Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı
advertisement
Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı © 2008 HSarı 1 Ders İçeriği • • Optik Sabitlerin Frekansa Bağlılığı Dielektrik Ortam • • © 2008 HSarı Dağıtgan Ortam Metal Ortam 2 Dielektrik Sabitinin Frekansa Bağlılığı Şimdiye kadar olan incelememizde dış elektrik alanı sabit olarak kabul ettik. Maddenin elektriksel alınganlığı χ (dolayısı ile kırılma indisi n) frekansa (ω) nasıl bağlıdır? χ nin frekansa bağlılığını klasik modeli kullanarak bulabiliriz. Klasik modelde (-) yüklü elektron, (+) yüklü çekirdeğe belli bir denge konumunda bağlıdır. -e -e +e -e +e +e µ(ω) E(ω) E µ(ω) +e E=0 E≠0 -e E(ω) E≠0 E(t) Eo µ(E(t)) P = εoχ E P(E) © 2008 HSarı P (t ) = µatom (t ) N = qx (t ) N = ε o χ (t ) E (t ) χ (t ) = qN εo x( E (t )) x(t ) ? x(t ) ⇔ x(ω ) 3 Dielektrik Sabitinin Frekansa Bağlılığı Işığın + z yönünde ilerlediğini düşünürsek, daha önce bulduğumuz dalga denkleminin çözümü i ( kz −ωt +φ ) E ( z , t ) = Eo e E y x k Eo = Eo iˆ z z=0 da − iωt E (0, t ) = Eo e Elektrik alan uyguladığımızda atomdaki elektronların dağılımını değiştiririz ve elektronu denge konumu etrafında salınım yapmaya zorlarız. © 2008 HSarı 4 Atoma bağlı elektronun hareketini denge noktası etrafında harmonik titreşim yapan yay gibi düşünebiliriz Fy me, q Fy= - kx k yay kuvveti x x=0 Bu salınım sırasında hıza bağlı olarak bir kayıp olacaktır. Enerji kaybını γ( dx ) = γ x dt Elektronun hareket denklemi şeklinde yazabiliriz. Burada γ hızla orantılı kayıp katsayısıdır me x = − kx − γ x + Fdıs şeklinde yazılabilir. Burada k, geri çağırıcı kuvvet sabiti, me elektronun kütlesi, x elektronun yerdeğiştirmesi ve Fdış ise dışardan uygulanan kuvvettir (EM dalga durumunda elektriksel kuvvet yani Fdış=qE). Yukarıdaki denklem düzenlenirse x+ Bu dif. denklemin çözümü © 2008 HSarı γ me x + k x = Fdıs me 2. dereceden, doğrusal, homojen olmayan diferansiyel denklem x(t)=(homojen kısmının çözümü)+(özel çözüm) 5 Homojen kısmının (Fdış=0 durumunda) çözümü xh(t): x+ γ me x + k x=0 me çözümün xh (t ) = xo eiΩt şeklinde olduğunu düşünebiliriz (burada Ω elektronun salınm frekansıdır) Bu frekans değerini bulmaya çalışalım Çözümü yukarıdaki homojen denklemde yerine koyarsak iγ k γ2 Ω± = − ± − 2me me 4me 2 k γ (−Ω + + iΩ ) = 0 me me 2 Ω± = ± Eğer γ=0 => Homojen kısmın açık çözümü © 2008 HSarı k ≡ ωo me xh (t ) = xo e Bu terime rezonans frekansı denir i(± ( k γ2 γ − ) − t me 4 me 2 me e Burada (γ/2m) ifadesi sönüm katsayısı olarak bilinir 6 Özel kısmının (Fdış≠0 durumunda) çözümü xp(t): Fdıs = −eE = −eEo e−iωt x+ Çözümün γ me x + k x = Fdıs = −eEe − iωt me x p (t ) = xo e−iωt x p (t ) = (− Elektronun da EM dalganın ω frekansı ile salındığını düşünürsek eEo 1 ) e− iωt me (−ω 2 − iω γ + k ) me me Rezonans frekansı (ωo) cinsinden yazarsak özel çözümü x p (t ) = ( © 2008 HSarı e 1 ) E (t ) me (ω 2 − ω 2 + i γ ω ) o me 7 Genel çözüm t >> T=2π/ω durumunda x(t)=xh(t)+xp(t) xh(t>>T) => 0 e xp(t>>T) => x(t >> T ) ≅ ( m ) E (t ) (ω 2 − ωo2 + i γ me ω) x(t), elektronun dış elektrik alandan dolayı (+) yüklü iyona göre göreli yerdeğiştirmesidir. Bundan yola çıkarak dipol momentini tanımlamaya çalışırsak. Dipol momenti tanımından, p=qd atomun dipol momenti µatom µatom=|e|x(t) Polarizasyon vektörü P=(Toplam dipol momenti)/Hacim |P|= µatomN Burada N birim hacim başına düşen atom sayısıdır. Polarizasyon vektörünü P=εoχE=|e|x(t)N şeklinde yazabiliriz e2 N E (t ) ) ε o χ E(t ) =| e | x(t ) N = ( me (ω 2 − ω 2 + i γ ω ) o me © 2008 HSarı e2 1 χ (ω ) = ( N) γ εom (ω 2 − ωo2 + i ω ) me 8 e2 N 1 χ (ω ) = ( ) ε o me (ω 2 − ω 2 + i γ ω ) o me Ne 2 ω ≡ ε o me 2 p Burada kısaltması yapılırsa ( “plazma frekansı”) Plazma frekansı cinsinden elektriksel alınganlık ω p2 χ (ω ) = (ω 2 − ωo2 + i γ me ω) Benzer şekilde maddenin elektriksel geçirgenliğinin (ε) frekansa bağlılığını bulalım Elektriksel yerdeğiştirme vektörü D’nin tanımından D = εE = ε o E + P = ε o E + ε o χE = ε o ( 1 + χ )E εˆ = ε o + ε = ε o [1 + χ (ω )] ε oω p2 (ω 2 − ωo2 + i γ me ω) Herhangi bir kayıp kompleks ε ifadesine neden olmaktadır! Frekansa bağlı elektriksel geçirgenlik ε oω p2 (ω 2 − ωo2 − i εˆ (ω ) = ε o + 2 2 2 o (ω − ω ) + © 2008 HSarı γ me ω) ε oω p2 (ωo2 − ω 2 ) Re εˆ (ω ) = ε o + γ 2ω 2 2 2 2 (ωo − ω ) + 2 ε oω p2 ( γ 2ω 2 me2 Im εˆ (ω ) = 2 o γ me 2 2 me ω) (ω − ω ) + γ 2ω 2 me2 9 Dielektrik Ortam Dielektrik Durum (elektronların atoma bağlı olduğu durum) k ≠ 0, ε oω p2 (ωo2 − ω 2 − i εˆ (ω ) = ε o + 2 o 2 2 (ω − ω ) + ω p2 (ωo2 − ω 2 ) 2 nˆ (ω ) = εˆ ε o = 1 + γ 2ω 2 2 2 2 (ωo − ω ) + m 2 e 2 p 2 o γ me ω) γ 2ω 2 me2 γ ω p2 ω me −i γ 2ω 2 2 2 2 (ωo − ω ) + m 2 e ε oω p2 ( 2 ω (ω − ω ) Re nˆ 2 (ω ) = 1 + γ 2ω 2 2 2 2 (ωo − ω ) + 2 ωo ≠ 0 γ≠0 Im nˆ 2 (ω ) = 2 o γ me 2 2 ω) (ω − ω ) + me γ 2ω 2 me2 nˆ (ω ) = n(ω ) + iK (ω ) © 2008 HSarı k ∝ n(ω ) α ∝ K (ω ) 10 Re(n2) ω p2 (ωo2 − ω 2 ) Re nˆ (ω ) = 1 + γ 2ω 2 2 2 2 (ωo − ω ) + 2 2 1 me ω İm(n2) ε oω p2 ( Im nˆ 2 (ω ) = 2 o γ me 2 2 ε oω 2p ( ω) (ω − ω ) + me γωo ) γ 2ω 2 me2 Düşük frekanslarda n statik değerini verir Yüksek frekanslarda n(ω) © 2008 HSarı ω ωo ω p2 Re εˆ (0) = 1 + 2 ≡ ε s ωo Re εˆ (∞) ≡ ε ∞ = 1 11 Optik Dağınım (Dispersion) Normal