1 İMPULS-MOMENTUM z A) Lineer impuls-Lineer Momentum G=mv m kütleli parçacığın uzayda eğrisel boyunca yaptığı hareketi inceleyelim. v hızı yörüngeye teğet olup a v ivmesi ise parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesi yönündedir. v F v y G yörünge r r2 2. yasayı r1 d F mv mv veya F G (1) dt O x şeklinde yazabiliriz, burada G mv parçacığın lineer (doğrusal) momentumu adını alır. (*) bağıntısı şöyle ifadelendirilebilir. “Parçacığın üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesi onun lineer momentumunun zamana göre değişimine (lineer momentumunun zaman türevine) eşittir.” Bu bağıntı parçacığın kütlesi sabit kaldığı sürece geçerlidir. (1) bağıntısı üç skaler bileşeni cinsinden yazılırsa , F G elde edilir. , F G Fx G x z z y y Bu skaler formüller birbirinden bağımsız olarak uygulanır. dG Şimdi F G bağıntısının her iki tarafı dt ile çarpılıp sonlu bir zaman aralığında integre edilirse dt bileşke kuvvet olan F in parçacığın lineer momentumu üzerindeki etkisi elde edilir. G2 F dt G G 2 G 1 G (2) t2 t1 G1 Fdt kuvvetin lineer impulsu olarak adlandırılır ve (**) bağıntısı “m kütleli parçacığın üzerindeki toplam lineer impuls onun lineer momentumundaki değişimine eşittir” şeklinde ifade edlir. G 2 mv2 Alternatif olarak m G1 Fdt G 2 G1 mv1 I I G v1 + = Fdt (3) İmpuls integrali vektörel olup hem yönü hem de şiddeti zamanla değişebilir. Bu durumda bağıntıyı skaler bileşeniyle yazarsak 2 t2 Fx dt mv x 2 mv x 1 G x 2 G x1 G x (3a) Fydt mv y 2 mv y 1 G y G y G y ” (3b) t1 t2 2 1 t1 t2 Fz dt mv z 2 mv z 1 G z 2 G z1 G z (3c) t1 olup birinin varlığı diğerini gerektirmez. Bu skaler bağıntılar birbirinden bağımsızdır. Kuvvet, F Parçacığa etkiyen F’ nin t ile değişimi deneysel yollardan veya yaklaşık yöntemlerle saptanmışsa grafik veya nümerik integralle ilgili zaman aralığında F-t eğrisi altında kalan alan impulsu verir. F dt hesaplanırken parçacığa etkiyen tüm kuvvetler SCD çizilerek hesaba katılmalıdır. F1 F2 t1 AÇISAL İMPULS VE AÇISAL MOMENTUM t2 zaman, t z Lineer impuls ve lineer momentuma ek olarak ve onlara benzer bir biçimde açısal impuls ve açısal momentumdan oluşan bir denklem takımı da vardır. Yukarıdaki m kütleli parçacık üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin sabit bir O noktasına göre toplam momentleri, M o r F r mv P(x,y,z) y Ho= r×mv (4) mv A r şeklinde ifade edilebilir. Burada, d r mv terimi r mv r m v r mv dt r m r 0 d r mv r mv dt O x olur. mvz z Parçacığın açısal momentumu veya lineer momentumunun O’ ya göre momenti HO’ dur. H o r mv r G d M o dt r mv d M o dt H o M H o o P(x,y,z) r (5) (6) (6’) yörünge ve O mvy mvx y z x y x 3 m parçacığına etkiyen tüm kuvvetlerin O gibi sabit bir noktaya göre olan toplam momenti, O’ ya göre açısal momentin zaman türevine eşittir. Bu formül rijit veya rijit olmayan parçacıklar sistemine de genişletilebilen dinamiğin en güçlü formüllerinden biridir. HO’ nun birimi [HO]=kg. m2/s =N.m.s’ dir. Açısal momentumun ifadesi de vektörel olduğundan bileşenleri cinsinden skaler olarak şöyle yazılabilir: Mox H ox M oy M H oy oz H oz Ayrıca açısal momentumun skaler bileşenleri de H o r mv ifadesinin açılımından elde edilebilir: i j k Ho m x y z m yv z zv y i mzv x xv z j m xv y yv x k vx vy vz H ox myv z zv y (6’’) H oz mxv y yv x H oy mzv x xv z O’ ya göre toplam momentin parçacığın açısal momentumu üzerine sonlu bir zaman süresince yaptığı etkiyi elde etmek için M o H o ifadesini t1’ den t2’ ye kadar integre etmek gerekir. dH o M o dt H o 2 t M o dt H dH o 1 o 1 t2 t2 H H o 2 o 1 H o veya r2 mv 2 r1 mv1 H o (7) M o dt t 1 toplam açı sal impuls açı sal momentumdaki deg isim Bu ifade, “m kütleli parçacık üzerine etkiyen toplam açısal impuls, açısal momentumdaki değişime eşittir” şeklinde belirtilebilir. Son olarak açısal impuls da vektör nicelik olduğundan bileşenleri itibariyle şu şekilde yazılabilir: M oxdt H ox 2 H ox 1 myv z zv y 2 yv z zv y 1 (7 a ) M oydt H oy 2 H oy 1 mzv x xv z 2 zv x xv z 1 (7 b ) M ozdt H oz 2 H oz 1 mxv y yv x 2 xv y yv x 1 (7 c) t2 t1 t2 t1 t2 t1 Parçacığın düzlemsel hareketinde bu formüllerin (7a, 7b, 7c) tümü kullanılmaz; çünkü momentler yalnızca hareket düzlemine dik bir eksene göre alınır (Örneğin x-y düzleminde hareket için z eksenine göre). 4 mv2 r2 Ho2=mv2d2 F d2 mv1 d1 Bu durumda açısal momentumun şiddeti ve/veya yönü (z, +z olarak) değişebilir, fakat açısal momentum vektörünün doğrultusu x-y’ ne dik olarak sabit kalır. t2 M o dt H o 2 H o 1 Fr sin dt mv 2 d 2 mv 1d1 t1 r1 O Mo=Frsin Ho1=mv1d1 MOMENTUMUN KORUNUMU Belirli bir zaman aralığında parçacık üzerine etkiyen toplam kuvvet sıfır ise ( F 0 ) bu aralıkta parçacığın lineer momentumu sabit kalır. Aynı sürede parçacık üzerine etkiyen kuvvetlerin sabit bir O noktasına göre toplam momentleri sıfır ( Mo 0 ) ise bu kez de parçacığın açısal momentumu sabit kalır. 1. durumda lineer momentum, 2. durumda ise açısal momentum korunmuş denir. Lineer momentum belirli bir eksende korunurken diğerinde korunmayabilir. Benzer biçimde açısal momentum da belirli bir noktaya göre veya eksene göre korunurken diğerine göre korunmayabilir. Lineer momentumun korunumu G 0 G1 G 2 Açısal momentumun korunumu Ho 0 Ho1 Ho 2 ÇARPIŞMA İki cismin çok kısa sürede ve oldukça büyük temas kuvvetleri doğuracak biçimde birbirlerine çarpışmalarıdır. Hız bileşenlerinin aynı doğrultu ve ters yönde oldukları eksen çarpışma eksenidir. Momentumun korunumu ve sıçrama katsayısı (e) bağıntıları bu eksende yazılır. e=1 tam elastik çarpışma e=0 tam plastik çarpışma 0<e<1 elastoplastik çarpışma e=1 hem momentum hem de enerji korunur. e<1 sadece momentum korunur. v1 y m1 v1 m1 x v2 m2 v2 m2 Çarpışma ekseni “y” dir. (1) m1(v1y)+ m2(v2y)= m1(v1y)+ m2(v2y) x eksenindeki hız bileşenleri sabit kalır: (2) e v1x=v1x v1 y v2 y v1y v2 y v2x=v2x 5 ÖRNEK PROBLEMLER LINEER IMPULS VE LINEER MOMENTUM Fdt mv mv2 mv1 3.177 mv1 Fdt mv2 30 10 3 24000 20 10 3 180 20 10 3 v 2 3.6 v2 6786.7 m/s=24432 km/h 3.179 Fdt mdv 48 10 3 250 R 10 6450 0 3.6 R=3208 N3.21 kN 3.185 mv1 Fdt mv2 200 6 200 1.62 400t dt 2 200 1.62 800 2 200v 2 2 2 2 t2 1200 200 1.62 2 400 952 200v 2 2 0 v2=0.48 m/s v3 v2 g m t =0.48+1.621=2.1 m/s 3.187 mv1 Fdt mv2 m 4m g 5 tm (8) 13 t=3.18 s AÇISAL IMPULS VE AÇISAL MOMENTUM 3.221 H o r mv 6i 8 j 2 7 sin 30i 7 cos 30 j x 6 H o 84 0.866k 112 0.5k 128.74k kgm2/s Ho=mvrsin= 2 7 10 sin( 30 36.87) 128.74 kgm2/s 3.222 v 4cos 45i sin 45 j 2 2i 2 2 j G mv 3 2 2i 2 2 j 6 2i 6 2 j kgm/s H o r mv i 3 j 6 2i 6 2 j 6 2k 6 6k 23.18k kgm2/s T 1 2 1 mv 3 4 2 24 joule 2 2 3.223 H o r mv ai bj ck mvj amvk cmvk mv ci ak H o M o r ma r F ai bj ck Fk aFj bFi F bi aj 2mr H o 2 H o1 0 H 0 3.231 o r 2m2r 2r 0 1 T 2 mr 2 2 o o / 4 2 1 o 2 2 3 2 2 m 2r 4 mr o 4 3 2 2 mr o T 4 3 n 2 2 T 4 mr o 3.234 i ) t 2 0.5 0.5 t1 0 0 Fr sin dt mv2 d 2 mv1 d1 M o T mv B d B v A d A Mo M o dt mv2 d 2 mv1d1 0.026 0.18 cos 30 4 0.09 sin 30 0.0302 Nm 0.5