6.Ders - kişisel sayfalar - Dokuz Eylül Üniversitesi

17.9.2017
DİNAMİK
Ders_6
Doç.Dr. İbrahim Serkan MISIR
DEÜ İnşaat Mühendisliği Bölümü
Ders notları için:
http://kisi.deu.edu.tr/serkan.misir/
2017-2018 GÜZ
LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ
Bugünün Hedefleri:
1. Bir parçacığın lineer
momentumunun ve bir kuvvetin
lineer impulsunun hesaplanması,
Sınıf Etkinliği:
2. Lineer impuls ve momentum
• Sözel Yoklama
prensibinin uygulanması.
• Uygulamalar
• Lineer Momentum ve İmpuls
• Lineer Momentum ve İmpuls
Prensibi
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 2 / 78
1
17.9.2017
SÖZEL YOKLAMA
1. Lineer impuls ve momentum denklemi __________’nin
zamana göre integre edilmesiyle elde edilir.
A) sürtünme kuvveti
B) hareket denklemi
C) kinetik enerji
D) potansiyel enerji
2. Lineer impuls ve momentum denklemi hangi parametreyi
içermez ?
A) Hız
B) Ötelenme
C) Zaman
D) Kuvvet
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 3 / 78
UYGULAMALAR (devam)
İmpulsa güzel bir örnek, bir
beysbol sopası ile topa vurma
eylemidir.
İmpuls, sopa tarafından
uygulanan ortalama kuvvet ve
sopayla topun temas halinde
olduğu zamanın çarpımıdır.
İmpuls bir vektör müdür? İmpuls, uygulanan kuvvetle aynı
yönde midir?
Bir topa vurulmasıyla ilgili bir problem verildiğinde, topun
bileşke hareketini nasıl tahmin edebiliriz?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 4 / 78
2
17.9.2017
UYGULAMALAR (devam)
Balyoz ile bir kazığa vurulduğunda,
kazığa büyük bir impuls kuvveti
aktarılır ve bu da onu zemine doğru
çakar.
Eğer balyozun vurma öncesi hızını
ve darbenin süresini biliyorsak,
kazığa iletilen impulsif kuvveti
nasıl hesaplarız?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 5 / 78
LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ
(Bölüm 15.1)
Parçacık kinetiği problemlerini çözmek için kullandığımız diğer bir
yöntem, hareket denklemi zamana göre integre edilerek elde edilir
(yerdeğiştirmeye göre integre edilirse=>İş ve Enerji Prensibi).
Elde edilen denklem, impuls ve momentum prensibi olarak
adlandırılır. Hem lineer (doğrusal) hem de açısal hareketler
içeren problemlere uygulanabilir.
Bu prensip, kuvvet, hız ve zaman içeren problemlerin çözümü
için çok kullanışlıdır. Ayrıca darbe mekaniğinin incelenmesi
için kullanılır (bu ders kapsamında yer almayacak)
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 6 / 78
3
17.9.2017
LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ
(devam)
Lineer impuls ve momentum prensibi, hareket denkleminin
zamana göre integre edilmesiyle elde edilir. Hareket
denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir;
F = m a = m (dv/dt)
Değişken dönüştürülür ve t = t1’de v = v1 ve t = t2’de v = v2
limitleri arasında integre edilirse

t2
v2
t1
v1
 F dt = m  dv
= mv2 – mv1
Bu denklem lineer impuls ve momentumun eşitliğini ifade eder.
Parçacığın sonuç hızı (v2) ve başlangıç hızı (v1) ile
parçacığa etkiyen kuvvet (zamanın bir fonksiyonu) arasında
bir ilişki kurar.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 7 / 78
LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ
(devam)
Lineer momentum: mv vektörü lineer momentum olarak adlandırılır
ve L ile gösterilir. Bu vektör v ile aynı yöne sahiptir.
Lineer momentum vektörü (kg·m)/s birimindedir.
Lineer impulse: F dt integrali lineer impuls’dur ve I ile gösterilir.
Hareket süresince kuvvetin toplam etkisini veren vektörel bir
büyüklüktür. I , F kuvveti ile aynı yönde etkir ve birimi N·s ’dir.
İmpuls, doğrudan integrasyonla
bulunabilir. Grafiksel olarak,
kuvvet-zaman eğrisinin altındaki
alana eşittir. Eğer F sabitse, bu
durumda;
I = F (t2 – t1) olur.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 8 / 78
4
17.9.2017
LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ
(devam)
Lineer momentum ve impuls
prensibi vektörel olarak aşağıdaki
gibi gösterilir.
t2
t1
=
+
Başlangıç momentum diyagramı
mv1 +   F dt = mv2
İmpuls diyagramı
Parçacığın başlangıç momentumu
artı t1’den ve t2’ye kadarki zaman
aralığında etkiyen tüm
impulsların toplamı eşittir
parçacığın son momentumu.
Son momentum diyagramı
İki momentum diyagramı parçacığın başlangıç ve son momentumunun
(mv1 ve mv2) büyüklüğünü ve yönünü belirtir.