ve anormal bölgeler ne anlama gelmektedir? Normal dağınımda kırılma indisi frekans ile artar n Normal dağınım dn >0 dω n ω 1 ω ωkırmızı ωmavi Beyaz ışık dn <0 dω n 1 n(ω) Normal dağınım © 2008 HSarı Anormal dağınımda kırılma indisi frekans ile azalır Anormal dağınım ω ωkırmızı Beyaz ışık ωmavi n(ω) Anormal dağınım 12 Bu bilgilerden camın neden görünür bölgede saydam olduğunu açıklayabiliriz Camın rezonans frekansı görünür bölgenin dışındadır. Dolayısı ile görünür bölgede soğrulma olmaz. görünür bölge Reκ 1 ω İmκ ωo çok küçük bir soğurma vardır © 2008 HSarı ω yüksek frekanslarda soğurma büyük olacağından cam saydam olmaz 13 Optik Dağınım (Dispersion) n n3 ω Beyaz ışık n(ω) nm > nk vm < vk nm c ω (k ) = k n( k ) ωo ω1 ω2 ω3 nk n=1 n(ω) n=1 z v1 v=c v2 v3 v=c E (ω) E (ω) ∆ω ∆ω n(ω) vg = c ( n − λ © 2008 HSarı dn −1 ) dλ vg = c N N ≡ (n − λ dn ) dλ t Soliton: dağınıma uğramayan dalga şekli Grup Kırılma İndisi Ödev: Ortamın kırılma indisi dalgaboyunun fonksiyonu ise grup hızının vg yukarıdaki gibi olduğunu gösteriniz 14 Tek bir rezonans frekans (ωo) düşündük. Eğer farklı frekanslarda madde içinde soğurma olursa γ ω) me ˆ ( ω ) = 1− ∑ κ γ2 2 2 2 2 i ( ω − ωoj ) + i 2 ω me ω2p ( ω2 − ωoj2 + i Reκ ω Soğurma İmκ ω ωo1 © 2008 HSarı ωo2 ωo3 15 Metalik Ortam İletkenler için (bağlı elektronlar veya dipoller yerine serbest elektronlar) yay sabiti k=0 ωο=0 fakat γ≠0 ε oω p2 (ωo2 − ω 2 − i εˆ(ω ) = ε o + γ me 2 2 o 2 2 (ω − ω ) + γ ω ω) ε oω p2 (ω 2 + i ωo=0 εˆ(ω ) = ε o − 2 4 ω + me2 κˆ (ω ) = εˆ (ω ) = nˆ 2 εo ω p2 γ2 2 ω + ω p2 ( İm(n 2 (ω )) = 3 ω + © 2008 HSarı ω) me2 Re(n (ω )) = 1 − 2 γ ε oω p m e +i 2 2 4 γ ω ω + m2 e me γ 2ω 2 2 ε oω p2ω 2 εˆ(ω ) = ε o − γ 2ω 2 4 ω + 2 me γ me2 γ me γ2 me2 Metalik ortam ) ω 16 Metal Ortam için Dielektrik sabitini κ Reκ ω p2 Re κˆ (ω ) = n 2 (ω ) = 1 − 2 ω + ω p2 Im κˆ (ω ) = K 2 (ω ) = ω3 + © 2008 HSarı γ 2 ≈1/ω2 İmκ me me2 ω me2 γ γ2 1 ≈1/ω3 ω ω 17 Dilektrik sabiti κ’nın gerçek kısmının Re(κ)=0 olduğu duruma (ω=ωp) bakalım: ω p2 2 Re κˆ (ω ) = n (ω ) = 1 − Reκ 2 ω + 1 Reκ>0 ωp ω 0 = 1− Re(κ)=0 Reκ<0 γ2 me2 ω2p γ2 ω + 2 me 2 ω >> γ/me durumunda Ne 2 ωp = ε o me 0 ≈ 1− ω2p 2 ω ⇒ ω = ωp N= Serbest elektron yoğunluğu (birim hacım başına) ωp değerine plazma frekansı denir Tipik plazma frekansının değeri ne mertebededir? (10 23 )(10 −19 ) 2 Ne 2 26 ≅ ≅ 10 ω = ε o me (10 −10 )(10 −31 ) 2 p ω p ≅ 1013 Görünür bölge frekansı ω=1014-1015 Hz, dolayısı ile plazma frekansı görünür bölgenin altındadır © 2008 HSarı 18 Plazma Frekansı Bazı Metallerin plazma frekans ve dalgaboyları Metal Değerlik N m-3) (1028 