Işığın Elektromanyetik Tanımlanması: Madde Ortamında

Işığın Elektromanyetik Tanımlanması:
Madde Ortamında Elektromanyetik Dalga
İçerik
•
•
•
•
© 2008 HSarı
Madde içinde Maxwell denklemleri
Dielektrik ortamda Maxwell denklemleri
Metal ortamda Maxwell denklemleri
Maddenin optik sabitleri arasındaki ilişki
2
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga
Maxwell denklemleri
(1)
(2)
(3)
(4)
ρ
∇ .E =
εo
∇ .H = 0
∂H
∇ × E = − µo
∂t
∂E ∇ × H = εo
+J
∂t
Boşluk için yukarıdaki denklemi çözüp ve hem E hem de H alanının dalga denklemini
sağladığını göstermiştik
Şimdi bu denklemleri maddesel bir ortam içinde çözmeye çalışalım
Birbirinden farklı iki tür ortamdan bahsedebiliriz. Bunlar;
Durum I:
J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam) ρserbest=0
Durum II:
J≠0 ( İletken ortam veya metalik ortam veya yansıtıcı ortam) ρserbest=0
© 2008 HSarı
3
Farklı Optik Ortamlar
Dielektrik Ortam: J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam) ρserbest=0
Metalik Ortam:
J≠0 ( İletken ortam veya metalik ortam veya yansıtıcı ortam) ρserbest=0
e
e
e
e
e
e
Dielektrik
ρ=0, J=0
Net yük yoğunluğu sıfırdır ve serbest
dolaşan yük bulunmaz
© 2008 HSarı
Metal
ρ=0, J≠0
Net yük yoğunluğu sıfırdır Ancak serbest
dolaşan yük(elektron) bulunur
4
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga
• Maddenin, dış elektrik alan etkisine tepkisi nasıldır?
• Bu elektrik alan elektromanyetik dalgayı oluşturan elektrik alan (optik alan) bileşeni
olduğunda maddenin tepkisi nasıl olur?
• Bu tepkinin frekansa bağlılığı nasıldır?
• Malzemenin elektrik alana tepkisini karakterize eden nicelikler ile maddenin
optik sabitleri arasındaki ilişki nasıldır?
© 2008 HSarı
5
Dielektrik Ortam-1
Durum I:
J=0 ( Dielektrik ortam, veya yalıtkan ortam veya transparent ortam)
ρserbest=0
Dielektrik malzemeleri (SiO2 gibi) mükemmel yalıtkan olarak düşüneceğiz
∇ .E = 0
∇ .H = 0
∂H
∇ × E = − µo
∂t
∂E
∇ × H = εo
∂t
Dielektrik ortam olduğu için E alanını ortamın karakteristiğini yansıtacak şekilde yeniden ifade etmemiz
gerekmektedir
Çünkü dış elektrik alan E, ortamdan dolayı değişikliğe uğrayacaktır
© 2008 HSarı
6
Kutuplanma Vektörü-1
Dış elektrik alanın malzeme üzerindeki toplam etkisi malzemenin Kutuplanma (Polarizasyon) Vektörü
olarak adlandırılır.