İmpuls diyagramı, serbest cisim diyagramına (SCD) benzer fakat
parçacığa etkiyen kuvvetlerin zaman aralığı bilgisini de içerir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 9 / 78
İMPULS VE MOMENTUM: SKALER DENKLEMLER
Lineer impuls ve momentum prensibi bir vektörel denklem
olduğundan, x,y ve z bileşenleri olarak skaler denklemlere
t2
ayrılabilir:
m(vx)1 +   Fx dt = m(vx)2
t1
t2
m(vy)1 + 
 Fy dt = m(vy)2
t1
t2
m(vz)1 + 
 Fz dt = m(vz)2
t1
Hız ve kuvvet vektörleri bir kez x,y ve z bileşenlerine
ayrıldığında, skaler denklemler lineer impuls ve momentum
prensibinin uygulanması için çok anlamlı bir araca dönüşür.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 10 / 78
5
17.9.2017
PROBLEM ÇÖZÜMÜ
• x, y, z koordinat sistemini kur.
• Parçacığın impuls ve momentum diyagramlarını çizerken,
parçacığın serbest cisim diyagramını çiz ve ayrıca başlangıç ve
son hızlarının yönlerini yerleştir. Lineer momentumlarını ve
kuvvetlerin impuls vektörlerini göster.
• Kuvvet ve hız (veya impuls ve momentum) vektörlerini
x, y ve z bileşenlerine ayır, skaler formları kullanarak impuls
ve momentum prensibini uygula.
• İmpulsların elde edilmesi için zamanın bir fonksiyonu olan
kuvvetlerin integre edilmesi gerekir. Eğer kuvvet sabitse, bu
kuvvetin impulsu, kuvvetin büyüklüğü ile parçacığa etkidiği
zaman aralığının çarpımına eşittir.
6 - 11 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 1
Verilen: 0.5 kg’lık top sert bir
zemine çarpmış ve şekilde
görülen hız ile sekmiştir
(zeminle temas halinde olduğu
süre boyunca topun ağırlığı
ihmal edilecek).
İstenen: Topa etkiyen impulsif kuvvetin büyüklüğü.
Plan:
1) Zemine vurduğu an için topun momentum ve
impuls diyagramlarını çizin.
2) İmpulsif kuvveti bulmak için impuls ve momentum
prensibini uygulayın.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -12 / 78
6
17.9.2017
ÖRNEK 1 (devam)
Çözüm:
1) İmpuls ve momentum diyagramları aşağıdaki şekilde
çizilebilir:
 W dt  0
mv2
=
+
45°
mv1
 F dt
30°
 N dt  0
Zeminden kaynaklı impulsa kıyasla şiddetleri çok küçük
olduğundan, topun ağırlığı ve N normal kuvveti sebebiyle
oluşan impuls ihmal edilebilir.
6 - 13 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 1 (devam)
y
2) Hareketin yönü boyunca impuls ve momentum prensibi
uygulanabilir:
mv1 + 
t F dt = mv2
45°
1
+ mv
t2

x
t2
0.5 (25 cos 45° i − 25 sin 45° j) +  F dt
= 0.5 (10 cos 30° i + 10 sin 30° j)
1
 W dt  0
t1
Bu durumda impulsif kuvvet vektörü:
t2
I =   F dt = (-4.509 i + 11.34 j ) Ns
t1
 F dt
Büyüklüğü ise : I = √ 4.5092 + 11.342 = 12.2 Ns olur.
Ağırlığın impulsu: 0.5 kg * 9.81 m/s2 * ≈0.01 s ≈ 0.05 N.s
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
 N dt  0
II
mv2
30°
6 - 14 / 78
7
17.9.2017
ÖRNEK 2
Verilen: 1500 kg’lık
arabanın tekerleri grafikten
görüldüğü gibi araca F çekiş
kuvveti sağlamaktadır.
İstenen: Eğer başlangıçta
durağansa, t = 6 s anında
arabanın sürati.
Plan: 1) Arabanın momentum ve impuls diyagramlarını çiz.
2) Sürati bulmak için impuls ve momentum prensibini
uygula.
6 -15 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 2 (devam)
Çözüm:
1) İmpuls ve momentum diyagramları aşağıdaki gibi olur:
 W dt
mv1 = 0
mv2
=
+
 F dt
 N dt
F çekiş kuvveti neden sağa doğru etkiyecek şekilde çizildi?
Arabanın W ağırlığı ve N normal kuvvetinin etkisi ihmal edilebildi.
Neden?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -16 / 78
8
17.9.2017
ÖRNEK 2 (devam)
2) İmpuls ve momentum prensibi hareket yönü boyunca
uygulanabilir:
+  mv1 + 
t2
t F dt = mv2
1
(1500 kg) (0 m/s) + 1/2 (6000 N) (2 s) + (6000 N) (4 s)
= (1500 kg) (v2 m/s)
v2 = 20 m/s
6 -17 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
KAVRAMSAL YOKLAMA
F
1. Kuvvetten kaynaklı impulsu hesaplayın.
A) 20 kg·m/s
B) 10 kg·m/s
C) 5 N·s
D) 15 N·s
10 N
Kuvvet
eğrisi
t
2s
2. Sabit bir F kuvveti, parçacığın hızını v1 ’den v2 ’ye
değiştirmek için 2 s boyunca etkimiştir. Eğer parçacığın
kütlesi 2 kg ise, F kuvvetini hesaplayın.
