matematik 12. sınıf ders kitabı
advertisement
ORTAÖĞRETİM
MATEMATİK
12. SINIF
DERS KİTABI
YAZARLAR
Mustafa BAĞRIAÇIK
Muslu LÖKÇÜ
Zeynel SAĞLAM
Önder ÇOLAK
Timur YURTSEVEN
Turgut OĞUZ
Aysun Nükhet ELÇİ
Yalçın YILDIRIM
DEVLET KİTAPLARI
BEŞİNCİ BASKI
........................., 2012
MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI...............................................................: 4510
DERS KİTAPLARI DİZİSİ.....................................................................................: 1292
12.?.Y.0002.3692
Her hakkı saklıdır ve Milli Eğitim Bakanlığına aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri
kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayınlamaz.
EDİTÖR
Prof. Dr. Hüseyin ALKAN
DİL UZMANI
Şerife KAÇMAZ
GÖRSEL TASARIM UZMANI
Hatice Elif KÖŞKER
ÖLÇME DEĞERLENDİRME UZMANI
Didem AKBULUT
GRAFİK TASARIM
Uğur SAPMAZ
ISBN 978−975−11−3046−4
Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulunun 12.02.2008 gün ve 58 sayılı
kararı ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün
19.03.2012 gün ve 3398 sayılı yazısı ile beşinci defa 95.078 adet basılmıştır.
İÇİNDEKİLER
1.BÖLÜM: FONKSİYONLAR
FONKSİYONLAR.......................................................................................................................................................2
1. Fonksiyonların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi (1. Etkinlik)..............................................................................2
2. Fonksiyonların Türleri (2. Etkinlik)..........................................................................................................................4
3. Ters Fonksiyon (3. Etkinlik)....................................................................................................................................5
4. Artan, Azalan ve Sabit Fonksiyon (5. Etkinlik).......................................................................................................7
5. Çift ve Tek Fonksiyon (8. Etkinlik).......................................................................................................................10
FONKSİYONLARIN TANIM KÜMESİ.......................................................................................................................12
1. Kuralı Verilen Fonksiyonun En Geniş Tanım Kümesi (9. Etkinlik)........................................................................12
PARÇALI FONKSİYONLAR.....................................................................................................................................18
1. Parçalı Fonksiyon (16. Etkinlik)............................................................................................................................18
2. Parçalı Fonksiyonun Grafiği (17. Etkinlik)............................................................................................................20
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU.............................................................................................................................22
1. Mutlak Değer Fonksiyonu (19. Etkinlik)................................................................................................................22
2. Mutlak Değer Fonksiyonunun Grafiği (20. Etkinlik)..............................................................................................23
3. Mutlak Değerli Denklemler (22. Etkinlik)..............................................................................................................25
4. Mutlak Değerli Eşitsizlikler (23. Etkinlik)...............................................................................................................26
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...............................................................................................................................28
2. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK
LİMİT........................................................................................................................................................................34
1. Yaklaşma ve Limit Kavramı (1. Etkinlik)...............................................................................................................34
2. Bir Fonksiyonun Bir Noktadaki Sağdan ve Soldan Limiti (4. Etkinlik)..................................................................38
3. Sabit Fonksiyonun Limiti (5. Etkinlik)...................................................................................................................40
4. Kuvvet Fonksiyonlarının Limiti (7. Etkinlik)...........................................................................................................41
5. Limit İle İlgili Özellikler (8. Etkinlik).......................................................................................................................42
6. Polinom Fonksiyonlarının Limiti (9. Etkinlik)........................................................................................................43
7. Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti (10. Etkinlik)..............................................................................................44
8. Köklü Fonksiyonların Limiti (11. Etkinlik).............................................................................................................44
9. Parçalı Fonksiyonların Limiti (13. Etkinlik)...........................................................................................................45
10. Trigonometrik, Logaritmik ve Üstel Fonksiyonların Limiti (15. Etkinlik)..............................................................47
11. Genişletilmiş Gerçek Sayılar Kümesinde Sonsuz Limit ve Sonsuz İçin Limit (16. etkinlik)................................48
12. Trigonometrik Fonksiyonların Limiti (19. Etkinlik)...............................................................................................52
13. Limit Hesaplarında Belirsizlik Durumları (20. Etkinlik)........................................................................................53
14. Dizilerde Limit (24. Etkinlik)................................................................................................................................62
ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER..................................................................................................................64
1. Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı (25. Etkinlik)......................................................................................................64
SÜREKLİLİK............................................................................................................................................................68
1. Fonksiyonun Bir Noktadaki Sürekliliği (26. Etkinlik).............................................................................................68
2. Fonksiyonun Bir Aralıktaki Sürekliliği (27. Etkinlik)..............................................................................................70
3. Sürekli Fonksiyonlarda İşlemler (28. Etkinlik)......................................................................................................72
4. Sınırlı Fonksiyonlar (29. Etkinlik)..........................................................................................................................73
5. Kapalı Aralıkta Sürekli Fonksiyonların Özellikleri (30. Etkinlik)............................................................................74
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...............................................................................................................................76
3. BÖLÜM: TÜREV
TÜREV......................................................................................................................................................................82
1. Türev Kavramı (1. Etkinlik)...................................................................................................................................83
2. Türevin Fiziksel Yorumu (5. Etkinlik)....................................................................................................................91
3. Fonksiyonun Bir Noktadaki Sağdan Soldan Türevi (6. Etkinlik)...........................................................................92
4. Süreklilik ve Türevlenebilme (7. Etkinlik)..............................................................................................................96
5. Bir Fonksiyonun Bir Aralıkta Türevlenebilirliği (9. Etkinlik)...................................................................................99
6. Sabit Fonksiyonun Türevi (10. Etkinlik)..............................................................................................................101
7. Kuvvet Fonksiyonunun Türevi (11. Etkinlik).......................................................................................................102
8. Parçalı Tanımlı Fonksiyonların Türevi (12. Etkinlik)...........................................................................................103
9. Mutlak Değer Fonksiyonların Türevi (13. Etkinlik)..............................................................................................105
10. Bileşke Fonksiyonun Türevi (14. Etkinlik).........................................................................................................106
11. Parametrik Fonksiyonların Türevi (15. Etkinlik)................................................................................................108
12. Kapalı Fonksiyonların Türevi (16. Etkinlik).......................................................................................................109
13. Ters Fonksiyonun Türevi (17. Etkinlik).............................................................................................................110
14. x>0, m ve n∈Z Olmak Üzere y=xm/n in Türevi (18. Etkinlik)..............................................................................112
15. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi (19. Etkinlik)...........................................................................................113
16. Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi (20. Etkinlik)...................................................................................114
17. Logaritma Fonksiyonunun Türevi (21. Etkinlik)................................................................................................116
18. Üstel Fonksiyonun Türevi (22. Etkinlik)............................................................................................................117
19. İki Fonksiyonun Toplamının Türevi (23. Etkinlik)..............................................................................................119
20. İki Fonksiyonun Çarpımının Türevi (24. Etkinlik)..............................................................................................123
21. İki Fonksiyonun Bölümünün Türevi (25. Etkinlik).............................................................................................125
22. Doğrusal Hareketle Türevin İlişkisi (26. Etkinlik)..............................................................................................126
23. Bir Fonksiyonun Grafiğinin Bir Noktasındaki Teğetinin ve Normalinin Denklemi (27. Etkinlik)........................130
24. Bir Fonksiyonun Ardışık Türevleri (29. Etkinlik)................................................................................................133
TÜREVİN UYGULAMALARI...................................................................................................................................136
1. Bir Fonksiyonun Artan ve Azalan Aralıklarıyla Türevin İlişkisi (30. Etkinlik).......................................................137
2. Yerel Ekstremum Noktalar (31.Etkinlik).............................................................................................................140
3. Ekstremum Noktalarla Türevin İlişkisi (32. Etkinlik)...........................................................................................143
4. Mutlak Ekstremum Noktalar (33. Etkinlik)..........................................................................................................146
5. Maksimum ve Minimum Problemlerin Türev ile İlişkisi (35. Etkinlik)..................................................................148
6. Bükeylik Kavramı ve Türevle İlişkisi (36. Etkinlik)..............................................................................................150
7. Bir Fonksiyonun Dönüm Noktası ve Türevle İlişkisi (37. Etkinlik).......................................................................153
8. Polinom Fonksiyonların Grafikleri (38. Etkinlik)..................................................................................................156
9. Düşey Asimptot (40. Etkinlik).............................................................................................................................157
10. Yatay Asimptot (41. Etkinlik).............................................................................................................................158
11. Rasyonel Fonksiyonların Grafikleri (42. Etkinlik)..............................................................................................159
12. Eğik ve Eğri Asimptot (43. Etkinlik)...................................................................................................................160
13. İrrasyonel Fonksiyonların Grafikleri (45. Etkinlik).............................................................................................162
14. Bir Polinomun Katlı Kökleri İle Türevleri Arasındaki İlişki (47. Etkinlik)............................................................163
15. L’Hospital Kuralı Yardımıyla Fonkiyonların Limitlerinin Hesaplanması (48. Etkinlik)........................................165
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME.............................................................................................................................170
4. BÖLÜM: İNTEGRAL
BELİRLİ İNTEGRAL...............................................................................................................................................179
1. Riemann Toplamı (1. Etkinlik)............................................................................................................................182
2. Belirli İntegralin Özellikleri (2. Etkinlik)...............................................................................................................188
3. İntegral Hesabının 1. Temel Teoremi (4. Etkinlik)..............................................................................................196
4. İntegral Hesabının 2. Temel Teoremi (5. Etkinlik)..............................................................................................198
BELİRSİZ İNTEGRAL............................................................................................................................................201
1. Bir Fonksiyonun Belirsiz İntegrali (6. Etkinlik)....................................................................................................203
2. Temel İntegral Alma Kurallarının Türev Alma Kuralları Yardımıyla Yazılması (7. Etkinlik) ...............................204
3. Bir Fonksiyonun Bir Sabitle Çarpımının, İki Fonksiyon Toplamının ve Farkının İntegrali (8. Etkinlik)................207
4. Değişken Değiştirme Yöntemi İle İntegral Alma (9. Etkinlik)..............................................................................210
5. Kısmi İntegrasyon Yöntemi İle İntegral Alma (10. Etkinlik).................................................................................214
6. Basit Kesirlere Ayırma Yöntemiyle İntegral Alma (11. Etkinlik)..........................................................................216
7. Trigonometrik Özdeşliklerden Faydalanarak İntegral Alma (12. Etkinlik)...........................................................218
BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI...............................................................................................................223
1. İntegral İle Alan Hesabı (15. Etkinlik).................................................................................................................223
2. İki Eğri Arasında Kalan Alan (16. Etkinlik)..........................................................................................................227
3. İntegral İle Hacim Hesabı (17. Etkinlik)..............................................................................................................233
4. İntegral Yardımı İle Doğrusal Hareket Problemi Çözümü (18. Etkinlik)..............................................................238
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME.............................................................................................................................241
SÖZLÜK................................................................................................................................................................249
KAYNAKÇA..........................................................................................................................................................252
… N S… Z
Sevgili Öğretmen ve Öğrenciler,
Tüm dünyada matematik öğrenirken değişik yaklaşımlardan yararlanılmaktadır. Bir yandan yeni yol ve yöntemler denenmekte öte yandan da matematik öğrenmede daha etkin olabilecek yeni yaklaşımlar aranmaktadır. Kısacası matematik yapmanın bireye kazandıracaklarını gerçekleştirmek için sürekli çalışılmaktadır. Sanırız
insanın yaşamı sürdükçe bu çalışmalar da var olacaktır. Çünkü amaç, bireyi “okul testi
başarısından yaşamda başarıya” taşımayı sağlamaktır. Lütfen bu amacı siz de benimseyiniz. Küçük ve geçici başarılar ile yetinmeyiniz. Matematiği amaçları doğrultusunda
öğrenerek ve öğrenilmesine yardımcı olarak yaşamda başarılı olmayı hedefleyiniz.
Sizlere inanıyor ve başarılar diliyoruz.
Prof. Dr. Hüseyin ALKAN
KİTABIMIZDA KULLANILAN KAVRAMLARIN
VE İŞARETLERİN ANLAMLARI
Etkinlik: Belirli bir matematiksel kavramın temel yapısını oluşturabilmek amacıyla yapılan çalışmalar.
Çalışma Yaprağı: Kavramın pekiştirilmesi amacıyla kullanılan
sorularla ve örnek çözümlerle ilgili yapılan tüm çalışmalar.
: Konu ile ilgili alt bölümler
: Bilgi Notu
: Örnek
: Haftalık 2 ders saati programına uygun bölümler
1)
: Haftalık 2 ders saati programına uygun ölçme soruları
1.
BÖLÜM
ALT ÖĞRENME
ALANLARI
• Fonksiyonlar
• Fonksiyonların
Tanım Kümesi
• Parçalı Fonksiyonlar
• Mutlak Değer
Fonksiyonu
1
FONKSİYONLAR
Önceki yıllarda matematiğin önemli kavramlarından biri olan fonksiyon ile tanıştınız. Polinom, trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonları incelediniz. Ana özelliklerini öne çıkardınız.
Örneğin, 9. sınıfta öğrendiğiniz bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için, tanım
kümesinin her bir elemanının, değer kümesinde yalnız ve ancak bir elemana eşlenmesi gerektiğini biliyorsunuz.
A
B
Tanım
Kümesi
Değer
Kümesi
f
x.
.y
Görüntü
Kümesi
(f(A))
f: A→B, y = f(x) bağıntısı ile verilen fonksiyonda, x e bağımsız değişken,
y ye bağımlı değişken dendiğini öğrendiniz.
A→R, B→R olması durumunda fonksiyon, gerçek değişkenli ve gerçek
değerli fonksiyon adını alır.
Bildiğiniz gibi normal bir telefonun tuşlarının sekiz tanesinde hem rakam
hem harfler vardır. Aynı tuşun üzerindeki rakamları harflere ve harfleri
rakamlara eşleyen bağıntıları inceleyiniz. Bu bağıntıların fonksiyon olup
olmadığını tartışınız.
R
H
H
R
2
a
a
b
b
3
c
c
3
4
:
9
d
d
:
z
:
z
4
:
9
2
y
1.
3
−5
−2
0
3
−4
6
8
x
f(x)
Yukarıda f: [–5,8]→ R, y= f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir.
2
Grafiği inceleyerek f(x)= 0 eşitliğini sağlayan x değerlerini görünüz.
(–5,–2) ndaki x değerlerinin görüntülerinin pozitif olduğunu görüyorsunuz. Grafiği ve fonksiyonun diğer aralıklardaki değerlerinin işaretini inceleyerek aşağıdaki
tabloyu tamamlayınız.
x
−∞
−5
−2
3
6
8
+∞
+
f(x) in
işareti
Fonksiyonun grafiği ile oluşturduğunuz tabloyu ilişkilendiriniz.
Fonksiyonun grafiğini göz önünde bulundurarak tanımlı olduğu aralıktaki görüntü kümesini belirleyiniz.
Gördüğünüz gibi grafiği verilen bir fonksiyonun tanım kümesi, görüntü kümesi
bulunur ve işareti kolayca incelenebilir.
1) Aşağıda grafiği verilen fonksiyonların örnekteki gibi tanım ve görüntü kümelerini bulunuz ve işaretini inceleyiniz.
Tanım kümesi: [−2, 4]
y
Görüntü kümesi: [−3, 3]
3
4
x
−2
3
2
f(x) in
1.
+
işareti
−2
1
0
3
4
−
x
−3
y
y
a)
b)
0
−3
1
2
−2
0
x
−1
x
−3
y
c)
y
ç)
4
4
2
1
0
−5
6
−3
x
0
−3
d)
e)
y
2
y=2
0
x
4 x
y
0
3
−1
x
2) Aşağıda verilen fonksiyonların görüntü kümelerini yazmaya çalışınız.
a) f: [−2, 3]→B1, f(x)= 2x+1
b) g: [0, 3]→B2, g(x)= x2−2x+5
π π
c) h: [2, 5]→B3, h(x)= x2−1
ç) t: − ,
→B4, t(x)= sinx
2 2
Aşağıda Venn şemaları ile verilen fonksiyonların türleri altlarında belirtilmiştir.
[
2.
A
B
f
A
.4
.1
.5
.2
.2
.6
.3
.3
.7
B
g
.1
]
A
h
.4
.1
.2
.3
B
.2
.5
.3
.6
Bu fonksiyonların değer ve görüntü kümelerini karşılaştırınız.
Verilenleri inceleyerek bire bir, örten ve içine fonksiyonları kendi cümlelerinizle
tanımlayınız.
bire bir
örten
i•i ne
bire bir
bire bir
örten
örten
i•i ne
i•i ne
Şimdi de aşağıda verilen f ve g fonksiyonlarının grafiklerini inceleyiniz.
y
y
g
5
f
4
3
−1 x1 0
−2
x2 6
−4
x
0
5
x
−2
g fonksiyonunda, g(x1)= g(x2) olduğunu görüyorsunuz. Benzer olarak görüntüleri
aynı olan farklı x değerleri bulabilirsiniz. Bu durumda g fonksiyonunun bire bir olup olmadığını tartışınız.
Aynı şekilde düşünerek f fonksiyonlarının tanım kümesinde, görüntüleri aynı olan
elemanlar olabilir mi? f fonksiyonunun bire bir olup olmadıklarını 9. sınıfta öğrendiğiniz yatay doğru testi ile de bulabilirsiniz.
f ve g fonksiyonunun görüntü kümelerini belirleyiniz. Bu fonksiyonların içine ya
da örten fonksiyon olması için değer kümelerinin nasıl seçilmesi gerektiğini tartışınız.
2.
A ve B boş kümeden farklı iki küme ve f:A→B ye tanımlı bir fonksiyon olsun.
∀x1, x2∈A için x1≠x2 iken f(x1)≠f(x2) veya f(x1)=f(x2) iken x1=x2 oluyorsa f fonksiyonuna bire bir fonksiyon,
f(A)= B oluyorsa f fonksiyonuna örten fonksiyon denir.
1) Aşağıdaki fonksiyonların örnekteki gibi grafiklerini çizerek bire bir, örten ya
da içine fonksiyon olup olmadıklarını belirtiniz.
f: (−∞,5]→R, f(x)= x−2 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
y
3
0
5 x
−2
f
4
Yatay doğru testi uygulandığında fonksiyonun bire bir olduğu görülür.
Fonksiyonun görüntü kümesinin (−∞,3] olduğunu görüyorsunuz. Görüntü kümesi
ile değer kümesini karşılaştırdığınızda fonksiyonun içine olduğunu söyleyebilirsiniz.
a) f: R→R, f(x)= 2x+3
b) f: R→R, f(x)= x2−4
+
x
x
c) f: R→R , f(x)= 2
ç) f: R→R, f(x)= 2
+
+
d) f: R →R, f(x)= lnx
e) f: R →R, f(x)= logx
f) f: R→R, f(x)= sinx
g) f: R→[−1,1], f(x)= cosx
π π
ğ) f: − ,
→ [−1,1], f(x)= sinx
h) f: [−1,1]→[0,∞], f(x)= arccosx
2 2
[
]
y
2)
f(x)
−2
0
2
5
4
x
7
Yukarıda verilen f:R→R, f(x) fonksiyonunun grafiğini inceleyiniz.
Bu fonksiyonun bire bir ve örten fonksiyon olduğu alt aralıkları belirtiniz.
3) Bire bir ve içine fonksiyon olan f:A→B fonksiyonu veriliyor. n∈N olmak üzere,
s(A)= 5n+1 ve s(B)= 2n+7 ise n nin alacağı değerleri bulunuz.
3.
Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi için, bire bir ve örten fonksiyon
olması gerektiğini hatırlayınız. Buna göre aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin ters
fonksiyonu olduğunu bulmaya çalışınız.
−
f1:R→R, f1(x)= 5x−4
f4:R−{2}→R−{3}, f4(x)=
3x+1
x−2
f7:R→[−1,1], f7(x)= sinx
f2:R →(1,∞), f2(x)= x2+1
f3:R→R, f3(x)= x2+1
f5:[−2,∞)→[0,∞), f5= √x+2
f6:(−2,6)→R,f6(x)= √6−x
1
x
f8:R−{0}→R, f8(x)=
+
f9:R→R ,f9(x)= lnx
Çalışmanız sonucunda tersi olmayan fonksiyonlar buldunuz mu? Eğer cevabınız
evet ise şunu düşünmenizi istiyoruz. “Acaba tersi olmayan fonksiyonların, kuralını
değiştirmeden, tanım aralığının alt aralıklarında tersi olabilir mi?” Tartışarak bulduğunuz
bu sonucu genişletiniz.
f:R→[−1,1], f(x)= cosx fonksiyonunun ters fonksiyonunun olup olmadığını inceleyelim.
f(x)= cosx fonksiyonunun grafiği dinamik matematik yazılımı ile çizdirildiğinde
aşağıdaki gibi olur.
y
f
−6
1
-2π
-π
−4
−2
-
π
2
0
2 π4
π
π
2
2π
6
x
2
−1
Grafikte görüleceği gibi f(x) fonksiyonu R de bire bir olmadığından ters fonksiyonu yoktur. Fakat f(x) in tanım kümesini kısıtlayarak f(x) in bire bir ve örten olduğu alt
aralıklar yazılabilir.
5
Örneğin f:[0,π]→[1,−1] aralığında fonksiyon 1−1 ve örten olduğundan bu
aralıkta fonksiyonun tersi vardır.
f:A→B, y= f(x) fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyon ise tersini, y=f(x)⇒x=f−1(y)
bağıntısı ile buluyordunuz. Ters fonksiyonu şema ile aşağıdaki gibi gösteriyordunuz.
4.
A
B
f
x=f−1(y)
.
.
y=f(x)
f−1
Ön öğrenmelerinize göre, f:[1,2]→[4,5], f(x)= x2−2x+5 fonksiyonu bire
bir ve örten fonksiyondur.
Bu fonksiyonun tersini bulabilmek için, x i, y cinsinden yazmak gerekmektedir.
Bunun için,
y= x2−2x+5 eşitliğinin sağ tarafını tam kareye tamamlayınız.
Tamkare ifadeyi yalnız bırakarak eşitliğin her iki tarafının karekökünü alınız.
x değişkenini yalnız bırakınız ve f−1(x)= √x−4 +1 bağıntısına ulaşınız.
Bulunan f−1(x) fonksiyonunun tanım ve görüntü kümesini bulunuz.
y
f:[1,5]→[6,46], f(x)= x2+4x+1 fonksiyonun tersini bulalım.
y= x2+4x+1= x2+4x+4−3= (x+2)2−3
(x+2)2= y+3 ⇒x+2= √y+3
x∈[1,5] olduğundan
x+2= √y+3 ⇒ x= √y+3 −2 bulunur.
Buradan, f−1(x)= √x+3 −2 olur.
y=x
x
0
y
+
f:R→R , f(x)= 3x+1 fonksiyonun tersini bulalım.
y= 3x+1 ⇒
x+1= log3y
⇒
x= log3y−1 olur.
−1
Buradan, f (x)= log3x−1 olarak bulunur.
3.
y=x
3
0
3
x
1) Aşağıdaki fonksiyonların varsa terslerini bulunuz.
a) f1:R→R, f1(x)= 5−x
b) f2:R−{1}→R−{3}, f2(x)=
+
c) f3:R →R, f3(x)= logx
+
d) f5:R→R , f5(x)= 2x−3
ç) f4:[0,∞)→[−4,∞), f4(x)= x2−4
e) f6:R→(1,∞), f6= ex+1
[ )
f) f7: −
[
+
5
,∞ →R , f7(x)= √4x+5
4
2) f:R−{3}→R−{2}, f(x)=
3)
4
3x+2
x−1
g) f8:[−1,1]→ −
]
π π
,
, f (x)=arcsinx
2 2 8
mx+7
fonksiyonunda m+n toplamını bulunuz.
x−n
y
y=x
f(x)
3
Yanda grafiği verilen
f:[4,7]→[1,4], f(x) fonksiyonu
nun tersinin grafiğini çiziniz.
2
1
0
1
2
3
4
5
6
6
7
x
4)
y
y=x
0
x
g
y
5)
Yanda grafiği verilen g fonksiyonunun
tersinin grafiğini çiziniz.
y
y=x
y=x
f
0
0
x
x
g
1. Şekil
2. Şekil
1. şekildeki f fonksiyonunun y= x e göre simetriği bir fonksiyonken 2. şekildeki g
fonksiyonunun y= x e göre simetriği bir fonksiyon değildir. Bunun nedenlerini açıklayınız.
Genelleme yapıp yapamayacağınızı tartışınız.
5.
Evden okula giden bir öğrenci, evden çıktıktan 10 dakika sonra projesini evde
unuttuğunu fark ederek eve geri dönüyor. Evden projesini alıp çıkması 5 dakika sürüyor.
20 dakika sonra da okula ulaşıyor.
Bu durum aşağıdaki yol zaman grafiğinde gösterilmiştir.
Yol (metre)
1600
800
400
0
5
7
10
13 15
20 22 25
40
30
45
50
Zaman (dakika)
Grafikten de yararlanarak aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
1) Evden uzaklaştığı ya da eve yaklaştığı zaman aralıklarını belirtiniz.
2) Eve olan uzaklığının değişmediği zaman aralığı var mıdır?
3) Evden uzaklaştığı zaman aralıklarını göz önüne aldığımızda, zaman
ilerledikçe öğrencinin eve olan uzaklığı nasıl değişmektedir?
4) Benzer şekilde, eve yaklaştığı zaman aralığında, geçen zaman ile eve olan
uzaklık arasında nasıl bir ilişki vardır?
y
6.
a x1
c
x2
b
0
d
x
Yukarıda f: [a, d]→R tanımlanan f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Bu fonksiyonun tanım kümesinin farklı alt aralıklarındaki değişimi inceleyelim.
7
1)
y
(a, b) nda seçilen herhangi
x1<x2 için f(x1) ile f(x2) değerlerini
karşılaştırınız.
f(x2)
a x1
x2
0 f(x )
1
b
x
y
2)
c
b
0
Benzer şekilde, [b,c] nda fonksiyonun grafiğini incelediğimizde, (b, c)
na ait, seçilen herhangi x3<x4
için f(x3) ile f(x4) değerlerini karşılaştırınız.
x
y
3)
c
d
0
[c, d] nda, farklı x değerlerinin
fonksiyondaki görüntülerini karşılaştırınız.
x
Aşağıda, f:[−5, 6]→R fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
−5
4
6
−1
x
(−5, −1) nda x değerleri artarken y değerleri de arttığından fonksiyon artan,
(−1, 4) nda x değerleri artarken y değerleri azaldığından fonksiyon azalandır.
(4, 6) nda x değerleri artarken y değerleri sabit olduğundan fonksiyon sabit
fonksiyondur.
Bir fonksiyonun tanım kümesinin bir alt aralığından seçilen her x1 ve x2 değeri
için x1<x2 olmak üzere;
a) f(x1)<f(x2) ise f fonksiyonu artan,
b) f(x1)>f(x2) ise f fonksiyonu azalan,
c) f(x1)= f(x2) ise f fonksiyonu sabit bir fonksiyondur.
Kalpteki Elektrik Faaliyetini Gösteren Grafik (EKG)
8
Aşağıda yer alan 1. şekilde f fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıklar, 2.
şekilde ise f fonksiyonunun işareti grafik üzerinde gösterilmiştir. İnceleyiniz.
7.
y
f
x1
x2
0
+
+
+
+
+
−
− x1
−
x
x3
+
+
+ +
+
+ +
+ ++
0
x2
1. Şekil
y
x3
+ f
x
2. Şekil
Fonksiyonun apsisi x2 ve x3 olan noktaları için ne söylenebilir?
Apsisi x1 olan noktanın özelliği nedir?
Fonksiyonun artan ya da azalan olduğu aralıklarla pozitif ya da negatif olduğu
aralıklar arasında bir ilişki var mıdır?
y
1)
4.
−3
0
−1
−5
2
x
5
f
yazınız.
Grafiği verilen f:R→R, f(x) fonksiyonunun artan ya da azalan olduğu aralıkları
y
2)
f
x2
x1
0
x3
x
Yukarıda grafiği verilen R→R, f fonksiyonunun artan ya da azalan olduğu aralıkları belirtiniz.
3) Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çizerek artan, azalan ya da sabit
oldukları alt aralıklar varsa belirleyiniz.
a) f1: R→R, f1(x)= 2x−3
b) f2: R→R, f2(x)= −3x+2
c) f3: R→R, f3(x)= 3
+
ç) f4: R→R, f4(x)= x2−6x+1
d) f5: R→R, f5(x)= −x2+2
e) f6: R→R , f6(x)= 3x
+
f) f7: R →R, f7(x)= log 1 x
g) f8: [0,2π]→[−1,1], f8= sinx
2
4) f: [0,2π]→[−1,1], f(x)= sinx ve g: [0,2π]→[−1,1], g(x)= cosx fonksiyonlarının her
ikisinin artan ya da azalan olduğu aralıkları bulmaya çalışınız.
9
5) Bir aralıkta artan ya da azalan bir fonksiyonun tersi var mıdır?
6) Artan ya da azalan bir fonksiyonun varsa tersi de artan ya da azalan mı olur?
8.
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonları inceleyiniz.
y
y
y=x3
y=cosx
0
x
0
y
y
y=x2
y=2x
0
x
0
x
y
x
y
y=2
0
x
0
x
y=sinx
1. GRUP
2. GRUP
Her iki grupta fonksiyonların başlangıç noktası ve y ekseni ile olan ilişkisini araştırınız. Bunun için her iki gruptan seçilen aşağıdaki örnekleri çalışınız.
y
y
f(x)=x2
g(x)=x3
0
0
x
x
f(1)=...
f(−1)=...
g(1)=...
g(−1)=...
f(2)=...
f(−2)=...
g(2)=...
g(−2)=...
f(3)=...
1
f( )=...
2
f(−3)=...
1
)=...
f(−
2
g(3)=...
1
g( )=...
2
g(−3)=...
1
)=...
g(−
2
Elde ettiğiniz görüntülerden yararlanarak f(x) ve g(x) fonksiyonları için bir çıkarıma ulaşmaya çalışınız. Ulaştığınız çıkarımların her x=a ve x=−a değerleri için geçerli
olup olmadığını tartışınız.
f(x) fonksiyonu için elde ettiğiniz sonuç, 1. gruptaki diğer fonksiyonlar için de
geçerli midir?
g(x) fonksiyonu için elde ettiğiniz sonuç, 2. gruptaki diğer fonksiyonlar için de
geçerli midir?
10
Ulaştığınız sonuçları etkinlikte seçilen fonksiyonların grafikleri ile ilişkilendiriniz.
Şimdi de aşağıdaki grafikleri inceleyiniz.
y
y
y
1
−1
0
1
x
x
0
f(x)= −x2+1
h(x)= x2−2x
0
2
x
g(x)= −3x
1. şekilde grafiği verilen f(x) fonksiyonunun y eksenine göre simetrik olduğunu
ve ∀x∈R için f(x)= f(–x) şartını sağladığını,
2. şekilde ise grafiği verilen g(x) fonksiyonunun başlangıç noktasına göre simetrik
olduğunu ve ∀x∈R için f(–x)= –f(x) şartını sağladığını görüyorsunuz.
Oysa 3. şekilde verilen h(x) fonksiyonunun grafiği ne y eksenine ne de başlangıç
noktasına göre simetriktir ve ∀x∈R için h(x)= h(–x) veya h(–x)= –h(x) şartlarından
hiçbirini sağlamaz.
Grafikleri y eksenine göre simetrik olan fonksiyonlara “çift fonksiyon”, başlangıç
noktasına göre simetrik olan fonksiyonlara “tek fonksiyon” denir.
Çift fonksiyonlar f(–x)= f(x), tek fonksiyonlar f(–x)= –f(x) şartını sağlar.
5.
1) f:R→R, f(x)=x3+x fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonda x yerine –x alınarak
f(–x)= (–x)3+(–x)= –x3–x= –(x3+x)= –f(x) sonucuna ulaşılır. Bu size f(x) fonksiyonunun hangi özelliğini hatırlatmaktadır?
2)
y= x2−2x+1
y
f(x)
1
0
x
1
f:R→R, f(x)=x2–2x+1 fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir.
Bu fonksiyonun grafiği y eksenine ya da başlangıç noktasına göre simetrik olmadığından fonksiyon ne tek ne de çifttir.
f(–x) ile f(x) i karşılaştırarak bu fonksiyonun tek ya da çift olmadığını gösteriniz.
3) Aşağıda verilen fonksiyonların tanımlı olduğu aralıklarda tek, çift ya da ne tek
ne de çift olduklarını belirlemeye çalışınız.
fonksiyon
tek
•i ft
y= x +x
3
y= x4+2
y= tanx
y= sinx+ cosx
y= x2+x+1
y= x2+3x
y= 2cos3x
y= sin(x2)
y= 0
11
ne tek ne de çift
FONKSİYONLARIN
TANIM KÜMESİ
Günlük yaşantımızda yer alan bazı eşlemeler hayatımızı kolaylaştırır, işlerin
daha rahat yürümesini sağlar. Her arabanın bir plakasının bulunması, herkesin bir T.C.
kimlik numarasına sahip olması ve ürünlerin barkod numaralarıyla belirlenmesi gibi.
9 799753 293685
Burada plakaları arabalarla, kimlik numaralarını insanlarla, barkot numaralarını
ürünlerle eşleyen bağıntıların her biri birer fonksiyon belirtir. Bu fonksiyonların tanım
kümelerinin sırasıyla plaka, kimlik ve barkot numaralarından oluştuğunu söyleyebiliriz.
Adrese Dayalı
Nüfus Kayıt Sistemi
9.
Bir fonksiyonun tam olarak belirlenebilmesi için tanım kümesinin ve kuralının
açık olarak bilinmesi gerekir. Dolayısıyla tanım kümesi fonksiyonun önemli elemanlarından biridir.Tanım kümesine bağlı olarak fonksiyonun özellikleri değişir.
Örnek olarak, A→R olmak üzere, f:A⊂R, f(x)= 2x fonksiyonunu ele alalım. Eğer
A kümesi {–1,1,2} olarak seçilirse fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi olur.
4
y
2
−1
1
0
x
2
−2
Değişik olarak A kümesi [–1,2] seçildiğinde fonksiyonun grafiği,
4
y
2
−1
0 1
−2
biçimine dönüşür.
12
2
x
Sizler de bu fonksiyon için uygun A kümeleri seçiniz. Kuralı değiştirmeden farklı
tanım kümeleri seçebileceğinizi görünüz.
Sizce seçilebilecek en geniş A kümesi ne olabilir?
g:A→R, g(x)= x–1 fonksiyonunun tanım kümesi A= { –1 , 2, 4 } ya da A= [–5 , 15]
olarak seçilebileceği gibi A⊂R olmak üzere farklı A kümeleri de seçilebilir.
Burada alınabilecek en geniş A kümesi de R dir.
Kuralı verilmiş bir fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş gerçek sayı kümesine o
fonksiyonun “en geniş tanım kümesi” denir.
Buna göre f(x)=2x fonksiyonunun en geniş tanım kümesinin gerçek sayılar kümesi olduğunu söyleyebiliriz. Sizler de doğrusal fonksiyonların en geniş tanım kümeleri
ile ilgili bir genellemeye ulaşınız.
6.
1) A→R tanımlı aşağıdaki fonksiyonlar için seçilebilecek en geniş A kümesini
yazınız.
x
a) f(x)= 2x+1
b) g(x)= 3x−4
c) h(x)=
3
2) Aşağıda verilen fonksiyonların tanım kümelerini yazınız.
a)
b)
y
y
2
−2 −1
2
1
0
1
1
−1
−2
2
x
y
c)
ç)
2
−2
10.
0
−3
0
−1
x
2
y
1
2
x
−1 0
x
f(x)= 2x+3 ve g(x)= x–5 gibi doğrusal fonksiyonların en geniş tanım kümelerinin
gerçek sayılar kümesi olduğunu ve bu fonksiyonların aynı zamanda birinci dereceden
polinom fonksiyonlar olduğunu hatırlayınız.
Bu tip fonksiyonların toplamından, farkından veya çarpımından elde edilecek
fonksiyonların, yine bir polinom fonksiyon olduğunu hatırlayarak aşağıdaki fonksiyonların
tanım kümelerinin gerçek sayılar kümesi olup olamayacağını tartışınız.
f(x)+g(x)= 2x+3+x–5= 3x–2
f(x)–g(x)= 2x+3–x+5= x+8
f(x).g(x)= (2x+3).(x–5)= 2x2–7x–15
Yaptığınız işlemler sonucunda elde edilen polinom fonksiyonların en geniş tanım
kümelerini bulunuz. Acaba bu fonksiyonların tanım kümelerine sınırlama getirme
gereği var mıdır?
Ulaştığınız sonucu genelleyerek polinom fonksiyonların tanım kümelerinin gerçek sayılar kümesi seçilip seçilemeyeceğini tartışınız.
f(x)= x3+x2+1 polinom fonksiyonunda, seçilecek her x gerçek sayısının görüntüsü
de gerçek sayı olacağından bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi R dir.
13
Yapılan çalışmalar sonunda polinom fonksiyonların en geniş tanım kümesinin,
gerçek sayılar kümesi olduğunu fark etmişsinizdir.
A,B⊂R, f:A→R, f(x)= x+2 ve g:B→R, g(x)= x−3 fonksiyonlarının bölümünden
x+2
bağıntısı elde ediliyor.
h(x) =
x−3
11.
Bu bağıntıda h(1), h(−2) ve h(3) değerlerini bulmaya çalışınız.
x=3 için bağıntının tanımsız olduğunu görmüşsünüzdür. Bunun gibi bağıntıyı
tanımsız yapan başkaca x gerçek sayılarının olup olmadığını tartışınız. Bağıntının x=3
dışında her gerçek sayı için bir görüntüsü vardır, diyebilir miyiz?
h(x) bağıntısının bir fonksiyon belirtebilmesi için tanım kümesi nasıl seçilebilir?
h(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Rasyonel bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini belirtirken nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız.
2
fonksiyonu için paydayı sıfır yapan değerler −4 ve 4 olduğundan bu
x −16
fonksiyonun en geniş tanım kümesi R−{−4, 4 } olur.
f(x)=
2
Rasyonel bir fonksiyonun en geniş tanım kümesi, gerçek sayılardan rasyonel
ifadenin paydasını sıfır yapan değerler çıkarılarak bulunur.
7.
1) Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini yazınız.
3
a) y= 5x4−7x+1
b) y=
x−1
x+5
x
c) y= 2
ç) y=
2
x −x−2
x +1
2) Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerinin gerçek sayılar kümesi
olabilmesi için m ve n değerleri nasıl seçilmelidir?
2x+1
5
b) f(x)= 2
a) f(x)=
2
x +4x+m
x +n
3) En geniş tanım kümesi R olan iki tane fonksiyon yazınız.
4) En geniş tanım kümesi R−{−1,1} olan bir tane fonksiyon yazınız.
12.