Malzemenin elektriksel karakteristiği polarizasyonudur. Bunu ifade edebilmek için Kutuplanma vektörü
kullanırız
+
+
-
-
EA
+
EA
+
-
VA
VA
E≠E, P≠0
E=E, P=0
Uygulanan dış alan madde içinde:
• İndüksiyon yolu ile elektrik dipoller oluşturur (önceden olmayan dipoller-atomun yük yoğ. değişmesi gibi)
• Var olan dipollerin (dış alan olmadan da var olan dipollerin, örneğin su molekülünde olduğu gibi)
alan ile aynı doğrultuya getirilmesini sağlar
C+
e
© 2008 HSarı
O-
C+
e
e
e
e
e
Enet
Eind
Po=0
OPo
E
H+
H+
P
7
Kutuplanma Vektörü
Polarizasyona katkı, atom içinde var olan atom ve moleküllerden gelmektedir
Malzemeyi oluşturan bir atomun polarizasyona katkısını düşünelim
-Ze
P
+Ze
+Ze
-Ze
E=0
-q
p
E
+q
µatom=Bir atomun dipol momentidir
d
µatom=qd
Aralarındaki mesafe d olan iki
zıt yükün dipol momenti (p)
E
-e
© 2008 HSarı
P
+e
Enet
Malzeme içindeki net elektrik alan
Enet=E-Eind
8
Kutuplanma Vektörü
Malzemenin elektriksel karakteristiği polarizasyonudur. Bunu ifade edebilmek için kutuplanma vektörü
(Polarizasyon Vektörü) kullanırız. Buna göre Polarizasyon vektörü
P= Polarizasyon vektörü
P=∑µ
µ/V
µatom=Bir atomun dipol momentidir
V=Hacim
Büyüklüğü |P| dipol moment/hacim
P=
Yönü ise dipol momentin yönündedir
Dipol momenti ise p=qd şeklindedir. Burada q yük, d ise yükler arasındaki uzaklıktır.
Yoğunluğu ρ, atomik kütlesi A olan bir maddenin hacim başına atom sayısı
Kutuplanma (Polarizasyon) vektörü
© 2008 HSarı
P =(
NA
ρ)µ atom
A
9
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-3
Uygulanan dış elektrik alan ile P arasında nasıl bir ilişki vardır?
P(E)=P0+εoχ(1)E+(χ
χ(2).E).E+...
Burada χ elektriksel alınganlıktır (electric susceptibility) ve madenin optik özelliklerini
incelemede oldukça önemli bir parametredir
χ(1)= 1. dereceden elektriksel alınganlık
χ(2)= 2. dereceden elektriksel alınganlık (doğrusal olmayan optik parametresi)
Birçok malzeme için Po sıfırdır (Dış elektrik alan olmadan var olan polarizasyon, Örneğin H2O)
C+
O-
O-
C+
P=0
Sadece birinci dereceden katkıyı göz önüne alırsak
P(E)=εoχ(1)E
P
H+
H+
Burada χ(1) skaler bir niceliktir. Fakat en genel olarak χ matris formundadır.
Çünkü malzemeler izotropik ve homojen olmayabilir. İzotropik ortamda (ve kübik kristallerde)
ortamdaki yön önemli değildir. E, D ve P vektörleri paralel ve ε, n ve χ skaler niceliklerdir.
Böyle bir ortamda elektromanyetik dalganın hızı ilerleme yönünden bağımsız olacaktır.
© 2008 HSarı
10
Optik Ortamlarx
P(E)=P0+εoχ(1)E+χ
χ(2).E2+...
x
n=sabit
homojen ortam
(a) Homojenlik (Homogenous)
y
x
(c) Dağıtkanlık (Dispersive)
nx=sbt≠ny=sbt ≠nz
y
anizotropik ortam
izotropik ortam
(b) İzotropiklik (İsotropic)
y
inhomojen ortam
x
x
nx=ny=nz=sbt
n(r)
y
x
v(ω)=sabit
(d) Çizgisellik (NonLinearity)
v(ω)
y
dağıngan olmayan ortam
x
y
dağıngan ortam
x
PαE
© 2008 HSarı
y
P α E2
y
11
çizgisel ortam
çizgisel olmayan ortam
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-4
İzotropik olmayan malzeme için P vektörünü tanımlarsak:
x
Px=εoχxEx
Py=εoχyEy
Pz=εoχzEz
z
y
Burada elektriksel alınganlıklar farklı yönler için en genel olarak farklı olabilir χx≠χy≠χz.
