *C g ,
q− *MC q− = [C1 , C2 ]M f *C g
= −[C1 , C2 ]M f *C g .
(3.13)
(3.14)
Son eşitlik yazılırken (2.4)’ten yararlanılmaktadır. (3.10), (3.11) ve (3.12) ifadelerinin
değişmez kalmasının gerekliliği, q+ ve q− ’nin nilpotentliğinin MC-çarpımı altında da
korunmasını gerektirir. Bu da ancak ve ancak
[C1 , C2 ]M = 0
olmasıyla mümkündür.
31
(3.15)
(3.15) koşulu W j ve Pj 'ler cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir:
[W1 , W2 ]M − [ P1 , P2 ]M = i[W2 , P1 ]M − i[W1 , P2 ]M .
(3.16)
W j ve Pj 'ler gerçel değerli oldukları için, (3.16)’nın sağ tarafı gerçel değerliyken, sol tarafı
saf sanaldır. Dolayısıyla (3.16) koşulu aslında aşağıdaki iki koşula denktir:
[W1 , W2 ]M = [ P1 , P2 ]M ,
(3.17)
[W1 , P2 ]M = [W2 , P1 ]M .
(3.18)
Bu koşullar yardımıyla, (3.11)’deki gibi, Hamiltonian bu kez
1
H s = {q+ , q− }MC .
2
(3.19)
MC anti-parantezi ile tanımlanabilir. Bu da (3.12) denklemindeki gibi süper yüklerin yine
MC parantezi altında Hamiltonian ile sıra değişme bağıntısının aşağıdaki gibi yazılmasına
olanak verir:
[q± , H s ]MC = 0 .
(3.20)
{ω1 , ω2 }MC = 0 eşitliğini sağlayan ω1 = ω ve ω2 = −i (q+ − q− ) fonksiyonları cinsinden
süpersimetrik Hamiltonian H s aşağıdaki gibi çarpanlarına ayrılabilir:
1
H s = ω1 ∗MC ω1
2
1
= ω2 ∗MC ω2
2
32
(3.21)
Bir sonraki kısımda gösterilecek olan Clifford cebirinin uygun matris temsilinde, ω j ’ler
Hermite-sel süper yükler ve yukarıdaki süper-cebir ile belirlenen simetri de 2-genişletilmiş
(2-extended) süpersimetridir.
(3.9), (3.19) denklemleri, (3.17), (3.18) koşulları ve
[C1 , C1 ]M = i[W1 , P1 ]M ,
[C2 , C2 ]M = i[W2 , P2 ]M ,
[C1 , C2 ]M = [W1 , W2 ]M − i[W2 , P1 ]M ,
[C2 , C1 ]M = −[W1 , W2 ]M − i[W2 , P1 ]M
bağıntıları kullanılarak H s açık olarak aşağıdaki gibi hesaplanabilir:
1
H s = H ∗ + {[W1 , P1 ]M e13 + [W2 , P2 ]M e 24 + [W2 , P1 ]M (e14 + e 23 ) + [W1 , W2 ]M (e12 + e 34 )}. (3.22)
2
Bu ifadede bozonik kısımı temsil eden H * aşağıdaki gibi tanımlıdır:
2 H ∗ = {C1 , C1}M + {C2 , C2 }M
= P1 ∗ P1 + P2 ∗ P2 + W1 * W1 + W2 * W2 .
(3.23)
Burada {, }M anti-Moyal parantezini temsil etmektedir. Farklı ortonormal bazlar için
yazılan e jk = e j ∗C e k kısaltmasıysa e12 = e1 ∧ e 2 dış çarpımına eşdeğerdir.
(3.22)’den açıkça görüldüğü gibi H s ; 0-form ve 2-formlardan oluşan homojen olmayan bir
Clifford çift formudur.
33
3.4 Matris Temsili
Denklem (3.3) ile verilen kompleks Clifford bazları 2 × 2 ’lik Pauli matrisleri σ k 'lar ve
2 × 2 ’lik birim matris 1 cinsinden aşağıdaki gibi tanımlanacaktır:
iσ 1 
 0
,
e1 = 
 − iσ 1 0 
 0
e 2 = 
 − iσ 3
iσ 3 
,
0 
(3.24)
 0
e3 = 
 − iσ 2
iσ 2 
,
0 
0 1
 .
e 4 = 
1 0
Bu temsilde tüm baz matrisleri Hermite-sel, fakat e 3 ve e 4 simetrik, e1 ve e 2 ise antisimetriktirler. (3.24) matris temsili denklem (3.22)’de kullanılırsa
H
H s =  1
 0
0 
 = H 1π + + H 2π −
H 2 
(3.25)
elde edilir. Burada π + = diag (1,0) ve π − = diag (0,1) ile verilen matrisler, ilkel olmayan
(non-primitive) projeksiyonlardır ve köşegen elemanlar olan eş Hamiltonianlar aşağıdaki
gibi tanımlıdır:
H 1 = H ∗ 1 + H 1F ,
H 2 = H ∗1 + H 2 F .
(3.26)
Fermiyonik kısımı temsil eden H jF 'ler de
H1F =
i
B+σ 3 ,
2
34
(3.27)
H 2F =
i
B−σ 3 − i[W2 , P1 ]M σ 1 − i[W1 , W2 ]M σ 2
2
(3.28)
ile verilir. Burada B± ’ler aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
B± = [W1 , P1 ]M ± [W2 , P2 ]M .
Bu bağıntılar elde edilirken Pauli spin matrislerinin σ 1σ 2σ 3 = i1 özelliği ve bu özellik
yardımıyla hemen elde edilebilen diğer bağıntılar kullanılmıştır.
(3.15) (ya da eşdeğer olarak (3.17) ve (3.18)), (3.20) ve (3.22) Clifford cebiri ile MoyalClifford cebiri arasındaki temel farklılığı göstermektedir. Bu kısıtlamalar, asıl olarak
deforme edilmiş durumda q± ’ların nilpotentliğini korumayı garantilemenin yanında,
bundan sonraki hesaplamalar için de önemli rol oynamaktadırlar. Sonuçta elde edilen cebir
özgün bir SUSY cebiridir ve Hamiltonianlar da klasik olmayan kısımlara sahiptir. H1 ve
H 2 ’nin ortak bozonik kısmı olan H * klasik limitte (3.5) ile verilen Hamiltonian’a
indirgenmektedir ( limh→0 H * = H ). Ancak Hamiltonian’ın fermiyonik kısımları olan
H jF ’ler birbirlerinden farklı olmalarının yanında klasik limitleri de yoktur. Buna karşılık
Pauli matrislerinin katsayı fonksiyonlarının klasik limitleri, (3.27) ve (3.28) ile verilen
ifadeler ih ’a bölünerek klasik Poisson parantezlerine dönüşürler.
3.5 Bağlaşıklık, Eş-Spektral Özellik ve Hareket Sabitleri
Bağlaştıran işlemci, verilen iki aynı tür işlemcinin (diferansiyel, integral, matris ya da
işlemci değerli matris işlemciler vs.) birbiriyle bağlaşıklığını kurmaya yarayan araçlardır.
Genel olarak, kuantum mekaniğinde L ile verilen bağlaştıran işlemci, H1 ve H2 ile verilen
iki Hamiltonian işlemcisini birbirine
LH1=H2L
35
biçiminde bağlaştırır. Ele alınan durum için bu bağlaştıran işlemciler aşağıdaki gibi
tanımlanabilir:
0
L1 = C1 (iσ 1 + σ 2 ) − iC2 (1 − σ 3 ) = 2i
 C1
C
L2 = C1 (iσ 1 + σ 2 ) + iC 2 (1 + σ 3 ) = 2i 2
 C1
0 
,
− C2 
0
.
0 
(3.29)
(3.30)
Burada son eşitlikler yazılırken Pauli matrislerinin bilinen ifadeleri kullanılmıştır. Bu
işlemciler cinsinden q± süper yüklerinin matris temsili şöyledir:
q+ =
1  0