A) (17.3 j) N
B) (–10 i +17.3 j) N
C) (20 i +17.3 j) N
D) ( 10 i +17.3 j) N
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
v2=20 m/s
60
v1=10 m/s
6 - 18 / 78
9
17.9.2017
ÖRNEK 3
Verilen: 40 kg’lık kasa,
10 m/s ile aşağı doğru
hareket ediyor. M motoru
ise, grafikte görüldüğü
gibi büyüklüğü değişken
bir F kuvveti ile kabloyu
çekiyor.
İstenen: t = 6 s anında
kasanın sürati.
Plan: 1) Kasanın momentum ve impuls diyagramlarını çiz.
2) Sürat, bulmak için impuls ve momentum prensibini
uygula.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -19 / 78
ÖRNEK 3 (devam)
Çözüm:
1) İmpuls ve momentum diyagramları
 2F dt
+
mv1
=
mv2
 W dt
Kablo kuvveti sebebiyle oluşan impuls:
6
+↑  2 F dt = 2 [0.5 ( 150 + 450 ) 6 ] = 3600 Ns
0
Ağırlık sebebiyle oluşan impuls:
6
+↑  (− W) dt = −40 (9.81) (6) = − 2354 Ns
0
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -20 / 78
10
17.9.2017
ÖRNEK 3 (devam)
2) Sürati bulmak için impuls ve momentum prensibini uygula.
mv1 + 
t2
t F dt = mv2
1
6
+  mv1 
0
6
0 2F dt = mv2
W dt +
40 (-10) − 2354 + 3600 = 40 v2
 v2 = 21.1 m/s 
6 - 21 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
DİKKAT YOKLAMASI
1. 100 Mg VTOL uçağının jet motorları, uçak havada
durduğu sırada sabit 981 kN’luk düşey bir kuvvet uygulamaktadır.
t = 10 s boyunca uçak üzerindeki net impuls nedir?
A) -981 kN·s
B) 0 kN·s
C) 981 kN·s
D) 9810 kN·s
2. 1000 N’luk bir dolap düzgün bir yüzey üzerine
konulmuştur. Eğer dolaba 2 s boyunca 1000 N’luk
bir kuvvet uygulanırsa, bu süre boyunca dolaba
etkiyen net impuls nedir?
A) 0 N·s
B) 1000 N·s
C) 2000 N·s
D) 3000 N·s
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
30
6 -22 / 78
11
17.9.2017
ÖRNEK 4 (ders dışında incelenecektir)
1 m/s
250 N’luk kutuya P=100 t şiddetinde değişken
bir kuvvet etkimektedir (t s cinsinden).
P’nin etkidiği iki saniyenin sonunda kutunun
hızını bulunuz. Başlangıçtaki hız v1 = 1 m/s’dir
ve kinetik sürtünme katsayısı μk = 0.3’dür.
6 -23 / 78
ÖRNEK 4 (devam)
6 -24 / 78
12
17.9.2017
ÖRNEK 4 (devam)
6 -25 / 78
ÖRNEK 5 (ders dışında incelenecektir)
Şekildeki grafik ayak-yer etkileşimden dolayı oluşan reaktif kuvvet
grafiğidir. İlk maksimum değer topuğa, ve ikinci maksimum değer de
ayağın ön yüzüne etkimektedir. Bu etkileşimden dolayı oluşan
maksimum impuls değerini bulunuz.
6 -26 / 78
13
17.9.2017
ÖRNEK 5 (devam)
Toplam impuls F-t grafiğinin altında kalan alandır:
I = 0.2625 Ns olarak bulunur.
6 - 27 / 78
ÖDEV 1
1500 kg’lık dört çeker jip her biri 500 kg’lık iki kasayı itmekte
kullanılıyor. Tekerleklerle yer arasındaki statik sürtünme katsayısı
0.6 ise, aracın 5 sn sonra tekerlekleri kaymadan ulaşabileceği
maksimum hızını hesaplayınız? Kasalar ve yer arasındaki kinetik
sürtünme katsayısı 0.3’tür ve başlangıçta jip durağan haldedir.
6 -28 / 78
14
17.9.2017
ÖDEV 1 (devam)
Serbest cisim diyagramları:
Burada FD = maksimum itme kuvvetidir!
Tekerlek dönme hareketi yapmaktadır, bu
nedenle sürtünme kuvveti ile karıştırmayınız!
Cevap: 11.77 m/s
6 -29 / 78
PARÇACIK SİSTEMLERİ İÇİN
LİNEER İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ VE
LİNEER MOMENTUMUN KORUNUMU PRENSİBİ
Bugünün Hedefleri:
1. Lineer impuls ve momentum
prensibinin bir parçacık
sistemine uygulanması,
2. Momentumun korunumuna ait
koşulların anlaşılması.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• Parçacık Sistemleri için
Lineer İmpuls ve
Momentum
• Lineer Momentumun
Korunumu
• Kavramsal Yoklama
• Örnek problem Çözümü
• Dikkat Yoklaması
6 -30 / 78
15
17.9.2017
SÖZEL YOKLAMA
1. Bir parçacık sistemine etkiyen iç impulslar her zaman
_______.
A) dış impulslara eşittir
B) sıfıra eşittir
C) ağırlığın impulsuna eşittir
D) Hiçbiri.