Örneğin izotropik olmayan bir malzemeye y doğrultusunda dış bir elektrik alan uygulandığında, malzemeyi oluşturan
atom veya molekülleri Ey doğrultusunda hizaya getirmek Ex doğrultusunda hizaya getirmekten eğer χx>χy ise daha
kolaydır
Elektriksel yerdeğiştirme vektörü D (malzeme içindeki alan)
uygulanan dış elektrik alan EA, polarizasyondan dolayı madde içinde oluşan
elektrik alan Eind, net elektrik alan Enet arasındaki ilişki
Enet=E-Eind
şeklinde olacaktır. Yani madde içindeki elektrik alan her zaman uygulanan dış alandan daha küçüktür.
E’yi P cinsinden yazarsak yer değiştirme vektörü D’yi
D=ε0(E+P)
şeklinde tanımlarız. P’yi uygulanan alan cinsinden (1. dereceden katkı alınarak) ifade edersek
P(E)=ε0χ(1)E
E cinsinden D yer değiştirme vektörü
© 2008 HSarı
D=εo(E+ χ(1)E)
=> D=(εo+εoχ)E
=> D=εE
12
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-5
ε≡εo(1+χ) kısaltması yapılırsa ε niceliğine maddenin elektriksel geçirgenliği
ε=maddenin elektriksel geçirgenliği
D=εE
Burada D kutuplanabilen madde içersindeki toplam (net) elektrik akıdır
Dolayısı ile yük yoğunluğunu ve Maxwell denklemini D cinsinden şu şekilde yazabiliriz
Elektrik Özellikler
E => D
(D=εoE+P =>D=εE)
Gauss yasasında εo => ε
D=Elektriksel yerdeğiştirme
Manyetik Özellikler
H => B (B=µoH+µoM => B=µH)
µo => µ
B=Manyetik akı
İki sabit µ ve ε, malzemenin özelliğini belirler. Optikte (yani EM dalgalarda) µ≈µ0 olarak
alınabileceği için biz sadece ε’nin özellikleri ile ilgileniriz. Dielektrik ortamda dalga denklemini
µ≈µ0 olduğu için
2
∂
E
∇ 2 E = µε 2
∂t
2
∂
E
∇ 2 E = µ0ε 2
∂t
Madde içinde Elektromanyetik dalganın(ışığın) hızı
© 2008 HSarı
yazabiliriz
vortam ≡ vm =
1
1
≅
<c
µε
µ 0ε
13
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-6
Madde ortamındaki (Dielektrik) EM dalganın(ışığın) hızını boş uzay çözümleri ile karşılaştıralım
Boş uzaydaki EM’nın hızı
c=
1
ε oµ 0
Madde ortamında EM’nın hızı
Kırılma indisi (n) tanımı
(
n≡
1
µ 0ε 0
vm =
1
µ0ε
)
c
ε
=
=
vm ( 1 )
ε0
µ 0ε
Kırılma indisi ışığın boşluktaki hızının (c), madde içindeki hızına (vm) oranıdır
Dielektrik sabiti (κ) tanımı ise:
ε
κ≡
= n2
εo
(κ-ksi okunur)
Gerçekte ε ve κ frekasına bağlıdır ama şimdilik incelemelerimize bunu dahil etmeyeceğiz
Yukarıda bulunan sonuçlar dielektrik ortam için geçerlidir
© 2008 HSarı
14
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-Dielektrik Ortam-6
Madde ortamındaki (Dielektrik) EM dalganın(ışığın) hızını boş uzay çözümleri ile karşılaştıralım
Madde
© 2008 HSarı
Kırılma İndisi
Bant Aralığı
Boşluk
1.0000
-
Hava
1.0003
-
Su
1.333
-
Cam
1.5-1.7
-