2  − L2
L1 
 = q− † .
0
(3.31)
q+ ’nın nilpotentliği kullanılarak
L1 *MC L2 = 0 = L2 *MC L1
(3.32)
bulunur. Burada L1 ve L2 ’ler MC çarpımına ( *MC ) göre sıfırın bölenleridir ve matris
değerli faz-uzayı fonksiyonlarının yıldız-çarpımı olarak ortaya çıkmaktadırlar.
(3.32)’deki ikinci eşitlik, (3.29) ve (3.30)’da görülen iσ 1 + σ 2 ve (1 ± σ 3 ) ’lerin matris
çarpımlarından gelmektedir. (3.32)’nin birinci eşitliğiyse (3.15) koşuluyla belirlenmektedir.
Öte yandan (3.20) ağağıdaki ikili bağlaşıklık ifadelerine işaret eder:
L2 *MC H1 = H 2 *MC L2 ,
(3.33)
L1 *MC H 2 = H1 *MC L1 .
(3.34)
36
Herhangi matris değerli D j fonksiyonları için ( D1 *MC D2 )† = D2† *MC D1† olduğu kolaylıkla
gösterilebilir. Bu sayede (3.33) ve (3.34)’ün Hermite-sel eşlenikleri, ya da eşdeğer olarak
[q− , H s ]MC = 0 eşitliği, aşağıdaki gibi ek bağlaşıklık ifalerinin yazılmasına olanak verir:
L†2 *MC H 2 = H1 *MC L†2 ,
(3.35)
L1† *MC H1 = H 2 *MC L1† .
(3.36)
(3.32)’nin bir sonucu olarak L1† ve L†2 ’ler de sıfırın bölenleridir.
(3.19) ve (3.31) yardımıyla eş Hamiltonianları, çarpanlarına ayrılmış terimlerin bir toplamı
olarak aşağıdaki gibi yazmak mümkündür:
H1 =
1
( L1 *MC L1† + L†2 *MC L2 ) ,
4
(3.37)
H2 =
1 †
( L1 *MC L1 + L2 *MC L†2 ).
4
(3.38)
Sıfırdan farklı 2 ×1 ’lik Ψ fonksiyonu, λ yıldız-özdeğerine karşılık gelen 2 × 2 ’lik matris
değerli T fonksiyonunun yıldız-özvektörü olarak gösterilsin:
T *MC Ψ = λΨ.
Bu ifadenin Hermite-sel eşleniği de açıkça
Ψ † *MC T † = λ Ψ †
olur; burada Ψ ’nin sıfırdan farklı olması ancak ve ancak Ψ † *MC Ψ ≠ 0 koşulu ile
belirlenir.
Böylece,
spektrumların
gerçelliği,
37
farklı
özdeğerlere
karşılık
gelen
özfonksiyonların dikliği gibi Hermite-sel işlemcilerin standart özellikleri faz-uzayı
bağlamında da geçerliliğini korumaktadır. Burada spinör terimi, genel kullanımda olduğu
gibi, 2 ×1 ’lik matris özfonksiyonlarını temsil etmekle birlikte, Clifford cebirinde daha
geniş bir anlama sahiptir. Bunlar göz önünde bulundurularak bağlaşıklık bağıntılarının
(Kuru et al. 2001) fiziksel sonuçlarının incelenmesine geri dönülebilir. Ele alınacak ilk
önemli sonuç, H1 ve H 2 ’nin eş-spektral olmaları, yani her ikisinin de neredeyse aynı
spektrumlara sahip olmalarıdır. Daha açık bir ifadeyle, λ özdeğerli H1 Hamiltonian’ının
öz-spinörü Ψ ile gösterilirse, L2 *MC Ψ ve L1† *MC Ψ ( Ψ , L1† ve L2 ’nin MC-çekirdeğinde
olmamak kaydıyla) aynı zamanda H 2 ’nin aynı özdeğere karşılık gelen öz-spinörleridir.
Denklem (3.34) ve (3.35), benzer ilişkinin H 2 ’nin öz-spinörleri için de geçerli olduğunu
söyler. Burada ayrıntılar bir sonraki kısıma bırakılarak, bağlaşıklık bağıntılarının bir diğer
sonucuna geçilecektir.
(3.33) ve (3.36) bağıntıları soldan L j (ya da L†j ) ile çarpılıp aynı işlem diğerleri için de
yapıldığında, elde edilen sonuçlarla karşılaştırılarak, H1 ve H 2 ile
[ R1 , H1 ]MC = 0 = [ S 2 , H1 ]MC ,
(3.39)
[ R2 , H 2 ]MC = 0 = [ S1 , H 2 ]MC
(3.40)
şeklinde sıra değişen matris değerli
R1 = L1 *MC L1† , S 2 = L†2 *MC L2 ,
(3.41)
R2 = L2 *MC L†2 , S1 = L1† *MC L1
(3.42)
fonksiyonları elde edilir. Ancak
4 H1 = R1 + S 2 ve
38
4 H 2 = R2 + S1
olduğundan, bu fonksiyonlar bağımsız değillerdir. Eğer açık bir zaman bağımlılığı yoksa,
her sistem, Hamiltonian ile birlikte, iki adet hareket sabitine sahiptir. Burada H1 için
hareket sabitlerinin açık hali
S 2 = 2 H1 (1 + σ 3 )
R1 = 2 H1 (1 − σ 3 )
şeklindedir. H1 köşegen olduğu için de S 2 ve R1 onun izdüşümleridirler.
3.6 Uygulamalar
Spin alçaltıcı ve yükseltici σ ± =
1
(σ 1 ± iσ 2 ) matrisleri cinsinden (3.28) ile verilen H 2 F
2
aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
H 2F =
i
B−σ 3 + 2 ( Aσ + + Aσ − ).
2
(3.43)
Burada
A = [W2 , C1 ]M , A = −[W2 , C1 ]M
(3.44)
ile verilir. Bu işlemciler, [ A , A ]M ’nin gerçel bir sabit olduğu durumda, bozonik alçaltıcı ve
yükseltici işlemcilerin faz-uzayındaki karşılıklarıdırlar. Kurulan yapıya daha aydınlatıcı
örnekler vermek için bu bölümde h = 1 kabullenimi yapılıp, (3.43)’ün ikinci terimi,
[ A , A ]M = 1 olduğu durumda, aşağıdaki gibi gösterilecektir:
H JC ( A ) = 2 ( Aσ + + A σ − ) .
39
(3.45)
3.6.1 Örnek Uygulama 1: Jaynes-Cummings tipi sistemler
W j ve P1 ’in aşağıdaki gibi özel bir seçimi pek çok fiziksel uygulamayı inceleme fırsatı da
vermektedir:
W1 = p2 ,
P1 = q2 ,
(3.46)
W2 = q1 p2 − q2 p1 .
Bu seçimle (3.17) ve (3.18) koşulları
[W1 , W2 ]M = ip1
[W2 , P1 ]M = −iq1
ifadelerine indirgenir ve böylece P2 ’nin en genel formu, (3.17) ve (3.18) denklemlerinden
yararlanılarak aşağıdaki gibi bulunur:
P2 = p1 p2 + q1q2 + K1 .
(3.47)
Burada K1 = K1 (q1 , p1 ) ’dir.
C1 = ( p2 + iq2 )/ 2 eşitliği ve (3.44) yardımıyla
A=−
1
(q1 + ip1 ) , [ A , A ]M = 1
2
(3.48)
olduğu kolayca gösterilebilir. A ve A başta da belirtildiği gibi, sırasıyla bozonik alçaltıcı
(yok edici) ve yükseltici (yaratıcı) faz-uzayı fonksiyonlarıdır.
40
Aşağıdaki gibi benzer bir bozonik çift daha tanımlanabilir:
B=−
1
(q2 + ip2 ) , [B , B ]M = 1.
2
(3.49)
Bu B ve B çifti bir önceki A ve A çiftiyle Moyal anlamında sıra değiştirir. W2 , q1q2 düzlemine dik açısal momentumu temsil eder ve P2 ile birlikte aşağıdaki gibi yeniden
yazılabilir:
W2 = −i ( A B − AB )
P2 = AB + A B + K1.
(3.50)
Faz-uzayı sayı fonksiyonları da aşağıdaki gibi tanımlanır:
1
2
1
NB = B ∗ B = B B − .
2
N A = A ∗ A = AA −
(3.51)
G = a ⋅ p + F1 (q ) için G ∗M G = G 2 eşitliği ve
F1 (q) ∗ F2 (q) = F1 (q ) F2 (q ) ,
G1 ( p ) ∗ G2 ( p ) = G1 ( p )G2 ( p)
ifadeleri kullanılarak
H 2F =
i
B−σ 3 + H JC ( A ) ,
2
B± = i[−1 ± 2( N B − N A + X 1 )] ,
H ∗ = H A + 2 N B ( N A + 1) + Y1
41
(3.52)
elde edilir. Burada H A = (2 N A + 1)/2 olup, X 1 ve Y1 açık olarak
i
X 1 = − [W2 , K1 ]M ,
2
(3.53)
1
1
Y1 = { AB + A B , K1}M + K1 ∗ K1
2
2
(3.54)
ile verilmektedir. H 2 Jaynes-Cummings (JC) tipi Hamiltonian’dır (Jaynes and Cummings
1963, Schleich 2001). Bu Hamiltonian, kuantumlanmış ve iki-kipli (iki-modlu) bir
elektromanyetik alanla etkileşen iki-düzeyli bir atomu tanımlar. Alanın yalnızca A -kipi
atomla etkileşir ve böylece düzeyler arasında geçiş sağlanır. H ∗ ifadesi içindeki H A , A kipinin enerjisidir; H int = H ∗ − H A ifadesiyse diğer kipin enerjisini ve bu kipler arasındaki
etkileşimi temsil etmektedir.
Süper-eş Hamiltonianlar artık aşağıdaki gibi yazılabilir:
H1 = ( H int + H A )1 + ( H A − N B )σ 3 ,
(3.55)
H 2 = ( H int + H A )1 + ( H B − N A )σ 3 + H JC ( A ).
(3.56)
Burada K1 = 0 alınmıştır. Bu durumda kipler arasındaki etkileşimler sayı fonksiyonlarıyla
sağlanmaktadır. X 1 ve Y1 ’in sıfır olmadığı bir K1 seçildiğinde, değişik kip etkileşimleri de
modellenebilir (Barnet and Radmore 1997). K1 ’in sıfırdan farklı bir sabit olarak seçildiği
ve X 1 ’in sıfır Y1 ’in K1 ( AB + A B ) + ( K12 /2) terimiyle ifade edildiği en basit durum, kipler
arasındaki koherent foton alış-verişini temsil eder. Bu durumda H1 herhangi bir JC-tipi
atom-alan etkileşim terimi içermez.
42
3.6.2 Özdeğerler, özspinörler ve Wigner fonksiyonları
H1 , üç adet MC-sıra değişen matris değerli faz-uzayı fonksiyonunun {N A 1, N B 1, σ 3} tam
kümesine cebirsel olarak bağımlı ve köşegendir. ( z | K) = (q, p | K) kısaltması kullanılarak
H1 ’in özspinörleri aşağıdaki gibi gösterilebilir:
( z | j , n A , nB ) =| j ⟩ ⊗ ( z | n A , nB ).
(3.57)
Burada nA , nB = 0, 1, 2,K , kip-kuantumlarının sayılarını göstermekte ve j (= 1, 2) ile de
σ − | 1⟩ = 0 = σ + | 2⟩,
σ − | 2⟩ =| 1⟩,
σ + | 1⟩ =| 2⟩
bağıntısını sağlayan bir spin-1/2 sisteminin spin-yukarı ve spin-aşağı durumlarını gösteren
| j ⟩ ’ler gibi yalın (bare) atomun durumları ifade edilmektedir.
(3.57)’deki ( z | n A , nB ) gerçel-değerli faz-uzayı fonksiyonları, iki-kipli alan için köşegen
Wigner fonksiyonlarını (Curtright et al. 1998, Curtright et al. 2001) temsil etmektedir:
( z | nA , nB ) =
n
n
1
n
n
A A ∗M B B ∗M ( z | 0, 0) ∗M A A ∗M B B .
n A !nB !
(3.58)
Burada ⟨ z | 0,0⟩ fonksiyonu
A ∗M ⟨ z | 0, 0⟩ = 0 = B ∗M ⟨ z | 0, 0⟩
ile tanımlanan vakum Wigner fonksiyonunu göstermektedir. Bu denklemlerin 1’e
43
boylandırılmış, yani tüm faz-uzayında alınan integrallerinin 1’e eşitlenmiş çözümleri
2
1
2
1
2
1
2
1)
π −2e − ( p + p +q +q
sonucunu verir. Daha yüksek düzeyden Wigner fonksiyonlarının açık fonksiyonel formları
Ln (4 AA ) Ln (4BB )⟨ z | 0,0⟩
A
B