2. Eğer bir impuls-momentum analizi, resimde görüldüğü gibi
çok kısa bir etkileşim süresi için yapılıyorsa, ağırlık bir
_________.
A) impulsif kuvvettir.
B) explosif kuvvettir.
C) impulsif olmayan kuvvettir.
D) iç kuvvettir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -31 / 78
UYGULAMALAR
Bu fırlatma makinasının tekerleri dönerken,
topa sürtünme impulsları uygulamakta ve
böylece ona F dt ve F´dt yönlerinde bir
lineer momentum kazandırmaktadır.
Topun tekerlerle temas ettiği zaman aralığı
çok kısa olduğundan Wt ağırlık impulsu
çok küçük olacaktır.
Topun fırlatılma hızı, topun kütlesine
bağlı mıdır?
Dikkat edilirse, normal kuvvetler iş yapmasalar
bile impuls (itki) oluşturmaktadırlar.
(F.dt) impulsu ile (F.ds) işi karıştırılmamalıdır!
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -32 / 78
16
17.9.2017
UYGULAMALAR (devam)
Bu büyük vinçe tutturulmuş tokmak
(şahmerdan) zemine kazık çakmak için
kullanılmaktadır.
Tokmağın tekrar yukarıya sekmediğini
varsayarak ve momentumun
korunumunu kullanarak, kazığın hemen
çarpma sonrasındaki hızını bulabiliriz.
Eğer tokmak geri sekerse, tokmağın geri sekmediği duruma göre
farklı bir kazık hızı bulur muyuz? Neden?
İmpuls-momentum analizinde, tokmağın ve kazığın ağırlıklarını
ve ayrıca direnç kuvvetini hesaba katmamız gerekir mi?
Niye ya da niye değil?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -33 / 78
PARÇACIK SİSTEMLERİ İÇİN LİNEER İMPULS VE
MOMENTUM PRENSİBİ (Bölüm 15.2)
Şekilde görülen parçacık
sisteminde, parçacıklar arasındaki
fi iç kuvvetleri her zaman eşit
büyüklükte ve zıt yönlerde çiftler
şeklinde oluşur. Bu sebeple
iç impulsların toplamı sıfırdır.
Bu sistemin lineer impuls ve momentum denklemi sadece
dış kuvvetlerin impulslarını içerir:
t2
 mi(vi)1    Fi dt   mi(vi)2
t1
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -34 / 78
17
17.9.2017
KÜTLE MERKEZİNİN HAREKETİ
Bir parçacık sisteminde, topaklanmış kütleyi temsil eden mtot için
fiktif (kurgusal) bir kütle merkezi tanımlayabiliriz, burada mtot tüm
parçacıkların toplam kütlesidir ( mi). Bu durumda, bu parçacık
sisteminin topaklanmış halinin hızı vG = ( mivi) / mtot olur.
Bu fiktif kütlenin hareketi, sistemin kütle merkezinin hareketine
bağlıdır.
Konum vektörü, rG = ( miri) / mtot kütle merkezinin hareketini
tanımlar.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 35 / 78
PARÇACIK SİSTEMLERİ İÇİN LİNEER
MOMENTUMUN KORUNUMU PRENSİBİ (Bölüm 15.3)
Eğer, bir parçacık sistemine etkiyen dış impulsların
toplamı sıfırsa, lineer impuls-momentum denklemi
aşağıdaki denkleme sadeleşir;
mi(vi)1 = mi(vi)2
Bu denkleme, lineer momentumun korunumu adı
verilir. Lineer momentumun korunumu genellikle
çarpışan veya etkileşen parçacıklar için uygulanır.
Parçacıklar çarpıştığında, sadece impulsif kuvvetler
lineer momentumda bir değişime neden olur.
Balyoz, kazığa impulsif bir kuvvet uygulamaktadır.
Balyozun uyguladığı kuvvete kıyasla kazığın ağırlığının ihmal edilebilir
olduğu veya impulsif bir kuvvet olmadığı kabul edilmiştir.
Ayrıca, kazığın yumuşak zemin içine küçük bir dirençle çakılabildiği,
kazığa uygulanan zemin direncinin de impulsif olmadığı varsayılmıştır.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -36 / 78
18
17.9.2017
ÖRNEK 6
Verilen: Yay sabiti k = 10 kN/m,
mA = 15 kg, vA = 0 m/s, mB = 10 kg, vB = 15 m/s
Bloklar çarpışma anında birbirine kenetleniyor.
İstenen: Yaydaki en büyük sıkışma.
Plan:
1) Her iki bloğu tek bir sistem olarak düşünebiliriz ve yay
henüz sıkışmadan önceki hızı, lineer momentumun
korunumunu kullanarak bulabiliriz.