9. sınıfta öğrendiğiniz köklü sayılarla ilgili özellikleri hatırlayınız.Tablonun 1. sütununda verilen x değerlerini, diğer sütunlarda yerlerine yazınız. Elde edilen değerlerin
gerçek sayı olup olmadığını örneğe uygun biçimde belirtiniz.
x
+
√x
3
4
√x
5
√x
√x
8
n∈N ve
n
n tek √x
+
n∈N ve
n •i ft n√x
5
√8 ∈R
1
0
−2
4
√−2 ∉R
−8
n
√−8 ∉R
+
n
Tabloyu doldururken ulaştığınız sonuçlara göre, n∈N ve x∈R için √x ifadesinin
bir gerçek sayı olma şartlarını belirtmeye çalışınız.
n
f(x)= √x fonksiyonun en geniş tanım kümesini, n nin tek ya da çift olma durumlarına göre bulunuz.
3
4
Ulaştığınız çıkarımlara göre, g(x)= √x+1 , h(x)= √x+5 , t(x)= √2x+1 fonksiyonlarının en geniş tanım kümelerini bulmaya çalışınız.
14
n
P(x) bir polinom olmak üzere f(x)= √P(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi
n tek ise gerçek sayılar kümesi, n çift ise P(x)≥0 şartını sağlayan gerçek sayılar kümesidir.
f(x)= √x−3 fonksiyonunun kök derecesi çift olduğundan x–3≥0 dır. O hâlde f(x)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi [3,∞) olur.
g(x)= 3√x+1 fonksiyonunun kök derecesi tek olduğundan x+1∈R dir. O hâlde g(x)
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi R olur.
8.
1) Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
a) y= √2x−3
d) y=
√
4
b) y= √x2−9
x−1
x+1
ğ) y= √x +√1−x
√
x−1
x+1
h) y= √x−1
x−2
e) y=
3
3
c) √5−x
4
f) y= √x2+2x+6
ç) y= √x−5
3
g) y=
√x−5
√2x+1
ı) y= √x+2
x2+1
4
2) f(x)= √x2+ax+6 fonksiyonunun en geniş tanım kümesinin, gerçek sayılar kümesi
olabilmesi için a değerinin nasıl seçilmesi gerektiğini belirleyiniz.
logab biçiminde bir ifadenin, bir gerçek sayıya eşit olabilmesi için a>0 ve a≠1 ve
b>0 olması gerektiğini 11. sınıfta öğrenmiştiniz.
Bu ön öğrenmenizi kullanarak log(x–2)(x+1) ifadesinin bir gerçek sayıya eşit olabilmesi için gerekli olan şartları yazınız.
Bu şartlar yardımıyla f(x)= log(x–2)(x+1) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini
bulmaya çalışınız.
13.
f(x)= log(7–x)(x−1) fonksiyonunda 7−x>0, 7−x≠1 ve x−1>0 olması gerekir. Öyleyse
x in 7>x, x≠6 ve x>1 şartlarını sağlaması gerektiği kolayca söylenebilir.
Buradan f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi (1,7)−{6} olarak bulunur.
h(x)=logf(x)g(x) biçimindeki fonksiyonların en geniş tanım kümesi, f(x)>0, f(x)≠1
ve g(x)>0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir.
9.
1) Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
ln(x2−1)
a) y= log2(x2−4x−5)
b) y=
x−2
c) y= log(x−2)(4−x)
ç) y= log
( )
3−x
x−2
x
fonksiyonlarını karşılaştırarak en
2) f(x)= log2x−log2(x+1) ve g(x)= log2
x+1
geniş tanım kümelerini bulunuz.
14.
D
1
C
x
E
1
B
1
A
Şekildeki birim kenarlı ABCD karesinin BC kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor.CE= x seçerek
DCE üçgenin alanını x e bağlı olarak veren fonksiyon,
x.1
x
f(x)=
=
olur.
2
2
x
Tanımlanan f(x) =
fonksiyonunun en geniş
2
tanım kümesini belirlerken x değişkeninin bir uzunluk
belirttiğini ve ölçüsünün (0,1) nda kaldığını söyleyebilirsiniz. Bu küme aynı zamanda
tanımlanan alan fonksiyonunun tanım kümesi olur mu?
15
Aşağıda verilen ABCD karesinin her köşesinden, bir kenarı x birim olan bir kare
kesip çıkartıp kalan şeklin alanını veren fonksiyon f(x)= 1–4x2 olarak yazılır. Alan negatif
olamayacağından 1–4x2≥0 olmalıdır.
−1
2
x
1−4x2 nin
işareti
[
−
1
2
+
]
−
Tablodan x∈ − 1 , 1 olduğu görülür. Ancak x uzunluğu gösterdiğinden x≥0 dır.
2 2
O hâlde fonksiyonun en geniş tanım kümesi 0, 1 olur.
2
[ ]
D x
x
x C
x
E
x
A x
x
x B
1
Yaptığınız çalışmalardan gördüğünüz gibi bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini belirlerken matematiksel kısıtlamaların yanında geometrik ya da fiziksel kısıtlamalar
da olabilir. Öyleyse bir fonksiyonun tanım kümesini belirtirken yalnızca bağıntıyı değil,
bağıntının temsil ettiği yapıyı da düşünmek zorunlu olur.
10.
1) Bir kümenin eleman sayısını alt küme sayısına eşleyen fonksiyonu, x değişkenine bağlı olarak yazıp en geniş tanım kümesini belirleyiniz.
2) D x
x
x C
x
E
x
A x
x
x B
KenarlarıAB= 10 cm ve BC= 8 cm olan dikdörtgen biçimindeki kartonun
her bir köşesinden, bir kenarı x cm olan kareler şekildeki gibi kesilip çıkartılıyor.
Kalan kısım katlanarak üstü açık bir dikdörtgenler prizması oluşturuluyor. Oluşan
prizmanın hacmini x e bağlı olarak veren fonksiyonun kuralını yazarak en geniş
tanım kümesini belirtiniz.
15.
f:R→R, f(x)=x, g:[0,∞)→R, g(x)= √x ve h:R→R h(x)= x−1 fonksiyonları veriliyor.
Bileşke işlemini hatırlayarak (hog)(x)=h(g(x))=h(√x )= √x −1 olur.
Bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi ile h ve g fonksiyonlarının tanım kümelerini karşılaştırınız.
Siz de farklı iki fonksiyon ile aynı işlemleri yaparak genel bir sonuca ulaşmaya
çalışınız.
16
1
ve g(x)= x+1 fonksiyonları veriliyor. (fog)(x) fonksiyonunu en geniş tanım
x
kümesini bulalım.
1
fog(x)=
dir. Bu fonksiyonun en geniş tanım kümesi R−{−1} dir.
x+1
Bu kümeyi f ve g fonksiyonlarının en geniş tanım kümeleri ile karşılaştırınız.
Yapmış olduğunuz çalışmalardan, oluşan kurala göre bileşke fonksiyonlarının
en geniş tanım kümelerinin yeniden belirlenmesi gerektiği sonucuna ulaşılır.
f(x)=
11.
1) Aşağıdaki tabloda verilen f(x) ve g(x) fonksiyonları için (gof)(x) fonksiyonunu
bulunuz ve tanım kümesini yazınız.
f(x)
f:R→R
f(x)= x−1
f:R→R
f(x)= x+2
g(x)
+
g:R →R
g(x)= logx
g:R−{0}→R
g(x)=
{
1
x
}
π
+k.π →R, (k∈Z)
2
g(x)= tanx
f:R→R
f(x)= 2x
g:R−
f:R−{3}→R
g:R−{−2}→R
f(x)=
(gof)(x)
x+1
x−3
g(x)=
1
x+2
2) Aşağıdaki tabloda verilen h(x) fonksiyonlarının hangi iki fonksiyonun bileşkesi
olarak yazılabileceğini örnekten de yararlanarak bulunuz.
h(x)= g(f(x))
15
(x+1)
g(x)
x15
f(x)
x+1
sin5x
√4−2x
cos3x
3+ √x
1
x+1
ln(sinx)
3) Gerçek sayılarda tanımlı, f(x)= x, g(x)= 2x–8 ve h(x)= x2+3x+2 fonksiyonları
veriliyor. fog, gof, hof, foh ve fof bileşke fonksiyonlarının kurallarını bularak bileşenleri
ile karşılaştırınız.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birim elemanı ile ilgili bilgilerinizi hatırlayarak
herhangi bir f fonksiyonu ile hangi fonksiyonun bileşkesi f olur? Genelleyiniz.
17
f(x)= (x+1)15 fonksiyonu x15 ve
x+1 fonksiyonlarının bileşkesi
biçiminde gösterilir.
Bu gösterim tek değildir.
f(x) fonksiyonu x5 ve (x+1)3
fonksiyonlarının bileşkesi
biçiminde de gösterilir.
PARÇALI
FONKSİYONLAR
16.
MEB Ortaöğretim Kurumları Sınıf Geçme ve Sınav Yönetmeliği’nin
(19.10.2005/25971) 16. maddesi aşağıda verilmiştir.
Not Düzeni:
Madde 16 – Öğretmenler, sınav sorularını düzenlerken öğretim programlarında
belirtilen özel ve genel amaçları varsa hedeflenen becerileri, açıklamaları ve konuları
esas alır.
Öğrenci başarısını ölçme ve değerlendirmede beşli not düzeni kullanılır. Öğrencinin başarısı dört, başarısızlığı iki notla değerlendirilir.
Sınav, ödev ve projeler ile ilgili uygulamalar, 100 tam puan üzerinden değerlendirilir. Değerlendirme sonuçları, öğretmen not defteri ile not çizelgelerine puan
olarak yazılır.
18
Puanların not değeri ve derecesi aşağıdaki gibidir.
Puan
Not
Derece
85−100
5
Pekiyi
70−84
4
İyi
55−69
3
Orta
45−54
2
Geçer
25−44
1
Geçmez
0−24
0
Etkisiz
Puanlara karşılık gelen not değeri grafik olarak aşağıdaki gibi çizilebilir.
Not
5
4
3
2
1
0
10
20 25 30
40 45 50 55 60
70
80 85 90
100
Puan
Çizilen grafiği ve puan tablosunu inceleyiniz. Alınan puanları nota çeviren bağıntının bir fonksiyon tanımladığını görmeye çalışınız.
Tartışmalar sonucunda belirlediğiniz fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini
yazınız.
Şimdiye kadar öğrendiğiniz fonksiyonlarla bu fonksiyonu karşılaştırınız.
Sizce, fonksiyonun tanım kümesinin her elemanı için fonksiyonun kuralı aynı
mıdır?
Tanımladığınız fonksiyonu oluşturan bağıntı
f(x)=
0, 0≤x<25 ise
1, 25≤x<45 ise
2, 45≤x<55 ise
biçiminde gösterilir.
3, 55≤x<70 ise
4, 70≤x<85 ise
5, 85≤x≤100 ise
R den R ye tanımlı, tanım kümesinin (2,∞) alt aralığında y= x+1 ve (–∞,2] alt
aralığında y= 2x–3 kuralları ile verilen f(x) fonksiyonu,
f(x)=
{
x+1
2x−3
x>2
x≤2
ise
ise
biçiminde gösterilir.
Tanım kümesinin
“parçalı fonksiyon”denir.
farklı
19
alt
aralıklarında
kuralı
değişen
fonksiyona,
1) Bir ilacın çocuklar için, vücut ağırlığına göre 12 saatte bir uygulanacak dozu
aşağıdaki gibidir.
Vücut Kütlesi
Uygulanacak Doz
8−11 kg
1,25 mL
12−19 kg
2,5 mL
20−29 kg
3,75 mL
30−40 kg
5 mL
12.
Yukarıdaki tabloyu parçalı fonksiyon hâline dönüştürerek grafiğini çiziniz.
2) İzmir Büyükşehir Belediyesinin 2007 yılında konutlar için su tüketim tarifesi
aşağıdaki gibidir.
SU
HAYATTIR
SUYU
TASARRUFLU
KULLANALIM.
Miktar (m3/ay)
Fiyat (TL)
0−13 kg
14−20 kg
21−100 kg
101−..... kg
1,19 TL
3,09 TL
5 TL
6 TL
Tüketilen su miktarını fiyata eşleyen parçalı fonksiyonu yazarak grafiğini çiziniz.
y
17.
y
y
y=x2
y=3
3
0
x
4
x
x
0
0
4
y=−x
Yukarıda verilen fonksiyon grafiklerinden renklendirilmiş kısımlar alınarak aşağıdaki f(x) parçalı fonksiyonu tanımlanıyor.
y
3
x
0
4
Elde edilen yeni fonksiyonun bağıntısını yazınız. Yazdığınız fonksiyonun f(–2),
f(0), f(1), f(4) ve f(6) değerlerini bulunuz.
20
Tüm yaptıklarınızı tartışınız ve yeniden değerlendiriniz. Çalışmalar sonunda
parçalı tanımlı bir fonksiyonun tanım kümesinin nasıl yazılacağını belirlemeye çalışınız.
Tanım aralığının alt aralıkları ile yaptığınız tanımı ilişkilendiriniz.
18.
{
−x,
x ≤ −2 ise
f:R→R, f(x)= −x2+1,
−2 < x ≤ 1 ise
x+1,
x>1 ise
parçalı tanımlı fonksiyonu veriliyor.
Önce her biri R→R tanımlı f1(x)= –x, f2(x)= –x2+1, f3(x)= x+1 fonksiyonlarının
aşağıda verilen aynı koordinat düzlemindeki grafiklerini inceleyiniz. Daha sonra bu
grafikler yardımıyla parçalı tanımlı fonksiyonun grafiğini çizmeye çalışınız.
Aralarındaki ilişkiyi tartışınız.
y
f3(x)=x+1
1
−1
0
x
1
f1(x)=−x
f2(x)=−x2+1
Çalışmalarınıza göre bir parçalı tanımlı fonksiyonun grafiği çizilirken nelere
dikkat etmek gerekir? Fonksiyonun parçalanma (kritik) noktalarının grafikteki önemi
nedir?
13.
1) Aşağıda verilen fonksiyonların belirtilen değerler için görüntülerini bulunuz.
a) f:R→R, f(x)=
{
b) g:R→R, g(x)=
c) h:N→R, h(x)=
2) f:R→R, f(x)=
2x
1−5x
{
{
{
x<1 ise
x≥1 ise
2x2+3x+1,
5,
x+1,
3x,
x+4 ,
2
f(1)= ?, f(
x≤0 ise
0<x≤2 ise
x>2 ise
x tek sayı ise
x çift sayı ise
x−m
2x+3m
x<−1 ise
x≥−1 ise
3
)=?, f(−3)=?, (fof)(2)=?
2
g(0)=?, g(–2 )=?, g(1)=?
g(5)=?
h(0)=?, h(1 )=?, h(2)=?, h(8)=?
fonksiyonu için
f(–4)=f(5) ise m değerini bulunuz.
3) Aşağıda R→R ye tanımlanan fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
{
{
a) f(x)= x+1
2
x<1
x≥1
ise
ise
x2
−x2
x≥0
x<0
ise
ise
b) g(x)=
{
−3
c) h(x)= −x2+1
x−1
x<−1 ise
−1≤x≤1 ise
x>1
ise
21
MUTLAK DEĞER
FONKSİYONU
Deniz seviyesi çizgisini düşünerek dağın gerçek büyüklüğü ile yansımasının
büyüklüğünü karşılaştırınız.
Sayı doğrusu üzerinde, bir gerçek sayının karşılık geldiği noktanın başlangıç
noktasına olan uzaklığına o sayının mutlak değeri dendiğini hatırlayınız.
Bu tanımlamaya göre,
−2
−1
0
1
2
3
4
5
5= 5,−2= 2,0=0 oluyordu.
Daha genel biçimde a gerçek sayı olmak üzere,
a=
{
a,
−a,
a≥0 ise,
a<0 ise,
gösterimini kullanıyordunuz. Bu konumuzda ise fonksiyon kavramı ile mutlak değer
kavramını ilişkilendireceğiz.
19.
Bir gerçek sayıyı mutlak değerine eşleyen fonksiyonu,
f: R→R, f(x)=x olarak yazalım.
Bu fonksiyonu, mutlak değerin tanımı ve aşağıdaki tablo yardımıyla
x
f(x)= x=
{
0
x in
işareti
−
+
f(x)
−x
x
x,
−x,
x≥0 ise,
x<0 ise,
şeklinde yazılabilir..
Gördüğünüz gibi yazılan fonksiyon, bir parçalı tanımlı fonksiyondur.
Benzer şekilde, g(x)= x–2 ve h(x)= x2– 4 fonksiyonlarını aşağıdaki tablolar yardımıyla parçalı tanımlı fonksiyon biçiminde yazınız.
x
x−2 nin
işareti
g(x)
x
2
−
−x+2
x −4 ün
işareti
2
+
h(x)
x−2
−2
+
−
+
x2−4
−x2−4
x2−4
Siz de değişik örnekler seçerek işlemleri sürdürebilirsiniz.
22
2
Genel olarak y=f(x) biçiminde tanımlanan fonksiyonlara mutlak değer fonksiyonu denir.
Ulaşılan tanımı ve etkinlikte yaptıklarınızı birlikte düşünerek her mutlak değer
fonksiyonunun bir parçalı tanımlı fonksiyon olduğunu söyleyebilir misiniz?
14.
1) Aşağıda R de tanımlanan mutlak değer fonksiyonlarını birer parçalı tanımlı
fonksiyon olarak yazınız.
a) f1(x)=x+5
b) f2(x)=1−x
c) f3(x)=x2−x−2
ç) f4(x)=9−x2
2) f: R→R, f(x)=x+2+x fonksiyonunu aşağıdaki tablodan yararlanarak parçalı
tanımlı fonksiyon olarak yazınız.
x
−2
x+2 nin
işareti
−
+
f(x)
−x−2+x=−2
x+2+x=2x+2
3) Aşağıda R de tanımlanan mutlak değer fonksiyonlarını birer parçalı tanımlı
fonksiyon olarak yazınız.
b) f2(x)=x−3+x+1
a) f1(x)=x−2+1
c) f3(x)=x+2−3
ç) f4(x)= 3x−x
f: R→R, f(x)=x−3+x fonksiyonunun grafiğini çizelim.
20.
x
3
x−3 ün
işareti
−
+
f(x)
−x+3+x=3
x−3+x=2x−3
Tablodan da görüldüğü gibi, fonksiyonu,
f(x)=
{
3,
2x−3,
x<3 ise,
x≥3 ise,
biçiminde parçalı tanımlı fonksiyon olarak yazabiliriz. y= 3 ve y= 2x−3 fonksiyonlarının
grafikleri aşağıda verilmiştir. Bu grafiklerden yararlanarak parçalı tanımlı f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
3
0
3
2
3
x
−3
Fonksiyonun kritik noktası ile grafiğini ilişkilendiriniz.
Benzer yolu izleyerek g: R→R, f(x)=x−2x+1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
23
21.
Aşağıda R→R ye f(x)= 2x−2 ve g(x)= x2−4 fonksiyonları ile f(x) ve g(x)
fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.
y
y
y
f(x)
y
f(x)
0
g(x)
2
x
1
x
0 1
0
−2
2
−2
g(x)
4
x
−2
0
2
x
−4
Grafikleri inceleyerek bir fonksiyonun grafiği ile mutlak değerinin grafiğini karşılaştırınız. Grafiklerde gözlemlediğiniz değişiklikleri yazınız.
Siz de değişik fonksiyonlar alarak bu fonksiyonların grafikleri ile mutlak değerlerinin grafikleri arasında da benzer değişikliklerin olup olmadığını araştırınız.
Mutlak değer fonksiyonunun uzunluk kavramında olduğu gibi negatif değer
alamayacağını söyleyebiliriz.
[
]
f: −π, 3π → [0, 1] f(x)=cosx fonksiyonunun grafiğini çizelim. Bunun için aynı
2
tanım aralığında y=cosx fonksiyonunun grafiği çizilir.
y
y=cosx
1
−π
−
3π
2
π
2
π
0
π
x
2
−1
Bu grafikten yararlanarak f(x)=cosx fonksiyonunun grafiği yandaki gibi çizilir.
y
f(x)=cosx
1
−π
−
π
2
0
π
2
π
3π
2
x
−1
Bir fonksiyonun mutlak değerinin grafiği çizilirken fonksiyonun pozitif değerler
aldığı kısım aynen kalır, negatif değerler aldığı kısmın x eksenine göre simetriği alınır.
24
1) Aşağıda R de tanımlanan fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) f1(x)=x + 4
b) f2(x)=x2−x−6
c) f3(x)=x+x+1
ç) f4(x)=x.x+1
d) f5(x)=x − 2+1
e) f6(x)=x−1+x+1
15.
2) f: [–π, π]→[0, 1], f(x)=sinx fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
+
3) f: R →R, f(x)=lnx fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
4) Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların mutlak değer fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
y
y
f(x)
g(x)
b
0
22.
y
x
a
h(x)
0
a
x
b
a
0
b
c
x
Mutlak değer fonksiyonlarında öğrendiğiniz bilgileri, mutlak değerli denklem
çözümünde kullanalım.Örnek olarak,
x−2+x+1=3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Denklemdeki mutlak değerli terimlerin işaretlerini incelediğimizde aşağıdaki işaret tablosunu elde ederiz.
x
−1
−∞
2
+∞
x–2 nin
işareti
−
−
+
x+1 nin
işareti
−
+
+
Tabloda görüleceği gibi x<−1 durumunda denklem (−x+2)+(−x−1)= 3 biçimine
dönüşür.
İkinci olarak −1≤x<2 durumunda ise denklem (−x+2)+(x+1)= 3 olur.
Son olarak x≥2 konumunda denklem (x−2)+(x+1)= 3 biçiminde yazılır.
Her konumda denklemin çözümünü araştırınız. Çözüm kümesi ile tanım aralığının ilişkisini bulmaya çalışınız.
Şartları sağlayan x değerlerini alarak x+2+x+1= 3 denkleminin genel
çözüm kümesini tanımlayınız.
x+1+2x= 5 denkleminin genel çözüm kümesini bulalım.
Mutlak değerli terimin işaretini inceleyelim:
−1
x
x+1 in
işareti
x+1
−
−x−1
25
+
x+1
Tablodan,
x<1 ise −x−1+2x= 5 işlemi yapılarak x= 6 bulunur.
x= 6, x<−1 şartını sağlamadığından denklemin kökü olamaz.
4
x≥−1 ise x+1+2x= 5 ⇒ 3x= 4 ⇒ x=
olur.
3
4
x= , x≥−1 şartını sağlar ve denklemin bir köküdür.
3
4
olur.
Öyleyse bu denklemin çözüm kümesi: Ç.K.=
3
Yukarıdaki çalışmalardan mutlak değer içeren herhangi bir denklemi çözerken
öncelikle mutlak değerin kaldırılması gerektiğini fark etmişsinizdir. Bunun için mutlak
değeri alınan ifadenin işaretini incelemek gerektiği sonucuna ulaşılır.
{}
16.
1) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) x+1=3
b) 3.x+5+7=4
ç) 3−x−1=2x
d) x+x−4=8
f) x.x−9=0
g) x2+x−6=0
2) f(x)=
c) x2−2x−3=0
e) x+1+2=5
ğ) x+1=2x−1
x+1 fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
x−4
3) f: R→R, f(x)=x+1+2x−3 fonksiyonunun grafiğinin x eksenini kestiği noktalar
ile x+1= 3–2x denkleminin çözüm kümelerini karşılaştırınız.
4) f: R→R, f(x) fonksiyonu tanımlanıyor.f(−x)= f(x) ise f fonksiyonu için
ne söylenebilir?
5) f: R→R, f(x)=x−2 ve g:R→R, g(x)= 4−2x+1 fonksiyonlarının kesişim noktasını bulunuz. Bulduğunuz noktayı grafikleri kullanarak doğrulayınız.
23.
Mutlak değerli denklemlerin çözümünde izlediğimiz işlem basamaklarından
yararlanarak x−2<2x+4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmaya çalışalım.
x
x−2 in
işareti
2
−
+
İşaret tablosunda görüldüğü gibi,
x<2 durumunda eşitsizlik −x+2<2x+4 biçimine dönüşür. Buradan x> − 2 elde edilir.
3
2
x<2 ve x> − şartlarını beraber sağlayan x değerlerinin ait olduğu aralığı yazınız.
3
x≥2 durumunda eşitsizlik x−2<2x+4 biçiminde yazılabilir. Buradan x> −6 elde edilir.
x≥2 ve x> −6 şartlarını beraber sağlayan x değerlerinin ait olduğu aralığı yazınız.
Elde edilen çözüm aralıklarından yararlanarak eşitsizliğin çözüm kümesi
Ç.K.= {xx≥2, x∈R} biçiminde yazılabilir.
Mutlak değerli denklemlerin çözümünde izlenecek basamakları tartışarak bir
sonuca ulaşmaya çalışınız.
x+1+x–1< 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Bunun için denklemdeki mutlak değerli terimlerin işaretlerini inceleyelim.
26
x
–1
1
x+1 nin
işareti
–
+
+
x–1 nin
işareti
–
–
+
–x–1–x+1<4
x>–2
x+1–x+1<4
2<4
x+1+x–1<4
x<2
x+1+x–1<4
x<–1 için eşitsizlik x> –2 ifadesine dönüşür. Bu aralık için çözüm Ç1= (–2, –1)
olur.
–1<x<1 için eşitsizlik 2<4 olur. Bu ifade aralıktaki her değer için doğrudur. Yani
Ç2= (–1, 1) olur.
x>1 için eşitsizlik x<2 biçimine dönüşür. Bu aralık için çözüm Ç3= (1, 2) olur.
x= –1 ve x= 1 için eşitsizliğin sağlandığını kolayca görebilirsiniz.
Buradan eşitsizliğin çözüm kümesi Ç= (–2, 2) olur.
Yapılan çalışmaların sonucunda, mutlak değer içeren eşitsizliklerin çözümü ya
pılırken öncelikle mutlak değerin kaldırılması gerekir.
17.
1) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
a)x–3< 4
b)x+1≥ 3
ç)x+3+x–2< 6
d) –3<x–2< 4
6
f)
>2
g) x <x
x–2
c)x–2≤ x+4
e)2x+4<x–3
2) Sayı doğrusu üzerinde seçilen 3 tam sayısına olan uzaklıkları, 5 e olan uzaklıklarından daha küçük olan sayıların bulunduğu aralığı belirtiniz.
3)2x+4≥3x–4 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz.
√5−√(2−x)2
4) f(x)=
fonksiyonun tanımlı olduğu aralıkta x in kaç farklı tam sayı
9−x2
değeri vardır?
5) f(x)= (a−2)x5+x2+(b−1)x3+c+6 fonksiyonu çift fonksiyondur. a+b+c= 0 olduğu
na göre f(1) değeri kaçtır?
6) f(x)= x7+(m+2)x4+x3+m+n+4 fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna göre, f( m )
n
değeri kaçtır?
7) f(x)= |x+7|−|x–2| fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?
8) f(x) çift fonksiyondur. f(x)+f(−x)=(2−a)x2+(a+2)x+a2 ise f(−3) değeri
kaçtır?
9) f(x)= f(−x)+4x+6 eşitliğini sağlayan f(x) fonksiyonu tek fonksiyon olduğuna
göre f (7) değerini bulunuz.
−1
10) f(x)=
{
−x+1
x+2
x≥0
x<0
ise f(x)−3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
27
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
I.Bir okulda, öğrencileri okul numaralarına eşleyen fonksiyon
II.Her T.C. vatandaşını, on bir basamaklı T.C. kimlik numarasına eşleyen
fonksiyon
III.Bir okuldaki öğrencileri, sınıflarına eşleyen fonksiyon
IV.Bir şehirde yaşayan insanları, ev adreslerine eşleyen fonksiyon
V.Yukarıda verilen fonksiyonların türlerini belirtiniz.
1)
2) Koordinat düzleminde hareket eden bir noktanın t zamanına bağlı olarak
koordinatları x=2t−3 ve y=t+1 olmaktadır. y yi x türünden ifade ederek noktanın hareketini gösteren fonksiyonu yazınız. Nokta nasıl bir yol izlemektedir?
3)
y
f(x)
0
−2
1
x
3
Yanda grafiği verilen f(x)
fonksiyonunun bire bir olmadığı aralıkları belirtiniz.
4) f(x)= (a−2)x2+(b+3)x+a.b−1 fonksiyonunun sabit bir fonksiyon olması için
a ve b değerleri ne olmalıdır?
5) “Her elemanı kendisi ile çarpımsal tersinin toplamına götürüyor.” biçiminde
tanımlanan f fonksiyonu veriliyor. Buna göre f(7) değerini bulunuz.
y
6)
4
Yanda f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. x.f(x)≥0 eşitsizliğini sağlayan x tam
sayılarının kaç tane olduğunu bulunuz.
3
0
−2
2
4
x
f(x)
−3
7) Aşağıdaki tablo, düzgün çokgenin kenar sayısına bağlı olarak her bir çokgenin
bir iç açısının ölçüsünü göstermektedir.
kenar sayısı
3
4
5
6
...
n
açı ölçüsü
60¡
90¡
108¡
120¡
...
A(n)
a) Bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız.
b) Geometri bilgilerinizi kullanarak A(n) fonksiyonunu oluşturunuz veya yazınız.
yazınız.
8) Aşağıda verilen bağıntılardan fonksiyon olanların tanım ve değer kümelerini
y
y
f(x)=x3−1
y=g(x)
4
2
0
1
−1
x
0
−2
28
3
x
−3
y
0
y=h(x)
2
−2
x
y
y
y=2
2
x
0
y
x=1
x
1
0
y=k(x)
0
x
9) f: {−1, 0, 1, 2} →R tanımlı f(x)=x2+3 fonksiyonunun görüntü kümesinin elemanları toplamını bulunuz.
10) Yerden 30 m/sn. hızla dikey olarak havaya atılan topun t saniyede yüksekliğini veren fonksiyon h(t)=30t−5t2 dir.
a) Top kaç saniye sonra yere düşer?
b) h fonksiyonunun tanım kümesini yazınız.
c) Top kaç metre yükselmiştir?
11) Aşağıdaki tabloda bazı değerleri verilen doğrusal fonksiyon günlük yaşamdan ne ile ilişkilendirilebilir?
0
32
x
y
20
68
...
104
60
140
80
...
100
212
a) Fonksiyonun x e bağlı kuralını oluşturabilir misiniz?
b) Tabloda verilmeyen iki değeri bulunuz.
c) x= −40 iken fonksiyonun değeri kaçtır?
12) Karenin alanını ifade eden bağıntıyı çevresi cinsinden yazınız. Yazdığınız
bağıntı fonksiyon ise tanım ve değer kümelerini yazınız.
[ ]
13) f: 1, 5 →R, f(x)= –2x2+8x–5 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Fonksiyonun
2
bire bir olup olmadığını araştırınız.
14) f: {(a,1),(b,2),(c,3),(d,4),(e,5)} fonksiyonu veriliyor. f–1 fonksiyonunun tanım
ve görüntü kümelerini yazınız.
15) f: [4, ∞)→ [–5, ∞) tanımlı f(x)=x2–8x+1 ise f–1(x) nedir?
y
16)
f(x)
5
2
−2 −1
1
0
1 2 3 4
x
Yanda grafiği verilen f fonksiyonu için
aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
a) f(x)=0 denklemini sağlayan değerleri
bulunuz.
b) f–1(–2)+f(–2)+ f(2) toplamını bulunuz.
c) f(–2)+ f–1(5) toplamını bulunuz.
−2
17) f: [1,+∞)→R tanımlı f(x)= ln(x–1) veriliyor. f–1(x) fonksiyonunun kuralını
bulunuz.
18) R de tanımlı f fonksiyonu için f(x–4)=6x+5 tir. Buna göre f–1(x) fonksiyonunu
bulunuz.
29
x+1 fonksiyonları veriliyor.
19) f: R→R, f(x)= x–1 ve g: R→R, g(x)=
3
4
f–1(a)+g–1(a)=(fog)(2) eşitliğini sağlayan a değerini bulunuz.
lıdır?
20) f: R– {2}→R– {a} tanımlı f(x)= ax veriliyor. f(x)=f–1(x) ise a değeri kaç olmax–2
21) f: R→R+, f(x)=2x üstel fonksiyonu veriliyor. f–1(32) değerini hesaplayınız.
22) f: R+→R, f(x)=logx fonksiyonu veriliyor. f–1(0) değerini hesaplayınız.
23) y=x doğrusuna göre simetrik olan iki fonksiyon yazınız.
24) f(x)=ax+b fonksiyonu daima artan bir fonksiyondur. g(x)= f–1(x)=cx+d olduğuna göre a ile c nin işaretlerini karşılaştırınız.
y
25)
f(x)
1
−2 −1
0 1
2
x
3 4
2
Şekilde verilen f(x) fonksiyonunun
azalan olduğu en geniş aralığını bulunuz.
−2
−3
26) R→[–1,1], f(x)= sinx ile g(x)= cosx fonksiyonlarının tek ya da çift olup olmadıklarını araştırınız.
27) Gerçek sayılarda tanımlı f(x) fonksiyonu tek fonksiyondur.
3f(x)–f(–x)= 28x3+8x ise f(1) in değeri kaçtır?
28) y= √x2− x+2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
29) y= √x2+x+2
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
y
30)
y=x2
C
D
B
A
x
0
31) f(x)= √4− x−3
Yandaki şekilde verilen ABCD dikdörtgeninin köşesi parabolün üzerindedir. C(0, 4)
olduğuna göre dikdörtgenin alanını gösteren
fonksiyonun kuralını yazarak en geniş tanım
kümesini belirtiniz.
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
32) f: R→R, f(x)=x2 fonksiyonu
f (x+h)–f (x)
oranını bulunuz. (h≠0)
h
33) f(x)=x2 iken f (1+a)–f (1) , (a≠0) ifadesinin değerini hesaplayınız.
a
{
x≠2 ise
x2–1
biçiminde tanımlanan f fonksiyonu için
3x
x=2 ise
f(4)+f(2) toplamının değerini bulunuz.
34) f: R→R, f(x)=
30
35) Tabloda verilenleri göz önüne alarak t değişkenine bağlı fonksiyonları yazıp grafiğini çiziniz.
0<t ve t≤1
1<t ve t≤2
2<t ve t≤3
3<t ve t≤4
50
50+20.(1)
50+20.(2)
50+20.(3)
{
1–x
36) f: R→R, f(x)= 0
x–1
37)
x<–1 ise
–1≤x<1 ise fonksiyonun grafiğini çiziniz.
x≥1 ise
x–1
= 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x+4
38) Gerçek sayılarda tanımlı f(x)= – x + 4 fonksiyonunun grafiği ile x ekseninin
sınırladığı bölgenin alanını bulunuz.
y
39)
f(x) in grafiğini çiziniz.
x
0
f(x)
y
40)
y=f(x)
−2 0
2
x
Yandaki şekil y=f(x) fonksiyonuna ait
bir grafiktir. Buna göre,
y= f(x)+f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2
−4
y
41)
f(x)= x–2
f(x)= x–2 fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
f( x ) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2
0
2
x
−2
42) y <2 ve x –1≤0 eşitsizliklerini sağlayan (x, y) ikililerinin belirttiği bölgeyi
analitik düzlemde gösteriniz.
43) y= x2–4 fonksiyonu veriliyor. y fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
44) y=
x+1
+ x–2 fonksiyonunu grafiğini çiziniz.
x+1
45) a–10 <2 ve b–6 <1 koşullarına uyan ve a ve b değerlerini bulunuz. Bulduğunuz bu değerler için aşağıdaki ifadelerin hangi değerleri alabileceğini söyleyiniz.
a) a2–b2
b) a2+ab+1
46) f(x)= x–1 ve g(x)= x –1 fonksiyonlarının grafiklerini karşılaştırınız.
31
47) –2<x<5 için f(x)= x+2 + 5–x –2x ifadesinin eşiti nedir?
48) x−3 +3= x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
y
49)
y=f(x)=x3
x
0
Yandaki şekilde R→R, f(x)= x3 fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Sizce R→R, f(x) fonksiyonu;
a) Bire bir midir?
b) Örten midir?
c) Artan mıdır?
ç) f(x) fonksiyonunun grafiği nasıl olabilir?
d) f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi
nedir?
e) f(x) ile f(x) fonksiyonlarının tek ya da
çift fonksiyon olup olmadıklarını araştırınız.
x2–4
fonksiyonunun en geniş tanım kümesinin R – {2} olduğunu söylex–2
yebiliriz. Gerçekten de x= 2 dışındaki tüm gerçek sayılar için fonksiyonun gerçek sayı
olan bir görüntüsü vardır.
Şimdi fonksiyonu çarpanlarına ayırıp sadeleştirelim.
x2–4 (x–2).(x+2)
= x+2
=
f(x)=
x–2
x–2
50) f(x)=
Yaptığımız sadeleştirme fonksiyonun tanım kümesini değiştirmiştir. Çünkü,
f(x)= x+2 fonksiyonu x= 2 için tanımlanmıştır.
Bu hatadan kaçınmak için fonksiyonun sadeleşmiş biçimi f(x)= x+2, x≠2 olarak
belirtilmelidir.
Sizler de aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini ve sadeleşmiş
biçimlerini yazınız.
x2–x–6
x2+x
x+√x
a) f1(x)=
b) f2(x)=
c) f3(x)=
x–3
x
√x
2
ç) f4(x)= log(x–1)(x+1)
d) f5(x)= log3(x –4)
e)f6(x)= 1
√x−1
√x–1
f) f7(x)= √x2–4x–5
g) f8(x)=
√x−1
51) f(x)= logx−3(−x2+3x+10) fonksiyonunu tanımlı yapan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
√
(
)
x2−16
52) f(x)= log
fonksiyonunu tanımlı yapan x doğal sayıları kaç tanedir?
(x−3) −x+2
Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını
ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur. O hâlde bilim o disiplindir ki önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmayan
disiplinler bilimin dışında kalacaklardır.
M.Kemal Atatürk
http://matematikci.info/haber_oku.asp?haber=141
32
2.
BÖLÜM
ALT ÖĞRENME
ALANLARI
• Limit
• Aritmetik ve Geometrik
Diziler
• Süreklilik
33
LİMİT
İÖ 5. yüzyılda yaşamış Yunanlı
düşünür Zenon'un şu hikâyesi meşhurdur.
Bir gün Antik Yunan'ın meşhur savaşçısı
Akhilleus (Aşil), bir kaplumbağayla koşu
yarışı yapmaya karar vermiş. Akhilleus, kaplumbağadan tam 10 kat daha
hızlı olduğu için kaplumbağanın yarışa
100 m önden başlamasına izin vermiş.
Yarış başladıktan birkaç saniye sonra, Akhilleus aradaki 100 m'yi hemen
aşmış, ama bu arada onunkinin onda
biri hızla hareket eden kaplumbağa, 10
m ilerlemiş. Yani aralarındaki mesafe
artık 10 m imiş. Akhilleus, bu 10 m'yi de
geçerken kaplumbağa da 1 m ilerlemiş,
yani artık aralarında 1 m varmış. Akhilleus, bu 1 m'yi geçerken kaplumbağa da
1/10 m, yani 10 cm ilerlemiş. Akhilleus
bu 10 cm'yi geçerken de kaplumbağa
1 cm ilerlemiş. Akhilleus bu 1 cm'yi de
geçince aralarındaki uzaklık 1 mm'ye
düşmüş. Yani fark sürekli onda birine
düşüyor ama asla kapanmıyormuş! Yani
kaplumbağadan 10 kat hızlı olan Akhilleus, kaplumbağayı hiç geçememiş!