ile orantılıdır (Demircioğlu ve Verçin 2003). Burada Lk , harmonik salınıcı için Wigner
fonksiyonlarının çarpımları olan Laguerre polinomlarıdır (Bartlett and Moyal 1949). Sayı
fonksiyonu ve alçaltıcı, yükseltici fonksiyonların Wigner fonksiyonu ile yıldız-çarpım
altında işleme sokulmasından yararlanılarak aşağıdaki bağıntılar elde edilir:
N A ∗M ( z | n A , nB ) = nA ( z | nA , nB ) ,
A ∗M ( z | n A , nB ) = n A ( z | n A − 1, nB ) ,
(3.59)
A ∗M ( z | n A , nB ) = n A + 1 ( z | n A + 1, nB ).
Benzer bağıntılar N B , B ve B için de geçerlidir. Bu bağıntılar yardımıyla H1 ’in
özdeğerleri kolayca aşağıdaki gibi bulunabilir:
λ1nA nB = nB (2nA + 3)
λ2 nA nB = (nB + 1)(2n A + 1) .
(3.60)
n A = 0 = nB için atomun yalın enerji düzeyleri λ100 = 0 ve λ200 = 1 ’dir. Bu durumda H1
basitçe (1 + σ 3 )/2 ’dir. λ1n
A0
= 0 düzeyi sonsuz dejenereyken, diğer tüm düzeyler sonlu
dejeneredir. nA ≥ nB durumu λ2 n
A nB
’nin tüm sistemin en üst düzeyi olduğunu söyler.
44
Bu örnek için C2 = i 2B A , C1 = −iB eşitlikleri ve
2σ +σ − = 1 + σ 3
(3.61)
2σ −σ + = 1 − σ 3
özellikleri yardımıyla (3.29) ve (3.30) ile verilen matris-değerli bağlaştıran fonksiyonlar
aşağıdaki gibi yeniden düzenlenebilir:
L1 = 2B σ − (1 + 2 Aσ + ) ,
(3.62)
L1† = 2B (1 + 2 A σ − )σ + .
L2 = 2B (1 − 2 Aσ + )σ − ,
(3.63)
L†2 = 2Bσ + (1 − 2 A σ − ) .
σ ± ’nin yalın durumlar üzerine etkisinden aşağıdaki eşitlik kolayca doğrulanabilir:
L2 ∗MC ( z | 1, n A , nB ) = 0 = L†1 ∗MC ( z | 2, n A , nB ).
Ancak aşağıdaki ifadeleri elde ederken daha dikkatli olmak gereklidir:
L1† ∗MC ( z | 1, n A , nB ) = 2 nB Φ n
A nB
( z) ,
L2 ∗ MC ( z | 2, n A , nB ) = 2 nB + 1 Ψn
Burada Φ n
A nB
ve Ψn
Φn
Ψn
A nB
A nB
( z ).
’ler aşağıdaki gibi tanımlıdır:
A nB
( z ) = 2nB + 2 ( z | 1, n A + 1, nB − 1) + ( z | 2, n A , nB − 1) ,
(3.64)
A nB
( z ) = ( z | 1, n A , nB + 1) − 2nA ( z | 2, n A − 1, nB + 1).
(3.65)
45
Bu ifadeler aslında (3.60) ile verilen özdeğerlere sahip olan H 2 ’nin (1’e boylandırılmamış)
özspinörleridir:
H 2 ∗MC Φ n
A nB
( z ) = λ1n
H 2 ∗ MC Ψn
A nB
( z ) = λ2 n
A nB
Φn
A nB
A nB
Ψn
A nB
( z) ,
(3.66)
( z ).
(3.67)
(3.66) ve (3.67) denklemleri, H1 ve H 2 ’nin eş-spektral özelliklerini gösterir.
Son olarak (3.62) ve (3.63) denklemleri yardımıyla hareket sabitleri aşağıdaki gibi
hesaplanabilir:
R1 = 8 N B ( H A + 1)σ −σ + ,
(3.68)
S1 = 4( N B + 1)[σ +σ − + 2 N Bσ −σ + + H JC ( A )] .
(3.69)
3.6.3 Örnek Uygulama 2: Rezonant olmayan JC-tipi etkileşimler
W1 = p1 , P1 = −q1 ve W2 de (3.46) denklemindeki gibi seçilirse (3.17) ve (3.18) koşulları
sağlanarak aşağıdaki eşitliğe ulaşılır:
P2 = p1 p 2 + q1q2 + K 2 .
Burada K 2 = K 2 (q2 , p2 ) ’dir. Dolayısıyla
C1 = ( p1 − iq1 )/ 2
[W2 , C1 ]M = −(q2 − ip2 )/ 2 = B
elde edilir.
46
Sonuç olarak aşağıdaki ifadeler hesaplanabilir:
H 2F =
i
B−σ 3 + H JC (B ) ,
2
H JC (B ) = 2 (B σ + + Bσ − ) ,
B± = i[1 ± 2( N B − N A + X 2 )] ,
H ∗ = H B + 2 N A ( N B + 1) + Y2 .
W2 ve P2 ’nin ilk terimi hâlâ denklem (3.50) ile verilir. Denklem (3.53) ve (3.54)’te
tanımlanan X 2 ve Y2 ’de ise K1 ifadesi K 2 ile değişmiştir. K 2 = 0 için Hamiltonianlar ve
karşılık gelen özdeğerler aşağıdaki gibidir:
H1 = ( H int + H B )1 − ( H B − N A )σ 3 ,
H 2 = ( H int + H A )1 − ( H A − N B )σ 3 + H JC (B ),
λ1nA nB = (n A + 1)(2nB + 1), λ2 nA nB = nB (2nB + 1).
Bu ifadeler (1, nA , nB ) ↔ (2, nB , nA ) değiş-tokuşuyla (3.60) ifadesine ilişkilendirilirler.
JC-tipi Hamiltonianlar asıl olarak atomun elektrik dipol momentiyle kuantumlu ışığın
etkileşiminden kaynaklanır; bu etkileşim Hamiltonianlarında, genellikle, H JC ( A ) ve
H JC ( A ) bir arada bulunur. Ancak özellikle kuantumlu tek-kip ışık durumunda H JC ( A ) ile
tanımlanan rezonant süreçler, H JC ( A ) ile tanımlanan rezonant olmayan süreçlerden daha
etkilidir. H JC ( A ) ’nın ihmal edildiği durumlar da dönen dalga yaklaşımı (rotating wave
approximation) olarak bilinir. Öte yandan çok-kipli etkileşmelerde her iki terim de önemli
fiziksel sonuçlara sahiptir.
47
4. MOYAL-CLIFFORD CEBİRİ İLE FAZ-UZAYINDA EŞ-SPEKTRAL MATRİS
HAMİLTONIAN AİLELERİ
3. Bölüm’de, dört-boyutlu faz-uzayında süpersimetrik kuantum mekaniğinin formüle
edilmesine ilişkin yöntemler geliştirilmişti. Bu yöntemin en önemli sonuçlarından birisi de
C 4 ( )’nin uygun matris temsilleri yardımıyla elde edilen iki eş-spektral Matris
Hamiltonian’dır. Bu bölümde, beş farklı eş-spektral matris Hamiltonian ailesi bir önceki
bölümde kurulan yapı içerisinde ele alınacaktır. Her aile kısmen kısıtlanmış faz-uzayı
fonksiyonları içermekte olduğundan pek çok eş-spektral sistem çiftlerini içerebilmektedir.
Süpermembran teoriden yarı-iletken fiziğine değin, fiziğin değişik alanlarındaki güncel
araştırma konularından seçilen pek çok model Hamiltonian, özel örnekler olarak bu
yöntemle birbirlerinin süper-eşleriyle birlikte tanımlanabilmektedir.
4.1 İlk İki Süper Eş Hamiltonian Ailesi
Faz-uzayı fonksiyonlarının uygun seçimiyle (3.17) ve (3.18) koşullarının getirdiği
kısıtlamaları yok etmenin iki basit yolu vardır. Burada ele alınacak bu türden seçimler,
üzerinde hiçbir kıstılamanın olmadığı farklı Hamiltonian ailelerinin elde edilmesini
sağlayacaktır.
4.1.1 İki-boyutlu Pauli Hamiltonianları
(3.17) ve (3.18) koşullarını sağlamanın basit bir yolu C1 = 0 seçimidir. Bu seçim
P1 = 0 = W1
olduğunu söyler. C2 = 0 seçimi aşikâr durumu verirken C1 = 0 seçimi daha ilginç
sistemlere karşılık gelmektedir.
48
W2 ve P2 seçimleri aşağıdaki gibi yapılsın:
1
e
( p1 − A1 ) ,
c
M
1
e
P2 =
( p2 − A2 ).
c
M
W2 =
(4.1)
Burada A j 'ler yalnızca genelleştirilmiş koordinatlara bağımlıdır. A j ’nin bir vektör
potansiyelinin bileşenleri olduğu düşünüşünülürse
[W2 , P2 ]M = i
eh
B (q )
Mc
(4.2)
elde edilir. Burada
B(q ) = ∂ q A2 − ∂ q A1
1
2
ile verilen B(q ) terimi, q1q2 -düzlemine dik, homojen olmayan manyetik alanı ifade
etmektedir. Buna göre bozonik Hamiltonian
H∗ =
1
e
(p − A)2
2M
c
(4.3)
ve γ = eh/2 Mc cinsinden H1 ve H 2 de aşağıdaki gibi elde edilir:
H1 = H ∗ 1 − γB(q)σ 3 ,
H 2 = H ∗ 1 + γB(q)σ 3 .
49
(4.4)
Bu
ifadeler,
başlarındaki
− µ ⋅ B = −γBσ 3
Zeeman
teriminin
işaret
farklılığıyla
birbirlerinden ayrılan 2-boyutlu Pauli Hamiltonianlarını temsil etmektedirler. Bu
Hamiltonianlar, e → −e yük eşleniğiyle değil, B → − B yansımasıyla ilişkilidirler.
Kuantum mekaniğinin standart formülasyonundan H1 ve H 2 ’nin süpersimetrik eş
Hamiltonianlar oldukları bilinmektedir (Junker 1996, Gendensthěn and Krive 1985, Cooper
et al. 1995). Burada yapılan, bu gerçeği faz-uzayı formülasyonuyla da doğrulamak ve bu
Hamiltonianların
birbirlerinin
süpersimetrik
eşleri
olduklarını
bu
formülasyonda
ispatlamaktır.
Ele alınan bu durumda, bağlaştıran fonksiyonlar ve H j ’nin çarpanlarına ayrılmış formları
aşağıdaki gibidir:
 0 0
 ,
L1 = −iC2 (1 − σ 3 ) = −2iC2 
0 1
 1 0
 ,
L2 = iC2 (1 + σ 3 ) = 2iC2 
 0 0
 C ∗ C2
H 1 =  2
 0
0 
 = {Q1 , Q1† }MC ,
C 2 ∗ C 2 
 C ∗ C2
H 2 =  2
 0
0 
 = {Q2 , Q2† }MC .
C2 ∗ C2 
(4.5)
Kompleks süper yükler de aşağıdaki gibi tanımlıdır:
Q1 = 2C2 (σ 1 + iσ 2 ) , Q2 = 2C2 (σ 1 + iσ 2 ) .
50
(4.6)
4.1.2 Kısıtlanmamış Hamiltonianlar ailesi
Ele alınacak ilk örnekte, k sıfırdan farklı kompleks bir sayı olmak üzere, C2 = kC1 seçimi
yapılarak (3.17) ve (3.18) koşulları basit bir yolla kaldırılabilir. k = 0 durumu, H1 ve
H 2 ’nin H ∗ + i[W1 , P1 ]M σ 3 (1/2) ’ye eşit olduğu aşikâr çözümü ifade eder. Bu eşitlik için de
W2 ve P2 ’den birinin sıfır alınması yeterli olmaktadır. Daha ilginç bir sistem elde etmek
amacıyla, k ’yı sıfırdan farklı alıp, iki özel durum incelenecektir. İlk durum için k sıfırdan
farklı gerçel bir sabit olarak seçilecektir. Bu durumda koşullar
W2 = kW1
ve
P2 = kP1
eşitliğine indirgenmekte ve böylece Hamiltonianlar için
H∗ =
1+ k 2
( P1 ∗ P1 + W1 ∗W1 ) ,
2
H1 = H ∗ 1 + i
1+ k2
[W1 , P1 ]M σ 3 ,
2
(4.7)
1− k 2
H 2 = H ∗ + i[W1 , P1 ]M (
σ 3 − kσ 1 )
2
ifadeleri yazılabilmektedir. İkinci durum için de, l sıfırdan farklı gerçel bir sabit olmak
üzere, k = il seçimi yapılırsa koşullar
W2 = −lP1 ve P2 = lW1
ile ifade edilmekte ve sonuçta elde edilen Hamiltonianlar da, k yerine l ve H 2 ’nin üçüncü
terimindeki kσ 1 yerine de − lσ 2 yazılmasıyla (4.7) denklemiyle aynı biçimde elde
edilmektedir.
51
k = 1 seçimi için bağlaştıran fonksiyonlar
0 0 
 ,
L1 = 2iC1 
 1 − 1
1 0 