2) Sonra yaydaki sıkışmayı bulmak için enerjinin korunumunu
kullanabiliriz.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -37 / 78
ÖRNEK 6 (devam)
Çözüm:
1) Lineer momentumun korunumu
+  mi(vi)0 = mi(vi)1
10 (15 i) = (15+10) (v i )
v = 6 m/s
= 6 m/s 
2) Enerjinin korunumu denklemi
T1 + V1 = T2 + V2
½ (15+10) (-6)2 + 0 = 0 + ½ (10000) (smax) 2
Dolayısıyla yaydaki en büyük sıkışma: smax = 0.3 m.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 38 / 78
19
17.9.2017
ÖRNEK 7
Verilen: mA = 20 Mg ve
mB = 15 Mg olan iki
vagonun hızları şekildeki
gibidir.
İstenen: Eğer vagonlar çarpışır ve B vagonu sağa doğru 2 m/s
süratle geri sekerse, çarpışmadan sonra A vagonunun sürati ne olur.
Ayrıca, eğer çarpışma 0.5 s içinde olmuşsa, ortalama impulsif
kuvveti bulun.
Plan: Çarpışmadan sonra A vagonunun hızını bulmak için lineer
momentumun korunumunu kullan (tüm iç impulslar ihmal).
Sonra, sadece tek bir vagona bakarak impulsif kuvveti
bulmak için impuls-momentum prensibini kullan.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -39 / 78
ÖRNEK 7 (devam)
Çözüm:
Lineer momentumun korunumu (x-yönü):
mA(vA1) + mB(vB1) = mA(vA2)+ mB(vB2)
20,000 (3) + 15,000 (-1.5)
= (20,000) vA2 + 15,000 (2)
vA2 = 0.375 m/s
A vagonundaki impuls-momentum (x-yönü):
mA (vA1)+ ∫ F dt = mA (vA2)
20,000 (3)  ∫ F dt = 20,000 (0.375)
Ortalama impulsif kuvvet:
∫ F dt = 52,500 N·s => impuls
∫ F dt = 52,500 N·s = Fort (0.5 sec); Fort = 105 kN
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -40 / 78
20
17.9.2017
KAVRAMSAL YOKLAMA
1) Bir oyuncunun servis vuruşu sırasında, tenis topunun rakete
çarptığı kısa zaman aralığında topun ağırlığının ____varsayılabilir.
A) impulsif olmadığı
B) impulsif olduğu
C) Newton’un ikinci hareket kanununa tabi olmadığı
D) Hem A hem de C.
2) Bir maden sahasında, sert kayaların içerisine patlayıcı
yerleştirebilmek için havalı çekiç ve bir delgi çubuğu
kullanılmaktadır. Delme işlemi sırasında delgi çubuğuna
kaç adet impulsif kuvvet etkimektedir?
A) Hiç.
C) İki
B) Bir
D) Üç
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 41 / 78
ÖRNEK 8
Verilen: Serbestçe dönen tekerlere
sahip rampanın kütlesi 40 kg’dır.
10 kg’lık A kasası başlangıçta
durağanken 3.5 m sonraki B
noktasına doğru kaymaktadır
(rampanın düzgün bir yüzeye sahip
olduğu kabul edilecek ve
tekerleklerin kütlesi ihmal edilecektir.
İstenen:
Kasa B’ye ulaştığında rampanın sürati.
Plan: Rampanın süratini bulmak için enerjinin korunumu
denklemini veya lineer momentumun korunumu ve göreli
hız denklemini kullanabilirsiniz.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -42 / 78
21
17.9.2017
ÖRNEK 8 (devam)
Çözüm:
vC ve vr arasındaki ilişkiyi bulabilmek
için lineer momentumun korunumunu
kullan:
+
 0 = (40) (−vr) + (10) vCx
 vCx = 4 vr
(1)
vC
vr
vC = vr + vC/r olduğundan
 vCx i − vCy j = − vr i + vC/r (cos30 i − sin30 j)
 vCx = − vr + vC/r cos 30
(2)
vCy = vC/r sin 30
(3)
Denk.(2) ve (3)’den vC/r sadeleştirilerek, ve Denk.(1)’de yerine
konulduğunda vCy = 8.660 vr bulunur.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -43 / 78
ÖRNEK 8 (devam)
Sonra, enerjinin korunumu denklemi yazılabilir ;
T1 + V1 = T2 + V2
0 + 10 (9.81) (3.5 sin30) = ½ (10) (vC)2 + ½ (40) (vr)2

0 + 10 (9.81) (3.5 sin30)
= ½ (10) [ (vCx)2 + (vCy)2 ] + ½ (40) (vr)2
= ½ (10) [ (4.0 vr)2 + (8.660 vr)2 ] + ½ (40) (vr)2

171.7 = 475.0 (vr)2
vr = 0.601 m/s
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 44 / 78
22
17.9.2017
ÖRNEK 9
Verilen: mA = 30 Mg ve
mB = 15 Mg olan iki vagonun
hızları şekildeki gibidir.
İstenen: A vagonuna bağlı yaydaki en büyük sıkışma miktarı.
Plan:
Vagonların çarpışmadan sonraki hızlarını bulmak için
lineer momentumun korunumunu kullan. Sonra
yaydaki sıkışmayı bulmak için enerjinin korunumu
denklemini kullan.