Limit, matematiğin en önemli kavramlarından biridir. O nedenle beşinci işlem
olarak da adlandırılmaktadır. Tüm matematiksel kavramlarda olduğu gibi limit kavramının oluşturulması ve öğrenilmesi için bazı ön öğrenmelerin çok iyi bilinmesi gerekmektedir. Bunlar özetle sonluluk, sınırlılık, aralık, komşuluk, yaklaşım ve yaklaşık değer
olarak sıralanabilir. Limiti öğrenmek isteyenlerin ön öğrenmelerle ilgili eksikleri varsa
önce bunları gidermeleri gerekir.
1.
1. şekilde görüldüğü gibi çemberin içine düzgün ve dışbükey çokgenler çizilmiştir. Bu çokgenlerin her birinin çevresinin, çemberin çevresinden küçük olduğunu
kolayca söyleyebiliriz. Ancak çokgenlerin kenar sayılarını artırarak çevre uzunluğunun
neye yaklaştığını tahmin edebilirsiniz.
...
1. Şekil
A
Yukarıdaki yaklaşıma benzer olarak
yanda verilen çemberin AB kesenini ele alalım.
B
34
A
B
B1
B2
B4
B3
t
B noktasını A noktasına adım adım yaklaştırarak keselerin neye yaklaştığını görmeye çalışınız.
y
y
0
y
x
a
0
b
y
x
a
b
0
x
a
b
[a, b] nda, grafiği verilen eğri altında kalan alanı, şekildeki gibi dikdörtgenlere
bölünüz. Dikdörtgenlerin sayısını artırdığınızda dikdörtgenlerin alanları toplamının hangi alana yaklaştığını tahmin ediniz.
Yaptığınız çalışmaların ortak yanlarını tartışınız ve bunlardan bir sonuç çıkarmaya çalışınız.
2.
dır.
İki öğrenci, aşağıdaki kurallara uyarak bir sayıya yaklaşma oyunu oynamakta-
Bir sayı seçilir. Öğrencilerden biri seçilen sayıdan her zaman daha küçük, diğeri daha büyük gerçek sayılar söyler. Seçilen sayıya en yakın sayıyı söylemeye çalışır.
Rakibinin söylediği sayıdan daha yakın bir sayı söyleyemeyen oyunu kaybeder.
Örneğin 5 sayısı seçilmiş olsun ve öğrenciler sırasıyla çizelgede verilen sayıları
söylemiş olsun.
1. öğrenci
2. öğrenci
4,5
5,5
4,9
5,09
4,97
5,02
4,993
5,001
4,9998
5,0002
…
…
Sizce bu oyunu kim kazanır?
Daha önce oluşturulan R sayı ekseni üzerinde seçilen bir a noktasına, r birimden daha yakın olan noktaların kümesine "a nın r komşuluğu" denir ve (a−r, a+r)
biçiminde gösterilir. Bu gösterim R sayı ekseninde aşağıdaki gibidir.
a−r
a
a+r
R
Buna göre R sayı ekseni üzerinde seçeceğiniz bir a noktasının r komşuluğunu
düşününüz ve seçilen komşulukta a noktasına nasıl yaklaşabileceğinizi araştırınız.
a−r
x
a
x
a+r
R
Tartıştığınızda göreceksiniz ki eğer (a,a+r) nda iseniz a ya yaklaşmanız için a
dan büyük sayıları kullanmanız gerekir. Tersine eğer (a−r, a) nda iseniz a ya yaklaşmak
için a dan küçük değerleri kullanmanız kaçınılmazdır.
35
Biz biliyoruz ki R de sayılar sıralıdır. Yani R de seçilen bir b sayısı sağındaki
sayıdan küçük, solundaki sayıdan büyüktür. Bu nedenle yalnızca R den söz ettiğimizde,
büyük değerler alarak bir sayıya yaklaşmak o sayıya "sağdan yaklaşmak" ve küçük
değerler alarak bir sayıya yaklaşmak da "soldan yaklaşmak" olarak adlandırılır. Yukarıda
seçilen a nın komşuluğu için düşündüğünüzde "x", a ya soldan yaklaşıyor." dediğimizde
a dan küçük değerler alarak geliyor, anlamındadır. Matemetik diliyle bu " x→a− " ile gösterilir. Tersine "x, a ya sağdan yaklaşıyor." dediğimizde ise a dan büyük değerler alarak
geliyor, biçimindedir ve x→a+ ile gösterilir.
3.
Aşağıdaki fonksiyonların verilen nokta komşuluğunda o noktaya yaklaşırken
aldığı değerler ile fonksiyonların grafiklerini karşılaştırınız ve tartışınız.
1. f1: R→R, f1(x)= x−1 fonksiyonunda x= 1 noktası:
x
f1(x)
0,1
0,2
:
:
0,9
0,99
1,01
1,1
:
:
1,8
1,9
−0,9
−0,8
:
:
−0,1
−0,01
0,01
0,1
:
:
0,8
0,9
x
y
f1(x)=x−1
{
x
2. f2: R→R, f2(x)= 1
x2+2
f2(x)
−1
−0,9
:
:
−0,1
−0,01
0,01
0,1
:
:
0,9
1
x
−1
−0,9
:
:
−0,1
−0,01
0,01
0,1
:
:
0,9
1
x<0
x=0
x>0
fonksiyonunda x= 0 noktası:
y
−1
−0,9
:
:
−0,1
−0,01
2,0001
2,01
:
:
2,81
3
3. f3: R→R, f3(x)=
x
0
x2+2
3
2
−1
1
0
1
x
x
fonksiyonunda x= 0 noktası:
x
f3(x)
y
−1
−1
:
:
−1
−1
1
1
:
:
1
1
1
−1
0
1
−1
36
x
{
x
4. f4: R→R, f4(x)= −1
x2
x
x>0
x=0
x<0
fonksiyonunda x= 0 noktası:
f4(x)
−1
−0,9
:
:
−0,1
−0,01
0,0001
0,001
0,01
:
0,9
1
y
1
0,81
:
:
0,01
0,0001
0,0001
0,001
0,01
:
0,9
1
−1
0
1
x
−1
Yapılan etkinliği ele alarak gördüklerimizi sıralayalım.
1. Çalışmaların temel amacı belirlenen noktada fonksiyonun alabileceği yaklaşık değerin tahmin edilmesidir.
2. Belirlenen noktaya sağdan ve soldan yaklaşıldığında fonksiyonun aldığı değerler aynı ya da farklı sayılara yaklaşabilir.
3. Belirlenen noktaların komşuluğunda fonksiyon tanımlıdır. Ama seçilen noktada fonksiyonun tanımlı olma zorunluluğu yoktur.
Bu defa belirlenen noktalara sağdan ve soldan yaklaşıldığında, fonksiyonun
aldığı değerin aynı değere yaklaştığı durumları ele alalım. f1 fonksiyonunun, x değeri 1
e sağdan ve soldan yaklaşırken 0 a yaklaştığı, f4 fonksiyonunun ise x değeri 0 a sağdan
ve soldan yaklaşırken 0 a yaklaştığı görülmektedir. Bu durumu matemetiksel olarak
x→1
⇒
f1(x)→0
x→0
⇒
f4(x)→0
biçiminde yazabiliriz.
Fonksiyonların yaklaştığı bu değerlerin tamamen seçilen nokta ile ilgili olduğunu unutmayınız. Eğer nokta değişirse fonksiyonun yaklaştığı değer de değişebilir. O
nedenle seçilen noktalara bağlı olarak fonksiyonun yaklaştığı değere, "fonksiyonun o
noktadaki limiti" adı verilir ve aşağıdaki gibi gösterilir.
lim f1(x)= 0
x→1
lim f4(x)= 0
x→0
Genel olarak düşündüğümüzde,
f: A→R, f(x) fonksiyonu ve x=a noktası verildiğinde, f(x) in a daki limitini bulmak
isteyebiliriz.
Bunun için x→a ⇒ f(x)→L gibi sonlu bir gerçek değere yaklaşıp yaklaşmadığı
araştırılır. Eğer bu sağlanıyor ise sonlu "L∈R değerine f(x) in a daki limiti" denir ve
lim f(x)= L
x→a
ile gösterilir. Burada unutulmaması gereken, x→a gösteriminin x→a− ve x→a+ konumlarını birlikte içermesidir.
Tüm bu açıklamalara göre x→0, f2(x) ile f3(x) fonksiyonlarının durumunu tartışınız. f2(x) ile f3(x) in 0 da limitinin olup olmadığını belirleyiniz.
37
{
2x+1
h: R→R, h(x)= 1
5−x
4.
,
,
,
x<1 ise
x=1 ise
x>1 ise
fonksiyonu veriliyor.
x in 1 e soldan yaklaşırken (x→1−), fonksiyonun görüntülerinin hangi sayıya
yaklaştığı aşağıdaki çizelgede çıkarılmıştır.
x
0,9
0,95
0,98
0,99
0,998
.....
h(x)
2,8
2,9
2,96
2,98
2,996
.....
yiniz.
Tanımlanan h(x) fonksiyonunun verilen grafiğini ve tabloyu bir kez daha inceley
4
3
2
1
0
1
2
3
4
x
5
h(x)
Hem tablodan hem de grafikten yararlanarak x→1− için fonksiyonun aldığı değerin hangi sayıya yaklaştığını belirtiniz.
Benzer bir yaklaşımla değerler vererek x→1+ için h(x) fonksiyonunun görüntülerinin hangi sayıya yaklaştığını tablo ile gösteriniz ve bulduğunuz değerleri grafikle de
karşılaştırınız.
x→1− için ve x→1+ için fonksiyonun yaklaştığı değerleri karşılaştırınız. Yapmış
olduğunuz çalışmalardan, x→1− için fonksiyonun 3 e yaklaştığını görmüşsünüzdür. Bu
3 sayısına h fonksiyonunun x=1 noktasındaki soldan limiti denir ve
lim −h(x)= 3
biçiminde gösterilir.
x→1
Buna göre sizler de fonksiyonun x=1 noktasındaki sağdan limitini matematiksel olarak gösteriniz.
Benzer şekilde aşağıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunun x=–2, x=0 ve x=4
noktalarındaki sağdan ve soldan limitlerini bulalım.
y
3
2
1
0
−2
x
4
f(x)
lim f(x)= 1
ve
lim f(x)= 3
ve
lim f(x)= 0
ve
x→−2−
x→0−
x→4−
lim f(x)= 2
x→−2+
lim f(x)= 3
x→0+
lim f(x)= 0
x→4+
38
Genel olarak a∈R ve A⊂R olmak üzere, f: A→R fonksiyonunda “lim− f(x)= L1
x→a
değerine fonksiyonun x= a da soldan limiti”, “lim+f(x)= L2 değerine fonksiyonun x= a da
x→a
sağdan limiti” denir.
Eğer L1= L2= L bağıntısı sağlanıyor ise fonksiyonun x= a da limiti vardır denir ve
lim f(x)= L biçiminde gösterilir.
x→a
L1≠L2 ise x= a noktasında fonksiyonun limiti yoktur.
Yukarıdaki h fonksiyonunun ilgili değerleri için limitinin olup olamayacağını belirtiniz ve matematiksel olarak ifade ediniz.
1.
y
1)
Şekildeki ABC üçgeninin A köşesi y
ekseni üzerindedir. A noktasının orijine
yaklaşması
durumunda
üçgenin alanı
hangi sayıya yaklaşır?
A
0
B
C
x
2) Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların belirtilen noktalarda limitlerinin olup
olmadığını araştırınız.
y
y
4
a)
b)
3
2
1
0
−1
x
2
f(x)
f(x)
y
c)
2
−3
x
3
0
f(x)
1
0
y
ç)
3
x
0
−2
4
x
−1
f(x)
d)
y
y
f(x)
e)
1
2
0
x
−1
−2
39
−4
0
f(x)
x
3) Aşağıda verilen fonksiyonların belirtilen noktalarda limitlerini araştırınız.
a) f1: R→R, f1(x)= x+5
x=2 için
−x
x<1 ise
b) f2: R→R, f2(x)= 1−x
x≥1 ise x=1 için
{
c) f3: R→R, f3(x)= x−2
x=3 için
ç) f4: R→R, f4(x)= 2x−4
x=2 için
4) Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz ve belirtilen değerler için
limitlerini tartışınız.
a) f1: R→R, f1(x)= sinx
x= π i•i n
b) f2: R→R, f2(x)= 2x
x= 3 için
+
c) f3: R →R, f3(x)= logx
x= 10 için
y
5)
3
2
1
−3
2
0
−1
x
4
f(x)
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonu inceleyiniz. Hangi noktalarda limitinin olmadığını söylemeye çalışınız.
6) Bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile o noktadaki görüntüsü arasında bir
ilişki var mıdır? Tartışınız.
5.
y
Yanda grafiği verilen f:R→R, f(x)=2
fonksiyonu için,
lim f(x), lim f(x), lim f(x)
f(x)=2
2
x→1
x
0
1
2
y
h(x)=
1
2
x
0
g(x)=−3
x→−2
x→ 3
2
değerlerini grafikten yararlanarak bulunuz.
Siz de farklı değerleri alarak fonksiyonun bu
noktalardaki limitlerini bulunuz. Bulduğunuz
limit değerlerini karşılaştırınız.
Ulaştığınız sonucu yazınız.
Yandaki şekilde,
1
h:R→R, h(x)= ,
2
g:R→R, g(x)= –3 fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir.
−3
x= 1 ve x= –2 noktaları için h(x) ve g(x) fonksiyonlarının limitlerini bulunuz.
Değişik sabit fonksiyonlar seçiniz. Bu fonksiyonların her a∈R noktasındaki limitleri için bir genelleme yapmaya çalışınız. Sizce bu genelleme c∈R için lim c= c
x→a
biçiminde yazılabilir mi?
Sabit bir fonksiyonun her noktadaki limitinin aynı olduğunu söyleyebilir miyiz?
40
y
6.
y
f1(x)=x
0
f2(x)=2x
0
x
y
x
y
x
0
x
0
f4(x)=− 1 x
f3(x)=−3x
2
Yukarıda grafikleri verilen fonksiyonların, x= 1, x= 3, x= –2 ve x= 0 noktalarındaki limitlerinin varlığını ve varsa değerlerini araştırınız.
Fonksiyonların verilen noktalarda aldığı değerleri ile bulduğunuz limit değerlerini karşılaştırınız.
Bu durum her a∈R için yukarıdaki fonksiyonların x= a noktasındaki limitleri ile
görüntüleri için de geçerli midir?
Ulaştığınız sonucu arkadaşlarınızla tartışınız.
Genel olarak a,c∈R ve f:R→R, f(x)= c.x fonksiyonunun x=a noktasındaki limiti
lim c.x= c.a olur.
x→a
7.
R→R tanımlanan f1(x)=x2, f2(x)=x3 fonksiyonları veriliyor.
Bu fonksiyonların belirtilen noktalardaki değerlerini hesap makinesi yardımıyla
bularak tabloyu doldurunuz.
x
1,87
1,9
1,999
...2...
2,001
2,1
2,13
f1(x)=x
...
...
...
...?...
...
...
...
f2(x)=x
...
...
...
...?...
...
...
...
2
3
Tabloyu incelediğinizde x değerleri 2 sayısına sağdan ve soldan yaklaşırken,
f1(x)= x2 fonksiyonunun görüntüleri hangi sayıya yaklaşmaktadır?
f2(x)= x3 fonksiyonunun görüntüleri hangi sayıya yaklaşmaktadır?
Bu durumları matematiksel olarak ifade ediniz.
Bulduğunuz limit değerleri ile fonksiyonların x= 2 noktasındaki görüntülerini
karşılaştırınız. Benzer durum x= –3 noktası ya da alabileceğiniz her a∈R noktası için de
geçerli midir?
Benzer işlemleri R→R, f3(x)= x4, f4(x)= x5 fonksiyonları için de yapınız. Yukarıda ulaştığınız sonucun bu fonksiyonlar için de geçerli olup olmadığını görmeye çalışınız.
+
Yapılan etkinliklerden çıkardığınız sonuçları R→R, f(x)= xn (n∈N ) kuvvet fonksiyonuna uygulayınız.
41
Çalışmalarınızın sonucunda ∀a∈R için kuvvet fonksiyonunun limitinin,
lim xn= an olduğunu görebilirsiniz.
x→a
Buna göre, lim x4
x→3
2.
limit değeri
lim x4= 34= 81 olur.
x→3
1) Aşağıda verilen fonksiyonların verilen noktalardaki limitlerini bulunuz.
()
1
3
a) lim 5
b) lim (−3)
c) lim
ç) lim x
d) lim x
e) lim x
f) lim x3
g) lim x2
ğ) lim x4
x→ −1
x→1
2
x→√3
x→ − 1
2
x→8
x→√2
x→ − 2
3
x→3
x→ − 4
2) Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan c gerçek sayılarını bulunuz.
b) lim x3 = −
a) lim c.x= 6
x→2
8.
x→c
1
8
R→R, f(x)= 2x ve g(x)= 5 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonların x=3 noktasındaki limitlerini lim f(x)= 6 ve lim g(x) = 5 olarak kolayca bulabiliriz.
x→3
x→3
Şimdi de h:R→R, h(x)= f(x)+g(x)= 2x+5 fonksiyonunun x= 3 noktasındaki limitini h(x) foksiyonunun grafiğinden yararlanarak bulmaya çalışalım.
y
h(x)
11
5
0
3
x
lim h(x)= 11 olduğu görülür.
x→3
Sizler de 3 e yaklaşan değerler vererek bu limit değerini bulabilirsiniz.
h(x) fonksiyonunun x= 3 noktasındaki limiti ile f(x) ve g(x) fonksiyonlarının x= 3
noktasındaki limitleri toplamını karşılaştırınız.
Buradan bir çıkarıma ulaşmaya çalışınız.
f(x) ve g(x) fonksiyonlarının kurallarını değiştirerek yeni h(x) fonksiyonları elde
ediniz.
Bu fonksiyonların farklı x değerlerinde var olan limitleri için de aynı çıkarıma
ulaşılabilir mi?
f ve g, x= a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere,
lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) olduğu görülür.
x→a
x→a
x→a
1
noktasındaki limiti
2
1 3 1 2 3
lim (x3+x2)= lim x3+ lim x2=
+
=
olarak bulunur.
1
1
1
2
2
8
x→
x→
x→
f(x)= x +x fonksiyonunun x=
3
2
2
2
2
()()
42
Benzer düşünceyle
lim [f(x) − g(x)] = lim f(x) − lim g(x)
x→a
x→a
x→a
lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x)
x→a
x→a
lim [c . f(x)] = lim f(x)
x→a
x→a
x→a
(c∈R)
g(x)≠0 ve lim g(x)≠0 olmak üzere
x→a
lim [f(x):g(x)]= lim f(x):lim g(x)
x→a
x→a
x→a
Eşitliklerinin doğru olduğunu görünüz.
9.
lım.
Şimdi de bu özelliklerden yararlanarak f:R→R,
f(x)= anxn+an–1–1xn–1+É+ a0 polinom fonksiyonlarının c∈R için limitini araştıralim [anxn+an–1–1xn–1+É+
x→c
a 0]
limitinin özelliklerinden yararlanarak toplamların limiti ifadesini, limitlerin toplamı biçiminde yazınız.
Toplam durumundaki her bir limitin kuvvet fonksiyonunun limitinden yararlanarak limit değerlerini yazınız.
Bulduğunuz limit değerleri toplamı ile f(c) yi karşılaştırınız. Yaptığınız çalışmalardan polinom fonksiyonların limiti için bir genellemeye ulaşmaya çalışınız.
f(x)= 4x3+x2−5x−1 polinom fonksiyonunun x=2 noktasındaki limiti,
lim [4x3+x2−5x−1]= lim 4x3+ lim x2− lim 5x − lim 1
x→2
x→2
x→2
x→2
x→2
= 32+4−10−1= 25 olur.
Fonksiyonun x= 2 noktasındaki görüntüsü,
f(2)= 32+4–10–1= 25 dir.
O hâlde lim f(x)= f(2) olur.
x→2
Buradan, f(x) bir polinom fonksiyon olmak üzere,
lim f(x) = f(a) sonucuna ulaşılır.
x→a
3.
1) f(x)= x3–2x+1 fonksiyonunun x=3 noktasındaki limitini bulalım.
Bu polinom fonksiyonunda,
lim f(x)= f(3) = 33−2.3+1= 27−6+1= 22 olarak bulunur.
x→3
Sizler de aşağıdaki işlemleri sonuçlandırınız.
a) lim (x2+5x−8)
b) lim [(x2+1).(x3−7)]
x→1
ç) lim
x→ 1
2
(
1
1
+ 2
x
x
x→2
)
d) lim (x+
x→3
1
)
x
c) lim x+1
x→−2 2x+1
e) lim (x−x2)
x→−1
2) Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan c gerçek sayılarını bulunuz.
a) lim (x2−cx+5)= 4
b) lim cx+1 = 5
x→1
x→2 x−1
3) lim f(x)= 4 ve lim g(x)= 5 olarak veriliyor.
x→2
lim
x→2
(
x→2
1
1
+
g(x)
f(x)
)
değerini bulunuz.
43
f:R→R, f(x)=x−3 fonksiyonu veriliyor.
f(x) fonksiyonunun parçalı fonksiyon olarak
10.
f(x) =
{
−x+3
x−3
x<3 ise
x≥3 ise
biçiminde yazıldığını ve grafiğinin aşağıdaki gibi olduğunu biliyoruz.
y
f(x)
2
0
x
3
1
Grafiği inceleyerek ya da parçalı fonksiyondan yararlanarak,
lim f(x) = lim x−3 = lim (−x+3) = 2 olduğunu kolayca görebilirsiniz. Aynı yaklaşımla
x→1
x→1
x→1
lim
f(x) = lim
(x−3) = −2 = 2 değerini de bulabilirsiniz.
x→1
x→1
Bulunan bu değerler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Siz de –2, 4 ve 7 için değerleri hesaplayarak tabloyu doldurunuz.
a
lim f(x)
lim f(x)
2
2
x→a
1
x→a
−2
4
7
Tabloda 2 ve 3. sütundaki değerleri karşılaştırarak bir sonuca ulaşınız.
Ulaştığınız bu sonucun ∀a∈R için geçerli olup olmayacağını tartışınız.
Genel olarak herhangi bir f(x) fonksiyonunun x= a noktasında limiti varsa
lim (x) = lim f(x) eşitliği geçerli olur.
x→a
x→a
lim −x değerini hesaplayalım.
x→5 1+x
lim −x = lim −x = −5 = −5 = 5 olur.
1+5
x→5 1+x
x→5 1+x
6
6
4.
Aşağıdaki limitleri bulunuz.
a) lim x−3
x→2 x−4
ç) lim −3x+5
x→−1
b) lim x2+4
c) lim x2−3x−1
x→−3
x→2
d) lim x +3x
e) lim
2
x→0
x→−7
3
11.
x
x+1
x değeri 64 sayısına yaklaşırken √x ve √x ifadelerinin hangi sayıya yaklaştığı
nı, hesap makinesi ya da bilgisayar yardımıyla bulmaya çalışınız.
3
Bulduğunuz değerleri √64 ve √64 değerleriyle karşılaştırınız.
Benzer işlemler için farklı gerçek sayı değerleri seçiniz. x, seçtiğiniz bu sayılardan her birine yaklaşırken √x ve 3√x ifadelerinin yaklaştığı değerleri bulunuz.
x=a noktasında limiti olan bir f(x) fonksiyonu seçiniz.
i ) n tek doğal sayı ise
44
i i ) n çift doğal sayı ve x in a ya yakın tüm değerleri için f(x)≥ 0 ise
√
n
lim √f(x) = lim f(x) eşitliğinin doğru olup olmadığını araştırınız. Bulduğunuz
n
x→a
x→a
sonucu önceki çalışmalarınızla ilişkilendiriniz.
lim √x2+5x+1 limit değeri,
x→3
√
(x2+5x+1)
lim √x2+5x+1 = lim
x→3
x→3
= √9+15+1 = √25 = 5
5.
Aşağıdaki limitleri bulunuz.
a) lim √x2+x−1
b) lim
x→−2
ç) lim
x→−3
√
x−1
d) lim 3x+1
x→0 7x+4
3
√x+2
y
12.
c) lim
x→1
e) lim
x→1
√
√
x+3
2x+1
x+1
x
f(x)
Yanda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir. Bu fonksiyonlar a da birbirine teğettir. x in a
g(x) nın komşuluğundaki tüm değerleri için g(x)≤ f(x) olduğu
x görülmektedir. Fonksiyonların görüntü kümeleri arasındaki bu ilişkinin, aynı komşuluktaki limit değerleri için de
geçerli olup olamayacağını tartışınız.
a
0
√x3−5
3
x→−3
Şimdi de g(x)≤ h(x)≤ f(x) eşitsizliğini sağlayan herhangi bir h(x) fonksiyonunu
seçerek yukarıdaki grafiği yeniden çiziniz.
f(x) ve g(x) fonksiyonlarının limitlerinin eşit olduğu noktada, h(x) fonksiyonunun
limiti için ne söylenebilir?
f ve g fonksiyonları x= a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere,
lim f(x) = lim g(x) = L ve x in a sayısına yakın tüm değerleri için
x→a
x→a
g(x)≤ h(x)≤ f(x) ise lim h(x) = L olur. Bu özelliğe "sıkıştırma teoremi" denir.
x→a
6.
f(x) fonksiyonu, –1≤ x≤ 1 için √5−2x2 ≤ f(x) ≤ √5−x2 eşitsizliğini sağlıyorsa
lim f(x) değerini bulunuz.
x→0
13.
f:R→R, f(x)=
{
x+1
−x−3,
x2
x< −2 ise
−2≤ x< 1 ise
1≤ x
ise
parçalı tanımlı fonksiyonu veriliyor.
Fonksiyonun x= –3 noktası komşuluğunda kuralını belirtiniz ve limitini hesaplayınız.
x= –2 noktası komşuluğunda kuralın değiştiğine dikkat ederek varsa limit değerini bulunuz.
x= 1 noktasında varsa limitini hesaplayınız.
Aşağıda f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Yukarıda yaptığınız çalışmalarda
45
bulduğunuz sonuçları grafikle ilişkilendirmeye çalışınız.
y
f(x)
1
−2
0
−1
x
1
−4
Kuralının değiştiği noktalarda parçalı fonksiyonun limitinin varlığını ve hangi
durumlarda limit olamayacağını tartışınız.
f:R→R, f(x)=
{
5
2x2+2
x<1 ise
x≥1 ise
fonksiyonunun x= 1 ve x= 3 noktalarındaki limitlerini bulalım.
x= 1 noktasının komşuluğunda fonksiyonun kuralı değiştiğinden sağdan ve soldan limitine bakalım.
lim +f (x)= lim+(2x2+2)= 2+2= 4
x→1
x→1
lim −f (x)= lim−5= 5
x→1
x→1
lim +f (x)≠ lim−f(x) olduğundan lim f(x) yoktur.
x→1
x→1
x→1
x=3 noktası komşuluğunda fonksiyonun kuralı değişmediğinden
lim f (x)= lim (2x2+2)= 2.32+2= 20
x→3
x→3
Parçalı fonksiyonların kritik noktalarında limit alınırken sağdan ve soldan limitlerine bakılır.
7.
1) Aşağıdaki fonksiyonların belirtilen noktalarda limitlerini araştırınız.
2x+5
x≤ −1 ise
a) f:R→R, f(x)= 0
−1< x< 3 ise
x= −1, x= 3 ve x= 0 için
1−x
x≥ 3
ise
{
b) f:R→R, f(x)=
{
5
2x
2) f:R→R, f(x)=
14.
x= 1 ise
x≠ 1 ise
{
ax+ 2
7− x
x= 1 ve x= 2 için
x< 1 ise
x≥ 1 ise
fonksiyonunun x=1
noktasında limitinin olabilmesi için, a gerçek sayısı kaç olmalıdır?
x2+4
f:R−{2}→R,
fonksiyonunun x= –1 ve x= 3 noktalarındaki limitlerini aşax−2
ğıdaki işlem basamaklarını tamamlayarak bulunuz.
x2+4
lim
= ..........= ..........
x→−1 x−2
2
lim x +4 = ..........= ..........
x→3
x−2
Benzer yolla f(x) fonksiyonunun x= 2 noktasındaki limitinin hesaplanıp hesaplanamayacağını araştırınız.
f(x) fonksiyonu x= 2 noktasında tanımlı olmadığından benzer yolla bu noktadaki
limitinin hesaplanamayacağını fark etmişsinizdir.
Ancak bu noktanın komşuluğunda fonksiyon tanımlıdır. Öyleyse bu fonksiyonu
parçalı biçimde yazıp x= 2 noktasındaki limitini hesaplamaya çalışınız.
46
1−x
fonksiyonunun x=1 noktasındaki limitini bulalım.
x−1
f(x)= 1−x fonksiyonu x=1 noktasında tanımlı değildir, fakat bu noktanın
x−1
komşuluğunda tanımlıdır. Öyleyse bu fonksiyonu parçalı olarak gösterelim.
f(x)=
1−x = 1
−x+1
x> 1 ise f(x)= 1−x = −1
x−1
1,
f(x)=
−1,
x< 1 ise f(x)=
{
x < 1 ise
x > 1 ise
Buradan lim−f(x)= 1 ve lim+f(x)= −1 olur. Öyleyse x= 1 noktasında f(x) fonksiyox→1
x→1
nunun limiti yoktur.
Mutlak değer içeren fonksiyonların limitleri bulunurken nelere dikkat edilmesi
gerektiğini tartışınız.
8.
1) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
x
x
x−2
a) lim
x→0
ç) lim
x→2
15.
b) lim
x→−1
d) lim
√x2−4x+4
x→2
x−1
x −1
x+1
x−1
c) lim
x→3
e) lim
x→−1
x2−x−6
x−3
x+4
x−1
lim 2x+1, lim ln(1−x) ve lim cosx değerlerini hesaplayabilmek için,
x→0
x→0
x→0
Dinamik matematik yazılımı yardımıyla f(x)= 2x+1, g(x)= ln(1−x) ve h(x)= cosx
fonksiyonlarının grafiğini çiziniz.
+
x→0 için f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlarının hangi değere yaklaştığını grafiklerini
gözlemleyerek bulunuz.
−
x→0 için f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlarının hangi değere yaklaştığını grafiklerini
gözlemleyerek bulunuz.
Gözlemlerinizi hesap makinesi kullanarak destekleyiniz.
Yaptığınız çalışmalardan x→0 için fonksiyonların varsa limitlerini bulunuz.
lim 3x−1 değerini hesaplayalım.
x→1
f(x)= 3x−1 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
+
x→1
f(x)
y
* 3x−1
x
0,5
0,577
1,3
1,390
0,7
0,719
1,2
1,245
0,8
0,802
1,1
1,116
0,9
0,895
1,01
1,011
0,99
0,989
1,001
1,001
0,999
0,999
…
…
x
1
1,732
…
0
1,5
…
1
x→1−
* 3x−1
x
*: Hesaplamalarda virgülden sonraki 3 basamak
dikkate alınmıştır.
Fonksiyonun grafiğinden ve tablodan da görüleceği gibi lim 3x−1= 1 olur.
x→1
47
16.
0,001
1000
0,0001
10000
… …
−0,01
−100
−0,001
−1000
−0,0001
−10000
… …
100
… …
0,01
… …
f:R−{0}→R tanımlı f(x)= 1 fonksiyonunun tanımsız olduğu x= 0 noktasındaki
x
limitini bulmaya çalışalım.
x= 0 noktasında f(x) fonksiyonu tanımlı değildir. Ancak x= 0 noktasının komşuluğunda tanımlıdır. Tablodan f(x) in x= 0 noktası komşuluğunda aldığı değerleri inceleyelim.
+
x→0
x→0−
1
1
x
x
x
x
1
1
−1
−1
0,1
10
−0,1
−10
x değişkeni, sıfıra sağdan ve soldan yaklaşırken fonksiyonun aldığı değerlerdeki değişim için ne söyleyebilirsiniz?
Sınırsız olarak büyüyen değerler artı sonsuz (+∞), sınırsız olarak küçülen değerler ise eksi sonsuz (–∞) ile gösterilir.
Gerçek sayılar kümesine +∞ ve –∞ un katılmasıyla elde edilen kümeye “genişletilmiş gerçek sayılar kümesi” denir.
Bu durumda lim+ 1
x→0 x
ve lim− 1 değerlerini bulunuz.
x→0 x
Bulduğunuz sonuçları f(x)= 1 fonksiyonunun grafiğini inceleyerek de kolayca
x
görebilirsiniz.
y
f(x)= 1
x
0
x
Grup olarak ya sayısal değerleri alarak ya da grafikten yararlanarak
1
ve lim 1 değerlerini hesaplayınız.
lim
x→+∞ x
x→−∞ x
Ayrıca 8. etkinlikte gördüğünüz limit ile ilgili özellikler genişletilmiş gerçek sayılar kümesinde de geçerlidir.
Buradan, aşağıdaki limitler:
lim 3 = lim 3. 1 = 0
x→∞ x x→∞
x
lim 7 = lim 7. 1 = 0
x→−∞ x x→−∞
x
lim 5 = lim 5. 1 = −∞
x→0− x x→0−
x
lim 1 = ∞
olarak hesaplanır.
x→1− 1−x
( )
( )
( )
48
Yapılan ve önerilen etkinliklerden aşağıdaki çıkarımlara ulaşılır.
1. Bir fonksiyonun sonlu bir noktadaki limiti sonlu olmak zorunda değildir.
2. Bir fonksiyonun sonsuzdaki limiti sonsuz olmak zorunda değildir.
1
3. lim
= 0, lim 1 = 0, lim 1 = +∞, lim 1 = −∞
x→+∞ x
x→0− x
x→−∞ x
x→0+ x
9.
1) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
a) lim +
4
x
2
d) lim
x→+∞ x
b) lim− 3
x→0 x
e) lim 2
x→−∞ x
ğ) lim + − 22
x
x→0
4
j) lim −
x→−2 x+2
h) lim− −
x→0
ç) lim+ − 1
x
x→0
3
g) lim− 2
x→0 x
i) lim −− 6
x−3
x→3
16−x2
m)lim+
x−4
x→4
c) lim− − 2
x
x→0
4
f) lim + 2
x→0 x
ı) lim + 2
x→1 x−1
8−x3
l) lim −
x2
x→2
5
x2
k) lim + 28
x→−3 x −9
x→0
2) Aşağıda verilen fonksiyonların belirtilen noktalarda limitlerinin varlığını araştırınız.
a) f(x)= 6 , x=0
b) g(x)= 7 , x=1
c) h(x)= −3 , x= −4
x
x−1
x+4
−5
ç) m(x)= 2 , x=3
, x=1
d) n(x)= 2 4
x −9
x +2x+3
3) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
a) lim+ 3
1
x
b) lim− 2
x→0
d) lim
x→+∞
nuz.
a)
( )
5
7
3
x−4
c) lim 8
x→4
x
e) lim
x→+∞
(
x→+∞
)
1 +2−x
x
f) lim
x→−∞
(
3
x
ç) lim
( ))
7+ 5
x 4
( 31 )
g) lim − 2
x
4
x+2
x→−2
4) Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların belirtilen noktalardaki limitlerini buluy
lim f(x)= ?
x→3−
f(x)
1
lim f(x)= ?
x→3+
x
3
0
lim f(x)= ?
x→−∞
lim f(x)= ?
x→+∞
b)
x
x→−∞
y
4
f(x)
lim f(x)= ?
x
0
x→−∞
lim f(x)= ?
x→+∞
−4
49
c)
y
f(x)
lim f(x)= ?
x→−∞
lim f(x)= ?
x→+∞
x
0
−1
17.
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların bazılarının −∞ ve +∞ için limitleri verilmiştir. Diğerlerini de siz bulunuz.
y
y
y=x
0
0
x
lim x= +∞
x
lim x2= ...
x→+∞
x→+∞
lim x= ...
lim x2= +∞
x→−∞
y
y=x2
x→−∞
0
lim x3= ...
x→+∞
lim x3= +∞
x→−∞
y
y=x3
x
y=x4
x
0
lim x4= +∞
x→+∞
lim x4= ...
x→−∞
Etkinlikteki gibi kuvvet fonksiyonlarının x→+∞ ya da x→–∞ limitlerini almaya
devam ettiğinizi düşününüz. Bu durumda,
1) (+∞).(+∞)= +∞
(−∞).(−∞)= +∞
(+∞).(−∞)= −∞
+
2) n∈N için, lim xn= +∞
{
x→∞
lim xn= +∞ , n= 2, 4, 6, ...
−∞ , n= 1, 3, 5, ...
x→−∞
+
n
n
3) ∀n∈N i•i n √+∞ = +∞, n tek ise √−∞
= −∞
genellemelerine ulaşılır.
lim x5 ifadesinde kuvvet tek doğal sayı olduğundan limitin değeri lim x5= −∞
olur.
olur.
x→−∞
x→−∞
lim x6 ifadesinde ise kuvvet çift doğal sayı olduğundan limitin değeri lim x6= +∞
x→−∞
x→−∞
Limiti sonsuz olan bir fonksiyonun sıfırdan farklı bir gerçek sayı ile çarpımı biçiminde tanımlanan yeni fonksiyonun aynı noktadaki limitini, limitteki çarpım kuralı yardımıyla bulabiliriz.
Buna göre,
lim x3= ∞ olduğundan lim −3x3= −∞ olur.
x→∞
x→∞
lim x4= ∞ olduğundan lim 5x4= ∞ olur.
x→−∞
x→−∞
lim x3= −∞ olduğundan lim −x3= ∞ olur.
x→−∞
x→−∞
50
10.
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
a) lim 3x3
b) lim 5x2
x→+∞
d) lim
x→+∞
18.
x→−∞
1
x2
e) lim
x→−∞
c) lim −2x2
ç) lim −4x3
f) lim − 2
x→+∞ x2
g) lim − 2
x→−∞ x3
x→+∞
4
x5
x→−∞
Gerçek sayılarda tanımlı f(x)= 5x3–2x2–x+3 polinom fonksiyonunun x→+∞ ve
x→−∞ için limitlerini araştıralım.
Fonksiyonun terimlerini x3 parantezine alarak fonksiyonu yeniden,
f(x)= 5x3–2x2–x+3= x3. 5− 2 − 12 + 3 bağıntısı ile verebiliriz. (x≠0)
x x x3
(
)
1 = 0 ve lim 1 = 0 eşitlikleri kullanıldığında
x→−∞ xn
xn
x→+∞ ve x→−∞ için parantezin içindeki 2 , 1 , 3 terimlerinin limitlerinin 0 a yaklaştığı
x x2 x3
kolayca görülür.
lim 5x3–2x2–x+3= lim x3. 5− 2 − 12 + 3
x→+∞
x→+∞
x x x3
Önceki etkinliklerde bulunan lim
x→+∞
[
)]
(
(
= lim x3. lim 5− 2 − 12 + 3
x→+∞
x→+∞
x x x3
)
[
= lim x3. lim 5 − lim 2 − lim 12 + lim 33
x→+∞
x→+∞
x→+∞ x
x→+∞ x
x→+∞ x
0
5
0
]
0
= 5 . lim x3= lim 5x3
x→+∞
x→+∞
[(
)]
Benzer şekilde, lim x3 . 5− 2 − 12 + 33 = lim 5x3 eşitliğine ulaşılır.
x→−∞
x→−∞
x x x
bilir.
