Topoloji 1 Ö dev Soruları - Metrik ve Topolojik Uzaylar

Topoloji 1 Ödev Soruları - Metrik ve Topolojik Uzaylar
1.
2.
3.
4.
5.
bir kümesi üzerinde metrik olmak üzere aşağıda tanımlanan dönüşümlerin metrik olup olmadığını
araştırınız. Her
için
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
)
(c)
(
)
( (
(e)
(
)
{
18.
19.
20.
21.
(
(
)
))
)
(
)
*
(b)
(
)
(d)
(
)
(
sabit bir eleman)
( (
(
)+
))
|
|
)
)
(|
|
) dönüşümlerinin metrik olup
üzerinde tanımlanan (
ve (
olmadığını belirleyiniz.
) |
| ve
(
) (
) dönüşümlerinin metrik olup olmadığını
üzerinde (
belirleyiniz.
*
+ dizi uzayı üzerinde her
( )|
( )
( )
( )
için
*|
+ şeklinde tanımlanan
(
)
|
,
dönüşümünün üzerinde bir
metrik olduğunu gösteriniz.
,
- * |
,
+ kümesi üzerinde tanımlanan aşağıdaki dönüşümlerin metrik olup
olmadığını belirleyiniz.
*| ( )
)
( )|+ (b) (
) | ( )
( )|
(a) (
(
)
∫ | ( )
( )|
,
- üzerinde
(
) açık diskini düzlemde gösteriniz.
fonksiyonu için
*
+ kümesine bir “kapalı disk”
(
) bir metrik uzay,
(
)
ve
olsun. , denir. , - kapalı diskinin bir kapalı küme olduğunu ispatlayınız.
(
) bir metrik uzay olsun. Aşağıdaki eşitsizliklerin sağlandığını ispatlayınız Her
ve
için
( )|
(
)
)
(
)|
(
)
(
)
(a) | ( )
(b) | (
)
(
)|
(
)
(c) | (
(
) bir metrik uzay ve ( ) ( )
)→
(
) dir.
iki dizi olsun.
→
ve
→
ise (
İspatlayınız. (8. Problem (b) şıkkından yararlanılabilir.)
Bir metrik uzayda farklı iki noktanın ayrık komşulukları mevcuttur. (Hausdorff özelliği)
Metrik uzaylarda yakınsak her dizinin limiti tektir. (10. Problemden yararlanılabilir.)
(
) metrik uzayı ayrık metrik uzaydır
Yakınsak her dizinin belli bir terimden sonra tüm terimleri
sabitlenir. (Yani
) (*)
(
) (
) sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer
( ) ise
için ( )
dir.
(
) (
) sürekli bir fonksiyon ve
( ) ise her
olsun. Eğer
için ( )
için
( )
( ) dir.
(
) (
) fonksiyonu
noktasında süreklidir
için
16.
17.
)
(
(c)
6.
7.
(
(a)
: .
(
)/
( ( ) )’ dir. İspatlayınız.
(
) (
) ( )
, sabit fonksiyonunun sürekli olduğunu ispatlayınız.
(
) (
) ve
(
) (
) sürekli iki fonksiyon ise
(
)
(
) bileşke
fonksiyonunun da sürekli olduğunu ispatlayınız.
(
) (
) fonksiyonu
noktasında süreklidir
,
( )
( )(
) bir metrik uzay ve
(
) (
), ( )
(
)
sabit bir nokta olmak üzere
fonksiyonunun sürekli olduğunu gösteriniz. (8. Problem (c) şıkkından yararlanılabilir
(
) bir metrik uzay ve
(
) (
), ( )
(
) fonksiyonunun sürekli
olmak üzere
olduğunu gösteriniz. (8. Problem (c) şıkkından yararlanılabilir.)
(
)’ de (
)
ve
olacak şekilde iki kapalı kümeye örnek veriniz. (*)
22. (
) bir metrik uzay ve
olsun.
( )
kapalıdır
ve
için
dır. İspatlayınız. (Metrik uzaylarda bir kümenin kapalı
olduğunu göstermek için genelde bu yöntem kullanılır.)
)’ de (
)
23. (
ve
olacak şekilde iki kapalı kümeye örnek veriniz.
*
) bir metrik uzay ve
(
) (
) sürekli bir fonksiyon olsun. Bu takdirde
( )
24. (
+ kümesinin kapalı bir küme ve
*
+ kümesinin de açık bir küme olduğunu gösteriniz.
( )
( kümesinin kapalı olduğunu göstermek için 22. Problemden yararlanılabilir.)
) ikililerinden hangilerinin topolojik uzay oluşturduğunu belirleyiniz.