6 -45 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 9 (devam)
Çözüm:
v2
x ekseni boyunca lineer momentumun korunumu:
mA(vA1) + mB(vB1) = ( mA + mB ) v2
burada vA1 = 20 km/h = 5.556 m/s,
vB1 = -10 km/h = -2.778 m/s
30,000 (5.556) + 15,000 (-2.778) = (30,000 + 15000 ) v2
v2 = 2.778 m/s 
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -46 / 78
23
17.9.2017
ÖRNEK 9 (devam)
Sonra yaydaki en büyük sıkışmayı bulmak için enerjinin
korunumu denklemini kullan ;
T1 + V1 = T2 + V2
[½ (30000) (5.556)2 + ½ (15000) (-2.778)2 ] + 0
= ½ (45000) (2.778)2 + ½ (3×106) (smax)2
Yaydaki en büyük sıkışma:
smax = 0.4811 m = 481 mm
6 - 47 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
DİKKAT YOKLAMASI
1. 20 g’lık mermi yatay olarak 1200 m/s hız ile düzgün bir
yüzey üzerinde durmakta olan 300 g’lık bloğa ateşleniyor.
Eğer mermi bloğa saplanıyorsa, bloğun çarpışmadan hemen
sonraki hızı nedir.
1200 m/s
A) 1125 m/s
B) 80 m/s
C) 1200 m/s
D) 75 m/s
2. 200 g’lık beysbol topu, 47 m/s hızı olan 900 g’lık bir beysbol
sopası ile vurulduğunda 30 m/s’lik yatay bir hıza sahipti. Topun
son hızını bulmak için, sopa ile vurulma sırasında öneme sahip
kaç adet impuls kullanmak gerekir?
vtop
A) Sıfır
B) Bir
SOPA
C) İki
D) Üç
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
vsopa
6 - 48 / 78
24
17.9.2017
ÖRNEK 10 (ders dışında incelenecek)
800 kg’lık rijit kazık 300 kg’lık çekice sahip şahmerdan
vasıtasıyla kum zemine çakılmaktadır. Çekiç durağan
durumdayken y0 = 0.5 m yükseklikten düşürülmektedir.
Kazığın çekice uyguladığı impuls (I) değerini bulunuz.
Çekicin kazık üzerine düştükten sonra zıplamadığı
(sekmediği) kabul edilmektedir.
6 -49 / 78
ÖRNEK 10 (devam)
Şekiller
6 -50 / 78
25
17.9.2017
ÖRNEK 10 (devam)
Enerjinin korunumu:
Çekicin kazığa vurduğu andaki hızı
enerjinin korunumundan bulunabilir:
6 -51 / 78
ÖRNEK 10 (devam)
6 -52 / 78
26
17.9.2017
ÖRNEK 10 (devam)
Wh = 0
6 -53 / 78
ÖDEV 2
+x
B
C
20 kg’lık blok (B bloğu), 40 kg rampa (C rampası) üzerinde M motoru vasıtası
ile yukarı çekilmektedir. Eğer motor kabloyu 5 m/s sabit hızla yukarı doğru
çekiyorsa (rampaya göre rölatif hız), s = 2 m olduğunda, rampanın ne kadar
yol kat edeceğini bulunuz. Blok ve rampa s = 0 durumunda hareketsizdir ve
tüm yüzeylerde sürtünme ihmal edilmiştir.
İpucu: (1) x doğrultusunda blok + rampa sisteminin lineer momentumu korunur!
(2) (Vb)x = Vc + (Vb/c)x (rölatif hızlar), Vb/c = 5 m/s!
6 -54 / 78
27
17.9.2017
AÇISAL MOMENTUM, BİR KUVVETİN MOMENTİ
VE AÇISAL İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ
Bugünün Hedefleri:
1. Bir parçacığın açısal
momentumunu hesaplama,
açısal impuls ve momentum
prensibini uygulama,
2. Problemlerin çözümünde açısal
momentumun korunumunu
kullanma
Sınıf Etkinliği:
• Sözel Yoklama
• Uygulamalar
• Açısal Momentum
• Açısal İmpuls ve Momentum
Prensibi
• Açısal Momentumun
Korunumu
• Kavramsal Yoklama
• Örnek Problem
• Dikkat Yoklaması
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -55 / 78
SÖZEL YOKLAMA
1. Bir parçacığın bir nokta etrafındaki açısal momentumu için
doğru ifadeyi seçiniz.
A) r × v
B) r × (m v)
C) v × r
D) (m v) × r
2. Bir parçacığa etkiyen tüm dış kuvvetlerin momentlerinin
toplamı ________ eşittir.
A) parçacığın açısal momentumuna
B) parçacığın lineer momentumuna
C) açısal momentumun zamanla değişimine
D) lineer momentumun zamanla değişimine
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 56 / 78
28
17.9.2017
UYGULAMALAR
Gezegenler ve uyduların çoğu eliptik bir yörünge etrafında
hareket ederler. Bu harekete yerçekimsel kuvvetler sebep olur.
Bu kuvvetler bir çift şeklinde etki ettiğinden, sistem üzerine
etkiyen kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfır olacaktır. Bu
açısal momentumun korunduğu anlamına gelir.