Bu eşitlikler yardımıyla f(x) fonksiyonunun x→+∞ ve x→−∞ için limitleri buluna-
Sizler de farklı polinom fonksiyonlar alarak x→+∞ ve x→−∞ için fonksiyonun
limiti ile en büyük dereceli teriminin limitlerini karşılaştırınız. Ulaştığınız sonucu genellemeye çalışınız.
Genel olarak f(x)= anxn+ an–1xn–1+...+ a1x+ a0 , (x≠0) polinom fonksiyonu
an−1
a
a
+...+ n0 biçiminde yazılabileceğinden,
+ n−2
2
x
x
x
a
a
a
lim± (anxn+ an–1xn–1+...+ a0)= lim± xn . an + n−1 + n−2
+...+ n0
x→ ∞
x→ ∞
x
x2
x
an−1
a0
= lim xn lim an + lim
+ ... + lim
n
±
±
±
±
x
x
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
x→ ∞
(
)
f(x)= xn. an +
[
(
)
an
0
işlemini devam ettirerek bir genellemeye ulaşmaya çalışınız.
1) anxn+ an–1xn–1+...+ a polinomu için
lim± (anxn+ an–1xn–1+...+ a0) = lim± anxn
x→ ∞
x→ ∞
2) (+∞)+(+∞)= +∞
(−∞)+(−∞)= −∞ eşitlikleri elde edilir.
51
0
]
11.
1) Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim (x5−4)
x→+∞
c) lim (2x+1)
d) lim (x −x +9)
e) lim (2x4−2x2+1)
x→+∞
ç) lim (1−x −x )
2
b) lim (3−x−x2)
3
10
x→−∞
x→−∞
9
x→−∞
x→+∞
2) Bir polinom fonksiyonun x→+∞ için limitinin bir gerçek sayıya eşit olabilmesi
için fonksiyon nasıl seçilmelidir?
3) lim (ax3+x2)= +∞ eşitliğini gerçekleyen a gerçek sayısı hangi aralıkta olabilir?
x→−∞
Aşağıda f:R→[–1,1], f(x)= sinx fonksiyonunun grafiği veriliyor.
19.
y
1
−π
2
−2π
− 3π
2
f(x)= sinx
0
3π
2
π
2
−π
π
x
2π
−1
y
Grafikten yararlanarak fonksiyonun x= π noktasındaki limitini araştıralım.
4
Grafikte de görüldüğü gibi
π
= √2 ve
lim − sinx= sin
2
4
π
x→
1
√2
2
4
lim + sinx= sin
0
π
4
π
2
π
x→ π
4
x
f(x)= sinx
nur.
π
= √2 dir.
2
4
Buradan lim sinx = √2 olarak bulu2
x→ π
4
π
ve x= − π noktalarında fonksiyonun
Sizler de grafikten yararlarak x= 0, x=
2
6
limitlerini bulunuz.
Şimdi de g:R→[–1,1], g(x)= cosx fonksiyonunun grafiğinden de yararlanarak
π
noktalarında fonksiyonun limitlerini bulunuz.
x= 0, x= π ve x= −π x= −
4
3
y
1
−π
−π
2
0
−2π − 3π
2
π
π
2
3π
2
2π
g(x)= cosx
x
−1
Yaptığınız işlemler sonucunda, a∈R olmak üzere,
lim sinx = sina ve
x→a
lim cosx= cosa genellemesine kolayca ulaşabilirsiniz.
x→a
52
Ancak bir fonksiyonun bir noktadaki limiti ile o noktadaki görüntüsünün her zaman eşit olamayacağına dikkat ediniz.
tanx= sinx , cotx= cosx eşitliklerinden ve limitin bölme işlemi ile ilgili özelliğinsinx
cosx
den yararlanarak a∈R olmak üzere,
lim tanx = tana (cosa≠0) ve
x→a
lim cotx = cota (sina≠0) olduğu söylenebilir.
x→a
12.
1) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz
a) lim (sinx+cosx)
b) lim (cos3x+sinx)
ç) lim sin2x
d) lim
x→ π
2
x→ π
3
f) lim
x→0
1−cosx
1+sinx
x→ π
3
x→− π
3
2
x→0
1
sinx
( )
g) lim cos 1
x→∞
x
2
d) lim
−
x→ π
4
x→π
1
sinx
( cosx+sinx
1−cosx )
e) lim (sinx.cosx)
cosx+1
cos2x
x→ π
4
( )
h) lim (sinx+cosx)2
c) lim +
1
sinx
ğ) lim sin 2
x→−∞
x
2) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz
1
1
b) lim
a) lim
+
−
x→ π cosx
x→ π cosx
ç) lim −
c) lim
x→0
e) lim
−
x→ π
2
x→ π
12
cosx−5
sin2x
3) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz
a) lim (tanx−cotx)
b) lim tanx+√3
1+cosx
x→ π
x→ π
c) lim tanx
ç) lim tanx
e) lim tan −3
x→−∞
x
4
3
+
x→ π
2
d) lim cotx
x→π
−
x→ π
2
( )
4) lim sinx limitinin değerini sıkıştırma teoreminden yararlanarak aşağıdaki gibi
x→∞ x
bulabilirsiniz.
−1≤sinx≤1
− 1 ≤ sinx ≤ 1
x
x
x
−1
lim
= 0 ve lim 1 = 0 olduğundan lim sinx = 0 olur.
x
x→∞ x
x→∞ x
x→∞
Sizler de benzer yöntemle aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
sinx
b) lim cosx
c) lim cosx
a) lim
x→−∞ x
x→∞
x→−∞
x
x
d) lim sin4x+cos2x
ç) lim sin3x
x→∞
x→∞
x
x
20.
Aşağıda verilen limit değerlerini hesaplamaya çalışınız.
2
x2−6x+8
,
lim x −x−2
lim 2
lim x −1 ,
x→1 x−1
x→4 x −8x+16
x→2
x2−4
2
Bu limit değerlerini hesaplarken karşılaştığınız güçlükleri grup arkadaşlarınızla
tartışınız.
Limit değerlerini hesaplarken verilen noktalarda pay ve paydadaki fonksiyonların birlikte sıfıra yaklaştığını fark ettiniz mi?
Eğer bu durum rasyonel fonksiyonun genişletilmiş olmasından kaynaklanıyor
ise gerekli sadeleştirilmeleri yaparak limitleri hesaplamaya çalışınız.
53
2
lim x −9 limitini hesaplayalım.
x→3 x−3
lim (x2−9)
2
x→3
x
−9
lim
= 0 olur. Bu durumda gerekli sadeleştirmeleri yaparak
=
lim (x−3) 0
x→3 x−3
x→3
limit değerini bulalım.
2
(x−3).(x+3)
lim x −9 = lim
= lim (x+3)= 6 olur.
x→3
(x−3)
x→3 x−3
x→3
Rasyonel bir fonksiyonun seçilen bir gerçek sayı için limit değeri hesaplanırken
pay ve paydadaki fonksiyonların limitleri aynı anda sıfıra yaklaşıyorsa bu durum 0 be0
lirsizliği olarak adlandırılır.
13.
1) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
2
a) lim x +x−2
x→1
x2−1
b) lim
x→3
t3+t2−5t+3
t3−3t+2
−2
ğ) lim √x+2
x→2
x3−8
4−x
2−√x
x2−a2
h) lim
x→a x2−3ax+2a2
e) lim
d) lim
t→1
x→4
x2−7x = 7
x +mx−7 8
2) lim
2
x→7
x2−2x−3
x2+2x−15
3
c) lim t +8
t→−2 t+2
sin2x
1−cosx
f) lim
x→0
2
ç) lim x −4x+4
x→2 x2+x−6
g) lim cos2x−1
x→π
sinx
ise m değerini bulunuz.
f:R−{0}→R, f(x)= sinx fonksiyonunun x= 0 noktasındaki limitini bulalım.
x
lim sinx ifadesinde 0 belirsizliği vardır. Ancak bunun kaldırılması için önceki
x→0
x
0
etkinlikte izlediğimiz sadeleştirme yaklaşımının kullanılamayacağı da açıktır. O nedenle
lim sinx limitinin hesaplanmasında izlenecek yollardan biri aşağıdaki gibi seçilebilir.
x→0
x
0<x< π olmak üzere, birim çember üzerinde x radyanlık daire dilimi alalım. (Tri2
gonometrik fonksiyonların limitleri bulunurken x in ölçüsü radyan olarak alınır.)
O
O
1 A
x A1
1 B
Şekilde AOB üçgeninin alanını veren bağıntı,
∧
A1= 1 .AO.OB. sin (AOB)
2
1
.1.1. sinx= sinx olarak yazılır.
=
2
2
1 A
x A2
AOB daire diliminin alanının bağıntısı ise,
x
A 2=
.π.r2= x olur.
2π
2
1
A
1
A3
x
O
1
B
C
tanx
B
BC çembere B noktasında teğet olmak üzere,
OBC üçgeninin alanı da,
A3= OB.BC
2
şeklindedir.
54
= 1.tanx = tanx
2
2
Yukarıda hesapladığımız alanları büyüklüklerine göre A1<A2<A3 şeklinde sıralayabiliriz. Başka bir deyişle sinx < x < tanx eşitsizliği yazılabilir.
2
2
2
sinx<x<tanx eşitsizliğinin her terimi sinx ile bölünürse (sinx≠0,x≠0) eşitsizliğinin
yeni şekli,
1 < x < tanx
sinx
sinx
x
1<
< 1
olur.
sinx
cosx
x≠0 alındığına göre,
cosx < sinx < 1 biçiminde de düzenlenebilir.
x
Eşitsizliğin terimlerinin limitlerini aldığımızda
lim cosx= 1 ve lim 1= 1 olduğundan,
x→0
x→0
Sıkıştırma teoreminden,
lim sinx = 1 eşitliği kolaylıkla elde edilir.
x
x→0
Bu sonucu f(x)= sinx fonksiyonunun grafiğinden de görmeye çalışınız.
x
y
1
−2π
−π
0
π
2π
x
f(x)= sinx
x
14.
21.
lim sin3x limitini bulmaya çalışalım.
x→0
5x
t= 3x dönüşümü yapalım. x→0 iken t→0 dır. Buradan,
lim sint = lim 3 . sint = 3 . lim sint = 3 olur.
t→0
t→0 5
5t
t
5 t→0
t
5
3
Benzer yaklaşımla aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
b) lim sin(x−2)
c) lim sin3x
a) lim sin2x
x→0
x→2
x→0 sin4x
7x
x−2
tanx
d) lim tan2x
e) lim
ç) lim x
2.(x−π)
x→0 sinx
x→0
x→π
5x
sin 3
9−x2
x
ğ) lim
f) lim
g) lim 3x+sinx
x→3 tan(3−x)
x→0 x−sinx
x→∞
tan 5
x
2
4
2x+1
4x
−x
x
−3
lim
,
lim
,
lim
x→∞ 5x−3
x→∞ x3−1
x→∞
x+1
limit değerlerini hesaplamaya çalışınız.
Bu limit değerlerini hesaplarken karşılaştığınız güçlükleri grup arkadaşlarınızla
tartışınız.
Tartışmalarınız sonucunda hem payın hem de paydanın sonsuza yaklaştığını
görmüşsünüzdür.
Bu durumda, pay ve paydadaki polinomlar en büyük dereceli değişken parantezine alınır. Gerekli sadeleştirme ve limit işlemlerini yaparak istenilen limit değerlerini
hesaplamaya çalışınız.
55
2
lim x +5x
,
x→∞ 2x2−3
lim 3x+5 ,
x→∞ 4x2−7
3
2
lim 2x 2+5x −3
x→∞
x +x+1
limitlerini hesaplayalım.
lim (x2+5)
2
x
+5x
lim
= ∞ olur. Bu durumda gerekli işlemleri yaparak limit
= x→∞ 2
x→∞ 2x2−3
∞
lim (2x −3)
x→∞
değerini bulalım.
x2 1+ 5
2
x
+5x
x = 1+0 = 1
lim
= lim
x→∞ 2x2−3
x→∞ 2
3
2−0
2
x 2−
x
diğer fonksiyonların da pay ve paydaları sonsuza yaklaştığından benzer düşünce ile
aşağıdaki gibi hesaplanır.
x 3+ 5
3+ 5
3x+5
1
x
x = 0. 3 = 0
lim
= lim
= lim
. lim
x→∞ 4x2−7
x→∞ 2
x→∞ x x→∞
7
7
4
x 4− 2
4− 2
x
x
x3 2+ 5 − 32
2+ 5 − 32
3
2
2x
+5x
−3
x
x
x x = ∞.2= ∞
lim
= lim x . lim
= lim
x→∞
x→∞ 2
x→∞
x→∞
x2+x+1
1
1
1
x 1+ + 2
1+ + 12
x x
x x
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
)
)
Yukarıdaki yaklaşımı, bu kez de genel yapısıyla iki polinom fonksiyonunun oranından oluşan rasyonel fonksiyonun limitini bulmada kullanabiliriz. Uygulama sonucunda,
a xn+...+a1x+a0
a xn
lim n m
= lim n m
x→±∞ b x +...+b x+b
x→±∞ b x
m
1
0
m
eşitliğinin elde edileceğini görebiliriz. Bulunan genel bağıntıyı kullanarak
lim 2x+1 = lim 2x = 2 olduğunu görürüz. Sizler de benzer yaklaşımla diğer
x→∞ 5x−3
x→∞ 5x
5
limitleri bulunuz.
Rasyonel fonksiyonların ± ∞ daki limit değerlerinin hesaplanmasında hem pay
hem de paydasındaki fonksiyonlar sonsuza yaklaşıyor ise bu duruma ∞ belirsizliği adı
∞
verilir.
Genel olarak n ve m doğal sayı olmak üzere,
lim
x→±∞
(
n<m
0
,
an
,
bm
−∞ veya +∞ ,
)
anxn+...+a1x+a0
=
bmxm+...+b1x+b0
n=m
n>m
olduğunu göstermeye çalışalım.
anxn+an−1xn−1+...+a1x+a0
a xn
lim
= lim n m olduğunu biliyoruz.
m
m−1
x→±∞ b x + b
x +...+b1x+b0 x→±∞ bmx
m
m−1
(
)
+
i ) n<m ise m= n+k olacak şekilde bir k∈Z vardır.
anxn
anxn
= lim
m
x→±∞ b x
x→±∞ b xn+k
m
n+k
xn
an
= lim
. n k
x→±∞ b
x .x
n+k
an
1
=
lim
bn+k x→±∞ xk
lim
=
an
.0
bm
0
= 0 bulunur.
56
i i ) n= m ise
anxn
anxn
= lim
x→±∞ b xm x→±∞
bnxn
m
a
= n
bn
an
=
bulunur.
bm
lim
i i i ) n>m ise m= n−k olacak şekilde bir k∈Z vardır.
anxn
anxn
= lim
m
x→±∞ b x
x→±∞ b xn−k
m
n−k
xn
an
=
. lim n −k
bn−k x→±∞ x .x
a
= n . lim xk
bm x→±∞
lim
+∞ veya −∞
= +∞ veya −∞ bulunur.
Bu genellemeden hareketle aşağıdaki limitleri hesaplayalım.
3
3
2
−7x+5 = lim 4x = − 4
lim 4x +3x
3
2
x→∞
x→∞ −7x3
−7x +x +3
7
3x
lim 3x+5
= lim 3 = 0
x→∞ x3+x−1
x→∞ x
6
x6
lim x4 −1 3 = lim 4 = ∞
x→∞ x −4x
x→∞ x
15.
1) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
b) lim 2x−1
a) lim 4x+5
x→+∞ 7x−1
x→−∞ 6x+3
3
ç) lim 3x −5x+2
x→−∞
x2+4
d) lim
x→+∞
2
c) lim 5x −7x+4
x→+∞
−2x+1
−2x+5
x2+6x+2
e) lim
x→−∞
−8x2−6x
5x3+4
2
2) lim ax2−7x+3 = 8 ise a değerini bulunuz.
x→+∞ 4x −5x+2
3) lim
(m−1)x3−5x+2 = 2 ise m değerini bulunuz.
3x3+6x+1
4) lim
(a−2)x3+4x2−8x+3 = b ifadesinde b nin bir gerçek sayı olduğu bilindix2−7x+2
x→−∞
x→+∞
ğine göre a+b değerini bulunuz.
5)
y
−3
−π
f(x)=x
1
−π
−2 2 −1 0
−1
π
1
π 2 3
2
x
g(x)=sinx
57
[−1,1] nı ve grafiğini
kullanarak
lim sinx limitini sayısal
x→0
x
olarak bulmaya çalışınız.
6) Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
x
a) lim 2x
x→+∞ 3
x
b) lim 5x
x→−∞ 7
x
c) lim 4x
x→+∞ 3
x
ç) lim 5x
x→−∞ 4
x
d) lim 3x +1x
x→+∞ 2 +3
x+1
x
e) lim 3x+1+4x
x→+∞ 4 −3
x+1
x
e) lim 2 x −3x
x→−∞ 2 +3
x+1
x
f) lim 5x−2+2x
x→+∞ 3 +5
x
+2x
g) lim 2.3
2x
x→+∞ 2 −3x
7) Örnek çözümlerden yararlanarak aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
1. Örnek
lim
x→+∞
√x2+4 = lim
3x+1
x→+∞
√
( )
( )
x2. 1+ 42
x
1
x. 3+
x
√
( )
lim
x→−∞
√x2+4 = lim
3x+1
x→−∞
√
√
x . 1+ 42
x
= lim
x→−∞
x. 3+ 1
x
( )
a) lim
( )
( )
( )
x2. 1+ 42
x
1
x. 3+
x
( )
√
x . 1+ 42
x
= lim
x→+∞
x. 3+ 1
x
2. Örnek
√
1+ 42
x
= lim
x→+∞
1
x. 3+
x
0
x. 1+ 42
x
= lim
= 1
x→+∞
3
1
x. 3+
x
0
√x2.
= lim
x→−∞
√
( )
3x−4
lim
x→2+
(
4 − 1
x2−4
x−2
ve
= −1
3
0
√9x2−x+x
ç) lim
√x +1−x
√4x2+x+1
x→−∞
)
0
b) lim
x→+∞
2
c) lim 4x−√4x −2x
x→−∞
x+5
22.
( )
−x. 1+ 42
x
= lim
x→−∞
1
x. 3+
x
√x2+4x+1+2x
x→+∞
√
1+ 42
x
1
x. 3+
x
√x2.
2x
2
lim (√x2+5x−x ) limitlerini hesaplamaya çalışınız.
x→+∞
Limiti bulmada karşılaştığınız güçlükleri grup arkadaşlarınızla tartışınız. Yukarıdaki limitleri hesaplarken limitleri sonsuz olan iki fonksiyonun farkı ile karşılaştığınızı
umuyoruz. Bu yapının önceki karşılaştığınız yapılardan farklı olduğunu görmüşsünüzdür.
0 ∞
belirsizlikleBu limitleri, payda eşitleyerek ya da eşlenik ile genişleterek ,
0 ∞
rinden birine dönüştürüp hesaplamaya çalışınız.
58
lim
x→−1+
lim
x→−1+
(
1 +
3
x+1 x2−x−2
)
limiti lim
x→−1+
( )
1 = ∞ ve
x+1
3
= −∞ olduğundan ∞−∞ yapısına dönüşür. Bu güçlüğü aşmak için payda ex2−x−2
şitleyerek bu limit, lim
x→−1+
(
)
1 +
3
= lim 2x+1 = 0
2
0
x+1 x −x−2 x→−1+ x −x−2
(x−2)
(1)
belirsizliğine dönüştürülür. Buradan
lim
x→−1+
(
)
x+1
x+1
= lim 1 = − 1 bulunur.
= lim
x2−x−2 x→−1+ (x+1)(x−2) x→−1+ x−2
3
lim (√4x2+x−2x ) limitini hesaplayalım.
x→∞
Bu limit ∞−∞ yapısında olduğundan, ifadeyi eşleniğiyle genişleterek bu yapıdan
kurtulabiliriz.
lim (√4x2+x−2x ) = lim
x→∞
x→∞
4x2+x−4x2
= lim
x→∞
√4x2+x+2x
x→∞
2
x
x→∞
√
(
√4x +x+2x
2
= lim
2x. 1+ 1 +2x
4x
2
2
= lim
x
= lim
(√4x +x−2x ).(√4x +x+2x )
(√4x +x+2x )
x→∞
x
( √
2x. 1+ 1 +1
4x
0
)
∞
belirsizliği)
∞
= 1
4
Etkinlikte ele aldığımız bu yapıya ∞−∞ belirsizliği denilmektedir.
Bu tür belirsizlikler genellikle payda eşitleyerek ya da eşlenikle
genişletilerek giderilebilir.
16.
1) Aşağıda tanımlanan limitleri hesaplayınız.
a) lim (√x2+4−x )
b) lim (√2x2+5−x )
x→+∞
x→+∞
(√x +2x+x )
x→−∞
ç) lim
d) lim −
2
x→1
f) lim (cotx−cosecx
)
+
x→0
h) lim
x→+∞
(
2 − 1
x −1 x−1
2
)
g) lim − (cotx−cosecx)
x→0
c) lim
(√x +9x−x )
e) lim
(
x→+∞
x→∞
x→0
2
)
2) lim + 1 − 12 = lim+ 1 − lim + 12 = ∞−∞ = 0
x→0
x→0 x
x→0 x
x
x
Yukarıdaki işlemi inceleyiniz. Sizce nerede hata yapılmıştır?
59
x2 − x
x+1 2
)
ğ) lim (cotx−cosecx)
(√4x −3x+1−x+5 )
(
2
lim
x→0+
(
)
1 − 1 = −∞ olduğunu gösteriniz.
x
x2
√ax2+bx+c
ifadesini, geçmiş yıllardaki bilgilerinizi hatırlayarak
√ax2+bx+c
= √a .
√( )
2
x+ b + 4ac−b2
eşitliği biçiminde yazabilirsiniz.
4a2
2a
Her iki yanın limiti alınarak
lim √ax2+bx+c = lim √a .
x→±∞
x→±∞
(√(
)
)
2
x+ b + 4ac−b2 eşitliğine ulaşılır.
4a2
2a
Bu eşitlikte x+ b = u ve 4ac−b2 = k dönüşümü yapıldığında
2a
4a2
x→ ±∞ i•i n u→ ±∞ ve
lim
x→±∞
√ax2+bx+c
= lim √a . √u2+k olur.
x→±∞
= √a .
= √a .
√
√
2
( )
lim u . 1+ k
u2
u→±∞
2
lim u . lim
u→±∞
u→±∞
= √a . lim √u2
( )
1+ k
u2
0
1
x→±∞
= √a . lim u
x→±∞
lim
x→±∞
√ax2+bx+c
= √a . lim . x+ b eşitliğine ulaşılır.
x→±∞
2a
Örnek olarak alacağınız,
lim
x→∞
(√4x +6x+5 −√4x −x+1 ) farkının limiti bizi ∞−∞ belirsizliğine götürmektedir.
2
2
Bu belirsizlik eşlenikle çarpılarak giderilebildiği gibi yukarıda elde edilen eşitlik kullanılarak
[
[
lim √4 . x+ 6 − √4 . x− 1
x→∞
8
8
lim 2 . x+ 3
4
x→∞
[
)
− 2 . x− 1
8
]
lim 2x+ 3 −2x+ 1 = 7
4
4
2
x→∞
]
]
biçiminde de bulunabilir.
60
17.
a>0 olmak üzere,
√ax2+bx+c
lim
x→±∞
(
= lim √a . x+ b
2a
x→±∞
)
formülünü kullanarak aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim
x→+∞
c) lim
x→+∞
d) lim
x→+∞
(√16x −7x+3 )
b) lim
(√x +6x+5−x )
ç) lim
(√4x −x+3+3x−1 )
e) lim (√2x2+x+1 −√2x2−3x+6 )
2
(√9x +4x+8 )
2
x→−∞
2
2
x→−∞
2
(√x +2x+7+x )
x→+∞
İki fonksiyonun çarpımının limiti, limitlerinin çarpımına eşittir. Bu kuraldan faydalanarak,
π
lim (x.cotx), lim x.sin 1 , lim
−x . tanx limitlerini hesaplamaya çalışınız.
2
x
π
x→0
x→+∞
23.
(
nız.
)
x→
2
[( ) ]
Karşılaştığınız güçlükleri arkadaşlarınızla tartışınız.
∞
belirsizliklerine dönüştürerek aşmaya çalışıBu güçlükleri, limitleri 0 ya da
∞
0
(
)
lim 3x.sin 2 = lim 3x . lim sin 2
x
x
x→∞
x→∞
x→∞
lim 3x = ∞ ve lim sin 2 = 0 olduğundan
x
x→∞
x→∞
sin 2
x
lim 3x.sin 2 = lim
1
x
x→∞
x→∞
3x
sin 2
sin 2
x
x
= lim 6. lim
lim
= 6.1 = 6 olur.
1 . 2 x→∞ x→∞ 2
x→∞
3.2 x
x
(
)
(
0 belirsizliği
0
)
Yukarıda da görüldüğü gibi çarpım biçimindeki fonksiyonlardan birinin limitinin
sıfıra, diğerinin de sonsuza yaklaşması durumunda ortaya çıkan yapıya 0.∞ belirsizliği
∞
denir. Bu tür belirsizlikler genellikle 0 ya da belirsizliklerine dönüştürülerek hesapla∞
0
nır.
18.
Gerektiğinde 22. etkinlikte yer alan yol göstermelerden de yararlanarak aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim
x→+∞
c) lim
x→ π
4
(
x .sin 4
2
x
)
b) lim
x→ π
2
+
[(π−2x) . tan3x]
[
( )]
[(1−tanx) . sec2x]
ç) lim tan(πx) . tan πx
2
x→1
[ (
e) lim x . sin π
x→−∞
x
d) lim x2. −1+cos 1
x→+∞
x
)]
(
61
)
Ali, sırıkla yüksek atlama şampiyonasına hazırlanmaktadır. Günlük antrenmanlarını yapmakta ve kendini sürekli geliştirmektedir. Bu sporcunun atlayabildiği yükseklik
x deneme sayısını göstermek üzere h(x)= 13x−1 fonksiyonu ile ifade ediliyor.
2x
x (deneme
sayısı)
h(x) (yükseklik-m)
1
2
3
10
50
Yanda belirtilen deneme sayıları i• in
bu sporcunun atlayabildiği yüksekliği hesaplayınız.
Daha büyük deneme sayıları seçerek
sporcunun atlayabildiği yüksekliği hesaplayınız.
Bu sporcu en çok kaç metre yükseğe
atlayabilir? Tartışınız.
lim h(x)değerini hesaplayarak sporx→∞
cunun rekoru ile karşılaştırınız.
100
500
1.000
Bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümelerini yazınız.
Bu fonksiyonun tanım ve görüntü kümesini göz önünde bulundurarak bir dizi belirtip belirtmediğini tartışınız.
Bir dizinin genel teriminin yaklaştığı
değerin, fonksiyonun limitinden yararlanarak
bulunup bulunamayacağını tartışınız.
10.000
100.000
…
1.000.000
∞
Genel terimi an= 2n−1 olan (an) dizisinin yaklaştığı değeri aşağıdaki tabloyu
n+1
doldurarak bulalım. Bu değeri,
f(n)= 2n−1 fonksiyonunun n→∞ için limiti ile karşılaştıralım.
n+1
n
an
1
0,5
2
1
3
1,25
4
1,4
10
1,727
100
1.97
1.000
1,997
1.000.000
1,999
…
…
24.
Tabloda görüldüğü gibi n sayısı büyüdükçe an ifadesinin değeri 2 sayısına yaklaşmaktadır.
Niels Henrik Abel (Niils Henrik Abel) (1802−1829)
Derecesi beşten büyük polinom denklemler için genel bir
çözüm verilemeyeceğini kanıtlamıştır. Norveçli bilim adamının integral
hesaplamalarına büyük katkısı olmuştur.
62
eşittir.
lim f(n)= lim 2n−1 = 2 olur.
f(n) fonksiyonunun limiti, n→∞
n→∞
n+1
Görüldüğü gibi an ifadesinin yaklaştığı değer ile n→∞ için fonksiyonunun limiti
1. Bir (an) dizisinde n→∞ i•i n an bir a sayısına yaklaşıyorsa (an) dizisinin limiti a
dır ve lim an = a biçiminde gösterilir.
n→∞
2. f(x), [1,∞) aralığında tanımlı bir fonksiyon ve (an), genel terimi an = f(n) olan
bir dizi olsun.
lim f(x) mevcutsa lim an = lim f(x) olur.
x→∞
n→∞
x→∞
Genel terimi an = 3n+2 olan (an) dizisinin limitini bulalım.
2n+1
0
n. 3+ 2
∞ belirsizliği
n = 3 olur.
lim an= lim 3n+2 = lim
∞
n→∞
n→∞ 2n+1
n→∞
2
1
n 2+
n
0
Genel terimi an = (3−5n).sin 1 olan (an) dizisinin limitini bulalım.
2n
lim an = lim (3−5n).sin 1
(∞.0 belirsizliği)
n→∞
n→∞
2n
= lim 3.sin 1 −5n.sin 1 = lim 3.sin 1 − lim 5n.sin 1
n→∞
n→∞
2n
2n
2n n→∞
2n
( )
( )
(
[
(
)
]
)
1
.sin 1
2
2n
1
= 3.lim sin
−5.lim
n→∞
2n n→∞ 1
.1
2
n
sin 1
2n = 0− 5 .1= − 5
= 3.0−5. 1 . lim
2 n→∞
2
2
1
2n
(
n→∞ ise 1 →0
n
)
1
2n+3 olan (a ) dizisinin limitini bulalım. Burada payın den
n2−5n+1
recesi paydanın derecesinden küçük olduğundan
lim an= lim 22n+3 = 0 olur.
n→∞
n→∞ n −5n+1
3
+1 olan (a ) dizisinin limitini bulalım.
Genel terimi an = −3n
n
2
n −2n−7
Payın derecesi paydanın derecesinden büyük olduğundan
3
+1 = −∞ olur.
lim an= lim −3n
2
n→∞
n→∞ n −2n−7
30 cm yarıçaplı dairenin içine her birinin yarıçapı bir öncekinin yarıçapının 1 ü
4
olacak şekilde daireler çiziliyor. Oluşan dairelerin yarıçapları toplamını bulalım.
Genel terimi an =
…
1. dairenin yarıçapı: 30 cm
2. dairenin yarıçapı: 30. 1 cm
4
2
3. dairenin yarıçapı: 30. 1 cm
4
n−1
1
n. dairenin yarıçapı: 30.
cm
4
…
( )
( )
63
toplam;
İlk n dairenin yarıçapları toplamı bir geometrik dizinin ilk n terimi olduğundan bu
n
Σ 30.
k=1
( )
( )
1
4
k−1
n
( )
= 30 Σ 1
k=1 4
k−1
(
( )( ) ( ))
2
3
= 30. 1+ 1 + 1 + 1 +...+ 1
4
4
4
4
n−1
n
1− 1
n
4
= 40. 1− 1
= 30
cm olur.
4
1
1−
4
Buradan tüm dairelerin yarıçapları toplamı n→∞ için;
0
n
lim 40. 1− 1
= 40.(1−0)= 40 cm dir.
4
n→∞
( ( ))
( ( ))
ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER
Yusuf, ailesini de yanına alarak özel arabasıyla İzmir’den Sivas’a doğru yola çıkıyor. 300 km yol
aldıktan sonra dinlenmek için mola veriyor. Üniversite sınavına hazırlanan oğlu Çağan, Yusuf’a: “Babacığım biz bir sonraki molamızı bir önceki aldığımız
yolun (son 2 mola arasındaki yol) 2/3’ü kadar yol gittikten sonra verir ve bu şekilde devam edersek 721
km uzaklıktaki Sivas’a ulaşabilir miyiz?" diye sorar.
1) Aşağıdaki şekli inceleyiniz.
25.
1/8
1/256
1/16
1/128
1/64
1/32
1/2
1/4
Yandaki şekil kenarı 1 birim olan karedir. Birinci adımda şeklin yarısı, ikinci adımda kalan kısmın
yarısı, üçüncü adımda kalan kısmın da yarısı farklı
renklerde boyanıyor. Bu işlem sürekli tekrarlanıyor.
Kapalı bölge içinde yazılı olan sayılar o bölgenin alanını ifade ediyor mu?
Elde edilen alanları ifade eden sayıların bir
dizi oluşturup oluşturmadığını tartışınız.
Dizi oluşturuyor ise bu dizinin genel terimini
yazınız.
Bu dizinin terimleri toplamının bir gerçek sayıya yaklaşıp yaklaşmadığını tartışınız.
...
Yukarıda eni 1 birim olan şeridin bir kısmı görülmektedir. Bu şerit aynı renk yan
yana gelmemek şartıyla aşağıdaki kurala göre kırmızı ve beyaz renge boyanmaktadır.
“Her seferinde bir önceki boyanan kısmın 2 katı kadar yer boyanacaktır.”
İlk olarak 1 br2 lik alan kırmızıya boyanmaktadır.
İlk 5 adım için boyanan kısımların alanlarını hesaplayarak yazınız.
Boyanan alanları ifade eden sayıların bir dizi belirtip belirtmediğini tartışınız.
Dizi belirtiyor ise bu dizinin genel terimini yazınız.
Bu dizinin terimleri toplamının bir gerçek sayıya yaklaşıp yaklaşmadığını
tartışınız.
64
y
2)
C
y= 1 x+1
3
G
E
F
H
T
D
A
B
0
x
y=x
Yukarıdaki koordinat düzleminde y= x ve y= 1 x+1 doğrularının grafiği verilmiştir.
3
Bu iki doğrunun kesiştiği T noktasının koordinatını bulunuz.
A noktasının koordinatını bularak |AB|, |CD| ve |EF| uzunluklarını hesaplayınız.
Oluşan dizi yardımıyla |GH| uzunluğunu bulunuz.
AB + CD + EF + GH +... toplamını T noktasının koordinatı ile ilişkilendiriniz.
Aşağıdaki koordinat düzleminde y= x ve y= 1 x+3 doğrularının grafiği verilmiştir.
2
AB + CD + EF + GH +... toplamını bulalım.
y
E
C
A
y= 1 x+3
2
G
D
α
3
F
H
T
B
3
α
0
3
K
x
y=x
y= 1 x+3 doğrusunda x= 0 için y= 3 olduğundan AO= 3 br dir.
2
y= x doğrusunda y= 3 için x= 3 olduğundan AB= 3 br dir.
y= 1 x+3 doğrusunda x= 3 için y= 1 .3+3 olduğundan BC = 3 br dir.
2
2
2
y= x doğrusunda y= 3 +3 için, x= 3 +3 olduğundan CD = 3 br dir.
2
2
2
( )
y= 1 x+3 doğrusunda x= 3 +3 için, y= 1 . 3 +3 +3= 32 + 3 +3 olduğundan
2
2
2
2
2 2
ED = 32 br dir.
2
Oluşan örüntü dikkate alındığında y= x doğrusunda
y= 32 + 3 +3 için,
x= 32 + 3 +3 olduğundan EF = 32 br olur.
2
2 2
2
2
AB + CD + EF + GH +...= 3 + 3 + 32 + 33 +... olur.Bu toplam OK uzunluğuna eşittir.
2 2
2
65
y= x ve y= 1 x+3 denklemlerinin ortak çözümünden T noktasının koordinatı T(6,6) olur.
2
Buradan
3
3
OK = 6 br dir. Öyleyse, 3 + 3 + 2 + 3 +...=6 br dir.
2
2 2
∞
a, r∈R ve r < 1 ise Σ a.rn−1 sonsuz geometrik dizi toplamı bir gerçek sayıya
n=1
yaklaşır.
∞
Yaklaştığı bu gerçek sayı Σ a.rn−1= a+a.r+a.r2+a.r3+...= a şeklinde ifade edilir.
1−r
n=1
r ≥ 1 ise
(
∞
Σ a.r
n−1
sonsuz geometrik dizi toplamı bir gerçek sayıya yaklaşmaz.
n=1
() )
1, 2 , 4 , 8 ,..., 2
5 25 125
5
n−1
,... geometrik dizisinin terimleri toplamını bulalım.
r= 2 ve r< 1 olduğundan toplam gerçek bir sayıya yaklaşır. Bu değer;
5
2
3
1+ 2 + 4 + 8 +.....= 1+ 2 + 2 + 2 +.....= 1 = 5 olur.
5 25 125
5 5
5
1− 2 3
5
∞
n−1
Σ 5. 23 geometrik dizi toplamının varsa yaklaştığı değeri bulalım.
n=1
()()
∞
()
()
Σ 5. 23
geometrik dizi toplamında r= 2 ve r < 1 olduğundan gerçek bir
3
sayıya yaklaşır. Bu değer;
n=1
∞
()
Σ 5. 23
n=1
∞
Σ3
n−1
n−1
() () ()
0
1
2
= 5. 2 +5. 2 +5. 2 +.....= 5 = 5 = 15 olur.
3
3
3
1− 2 1
3 3
n−1
geometrik dizi toplamının varsa yaklaştığı değeri bulalım.
n−1
geometrik dizi toplamında r= 3 ve r ≥ 1 olduğundan bu toplam gerçek
n=1
∞
Σ3
n=1
bir sayıya yaklaşmaz.
∞
Σ3
n−1
= 1+3+32+33+.....=∞
n=1
(
( )
1,− 1 , 1 ,− 1 ,....., − 1
2 4 8
2
n−1
)
,..... geometrik dizisinin terimleri toplamını bulalım.
r= − 1 ve r < 1 olduğundan toplam gerçek bir sayıya yaklaşır. Bu değer;
2
1
1+ − 1 + 1 + − 1 +.....=
= 2 olur.
2 4
8
3
1
1− −
2
( ) ( )
19.
(
1) Aşağıda verilen dizilerin limitini bulunuz.
a) 2n−5
3+n
(
( )
n
n
d) 4 +5
n
6 +3n
)
b)
(( ) )
)
e)
(
2
7
n
3n+1+2
3n−1+n2
66
c)
)
( )
n2
n3+2
(
f) 3n.sin 2
n
ç)
)
(
(
3−n5
2n3+n−1
)
g) (5n−2).tan 1
n
)
(
ğ) sin2n
n2
)
h) (√n−√n−1 )
(
i) 2 (1+n−1)
3
ı) (−5.3−2n+1)
1+3+5+...+(2n−1)
olan dizinin limitini bulunuz.
2n2+1
1+ 1 + 1 +...+ 1
2 4
2n
değerini bulunuz.
3) nlim
→∞
n
)
2) Genel terimi an=
4) Aşağıdaki geometrik dizilerden hangilerinin terimleri toplamı bir gerçek
sayıya yaklaşır?
a)
d)
(( ) )
(( ) )
(( ) )
1
2
n
b)
9
5
e
π
n
e) (5−n)
(( ) )
c) − 2
5
n
n
f) (−3−n)
ç)
(
( ))
ç)
()
Σ ( )
∞
Σ
n=3
f)
5
7
n
b)
n=1
n+1
∞
2. 1
n=1
2
()
Σ( )
∞
Σ
d)
n−2
g)
∞
n=1
∞
Σ
1
π
n
g) (5n)
h) ((−1)
5) Aşağıda verilen ifadeleri hesaplayınız..
a) 2 + 4 + 8 +...+ 2
5 25 125
5
(( ) )
1
3
n
1
5
2n−1
c)
3.5−n+2
n=1
)
()
Σ( )
∞
Σ
n=0
e)
n
∞
n=1
∞
ğ)
Σ
2
3
n−1
2
5
n+2
7.2−2n+3
n=1
6) Bir top 60 metre yükseklikten bırakılıyor. Yere değdikten sonra her defasında
bir önceki yüksekliğin 1 ü kadar yükseliyor. Top duruncaya kadar topun aldığı yolun kaç
3
metre olduğunu bulunuz.