Bakır (Cu) 1 8.47 ωp 16 (10 Hz) λp (nm) 1.64 115 Gümüş (Ag) 1 5.86 1.36 138 Altın (Au) 1 5.90 1.37 138 manganez (Mg) 2 8.61 1.65 114 Aluminyu m (Al) 3 18.1 2.40 79 Ne 2 ω = ε o me 2 p λp = 2π c ωp Ödev-2: Çinko (Zn) iki değerlikli olup birim hücrede 6.6x1028 m-3 atom bulunmaktadır. Çinko için plazma frekansını ve plazma dalgaboyunu hesaplayınız © 2008 HSarı 19 Dilektrik sabiti κ’nın gerçek kısmının Re(κ)=0 olduğu duruma (ω=ωp) bakalım: Geçirme T Yanıtma R Yanıtma R 1 1 ω ωp ω Basit metaller için plazma frekansı morötesi bölgededir Al λp= 810 A ħωp (Al)=15.3 eV Na λp= 2170 A ħωp (Na)=5.7 eV ωp Plazma frekansı, görünür bölgede metallerin yansıtıcı olduklarını da açıklar. Al ve gümüş (Ag) yaygın olarak ışık yansıtmada ayna olarak kullanılmaktadır •Aluminyumun rengi görünür bölgedeki bütün ışığı yansıttığından beyazımsıdır •Altının, serbest elektronun yanısıra bant arası geçiş (4 eV) civarında olduğundan sarımsı renkte görünür © 2008 HSarı 20 Bakır’ın Optik Spektrumu Yanıtma R 1 Görünür bölge Bakır (Cu) ħωp=10.8 eV ħωp=10.8 eV ω 0 2 4 6 8 10 12 14 Bakırın renginin (10.8 eV) beyaz olmasını bekleriz ancak serbest elektronların yanında bantlararası geçişten (2 eV) dolayı kırmızımsı renkte görünür © 2008 HSarı 21 Plazma frekansı altındaki frekanslarda dielektrik sabiti negatif, kırılma indisi Re κˆ < 0 n ≅ Re κ̂ n=iα tümüyle kompleks Yansıtma katsayısını kırılma indisi cinsinden yazarsak Yansıtma katsayısına bakalım (yansıtma katsayısı R’yi n cinsinden yazarsak) R= n −1 n +1 Reκ 1 ω ωp 2 Karmaşık sayılalar 2 2 iα − 1 (−1)(1 − iα ) 1 − iα = = (1) R= iα + 1 1 + iα 1 + iα 2 =1 z z* 2 =1 R=1 yansıtma katsayısı 1, dalganın hepsi yansıyacak © 2008 HSarı 22 Eğer atmosfere radyo frekansı gönderirsek ne olur? Güneşden gelen UV ışınları atmosferin üst tabakasındaki atomları iyonlaştırarak bir çeşit plazma katmanı oluştururlar (iyonosfer) İyonosfer tabakasının plazma frekansı MHz mertebesindedir. C iyonosfer A B Dünya üzerindeki A ve B noktaları arasındaki iletişim için kullanılacak EM dalganın frekansı ωp’nin altında olmalıdır (AM radyo dalgaları) atmosfer EM dalganın frekansı C noktası için ise ωp’nin üstünde olmalıdır (FM dalgaları) n R 1 ω ωp (MHz) AM © 2008 HSarı FM 23 E(z,t) Özet χ,ε(ω) x z y ε = ε o [1 + χ (ω ) ] ω p2 χ (ω ) = 2 2 o (ω − ω + i εˆ = ε o − γ ω) me Dielektrik durumunda ε oω p2 (ω 2 − ωo2 + i γ me ω) Reκ ε oω p2 (ω 2 − ωo2 + i εˆ (ω ) = ε o − 2 1 γ me ω) γ 2ω 2 2 2 o (ω − ω ) + ω εofo/(γωo/me) İmκ me2 ωo ω İletken durumunda Reκ 2 p γ 2 ε oω (ω + i εˆ(ω ) = ε o − 4 ω + © 2008 HSarı me γ 2ω 2 2 e 1 ω ω) ωp İmκ m ≈1/ω3 ω 24
