∑ ∫

MAT307 METRİK UZAYLARA GİRİŞ
02.12.2011
ARA SINAV SORULARI
1) Aşağıdaki ( X , d ) ikililerinin birer metrik uzay tanımlayıp tanımlamadıklarını inceleyiniz:
a) X = ℝ 2 ve x = ( x1 , x2 ), y = ( y1 , y2 ) ∈ ℝ 2 için d ( x, y ) = x1 + x2 + y1 + y2

b) X = ℓ ve x = {xk }, y = { yk } ∈ ℓ için d ( x, y ) = 

p
p
∞
∑
k =1
xk − yk
p



1/ p
2) ℝ 2 alışılmış (Euclid) metrik uzayının Y = {( x, y ) : x ∈ ℤ , y ∈ ℤ } alt kümesini ele alalım:
a) Y alt kümesinin içini (Y o ) , yığılma noktalarının kümesini (Y ′) ve kapanışını (Y ) bulunuz.
b) Yukarıda bulduklarınızı değerlendirerek, Y nin, ℝ 2 nin açık alt kümesi mi, kapalı alt kümesi mi
olduğunu belirleyiniz.
c) Y kümesinin tanımladığı Y alt metrik uzayında, a = (1,1) olmak üzere a noktası merkezli
r = 1/ 2 yarıçaplı açık yuvar BrY (a ) = ?
3) C [0,1] sürekli fonksiyonlar kümesi üzerinde tanımlı;
d1 ( f , g ) = sup { f ( x) − g ( x) : x ∈ [0,1] }
1
ve
d2 ( f , g ) =
∫ f ( x) − g ( x) dx
0
metriklerini ele alalım. x ∈ [0,1] ve n ∈ ℕ için f n ( x) = x n ve f ( x) = 0 olmak üzere d1 ( f n , f )
ve d 2 ( f n , f ) uzunluklarını hesaplayarak { f n } dizisinin bu metrik uzaylarda f fonksiyonuna
yakınsayıp yakınsamadığını bulunuz. Elde ettiğiniz sonuçları değerlendirerek { f n } dizisinin f
fonksiyonuna düzgün yakınsak olup olmadığını yazınız.
4) ( X , d ) bir metrik uzay ve {xn } ,{ yn } bu metrik uzayda iki dizi olmak üzere n → ∞ için
d ( xn , yn ) → 0 olsun. Bu durumda {xn } Cauchy dizisi ise { yn } dizisinin de bir Cauchy dizisi
olduğunu gösteriniz.
5) a) Ayrılabilir olmayan metrik uzaya bir örnek veriniz.
b) Tam olmayan metrik uzaya bir örnek veriniz.
Süre: 75 dakikadır, başarılar.
Yrd. Doç. Dr. Gülay İ. Telsiz K.