L2 = 2iC1 
1 0 
ve Hamiltonianlar da
C ∗C
0 
,
H1 = 2 1 1

0
C
∗
C

1
1
 {C , C }
H 2 =  1 1 M
 [C1 , C1 ]M
(4.8)
[C1 , C1 ]M 

{C1 , C1}M 
şeklindedir. Burada H1 kendi başına bir süpersimetrik Hamiltonian’dır ve kompleks
süperyük Q1 = 2C1 (σ 1 + iσ 2 ) cinsinden aşağıdaki eşitlikler yazılabilir:
H1 = {Q1 , Q1†}MC ,
[ H1 , Q1 ]MC = 0 = Q1 *MC Q1 .
(4.9)
H 2 için hareket sabiti de, R2 = L2 *MC L†2 eşitliği yardımıyla, aşağıdaki gibi bulunur:
1 1
R2 = 4C1 * C1 
 .
1 1
Sonuç olarak bu aile, W1 ve P1 gibi iki gerçel değerli fonksiyon ve sıfırdan farklı kompleks
bir sayı ile karakterize edilen süper-eş Hamiltonianlar içermektedir.
52
4.1.3 Faz-uzayında spin-yörünge etkileşimleri ve Aharonov-Casher (AC) tipi sistemler
AC olayı (Aharonov and Casher 1984), çok daha iyi bilinen Aharonov-Bohm (AB) olayının
(Peshkin and Tonomura 1989, Hagen 1990) elektromanyetik duali olarak tanımlanabilir. Bu
olay, hareket düzlemine (burada q1q2 -düzlemi alınmıştır) dik manyetik momente (µ = µσ )
sahip yüksüz parçacıkların, aynı düzleme dik olan içine girilemez (impenetrable) bir çizgi
yükün yarattığı statik E = ( E1 , E2 ) elektrik alanının etkisindeki hareketini betimlemektedir
(Goldhaber 1989). Bu olay göreli olarak Dirac denklemiyle ifade edilse de, çoğunlukla
göreli olmayan limitte ele alınmaktadır. Burada ele alınacak durumda, yüksüz ( ∇ ⋅ E = 0 )
bölgedeki hareket için AC Hamiltonian işlemcisi Ĥ AC aşağıdaki gibi birbirine eşdeğer üç
şekilde yazılabilmektedir:
2MHˆ AC = Qˆ Qˆ † ,
= (pˆ − E × µ) 2 − µ 2 E 2 ,
(4.10)
= (pˆ 2 + µ 2 E 2 )1 + µ[ih (∇ × E) 3 +
2E ˆ
J 3 ]σ 3 .
r
Burada
Qˆ = σ ⋅ (pˆ − iµE)
ile verilir. Bu ifadelerin hepsi standart Schrödinger formülasyonunda geçerlidir ve
p̂ = −ih∇ bilinen momentum işlemcisini temsil etmektedir.
Merkezsel statik V potansiyelleri için
∇ × E = 0 ve E = −
53
1 dV
r
r dr
ifadeleri yazılabilir. Burada r = (q1 , q2 ) ve r = ( q 21 + q22 )1 / 2 ’dir. Bunlardan ve (4.10)’dan
yararlanarak,
1
µ dV
Hˆ AC =
(pˆ 2 + µ 2 E 2 )1 −
(r × pˆ ) 3σ 3
2M
Mr dr
şeklinde son teriminde spin-yörünge etkileşiminin genel formunu içeren AC-Hamiltonian
elde edilir.
J 3 = q1 p2 − q2 p1 ve r’nin iki keyfi f ve g fonksiyonu için W1 ve P1 aşağıdaki gibi seçilsin:
W1 = g (r )r ⋅ p = g (r ) ∗ (r ⋅ p) −
ih
rg ′(r ),
2
P1 = f (r ) J 3 = f (r ) ∗ J 3 .
(4.11)
(4.12)
J 3 yıldız-çarpıma göre, q1q2-düzlemindeki dönmeleri üreten açısal momentum bileşenidir.
f, g, r ⋅ p ve W1 bu türden dönmeler altında skaler kaldıklarından J 3 ile Moyal anlamında
sıra değiştirirler. Ancak
[r ⋅ p, f (r )]M = −ihrf ′(r )
(4.13)
[W1 , P1 ]M = −ihrg ( r ) f ′( r ) J 3
(4.14)
eşitliği
olduğunu ifade eder.
54
Moyal yıldız-çarpımı yardımıyla aşağıdaki eşitlikler de açıkça hesaplanabilir:
( r ⋅ p ) ∗ ( r ⋅ p) = ( r ⋅ p) 2 +
J 3 ∗ J 3 = J 32 −
h2
,
2
h2
,
2
P1 ∗ P1 = f 2 ( J 32 −
(4.15)
h2
).
2
Öte yandan W1’in yıldız karesini almak bunlar kadar kolay değildir. Öncelikle (4.11) ve
(4.13) yardımıyla aşağıdaki eşitliğe ulaşılır:
W1 ∗ W1 = g 2 ∗ (r ⋅ p) ∗ (r ⋅ p) − 2ih (rgg ′) ∗ (r ⋅ p) −
h2
r
r ( gg ′ + rgg ′′ + g ′2 ).
2
2
(4.16)
Yıldız-çarpımın açılımındaki h 2 terimlerine gitmeyi gerektirecek daha uzun hesaplar
yardımıyla
g ∗ (r ⋅ p) = g (r ⋅ p) + 2ihrgg ′(r ⋅ p) −
2
2
2
2
(rgg ′) ∗ (r ⋅ p) = rgg ′(r ⋅ p) +
h2 2 2
r ( g )′′,
4
ih
r ( gg ′ + rgg ′′ + rg ′2 )
2
elde edilir. Bu ifadeler (4.16)’da yerine konulursa, (4.15) eşitlikleri yardımıyla W1’in yıldız
karesi aşağıdaki gibi hesaplanır:
h2 h2
r
W1 ∗ W1 = g (r ⋅ p) + g
+ rg ′( g + g ′).
2
2
2
2
2
2
f2=g2 alınır ve (4.15)’ in üçüncü bağıntısıyla birlikte düşünülürse, denklem (4.7)’den
55
(4.17)
H* =
1+ k2
h2
r
[( grp) 2 + rg ′( g + g ′)]
2
2
2
(4.18)
elde edilir. Bu ifadenin elde edilmesinde ayrıca şağıdaki eşitlikten de yararlanılmıştır:
J 32 + (r ⋅ p) 2 = r 2 p 2 .
(4.19)
(4.14) ve (4.18) denklemlerinde ( ε = ±1 olmak üzere)
g=
a
r
f =ε
a
,
r
(4.20)
1
= a 2 (1 + k 2 )
M
alınırsa
H∗ =
1
h2
( p2 − 2 ) ,
2M
4r
H1F = −ε
h
J 3σ 3 ,
2 Mr 2
H 2 F = −ε
h
1− k 2
2k
J
(
σ3 −
σ1)
3
2
2
2 Mr
1+ k
1+ k 2
(4.21)
sonucu elde edilir. (4.10) ve spin-yörünge etkileşmelerinin bilinen biçimi yardımıyla H1 ’in,
E = −ε (h/2 µr 2 )r elektrik alanı ve − h 2 /(4r 2 ) indüklenmiş elektrik dipol enerjiye sahip ACtipi Hamiltonian olduğu görülebilir. Buradaki eksi işareti elektrik dipol momentinin E ile
aynı yönde olduğunu söyler. Böylece spin-yörünge etkileşmelerinin faz-uzayında da ifade
edilmeleri başarılmış olmaktadır.
56
4.2 Üçüncü Hamiltonianlar Ailesi
P1 , P2 ve W j ( x, y ) seçimi
px
,
M
p
P2 = x ,
M
W j = W j ( x, y ), j = 1,2,
P1 =
şeklinde yapılsın. Bu durumda (3.17) koşulu özdeş olarak sağlanırken, (3.18) koşulu
aşağıdaki eşitliği verecektir:
∂ yW1 = ∂ xW2 .
(4.22)
Bu seçime göre hesap yapılırsa
H∗ =
V=
1 2
p +V,
2M
1 2
(W1 + W22 )
2
olmak üzere
B± = i
h
(∂ xW1 ± ∂ yW2 ) ,
M
H1 = H ∗ 1 −
h
(∂ xW1 + ∂ yW2 )σ 3 ,
2 M
H 2 = H∗1 −
h
h
(∂ xW1 − ∂ yW2 )σ 3 +
(∂ xW2 )σ 1
2 M
M
elde edilir.
57
(4.23)
a, b ve c gerçel sabitler olmak üzere, g = x 2 − 4ax + b ve f = ay + c cinsinden W1 ve
W2’nin
W1 =
1 2
1
y + g ( x) , W2 = xy + f ( y )
4
2
şeklindeki seçimleri (4.22) eşitliğini sağlar ve üstteki Hamiltonianların fermiyonik kısımları
aşağıdaki hale indirgenir:
h
aσ 3 ,
M
h
=
( xσ 3 + yσ 1 ) .
2 M
H1 F = −
H 2F
(4.24)
b = 0 = c için
V =
11 4
1

r + a 2 r 2 + ax(3 y 2 − x 2 )

2 16
2

(4.25)
ifadesine ve sonra da a = 0 için dörtlü (quartic) salınıcının potansiyel enerjisine indirgenir.
Bu durumda H1 de saf bozonik hale gelir.
4.2.1 Süpermembran örnek model
Denklem (4.24) ile verilen H 2 F , 2 M = h için
Hˆ tm = ( p 2 + x 2 y 2 )1 + xσ 3 + yσ 1
(4.26)
ifadesinin fermiyonik kısmıyla aynıdır. Ancak H 2 ve Ĥ tm ’nin potansiyel enerji
fonksiyonları farklıdır. Ĥ tm ile tanımlanan model süpersimetrik matris modellerinin belirli
58
bir sınıfı için örnek bir model olarak ortaya çıkmaktadır. Bu model, süpersimetrik YangMills kuramlarının indirgenmeleri ile süpermembran ve M-kuramı (Graf et al. 2002,
Lundholm 2008) bağlamında yoğun olarak tartışılmıştır.
Qˆ = pˆ xσ 3 − pˆ yσ 1 − xyσ 2
süperyükü ve 2×1 ’lik kolon spinörü Ψ ( x, y ) 'ye etkiyen P̂ izdüşüm işlemcisinin
( Pˆ Ψ )( x, y ) =
ifadesiyle
{Hˆ tm , Qˆ , Pˆ }
sistemi,
1
(σ 1 + σ 3 )Ψ ( y, x )
2
kuantum
mekaniğinin
standart
Schrödinger
formülasyonunda aşağıdaki gibi bir süpersimetri yapısı sergiler:
Hˆ tm = Qˆ 2 , Pˆ 2 = 1,
{Qˆ , Pˆ } = 0.
Buradaki çarpımlar bilenen işlemci çarpımları, {, } gösterimi de bu çarpıma karşılık gelen
anti-parantezdir.
Bu modelin süpersimetri yapısı, bu tezde ele alınan faz-uzayı formülasyonu bağlamında
korunur. Daha sonra süperyük işlemcisinde σ 2 ’nin xy katsayı fonksiyonunun g ( x, y ) ile
değiştirilmesiyle elde edilen
Q = p xσ 3 − p yσ 1 − gσ 2
eşitliği Ĥ tm ’nin V = g 2 ile genelleştirilmesini sağlar ve g = xy için (4.26) ile verilen
Ĥ tm ’nin fermiyonik kısmına indirgenen
i([ p y , g ]M σ 3 + [ p x , g ]M σ 1 ) = h (∂ y g )σ 3 + h(∂ x g )σ 1
59
ifadesine ulaşılır. g = r 2 /4 için de ikinci eş Hamiltonian olan H 2 ’nin süpersimetrik
yapısını vurgulayan
2 H 2 = Q ∗MC Q,
P 2 = 1,
(4.27)
{Q, P}MC = 0
eşitliği yazılabilir. (4.24) ve (4.25) denkleminde a = 0 alınırsa
2 H1 = [ p x2 + p y2 + (r/2) 4 ]1
saf bozonik olur ve bu da dörtlü salınıcının Hamiltonianına karşılık gelir.
4.2.2 İki-boyutlu merkezsel olmayan alanlarda hareket
Yeni bir süper eş Hamiltonian ailesi için W1 ve W2 seçimleri aşağıdaki gibi alınsın:
W1 = −
µD2
M
µD1
W2 =
.
M
,
Böylece (4.22) koşulu ∇ ⋅ D = 0 verir ve (4.23)’ten
H1 = H ∗1 +
H∗ =
µh
2M
(∇ × D)3σ 3 ,
1
( p 2 + µ 2D2 )
2M
(4.28)
(4.29)
elde edilir. Eğer D iki-boyutlu merkezsel olmayan bir elektrik ya da manyetik alanla
60
özdeşleştirilirse, o zaman H1 böyle bir alandaki yüksüz ve kutuplu (polarized) manyetik µ
momentinin hareketini tarif eder. Bu durumda µ 2 D 2 terimi indüklenen momentin
enerjisine karşılık gelirken, ∇ ⋅ D = 0 , AC-etkisinde olduğu gibi, D → E özdeşleştirmesi
için hareketin yüksüz bölgede olduğunu ifade eder. D merkezsel olmayan bir B manyetik
alanı ile özdeşleştirilirse, ∇ ⋅ D = 0
koşulu iyi bilinen Maxwell denklemlerinden
dördüncüsüne karşılık gelir.
(4.23)’ten H1’in süper eşi aşağıdaki gibi hesaplanır:
H 2 = H∗ +
µh
2M
[(∂ x D2 + ∂ y D1 )σ 3 + 2∂ x D1σ 1 ] .
(4.30)
Buradan da beklendiği gibi,
1
xy + ay
2
1
D2 = ( x 2 − y 2 ) − ax
4
D1 =
için H2’nin fermiyonik kısmı bir sabit çarpımına kadar (4.26)’nın fermiyonik kısmıyla aynı
kalacaktır. Bu gözlem, kimi süpermembran örnek model türlerinin, yüksüz ve kutuplu bir
manyetik momentin iki-boyutlu merkezsel olmayan elektromanyetik alandaki hareketi gibi
bir fiziksel sistemin süper-eşleri olarak düşünülmesini olası kılar.
4.3 Analitik Fonksiyonlarla Eş-Spektral Hamiltonianlar
Dördüncü aile için seçimler aşağıdaki gibidir:
W1 = p x , P1 = p y , W2 = u ( x, y ) , P2 = v ( x, y ).
61
(4.31)
Bu seçimle (3.17) ve (3.18) koşulları
∂ x u = ∂ y v , ∂ y u = −∂ x v
(4.32)
eşitliklerini sağlar. Bu ifadeler de aslında C2 = (u + iv)/ 2 gibi bir fonksiyonun analitik
olması için iyi bilinen Cauchy-Riemann koşullarıdır.
Özel olarak u ve v ’ler x, y kartezyen koordinatlarının harmonik fonksiyonudurlar ve ikiboyutlu ∇2 Laplace işlemcisinin çekirdeğinde yer alırlar:
∇2u = 0 = ∇ 2 v .
Ele alınan bu durumda artık B± = 0 olur ve
1