7) Kenarı 6 cm olan eşkenar üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirerek
yeni bir üçgen elde ediliyor. Bu işlem sonsuza kadar devam ettirildiğinde elde edilen
eşkenar üçgenlerin alanları toplamını hesaplayınız.
8) İsviçreli büyük matematikçi Leonhard Euler (Leonhard Oyler) sonsuz toplamlarla ilgili çalışmalar yaparken zaman zaman hatalara düşüyordu.
1+x+x2+x3+.....= 1 ifadesinde x yerine −1 ve 2 yazıldığında;
1−x
x= −1 için
x= 2 için
1−1+1−1+1−1+.....= 1
2
1+2+4+8+.............= −1
eşitliklerini buluyor.
Sizce Euler’in yaptığı hata nerede?
Leonhard Euler
9) 1, 2x, 4x2, 8x3,..... geometrik dizisinin terimleri toplamı 5 ise x gerçek sayısını
bulunuz.
10) 0,3 = 3 = 1 olduğunu biliyorsunuz. Öyleyse;
9 3
0,3 = 0,3333...= 0,3+0,03+0,003+0,0003+...
(
( )( ) )
2
3
= 3 + 3 + 3 + 3 +...= 3 1+ 1 + 1 + 1 +... ifadesinin sonucunu tahmin ediniz.
2
3
4
10
10 10
10
10 10 10 10
67
SÜREKLİLİK
ABD’nin Minneapolis kentinde bir köprü, trafiğin en yoğun olduğu
saatte çöktü (03.08.2007).
Ortaya çıkan zararın dışında, trafik akışı da kesintiye uğramıştır. Siz
de günlük hayattan devamlılığı olan ya da kesintiye uğrayan örnekler
veriniz.
26.
Aşağıda verilen fonksiyon grafiklerini inceleyiniz.
y
0
y
x
c
0
y
x
c
y
0
0
c
x
y
c
x
0
c
x
Bu fonksiyonların grafiklerini bir düzleme, bir noktadan bir daha geçmemek ve
kalemi kaldırmamak üzere çizmek istiyoruz.
Sizce bu şartlarda grafiğini çizebileceğimiz bir fonksiyon var mı?
Hangi noktalarda kalemi kaldırıyorsunuz?
Koordinat düzleminde kaleminizi kaldırmadan çizebildiğiniz eğriler sürekli
eğrilerdir.
Şimdi de sürekliliğin anlamını matematik dili ile oluşturmaya çalışalım.
y
4
2
−4 −2 0
−1
3
1
5
f(x)
x
Bunun için önce verilen f(x) fonksiyonunun grafiğini inceleyiniz. Bu fonksiyonun
sürekli olmadığı noktaları söylemeye çalışınız.
Fonksiyonun −4, −2, 1 ve 5 apsisli noktalarda limitleri varsa bulunuz.
Bulduğunuz limitleri tartışınız ve farklı olan noktayı bulmaya çalışınız.
68
Sürekli olmadığını düşündüğünüz noktalarda fonksiyonun limiti ve görüntüsü arasında
nasıl bir ilişki buldunuz?
Grup olarak şunları tartışınız ve sonuçlandırınız.
a) f(x) fonksiyonu x= −2 de tanımlı mıdır?
b) f(x) fonksiyonunun x= −2 de limiti var mıdır?
c) f(x) fonksiyonunun x= −2 deki görüntüsü ile limiti aynı mıdır, farklı mıdır?
ç) x= −2 de fonksiyon sürekli midir?
Sizce x= −2 noktasıyla aynı özelliği sağlayan başka noktalar var mıdır? Örnekleyiniz.
2x
x<−1 ise
f:R→R, f(x)= x−1
−1≤x<4 ise
x2
x≥4 ise
{
fonksiyonunun x= −1, x= 4 ve x= 8 noktalarındaki sürekliliğini inceleyelim.
lim
x→−1−
f(x)= 2.(−1)= −2
lim f(x)= −1−1= −2 ve f(−1)= −1−1= −2
x→−1+
lim f(x)= f(−1)= −2 olduğundan fonksiyon x= −1 noktasında süreklidir.
x→−1
lim
x→4−
f(x)= 4−1= 3 ve
lim
x→4+
f(x)= 42= 16
lim f(x)≠ lim+ f(x) olduğundan lim f(x) yoktur.
x→4−
x→4
x→4
Fonksiyon x= 4 noktasında sürekli değildir.
x= 8 kritik nokta olmadığından,
lim f(x)= 64 ve f(8)= 64 olur.
x→8
lim f(x)= f(8) olduğundan fonksiyon x=8 noktasında süreklidir.
x→8
Genel olarak A⊂R, a∈A olmak üzere, f:A→R tanımlanan f(x) fonksiyonunda,
lim f(x)= f(a) ise f fonksiyonu x= a noktasında süreklidir denir.
x→a
y
20.
1)
3
2
0
−3
−1
1
2 34
5
x
Yukarıda verilen f(x) fonksiyonunun grafiğini inceleyerek aşağıdaki tabloyu
örneğe uygun biçimde doldurunuz.
x0
−3
lim f(x)
lim f(x)
f(x0)
f nin x0 noktasındaki
sürekliliği
2
2
Tanımsız
Süreksiz
3
3
3
Sürekli
lim f(x)
x→x0−
x→x0+
2
3
x→x0
1
2
3
4
5
69
{
{
2x+4
x<−1 ise
2) f:R→R, f(x)= −2x
−1≤x<2 ise
x2−1
x≥2 ise
fonksiyonunun −2, −1, 0 ve 2 apsisli noktalarındaki sürekli olup olmadığını araştırınız.
a−x
x<4 ise
3) f:R→R, f(x)= 3
x=4 ise
x>4 ise
3x+b
fonksiyonu x= 4 noktasında sürekli ise a ve b değerlerini bulunuz.
f1:(0, 3)→R, f1(x)= x2−2x fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir.
27.
y
f1(x)
3
1
2
x
2 3
0
f1(x) fonksiyonu x= 1 ve x= 2 noktalarında tanımlıdır.
2
1
ve f1(2) değerlerini bulunuz.
Buna göre f1
2
()
lim f1(x) ve lim f1(x) değerlerini hesaplayınız.
x→ 1
2
x→2
Yaptığınız çalışmalardan fonksiyonun bu noktalarda sürekli olup olmadığını
tartışınız. (0, 3) nda seçilecek her x değeri için fonksiyonun sürekli olduğunu söyleyebilir
misiniz?
Bir fonksiyon (a, b) ndan alınan tüm değerler için sürekli ise bu fonksiyon (a, b)
nda süreklidir denir.
y
f2(x)
3
1
2
2 3
0
x
Benzer bir yaklaşımla yukarıdaki grafikten de yararlanarak
f2: [0, 3]→R,
f2(x)= x2−2x fonksiyonunun [0, 3] ndaki sürekliliğini inceleyelim.
Yukarıdaki çalışmalarımızdan fonksiyonun (0, 3) nda sürekli olduğunu biliyorsunuz. O hâlde aralığın sınır değerleri olan 0 ve 3 noktalarındaki sürekliliği incelemek
yeterlidir.
Fonksiyon x= 0 noktasının sadece sağında tanımlı olduğundan,
lim+ f2(x) ile f2(0) değerini, x= 3 noktasının sadece solunda tanımlı olduğundan
x→0
lim f2(x) ile f2(3) değerini karşılaştırınız. Bu uç noktalarda fonksiyonun limitinden söz
x→3−
edebilir misiniz?
70
Bir f fonksiyonunun [a, b] nda sürekli olması için;
1) f, (a, b) nda sürekli olması,
2) lim+ f(x)= f(a) olması,
x→a
3) lim− f(x)= f(b) olması şartlarını sağlaması gerekir.
x→b
Buna göre f2(x) fonksiyonunun [0, 3] nda sürekli olup olmadığını söyleyiniz.
Şimdi de aşağıda grafiği verilen fonksiyonun sürekli olduğu aralıkları tartışalım.
y
−5
−4
−3
0
4
1
x
Bu fonksiyon (−5, 4) nda sürekli midir? Nedenleriyle tartışınız.
(−5, 3) için fonksiyonun sürekliliğini tartışınız. Çalışmanızı sürdürerek fonksiyonun sürekli olduğu başka alt aralıklar yazınız.
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini inceleyelim.
y
y
f1(x)
x
0
x
0
+
y
−π
0 π
−1
y
2π
x
−3π
2
π
−
2
f4:R→[−1,1]
f4(x)= sinx
denir.
21.
x
f3:R →R
f3(x)= log3x
f2:R→R
f2(x)= 2x
f4(x)
f3(x)
0
+
f1:R→R
f1(x)= x2−1
−2π
y
f2(x)
0
π
2
f5(x)
3π
2
5π
2
x
f5:R→[−1,1]
f5(x)= cosx
Verilen fonksiyonlar tanım kümelerinin her bir noktası için süreklidir.
Tanım kümesinin her noktasında sürekli olan bir fonksiyona "sürekli fonksiyon"
1) Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların sürekli olup olmadıklarını belirtiniz.
Tanım kümesinde sürekli olmayan fonksiyonların sürekli oldukları aralıkları yazınız.
y
y
y
f3
f
1
0
x
x
01 2
f2
71
−4 −2 0
2
5
x
y
−1 0
y
f4
x
1
y
0
x
0
f6
x
f5
2) Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri süreklidir? Sürekli olmayan fonksiyonların
süreksiz olduğu noktaları bulunuz.
a) f1:R→R, f1(x)= x2−4x+5
b) f2:(2,∞)→R, f2(x)= log2(x−2)
2x+1
ç) f4:R→R, f4(x)= x−3
x<0
ise
x≥0
ise
{
c) f3:R→R, f3(x)= 3x+1
d) f5:R→R, f5(x)= x+5
{
x−m
x<−2 ise
3) f:R→R, f(x) n−2x
−2≤x<4 ise
mx+1
x≥4
ise
fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olduğuna göre m ve n değerleri kaçtır?
4) Seçeceğiniz polinom fonksiyonların sürekliliklerini tartışınız. Bir genellemeye
ulaştığınızda genellemenizi yazınız.
28.
Gerçek sayılarda tanımlı f(x)= 3x+1 ve g(x)= x−3 fonksiyonları veriliyor.
Bu fonksiyonların 0, 1 ve 3 apsisli noktalarda sürekli olduğunu biliyorsunuz.
Bu ön bilgilerinizi de kullanarak (f+g)(x), (f−g)(x), (f.g)(x), (f:g)(x) fonksiyonlarını
bulunuz. f+g, f−g, f.g, f:g fonksiyonlarının yukarıda verilen noktalar için sürekli olup
olmadığını araştırınız.
Süreksiz oldukları noktalar var ise nedenini tartışınız.
Alınan iki sürekli fonksiyonun toplamı, farkı, çarpımı ve bölümünden elde edilen
fonksiyonlardan her birinin sürekliliği için ne söylenebilir?
Gerçek sayılarda sürekli olan h(x)= sinx ve k(x)= cosx fonksiyonlarının toplamı,
farkı, çarpımı ve bölümü ile elde edilen fonksiyonların sürekliliğini araştıralım.
T(x)= h(x)+k(x)= sinx+cosx fonksiyonu ∀x∈R için,
lim (sinx+cosx)= lim sinx+ lim cosx= sina+cosa= h(a)+k(a)= T(a)
x→a
x→a
x→a
olduğundan gerçek sayılarda süreklidir.
Yukarıdaki yöntemle h−k ve h.k fonksiyonlarının da gerçek sayılarda sürekli
olduğu kolayca görülebilir.
Ancak B(x)= h(x):k(x)= sinx fonksiyonu cosx= 0 şartını sağlayan x değerleri
cosx
için tanımsız olduğundan bu noktalarda sürekli değildir.
Yapmış olduğumuz çalışmalardan aşağıdaki genellemelere ulaşırız.
1. f ve g fonksiyonlarının x= c noktasında sürekli olması durumunda, f+g, f−g ve
f.g fonksiyonları da x= c noktasında süreklidir.
2. Buna karşılık, f:g fonksiyonu x= c noktasında g(c)≠ 0 ise sürekli, g(c)= 0 ise
süreksizdir.
72
22.
1) A→R tanımlanan aşağıdaki fonksiyonların sürekliliğini araştırınız. Varsa
süreksiz oldukları noktaları bulunuz.
1
1−x
a) f1(x)=
x−1
x2−2x−15
b) f2(x)=
d) f5(x)= secx
e) f6x=
{
1 ,
x−2
1 ,
x−3
ç) f4(x)= cosx + sinx
sinx+2 2cosx−1
c) f3(x)= cotx
x<1 ise
x≥1 ise
{
1
2
−9
x
f) f7(x)=
1
x2−4
x<0 ise
x≥0 ise
x+2
fonksiyonu R de sürekli ise m hangi aralıkta değerler alır?
x2+3x+m
2) f(x)=
3) Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu aralıkları belirtiniz.
x
1
b) f2(x)= log3(4−x2)
c) f3(x)=
ç) f4(x)= x.sin
a) f1(x)= √x−1
x
x
x−2
29.
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini inceleyiniz.
y
y
f1(x)=x2−4
−2
0
f2(x)=cosx
1
x
2
y
f3(x)=log2x
x
0
x
0
−1
−4
y
y
y
f4(x)=√4−x
−2
0
2
2
1
−1
x
0
−1
f5(x)=x3
1
x
1
−1
0
f6(x)=x+1
x
Bu fonksiyonların ayrı ayrı görüntü kümelerini yazınız.
Hangi fonksiyonların görüntü kümesinin tüm elemanları bir gerçek sayıdan daima küçük ya da ona eşit olarak alınabilir? Belirtiniz.
Görüntü kümesinin tüm elemanları bir gerçek sayıdan daima büyük ya da ona
eşit olan fonksiyonlar varsa belirtiniz.
Verilen fonksiyonlardan f2(x)= cosx ve f3(x)= log2x fonksiyonlarını ele alalım.
f2 fonksiyonunun görüntü kümesinin elemanları [−1,1] aralığındadır. f3 fonksiyonunun
görüntü kümesinin tüm elemanları belli bir gerçek sayıdan büyük ya da küçük değildir.
73
A⊂R, f:A→R olmak üzere,
∀x∈A için, m≤f(x)≤M olacak biçiminde m ve M gerçek sayıları varsa f fonksiyonu sınırlı fonksiyon adını alır. Aksi konumda fonksiyon sınırsız olur.
Buna göre f2 fonksiyonu sınırlı, f3 fonksiyonu sınırsız fonksiyondur.
Sizler de diğer fonksiyonların sınırlı olup olmadığını belirtiniz.
y
30.
a
0
y
f1
x
b
d
c
x
0
f2
f1 fonksiyonu [a, b] nda sürekli midir?
f2 fonksiyonu [c, d] nda sürekli midir?
Grafiklerden yararlanarak verilen fonksiyonların sınırlı olup olmadığını tartışınız.
Bu fonksiyonlar, verilen aralıkta en büyük değer arasındaki her bir değeri en az bir kez
aldığı söylenebilir mi?
[ ]
[ ]
f: 1 , e →R, f(x)= ln x fonksiyonunu inceleyelim.
e
∀a∈ 1 , e i•i n lim f(x)= f(a) olduğundan fonksiyon tanım aralığında süreklidir.
x→a
e
Bu yüzden bu aralıkta sınırlıdır.
Fonksiyonun grafiğini çizelim.
y
1
0
1
e
x
1
−1
Grafikte görüldüğü gibi, fonksiyonun ve en küçük değeri −1 ve büyük değeri de
1 dir.
Bu fonksiyonun görüntü kümesi [−1, 1] dir. Fonksiyon [−1, 1] nda her değeri en
az bir kez alır.
Sizler de kapalı bir aralıkta, farklı sürekli fonksiyon grafikleri çizerek yukarıdaki
sorulara cevaplar aramaya çalışınız. Tartışmalarınız sonucunda aşağıdaki çıkarımlara
ulaşmışsınızdır.
i) Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon bu aralıkta sınırlıdır.
ii) Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun bu aralıktaki en küçük ve en büyük
değeri vardır.
iii) Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyon, bu aralıktaki en küçük ve en büyük değer
arasındaki her bir değeri en az bir kere alır.
74
31.
y
A
a
A
B
0
b
x
a
0
y
y
y
b
B
x
B
a
0
x
b
a
0
A
A
b
x
B
Yukarıda dört koordinat düzlemi verilmiştir ve her birinde A ve B noktaları
tanımlanmıştır. Sizlerden grafiği A noktasından başlayıp B noktasında sona eren [a,b]
nda tanımlı sürekli fonksiyonları çizmeniz istenmektedir. Ancak fonksiyon grafiklerini
çizerken x eksenini kesmemeniz şart koşulmaktadır.
Sizce her düzlemde istenen fonksiyonu çizmek mümkün müdür? Hangi durumda çizilemediğini gerekçeleriyle tartışınız.
Fonksiyonların a ve b deki görüntüleri ters işaretli olduğunda çizilen grafiğin x
eksenini en az bir noktada keseceğini görebildiniz mi?
f:[−2, 2]→R, f(x)= x3+1 fonksiyonunu alalım. Bu fonksiyon tanım aralığında
süreklidir.
f(−2)= −8+1= −7, f(2)= 8+1= 9 ve f(−2).f(2)= −63<0 olduğundan, bu aralıkta
f(x0)= 0 şartını sağlayan en az bir x0 değeri vardır.
Bu durumda, [a, b] nda sürekli bir f fonksiyonu için f(a).f(b)<0 ise f(x0)= 0 olacak
şekilde en az bir x0∈(a, b) vardır, denir.
23.
1) Aşağıdaki fonksiyonlar sınırlı mıdır? Sınırlı ise fonksiyonun en büyük ve en
küçük değerlerini bulunuz.
a) f1:R→R, f1(x)= 2sinx+1
b) f2:[−2, 1], f2(x)= 3x+1
(
)
ç) f4: − π , π →R, f4(x)= tanx
2 2
+
d) f5:R→R , f5(x)= 2x+1
e) f6:R→R, f6(x)= 3
2) x3+3x−5= 0 denkleminin (1, 2) nda bir kökünün olduğunu gösteriniz.
c) f3:[−3, 2], f3(x)= x2−9
3) Aşağıda verilen önermelerin doğruluğunu önlerinde bulunan kutucukta belirtiniz.
Kapalı bir aralıkta sınırlı her fonksiyon süreklidir.
Sürekli her fonksiyon sınırlıdır.
Kapalı bir aralıkta sürekli her fonksiyon sınırlıdır.
[a, b] nda sürekli bir fonksiyonda f(a).f(b)>0 ise fonksiyon x eksenini kesmez.
Kapalı bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun bu aralıkta en büyük ve en küçük değeri
vardır.
Kapalı bir aralıkta sürekli her fonksiyon örtendir.
4) f:[1, 4]→R, f(x)= ax2+4x−1 sürekli fonksiyonunda a hangi aralıktan seçilirse
(1, 4) nda f(x)= 0 denkleminin bir kökü vardır?
75
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
y
1)
3
Yandaki şekilde grafiği verilen f(x)
fonksiyonunun −1, 0, 1, 2 apsisli noktaları için
var olan limitlerin toplamı kaçtır?
2
1
−2 −1
3
x
1 2
0
−1
3+ lim 5 toplamının sonucunu bulunuz.
2) xlim
x→−4
→2
3) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
a) lim (x2−3x+1)
b) lim (x−1)2.(x+3)
x→−1
x→2
c) lim (5x+ex)2
x→0
x−1
ç) lim log3x
x→9
x−7
4) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
a) lim x−1
b) lim x2−3x−12
c) lim
ç) lim √x+4
x→−1
d) lim 3√x3−7
x→−1
e) lim √x
x→4
x−1
x→0
5)
x→0
x→0
x2+2x+10
x+3
lim cx−2 = lim x−c eşitliğini sağlayan c gerçek sayısını bulunuz.
x→1
x→1
y
6)
3
2
1
−2 −1
0
1
2
x
3
Yanda grafiği verilen y= f(x) fonksiyonu için aşağıdaki limit değerlerini
hesaplayınız.
y=f(x)
a) lim f(x)
b) lim f(x)
c) lim f(x)
ç) lim f(x)
d) lim− f(x)
e) lim+ f(x)
x→−2
x→3
x→1
x→0
7) f:R→R, f(x)=
{
x→−6
x→2
x+2 x<−1 ise
x2
−1≤x≤3 ise
2x+2 x>3
ise
biçiminde verilen y= f(x) fonksiyonu için aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
a) lim f(x)
b) lim f(x)
c) lim f(x)
x→4
ç) lim f(x)
x→−1
x→0
d) lim f(x)
x→3
76
x→−3
8) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
x
1−x
1−x
c) lim−
b) xlim
a) xlim
→1−
→1+
x→0
1−x
x− x
1−x
9) I)
(
x−3
x−3
+2x−1
)
x =0
x−3
lim
x→3+
II) xlim
→0
ç) xlim
→3−
x
x
x−3 = 0
x+1
III) lim−
x→3
IV) lim−
x→1
=1
(
)
x−1
+x+2 = 2
x−1
Yukarıdaki limit değerlerinden hangilerinin doğru olduğunu bulunuz.
y
10)
f(x)
0
Yanda grafiği verilen y= f(x) fonksiyonunun grafiği için aşağıdaki limitleri
hesaplayınız.
x
2
a) lim f(x)
b) lim f(x)
x→0
x→2
y
11)
−2 −1
0
−1
a) lim f(x)
x→−2
f(x)
1
x
2
b) lim f(x)
Yanda grafiği verilen y= f(x) fonksiyonu için aşağıdaki limit değerleri varsa bulunuz.
c) lim f(x)
x→−1
x→1
12) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
1
lim2+ x
a) lim+
b) x→−
x→4
x−4
x+2
13)
3
ç) lim f(x)
x→2
−2x+3
c) lim+
x→3
x−3
d) lim f(x)
x→0
3x
ç) lim
x→5 x−5
y
x
0
Yandaki şekilde verilen y= f(x) fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdaki limit
değerlerini hesaplayınız.
f(x)
−3
a) lim f(x)
b) lim f(x)
x→+∞
x→−∞
77
y
14)
0
−1
1
2
−1
x
2
Yanda grafiği verilen y= f(x) için
aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
f(x)
−2
−3
a)
lim f(x)
x→−1+
b) lim f(x)
x→−∞
c) lim f(x)
x→+∞
d) lim f(x)
ç) lim f(x)
x→2
x→
1
2
15) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
a) lim (x3−2x+5)
b) lim (x5+3x2+2)
c) lim (x2+x)
ç) lim (3x+5x)
d) lim (5−x+x)
e) lim
x→+∞
x→−∞
x→+∞
x→−∞
x→−∞
x→−∞
()
5
2
x
16) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
a) lim (cosx−√3x)
b) lim (tanx−cotx)
c) lim sin2x
π
x→
2 cos4x
ç) lim sinx+1
π
x→
cosx
2
d) lim sinx
x→+∞
3x
e) lim cosx
x→−∞
x
x→
x→π
π
3
17) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
2
a) lim x −4x+3
x→3
x2−x−6
2
c) lim x −1
x→1
√x −1
b) lim √a+3 −2
a→1
a−1
ç) lim
x→0
sinx
1−cosx
2
18) lim 2x −√x+a = b ise (a, b∈R) a+b toplamını bulunuz.
x→1
x−1
19) lim 1−cos2x değerini hesaplayınız.
x→0
x2
(sin3θ)2 değerini hesaplayınız.
20) θlim
→0
θ2.cosθ
21) Aşağıda verilen limit değerlerini hesaplayınız.
2
a) lim 4x −3x+4
x→+∞
3x2−5x+6
c) lim
x→+∞
(
(
22) xlim
→+∞
2x−5
x2−x−6
)
)
b) lim
x→−∞
( )
x3−9
x2−4
5
4
ç) lim (2x+3) (3x+1)
x→+∞
−x9+4
mx2−36 = 3 ise m kaçtır?
3m2x2+2x−3
78
y
23)
y=f(x)
Şekildeki grafik y= f(x) fonksiyonuna aittir.
−1
lim f (x) değerini bulunuz.
x→+∞
f(x)
2
x
2
0
2
24) lim ax +bx+2 =5 ise a+b kaçtır?
x→+∞
2x+1
25) lim 1+2+3+...+n değerini hesaplayınız.
n→+∞
2n2−3n
x
26) lim 2+3 limitini hesaplayınız.
x→+∞
x
1−5
27) Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim (x+√x2−6x+1)
b) lim (√x2−3x+1−√x2+6x+5)
x→−∞
c) lim
x→2
(
4 − 1
x2−4 x−2
x→0
)
28) Aşağıdaki limit değerlerini hesaplayınız.
()
a) lim sin3x
x→0
tan7x
b) lim 1 .sin2 t
t→0 2
t
2
ç) lim x+sin2x
x→0
x−sin3x
d) lim x− π .tan2x
π
x→
4
4
( )
( )
c) lim x− π . 1
π
x→
2 cosx
2
29) Aşağıda verilen R→R tanımlı f ve g fonksiyonları ∀x∈R için sürekli ise m ve kaç
olmalıdır?
x+m
x<0
ise
a) f(x)=
4−x2
x≥0
ise
{
{
b) g(x)=
2x+n
2n−x
x≤3
x>3
ise
ise
30) f:R→R tanımlı, f(x)=
{
31) f:R→R tanımlı, f(x)=
x+1
fonksiyonunun sürekli bir fonksiyon olması için m nin
x2−2x+m
x−√x+2
x≠2
ise
x−2
m+1
x=2
ise
fonksiyonunun x= 2 de sürekli olması için m nin değerinin ne olacağını bulunuz.
değişim aralığının ne olabileceğini bulunuz.
y
3
32)
2
y=f(x)
1
−3 −2 −1 0
1 2 3 4 5
79
Grafiği verilen y= f(x) fonksiyonunun [−3, 5] nda hangi tam sayı değerleri için
sürekli ve hangi tam sayı değerleri için sürekx
siz olduğunu bulunuz.
33) Aşağıdaki fonksiyonlardan hangilerinin sınırlı olup olmadığını bulunuz. Sınırlı
olanların alacağı en büyük ve en küçük değerleri hesaplayınız.
a) f:R→R, f(x)= cosx
c) h: − π , π −{0}→R, h(x)= cotx
2 2
[
b) g:[1, 2]→R, g(x)= 3x−1
]
ç) k:R→R, k(x)= −2
34) x4−3x3+1= 0 denkleminin aşağıda verilen aralıklarda hangilerinde bir reel kökünün
olabileceğini belirtiniz.
a) (−1, 1)
b) (1, 2)
c) (−2, 3)
ç) (0, 4)
35) f(x) fonksiyonu, −1≤x≤1 için √5−2x2 ≤f(x)≤√5−x2 eşitsizliğini sağlıyorsa lim f(x)
x→0
değerini bulunuz.
36) lim+ f(x)= L olarak veriliyor.
x→0
a) f(x) tek ise lim− f(x) değerini bulunuz.
x→0
b) f(x) çift ise lim− f(x) değerini bulunuz.
x→0
37) lim+ f(x)= A ve lim− f(x)= B olsun.
x→0
x→0
a) lim+ f(x3−x)
b) lim− f(x3−x)
c) lim− f(x2−x4)
ç) lim+ f(x2−x4)
x→0
x→0
x→0
x→0
değerlerini hesaplayınız.
38) Herhangi bir sembol kullanmadan limit kurallarının açıklandığı bir liste oluşturunuz.
39) Bir fonksiyonun bir noktada limitinin varlığının ne anlama geldiğini sembol kullanmadan açıklayınız.
40) Bir rasyonel fonksiyonun paydasını sıfır yapan bir değer için limitinin bir gerçek
sayıya eşit olması nasıl mümkün olabilir?
41) Bir fonksiyonun bir noktada süreksiz olması ne anlama gelir? Gerçek hayattan
süreksiz bir fonksiyon örneği verebilir misiniz?
42) Bir işletmenin yöneticileri, x yılı göstermek üzere ton cinsinden üretimi veren
bağıntıyı,
275x2+600
biçiminde modelliyorlar. Buna göre uzun yıllar sonra yaklaşık olarak
D(x)=
x2+4
a) Bu fabrikanın üretimi en fazla kaç olabilir?
b) Bu fabrika üretimini en fazla ne kadar artırabilir?
80
3.
B… L† M
ALT ÖĞRENME
ALANLARI
• TŸ rev
• TŸ revin
Uygulamaları
81
TÜREV
Güzel bir havada Güneş’in batışına bağlı olarak havanın kararmasını gözlemleyiniz. Zamandaki değişim ile kararmadaki değişimi ilişkilendiriniz. Tam kararmanın
oluştuğu anı belirlemeye çalışınız. Daha sonra tersini düşünerek sabahın erken saatinde karanlıktan aydınlığa geçişi gözlemleyiniz. Yaptığınız gözlemleri görsel bir şekle
dönüştürmeye çalışınız ve yorumlayınız.
Çocukken çoğumuzun bindiği tahterevalliyi düşününüz. Burada dengenin nasıl
sağlandığını anlamaya çalışınız. Sistemde kütle merkezi ve denge noktasının ilişkisini
tartışınız.
Hareket eden bir cismin belli zaman aralıklarında aldığı yolun değişmesi ya da
sabit kalması durumunda hızının ne olacağını tartışınız.
Grupça tartıştığınız bu üç olayın her birinde, birbirine bağlı olarak iki ayrı şeyin
değişimi söz konusudur. Bu değişim birinci olayda havanın kararması ile Güneş’in ufuk
çizgisi altına inmesi, ikinci olayda dengenin sağlanması ile kütle merkezinin yer değiştirmesi ve üçüncü olayda da yoldaki değişim ile zamandaki değişim biçiminde karşımıza
çıkmaktadır. Söz konusu değişimlerin oranları da ayrı bir araştırma konusudur.
Genel olarak düşünürsek buradaki problem, aynı zamanda değişen iki şeyin
değişim oranlarının ne olabileceğidir.
Gottfried Wilhelm Leibniz (Gotfrid Vilhelm Laybniz) (1646−1716)
Bilim dünyasının en önemli sistemci düşünürlerinden biridir. Matematik,
metafizik ve mantık alanlarında ileri sürdüğü yeni düşünce ve görüşleriyle
tanınır. Diferansiyel ve integral hesabının kurucularındandır.
82
1.
Geometri derslerinde de tartıştığınız doğruyu düşününüz. Biliyorsunuz ki bir
doğruyu tanımlayabilmeniz için ya doğru üzerinde bulunan iki noktaya ya da bir nokta
ile doğrunun eğimine ihtiyacınız vardır. Bildiğiniz bir başka şey de şudur: Bir doğrunun
eğimi, doğrunun x ekseni ile yaptığı açının tanjantına eşittir.
y
d1
α
0
}
∆y
}
x
∆x
Şekil üzerinde gösterirsek x ekseni ile doğrunun yaptığı açı α olarak alınırsa
doğrunun eğimi,
m= tanα=
∆y
∆x
bağıntısı ile verilebilir. Bağıntıyı dikkatlice incelerseniz yukarıda ortaya konan probleme
benzediğini görebilirsiniz. Çünkü burada, aynı sürede değişen ∆y ile ∆x in oranı söz
konusudur.
Tartışmanız sonucunda bu oranın sabit kaldığını söyleyebilirsiniz. Bu durum
her doğru için geçerlidir. Yani bir doğrunun eğimi sabittir.
Bu kez yine çok iyi bildiğiniz parabol ile üzerinde seçilen A, B, C noktalarından
parabole çizilen d1, d2, d3 teğet doğrularını düşününüz.
y f(x)=x2
A
C
0
d2
B
x
d1
d3
83
Çizilen teğet doğrularının eğimleri için neler söyleyebilirsiniz? A, B, C noktalarından parabole farklı teğetler çizmeniz mümkün olabilir mi?
Bu parabole çizdiğiniz teğetlerin sayısını çoğaltınız. Daha sonra çizdiğiniz teğet
doğrularının ait oldukları nokta komşuluğundaki doğru parçaları ile parabolün grafiğini
aşağıdaki gibi yan yana getiriniz.
y
y
f(x)=x
2
f(x)=x2
x
0
0
x
Sizce her iki grafik, fonksiyonu temsil ediyor mu? Bu noktada tüm yaptığınız
etkinlikleri birlikte düşünerek şu sorulara doğru cevaplar bulmaya çalışınız.
Bir eğriye üzerinde seçilen bir noktadan çizilen teğetin eğimi, seçilen nokta ile
ilişkili midir?
Nokta değiştikçe çizilen teğetlerin eğimleri değişir mi?
Verilen bir eğrinin üzerindeki bir noktadan eğriye çizilen teğetin eğimi nasıl bulunur?
2.
f:R→R, f(x)= x2 fonksiyonunun grafiği ile grafik üzerinde seçilen A(1,1) ve B(2,4)
noktaları veriliyor. Eğrinin A ve B noktalarından geçen keseni ve A noktasındaki teğeti
çiziliyor.
y
f(x)=x2
Fonksiyonu grafiği ile birlikte düşü-
B(2,4)
nünüz ve nelere sahip olduğunu görünüz.
4
3
B′
2
−2 −1 0
siniz: “Çizdiğiniz AB keseninde bir belirsizlik
B′′
1
−3
Tartışmanız sonucunda şunları söyleyebilir-
yoktur. Çünkü üzerindeki iki nokta bilinmek-
A(1,1)
1
2
x
3
tedir. Buna karşılık A noktasından çizilen teğetin eğimi bilinmemektedir. Problemimiz A
noktasından çizilen teğetin eğimini bulmak
tır.”
84
Bunun için B noktasını A noktasına yaklaştırarak B′, B′′,... noktalarını ve onlardan geçen kesenleri tanımlayalım. AB, AB′, AB′′ kesenlerinin eğimlerini bulalım. Bulduğumuz değerleri tablo üzerinde yerlerine yazalım.
B
(2, 4)
(1,5, 2,25)
(1,2, 1,44)
(1,1, 1,21)
(1,05, 1,1025)
∆y
3
1,25
0,44
0,21
0,1025
∆x
1
0,5
0,20
0,10
0,05
mAB
3
2,5
2,2
2,1
2,05
→A
→2
Tabloda görüldüğü gibi burada B noktası A ya yaklaştıkça kesenin eğimi mAB de
2 ye yaklaşmaktadır. Bu kez aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi A nın solunda eğri üzerinde seçeceğimiz C noktası ile CA kesenini düşünelim ve C noktası A ya yaklaştığında
kesenin eğimindeki değişikliği gözlemleyelim.
y
f(x)=x
4
2
3
2
1
A(1,1)
C
−3
C
−2
(0,1, 0,01)
−1
0
(0,5, 0,25)
x
1
2
(0,9, 0,81)
3
(0,99, 0,980)
∆y
0,99
0,75
0,19
0,02
∆x
0,9
0,5
0,1
0,01
mAC
1,1
1,5
1,9
1,99
→A
→2
Deney sonucunda gördük ki hem B hem de C noktası ayrı ayrı A noktasına
yaklaştıkça AB ve AC kesenlerinin eğimleri 2 sayısına yaklaşmaktadır.
Deneyler bizi bir başka sonuca daha götürmektedir. B ve C noktalarının A nok-
85
tasına yaklaşması, aynı zamanda kesenlerin A dan çizilen teğete yaklaşması anlamındadır. Değişik biçimde söylersek B ve C noktaları A noktasına yaklaşıyor ise kesenlerin
eğimi de A noktasından çizilen teğetin eğimine yaklaşır. Bunun için teğetin eğimini bulmada kesenin eğiminden yararlanılır.
3.
Aşağıda verilen y= f(x) fonksiyonunun grafiğini inceleyiniz.
y
A
y0
α
B
B′′
y1
′
αB
β
0
x0
x1
x
tA
A ve B noktalarından geçen kesenin eğimi mAB ve A noktasından çizilen teğetin
eğimi de mt olsun.
AB keseninin eğimi,
mAB=
y1−y0 f(x1)−f(x0) ∆y
=
=
x1−x0
x1−x0
∆x
eşitliği ile bilinmektedir.
B noktası eğri üzerinde hareket ettirilerek A noktasına yaklaştırıldığında oluşan
ABı, ABıı,… kesenlerini çiziniz.
• Çizdiğiniz kesenlerin hangi doğruya yaklaştığını,
• Kesenlerin eğim açılarının hangi açıya yaklaştığını,
• AB keseninin eğiminin hangi doğrunun eğimine yaklaştığını,
tahmin etmeye çalışınız.
Buradan elde ettiğiniz çıkarımları göz önünde bulundurarak AB keseninin eğimini kullanarak teğetin eğimini limit yardımıyla matematiksel olarak ifade etmeye çalışınız.
86
f:R→R, f(x)= x2 fonksiyonuna A(1,1) noktasından çizilen teğetin eğimini bula
lım.
y
t
f(x)=x2
B
f(x)=y
f(1)=1
A
0
1
x
x
B noktasını eğri üzerinde A noktasına yaklaştırdıkça kesenlerin teğete, kesenlerin eğim açılarının teğetin eğim açısına, kesenlerin eğimleri de teğetin eğimine yaklaşır.
AB keseninin eğimi
mAB≅
y−1 f(x)−f(1)
=
olur.
x−1
x−1
B noktası A ya yaklaştıkça x değeri 1 e yaklaşmaktadır.
Buna göre teğetin eğimi AB keseninin eğimi ve limit yardımıyla matematiksel
olarak,
f(x)−f(1) biçiminde gösterilir ve teğetin eğimi
mt= lim
x→1
x−1
f(x)−f(1) = lim x2−1 = lim (x+1)=2 olarak hesaplanır.
mt= lim
x→1 x−1
x→1
x→1
x−1
Genel olarak bir t fonksiyonunun üzerindeki bir A(x0, y0) noktasındaki teğetinin
eğimi
∆y ∆f
=
mt=
∆x ∆x
yaklaşık eşitliğinden hareketle limit yardımıyla
mt= lim
∆x→1
∆f
f(x)−f(x0)
= lim
x→x
∆x
x−x0
0
biçiminde yazılabilir.
Böylece A noktasından çizilen teğetin eğimi bulunmuş olur. Unutmayalım ki mt
87
eğimi limite bağlıdır. Limit yoksa eğimden söz edemeyiz. Hatırlayalım ki limitin varlığı
noktaya sağdan ve soldan yaklaştığımızda aynı değere ulaşmakla mümkün idi. Buna
göre mt tek olmalıdır, denilebilir. Bu da bizi A dan eğriye çizilen teğetin tek olması durumunda, eğimin bulunabileceği sonucuna götürür.