Eğer açısal momentum sabitse, bu lineer momentumun da sabit
olduğu anlamına gelir mi? Niye veya Niye değil?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -57 / 78
UYGULAMALAR (devam)
Eğlence parkında dönme dolap üzerindeki
yolcular dönme ekseni (z ekseni) etrafında
açısal momentumun korunumunu deneyimler.
Serbest cisim diyagramında görüldüğü gibi,
N normal kuvvetinin etki çizgisi z eksenini
keser, ağırlığın etki çizgisi ise z eksenine
paraleldir. Bu sebeple, bu kuvvetlerin
z ekseni etrafındaki momentleri sıfırdır,
toplamları da sıfırdır.
Eğer yolcular z ekseninden uzaklaşıyorsa,
hızları artar mı azalır mı? Neden?
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -58 / 78
29
17.9.2017
AÇISAL MOMENTUM (Bölüm 15.5)
Bir parçacığın O noktası etrafındaki açısal momentumu,
parçacığın lineer momentumunun O ekseni etrafındaki
momenti olarak tanımlanır.
i
Ho = r × mv = rx
mvx
j
ry
mvy
k
rz
mvz
Ho ’ın büyüklüğü: (Ho)z = mv d
birimi: (kg.m2)/s ’dir.
6 -59 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
BİR KUVVETİN MOMENTİ İLE AÇISAL MOMENTUM
ARASINDAKİ İLİŞKİ (Bölüm 15.6)
Parçacığa etkiyen bileşke kuvvet, parçacığın lineer momentumunun
zamana göre değişimine eşittir. Nokta ile simgelenen zamana bağlı
türevi kullanarak, denklem aşağıdaki şekilde ifade edilir;


F = L = mv
Parçacığa O noktası etrafında etkiyen bileşke moment de,
parçacığa O noktası etrafında etkiyen açısal momentumun
zamana göre değişimine eşittir;

Mo = r × F = Ho
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 60 / 78
30
17.9.2017
ÖRNEK 11
Şekilde görülen kutu m kütlesine
sahiptir ve r yarıçaplı sürtünmesiz
dairesel bir yörüngede aşağı doğru
kaymaktadır. Düşeyle tam θ açısı
yaptığı anda sürati v’dir. Kutunun
O noktasına göre açısal
momentumu ve ivmesini bulunuz.
6 -61 / 78
ÖRNEK 11
(devam)
6 -62 / 78
31
17.9.2017
BİR PARÇACIK SİSTEMİNİN MOMENTİ
VE AÇISAL MOMENTUMU

Parçacık sistemleri için de ilgili denklem
aynı şekil türetilebilir.
Sistemin i’inci parçacığına etkiyen
kuvvetler, bir Fi bileşke dış kuvvetinden
ve bir de fi bileşke iç kuvvetinden ibarettir.
Bu sebeple, parçacık üzerindeki bu kuvvetlerin momentleri
şu şekilde yazılabilir; 
) +
) = ( )
=0
İç kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yönde çiftler şeklindedir, bu
sebeple ikinci terim sıfırdır, böylece;


) ( )
6 -63 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
AÇISAL İMPULS VE MOMENTUM PRENSİBİ
(Bölüm 15.7)
Moment ile açısal momentumun zamana göre değişimi
arasındaki ilişki dikkate alınarak,

Mo = Ho = dHo/dt
t1 – t2 zaman aralığı boyunca integre edilerek,
∑
dt
veya
∑
dt
Bu denklem açısal impuls ve momentum prensibi olarak
isimlendirilir. Sol taraftaki ikinci terim de,  Mo dt, açısal impuls
olarak isimlendirilir. 2D hareket durumunda, z ekseni etrafındaki
bileşenler kullanılarak skaler denklem olarak kullanılabilir.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 64 / 78
32
17.9.2017
AÇISAL MOMENTUMUN KORUNUMU
Bir parçacık veya parçacık sistemi üzerine t1-t2 zaman aralığında
etkiyen açısal impulsların toplamı sıfır ise, açısal momentum
korunmuştur. Böylece,
(HO)1 = (HO)2
Bir parçacık üzerine sadece merkezcil
kuvvetlerin etkimesi durumu buna bir
örnek olarak verilebilir. Şekilde,
F kuvveti her zaman O noktasına doğru
yönelmiştir. Bu sebeple, F kuvvetinin O
noktası etrafındaki açısal impulsu her
zaman sıfırdır ve parçacığın O noktası
etrafındaki açısal momentumu
korunmaktadır.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -65 / 78
ÖRNEK 12
Verilen: 10 kg’lık eş özellikte
iki küre, sayfa düzleminde
dönen bir çubuğa bağlanmıştır.
Kürelere P = 10 N’luk teğetsel
kuvvetler etkimektedir ve
çubuğa M = (8 t) Nm’lik bir
moment etkimektedir. Burada t s
cinsindedir.
İstenen: Eğer sistem başlangıçta durağan haldeyse t = 4 s anında
kürelerin sürati.