H1 = H ∗ 1 =  p 2 + V ( x, y ) 1,
2

H 2 = H ∗ 1 + h[(∂ y u )σ 1 − (∂ xu )σ 2 ],
V=
(4.33)
1
1
| C 2 |2 = (u 2 + v 2 )
2
4
eşitlikleri elde edilir.
Sonuç olarak H1 saf bozoniktir ve H 2 ’nin fermiyonik kısmı aşağıdaki gibi yazılabilir:
H 2 F = h(σ × ∇u ) 3 = hσ ⋅ ∇v .
Bu aile şöyle karakterize edilebilir: Potansiyeli bir analitik fonksiyonun mutlak değer karesi
olan saf bozonik bir Hamiltonian, ancak hσ ⋅ ∇v ’deki gibi bir bozonik kısımla etkileşen iki
62
fermiyonik serbestlik derecesi ona eklendiği zaman süper-eş Hamiltonian haline gelir.
Yukarıdaki terim de homojen olmayan manyetik alana karşılık gelen Zeeman tipi bir
etkileşimi ifade eder.
Bu sisteme pek çok fiziksel örnek verilebilmekteyse de, burada biri kartezyen
koordinatlarda, diğeriyse (r ,θ ) kutupsal koordinatlarında olmak üzere iki örnekle
yetinilecektir.
Kartezyen koordinat örneği için, a, b, c, k , l ve m gerçel sabitler olmak üzere,
u = a ( x 2 − y 2 ) + bxy + cx + ky + l ,
1
v = − b( x 2 − y 2 ) + 2axy − kx + cy + m
2
seçilsin. l = 0 = m alınıp, kalan sabitlerden de yalnızca ikisi sıfırdan farklı tutulduğunda

1 2 b2 4
(a + )r

4
1 2

2 2
V =  [b r + 4k (k + bx )]r 2
8
1 2

(c + k 2 ) r 2

2
(4.34)
elde edilir. Buradaki ilk terim 2-boyutlu dörtlü salınıcıya, sonuncu 2-boyutlu isotropic
salınıcıya ve ikinci de bunlar arasındaki ayrıştırılamayan (nonseparable) bir potansiyele
karşılık gelir.
Kutupsal koordinatlarda ele alınacak ikinci durum için
u = ar k +1 sin (k + 1)θ , v = −ar k +1 cos(k + 1)θ
63
alınsın. Bu durum potonsiyel V = a 2 r 2 k + 2 /2 olarak belirlenir ve böylece
H 2 = H1 + ha (k + 1) r k [cos(kθ )σ 1 − sin (kθ )σ 2 ]
(4.35)
elde edilir.
(4.31) denkleminde W2 ve P2 , değişmez kalıp W1 ve P1
W1 =
1
e
( p x − Ax ),
c
M
P1 =
1
e
( p y − Ay )
c
M
ile değiştirilidiğinde, (4.32) koşulları aynı kalır, ancak bu durumda B+ ve B− birbirlerine
aşağıdaki gibi eşit hale gelirler:
B+ = B− = i
eh
B(q ) .
Mc
Dolayısıyla H1 Pauli tipi Hamiltonianlara dönüşür.
4.4 Rashba ve Dresselhaus Tipi Hamiltonianlar Ailesi
İki-boyutlu durum uzayına sahip bir spin-1/2 sistemin kullanışlı bir benzeri, Pauli
matrislerinin de önemli rol oynadığı iki-durumlu atom ya da herhangi bir iki-durumlu
sistemdir (Schleich 2001).
Yeni eş-spektral sistemler inşa etmek için, H2F aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
H 2F =
i
B−σ 3 + 2 ( Aσ + + A σ − ) .
2
64
(4.36)
Burada
A = [W2 , C1 ]M , A = −[W2 , C1 ]M
(4.37)
şeklinde tanımlıdır. Bir önceki bölümden de bilindiği üzere, bu işlemciler, [ A , A ]M
sıfırdan farklı gerçel bir sabit olmak üzere, bozonik yükseltici ve alçaltıcı işlemcilerin fazuzayı bezerleridir. Şimdiye değin ele alınan aileler düşünüldüğünde, σ ± ’li terimlerin
katsayı fonksiyonları yalnızca qj’lere bağımlıydılar ve açıkça Moyal yıldız-çarpımına göre
sıra değiştiriyorlardı.
Beşinci aile için,
A ’nın (dolayısıyla A ’ın) momentumun bir fonksiyonu olduğu
düşünülecektir. Bu durumda A ve A Moyal yıldız-çarpımına göre sıra değiştirmelerine
karşın, bir öncekilerden farklı, yeni ve geniş bir aile ortaya çıkmaktadır. Bunun için
(4.36)’nın son iki teriminin
H R = α [( p y + ip x )σ + + ( p y − ip x )σ − ] = α (σ × p )3 ,
(4.38)
H DR = β [( p x + ip y )σ + + ( p x − ip y )σ − ]
(4.39)
haline geldiği iki özel durum ele alınacaktır. Burada α , β , p = ( p x2 + p 2y )1/2 ’nin gerçel
fonksiyonları ve
2Α = α ( p y + ip x ) ,
2Α = β ( p y + ip x ) ’dir. α ve β ’nın sabit olduğu
durum, yarı-iletken spintroniği ve spin Hall etkisi (Engel et al. 2007, Basu and
Bandyopadhyay 2008) gibi son yılların gözde araştırma alanlarından iyi bilinen Rashba
(Bycklov and Rashba 1984) ve Dresselhaus (Dresselhaus 1955) Hamiltonianlarına karşılık
gelir. Bu Hamiltonianlar özellikle yarı-iletkenlerdeki elektrik alanları ile elektronun
spininin farklı spin-yörünge etkileşimi mekanizmalarından ortaya çıkar ve spin dinamiğinin
(Rashba 2004, Crooker and Smith 2005, Hatano et al. 2007) elektriksel olarak
algılanmasının yanında, spinin elektriksel olarak izlenmesi çalışmalarında da önemli rol
oynarlar. Bu Hamiltonianların bir diğer önemli özelliği de, bunların Yang-Mills tipi bir
65
abelian olmayan ayar kuramı bağlamında yorumlanabilmeleridir. Kinetik enerjinin
varlığında, Rashba Hamiltonianı, birim matrisin sabit bir çarpanı dışında, aşağıdaki gibi
yazılabilir (Hatano et al. 2007, Basu and Bandyopadhyay 2008):
p2
1
1
1
~
+ HR =
HR =
[( p x + θ hσ 2 ) 2 + ( p y − θ hσ 1 ) 2 ].
2M
2M
2
2
Bu durumda θ = 2 Mα/h terimi yük olarak, h (σ 2 , σ 1 )/2 terimi de karşılık gelen abelian
olmayan ayar potansiyeli olarak ele alınabilir.
α = β durumunda H R ve H DR , ( p x , p y ) → ( p y , p x ) değiş-tokuşuyla ilişkilendirildiğinden,
bundan sonra yalnızca H R ile ilgili aile üzerinde durulacaktır. Dolayısıyla aşağıdaki
hesaplar Dresselhaus durumu için de tekrarlanabilir. (3.17), (3.18) ve (4.37)’den
[W2 , W1 ]M = iαp x = [ P2 , P1 ]M ,
(4.40)
[W2 , P1 ]M = iαp y = [W1 , P2 ]M
(4.41)
elde edilir. Sonuçta, bu koşulların her özel {W j , Pj } çözüm setine, fermiyonik kısmında bir
tanesi H R içeren, bir eş-spektral sistem çifti karşılık gelir. Fiziksel olarak anlamlı bir örnek
olması için seçimler
P1 =
px
M
ve W1 = −
py
M
şeklinde yapılırsa, (4.40) ve (4.41) koşulları aşağıdaki gibi yeniden yazılır:
− ∂ yW2 = ηp x = ∂ x P2 ,
∂ xW2 = ηp y = ∂ y P2 .
66
Burada η = α/(h M ) ’dir. Bu ifadeler integre edildiğinde genel çözüm
W2 = η J 3 + f
ve P2 = η r ⋅ p + g
(4.42)
olarak bulunur. Burada f ve g ’ler, p x ve p y ’nin gerçel değerli keyfi fonksiyonlarıyken
J 3 = xp y − yp x ve r ⋅ p = xp x + yp y ’dir.
İlk düşünülecek durum α ’nın bir sabit olduğu durumdur. Ayrıca B− = 0 olması da
istenirse, W1 ve P1 Moyal sıra değiştirdiklerinden, [W2 , P2 ]M = 0 elde edilir. Dolayısıyla bu
kabullenimler her iki süper-eş Hamiltonian’dan Zeeman tipi etkileşimi dışarlarlar. J 3 ile
r ⋅ p Moyal sıra değiştirdiğinden ( [ J 3 , r ⋅ p]M = 0 ), W2 ile P2 ’nin de Moyal yıldız-
çarpımına göre sıra değiştirmeleri için ( [W2 , p2 ]M = 0 )
( p × ∇ p )3 g = − p ⋅ ∇ p f
(4.43)
olması gerekir. Burada ∇ p , momentum değişkenlerine göre iki-boyutlu gradienttir.
Böylece, (4.19) ile birlikte (4.16)’nın ilk iki bağıntısı kullanılıp, f = 0 = g alınırsa,
H 2 R = H1 + H R elde edilir, bu da bozonik olan H1 = H ∗ 1 ile eş-spektraldir:
H∗ =
p2 η 2 2
1
αM 2 2 2
+ [ J 3 + ( r ⋅ p) 2 ] =
[1 + (
) r ]p .
2M
2
2M
h
(4.44)
H ∗ , kinetik terime ek olarak, momentuma bağlı potansiyel enerji terimi de içermektedir.
~
Rashba Hamiltonianı H R , çekirdeklerin şiddetli alanında elektronun hızlı hareketine
dayanan ideal bir modeldir ve konum koordinatlarından bağımsızdır. Aslında
~
H 2 R = H ∗1 + H R , r ’nin sıfırdan farklı değerler aldığı ve H R ’nin de r → 0 limitinde elde
67
edildiği durumlar için bir model olarak düşünülebilir. J 3 ’ün hem klasik hem de kuantum
mekaniksel olarak bir hareket sabiti olduğu göz önüne alınırsa, H ∗ farklı bir bakış açısıyla
değerlendirilebilir. H ∗ da konuma bağlı bir kütle ( M [1 + (αM/h ) 2 r 2 ]−1 ) için kinetik terim
olarak yorumlanabilir. α/h ’ın, karesi ihmal edilebilecek kadar, küçük olduğu ya da
alternatif olarak, iki boyutlu x = 0 = y faz-uzayı düzleminde, Rashba Hamiltonianı bilinen
kinetik ve fermiyonik terimlerle yeniden elde edilebilir. f ve g ’nin sabit olduğu durumda
H ∗ aşağıdaki ek terimleri alır:
η
1
( fJ 3 + gr ⋅ p) + ( f 2 + g 2 ) .
2
2
B− = 0 kısıtlaması kaldırıldığındaysa, H1 ve H 2 R farklı işaretlere sahip ek fermiyonik
terimler kazanır.
Genel α = α ( p) durumunda, f = 0 = g alınırsa
W2 ∗ W2 = η 2 ( J 32 −
h2
),
2
P2 ∗ P2 = η 2 (r ⋅ p) 2 +
M 2
p
[α + pα ' (α + α ' )] ,
2
2
B± = ±[W2 , P2 ]M = mi
(4.45)
M
pαα ' J 3
h
elde edilir. Bu da aşağıdaki eşitliklerin yazılmasına olanak verir:
p2
M
M
p
H∗ =
+ 2 (αrp) 2 +
pα ' (α + α ' ) ,
2 M 2h
4
2
H 1F =
M
pαα ' J 3σ 3 ,
2h
68
H 2 F = − H 1F + H R .
(4.46)
(4.47)
ω ’nın sabit seçildiği, α = hω/p özel durumu için
H∗ =
p2 1
h2
+ Mω 2 ( r 2 − 2 ) ,
2M 2
4p
Jσ
h
H 1 F = − Mω 2 3 2 3
2
p
(4.48)
elde edilir.
H1F , momentuma bağlı katsayıları olan bir spin-yörünge çiftlenimine işaret ederken,
p ’nin büyük değerleri için H ∗ iki-boyutlu isotropic salınıcıyı tarif eder. Bir diğer ilginç
özel durum ise α = p m eşitliğidir. Sonuç olarak, P1 ve W1 ’in değişik seçimleri alınarak
Rashba tipi Hamiltonianları içeren farklı eş-spektral çiftler elde edilebilir.
Moyal yıldız-çarpım yardımıyla faz-uzayının Clifford cebiri yapısının deforme edilerek
kurulan
MC-cebiri
sayesinde
faz-uzayında
süpersimetrik
kuantum
mekaniğinin
formülasyonu için kullanışlı bir yapı geliştirilmiş ve bu bölümde de 3. Bölüm’ün sonundaki
uygulamalara ek olarak, fiziğin önemli alanlarından ve güncel araştırma konularından
seçilen beş farklı eş-spektral Hamiltonian ailesi incelenmiştir. Tüm bu örnek
uygulamalardan da görüleceği üzere, uygun seçimler yapılarak, bu örnekleri fiziğin daha
pek çok alanına genişletmek ve bu yöntemi daha genelleştirmek mümkündür. Sonuç olarak,
MC-cebiri
bağlamında
kurulan
faz-uzayında
kuantumlamasına yeni bir açılım getirmektedir.
69
süpersimetri
yapısı,
deformasyon
5. GÖRELİ KUANTUM MEKANİĞİNİN DEFORMASYON
KUANTUMLAMASINA YENİ BİR YAKLAŞIM
Bu bölümde, öncelikle, has-zaman (proper time) formalizminin Dirac kuramı ve göreli
kuantum mekaniğinin deformasyon kuantumlamasını kurmadaki rolü tartışılacaktır. Bunun
için öncelikle dörtlü bir Moyal yıldız-çarpımı tanımlanacak ve bu çarpım yardımıyla
Lorentz dönüşümlerinin yıldız-çarpım formülasyonu ve zaman ile enerjinin ek koordinatlar
olarak tanımlandığı 8-boyutlu faz-uzayının deforme edilmiş çarpımı gösterilecektir. Dörtlü
Moyal yıldız-çarpımı, parametrize edilmiş göreli klasik mekaniğin deformasyon
kuantumlaması için kullanılabilir. Bu yaklaşımın bir diğer önemli avantajıysa, Moyal
yıldız-çarpımının sıra-değişmezliği uzay-zaman cebiriyle birlikte ele alındığında spin
terimlerinin kendiliğinden ortaya çıkmasıdır. Bu bölümde esas olarak, Henselder’in 2007
yılında öne sürdüğü yaklaşım baz alınarak, önceki bölümlerde kurulan cebirsel yapı
içerisinde bir yöntem geliştirilmeye çalışılacaktır.
5.1 Dörtlü Moyal Yıldız-Çarpımı ve Poincaré Cebiri
Bir
dörtlü-vektörün
(four-vector)
katsayı
fonksiyonlarına
etkiyen
aktif
Lorentz
dönüşümünün tanımlanması için gerekli dört-boyutlu ya da dörtlü bir Moyal yıldız-çarpımı
aşağıdaki gibi tanımlanabilir (Henselder 2007b):
←
→
←
→
 ih