Bir fonksiyonun, bir noktasındaki teğetinin eğimi biraz daha farklı bir yaklaşımla
aşağıdaki gibi elde edilebilir.
y
Q(x0+h,f(x0+h))
P(x0,f(x0))
0
x0+h
x
}
x0
h
PQ kesenin eğimi
f(x0+h)−f(x0) f(x0+h)−f(x0)
=
(x0+h)−x0
h
şeklindedir.
Q noktası P noktasına yaklaşırken h değerinin 0 a yaklaştığını görüyorsunuz.
Bu durumda P noktasından çizilen teğetin eğimi,
mt= lim
h→0
f(x0+h)−f(x0)
h
olur. Bu durum bazı kaynaklarda,
lim
h→0
∆f
∆x
x0
olarak da gösterilmektedir.
88
f:R→R, f(x)=x2+x fonksiyonunun x=2 noktasındaki teğetinin eğimi,
f(2+h)−f(2) lim (2+h)2+(2+h)−6
= h→0
mt= lim
h→0
h
h
h2+5h lim
= h→0 (h+5)=5
= lim
h→0
h
olarak bulunur.
1.
Aşağıda verilen fonksiyonların belirtilen noktadaki teğet doğrularının eğimlerini
bulunuz.
4.
a) f:R→R, f(x)= x2+3,
x0= 2
b) f:R→R, f(x)= x3,
x0= 1
c) f:R→R, f(x)= x2−3x+3,
x0= 3
ç) f:R→R, f(x)= 4,
x0= 5
d) f:R→R, f(x)= 5x+1,
x0= −2
Yukarıdaki etkinliklerden elde ettiğimiz kazanımların başında “Eğri üzerinde seçilen her noktadan eğriye çizilen teğetin eğimi tektir.” kazanımı gelmektedir. Buna göre
nokta değiştikçe çizilen teğetin eğimi de değişebilir, diyebiliriz. Bu sonucu f:A→R, f(x)
fonksiyonu için yazmaya çalışırsak her xi∈A için aşağıdaki şemaya ulaşılır.
g
∆f
• lim
h→0 ∆x
• x1
• x2
∆f
• lim
h→0 ∆x
.
.
.
.
• x3
.
.
.
.
• lim
• xn
h→0
∆f
∆x
x1
x2
xn
Şema bizi, xi noktalarından, noktadan eğriye çizilen teğetin eğimine tanımlı bir
g fonksiyonuna götürmektedir. Yeni fonksiyonun tanım kümesi, ilk fonksiyonun tanım
kümesinin elemanlarından seçilmektedir ve değer kümesi de ilk fonksiyonun teğetlerinin eğimlerinden oluşmaktadır. Yani tanımlanan g fonksiyonu, verilen f fonksiyonu ile
doğrudan ilişkilidir. O nedenle “g fonksiyonuna f fonksiyonunun türevi” adı verilir ve
89
g=f′(x)=
df
= D xf
dx
biçiminde gösterilir. Bunun gerçekleşebilmesi için her noktada oranın limit değerinin
varlığını unutmayınız.
f:A→R, f(x)=x2+x fonksiyonunun grafiği üzerinde bulunan herhangi bir A(x, f(x))
noktasındaki teğetinin eğimini bulmaya çalışalım.
mt= lim
h→0
= lim
h→0
f(x+h)−f(x) lim x2+2xh+h2+x+h−x2−x
= h→0
h
h
2xh+h2+h
(2x+h+1)= 2x+1
= lim
h→0
h
bulunur.
Elde ettiğimiz bu bağıntı, f fonksiyonunun herhangi bir x noktasındaki teğetinin
eğimini veren fonksiyondur, f fonksiyonundan türetilmiştir ve
f′: R→R, f (x)= 2x+1
ı
şeklinde yazılır.
Elde edilen bu bağıntıda x= 2 alınarak özel değere ulaşılabilir.
Genel olarak,
f′(x)= lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
eşitliği ile tanımlanan f′ fonksiyonuna, f fonksiyonunun türev fonksiyonu denir. Ancak
unutulmamalıdır ki türev fonksiyonu,
lim f(x)−f(x0)
x→x
x−x0
0
(
lim f(x0+h)−f(x0)
h→0
h
(
limitinin var olaması durumunda tanımlıdır ve verilen x0 noktasındaki türev fonksiyonu
olarak f′(x0) gösterilir.
90
2.
Aşağıda verilen fonksiyonların türev fonksiyonlarını bulunuz.
a) f:R→R, f(x)= 2x+1
b) f:R→R, f(x)= 2x2+3
c) f:R→R, f(x)= x2+2x
ç) f:R→R, f(x)= 6
d) f:R→R, f(x)= x3−1
5.
Bir hareketlinin t saatte aldığı yol, kilometre cinsinden s(t)=t2+40t fonksiyonu ile
verilmektedir. Hareketlinin [t1, t2] ndaki ortalama hızı,
Vort=
s(t2)−s(t1)
t2−t1
ile hesaplanır.
Örneğin, hareketlinin [8, 10] ndaki ortalama hızı,
ORTALAMA HIZ=
s(10)−s(8) 500−384
= 58 km/sa.
=
10−8
2
[10, 12] aralığındaki ortalama hızı,
ORTALAMA HIZ=
s(12)−s(10) 624−500
= 62 km/sa.
=
10−8
2
olarak bulunur. Hesaplamaya devam ederek aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
[t1,t2]
[8, 10]
Vort(km/sa.)
58
[9, 10]
[9,5, 10]
[9,9, 10]
[10, 10,1]
[10, 10,5]
[10, 11]
[10, 12]
62
Bulduğunuz değerlerden yararlanarak hareketlinin 10. saatteki hızını (anlık hızını) tahmin etmeye çalışınız.
Hareketli 10. saatte radara girmiş olsun. O andaki yani 10. saatteki anlık hızını
91
+
h∈R olmak üzere, h→0 için [10, 10+h] aralığında ortalama hızını anlık hız kullanarak
bulmaya çalışalım. Buna göre,
lim
ANLIK HIZ = h→0
lim
= h→0
s(10+h)−s(10)
(10+h)−10
100+20h+h2+400+40h−500
h
lim (h+60)=60 olur.
= h→0
Siz de [10–h, 10] ndaki ortalama hızı kullanarak benzer yolla 10. saatteki anlık
hızı bulmaya çalışınız.
Yaptığınız çalışmaların sonucunda, bir hareketlinin t saatte aldığı yol fonksiyonunun bir noktadaki türevi ile o andaki hızını ilişkilendiriniz.
Yukarıda sözü edilen hareketlinin t. saatteki anlık hızını veren türev fonksiyonunu bulunuz.
Aracın 10. saatteki anlık hızını, elde ettiğiniz türev fonksiyonu yardımıyla da bulunuz.
3.
Şekildeki silindir biçiminde tank 600 litre su ile
doludur. Dibinde açılan bir delik yardımıyla bu tank 60
dakikada boşalmaktadır. Delik açıldıktan t dakika sonra, tankta kalan su miktarı,
1
H(t)=
·(60−t)2
6
olarak verilmektedir.
Delik açıldıktan 15 dk. ve 45 dk. sonraki suyun
anlık akış hızını bulunuz.
y
6.
t2
R
f(x)
Q
t1
P
x0
0
92
x
92. sayfadaki şekilde f:A→R, f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. P noktasının sağında
alınan R ve solunda alınan Q noktasını kullanarak PQ ve PR kesenlerini çiziniz.
Q noktası P noktasına yaklaştıkça PQ keseninin eğimi hangi doğrunun eğimine
yaklaşır?
R noktası P noktasına yaklaştıkça PR keseninin eğimi hangi doğrunun eğimine
yaklaşır?
Bu sorulara verdiğiniz yanıtlara göre aşağıdaki limitlerin hangi doğruların eğimleri olduğunu noktalı yerlere yazınız.
lim f(x0+h)−f(x0) = .............
h→0
h
−
lim f(x0+h)−f(x0) = .............
h
h→0+
Yaptığınız çalışmalardan sonra lim f(x0+h)−f(x0) limitinin varlığını başka bir deh→0
h
yişle fonksiyonun x0 noktasında türevinin olup olmadığını belirtiniz.
y
f(x)
d
P
k
0
x0
x
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunda
lim f(x0+h)−f(x0) = mk ve
h→0
h
−
lim f(x0+h)−f(x0)
= md
h
h→0+
olur.
mk≠ md olduğundan fonksiyonun x0 noktasında türevi yoktur.
93
Herhangi bir f fonksiyonu için,
lim f(x0+h)−f(x0) limiti bir gerçek sayı değeri ise bu değere “f fonksiyonunun x0
h→0
h
−
noktasındaki soldan türevi” denir ve f′(x0 ) biçiminde gösterilir.
−
Benzer olarak
lim f(x0+h)−f(x0) limiti bir gerçek sayı değeri ise bu değere “f fonksiyonunun x0
h
+
noktasındaki sağdan türevi” denir ve f′(x0 ) biçiminde gösterilir.
h→0+
f′(x0 )≠ f′(x0 ) ise fonksiyonun x0 noktasında türevi olmayacaktır.
−
+
4.
1) Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlarda, PQ ve PR kesenlerini çiziniz. Q ve R noktaları P noktasına yaklaştıkça, kesenlerin yaklaştığı doğruları
gözlemleyerek bu fonksiyonların x= a noktasındaki türevlerinin varlığını araştırınız.
a)
y
b)
P
y
R
Q
Q
x
a
0
c)
P
R
ç)
y
x
a
0
y
R
R
P
Q
P
Q
0
x
a
94
0
a
x
2) Aşağıdaki grafiği inceleyerek f′(2 ), f′(2 ) ve f′(2) değerini hesaplayınız.
−
+
y
f(x)
45°
45°
x
2
0
3) Aşağıda grafiği verilen fonksiyonun hangi noktalarda türevinin olamayacağını nedenleri ile birlikte ortaya koyunuz.
y
0
b
c
a
x
d
g(x)
−
−
4) Aşağıda grafiği verilen f(x) fonksiyonu için f′(−2 ) ve f′(2 ) değerlerini bulu-
nuz. Bulduğunuz sonuçları tartışınız.
y
1
0
−2
−1
x
2
f(x)
+
−
5) f:R→R, f(x)= x2−1 fonksiyonu için f′(2 ) ve f′(−1 ) değerlerini bulunuz.
95
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonları inceleyiniz.
7.
a)
b)
y
0
x0
x
y
c)
y
0
x0
y
ç)
0
x0
x
y
e)
x0
0
x
x0
0
d)
x
y
x
0
x0
Bu fonksiyonların x0 noktasında sürekli olup olmadıklarını belirtiniz.
İncelediğiniz fonksiyonlardan x0 noktasında hangileri türevlidir, hangileri
türevsizdir?
Buradan hareketle bir noktada sürekli bir fonksiyonun aynı noktadaki
türevlenebilirliği için ne söylenebilir?
96
x
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini inceleyiniz.
8.
y
y
0
x
x1
0
x1
x
y
0
x1
x
Bu fonksiyonların x1 noktasında tanımlı olup olmadıklarını söyleyiniz.
Fonksiyonlardan hangileri x1 noktasında süreklidir?
Fonksiyonların x1 noktasında türevli olup olmadıklarını belirtiniz.
Buradan hareketle bir fonksiyonun bir noktada süreksizliği ile türevsizliği
arasında nasıl bir ilişki vardır?
1. Şekilde grafiği verilen fonksiyonun x1, x2, x3 ve x4 noktalarındaki türevlenebilirliğini inceleyelim.
y
f(x)
x3
x1
x2
0
x4
x
1. Şekil
Fonksiyon,
x1 noktasında süreklidir. Sağdan ve soldan türevi eşittir. Dolasıyısıyla türevlidir.
x2 noktasında tanımlı ancak süreksiz olduğundan türevli değildir.
x3 noktasında süreklidir ancak sağdan ve soldan türevi eşit olmadığından türevsizdir.
x4 noktasında tanımlı değildir. Bu noktada türevli değildir.
Yukarıda yapmış olduğunuz çalışmalardan aşağıdaki genellemelere ulaşılır.
97
i) Bir noktada sürekli olmayan fonksiyonun o noktada türevi yoktur.
ii) Bir noktada türevlenebilen bir fonksiyon o noktada süreklidir.
iii) Bir fonksiyonun bir noktada türevinin olabilmesi için, o noktada sürekli olması gereklidir ancak bu yeterli değildir.
5.
1)
y
y
f1
f2
−1
0
3
x
4
0
−3
y
1
x
3
y
f3
f4
0
x
4
2
3
0
−3
2
x
4
Yukarıdaki grafiklerde, fonksiyonların sürekli olmasına rağmen türevli olmadığı
noktaları bulunuz.
2)
y
f(x)
−2
−1
0
1
3
8
5
x
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunun belirtilen noktaları için aşağıdaki
tabloyu örnekteki gibi doldurunuz.
Apsis
Sürekli
TŸ revli
x
−2
−1
1
3
5
8
98
3) f:R→R, f(x)=
{
x2+2
3x
x<1 ise
fonksiyonunun grafiğini çizerek x= −1 ve x=1
x≥1 ise
noktalarında türevlenebilirliğini araştırınız.
4) f:R→R,
f(x)=
{
4x+1
x2+5
x−1
x<2 ise
2≤x<4 ise fonksiyonunun x=0, x=2 ve x=4 noktalarında türevli
x≥4 ise
olup olmadığını grafiğini çizerek araştırınız.
9.
Aşağıda f1(x) fonksiyonunun (c, d) ndaki grafiği verilmiştir.
y
f1(x)
c
0
d
x
f1(x) fonksiyonu (c, d) nda sürekli midir?
f1(x) fonksiyonunun (c, d) ndan seçeceğiniz her nokta için türevli olup olmadığını araştırınız.
Bir açık aralığın her noktasında türevli olan bir fonksiyon bu açık aralıkta türevlidir, denir.
Buna göre f1(x) fonksiyonu (c,d) nda türevli midir?
Şimdi de bu fonksiyonun tanım aralığını [c,d] alarak elde edilen f2(x) fonksiyonunun türevlenebilirliğini inceleyelim.
y
f2(x)
c
0
d
x
Sanırız f2(x) fonksiyonunun, f1(x) fonksiyonundan farklı olarak uç noktalarda
tanımlı olduğunu fark etmişsinizdir. Öyleyse sonuca ulaşmak için bu fonksiyonun uç
noktalarında da türevlenebilir olup olmadığını incelemek yeterli olur.
99
Fonksiyon x= c noktasının sağında tanımlı olduğundan bu noktaya yalnızca
sağdan yaklaşılabilir. O hâlde f2(x) fonksiyonunun x= c noktasında sağdan türevli olup
olmadığını araştırınız.
Benzer düşünceyle fonksiyonun x= d noktasında da soldan türevlenebilirliğini
araştırınız.
Genel olarak,
(a,b) nda türevli,
x= a noktasında sağdan ve x=b noktasında soldan türevli olan fonksiyona [a,b]
nda türevlenebilir fonksiyon denir.
Aşağıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunun (–2,1) nda, [1,3] nda ve [0,3] nda
türevlenebilirliğini inceleyelim.
y
f(x)
−2
0
1
3
x
f(x) fonksiyonu,
(–2,1) ndaki her noktada türevli olduğundan (–2,1) nda türevli,
(1,3) nda her noktada türevli ve x= 1 noktasında sağdan, x= 3 noktasında soldan türevli olduğundan [1,3] nda türevli,
[0,3] na ait x= 1 noktasında türevsiz olduğundan [0,3] nda türevsizdir.
6.
y
1)
−3
−2
0
1
4
6
7
x
Yukarıda [–3,7] nda grafiği verilen fonksiyonun aşağıda verilen alt aralıklarda
türevli olup olmadığını belirtiniz.
a) [–3,–2]
b) [–2,1]
c) (1,4)
ç) [1,4]
d) [4,7]
e) [–2,4]
100
2) Tanım aralığının bir noktası dışında tüm noktalarında sürekli ve iki noktası
dışında tüm noktalarında türevli bir fonksiyon grafiği çiziniz.
10.
Şimdiye kadar türev kavramını anlamaya ve limit yardımıyla bazı fonksiyonların
belli noktalardaki türevini bulmaya çalıştık.
Sizler de fark etmişsinizdir ki bir fonksiyonun türevini her defasında limit yardımıyla bulmak güç olmaktadır.
Bundan sonraki etkinliklerde ise bazı temel fonksiyonların türevlerinin bulunmasında bize kolaylık sağlayacak olan kuralları elde etmeye çalışacağız. Önce sabit
fonksiyon örneklerinden f1(x)= 2 ve f2(x)= –3 fonksiyonlarını ele alalım.
Her iki fonksiyonun x= 1 noktasındaki türevini limit yardımıyla bulunuz.
Farklı noktalar seçerek foksiyonların bu noktalardaki türevlerini bulunuz.
Bulduğunuz sonuçları karşılaştırınız.
f(x)=−5 sabit fonksiyonunun x=3 noktasındaki türevini bulalım.
f(h+3)−f(3) lim −5−(−5) lim 0
= h→0
= 0 olur.
f′(3)= lim
= h→0
h→0
h
h
h
Genel olarak bu durum,
c∈R olmak üzere f:R→R, f(x)= c biçiminde tanımlanan sabit bir fonksiyona uygulanırsa türevi veren limit tanımından,
f(x+h)−f(x) = lim c−c = lim 0= 0 elde edilir. Buna göre f(x)= c ise
f′(x)= lim
h→0
h→0
h→0
h
h
f′(x)= 0 olur.
Bu durum
7.
d
(c)= 0 biçiminde de gösterilebilir.
dx
1) Aşağıda verilen fonksiyonların türevlerini bulunuz.
f: R→R,
f(x)= 4
g: R→R,
g(x)= −3
h: R→R,
h(x)= 0
2) a, b, c ve d∈R olmak üzere aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
d
(a)
dx
d
(b)
dx
d
(c)
dx
101
d d
(b )
dx
11.
Şimdi de kuvvet fonksiyonlarının türevi için bir kural oluşturmaya çalışalım. Bu
nun için aşağıdaki işlemleri sürdürerek sonuçlandırınız.
f1(x)=x ise
lim
f′1(x)= h→0
f1(x+h)−f1(x) lim x+h−c
= 1=1.x0
= h→0
h
h
f2(x)=x2 ise
lim
f′2(x)= h→0
f2(x+h)−f2(x)
=..............................
h
f3(x)=x3 ise
lim
f′3(x)= h→0
f3(x+h)−f3(x)
=..............................
h
Bulduğunuz türev değerlerini tablodaki noktalı yerlere yazınız.
f′(x)
1.x0
...
...
.
.
.
f(x)
x
x2
x3
.
.
.
+
Bu şekilde devam edildiğinde n∈N , f(x)= xn fonksiyonunun türevi için ne söylenebilir?
f(x)= x7 fonksiyonunun türevi bu genelleme yardımıyla f′(x)= 7x6 biçiminde kolayca bulunur.
Şimdi c∈R, f:R→R, f(x)= c.g(x) fonksiyonunu ele alalım.
Benzer yolla bu fonksiyonun türevi,
f(x+h)−f(x) lim c.g(x+h)−c.g(x)
lim
f′(x) = h→0
= h→0
h
h
lim
= h→0
(g(x+h)−g(x))
c.(g(x+h)−g(x))
= c.lim
h→0
h
h
f′(x)= c.g′(x) olarak bulunabilir. Bu bizi sabit ile bir fonksiyonun çarpımının türevini alma kuralına götürür.
3
3
f(x)=3x4 fonksiyonunun türevi, f′(x)= 3.4.x = 12.x olur.
102
+
n
n−1
Sonuçta a∈R ve n∈N , f(x)=ax için f′(x)=anx olur.
8.
1) Aşağıdaki tabloda verilen fonksiyonların türevlerini bularak boşlukları doldurunuz.
f(x)
x6
x10
f′(x)
4x2
−3x3
−x4
2 4
.x
7
π.x3
√2 x5
8x
2)
5x2 3x5
x4
7x
7
?
Yandaki çarkta soru işareti yerine gelecek kuvvet fonksiyonunu yazınız.
15x4 10x
3) f:R→R, f(x)=3x2 fonksiyonunun x=3 noktasından çizilen teğetinin eğimini bulunuz.
4) Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
dy
a) y=x3
=?
dx
dy
=?
da
c) y=2a5
12.
b) y=3t2
dy
=?
dt
ç) x=y4
dx
=?
dy
Parçalı tanımlı fonksiyonun bir noktadaki türevlenebilirliğini grafikleri yardımıyla
bulmayı önceki etkinliklerimizde öğrenmiştik. Bu etkinliğimizde ise parçalı tanımlı fonksiyonun türevi için, türev tanımı kullanarak bir kural oluşturmaya çalışacağız.
{
x2+2,
f: R→R, f3(x)= 5x−2,
fonksiyonu veriliyor.
x< 1
x≥ 1
ise
ise
f(x) fonksiyonunun grafiğini dinamik matematik yazılım programı kullanarak çiziniz.
Fonksiyonun sürekliliğini inceleyiniz varsa kritik noktalarını belirleyiniz. Bulduğunuz kritik noktalarda fonksiyonun türevlenebilirliğini türev tanımını kullanarak bulmaya çalışınız.
Türev tanımı kullanarak f′(x) in kuralını yazmaya çalışınız
{
−x+3,
f: R→R, f3(x)= x−3,
x< 3
x≥ 3
103
ise
ise veriliyor.
y
f′(x) in kuralını bulalım. Grafikte görüldüğü gibi
f(x)
f(x) fonksiyonu sürekli bir fonksiyondur.
x= 3 nokta kritik nokta olduğundan fonksiyonun
bu noktadaki türevlenebilirliğini inceleyelim.
0
lim
f′(3 ) = x→3
f(x)−f(3)
lim
= x→3
x−3
f′(3 ) = lim-
f(x)−f(3)
−x+3−0
= −1
= lim
x−3
x−3
x→3
+
+
-
x→3
+
x−3−0
x−3
3
x
=1
+
f′(3 ) ≠ f′(3 ) olduğundan f(x) fonksiyonunun x=3 noktasında türevi yoktur.
x<3 için türev fonksiyonunun kuralı,
f(x+h)−f(x)
lim −(x+h)+3−(−x+3) = lim −h = −1
lim
f′(x)= h→0
= h→0
h→0
h
h
h
x>3 için
f′(x)= lim
h→0
f(x+h)−f(x)
lim x+h−3−(x−3) = lim h = 1
= h→0
h→0
h
h
h
olur. Buradan f(x) in türev fonksiyon kuralı,
f′(x)=
{
−1,
x< 3
ise
1,
x> 3
ise
olarak yazılır.
Tanımlı olduğu alt aralıklarda türevlenebilen parçalı tanımlı bir fonksiyonun türevi bulunurken;
1. Kritik noktalardaki türevlenebilirliği incelenir.
2. Her bir kuralın tanımlanan aralıktaki türevi alınır.
9.
1) Aşağıda verilen R de tanımlı parçalı fonksiyonların türevlerini türev tanımından bulunuz.
{
{
a)
f(x)=
b)
g(x)=
2) h: R→R
3x,
x< −1 ise
−1+2x, x ≥ −1 ise
{
−x2,
x< 0 ise
x,
x ≥ 0 ise
2
x2−1,
h(x)= 4,
x ≠ 2 ise
x = 0 ise
türevlerini türev tanımından bulunuz.
104
fonksiyonun x= 2 ve x= 3 noktalarındaki
13.
f1: R→R, f1(x)= |x −1| ve g1: R→R g1 (x) = |2x| fonksiyonları veriliyor.
Her bir fonksiyonu parçalı tanımlı fonksiyon biçiminde yazınız. Kritik noktalarını
belirleyiniz.
Parçalı tanımlı fonksiyonun türev kuralına uygun biçimde f1(x) ve g1(x) in türev
fonksiyonlarının kuralını bulmaya çalışınız.
Yaptığınız çalışmalardan yararlanarak f: R→R, f(x)= |g(x)| in türev fonksiyonu
için bir genelleme yapmaya çalışınız.
f: R→R, f(x)= |x2 −4| fonksiyonunun türevini bulalım.
f(x) = |x2 −4| fonksiyonunu parçalı tanımlı biçimde yazalım.
f(x) =
{
x2−4, x <−2
−x2+4, −2 ≤ x < 2
x2−4, x ≥ 2
y
ise
ise
ise
f(x)
4
f(x) fonksiyonunun kritik noktaları 2 ve -2
-2
olduğundan bu noktalarda fonksiyonun
2
x
türevlenebilirliğini inceleyelim.
f′(2 ) = lim+
f(x)−f(2)
x2−4−0
= lim+
x−2
x−2
x→2
f′(2 ) = lim−
f(x)−f(2)
−x2+4−0
= lim− (−x−2) = −4
= lim−
x−2
x→2
x−2
x→2
+
x→2
−
x→2
= lim+ (x+2) = 4
x→2
f′(2 ) ≠ f′(2 ) olduğundan x=2 noktasında fonksiyonun türevi yoktur.
f(x)−f(−2)
−x2+4−0
+
= lim +
= lim + (2−x) = 4
f′(−2 ) = lim
+
x−(−2)
x+2
x→−2
x→−2
x→−2
+
−
−
f′(−2 ) = lim −
x→−2
f(x)−f(−2)
−x2+4−0
= lim − (x−2) = −4
= lim −
x→−2
x−(−2)
x+2
x→−2
+
−
f′(−2 )≠ f′(−2 ) olduğundan x=−2 noktasında fonksiyonun türevi yoktur. x < −2 ve x > 2
için fonksiyonun kuralı aynı olduğundan bu aralıklardaki türevi,
lim
f′(x)= h→0
2
2
f(x+h)−f(x)
lim (x+h) −4−(x −4)
= h→0
h
h
2
2
2
2
lim x +2xh+h −4−x +4) = lim 2xh+h = lim h(2x+h) = 2x olur.
= h→0
h→0
h→0
h
h
h
−2 < x< 2 için fonksiyonun türevi,
lim
f′(x)= h→0
2
2
f(x+h)−f(x)
lim −(x+h) +4−(−x +4)
= h→0
h
h
105
−x2−2xh−h2+4+x2−4
= lim
h→0
h
h(−2x−h) = −2x olur.
= lim
h→0
h
Buradan,
f′(x) =
{
2x,
−2x,
2x,
x <−2
−2 < x < 2
x>2
ise
ise olarak bulunur.
ise
A⊂ R ve g fonksiyonu A kümesinde türevli bir fonksiyon olmak üzere
f(x) = g(x) in türev fonksiyonu,
f′(x) =
{
g′(x)
g(x) > 0
ise
−g′(x)
g(x) < 0
ise
dir.
1) Aşağıda verilen R de tanımlı mutlak değer fonksiyonlarının türevini türev
10.
tanımından bulunuz.
a) f(x) = x −2
b) g(x) = 1 −x2
2) h: R→R h(x) = 2x+1 fonksiyonunun x=−2, x=− 1 ve x= 1 noktalarındaki
2
türevlerini türev tanımından bulunuz.
14.
g; x te, f; g(x) te türevlenebilir iki fonksiyon olsun. f(g(x)) bileşke fonksiyonunun türevi, türev tanımından
[f(g(x)]′ =
lim f(g(x+h))−f(g(x)) şeklinde yazılabilir.
h
h→0
f(g(x+h))−f(g(x))
ifadesini g(x+h)−g(x) ile genişleterek ve limit özelliklerinden
h
yararlanarak [f(g(x)] in türevini f(x) ve g(x) fonksiyonlarının türevleri ile ilişkilendiren matematiksel bir model oluşturunuz. Oluşturduğunuz model yardımıyla
f(x) = x5 , g(x) = x+2 fonksiyonları için [f(g(x)] in türevini bulmaya çalışınız.
g(x) ve f(g(x)) türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere
f(x) = x8 ve g(x) = 2x − 1 fonksiyonları veriliyor. f(g(x)) fonksiyonunun türevini
bulalım.
lim f(g(x+h))−f(g(x)) = lim f(2(x+h)−1)−f(2x−1) ifadesini
h→0
h
h
(2(x+h)−1) − (2x−1) ile genişletelim.
[f(g(x)]′ =
h→0
106
= lim
h→0
f(2(x+h)−1)−f(2x−1) (2(x+h)−1)−(2x−1)
.
h
(2(x+h)−1)−(2x−1)
= lim
f(2(x+h)−1)−f(2x−1)
(2(x+h)−1)−(2x−1)
. lim
(2(x+h)−1)−(2x−1) h→0
h
h→0
= lim
(2(x+h)−1)8−(2x−1)8
2x+2h−1−2x+1
h→0
= lim
(2x+2h−1)8−(2x−1)8
h→0
= lim
2h
(2x+2h−1)8−(2x−1)8
h→0
= lim
(2x+2h−1)8−(2x−1)8
= lim
2h
(2x−1)8+
h→0
= lim
2h
. lim 2h
h→0
h
. lim 2
.2
()
()
8
8
(2x−1)7. (2h)1+
(2x−1)6.(2h)2+...+ (2h)8− (2x−1)8
1
2
.2
2h
8
8
(2x−1)7+
(2x−1)6.(2h)1+...+ (2h)7
1
2
.2
2h
[( )
h→0
[f(g(x)]′ = 8.(2x−1)
. lim 2x+2h−1−2x+1
h→0
h
h→0
2h
h→0
(limit özelliklerinden)
7
()
]
.2 olur.
g; x te f; g(x) te türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere f(g(x)) bileşke fonksiyonun türevi,
[f(g(x)]′= f′(g(x)) . g′(x) dir.
Burada y= f(g(x)) fonksiyonunda g(x) = z dönüşümü yapılırsa y= f(z) olur.
Buradan türev eşitliği,
y′= f′(z). z′
dy dy dz
= .
dx dz dx
biçiminde yazılır. Bu eşitliğe “zincir kuralı ile türev alma” denir.
h(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
h(x) = 2.(1−x2)10 un türevini bulalım.
h(x), f(x) = 2.x10 ve g(x) = 1−x2 fonksiyonların f(g(x)) bileşkesi olduğundan
h′(x) = f′(g(x)). g′(x) olur.
f(x)= 2.x10 ⇒ f′(x)=20.x9 (a.xn kuvvet fonksiyonunun türev kuralı)
f′(g(x)) = 20.(1−x2)9
g(x+h))−g(x)
1−(x+h)2−1+x2
= −2x olduğundan
= lim
g′(x) = lim
h→0
h→0
h
h
h′(x)= 20.(1−x2)9.(−2x)= −40x(1−x2)9 olur.
107
11.
1) Aşağıda verilen R de tanımlı bileşke fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a) f(x) = (x3 −1)5
b) g(x) = (x+1)4
2) f ve g R de tanımlı türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere f(x)=x6 ve g(x)=2x−1
fonksiyonları için f(g(x)) bileşke fonksiyonunun x=1 noktasındaki türevini bulunuz.
15.
Analitik düzlemde y= f(x) fonksiyonu ile belirlenemeyen birçok önemli eğri vardır (örneğin, geometrik yer olan çember, elips gibi). Bu eğriler tek fonksiyon yerine
fonksiyon çiftleri ile ifade edilir. Bu fonksiyonlardan biri, eğri üzerindeki noktaların apsisini, diğeri ise ordinatını gösterir.
Bu tür fonksiyon çiftlerinden oluşan denklemlere “parametrik denklem” denir ve
genel olarak,
y= f(t)
x= g(t) biçiminde gösterilir. Bu denklemlerdeki t değişkenine “parametre” adı
verilir.
Örneğin, denklemi x2+y2=4 olan çemberin parametrik denklemi,
y= 2sinθ
x=2cosθ biçiminde yazılabilir.
Parametrik denklemlerin türevinin fonksiyon şartını sağladığı uygun aralıklarda
zincir kuralı ile alınabileceğini aşağıdaki işlemleri yaparak görünüz.
y= t2
x=2t3 parametrik denklemleri ile y=f(x) fonksiyonu verilsin. Verileri dikkate alarak dy için zincir kuralını yazınız. Oluşan bağıntıdan yararlanarak dy i bulunuz.
dx
dt
Yaptığınız çalışmalardan yararlanarak parametrik fonksiyonların türevi için bir
matematiksel model oluşturunuz.
Uygun aralıklardaki
y=−u5
x= 3u4 parametrik y=f(x) fonksiyonunun türevini u=12 için bulalım.
dy dy dx
dy
için zincir kuralı
= .
olur.
du dx du
du
Burada
dy
= −5u4 (kuvvet fonksiyonu türevinden)
du
dx
=12u3 (kuvvet fonksiyonu türevinden) olduğundan
du
4
dy
dy −5u
dy dy dx
= .
⇒ −5u4=
.12u3 ⇒
=
dx
dx 12u3
du dx du
⇒
5
dy
=−
.u
dx
12
5 .12
dy
= −5 bulunur.
=−
dx u=12
12
108
y= f(t)
x= g(t) parametrik fonksiyonunda y nin x e göre türevi,
dy dy dx
= .
(zincir kuralından)
dt dx dt
dy
f′(t)
dy dt
=
=
dx
dx g′(t)
dt
12.
( dx
= g′(t) ≠ 0)
dt
olur.
1) Uygun aralıklardaki y= 3u6 ve x=−2u2 parametrik y= f(x) fonksiyonu için,
dy
a)
i bulunuz.
dx
b) dy
i bulunuz.
dx x=2
2) dx =t2+1
dt
dy = t4−1 türev fonksiyonları veriliyor.
dt
dy
dx t=3
16.
değerini hesaplayınız.
Analitik geometri dersinden hatırlayacağınız gibi denklemi y = 3x−2 olan doğruyu 3x−y −2 = 0 şeklinde de yazabiliriz. Bu şekildeki yazıma “kapalı biçim” denir.
y = 3x−2 ifadesinin bir doğrusal fonksiyon olduğunu ve y=f(x)=3x−2 biçiminde
yazıldığını biliyorsunuz. Kapalı biçimde yazılan 3x−y−2=0 ifadesi de F(x,y)= 3x−y−2 = 0
biçiminde gösterilir ve bunun gibi y ye göre çözülemeyen ama y=f(x) fonksiyonu olduğu
bilinen iki değişkenli denklemle gösterilen fonksiyonlara “kapalı fonksiyonlar” denir.
Kapalı olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevi, fonksiyon y=f(x) biçimine dönüştürülerek alınabilir.
Örneğin, G(x,y)=3x2+y=0 fonksiyonunun türev fonksiyonunu y=f(x) biçiminde
yazarak bulunuz.
Benzer yolla F(x,y)=x2+y2−1=0 fonksiyonunun türevini bulup bulamayacağınızı
tartışınız. Burada y nin x e bağlı fonksiyon olduğu bilindiğinden y yerine f(x) yazıp türev
tanımından fonksiyonun türevini bulmaya çalışınız.
F(x,y)=2x2−3y2−6 = 0 kapalı fonksiyonu veriliyor. Uygun tanım aralığında;
a) F′(x,y) yi bulalım.
b) F′(3,2) değerini hesaplayalım.
a) Burada y, x e bağlı bir fonksiyon olduğundan y=f(x) için denklem,
2x2−3f2(x)−6 = 0 olur.
F(x,y) nin türevi, türev tanımından
lim
h→0
[2(x+h)2−3f2(x+h)−6] − [2x2−3f2(x)−6]
h
109
lim 0
= h→0
2x2+4xh+2h2− 3.f2(x+h)−6−2x2+3.f2(x)+6
⇒ lim
h
h→0
lim
⇒ h→0
4xh+2h2
⇒ lim
h(4x+2h)
h
h→0
h
⇒ 4x − 3. lim
−3.(f2(x+h)−f2(x))
lim
+ h→0
h
− 3. lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h→0
=0
(limit tanımından)
[f(x+h)−f(x)] . [fx+h)+f(x)]
h
. lim [f(x+h)+f(x)] = 0
h→0
h
=0
=0
(limit tanımından)
⇒ 4x − 3.f′(x) . 2.f(x) = 0
⇒ 4x − 6.f′(x) . f(x) = 0
f′(x) =
3
2
4x
6f(x)
=
2.x
3.y
(y=f(x) olduğundan)
Buradan,
F′(x,y)=
2.x
olur.
3.y
b) F′(3,2)=
2.3
= 1 olur.
3.2
Bir F(x,y) kapalı fonksiyonunun uygun tanım aralığındaki türevini bulmak için y
yerine f(x) yazılır. Türev tanımından yararlanarak y′=f′(x) ifadesi bulunur.
13.
1) Aşağıda verilen kapalı fonksiyonların uygun tanım aralığındaki türevlerini bulunuz.
a) F(x,y) = x + y2−1 = 0
b) G(x, y) = 3x2+ y−2 = 0
2) F(x,y) = x−y3−5 = 0 fonksiyonu için F′(4,−1) değerini hesaplayınız.
17.
Bir fonksiyonun birebir ve örten olması durumunda tersinin olduğunu ve nasıl
bulunacağını Fonksiyonlar konusunda incelemiştik.
Aşağıda, R→R ye tanımlı birebir ve örten f ve g fonksiyonlarının grafiği verilmiştir. İnceleyiniz.
110
y
f
y
y= x
0
x
g
y= x
x
0
f ve g fonksiyonlarından hangisinin her noktada türevlenebilir olduğunu belirleyiniz.
Bir fonksiyon ile ters fonksiyonun grafiklerinin y=x doğrusuna göre simetrik olduğunu hatırlayarak f−1 ve g−1 fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
f−1 ve g−1 fonksiyonlarının hangisinin her noktada türevlenebilir olduğunu belirleyiniz. Yaptığınız çalışmalardan yararlanarak;
Her noktada türevlenebilir ve tersi alınabilir bir fonksiyonun tersinin de türevlenebilir olup olmadığını,
Herhangi bir noktada türevli olmayan tersi alınabilir bir fonksiyonun tersinin de
her noktada türevli olup olmadığını tartışınız.
Türevlenebilir bir f fonksiyonunun ters fonksiyonunun türevini bulabilmek için
y=f(x) ⇒ f−1(y) = x olduğunu hatırlayarak aşağıdaki işlem basamaklarını gerçekleştiriniz.
f−1(y) = x ifadesinde y yerine f(x) yazınız.
Elde ettiğiniz eşitliğin her iki yanının türevini h→0 için türev tanımından yararlanarak yazınız.
Eşitliğin sol yanını f(x+h)−f(x) ile genişleterek türevini alınız.
Elde ettiğiniz eşitlikten yararlanarak ters fonksiyonun türevi için matematiksel
bir model oluşturunuz.
f: (−2,∞) → R,
f(x) = x2 + 4x fonksiyonu veriliyor. f−1 (x) fonksiyonunun türevini bulalım.
y=f(x) = x2 + 4x ⇒ f−1(x2 + 4x) = x ⇒ f−1(f(x)) =x olduğundan her iki tarafın türevini alalım.
−1
−1
lim f (f(x+h))− f (f(x)) = lim x+h− x
h→0
h→0
h
h
lim
h→0
[
]
1
f−1(f(x+h))− f−1 (f(x)) . f(x+h)− f(x)
h
lim
f(x+h)− f(x) = h→0 h (eşitliğin sol tarafını f(x+h)−f(x) ile
h
genişletelim.