Plan: Sistem için enerjinin korunumu prensibini veya
sistemin açısal momentumunun korunumunu kullanın.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -66 / 78
33
17.9.2017
ÖRNEK 12 (devam)
Çözüm:
Açısal momentumun korunumu:



Yukarıdaki denklem, O noktası
etrafındaki dönme ekseni için
(z ekseni) uygulanırsa:
0
8tdt
 4 4
2 10 0.5 dt
2 5 4
2 10 0.5
10
 104 = 10 v
v = 10.4 m/s
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -67 / 78
KAVRAMSAL YOKLAMA
1. Eğer bir parçacık x-y düzleminde hareket ediyorsa, onun
açısal momentum vektörü__________.
A) x yönündedir
B) y yönündedir
C) z yönündedir
D) x - y yönündedir
2. Eğer parçacık üzerine etkiyen dış impuls sıfırsa
A)
B)
C)
D)
sadece lineer momentum korunur.
sadece açısal momentum korunur
hem lineer momentum hem de açısal momentum korunur
ne lineer momentum ne de açısal momentum korunur
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 68 / 78
34
17.9.2017
ÖRNEK 13
Verilen: 10 kg’lık iki top ağırlığı
ihmal edilen bir çubuğun iki ucuna
bağlanmıştır. Şekilde görüldüğü
gibi M = (t2 + 2) N·m.’lik bir
moment etkimektedir. t s cinsinde.
İstenen: Eğer başlangıçta (t = 0)
her bir topun hızı 2 m/s ise
3 saniye sonra her bir topun hızı.
Plan: Dönme ekseni etrafında (z ekseni) açısal impuls ve
momentum prensibini uygulayın.
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 -69 / 78
ÖRNEK 13 (devam)
Çözüm:
Açısal momentum:
HZ = r × mv skaler bir denkleme indirgenir
(HZ)1 = 2×{0.5 (10) 2} = 20 (kg·m2/s) ve
(HZ)2 = 2×{0.5 (10) v} = 10 v (kg·m2/s)
Açısal impuls:
t2
t2
 M dt =  (t2 + 2) dt = [(1/3) t3 + 2 t] 3 = 15 N·m·s
t1
t1
0
Açısal impuls ve momentum denklemini uygula.
t2
( Ho ) 1 +
20 +
  Mo dt  ( Ho )2
t1
15
= 10 v
 v = 3.5 m/s
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
6 - 70 / 78
35
17.9.2017
DİKKAT YOKLAMASI
1. Bir top düzgün bir yüzey üzerinde, 3 ft yarıçaplı bir çember
üzerinde 6 ft/s süratle hareket etmektedir. Eğer parçacığa
bağlı olan ip 2 ft/s sabit hızla aşağı doğru çekilirse, r = 2 ft
olması durumunda topun hızını bulmak için aşağıdaki
prensiplerden hangisi kullanılabilir?
A) Enerjinin korunumu
B) Açısal momentumun korunumu
C) Lineer momentumun korunumu
D) Kütlenin korunumu
2. Eğer bir parçacık z – y düzleminde hareket ediyorsa, bunun
açısal momentum vektörü
A) x yönündedir.
B) y yönündedir.
C) z yönündedir.
D) z - y yönündedir.
6 -71 / 78
Çeviren: Doç.Dr.İS MISIR
ÖRNEK 14 (ders dışında incelenecek)
Başlangıç
boyu
2 kg’lık disk sürtünmesiz
yatay yüzeyde, kc = 20 N/m
rijitliğe sahip ve başlangıçta
gerilmemiş haldeki elastik
lastiğe bağlıdır. Diskin lastiğe
dik doğrultuda 1.5 m/s’lik bir
ilk hızı varsa, lastik 0.2 m
uzadığında lastiğin hangi
oranda gerildiğini (uzama
hızını) ve diskin hızının bu
anda ne olduğunu bulunuz?
6 -72 / 78
36
17.9.2017
ÖRNEK 14 (devam)
Şekiller:
Açısal
momentum
oluşturan hız
bileşenleri!
(1)
(2)
(1) ve (2) konumlarında, açısal momentum korunur,
(kuvvetler açısal itki oluşturmuyor)!
6 -73 / 78
ÖRNEK 14 (devam)
6 -74 / 78
37
17.9.2017
ÖRNEK 14 (devam)
6 -75 / 78
ÖRNEK 14 (devam)
6 -76 / 78
38
17.9.2017
ÖRNEK 15 (ders dışında incelenecek)
Şekil’de gösterilen arabaya, kol vasıtasıyla M = 30t2 Nm’lik bir
moment ve arabanın motoru tarafından da tekerleklere F = 15t
N’luk itme kuvveti uygulanmaktadır, t burada sn birimindedir.
Çubuğun kütlesi ihmal edilmiş ise, t = 5 sn anında arabanın hızını
bulunuz. Araba başlangıçta durağan haldedir ve toplam kütlesi 150
kg’dır. Arabanın boyutlarını ihmal ediniz.
6 -77 / 78
ÖRNEK 15 (devam)
O
Ms ve Fs reaksiyonlarının ve N ve W kuvvetlerinin z-ekseni etrafında
açısal momentum oluşturmadığı görülmektedir. Z ekseni etrafında
açısal momentum oluşturan kuvvetlere açısal impuls-momentum
prensibi uygulanarak soru çözülür.
6 -78 / 78
39