f ∗ g = f exp  η µν ( ∂ q µ ∂ pν − ∂ p µ ∂ qν ) g.
2

(5.1)
Burada, üçlü kısmın bilinen Moyal yıldız-çarpımına indirgenebilmesi için, µ, ν = 0, 1, 2, 3
olmak üzere,
(η µν ) = diag (1,−1,−1,−1)
şeklinde verilen Minkowski metriği kullanılmıştır. Bundan sonra, tekrarlı Yunan alfabesi
70
indisleri üzerinden dörtlü Einstein toplama kuralı kullanılacaktır. Aktif Lorentz
dönüşümünün üreticileri
M µν = q µ pν − p µ qν
(5.2)
olup, bu tür iki üretici için Moyal sıra-değişme bağıntısı aşağıdaki gibidir:
[ M µν , M ρσ ]M = ih (η µρ M νσ − η νρ M µσ + η µσ M ρν − η νσ M ρµ ).
(5.3)
[,]M, (5.1) ile tanımlanan dörtlü Moyal-yıldız-çarpımına göre sıra-değişme bağıntısıdır.
Boost’ların ve dönmelerin
L j = ε jkl M jk
K j = M0j ,
(5.4)
ile tanımlanan üreticileri aşağıdaki Moyal yıldız sıra-değişme cebirini sağlarlar (bkz. 2.24):
[ L j , Lk ]M = ihε jkl Ll ,
[ L j , K k ]M = ihε jkl K l ,
(5.5)
[ K , K ]M = −ihε L .
j
k
jkl
l
Dolayısıyla q = q µ eµ ile verilen konum dörtlü-vektörü için aktif Lorenz dönüşümü
aşağıdaki gibi olur:
i
− α µν M µν
q′ = e∗ h
i
∗ q ∗ e∗h
α µν M µν
= (Λµν qν )eµ .
Burada Λµν , Lorentz dönüşümü matrisinin elemanlarını göstermektedir.
71
(5.6)
[ pµ , pν ]M = 0 olmak üzere, pµ üreticileri Lorentz cebiriyle birlikte ele alınırsa,
[ M µν , pρ ]M = ih(η µρ pν − ηνρ pµ )
(5.7)
bağıntılarıyla birlikte Poincaré cebiri de kurulmuş olur.1
(5.1) bağıntısıyla verilen dörtlü Moyal yıldız-çarpımını deformasyon kuantumlamasında
kullanmak, tek parçacıklı faz-uzayının q0 ve p0 değişkenleriyle genişletilmesi anlamına
gelir. Bu da zaman gelişiminin (time development) zaman ile değil, ek bir değişken
yardımıyla faz-uzayı koordinatları tarafından tanımlanması demektir. Dolayısıyla dörtlü
Moyal yıldız-çarpımıyla parametrize edilmiş Hamilton dinamiği deforme edilmektedir.
h → 0 limiti alındığındaysa (bkz. denklem (5.22)), yıldız-çarpım bilinen noktasal çarpıma
indirgenerek deforme edilmemiş parametrize Hamilton dinamiği elde edilir ve böylece
klasik limitten doğan kavramsal sorun çözülmüş olur.
5.2 Parametrize Edilmiş Göreli Klasik Mekanik
Kanonik formalizmin kovaryant hale getirilmesi, Poisson parantezi bağıntılarıyla ifade
edilen fizik yasalarının, bir eylemsizlik çerçevesinden diğerine götüren bir dönüşüm altında
değişmez kalmaları anlamına gelir. Burada klasik mekanikte kanonik formalizmin
kovaryant genişletilmesinin bir yolu olarak parametre formalizmi ele alınacaktır. Bu
yaklaşımda zaman yerine gözlemciden bağımsız s parametresi tanımlanmaktadır.
Dolayısıyla dörtlü uzay-zaman koordinatları bu parametrenin xµ(s) şeklinde bir
fonksiyonudur. Bir eylemsiz sistemden diğerine geçişte bu parametre değişmez:
x µ ( s ) → x′ µ ( s )
1
Yukarıdaki hesaplarda parantezleri hesaplanan fonksiyonlar, faz-uzayı koordinatlarının en fazla ikinci
kuvvetlerini ve farklı olanların birinci kuvvetlerinin çarpımını içerdiğinden, buradaki Moyal parantezleri
aslında Poisson parantezlerine eşittir.
72
Dörtlü fonksiyon xµ(s) dinamik nicelikler olarak ele alınırken, s parametresi de sistemin
gelişimini (evolution) simgeler. Bu yaklaşım yardımıyla artık parametrize edilmiş göreli
mekanik geliştirilebilir.
Parametreye bağlı eylem (action) aşağıdaki gibi tanımlanır:
s2
S = ∫ dsLs (q µ , q& µ , s ).
s1
(5.8)
Burada s parametresine göre türevi ifade eden q& µ aşağıdaki gibi tanımlıdır:
q& µ =
dq µ
.
ds
(5.9)
δS = 0 ilkesiyle Euler-Lagrange denkleminin parametrize edilmiş haline ulaşılır:
d ∂Ls ∂Ls
−
= 0.
ds ∂q& µ ∂q µ
(5.10)
K (q µ , pµ , s) = q& µ pµ − Ls (q µ , q& µ , s)
(5.11)
Legendre dönüşümü
olmak üzere, parametrize edilmiş Hamilton denklemleri de aşağıdaki gibi elde edilir:
q& µ =
∂K
∂pµ
∂K
p& = − µ .
∂q
µ
73
(5.12)
Hamilton denklemleri kullanılarak
d
∂f
f (q µ , pµ , s ) = { f , K }P +
ds
∂s
(5.13)
bağıntısı elde edilebilir. Burada aşağıdaki dörtlü Poisson parantezi kullanılmıştır:
{ f , g}P =
∂f ∂g
∂g ∂f
−
.
µ
∂q ∂pµ ∂qµ ∂p µ
(5.14)
Poisson parantezinin bu tanımı aşağıdaki eşitliklerin yazılabilmesini sağlar:
{q µ , pν }P = δνµ ,
{q µ , qν }P = { pµ , pν }P = 0.
(5.15)
Bir örnek olarak, bir serbest parçacığın kovaryant Hamiltonianı
K =
η µν
2m
(5.16)
pµ pν
şeklinde tanımlanırsa, (5.12) ile verilen Hamilton denklemlerinden
p& µ = 0
q& µ =
pµ
m
⇒
p µ = p0 µ = sabit,
⇒ q µ = q0µ +
p0µ
s
m
(5.17)
elde edilir. Başlagıç koşulu m 2 = p0µ p0 µ olmak üzere qµ’nün değişimi (variation)
δq µ δqµ =
p0µ p0 µ
(δs ) 2 = (δs ) 2
m2
74
(5.18)
eşitliğini verir, ki bu da s parametresinin has-zaman olduğunu gösterir.
Elektromanyetik alanda yüklü bir parçacığın hareketi için (5.16)’daki Hamiltonian
K =
η µν
2m
[ pµ − eAµ ][ pν − eAν ] =
1 µ
π πµ
2m
(5.19)
şeklinde genelleştirilebilir. Burada π µ = pµ − eAµ kinetik momentumdur ve Gauss birim
sistemi kullanılarak c=1 alınmıştır (Yunan alfabesi indisine sahip olmayan e’ler temel yükü
temsil etmektedir).
(5.12) ile verilen Hamilton denklemleri de aşağıdaki eşitliklerin yazılmasını sağlar:
q& µ =
πµ
m
ve
p& µ =
e ν
π ∂ µ Aν
m
(5.20)
Bu iki bağıntı bir arada kullanılırsa
p& µ = eq&ν ∂ µ Aν
ve kinetik momentumun s’ye göre türevi için de
π& ν = p& µ − e∂ν Aµ q&ν
elde edilir. Bu ifadeler p& µ için birbirlerine eşitlendiğinde
π& µ = eFµν q& µ
ile verilen Lorentz kuvvet yasasına ulaşılmış olur.
75
(5.21)
5.3 Parametrize Edilmiş Göreli Klasik Mekaniğin Deformasyon Kuantumlaması
Buraya kadar yapılan hesaplar ve tanımlar yardımıyla, parametrize edilmiş klasik
mekaniğin deformasyon kuantumlaması artık tanımlanabilir. Göreli olmayan durumda
olduğu gibi, (5.14) ile verilen dörtlü Poisson paranteziyle (5.1) ile verilen dörtlü Moyal
yıldız-çarpımı arasındaki bağlantı aşağıdaki gibidir:
1
[ f , g ]M = { f , g} p .
h→0 ih
lim
(5.22)
Kanonik koordinatların yıldız sıra değiştirme bağıntıları da
[q µ , pν ]M = ihδνµ ,
[q µ , qν ]M = [ pµ , pν ]M = 0
.
(5.23)
şeklinde hesaplanır. Göreli olmayan durumdaki deformasyon kuantumlaması yapısı dörtlü
duruma genelleştirilebilir. Sistemin s’deki gelişimi de dörtlü Hamiltonian yardımıyla
gerçekleştirilir. Yıldız-çarpım formülasyonunda bu, yıldız üstel açılımıyla ifade edilir.
Dörtlü durum için Hamiltonian’in yıldız-üstel açılımı aşağıdaki gibidir:
Exp M (
Ks
ih
−isK / h
∗
)=e
∞
n
1  − is 
=∑ 
 K
n =0 n!  h 
n∗ M
.
(5.24)
Bu yıldız-üstel açılım yardımıyla, zamana bağlı Schrödinger denkleminin has-zaman
genelleştirilmesi aşağıdaki gibi yapılır:
ih
d
Exp M (Ks ) = K ∗ Exp M (Ks ).
ds
(5.25)
Spektrumların ve karşılık gelen Wigner özfonksiyonlarının hesabı da göreli olmayan
76
durumla aynıdır. Bunların yanı sıra, fazladan bir etki daha sözkonusudur: Dörtlü Moyal
yıldız-çarpımıyla Clifford çarpımının süpersimetrik formalizmde bir arada kullanılmasıyla,
uzay-zaman cebirinin sıra-değişmez hali elde edilebilir. Sıra-değişen ya da klasik durumda
(5.19) ile verilen genelleştirilmiş Hamiltonian aşağıdaki gibi yazılabilir:
K =
1
1
π ∗C π =
π ⋅π .
2m
2m
(5.26)
Burada π = π µ eµ ile tanımlıdır. Ancak Moyal yıldız-çarpımıyla sıra-değişmeyen duruma
geçildiğinde, artık π µ ile πν ’nün Moyal yıldız-çarpımı simetrik olmayacaktır:
[π µ ,π ν ] = iheFµν ,
Fµν =
∂Aν ∂Aµ
−
.
∂q µ ∂qν
(5.27)
Bu da artık yalnızca elektrik alan ya da yalnızca manyetik alanı değil elektromanyetik alan
tensörünü ifade eder. (5.26) yıldız-çarpımı Moyal-Clifford yıldız-çarpımıyla yeniden
yapılırsa ek terimler elde edilir, ki bunlar da spine karşılık gelir:
1
π ∗MC π
2m
1
=
(π µ ∗M π ν )(eµ ∗C eν )
2m
1 µ
1
=
π πµ +
[π µ , π ν ]M eµ eν .
2m
2m
K =
(5.28)
Sonuç olarak, bu tez çalışmasının başında kurulan MC-çarpımı formalizmi içerisinde Dirac
kuramının ve göreli kuantum mekaniğinin tarif edilmesi, ortaya çıkan klasik limit sorunu ve
MC-çarpımının anti-simetrik yapısı dolayısıyla Lorentz dönüşümüne uygun olmaması gibi
sorunları beraberinde getirmesine karşın, dörtlü yeni bir Moyal yıldız-çarpımı kullanarak
parametrize edilmiş göreli kuramın deformasyonu yardımıyla mümkün görünmektedir. Bu
77
yaklaşımın en önemli avantajı da bozonik ve fermiyonik yıldız-çarpımların, spin terimlerini
doğrudan ortaya çıkaran geometrik cebirin sıra-değişmez halini tarif etmesidir.
2. Bölüm’de kurulan MC-cebiri ile Dirac kuramı’nın deformasyon kuantumlaması
yaklaşımının dörtlü Moyal yıldız-çarpımıyla genişletilip Lorentz dönüşümlerinin ve klasik
limit hesabının yapılabileceğinin gösterildiği bu bölüm bir öneri niteliğinde olmakla
birlikte, bu tez çalışmasında kurulan cebir yapısıyla ve ilgili tüm kuramlarla da uyumludur.
Dolayısıyla, Dirac kuramı ve göreli kuantum mekaniğinin MC-cebiri ile birlikte ele
alınması, bu kuramların deformasyon kuantumlaması için en uygun yaklaşım olarak
görünmektedir.
78
6. SONUÇ VE TARTIŞMA
Deformasyon kuantumlaması, faz-uzayındaki gerçel değerli klasik gözlenirlerle işlem
yapılmasına olanak vermesi nedeniyle, kuantum mekaniğinin işlemci formalizminin
getirdiği kimi sorunların klasik mekaniğin dilinden anlaşılabilmesi açısından oldukça
yararlı içgörüler sunmaktadır. Kullandığı cebirsel araçları basit olmamakla birlikte,
kuantum mekaniğinin tüm formalizminin bu yöntemle yapılmasına olanak verecek kadar
geniş bir kuramsal çerçeve sunmaya elverişli olması açısından, tartışılmaz bir öneme
sahiptir. Weyl, Wigner, Groenewold ve Moyal başta olmak üzere bu konuda yapılan pek
çok çalışma, deformasyon kuantumlaması yardımıyla, kuantum mekaniğinin tüm
alanlarında bir faz-uzayı formülasyonunun kurulabilmesi konusunda önemli adımlar
atılmasını sağlamıştır. Göreli olmayan deformasyon kuantumlamasının ardından en önemli
adım olarak göreli çerçevede kuantum mekaniğinin deformasyon kuantumlaması öne
çıkmış ve burada spini içerecek şekilde yeni bir yıldız-çarpım (MC-çarpımı) ve dolayısıyla
yeni bir cebir tanımlanmıştır (MC-Cebiri). Uzay-zaman cebirinin formülasyonu da, Clifford
çarpımı olarak bilinen fermiyonik yıldız-çarpım yardımıyla, Dirac kuramının deformasyon
kuantumlaması bağlamında tanımlanmasına olanak vermiştir. Ancak, 2. Bölüm’de de
belirtildiği gibi, bu yaklaşım iki önemli sorunu da beraberinde getirmektedir. Bunlardan ilki
Dirac kuramında kullanılan Moyal yıldız-çarpımı üçlü bir çarpımken, Clifford çarpımı
dörtlü bir çarpımdır ve üçlü Moyal yıldız-çarpımı Lorentz dönüşümlerini tanımlamak için
uygun değildir. İkinci sorun ise Dirac kuramının klasik karşılığının olmamasıdır. Yine 2.
Bölüm’de belirtildiği gibi, bu iki sorunu deformasyon kuantumlaması ile çözmenin bir yolu
parametrize edilmiş ya da has-zaman formalizminin kullanılması olarak görünmektedir. Bu
yaklaşıma ilişkin ayrıntılı bir inceleme 5. Bölüm’de verilmiştir. Bu incelemede Henselder
(Henselder 2007b) tarafından öne sürülen bir yaklaşım, bu tez çalışmasında kurulan MCcebiri içerisinde yeniden ele alınmış ve Dirac matrislerine C1,3 ( ) cebirinin baz elemanları