−1
−1
lim f (f(x+h))− f (f(x)) . lim f(x+h)− f(x) =1
h→0
h→0
h
f(x+h)− f(x)
[f
−1
(limit kuralından)
2
2
(f(x)) ] . lim (x+h) +4(x+h)−(x +4x) = 1 (türev tanımı)
h→0
h
111
x2+2xh+h2+4x+4h− x2−4x
=1
h→0
h
lim h(2x+h+4) =1
[f−1(y)]′. h→0
h
[f
(y)]′. lim
[f
(y)]′ .(2x+4) = 1
[f
(y)]′ =
−1
−1
−1
1
2x+4
Türevlenebilir bir y=f(x) fonksiyonunda
[f
−1
(y)]′ =
1
bağıntısı vardır.
f′(x)
Buradan, (a,b), f(x) fonksiyonunun bir noktası ise,
[f
−1
(b)]′ =
14.
1
olur.
f′(a)
1) f: R→R f(x) = 3x−1 fonksiyonu için (f−1)′(2) değerini hesaplayınız.
2) g: [0, ∞) →[1, ∞), g(x)=x2+1, (g−1)′(10) değerini hesaplayınız.
18.
Önceki etkinliklerimizde türev tanımından yararlanarak f(x) = xm kuvvet fonksiyonunun türevinin f′(x) =m.xm−1 ve n∈N+olmak üzere h(x) = [f(x)]n bileşke fonksiyonunun
türevinin de h′(x) = n.[f(x)]n−1.f′(x) olduğunu görmüştük.
m
n
m, n ∈N ve x > 0 olmak üzere f(x) = x fonksiyonunun türevini bulabilmek için,
+
m
n
f(x) = x eşitliğinin her iki yanının kuvvetini, kuvvet alma işlemleri yardımıyla doğal sayıya dönüştürünüz.
Dönüştürdüğünüz ifadenin türevini yukarıdaki bilgilerden yararlanarak alınız.
Elde ettiğiniz eşitlikten f(x) in türevi için bir kural oluşturunuz.
2
3
f: R →R, f(x)= x fonksiyonunun türevini bulalım.
+
2
3
f(x)= x fonksiyonunun her iki yanının 3. kuvvetini alalım.
( (
[f(x)] = x
3
2 3
3
⇒ f(x)3= x2 olur.
Elde edilen (f(x)3=x2 ifadesinin her iki yanının x e göre türevini alarak f′(x) i bulalım.
(f(x)3=x2
3.(f(x)2.f′(x)=2x
f′(x)=
2x
⇒ f′(x) =
3.(f(x))2
2x
( (
3. x
2 2
3
2
3
1
⇒ f′(x) =
2 −3
.x
3
m
−1
m
n
m, n ∈N ve x > 0 için f(x) = x fonksiyonunun türevi f′(x) =
.x
dir.
n
+
112
15.
1) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
2
a) f: R→ R, f(x) = x3
3
b) g: R→ R, g(x) = √x5
2
2) f: R→ R, f(x) = (x2−1)3 fonksiyonunun x= 3 noktasındaki türevinin değerini
bileşke fonksiyon kuralından yararlanarak hesaplayınız.
19.
f(x)=sinx fonksiyonunun türevini, h→0 için türev tanımını kullanarak yazınız.
Elde ettiğiniz ifadeyi,
sina−sinb = 2.cos
a−b
a+b
. sin
2
2
dönüşüm formülünden faydalanarak düzenleyiniz.
Limit kurallarını kullanarak
sin h
2
f′(x) = lim cos 2x+h . lim
h
h→0
h→0
2
2
eşitliğine ulaşmaya çalışınız. Bu eşitlikten
f′(x) = cosx bulunur.
O hâlde,
(sinx)′=cosx
Benzer yolla cosx in türevini bulmaya çalışınız.
f(x)=tanx fonksiyonun h→0 için türev tanımını kullanarak yazınız. Elde ettiğiniz
ifadeyi tana−tanb =ta(a−b).(1+tana.tanb) dönüşüm formülünden faydalanarak düzenleyiniz.
Limit kurallarından faydalanarak f′(x)=1+tan2x eşitliğine ulaşmaya çalışınız.
Benzer yolla cotx in türevini bulmaya çalışınız.
f(x)=sin(2x) fonksiyonunun türevini bulalım.
Türev tanımından,
f′(x)= lim
h→0
sin(2(x+h))−sin2x lim sin(2x+2h)−sin2x
= h→0
h
h
2.cos 4x+2h .sin 2h
2
2
= lim
h→0
h
= lim
h→0
(Dönüşüm formülünden)
2cos(2x+h). sinh
h
= lim 2cos(2x+h) . lim
h→0
h→0
sinh
2
}
2
f′(x) =2.cos2x olur.
113
(Limit özelliklerinden)
1) a) f(x) = sinx, g(x)=cosx fonksiyonları her x∈R için türevlenebilirdir. Türevleri
f′(x) = cosx ve g′(x) = −sinx dir.
b) f(x) = tanx, g(x)= cotx fonksiyonları tanımlı oldukları yerde türevlenebilirdir
ve
f′(x)= 1 + tan2x ve g′(x) = − (1 + cot2x) dir.
2) h(x) türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bileşke fonksiyon tanımından
[sinh(x)]′= h′(x). cosh(x)
[cosh(x)]′= −h(x) . sinh(x)
[tanh(x)]′= h′(x). [1 +tan2h(x)]
[coth(x)]′= −h′(x).[1+cot2h(x)]
eşitlikleri yazılabilir.
1) Aşağıdaki fonksiyonların türevlenebilir olduğu aralıklar için türev tanımını
kullanarak türevlerini bulunuz.
a) f(x) = secx
b) g(x) = cosecx
c) h(x) = tan4x
π
2) f: R→R, f(x) = sinx fonksiyonunun x= noktasındaki türevini bulunuz.
3
16.
20.
Bilindiği gibi bir fonksiyonun tersinden söz edebilmek için, o fonksiyonun bire
bir ve örten olması gerekir. Oysa trigonometrik fonksiyonlar periyodik fonksiyonlardır. Bu, belli aralıklarda aynı değerleri aldıkları anlamına gelir. Örneğin,
sin(x+2π) = sinx
olur ve sinx fonksiyonu her 2π aralığında aynı değeri alır. Dolayısıyla doğal tanım kümesinde sinx fonksiyonunun tersinden söz edilemez. Ancak tanım kümesinin - π , π
2 2
nda sinx fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyondur ve tersinden söz edilebilir.
f(x) =arcsinx fonksiyonunun türevini almaya çalışalım. Bunun için f(x) = arcsinx
fonksiyonunu
sinf(x) = x biçiminde yazalım. Her iki tarafın türevini alalım.
lim
h→0
sinf(x+h))−sinf(x)
x+h−x
= lim
h→0
h
h
sina − sinb =2cos a+b . sin a−b dönüşümünü kullanalım.
h
h
2cos f(x+h)+f(x) .sin f(x+h)−f(x)
2
2
lim
= lim 1
h→0
h→0
h
Eşitliğin sol yanını f(x+h)+f(x) ile genişletelim.
2
2cos f(x+h)+f(x) .sin f(x+h)−f(x) . f(x+h)−f(x)
2
2
2
=1
lim
h→0
h . f(x+h)−f(x)
2
114
sin f(x+h)−f(x)
2
. lim cos f(x+h)−f(x) . lim cos f(x+h)−f(x) = 1
lim
h→0
h→0
2
2
h→0
f(x+h)−f(x)
2
}
1
⇒ 1.cosf(x).f′(x) = 1
⇒ f′(x) =
1
sonucuna ulaşırız. Trigonometrik fonksiyonların tanım kümesindeki
cosf(x)
değerlerinin açı cinsinden olduğunu hatırlayalım.
Bu durumda, daha önceki yıllarda kullandığınız trigonometrik bağıntılardan yararlanabiliriz. Seçilen bir ABC dik üçgeni için sinf(x) = x olduğundan
A
1
x
f(x)
B
√1−x2
C
1
cosf(x) = √1− x2 olduğunu görebiliriz. Bulunan sonucun f′(x) =
eşitliğinde yerine
cosf(x)
yazılması ile
1
olarak buluruz.
√1− x2
Benzer yaklaşımla sizler de arccosx, arctanx in türevlerini bulmaya çalışınız.
f′(x) = (arcsinx)′=
f(x) = arctan2x fonksiyonunun türevini bulalım.
f(x) = arctan2x ⇒ tanf(x) = 2x yazılabilir. Her iki yanın türevini alalım.
lim tanf(x+h)−tanf(x) = lim 2(x+h)−2x
h→0
h→0
h
h
tana−tanb = tan(a−b). [1+ tana.tanb] olduğundan yukarıdaki eşitlik,
2x+2h−2x
lim tan(f(x+h)−f(x)) . [1+tanf(x+h).tanf(x)] = lim
şeklinde yazılır.
h→0
h→0
h
h
Bu eşitliğin sol yanını f(x+h) −f(x) ile genişleterek limit özelliklerini de kullanarak
lim tan(f(x+h)−f(x)) . lim (f(x+h)−f(x)) . lim [1+tanf(x+h).tanf(x)] = 2
h→0
h→0
h
f(x+h)−f(x)
{
h→0
1
f′(x) . [1+tan2f(x)] = 2 ⇒ f′(x) =
f′(x) =
2
1+4x2
(tanf(x) = 2x)
115
2
1+tan2f(x)
1) f(x) = arcsinx, g(x) = arccosx, t(x) = arctanx, k(x) = arccotx fonksiyonları
tanımlı oldukları aralıklarda türevlenebilirdir ve
f′(x) =
1
1
1
1
, g′(x) = −
, t′(x) =
, k′(x) =−
dir.
2
2
2
1+
x
1+
x2
√1− x
√1− x
2) h(x) türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bileşke fonksiyon tanımından
(arcsinh(x))′=
h′(x)
, (arccosh(x))′= − h′(x)
2
√1−h (x)
√1− h2(x)
(arctanh(x))′=
h′(x)
h′(x)
, (arccoth(x))′=−
dir.
1+ h2(x)
1+ h2(x)
1) Uygun aralıklarda tanımlanan ve türevlenebilen aşağıdaki fonksiyonların
türevlerini bulunuz.
a) f(x)= arccot(3x)
b) g(x) = arcsin2x
c) hx) = arccos(sinx)
17.
2) f: -
π ,π
→ [−1, 1], f(x) = cosx ise (f−1)′(0) değerini hesaplayınız.
2 2
+
21.
Aşağıda f: R →R, f(x) = logax fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
f(x) = logax
0
x
1
Özenle incelenirse grafik üzerinde seçilen her noktadan eğriye yalnız bir teğet
çizilebileceği ve bu teğetlerin eğimlerinin bir gerçek sayıya eşit olacağı gözlenebilir. Bu
düşünceden hareketle logaritma fonksiyonların türevlenebilir olduğunu söyleyebiliriz.
Türev tanımından hareketle f(x) = logax fonksiyonunun türevini çıkaralım.
d
(logax)= lim loga(x+h)−logax
dx
h→0
h
loga x+h
x
1
= lim
= lim .loga 1+ h
h
h→0
x
h→0 h
( (
( (
x
lim 1+ 1 = e
x→∞
x
( (
( (
1
x x
h
= lim loga 1+ h
x
h→0
= loga lim 1+ 1
x
h→0
h
e
( (
1+ 1
x
h
= loga lim
h→0
= loga(e)
{
Hatırlayın:
1
h
116
1
x
1
x x
h
Buradan da
d
1
(logax) = . logae olarak bulunur.
x
dx
Sonucu elde etmek için logaritma ve limit işlemlerinin özelliklerinin kullanıldığını
görmüş olmalısınız.
Bulunan kural yardımıyla
+
f: R → R, f(x) = lnx fonksiyonunun türevini bulmaya çalışınız.
+
f: R → R, f(x) = ln(3x) in türevini bulalım.
1
h
( (
= lim ln 1+ h
h→0
x
( (
1
= lim ln 1+ x
h→0
h
h
1
x x
h
ln x+h
x
= lim
= lim 1 .ln 1+ h
h→0
h→0 h
x
h
( (
= ln lim
h→0
( (
1+ 1
x
h
e
1
x x
h
{
f′(x) = lim ln3(x+h)−ln3x = lim
h→0
h→0
h
ln 3(x+h)
3x
1
x
= lne = 1 . lne = 1 olur.
x
x
+
+
+
1) a∈R −{1}, f: R →R ve g: R →R olmak üzere
f(x) = logax fonksiyonunun türevi f′(x)= 1 .logae ve
x
g(x) = lnx fonksiyonunun türevi f′(x)= 1 dir.
x
2) h(x) türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bileşke fonksiyonun türev tanımından
h′(x)
h′(x)
. logae ve [lnh(x)]′=
dir.
[logah(x)]′=
h(x)
h(x)
18.
22.
1) Uygun aralıklarda tanımlı ve türevlenebilir olan aşağıdaki fonksiyonların türevini türev tanımı kullanarak bulunuz.
a) f(x) = log2x
b) g(x) = ln(1−3x)
+
2) f: R →R, f(x) = log4x fonksiyonu için f′(4). ln4 değerini hesaplayınız.
+
3) f: R →R, f(x) = ln3x fonksiyonu için f′(3) değerini hesaplayınız.
Önceki etkinliklerinizden türevlenebilir bir fonksiyonun, varsa tersinin de türevlenebilir olduğunu biliyorsunuz. Bu durumda logaritma fonksiyonunun tersi olan üstel
fonksiyon da türevlenebilir bir fonksiyondur, diyebiliriz.
Buna göre, f(x) = ax üstel fonksiyonunun türevini bulmak için önce her iki
tarafının doğal logaritması alınarak
lnf(x) = lnax bulunur. Logaritmanın özellikleri kullanılarak eşitlik,
lnf(x) = x.lna
şekline dönüştürülür. Bu kez türev alma basamakları uygulanarak
117
f′(x)
= lna
f(x)
f′(x) = f(x). lna
f′(x) = ax.lna
bağıntısına ulaşılır.
Benzer yöntemle, sizler de f(x) = ex fonksiyonunun türevini bulmaya çalışınız.
f(x) = e3x fonksiyonunun türevini bulalım.
Eşitliğin her iki yanının doğal logaritmasını alalım.
lnf(x) = lne3x ⇒ lnf(x) = 3x.lne
(logaritma özelliğinden)
lnf(x) = 3. lne.x
Elde edilen eşitlikte her iki yanın türevini alalım.
f′(x)
= 3.lne
f(x)
⇒ f′(x) = 3. lne. f(x)
f′(x) = 3.e3x bulunur.
+
+
+
1) a∈R −{1}, f: R→R ve g: R→R olmak üzere
f(x) = ax fonksiyonunun türevi f′(x) = ax. lna ve
g(x) = ex fonksiyonunun türevi g′(x) = ex dir.
2) h(x) türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bileşke fonksiyon tanımından
[ ah(x)]′ = h′(x) . ah(x).lna
ve [ eh(x)]′ = h′(x) . eh(x) dir.
Üstel fonksiyonlardan farklı olarak
y=(x+1)2x+3, y=(x2+x)x, y= xsinx, y=(sinx)cosx
fonksiyonlarının türevlerinin nasıl alınabileceğini önceki bilgilerinizden yararlanarak
tartışınız. Tanımlanan fonksiyonlarda yer alan tabanda ve üstte bulunan fonksiyonların
ikisinin de türevlenebilir birer fonksiyon olduklarını unutmayınız.
Bu tür fonksiyonların türevlerinin üstel fonksiyonların türevleri alınırken
kullanılan yönteme benzer bir yöntemle alınabileceğini düşünmüş olabilirsiniz. Bu
düşünceden hareketle f(x) > 0 olacak şekilde y= f(x)g(x) fonksiyonunun türevini bulalım.
Her iki tarafın doğal logaritması alınarak işe başlanabilir. İlk adımda,
lny= lnf(x)g(x) elde edilir. Logaritmanın özelliklerinden,
lny= g(x). lnf(x) şekline dönüştürülür.
118
Türev tanımı kullanarak eşitliğin her iki yanının türevini alalım.
y′
lim g(x+h).lnf(x+h)−g(x).lnf(x)
y = h→0
h
[g(x+h)−g(x)+g(x)].lnf(x+h)−g(x).lnf(x)
y′
lim
(g(x+h) ifadesine g(x) ekleyip çıkaralım.)
y = h→0
h
y′
lim [g(x+h)−g(x)]. lnf(x+h) + lim
y = h→0
h→0
h
(
(
g(x)(lnf(x+h)−f(x)
h
= g′(x).lnf(x) + g(x). (lnf(x))′
y′
= g′(x).lnf(x) + g(x). f′(x)
f(x)g(x)
f(x)g(x)
y′ = f(x)g(x). g′(x).lnf(x) + g(x). f′(x) olur.
f(x)
19.
1) Aşağıdaki fonksiyonların türevini türev tanımından yararlanarak bulunuz.
a) f(x) =
((
1
3
x
b) ex
2) f(x) = 3x fonksiyonu için f′(0) değerini hesaplayınız.
3) x > 0 olmak üzere,
f(x) = xx fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevini türev tanımından yararlanarak bulunuz.
23.
Aşağıdaki tabloda yapılan işlemleri inceleyiniz.
1. Tablo
f(x)= x2
g(x)= 5x
f′(x)= 2x
g′(x)= 5
2
(f+g)(x)= x +5x
(f+g)′(x)= lim (f+g) (h+x)−(f+g)(x)
h→0
h
2
2
(h+x)
+5.(h+x)−(x
+5x)
lim
= h→0
h
h.(h+2x+5)
lim
= h→0
= 2x+5
h
(f+g)′(x)= 2x+5
İncelemeleriniz sonucunda, verilen fonksiyonların türevleri ile bu fonksiyonların
toplamının türevi arasında bir ilişki kurmaya çalışınız.
Benzer işlemleri aşağıdaki tabloda verilen fonksiyonlar için de yapınız.
119
2. Tablo
f(x)
g(x)
3x
2
4x
2
3x
5x
2
x2
fı(x)
gı(x)
(f+g)ı(x)
1. tabloda verilen fonksiyonların türevleri ile bu fonksiyonların türevi arasında
var olan ilişki, 2. tablodaki fonksiyonlar için de geçerli midir?
Yapılan çalışmaları genellemek istersek
A⊂R için A→R tanımlanan f ve g fonksiyonlarının türevi,
(f+g) (h+x)−(f+g)(x)
(f+g)′(x)= lim
h→0
h
= lim f(h+x)+g(h+x)−(f(x)+g(x))
h→0
h
lim f(h+x)−f(x)+g(h+x)−g(x)
= h→0
h
= lim f(h+x)−f(x)+ lim g(h+x)−g(x)
h→0
h→0
h
h
(f+g)′(x)= f′(x)+g′(x) olur.
f(x)=x3+x2 fonksiyonunun türevi
f′(x)=(x3+x2)′=(x3)′+(x2)′=3x2+2x tir.
Yapılan çalışmalardan iki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevleri toplamına eşittir, sonucuna ulaşılır.
df dg
Bu durumu d(f+g) = + biçiminde gösterebiliriz.
dx dx
dx
20.
1) Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz.
a) (f−g)′= f′−g′
b) (f1+f2+.....+fn)′= f′1+f′2+.....+f′n
2) Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
a) V(t)=3t2+t−3, dV = ?
dt
b) U(x)= −x2−x, dU = ?
dt
c) S(t)=y4−y2, dS
dt
ç) H(t)=gt2, dH=?
dt
120
3) Aşağıda verilen uygun tanım aralığında fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a) f(x)= 3x2−8x
d) f(x)= 3x5−2x4+3x3−8
b) f(x)= 4x3+5
1
1
1
ç) f(x)= x7− x3+ x2
7
3
2
e) f(x)= (2x+1)2
f) f(x)= sinx+cosx
g) f(x)= arctanx+1
c) f(x)= x2−7x+1
h) f(x)=arccot(√1−x )
ı) f(x)=arccosx+x+1
i) f(x)=4.arcsin(2x+1)
j) f(x) = log2(x2–3x+7)
2
k) h(x)= ln(cosx)
4) f:R→R, f(x)= x3+2x2+x−3 fonksiyonunda
df
dx
değerini hesaplayınız.
x=2
5) f:R→R, f(x)= 4x2−mx+3 fonksiyonu veriliyor. Fonksiyonun x= 2 noktasındaki
teğetinin eğimi 4 ise m kaçtır?
6) f:R→R, f(x)= −4x2+4x−3 fonksiyonun hangi noktasındaki teğeti x eksenine
paraleldir?
7) Aşağıda verilen fonksiyonların belirtilen noktalardaki türevlerinin varlığını
araştırınız, varsa değerini bulunuz.
{
{
3x2−4x x> 2
a) f(x)= 4
x≤ 2
ise
ise
x= 2 ve x= 0
4x2
x< −1 ise
b) f(x)= −8x−4 x≥ −1 ise
x= −1 ve x= 3
c) f(x)= 9−x2
x= 1 ve x= 3
ç) f:R→R, f(x) = x2 + 3. x −2
x= –2, x= 0 ve x= 3
{
3x2
8) f:R→R, f(x)= ax+b
x≤1
x>1
ise
ise
fonksiyonunun x=1 noktasında türevlenebilir olması için a ve b değerleri kaç olmalıdır?
9) f:R→R, f(x)= x2–3x+1 ve g:R→R, g(x)= x3–4x fonksiyonları veriliyor. Oluşturulan aşağıdaki bileşke fonksiyonlarının türevlerini bulunuz.
a) (gof)′(x)
b) (fog)′(x)
10) y= u2–5u+1
u= 5–3t2 biçiminde verilen y= f(t) fonksiyonu için
121
dy
dt
değerini hesaplayınız.
t=2
11) y= u3–5
u= 3t
t= x2+1 biçiminde verilen y= f(x) fonksiyonu için
dy
değerini hesaplayınız.
dx
12) f:A→R tanımlı türevlenebilir bir y=f(x) fonksiyonu f(2x–3)=x2+5x ise f′(1)
değerini hesaplayınız.
13) y=f(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
bulunuz.
d
[x+y2] ifadesinin eşitini
dx
14) Aşağıda verilen parametrik fonksiyonların belirtilen değerler için türevlerini
bulunuz.
a) y= 3u3–2u2+5
x= u2+1
ise
dy
dx
u=−1
dy
dx
m=0
=?
b) y= (2m–1)3
x= (3+m)2
ise
=?
15) Aşağıda verilen kapalı fonksiyonların her biri için
a) x2+y2= 100
b)
dy i bulunuz.
dx
1 1
+ =1
y x
16) Aşağıda verilen kapalı fonksiyonların eğrileri üzerinde seçilen noktalardaki
teğetlerin eğimlerini bulunuz.
2
2
a) x 3 −y 3 = y+1,
b) x2+
y2
= 1,
16
(1, −1)
(
1 ,2√3
2
)
17) f:R→R, f(x)= x fonksiyonu için d (f−1(x))
dx
değerini hesaplayınız.
x=2012
18) f:[0,5]→[0,5], y=f(x) ve x2+y2= 25 olarak veriliyor. (f−1)′(3) değerini hesaplayınız.
19) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
3
a) f(x)= √2x+1
b) f(x) = 2.(x2−1)2
−1
c ) g(x) = (2x2+x+1)−3
ç) h(x) = (√2x+1−x2)
20) Aşağıda verilen fonksiyonların istenen noktalardaki türev fonksiyonunun
değerini bulunuz.
dy
a) y=x100+99.x−1 ,
dx x=−1
122
dy
dx
−1
b) y= (√2x+1−x2) ,
24.
x=0
f ve g türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere u(x)= f(x).g(x) çarpım fonksiyonunun türevi ile ilgili kuralı bulmak için aşağıda yapılanları inceleyiniz.
∆g
g
g
f
f
Kenar uzunlukları f ve g olan
dikdörtgenin alanı u olsun.
∆f
Bu uzunlukların sırasıyla ∆f ve ∆g kadar
büyütülmesi sonucu elde edilen yeni dikdörtgenin alanı u+∆u olsun.
u alanını veren bağıntıyı yazınız.
u+∆u alanını veren bağıntıyı yazınız.
Yaptığınız işlemlerden ∆u yu veren bağıntıyı yazınız. ∆x≠0 olmak üzere elde
ettiğiniz eşitliğin her iki yanını ∆x ile bölünüz ve limit alınız.
Bu işlemleri yaptığınızda
}
}
}
}
lim ∆u = lim f(x).∆g + lim g(x).∆f + lim ∆f.∆g
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x ∆x→0
∆x ∆x→0 ∆x
(1)
(2)
(3)
(4)
eşitliğine ulaşmış olmalısınız. Buradan limitler ayrı ayrı alınırsa
(1) lim ∆u = u′(x)= (f.g)′
∆x→0 ∆x
∆g = lim
∆g = f(x).g′(x)
f(x). lim
(2) lim f(x).
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x ∆x→0
∆f = lim
∆f = g(x).f′(x)
g(x).
g(x). lim
(3) lim
∆x→0 ∆x
∆x→0
∆x ∆x→0
∆g lim ∆f lim ∆g
= 0.g′(x)= 0
.
(4) lim ∆f. = ∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x
oldukları görülebilir.
Elde edilen limitler birlikte kullanıldığında, f ve g fonksiyonlarının çarpımı olan
fonksiyonun türevi,
(f.g)′(x)= f′(x).g(x)+g′(x).f(x)
olarak bulunur.
123
Böylece, çarpımının türevi için bir kural oluşturulmuş olur. Fonksiyonlar genel
olarak seçildiği için elde edilen kural da genel olur.
f(x)= (x2−1).(x3+2x) fonksiyonunun türevini alalım.
Çarpımın türevi kuralından,
f(x)= (x2−1)′.(x3+2x)+(x2−1).(x3+2x)′
= 2x.(x3+2x)+(x2−1).(3x2+2)
= 2x4+4x2+3x4+2x2−3x2−2
= 5x4+3x2−2
olur.
21.
1) Aşağıdaki fonksiyonların uygun tanım aralığında türevlerini bulunuz.
a) f1(x)= (2x+1).(3x−2)
b) f2(x)= (x2+3x+1).(5x−3)
c) f3(x)= (x3+x2−1).(x2 −2x+3)
ç) f4(x)= (3x2−7+1).(2x2 −3x+3)
d) y= sinx.tanx
e) f(x)=x.arctan2x
2
sinx
f) y= (3)x
ğ) h(x)= e
ı) s(x)= 5
g) g(x)= 10
4x
cosx
h) k(x)= e
lnx
i) r(x)= 2
log(tanx)
2) Türevlenebilir f ve g fonksiyonları için,
(f+g)′=f′+g′ olmasına rağmen (f.g)′= f′.g′ eşitliği doğru değildir. Bunun sebebini gerekçeleriyle tartışınız.
3) f, g ve h türevlenebilir iki fonksiyon olsun. (f.g)′= f′.g+f.g′ eşitliğinden yararlanarak f.g.h fonksiyonunun türevini bulunuz.
4) y=f(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
lunuz.
d
[x.y3] ifadesinin eşitini budx
a) x2.y+3xy3–x= 3
dy i bulunuz.
dx
b) x2+3y2= x
c) x3y2–5x2y+x= 1
ç) x.y 3 + y.x 3 = x2
5) Aşağıda verilen kapalı fonksiyonların her biri için
2
2
6) Aşağıda verilen kapalı fonksiyonların eğrileri üzerinde seçilen noktalardaki teğetlerin
eğimlerini bulunuz.
a) x2.y–5xy2+6= 0,
(0,3)
b) x y+x y=10,
(1,2)
3
3
124
7) f(x) = x2.√x3−1 fonksiyonu için df(x)
dx
değerini hesaplayınız.
x=2
8) Aşağıda verilen fonksiyonların uygun tanım aralığında türevlerini bulunuz.
x
cosx
a) y= x
b) y= x
sinx
ç) y= (cosx)
25.
d) y= (cosx)
c) y= x
lnx
x ex
x
e) y= (e )
g(x)≠ 0 olmak üzere, türevlenebilir f ve g fonksiyonları verilmektedir. Tanımlaf
nan
fonksiyonunun türevini araştıralım.
g
f(x)
in türevinin h→0 limit gösterimi
g(x)
f(x+h) − f(x)
g(x) şeklindedir.
g(x+h)
lim
h→0
h
Bu ifadeyi düzenleyerek limiti alınan kesrin payına f(x).g(x) çarpımını ekleyip
çıkartınız.
Gerekli düzenlemeleri yaparak
lim g(x).lim
h→0
h→0
g(x+h)−g(x)
f(x+h)−f(x)
− lim f(x). lim
h→0
h→0
h
h
lim g(x).lim g(x+h)
h→0
h→0
sonucuna ulaşmaya çalışınız.
Ulaştığınız bu sonucu yorumlayınız. Buradan iki fonksiyonun bölümünün türevi
için bir genellemeye ulaşmaya çalışınız.
f ve g fonkiyonları sürekli iki fonksiyon olmak üzere,
d f(x) = g(x).f′(x)−f(x).g′(x) dır.
[g(x)]2
dx g(x)
[ ]
Ulaşılan sonuç iki fonksiyonun oranının türevi için bir kural ortaya koymaktadır.
f(x)=
x+1
fonksiyonunun türevini alalım.
x2−3
Bölümün türev kuralından
f′(x)=
(x+1)′.(x2−3)−(x+1).(x2−3)′ 1.(x2−3)−(x+1).2x
=
(x2−3)2
x4−6x2+9
2
2
−2x = −x2−2x−3
= x −3−2x
4
2
x4−6x2+9
x −6x +9
125
bulunur.
22.
1) Aşağıdaki fonksiyonların uygun tanım aralığında türevlerini bulunuz.
a) f(x)=
3x−1
x+1
3x2−7x−8
ç) f(x)= 2
4x +5x+1
f) f(x)=
sin3x
cosx
b) f(x)=
2x+1
x −8x+1
c) f(x)=
x3+x2+2
x2+4x−1
d) f(x)=
1
x
e) f(x)=
2
3x+1
2
()
g) f(x)=arccot 2
x
2) f(x)≠0 ve f türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
[ ]
d 1 = − f′(x) olduğunu gösteriniz.
dx f(x)
[f(x)]2
3) f(3)= −2 ve f′(3)=4 ise aşağıdaki g(x) fonksiyonları için g′(3) değerini bulunuz.
a) g(x)= 3x2−5.f(x)
4)
b) g(x)=
2x+1
f(x)
d −1
(x +x) ifadesinin eşitini bulunuz.
dx
5) y=f(x) türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
nuz.
[ ]
d x2
ifadesinin eşitini buludx y3
dy i bulunuz.
6) Aşağıda verilen kapalı fonksiyonların her biri için
dx
1 1
a) + = 1
y x
b) x2= x+y
x−y
7) h: R−{−1}→R − {3}, h(x)=
yınız.
3x−2
fonksiyonu için (h−1)′(4) değerini hesaplax+1
8) y= f(x) ve x= g(t) fonksiyon olmak üzere y= √x + 1 fonksiyonunda t= 1 iken
√x
x= 9 ve dx = −1 verildiğine göre dy
dt t=1
dt
26.
değerini bulunuz.
t=1
Doğrusal bir yolda hareket eden bir aracın t saniyede aldığı yol,
t3
fonksiyonuyla verilmektedir.
s:[0,∞)→R, s(t)=
3
Varsayılan fonksiyonun yol-zaman grafiği aşağıdaki gibidir.
126
s (t)
s(t)=
(m)
t3
3
t (sn.)
0
Bu şartlar altında s(t)=
bulunuz.
t3
fonksiyonunun herhangi bir t noktasındaki türevini
3
Bulduğunuz bu bağıntıya aracın “anlık hızı” denir ve V(t)= s′(t) biçiminde gösterilir.
Bir hareketlinin birim zamandaki hız değişimine “ortalama ivme” denir ve
∆V = V(t2)−V(t1) bağıntısı ile hesaplanır.
t2−t1
∆t
Tanımlardan yararlanarak yukarıda sözü edilen hareketlinin 3. saniyedeki anlık
hız değişimini bulmak için sağdan ve soldan 3. saniye komşuluğunda ortalama ivmesini
bulmamız gerekir.
2. saniyeden 3. saniyeye yaklaşırken ortalama ivmesinin ilk değeri,
∆V = V(3)−V(2) = 9−4 = 5 m/sn2. olur.
3−2
∆t
3−2
Benzer işlemleri yaparak aşağıdaki tabloları doldurunuz.
[t1, t2]
∆V
∆t
[t1, t2]
[2, 3]
5
[3, 4]
[2,5, 3]
∆V
∆t
[3, 3,5]
[2,7, 3]
[3, 3,3]
[2,9, 3]
[3, 3,1]
[2,99, 3]
[3, 3,01]
Bulduğunuz değerlerden yararlanarak hareketlinin 3. saniyedeki ivmesini tahmin etmeye çalışınız.
Bir cismin seçilen bir d doğrusu boyunca hareket ettiğini düşünelim. I cismin
127
belli bir t anında aldığı yol olsun. Bunu,
I= f(t)
olarak belirtelim. Alınan yol başlangıç noktasından gelinen A noktasına kadardır. Hiç
kuşku yok ki cismin A noktasındaki hızı V= V(t) olacaktır.
0
A
I=f(t)
Cisim hareket ederken seçilen iki zaman t1 ve t2 ise (t2>t1) bu zaman aralığındaki ortalama hızı,
Vort=
f(t2)−f(t1)
t2−t1
oranı ile verilebilir. Burada f(t2)–f(t1), cismin aldığı yol farkı, t2–t1 de zaman farkıdır. Tanımlanan fonksiyona göre ∆t= t2–t1, ∆l= f(t2)–f(t1) olur. t2→t1 iken ∆t→0 olacağı açıktır.
Bu durumda ortalama hız, yerini anlık hıza bırakır. Burada,
lim ∆Ι = l′(t )
V(t1)= ∆t→0
1
∆t
olarak belirtmek mümkün olur.
Hareketlinin 3. saniyedeki ivmesi, h∈R olmak üzere h→0 için [3,3+h] aralığında ortalama ivme yardımıyla
lim
h→0
V(3+h)−V(3)
= lim V(3+h)−V(3)
h→0
(3+h)−3
h
şeklinde hesaplanır.
Bu limitin zamana bağlı hız fonksiyonu olan V(t) nin 3. saniyedeki türevi olduğunu söyleyebiliriz.
Öyleyse aracın 3. saniyedeki ivmesi,
dV
dt
= 2t
t=3
= 6 olur. Bulunan bu değerle tabloyu kullanarak tahmin ettiğiniz
t=3
değeri karşılaştırınız.
Hareket denklemi s(t)= 3t3–8t2+10 olan cismin t= 3 nci saniyedeki anlık ivmesi2
ni bulalım.
V(t)= s′(t)= 9t2−16t olduğundan
128
a(t)= V′(t)= 18t−16= 18. 3 −16= 27−16= 11 m/sn2 olarak bulunur.
2
Genel olarak bir hareketlinin zamana bağlı hız fonksiyonu V(t) olmak üzere, t.
saniyedeki ivmesine “anlık ivme” denir ve V′(t) yardımıyla hesaplanabilir.
23.
1) Bir hareketlinin t saniyede aldığı yol, s(t)= t3+4t2 fonksiyonu ile veriliyor.
a) Hareketlinin 5. saniye sonunda aldığı yolu bulunuz.
b) Hareketlinin 5. saniyedeki hızını bulunuz.
c) Hareketlinin 5. saniyedeki ani ivmesini bulunuz.
2) a∈R olmak üzere bir hareketlinin t saniyede aldığı yol, s(t)= a.t2 fonksiyonu
ile veriliyor. Hareketlinin 3 saniye sonraki hızının 24 m/sn. olduğu bilindiğine göre, 5.
saniyedeki ani ivmesi ne olur?
3)
s(t)
s(t)= 2t2
(m)
t (sn.)
0
Yukarıda bir aracın yol-zaman grafiği verilmiştir. Bu aracın ivme-zaman ve
hız-zaman grafiklerini çiziniz.
4)
V(Hız)
V(t)
d2
B
V(t2)
V(t1)
0
d1
A
t1
t2
t(zaman)
Şekilde bir aracın hız-zaman grafiği verilmiştir. d1 doğrusu V(t) eğrisini A ve B
noktalarında keserken d2 doğrusu, A noktasında eğriye teğettir.
Bu aracın [t1, t2] zaman aralığındaki ortalama ivmesini ve t1. saniyedeki ani iv-
129
mesini d1 ve d2 doğrularının eğimlerini kullanarak belirlemeye çalışınız.
5) Küre şeklindeki bir balon şişirilirken yüzey alanı 4 cm2/sn. lik hızla artıyor.
(S= Yüzey Alanı, r= yarıçap, S= 4πr2⇒ r=
Buna göre;
a) dr
dS
√ 4πS )
değerini bulunuz.
s=40
b) Yüzey alanı 40 cm2 ye ulaştığı andaki
yarıçapının artış hızını belirleyiniz.
c) Elde ettiğiniz sonuçları birlikte yorumlayınız.
27.
y
f(x)=x
2
Yandaki şekille ilgili aşağıdaki bilgi-
y=2x−1
ler veriliyor.
A(1,1) noktası y= 2x–1 denklemini sağlar.
A(1,1) noktası f(x)= x2 fonksiyonu üzerinde-
A(1,1)
dir.
x
0
f(x) fonksiyonunun x= 1 noktasındaki türevinin değeri y= 2x–1 doğrusunun eğimine
eşittir.
Verilen bilgileri grafikle ilişkilendirerek yorumlayınız.
Grafikte, d doğrusunun denklemi verilmeseydi bu denklemi bulabilir miydiniz?
Üniteye başlarken matematiğin en önemli problemlerinden birinin teğet problemi olduğunu belirtmiştik. Şimdiye kadar bir eğrinin, herhangi bir noktasındaki teğetinin
eğimini bulmayı öğrendiniz. Yine analitik geometri dersinizden eğimi ve bir noktası belli
olan bir doğrunun denkleminin y–y0= m.(x–x0) olduğunu biliyorsunuz. Bu bilgileri birleştirerek f(x)= x2 fonksiyonunun x= 3 noktasından çizilen teğetinin denklemini bulunuz.
y
28.
f(x)
B
D
A
d1
C
d2
0
x
Şekildeki grafikte f(x) fonksiyonunun A noktasından geçen d1 teğeti ile bu teğete aynı noktada dik olan d2 doğrusu çizilmiştir.
Sizler de B, C, D noktalarından geçen teğetler ile aynı noktalarda teğetlere dik
130
olan doğrular çiziniz.
Eğri üzerindeki bir noktadan çizilen teğete, o noktada dik olan doğruya “normal
doğrusu” adı verilir.
Analitik geometri dersinden birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımının –1
e eşit olduğunu hatırlayarak yukarıdaki grafikte çizdiğiniz normal doğruların denklemlerinin nasıl yazılabileceğini tartışınız.
f(x)= 2x2–3 eğrisine x= 1 noktasından çizilen teğet ve normalin denklemini yazalım.
Bir doğru denklemini yazabilmemiz için doğrunun eğimini ve geçtiği bir noktayı
bilmemiz gerekir.
f(1) = 2.(1)2–3= –1 olduğundan teğetin değme noktası (1,–1) olur.
f′(x) = 4x,
f′(1) = 4,
olduğundan teğetin eğimi 4 olarak bulunur.
Eğimi ve bir noktası belli doğru denkleminin
y–y0= mt.(x–x0)
olduğunu biliyorsunuz.
Buradan teğet denklemi,
y–(–1)= 4.(x–1)
y=4x–5 olarak bulunur. Normalin denklemi ise
1
y–(–1)= – .(x−1)
4
x+4y+3= 0 olur.