25. Aşağıda verilen (
*
+
* + * +}
(a)
{
+
{
*
+
(c)
{
) bir topolojik uzay,
26. (
(b)
27. (
*
) bir topolojik uzay,
* +* +*
+*
+}
* +* +* +* +*
+*
+*
ve
olsun. Bu takdirde
+}
dir. İspatlayınız.
olsun. Bu takdirde
ve
) bir topolojik uzay,
28. (
kümedir.
) bir topolojik uzay ve
29. (
kapalıdır
) bir topolojik uzay ve
30. (
dir. İspatlayınız.
kapalı bir küme olsun. Bu takdirde
ve
açık
kapalı bir
olsun.
dir. İspatlayınız.
olsun. Bu takdirde
Boştan farklı her
için
dir. İspatlayınız.
) bir topolojik uzay ve
olsun. Bu takdirde
hem açık hem kapalıdır.
) bir topolojik uzay ve
32. (
olsun. Bu takdirde
) topolojik uzayında
33. sonsuz bir küme olmak üzere (
(a) Boştan farklı her
için
dir.
31. (
34.
35.
36.
37.
38.
(
) olduğunu gösteriniz.
(b)
sonsuz bir küme ise
dir. (30. Problemden yararlanılabilir.)
(
) topolojik uzayının metriklenebilir olmadığını ispatlayınız.
(
) topolojik uzayının metriklenebilir olmadığını ispatlayınız.
*
+
(
) kümelerinin kapanış ve içini bulunuz.
(
) topolojik uzayında
*
+
(
) topolojik uzayında
(
) kümelerinin kapanış ve içini bulunuz.
(
) diskret (ayrık) topolojik uzayında bir kümenin türev kümesinin her zaman boş küme olduğunu
( ) dir. (Neden?) Yani tek noktalı kümeler
gösteriniz. (Yol gösterme: Bu uzayda her
için * +
komşuluktur.)
, ) topolojik uzaylarında
(
) ve (
kümesi için
ve
kümelerini bulunuz.
39.
) ve (
) topolojik uzaylarında herhangi bir
40. (
kümesinin kapanışını ve içini bulunuz.
41. Aşağıdaki topolojik uzaylardaki kapalı kümeleri belirleyiniz.
)
(a) (
)
(b) (
)
(c) (
)
(d) (
(e) (
)
)
(f) (
42. (
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
)’ de aşağıda verilen
*(
)
*(
)
*(
+
)
*(
+
)
*(
+
)
(f)
{(
)
(g)
2(
)
kümeleri için
+
+
}
√
3
ve
kümelerini bulunuz.
*(
)
(h)
*(
+
)
43. üzerinde
*(
)
44. Her
için
topoloji olduğunu gösteriniz.
*(
)
45. Her
için
*
+
+ ailesi bir topoloji midir? Neden?
+ olmak üzere
*
+ *
+ ailesinin
üzerinde bir
+ olmak üzere
+ ailesinin
üzerinde bir
topoloji olmadığını gösteriniz.
*
+ olmak üzere
46. Her
için
olduğunu gösteriniz.
*
+ olmak üzere
47. Her
için
olduğunu gösteriniz.
{
}
*
*
+
+
*
* + ailesinin
üzerinde bir topoloji
+ ailesinin
üzerinde bir topoloji
*
48. 46. ve 47. Problemlerde verilen topolojilerde aşağıda verilen
kümeleri için için
ve
kümelerini bulunuz.
*
+
(a)
*
+
(b)
*
+
(c)
*
+ ailesinin bir topoloji olması için ve kümeleri hangi
49. Boştan farklı bir kümesi üzerinde
şartı veya şartları sağlamalıdır.
50. boştan farklı bir küme ve
sabit bir nokta olsun. Bu takdirde
*
+ * + ailesinin üzerinde bir topoloji olduğunu gösteriniz.
(a)
(b)
topolojisine göre herhangi bir
kümesinin kapanışını ve içini karakterize ediniz. (Yol
gösterme: Öncelikle bu uzaydaki açık ve kapalı kümeler belirlenmelidir.)
*
+ * + ve
*
+ * +
51.
sonsuz bir küme olmak üzere
ailelerinin birer topoloji olup olmadığını araştırınız.
52. Aşağıda verilen ailelerinden hangileri üzerinde bir topoloji belirtir.
*(
+ *
+
)
(a)
*,
+ *
+
(b)
*,
+ *
+
)
(c)
53. (
) topolojik uzayında
⋃
eşit olup olmadıklarını inceleyiniz.
0
1 ve
⋃
0
1 kümelerini belirleyerek