karşılık getirilerek bir çözüm yöntemi ileri sürülmüştür. Dörtlü Moyal yıldız-çarpımı
yardımıyla Lorentz dönüşümleri tarif edilerek, göreli kuantum mekaniğinin faz-uzayı
formülasyonu
kurulması
için
has-zaman
formülasyonu
MC-cebiri
bağlamında
incelenmiştir. Dirac kuramı ve göreli kuantum mekaniğinin deformasyon kuantumlaması
79
yoluyla bir faz-uzayı formülasyonunu inşa etmek için önerilen bu yöntem, henüz tam
olmamakla birlikte, sunduğu kullanışlı araçlar sayesinde bu konuda önemli bir adımı
simgelerken, bu tez çalışmasının önemli katkılarından birisi olan MC-cebirinin de burada
anahtar rol oynayacağı açıkça gösterilmiştir.
MC-cebiri, göreli kuantum meknaniğinin deformasyon kuantumlaması için kimi yeni
yaklaşımlar sunarken, süpersimetrik kuantum mekaniğinin faz-uzayı formülasyonu için tam
bir çerçeve de sunmaktadır. Bu tez çalışmasında gösterildiği gibi, süpersimetrik kuantum
mekaniğinin faz-uzayı formülasyonu asıl olarak Clifford cebirinin deformasyonu ve Moyal
yıldız-çarpımının bir arada kullanılmasıyla kurulan MC-cebirine dayanmaktadır. 3.
Bölüm’de kurulan ve gerçel Clifford cebirinin kompleksleştirilip Moyal yıldız-çarpımıyla
birlikte kullanılmasıyla elde edilen cebirsel yapı, süpersimetri tekniklerinin klasik bir fazuzayında uygulanmasına olanak vermekte, matris Hamiltonianlarla tanımlanan pek çok
modelin bu yapıyla ilişkisinin görülmesini sağlamakta ve bu Hamiltonianların faz-uzayı
karakteristiklerinin (spektrumu, öz-spinörleri ve ilişkili Wigner fonksiyonlarının) ayrınıtlı
biçimde incelenmesi için bir temel oluşturmaktadır. Jaynes-Cummings tipi Hamiltonianlar
bu inceleme için özel bir örnek uygulama olarak 3. Bölüm’ün sonunda verilmiştir. Yine 3.
Bölüm’de de gösterildiği gibi, faz-uzayı, bir mekanik salınıcının eşlenik koordinatlarına
dinamik olarak eşdeğer olan kuantumlu bir elektromanyetik alanın eşlenik genlik kipleri
fonksiyonları yardımıyla gerilmiştir. H1 ve H 2 ile gösterilen süper-eş Hamiltonianların
formu ve verilen örnekler yardımıyla pek çok yeni, fiziksel olarak anlamlı, (yüklü ya da
yüksüz) parçacık sisteminin özel örnekler olarak bu yaklaşım içerisinde incelenebilmesine
izin vermektedir. Fizikte güncel araştırma konularının başında gelen bu özel örneklerden
kimleri, 3. Bölüm’ün son kısmında ve 4. Bölüm’de ayrıntılı olarak incelenmiştir. Bu
örnekler de, 3. Bölüm’de tanımlanan MC-cebirini temel alan yöntem yardımıyla,
süpersimetrik kuantum mekaniğinin faz-uzayı formülasyonu kapsamında çok zengin bir
uygulama alanına sahip olduğunu açıkça göstermektedir. Bu yöntemin temelini de dört adet
gerçel değerli faz-uzayı fonksiyonuna bağlı
2× 2 ’lik eş-spektral matris değerli
Hamiltonianlar oluşturmaktadır. Ortaya çıkan yapı 3. ve 4. bölümlerde verilen örneklerin
çok daha zenginleştirilebileceği kadar da geneldir. Bu yöntemin pek çok kullanışlı ve
80
yararlı sonuçları vardır. Örneğin eş-spektral çiftlerden birisi olan H1 diagonaldir ve
spektrumuyla özspinörleri görece daha kolaylıkla elde edilebilmektedir. Ayrıca, L j ’ler
aracılığıyla H 2 ’nin öz-spinörlerine kolayca dönüştürülebilmektedir. Burada dikkati çeken
bir nokta da, her bir Hamiltonian’ın çarpanlarına ayrılmış iki L j ve bunların Hermite-sel
eşleniklerinin toplamları olarak ifade edilebiliyor olmalarıdır. Bu yöntemin bir diğer önemli
katkısıysa, hareket sabitlerini doğrudan vermesidir. 3. Bölüm’de de gösterildiği gibi,
R j = L j *MC L†j ve S j = L†j *MC L j ifadeleri hareket sabitlerine karşılık gelmekte ve R1 ile
S 2 ( ya da R2 ile S1 ), H1 (ya da H 2 ) ile MC-çarpıma göre sıra değiştirmektedir. Ancak bu
hareket sabitlerinin toplamları, karşılık gelen Hamiltonianlarla orantılı olduklarından,
bağımsız değillerdir. Dolayısıyla, açık bir zaman bağımlılığı düşünülmeden, Hamiltonian
ile birlikte her bir sistem iki adet hareket sabitine sahiptir. H1 diagonal olduğu için, hareket
sabitleri S 2 ve R1 , H1 ’in diagonal elemanlarıyla orantılıdır ve bu da kendi SUSY yapısının
araştırılmasında önemli bir rol oynamaktadır. Fakat H 2 ’nin hareket sabitleri aşikâr
olmayan bir simetriyi işaret etmektedir.
Bu tez çalışması, 20. yüzyılın önemli başarılarından birisi olan kuantum mekaniğinin fazuzayı formülasyonunun inşa edilmesindeki en önemli eksiklikler olarak öne çıkan, göreli
kuantum mekaniği ve süpersimetrik kuantum mekaniğinin deformasyon kuantumlaması
için cebirsel bir yöntem kurulması üzerinedir. Deformasyon kuantumlamasının en önemli
araçlarından birisi olan Moyal yıldız-çarpımına ek olarak, Clifford cebirinden iyi bilinen
Clifford çarpımının da fermiyonik serbestlik derecelerini tarif etmek için yararlı bir araç
olması göz önünde bulundurularak, yeni bir cebir ile yeni bir yıldız-çarpım oluşturulmuştur.
Moyal-Clifford (MC) cebiri ve MC-çarpımı adı verilen bu cebir ve yıldız-çarpım
yardımıyla da, şimdiye değin deformasyon kuantumlanmasında güçlük çekilen göreli
kuantum mekaniği, spin sistemleri ve süpersimetrik kuantum mekaniği için kullanışlı bir
yöntem geliştirilmiştir.
81
Son olarak, bu tez çalışmasını izleyecek olan yeni olası araştırma konuları aşağıdaki gibi
sıralanabilir:
- MC-Cebirinin cebirsel yapısının kendi içinde araştırılarak, özelliklerinin belirlenmesi ve
bu cebirde MC-üstel açılımların (MC-exponantial) incelenmesi.
- 4. Bölüm’de ele alınan eş-Hamiltonian aileleri için faz-uzayı karakterisitiklerinin
araştırılıp incelenmesi. Özellikle, burada görülen spin-yörünge tipi özel göreli
etkileşmelerin ayrıntılı analizi ve olası diğer yöntemlerle elde edilenlerle karşılaştırılması.
- Bu tezde verilen 6 farklı eş-spektral Hamiltonian ailelerine ek olarak, fiziksel açıdan
önemli olabilecek diğer ailelerin araştırılması.
- Konfigürasyon uzayı eğrisel olan Hamilton sistemlerinin deformasyon kuantumlaması
bağlamında incelenmesi.
- Dirac denkleminin deformasyon kuantumlaması kapsamında MC-cebiri yardımıyla tam
bir karşılığının faz uzayı formülasyonu içerisinde elde edilmesi.
Bu araştırma konularının ve beraberinde gelecek olası diğer araştırmaların sonuçları da,
kauntum
mekaniğinin
faz-uzayı
formülasyonunun
ve
dolayısıyla
deformasyon
kuantumlamasının tam bir formülasyon haline getirilmesindeki özgün katkılar olacaklardır.
82
KAYNAKLAR
Aharonov, Y. and Casher, A. 1984. Phys. Rev. Lett., 53; 319.
Arnold, V.I. 1989. Mathematical Methods of Classical Mechanics, second ed., Springer.
Artin, E. 1957. Geometric Algebra, Interscience Publishers.
Barnett, S.M. and Radmore, P.M. 1997. Methods in Theoretical Quantum Optics,
Clarendon-Press.
Bartlett, M.S. anad Moyal, J.E. 1949. Proc. Camb. Phil. Soc., 45; 545.
Bayen, F., Flato, M., Fronsdal, C., Lichnerowicz, A. and Sternheimer, D. 1978. Ann. Phys.,
111; 61 - 111.
Basu, B. and Bandyopadhyay, P. 2008. Phys. Lett. A, 373; 148.
Benn, I.M. and Tucker, R. W. 1987. An Introduction to Spinors and Geometry with
Applications in Physics, IOP, Bristol.
Brandes, T. 2005. Phys. Rep., 408; 315.
Bycklov, Y.A. and Rashba, E.I. 1984. J. Phy. C17; 6039.
Buğdaycı, İ. and Verçin, A. 2009. quant-ph/0901.2699.
Chagas, E.A. and Fruya, K. 2008. Phys. Lett. A, 372; 5564.
Cooper, F., Khare, A. and Sukhatme, U. 1995. Phys. Rep. 251; 267.
Crooker, S.A. and Smith, D.L. 2005. Phys. Rev. Lett., 94; 236601.
Curtright, T., Fairlie, D. and Zachos, C. 1998. Phys. Rev. D, 58; 025002.
Curtright, T., Uematsu, T. and Zachos, C. 2001. J. Math. Phys., 42; 2396.
Demircioğlu, B. and Verçin, A. 2003. Ann. Phys., 305; 1.
Dereli, T. and Verçin, A. 1997. J. Math. Phys., 38; 5515-5530.
Dresselhaus, G. 1955. Phys. Rev. 100; 580.
Engel, H.A., Rashba, E.I. and Halperin, B.I. 2007. cond-mat/0603306v3.
Fink, J.M., Göpp, M., Baur, M., Bianchetti, R., Leek, P.J., Blais, A. and Wallraff, A. 2008.
Nature, 454; 315.
Gendensthěn, L.É. and Krive, I.V. 1985. Supersymmetry in quantum mechanics. Sov. Phys.
Usp., 28; 645-666.
83
Gerstenhaber, M. and Schack, S.D. 1988. Algebraic cohomlogy and deformation theory, in
Deformation Theory of Algebras and Structures and Applications, Kluwer.
Goldhaber, A.S. 1989. Phys. Rev. Lett., 62; 482.
Graf, G.M., Hasler, D. and Hoppe, J. 2002. Lett. Math. Phys., 60; 191.
Greiner, W. 1997. Relativistic Quantum Mechanics, Springer, Berlin, 289.
Groenewold, H. 1946. Physica, 12; 405-460
Hagen, C.R. 1990. Phys. Rev. Lett., 64; 2347.
Hatano, N., Shirasaki, R. and Nakamura, H. 2007. Phys. Rev. A, 75; 032107.
Henselder, P., Hirsfeld, A.C. and Spernat, T. 2005. Ann. Phys., 317; 107.
Henselder, P. 2007a. Phys. Lett. A, 363; 378.
Henselder, P. 2007b. quant-ph/0705.3607.
Hestenes, D. 1966. Space-Time Algebra, Gordon and Breach.
Hestenes, D. 1993. Hamiltonian Mechanics with Geometric Calculus in Z. Oziewicz et al
Spinor, Twistor, Clifford Algebras and Quantum Deformations, Kluwer, 203.
Hirsfeld, A.C., Henselder, P. and Spernat, T. 2004. Ann. Phys., 314; 75-98.
Jaynes, E.T. and Cummings, F.W. 1963. Proc. IEEE, 51; 89.
Junker, G. 1996. Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics. Springer.
Kuru, Ş., Teğmen, A. and Verçin, A. 2001. J. Math. Phys., 42; 3344.
Lambert, N., Emary, C. and Brandes, T. 2004. Phys. Rev. Lett., 92; 073602.
Lundholm, D. 2008. J. Math. Phys. 49; 062101.
Moyal, J. 1949. Proc Camb Phil SOC, 45; 99-124
Peshkin, M. and Tonomura, A. 1989. The Ahoronov-Bohm Effect, Lecture Notes in
Physics, Springer, Berlin, 340.
Rashba, E.I. 2004. Physica E20; 190.
Schleich, W.P. 2001. Quantum Optics in Phase Space, Wiley-VCH.
Shore, B.W. and Knight, P.L. 1993. J. Mod. Opt., 40; 1195.
Weyl, H. 1927. Z. Phys., 46; 1-46
Wigner, E. 1932. Phys. Rev., 40; 749-759
Zachos, C., Fairlie, D. and Curtright, T. 2005. Quantum Mechanics in Phase space: An
Overview with Selected Papers. World Scientific, Vol 34.
84
EK 1. C 4,0 ( ) ve C 4 ( ) CEBİRLERİNİN BAZ ELEMANLARININ MATRİS
TEMSİLLERİ VE ARALARINDAKİ İLİŞKİ
C 4 ( ) cebirini 1 ( 0 -formların üreticisi) ile birlikte üreten {e1 , e 2 , e3 , e 4 } bazı için aşağıdaki
temsil gözönüne alınsın:
iσ 1 
 0
,
e1 = 
 − iσ 1 0 
 0
e3 = 
 − iσ 2
iσ 2 
,
0 
 0
e 2 = 
 − iσ 3
iσ 3 
,
0 
0 1
.
e 4 = 
1 0
Burada σ 1σ 2σ 3 = i1 bağıntısı kullanılarak 2-formlar, 3-formlar ve hacim formu aşağıdaki
gibi hesaplanır:
 − iσ 2
e12 = 
 0
0 
 iσ
 , e13 =  3
− iσ 2 
 0
 iσ
e14 =  1
 0
0 
 − iσ 1
 , e 23 = 
− iσ 1 
 0
 iσ
e 24 =  3
 0
0 
 iσ
 , e34 =  2
− iσ 3 
 0
0 
,
iσ 3 
0 
,
− iσ 1 
(EK 1.1)
0 
.
− iσ 2 
 0 1
 0 σ2 
 ,
 , e124 = −i
e123 = 
 −1 0
σ 2 0 
 0 σ 3  234
 0 σ1 
 , e = −i
 ,
e134 = i
σ 3 0 
σ1 0 
(EK 1.2)
1 0 
 .
e1234 = 
 0 − 1
(EK 1.3)
85
Bu durumda gerçel C 4,0 (R) cebirinin { f 1 , f 2 , f 3 , f 4 } baz elemanları kompleks cebirin
elemanları cinsinden aşağıdaki gibi yazılabilir:
 0 σ1 
 = ie 234 ,
f 1 = 
σ
0
 1