Si
3.5
1.12
Ge
4.0
0.67
GaAs
3.6
1.43
AlAs
3.2
InP
3.5
InAs
3.8
InSb
4.2
15
Dielektrik durum için dalga denkleminin çözümleri
E(z,t)=EoSin(kmz-ωt+φ)
km=2π/λm (madde içindeki optik dalganın dalga sayısı)
ω=2πν (dalganın açısal frekansı, ki boş uzaydaki ile aynıdır)
vm=ω/km veya vm=νλm (dalganın madde içindeki yayılma hızı)
ko
c
E(z)
E(t)
ω
v
ω
t
km
Boş uzay
© 2008 HSarı
z=0
dielektrik
z
Boş uzay
z=0 dielektrik
16
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-1
Durum II: İletken Ortam
İletken ortamda ρserbest=0 ve J≠0 (iletkenlerde serbest taşıyıcılar oldukça fazladır >1026 m-3)
Maxwell Denklemleri:
∇ .D = 0
∇ .H = 0
∂H
∇ × E = − µo
∂t
∂E ∇ × H = εo
+J
∂t
Yukarıdaki Maxwell denklemlerini çözebilmek için J ile uygulanan elektrik alan E arasında bir ilişki
türetmemiz gerekmektedir
Eğer işlemlerimizi doğrusal malzemelere, ki bu malzemeler Ohm yasasının geçerli olduğu malzemelerdir,
sınırlandırırsak J ile E arasındaki bağıntıyı
J=σE (Doğrusal iletken için Ohm yasası) şeklinde yazarız. Burada σ=iletkenliktir ( ρ=1/σ)
© 2008 HSarı
∂E
∇ × H = εo
+σ E
∂t
∂H
∇ × E = − µo
∂t
17
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-2
∂E
∇ × H = εo
+σ E
∂t
∂H
∇ × E = − µo
∂t
Bu iki denklemi çözmek yerine, dielektrik ortam için bulduğumuz çözümlere yeni terimler ekleyerek iletken
ortam için optik sabitleri türetebiliriz
Dielektrik durum için dalga denkleminin çözümleri
E(z,t)=EoSin(kmz-ωt+φ)
km=2π/λm (madde içindeki optik dalganın dalga sayısı)
ω=2πν (dalganın açısal frekansı, ki boş uzaydaki ile aynıdır)
vm=ω/km veya vm=νλm (dalganın madde içindeki yayılma hızı)
Dalga denklemi için üstel gösterim kullanırsak
i ( k . z −ωt +φ )
E ( z , t ) = Eo e m
İletken
∇ × E = +iωH
∇ × H = σE + ε(−iω) E
© 2008 HSarı
vm =
i ( k . z −ωt +φ )
H ( z, t ) = H o e m
 σ
 ∇ × H = (−iω) 
+ ε E
(
−
i
ω
)


Eo
Bo
Dielektrik
∇ × E = +iωH
∇ × H = ε(−iω) E
18
Ödev 3.1:
İletken ortamda elektrik alan için yazılan
2
∂ E
∂E
2
∇ E = µoε 2 + µoσ
∂t
∂t
diferansiyel dalga denkleminin çözümünün
i ( ωc nz +i ωc Kz )−ωt +φ 
E(z,t) = Eo e
olduğunu gösterin.
© 2008 HSarı
19
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-3
Dielektrik
İletken
 σ
 ∇ × H = (−iω) 
+ ε E
 (−iω) 
∇ × H = ε(−iω) E
Yukarıdaki iki ortam için
∇× H
denklemlerini karşılaştırırsak ε yerine
εˆ ≡
∇ × H = -iµo εˆE
σ
+ε
−iω
=>
εˆ ≡ ε + i
gibi dielektrik sabit tanımı yapabiliriz
σ
ω
İletken durumunda yeni dalga denklemi
2
∂ E
∇ 2 E = µ0 εˆ 2
∂t
ˆ 2E
− k m 2 E = − µ0εω
Elektromanyetik dalganın iletken içinde ilerleme hızı
© 2008 HSarı
ε̂
ε iletken durumunda karmaşık sayı!