 0
f 2 = 
 − iσ 2
 0 σ3 
 = −ie134 ,
f 3 = 
0
σ
 3

iσ 2  3
=e ,
0 
 1 0  1234
 = e .
f 4 = 
 0 − 1
Gerçel cebirdeki bazlar yardımıyla bu cebirin 2-form, 3-form ve hacim formları da
aşağıdaki gibi yazılır:
σ
f 12 = −ie 24 =  3
0
0
f 14 = ie1 = 
σ 1
0 
,
− σ 3 
− σ1 
,
0 
 0
f 24 = e124 = 
 − iσ 2
− iσ 2 
,
0 
0 
,
− iσ 2 
0
 −σ
 ,
f 23 = ie14 =  1
 0 σ1 
0
f 34 = ie 2 = 
σ 3
(EK 1.4)
−σ3 
,
0 
0
σ
 ,
f 124 = −ie13 =  3
 0 σ3 
 0 1
 ,
f 123 = e123 = 
 −1 0
 − iσ 2
f 134 = −e34 = 
 0
 − iσ 2
f 13 = e12 = 
 0
0 
,
iσ 2 
 0 − 1
 .
f 1234 = −e 4 = 
 −1 0 
86
 −σ
f 234 = −ie 23 =  1
 0
0 
,
− σ 1 
(EK 1.5)
(EK 1.6)
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı
: İlhami Buğdaycı
Doğum Yeri
: Konya
Doğum Tarihi
: 25.02.1972
Medeni Hali
: Bekar
Yabancı Dili
: İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise
: Konya Gazi Lisesi, 1988
Lisans
: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü, 1994
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik ABD, 1998
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
TÜBİTAK Bilim ve Teknik Dergisi (1994-2000)
BİTAV (Bilimsel ve Teknik Araştırma Vakfı (2000-2002)
KÖK Yayıncılık (2002-2003)
Dizge Analitik Ltd. Şti. (ODTÜ-TEKNOKENT, 2004-)
Yayınları
Buğdaycı, İ. and Verçin, A. 2009. Deformed Clifford Algebra and supersymmetric
Quantum Mechanics on a Phase Space with Applications in Quantum
Optics, quant-ph/0901.2699.
Buğdaycı, İ. and Verçin, A. 2009. Families of Isospectral Matrix Hamiltonians by
Deformation of Clifford Algebra on a Phase Space (Yayına
hazırlanıyor)
Kitaplar
Cooper, C., Madde, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara 2008 (Çeviri:
İlhami Buğdaycı)
87
Burnie, D., Işık, TÜBİTAK Popüler Bilim Kitapları, Ankara 2008 (Çeviri:
İlhami Buğdaycı)
Cushing, J.T., Fizikte Felsefi Kavramlar I, Sabancı Üniversitesi Yayınları,
İstanbul 2003 (Redaksiyon – Yayına Hazırlama: İlhami Buğdaycı)
Cushing, J.T., Fizikte Felsefi Kavramlar II, Sabancı Üniversitesi Yayınları,
İstanbul 2003 (Redaksiyon – Yayına Hazırlama: İlhami Buğdaycı)
Popüler Bilim Yazıları
Buğdaycı, İ., Her Şeyin Kuramı, TÜBİTAK Bilim ve Teknik Dergisi, Ekim 2008
Buğdaycı, İ., Dünyanın En Hafif Katısı: Aerojel, TÜBİTAK Bilim ve Teknik
Dergisi, Eylül 2008
Buğdaycı, İ., CERN'deki Deneyler Dünya'yı Yok Edebilir mi?, TÜBİTAK Bilim
ve Teknik Dergisi, Ağustos 2008
Buğdaycı, İ., Elektroniğin Kayıp Devre Elemanı Bulundu: Memristor,
TÜBİTAK Bilim ve Teknik Dergisi, Temmuz 2008
Buğdaycı, İ., Süperiletkenler, TÜBİTAK Bilim ve Teknik Dergisi, Haziran 2008
Buğdaycı, İ., Kuantum Kuramında Belirsizlik, TÜBİTAK Bilim ve Teknik
Dergisi, Mayıs 2008
Buğdaycı, İ., John Archibald Wheeler, TÜBİTAK Bilim ve Teknik ve Dergisi,
Mayıs 2008
88