v=
ω
km
=
1
µoεˆ
20
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-4
Kompleks ε’nin anlamı nedir? Dielektrik (σ=0) durumunda kırma indisi
n=
ε
c
=
= κ
εo
vm
Dielektrik sabiti gerçek iletken durumunda kırma indisi
Dielektrik sabiti kompleks
nˆ =
c
εˆ
=
= κˆ
vm
εo
Dolayısı ile en genel durumda n’nin karmaşık bir nicelik olduğunu söyleyebiliriz. Peki gerçekte karmaşık n ne demektir?
i (k .z −ωt +φ )
E(z,t)= Eo e m
ω
Dielektrik durumunda
km
= vm =
Bunu iletken durumu için genelleştirirsek
km =
Burada
km =
© 2008 HSarı
ω
nˆ
c
ω
c
⇒ km = n
n
c
n̂ = n + iK
ω
kˆm = (n + iK )
c
Madde içindeki dalga sayısı
K=Maddenin sönüm katsayısı (extinction coefficient of medium) (kırılma indisinin sanal kısmı)
21
Madde İçinde Elektromanyetik Dalga-İletken Ortam-5
kˆm =
ω
c
Re(k m ) =
(n + iK )
Im(k m ) =
ω
c
ω
c
n
K
− ω Kz i  ωc nz −ωt +φ
E(z,t)= Eo e c e
i ( ωc nz +i ωc kz ) −ωt +φ
E(z,t)= Eo e
 − ωc Kz 
ω
E(z,t) =  Eo e
sin(
nz − ωt + φ)

c


Genlik z değişkenine yani yayılma doğrultusuna bağlı. Κ > 0 için genlikte azalma söz konusudur.
Ortamın optik özelliği iki parametre ile verilir bunlar n ve Κ dır.
E(z,t)
E(z,t)
Eo/e
z
δ
z
Boş uzay
z=0
© 2008 HSarı
dielektrik
Boş uzay
z=0 iletken
Genliğin e-1değerine düştüğü z
değerine (δ) “sızma derinliği
(penetration dept) ” denir
e-1=1/2.7≈1/3
Bakır (morötesi λo=100 nm)
δ=0.6 nm
(kızılaltı λo=10 000 nm) δ=6 nm
22
Maddenin Optik Sabitleri
ω
km = n
c
i ( ω nz −ωt +φ )
E(z,t)= Eo e c
ω
kˆm = (n + iK )
c
i ( ωc nz +i ωc kz ) −ωt +φ
E(z,t)= Eo e
I=cεo<|E|2>
Parlaklık
− ω Kz i  ωc nz −ωt +φ
E(z,t)= Eo e c e
E alanını mutlak değerinin zaman ortalamasını alırsak
I = Io e −αz
Burada
© 2008 HSarı
α=
2ω
K
c
Maddenin soğurma katsayısı (boyutu=1/uzunluk)
23
Özet
Boş uzaydaki EM’nın hızı
c=
1
ε oµ 0
Madde ortamında EM’nın hızı
vm =
1
µ0ε
Madde ortamında elektromanyetik dalganın hızı vm=c/n
(
1
)
µ 0ε 0
c
ε
n≡
=
=
vm ( 1 )
ε0
Kırılma indisi
µ 0ε
Kırılma indisi en genel durumda karmaşık sayı ile ifade edilen bir niceliktir
Maddenin optik sabitleri
Gerçek kısmı => n=kırılma indisi,
Sanal kısmı => Κ=yok etme (extinction) katsayısı
© 2008 HSarı
24
Özet
εo: Boş uzayın elektrik geçirgenliği
µo: Boş uzayın manyetik geçirgenliği
Elektrik alınganlık
P
Kutuplanma (birim hacim başına dipol momenti)
ε
Maddenin elektrik geçirgenliği
εr=ε/εo Nispi geçirgenlik
n=(εr)1/2 Kırılma indisi
χ
κ=ε/εo Maddenin dielektrik sabiti
K=σ/εοω Yok etme (Extinction) katsayısı
n̂ = n + iK
Maddenin optik sabitleri
n=Kırılma indisi
Κ= Yoketme indisi (Extinction katsayısı )
© 2008 HSarı
25