Fonksiyonun bir noktadaki türevi o noktadan çizilen teğetin eğimini verdiğine
göre, bir noktası ve eğimi bilinen doğru denkleminden teğetin ve normalin denklemi
yazılabilir.
24.
1) Aşağıda verilen fonksiyonların belirtilen noktalardaki teğet ve normal denklemlerini bulunuz.
a) f1(x)= x2–3x+5,
x=2
b) f2(x)= x3–2x+1,
x= –1
x−2
c) f3(x)=
,
x=1
x
a
2) y= 2 +b eğrisine A(2,4) noktasından çizilen teğetin eğimi –2 ise a ve b dex
ğerlerini bulunuz.
131
3) f(x)= 2x2+5x fonksiyonunun hangi noktasındaki teğetinin eğimi −3 tür?
4) f(x)= x2+8x+2 fonksiyonunun y= 2x+3 doğrusuna paralel olan teğetinin denklemini yazınız.
5)
y
5
A
y=f(x)
0
x
5
2
t
Şekilde t doğrusu f(x) fonksiyonuna A noktasında teğettir.
f(2) ve f′(2) değerlerini bulunuz.
6) y=2x doğrusunun y= x2+k eğrisine teğet olması için k değeri kaç olmalıdır?
7) Bir f(x) fonksiyonunun bir A noktasındaki teğetinin denklemi 2x+y–15= 0,
x
normalinin denklemi y= +5 olarak bilindiğine göre A noktasının koordinatları ne olur?
2
8) y= ax2+bx+c parabolünün tepe noktasının koordinatlarını türev yardımıyla
bulunuz.
9) k nin hangi değeri için x+y= k doğrusu y= x2 eğrisinin normali olur?
Benzer yöntemle yukarıda verilen diğer fonksiyonların türevlerini sizler bulabilirsiniz.
10) y= t–1, x= 3t2–8 parametrik denklemiyle verilen eğrinin t= 2 noktasındaki
teğet ve normalinin denklemini yazınız.
11) x2+y2–25= 0 ifadesinin x e göre türevini alarak (3,4) ve (5,0) noktalarındaki
teğetlerinin eğimlerini bulunuz.
132
Bulduğunuz sonuçlarla aşağıdaki şekilleri ilişkilendiriniz.
y
y
5
5
A(3,4)
4
−5
0
3
x
5
−5
−5
0
B(5,0)
x
−5
12) Aşağıda bazı eğriler ile üzerlerindeki birer nokta verilmektedir. Bu noktalardan eğrilere çizilen teğetlerin eğimlerini, bir kez kapalı fonksiyonunun türevi yardımıyla
bir kez de eğrileri y= f(x) biçiminde yazıp türev yardımıyla bulunuz.
a) x.y= 8,
(2,4)
b) y2–x+1= 0,
(10,3)
c) x2+y2= 1,
(
ç)
1−y
=x
1+y
1
1
,−
√2
√2
)
(0,1)
d) y2–4xy+4x2= 4,
(3,8)
1
nokta13) f:R→R, f(x)= x3 fonksiyonu tanımlanıyor. f–1(x) fonksiyonunun x=
27
sındaki teğetinin eğimini bulunuz.
π
14) f:R→R, f(x)= cosx fonksiyonuna x=
noktasından çizilen teğetin eğimini
2
bulunuz.
4
29.
3
2
f: R→R, y= f(x)= x +2x –4x +3x–5 fonksiyonunun türevinin
2
dy = y′= f′(x)= 4x3
+6x −8x+3
dx
olduğunu biliyorsunuz. Seçtiğimiz f(x) fonksiyonu ile f′(x) türev fonksiyonunun ikisinin
birer polinom fonksiyon olduğunu ve her x gerçek sayısı için türevlenebileceğini kolayca
söyleyebiliriz.
f′(x) in tanımlandığı yeni polinom fonksiyona g(x) denirse
g(x)= f′(x)
eşitliği kurulabilir. Bağıntıda türev uygulamasına geçilerek
133
[ [
2
dg d ′
df
d df
=
[f (x)]=
= 2
dx dx
dx dx
dx
elde edilir.
f′(x) fonksiyonunun türevlenebildiği bir x0 noktasındaki türevine,“f(x) fonksiyo2
dy
nunun ikinci basamaktan türevi” denir ve f′′(x) ya da 2 biçiminde gösterilir.
dx
Buna göre verilen fonksiyonun ikinci basamaktan türevi,
(f′)′(x)= f ′′(x)=
2
dy
3
2
= (4x +6x −8x+3)′
2
dx
2
= 12x +12x−8 olur.
Benzer düşünce ile hareket edilerek f ′′(x) fonksiyonunun da türevlenebildiği bir
x0 noktasındaki türevine, “f(x) fonksiyonunun üçüncü basamaktan türevi” denir ve
f ′′′(x)=
3
dy
biçiminde gösterilir.
3
dx
Peş peşe türev almaya devam edersek f(x) in;
(4)
4. basamaktan türevi f (x)=
4
dy
,
4
dx
5
dy
,
5
dx
...............................................,
(5)
5. basamaktan türevi f (x)=
(n)
n. basamaktan türevi f (x)=
n
dy
olur.
n
dx
Birinci basamaktan sonra gelen türevlerin tümüne yüksek basamaktan türev
ortak adı verildiğini unutmayınız.
Yapılan işlemlerden sonra,
f ′′′(x) , f (x), f (x), f (x) fonksiyonlarının kurallarını bulunuz.
(4)
(5)
(6 )
n
(n)
Grup çalışmanızda f (x) ile f (x) in farkını ortaya koyuncaya kadar tartışmanızı
sürdürünüz.
134
25.
1) Aşağıdaki fonksiyonların 4. basamaktan türevlerini bulunuz.
a) f(x)=x3–2x2+5x–7
b) g(x)=x6–x3+2x+1
c) h(x)=2x
ç) k(x)=lnx
2) Bir polinom fonksiyonun hangi basamaktan türevlerinin sıfır olacağını bulmaya çalışınız.
3) y=ex fonksiyonu için
4
dy
nedir?
4
dx
(82)
4) f(x)=sinx fonksiyonu için f
(x) nedir?
()
5) f(x)=sin2x fonksiyonu için f′′ π değerini hesaplayınız.
2
Hilbert KŸ pŸ
135
TÜREVİN
UYGULAMALARI
Mostar Kš prŸ sŸ
16. yüzyılda Bosna Hersek’in Mostar kentinde, Neretva Nehri üzerinde kurulan
ve şehrin iki yakasını birbirine bağlayan bir köprüdür. 1993’ te Bosna Savaşı’nda yıkılan
ve daha sonra yeniden inşa edilen Mostar Köprüsü, dünyanın en ünlü ve en zarif tarihî
köprülerinden biri olarak tanınmaktadır.
Mimar Sinan’ın öğrencisi Mimar Hayreddin tarafından tasarlanan köprü, 9 yılda
inşa edilmiş ve 1566’da tamamlanmıştır. 30 metre uzunluğunda, 4 metre genişliğinde
ve nehirden 24 metre yükseklikteki köprü, dönemi için gelişmiş bir teknoloji ile inşa edilmiş ve dünya kültür mirasının bir parçası olarak kabul edilmiştir.
Bir fonksiyonun analiz edilmesinde fonksiyonun grafiği bize yardımcı olur. Kuralı verilen bir fonksiyonun gerçek anlamda grafiğini çizmek mümkün değildir. Ancak
bazı özel noktalar ve özelliklerden yararlanarak gerçek grafiğe olabildiği kadar yakın
bir grafik çizilebilir (Örneğin, grafiğin eksenleri kestiği noktalar fonksiyonun pozitif ya da
negatif olduğu aralıklar gibi.). Fonksiyonun grafiğini çizmede ve yorumlamada fonksiyonun türevinden de yararlanılabilmektedir. Bu bölümde türevden nasıl yararlanıldığı
tartışılacaktır.
136
30.
Aşağıda verilen fonksiyon grafiğini inceleyiniz. Fonksiyonun artan, azalan ve
sabit olduğu alt aralıkları görünüz. Buna bağlı olarak ön öğrenmelerinizi gözden geçiri-
niz.
y
x
{
{
{
0
AZALAN
ARTAN
SABİT
Şimdi de bir fonksiyonun artan, azalan ya da sabit olması ile üzerindeki noktalardan çizilen teğetleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
y
y
x
0
x
0
2. Şekil
1. Şekil
y
x
0
3. Şekil
1. şekilde teğetler çizilmiştir. 2 ve 3. şekillerde de sizler noktalar alarak bu noktalardan geçen teğetleri çiziniz.
Teğetlerin eğimlerinin işaretleri ile fonksiyonların artan, azalan ya da sabit olması arasındaki ilişkiyi kurmaya çalışınız.
Fonksiyonun bir noktasındaki türevinin, fonksiyona o noktadan çizilen teğetin
eğimi olduğunu biliyorsunuz. O hâlde yukarıda elde ettiğiniz bilgileri türevle ilişkilendirmek istersek bir fonksiyon bir aralıkta artan ise aynı aralıkta türevinin işareti pozitif,
azalan ise türevinin işareti negatif, sabit ise türevi sıfır diyebiliriz.
137
Bu durumu matematiksel olarak ifade edelim.
f fonksiyonu [a,b] nda sürekli ve (a,b) nda türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
Seçilen her x∈(a,b) için;
1. f′(x) > 0
2. f′(x) < 0
3. f′(x) = 0
26.
ise f, [a,b] nda artan
ise f, [a,b] nda azalan,
ise f, [a,b] nda sabit fonksiyondur.
1)
y
f(x)
C
A
B
x
0
Yukarıda grafiği verilen f(x) fonksiyonunun A, B ve C noktalarındaki türevlerinin
işaretini belirtiniz.
2) f:R→R, f(x)= x3–3x2–9x+5 fonksiyonunu ele alarak
• f′(x) fonksiyonunu bulunuz.
• Bulduğunuz f′(x) fonksiyonunun işaret tablosunu yapınız.
• Yaptığınız tablo yardımıyla f(x) fonksiyonunun artan, azalan aralıklarını belirtiniz.
Benzer yolları kullanarak aşağıdaki fonksiyonların artan ve azalan oldukları
aralıkları belirtiniz.
a) f:R→R, f(x)= x2+1
b) f:R→R, f(x)= x4–2
c) f:R–{–2}→R, f(x)= x−1
x+2
ç) f: (0,2π)→R, f(x)= sinx
3
+
d) f:R →R, f(x)= lnx
e) f:R→R, f(x)= √x+2
f) f:R→R, f(x)= x3
g) f:R→ −
[
138
[
π π
, f(x)= arctanx
,
2 2
3)
y
f′(x)
2
−1
x
0
5
−1
Yukarıda, f:R→R, f(x) fonksiyonunun türev fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Grafikten yararlanarak f(x) fonksiyonunun artan, azalan olduğu aralıkları bulunuz.
4)
y
2
3
x
0
Yanda, f:R→R, f(x)
fonksiyonunun türev fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Grafikten yararlanarak aşağıda “?”
bulunan yerlerde “<, >” ya da “=”
sembollerinden birini kullanınız.
f′(x)
a) f(–1) ? f(0)
b) f(4) ? f(7)
c) f′(−1) ? f(0)
ç) f′(0) ? 0
5) f(x) in (–∞, 0) nda artan bir fonksiyon olduğu bilindiğine göre, aşağıdaki fonksiyonların aynı aralıkta artan ya da azalan olmasını tartışınız.
a) 2x+f(x)
2
b) f(x)
c) –2.f(x)
ç) x5+f(x)
d) 4.f3(x)
e) x.f(x)
139
31.
Aşağıda Everest’in zirvesinde yer alan bulutun parlak ışığı, barındırdığı tehlikeyi de ima edercesine krallara layık bir taç gibi duruyor. İki yönden dışbükey olan bulut,
zirvede güçlü rüzgârların, hatta doruğu tarayıp duran jet akımlarının varlığına işaret
ediyor. Hızları saatte 45 ile 280 km arasında değişebilen jet rüzgârlarının, dağa tırmananların ayağını yerden kestiği de biliniyor.
Fotoğraf: Grant Dixon (Gırant Diksın) www. nationalgeographic.com
29 Mayıs 1953’te Edmund Hillary (Edmınt Hilariy) ile Tenzing Norgay (Tenzing
Norgey)’in Everest’in karla kaplı zirvesine ayak basmasından beri dünya değişti. Birden
fazla dağcı onların zirveye çıkan yolunu takip etti, 200’e yakın dağcı ise bu yolda hayatını kaybetti.
Fotoğraf: Stephane Schaffer (Sitefan Şefır)
140
1
2
Bu resimler Rusya’da bulunan bir elmas
madeninin resimleridir. Bu dehşet çukurun derinliği
525 m, çapı ise 1200 m dir. Müthiş bir hava boşluğu yaratması
sebebiyle bu çukur üzerinde uçak ve helikopter uçması yasaklanmıştır.
Bu çukurun ne derece büyük olduğunu anlamak açısından üçüncü resimdeki
kırmızı ok ile işaretli yeri inceleyiniz. Okla işaretli şey aslında 16 tekerlekli olan ve madende çalışan kamyonlardan birinin görüntüsüdür.
Tabii herkes biliyor ki dünyanın en büyük çukuru MARİANA ÇUKURU, doğal bir
şekilde oluşmuştur. Bu çukur ise elmas çıkartmak için insanlar ve makineler tarafından
açılmıştır.
3
Resimlerde gördüğünüz gibi dünyamızın değişik yerlerinde birçok tepe ve çukur, insanların dikkatini çekmekte ve onları heyecanlandırmaktadır.
Matematikte de fonksiyon grafiklerindeki tepe ve çukurlar, başka bir deyişle
fonksiyonların aldıkları en büyük ve en küçük değerler dikkat çeken önemli göstergelerdir. Bu kavramlar, hem fonksiyonun analizinde hem de birçok problemin çözümünde
kullanılan önemli kavramlardır.
141
Aşağıda verilen fonksiyon grafiklerini inceleyiniz.
y
y
0
x
x
0
y
y
0
x
0
x
Fonksiyonların artanlıktan azalanlığa ya da azalanlıktan artanlığa geçtiği noktaları varsa grafik üzerinde gösteriniz.
Gösterdiğiniz noktaların komşuluğunda bu fonksiyonların en büyük ya da en
küçük değerlerini aldığını söyleyebilir miyiz?
Aşağıdaki grafiği inceleyelim.
y
0
f(x)
1
x
−2
Fonksiyon (–∞, –2) nda ve (1, ∞) nda artan, (–2,1) nda azalandır.
x= –2 noktasında artanlıktan azalanlığa geçmekte ve bu nokta komşuluğundaki
en büyük değerini almaktadır.
x= 1 noktasında azalanlıktan artanlığa geçmekte ve bu nokta komşuluğundaki
en küçük değerini almaktadır.
Sürekli bir f fonksiyonunun bir x0 noktası komşuluğunda en büyük değerini
(x0,f(x0)) noktasında alıyorsa bu noktada bir yerel maksimumu vardır denir. f(x0) değerine de “yerel maksimum değeri” denir. Benzer şekilde fonksiyon en küçük değerini bu
noktada alıyorsa (x0, f(x0)) noktasında yerel minimumu vardır denir. f(x0) değerine de
“yerel minimum değeri” denir.
Bir fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının hepsine birden
“yerel ekstremum noktaları” denir.
Bu noktada, önceki bilgilerimizi kullanarak tanımı farklı biçimde yapabiliriz. Bir
fonksiyon bir x0 noktası öncesinde artan, sonrasında azalan ise x0 da bir yerel maksimumu vardır. Aksine x0 noktası öncesinde azalan, sonrasında artan ise x0 da bir yerel
minimumu olur.
142
27.
Aşağıda, y= f(x) fonksiyonlarının belli aralıklardaki grafikleri verilmiştir. Bu fonksiyonların yerel ekstremum noktalarının apsislerini bulunuz.
y
0
−2
y
f
1
3
−4
x
4
y
4
−2
0
x
0
−1
y
−5
g
−3
x
1
0
p
2
−1
x
4
h
32.
Bu etkinlikte bir fonksiyonun ekstremum noktaları ile türevi arasındaki ilişkiyi
öğrenmeye çalışacağız.
y
y
f(x)=x −2x
2
1
0
−1
h(x)= x−1
1
0
x
2
y
g(x)=x3
x
0
1
x
Yukarıdaki grafikleri inceleyiniz. Her bir fonksiyonun varsa yerel ekstremum
noktalarını bulunuz.
Verilen fonksiyonların türevlerinin işaret tabloları aşağıdaki gibidir.
x
f′(x) in
işareti
1
−
0
+
x
′
g (x) in
işareti
1
+
0
0
+
x
′
h (x) in
işareti
1
−
+
Grafikleri ve tabloları incelediğinizde;
Türevin sıfır olduğu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır diyebilir misiniz?
Yerel ekstremum noktalarda türev sıfır mıdır?
Fonksiyonların türevlerinin işaretleri yani artan azalan olma durumları ile yerel
ekstremum noktaları arasındaki ilişkiyi söyleyiniz.
143
f: R→R, f(x)= x3–12x+1 fonksiyonunun varsa yerel ekstremum noktalarını bulalım.
f′(x) = 3x2−12
f′(x) = 0 ise 3x2−12= 0
x= 2 ve x= –2 bulunur.
x
−2
−∞
f′(x)
+
f(x)
0
2
−
+
0
f(−2)
−∞
+∞
f(2)
+∞
(–2, f(–2)) yerel maksimum,
(2, f(2)) yerel minimum noktasıdır.
f: R→R, f(x)= –x3 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulalım.
f′(x) = –3x2
f′(x) = 0 ise –3x2= 0 olur. Buradan, x1= x2= 0 bulunur.
x
−∞
−
f′(x)
f(x)
+∞
0
0
0
−
f(0)
−∞
+∞
İşaret tablosunu incelediğinizde (0, f(0)) noktasının bir yerel ekstremum noktası
olmadığı görülmektedir.
f: A→R, y= f(x) fonksiyonu verilsin.
Eğer bir x0∈A noktası fonksiyonun yerel ekstremum noktası ise ve bu noktada
türev varsa bu türevin değeri f′(x0)= 0 dır. Bu nedenle türevin sıfır olduğu noktalarda
türev işaret değiştiriyorsa bu noktalar ekstremum noktalardır.
28.
1) Aşağıdaki tanım kümelerinde verilen fonksiyonların varsa yerel ekstremum
noktalarını bulunuz.
a) f:R→R, y= x3–3x2+1
c) f:R→R, y= (x+1)3
d) f:R→R, y= x3+x2+12x+1
f) f:R→R, y= x
b) f:R→ R, f(x)= x2–6x+1
ç) f: (0,2π)→R, f(x)= sinx
e) f:R→R, f(x)= x3+3x2+1
g) f:R→R, f(x)= x3+1
2) f:R→R, a∈R, f(x)= x2+ax+4 veriliyor. Fonksiyonun yerel ekstremum noktasının olup olmadığını araştırınız.
144
3) f:R→R, f(x)= x2+mx+n veriliyor. Fonksiyonun x= –2 noktasında bir yerel minimuma sahip olduğu ve f(–2)= –6 olduğu bilindiğine göre m ve n değerleri ne olur?
4) Aşağıdaki fonksiyonların türev fonksiyonlarının grafiklerini kabaca çizmeye
çalışınız. Fonksiyonların türevlenebilir olduğu aralıkları belirtiniz.
a)
y
y
b)
f(x)
2
2
1
−2 −1
0
1
1
x
2
−2 −1
1
2 3
1
2
x
g(x)
y
y
c)
ç)
2
2
1
1
0
0
x
1 2
−2
−1
0
k(x)
x
m(x)
5)
y
4
−2
0
Yanda türevinin grafiği verilen y= f(x)
fonksiyonunun ekstremum noktalarını
bulunuz.
3
5
x
6
f′
Matematiği kullanmayan bilimler, ele aldıkları konularda ancak dış yapıyı inceleyebilirler; çünkü matematikle dile getirdikleri, ancak birtakım bağıntılardır; Bu bağıntılar ise özle ilgili unsurlar arasında değil, dış görünüşle ilgili noktalar arasında olabileceğinden, bir varlığın özünü, onun aslında ne olduğunu bize vermekten acizdirler.
O hâlde matematik, tabiat bilimleri, tarih gibi kişiliğin içlerine nüfuz edip, onu derin bir
sezgi ile kavrayabilen bir disiplinin önünde çok aşağı niteliktedirler.
Mustafa Kemal Atatürk
http://www.dersmatematik.org/ataturk%80%99gun-matematik-hakkindaki-gorusleri.html
145
y
33.
f(a)
Yanda [a,b]→R, y=f(x) fonksiyonunun
grafiği verilmiştir. x0∈[a,b] için bu fonksiyonun;
f(b)
0
a
x
b
a) Alacağı en küçük değeri bulunuz.
b) f(x0) ≤ f(x) eşitsizliğini sağlayan f(x0) değerini bulunuz.
c) Alacağı en küçük değer ile (b) maddesindeki f(x0) değerini karşılaştırınız.
Bir f fonksiyonunun f([a,b]) görüntü kümesindeki varsa “en küçük elemanına
mutlak minimum”, “en büyük elemanına da mutlak maksimum” değerleri denir.
Bu bilgilerden hareketle sizler de yukarıda grafiği verilen fonksiyonun mutlak
maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz.
34.
Aşağıda [–2, 3] nda tanımlı y= f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
y
f(3)
f(−1)
−2
−1 0
1
2
3
x
f(−2)
f(1)
Fonksiyonun yerel ekstremum, mutlak minimum ve mutlak maksimum noktalarını bulunuz. Bulduğunuz bu noktaları karşılaştırınız.
[a,b] nda tanımlanmış bir f fonksiyonunda f(a) ve f(b) değerleri her zaman mutlak minimum ya da maksimum değerleri olur mu?
f:[–2, 2]→R, f(x)= 3x4–4x3+12 fonksiyonunun mutlak maksimum ve minimum
noktalarını bulalım.
f′(x)= 12x3–12x2= 0
denklemin kökleri 0 ve 1 olur.
x
f′(x)in
işareti
−2
0
− 0
0
1
2
− 0 +
Türevin işaret tablosunu incelediğinizde,
f(1)= 11 değerinin yerel minimum değeri olduğu görülmektedir.
f(–2)= 92 ve
f(2)= 28 olduğundan fonksiyonun mutlak minimum noktası (1, 11) ve mutlak
maksimum noktası (–2, 92) olur.
146
29.
1) Aşağıda belirtilen aralıklarda tanımlanmış fonksiyonların mutlak minimum ve
mutlak maksimum değerlerini bularak bu değerleri, yerel ekstremum değerleri ile
karşılaştırınız.
y
a)
f(x)
4
1
0
−1
1
x
3
−2
b)
y
g(x)
4
3
2
1
−2
0
−1
3
1
2
4
5
6
7
8
9
x
−2
−4
2) f:[–2,4]→R, f(x)= x2–4 fonksiyonu veriliyor.
a) Bu fonksiyonun grafiğini çizerek mutlak minimum ve mutlak maksimum değerini bulunuz.
b) f(–2), f(4) ve yerel ekstremum değerlerini bularak matematiksel işlem yardımıyla fonksiyonun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz.
3) Aşağıda tanımlı olduğu aralıklarda verilen fonksiyonların mutlak maksimum
ve mutlak minimum değerlerini bulunuz.
a) f:[–1,4]→R, f(x)= 3x+1
b) f:[0,4]→R, f(x)= x2–2x–3
c) f:[–1,2]→R, f(x)= –x2+4
ç) f:[–2,2]→R, f(x)= x
d) f:[0, π]→R, f(x)= cosx
e) f:[–1,2]→R, f(x)= x3–6x2–4
147
4) Mutlak maksimum değere sahip bir fonksiyonun yerel maksimum değerinin
de kesinlikle olup olamayacağını tartışınız.
5) Yerel maksimum değeri olan bir fonksiyonun mutlak maksimum değeri de
olmalı mıdır? Tartışınız.
6) Bir fonksiyonun bir aralıkta alabileceği en büyük değeri bulmak için izleyeceğiniz adımları sırayla yazınız.
35.
Fonksiyon kavramının çok farklı bilim dallarında kullanıldığını şimdiye kadarki
derslerinizde gördünüz ve bunlarla ilgili uygulamalar yaptınız. Bir problemde verilen ve
istenene göre bir fonksiyon oluşturduğunuzu, oluşturduğunuz fonksiyonun tanım kümesini, problemin sınırlılıklarını dikkate alarak belirlediğinizi hatırlayınız. Fonksiyon bağıntılarının probleme göre değişebileceğini unutmayınız.
Buradan,
“Negatif olmayan iki sayının toplamı 10 dur. Bu sayıların çarpımı kaç olabilir?”
problemini ele alalım.
Bu problemdeki sayıları x ve y değişkenleri ile gösterirsek verilen bilgiden
x+y=10 eşitliğini yazarız. İstenen de x.y= ? biçiminde ortaya konur. Verilen eşitlikten
y=10–x yazılabilir. x.y ifadesinde y yerine 10–x alınarak problemin çözümünü verecek
olan,
f(x)= x.(10–x)
f:[0,10]→R, f(x)= 10x–x2
fonksiyonuna ulaşılır.
Bu fonksiyonun tanım aralığının [0,10] alınma nedenini tartışınız. Problemin
çözümünü veren fonksiyon y değişkenine bağlı olarak yazılabilir miydi? Başka çözüm
fonksiyonları tanımlanabilir miydi? Bu ve benzeri soruları tartışınız. Problemde ele alınan sayılardan birini, örneğin x i, 2 ya da 6 aldığınızda istenen çarpımın kaç olacağını
bulunuz. Acaba bu iki sayının çarpımı en çok kaçtır?
Çarpımın en büyük değerini, elde edilen f(x) fonksiyonunun ekstremum değerleri yardımıyla bulmaya çalışınız.
Aşağıda verilen problemi ve çözüm basamaklarını inceleyiniz.
PROBLEM: Şekilde O merkezli yarım dairenin içine ABCD dikdörtgeni çizilmiştir. Dairenin yarıçapı 4 cm ise ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm2 dir?
D
A
C
0
B
ÇÖZÜM:
AO= OB=x ve AD=y olsun.
AOD üçgeninden x2+y2= 16 yazılabilir.
ABCD nin alanı 2x.y dir.
148
D
C
4
y
A
x
y
0
x
B
Bu verileri kullanarak ABCD dikdörtgeninin alanını veren bağıntı
A(x)= 2x.√16−x2 olarak bulunur.Bu bağıntının A: [0, 4]→R,
A(x)= √64x2−4x4 durumunda bir fonksiyon olacağı görülmektedir.
Fonksiyonun ekstremum değerleri 1. türev yardımıyla
A′(x)=
128x−16x3
=0
2√64x2−4x4
128x–16x3= 0
16x.(8–x2)= 0
16x.(2√2 −x).(2√2 +x)= 0
x1= 2√2 , x2= 0 ve x3= −2√2 olarak bulunur.
Bunlara bağlı olarak A′(x) in işaret tablosu aşağıdaki gibi oluşturulabilir.
x
−∞
A′(x) in
işareti
+
2√2
0
−2√2
−
+
+∞
−
x1=2√2 için,
A(2√2)= 4√2 .4√16−8 = 16 değeri ABCD nin alabileceği en büyük değer olur.
“Problemin çözümü için y değişkenine bağlı bir fonksiyon bulunabilir miydi?
Bulunan fonksiyon elde edilen sonucu değiştirir miydi?” gibi sorulara cevaplar aramaya
çalışınız.
A(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinin ne olabileceğini tartışınız.
ABCD dikdörtgeninin alabileceği en büyük değer bulunurken x3= − 2√2 ya da
x2=0 değerlerinden yararlanılabilir mi? Nedenleriyle tartışınız.
Yapılan çalışmalardan da anlaşılacağı gibi ekstremum değer problemlerinin
çözümünde türevden yararlanılır.
30.
1) Farkları 20 olan iki gerçek sayının çarpımları en az kaç olur?
2) Bir kenarı 10 cm olan kare biçimindeki bir kartonun köşelerinden aynı büyüklükte kareler kesilip atılarak üstü açık, dikdörtgenler prizması biçiminde bir kutu
yapılacaktır. Bu kutunun hacminin en çok olabilmesi için, kesilen parçaların kenar
uzunluğu kaç olmalıdır?
3) Bir kenarı duvar olan dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın üç kenarına üç sıra
tel çekilmiştir. Kullanılan telin uzunluğu 1200 metre olduğuna göre, tarlanın alanı en çok
kaç metre karedir?
149
4) f(x)=x2–9x+27 parabolünün grafiği üzerindeki bir noktanın koordinatları toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
5) Üstü açık dikdörtgenler prizması şeklinde bir kutunun hacmi 4500 cm3 tür.
Tabandaki dikdörtgenin boyu eninin 2 katıdır. Bu kutunun alanının en az olması için
boyutları kaç olmalıdır?
6) Hacmi 1 m3 olan kapaksız silindirik bir kavanoz imal etmek istiyoruz. Silindirin yan yüzü alüminyumdan, tabanı bakırdan yapılacaktır. Bakır, alüminyumdan 5 kat
pahalıdır. Maliyetin en az olması için kavanozun boyutları kaçar metre olmalıdır?
7)
Şekildeki duvara 1 metre uzaklıkta ve
8 metre yükseklikte bir demir destek borusu dikiliyor. Bu borunun üzerinden yatayla θ açısı yapacak biçimde şekildeki
gibi kalas konuluyor. Kalasın uzunluğu
en az kaç metredir?
Yol Gösterme: Kalas uzunluğunu θ
cinsinden ifade ediniz.
8)
6 km
B
x
M
Denizdeki kayıkçının plajdaki B noktasına olan uzaklığı 2 km dir. Kayıkçı B noktasına 6 km uzakta bulunan evine gitmek istiyor. Kayıkçının denizdeki hızı 3 km/sa. ve
plajdaki yürüme hızı 5 km/sa. tir. Buna göre
kayıkçının en kısa sürede evine ulaşması için
sahile çıkması gereken noktanın B noktasına
olan uzaklığı kaç km dir?
C
2 km
A
36.
Aşağıda bazı fonksiyonların grafikleri verilmiştir. Grafiklerin üzerinde belirtilen
noktalardan teğetler çiziniz.
a)
y
b)
f
y
g
0
x
150
0
x
c)
y
ç)
h
x
0
y
s
x
0
Çizdiğiniz teğetler hangi grafiklerde eğrinin altında kalmıştır. Bu grafiklerin üzerindeki bütün noktalardan çizilecek teğetler benzer özelliği gösterir mi?
Çizdiğiniz teğetler hangi grafiklerde eğrinin üstünde bulunur. Bu grafiklerin üzerindeki bütün noktalardan çizilecek teğetler benzer özelliği gösterir mi?
Benzer şekilde aşağıda grafiği çizilen eğri üzerinde seçilen noktalardan çizilen
teğetlerin bir kısmı eğrinin altında bir kısmı da eğrinin üstündedir.
y
x
0
Bir eğriye tanım aralığının belli bir alt aralığında çizilen bütün teğetler eğrinin
altında kalıyor ise eğriye bu aralıkta “dışbükey”, eğrinin üstünde kalıyor ise “içbükey”
eğri denir. Bütün tanım aralığında bu şartlar sağlanırsa eğri içbükey ya da dışbükey
olarak adlandırılır. Buna göre aşağıda verilen 1. şekildeki eğri dışbükey, 2. şekildeki eğri
içbükeydir.
y
C
A
d1
0
y
f(x)
d3
B
d5
D
F
d4
d2
x
1. şekil
0
d6
E
g(x)
x
2. şekil
Bir fonksiyonun grafiğinin bir aralıkta içbükey ya da dışbükey olması ile türev
kavramını ilişkilendirelim.
Yukarıda 1. şekilde verilen d1, d2 ve d3 teğet doğrularını eğimlerinin işaretine
göre sıralayınız.
d1 teğetinin eğiminin negatif, d2 teğetinin eğiminin sıfır ve d3 teğetinin eğiminin
ise pozitif olduğunu söyleyebilir misiniz? Bu durumda f′(x) fonksiyonunun işaretinin
eksiden artıya değiştiğini ve bunun olması için B noktasında sıfır olduğunu gördünüz.
Aynı çalışmayı 2. şekil üzerinde yaptığınızda değişimin ters yönde olduğunu
151
keşfedebilirsiniz. Buradan bir eğrinin dışbükey olması durumunda, artan x değerleri için
teğetlerinin eğimlerinin işareti eksiden artıya değişir, diyebiliriz. Aksi durumda da tersi
düşünülebilir.
Ortaya çıkan bu durumu, grafiği verilen fonksiyonun türevi ile ilişkilendirmeye
çalışınız. Bunun için birinci ve ikinci basamaktan türevlerin işaretlerinden yararlanınız.
Yaptığınız işlemleri bir kez daha gözden geçirerek [a,b] nda tanımlı f(x) fonksiyonu için bir sonuca ulaşmaya çalışınız.
f:R→R, f(x)= 2x3–3x2–12x+5 fonksiyonunun içbükey ve dışbükey olduğu aralıkları bulalım.
Fonksiyonun birinci türevi,
f′(x)= 6x2–6x–12 dir.
İkinci türevi de
f′′(x)= 12x–6 olur.
1
2
x
f′′(x)in
işareti
(
0
−
+
)
( )
Tablodan yararlanarak f(x) fonksiyonunun −∞, 1 nda içbükey ve 1 , ∞ nda
2
2
dışbükey olduğunu söyleyebiliriz.
• f′(x) azalan ise f′′(x) < 0 dır. Bu aralıkta f(x) fonksiyonu içbükey,
• f′(x) artan ise f′′(x) > 0 dır. Bu aralıkta f(x) fonksiyonu dışbükeydir.
31.
1) Aşağıda f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f′′(b)= 0 ise fonksiyonun içbükey ve dışbükey olduğu aralıkları yazınız.
y
f(x)
a
0
b
d
c
x
2) Aşağıdaki şekilde f′(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre f(x) fonksiyonunun içbükey ve dışbükey aralıklarını bulunuz.
y
f′(x)
0
x
3) f:R→R, f(x)= x3+4x2–5x+3 fonksiyonunun içbükey ve dışbükey olduğu aralıkları bulunuz.
152
Aşağıda grafiği verilen [a,b] ndaki sürekli fonksiyonu inceleyiniz.
y
y=f(x)
b
a
0
x
Yukarıdaki grafiğe, üzerindeki işaretlenmiş noktalardan teğetler çiziniz. Çizdiğiniz teğetlerin, eğrinin üstünden altına veya altından üstüne geçmekte olduğu noktaları tahminî olarak işaretleyerek apsislerini isimlendiriniz. İşaretlediğiniz noktalar için,
eğrinin içbükeylikten dışbükeyliğe veya dışbükeylikten içbükeyliğe geçtiği noktalardır,
diyebilir miyiz?
Fonksiyonun bu noktalardaki türevlenebilirliğini tartışınız.
Matematikçiler, içbükeylikten dışbükeyliğe veya dışbükeylikten içbükeyliğe geçiş noktalarına “fonksiyonun bükülme (dönüm) noktaları” adını verirler.
Sürekli bir fonksiyonda, türevlenebilen veya türevlenemeyen bir nokta da dönüm noktası olabilir.
f(x)= x3 fonksiyonunun x= 0 da türevlenebildiğini ve bu noktanın dönüm noktası
olduğunu,
g(x)=x2–1 fonksiyonunun x= –1 ve x= 1 noktalarında türevlenemediğini ancak
bu noktaların dönüm noktaları olduğunu görünüz.
Sürekli bir f fonksiyonunun, herhangi bir x0 noktasının bir tarafında f′′(x) < 0,
diğer tarafında f′′(x)> 0 olması sağlandığında x , f fonksiyonunun bir dönüm noktasıdır.
0
y
37.
y=f(x)
0
a
b
c
d
x
e
Yukarıda dönüm noktasının apsisi c, f′(b)= 0 ve f′(d)= 0 olan y= f(x) in grafiği
verilmiştir. Bu fonksiyonun türev fonksiyonu olan y= f′(x) fonksiyonunun grafiği tahminî
olarak aşağıdaki gibidir.
y
0
y=f′(x)
a
b
c
d
153
e
x
y= f′(x) fonksiyonunun (a,c) nda azalan, (c,e) nda artan olduğunu ön öğrenmelerimizden biliyoruz.
f′(x) fonksiyonunda apsisi c olan noktada f′(x) in minimum noktası vardır. Bu
noktada f′′(c) için ne söylenebilir?
f(x)= x4.ex fonksiyonunun dönüm noktalarını bulalım.
f′(x)= ex.(4x3+x4)
f′′(x)= x2.(x2+8x+12).ex= 0 denklemin kökleri
x1= 0, x2= –2, x3= –6 olur.
x
f′′(x)in
işareti
−6
+
−2
0 −
0
0
+
0
0
+
İşaret tablosunu incelediğimizde
x= –6 ve x= –2 noktalarında f′′(x) in işareti değiştiğinden bu noktalar dönüm
noktalarıdır.
x= 0 noktasında f′′(x) in işareti değişmediğinden bu nokta dönüm noktası değildir.
Bir f(x) fonksiyonu c noktasında türevli bir fonksiyon ve (c,f(c)) noktası dönüm
noktası ise f′′(c)= 0 dır.
32.
1) f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. f′(c) = 0 , f′′(b) = 0 ve f′′(d) = 0
olduğu bilindiğine göre f′(x) ve f′′(x) fonksiyonlarının ilgili aralıklarda işaretlerini
inceleyerek tabloyu doldurunuz.
y
f(x)
e
a
0 b c
d
x
Aralık
f(x)
(a,b)
+
(b,c)
+
(c,d)
+
(d,e)
–
f′(x) f′′(x)
y
2)
x
0
Şekildeki grafiği inceleyiniz. Eğer bu grafik;
a) f(x) in,
b) f′(x) in,
c) f′′(x) in,
grafiği ise f(x) in kaç tane dönüm noktası olabilir?
3) Aşağıdaki fonksiyonların içbükey ve dışbükey olduğu aralıkları ve büküm
154
noktalarını bulunuz.
a) f(x)= x3–3x+2
b) f(x)= x4–2x3
c) f(x)= –x3+3x–2
4) Eğer (1,1) noktası f(x)= x3+cx2–3x+d fonksiyonunun dönüm noktası ise c ve
d değerleri ne olabilir?
5) Aşağıda, ikinci türevlerinin grafiği verilen f fonksiyonlarının büküm noktalarını bulunuz.
y
y
y
f′′
f′′
0
−3
x
2
0
−3
2
x
−1
0
1
x
f′′
6) Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun, bir tane dönüm noktası olduğunu ispat ediniz.
7) Dördüncü dereceden bir polinom fonksiyonun grafiğinin ya hiçbir dönüm
noktası bulunmadığını veya tam iki dönüm noktası bulunduğunu ispat ediniz.
8) Bir fonksiyonun dönüm noktasını bulmak, grafiğin çizimine nasıl bir katkı
sağlar? Araştırınız.
y
38.
...
−2
−1
1
2
3
Bir fonksiyonun grafiğinin çiziminde
problemlerden birisi de şekilde görüldüx ğü gibi, x değerleri çok küçük ya da çok
büyük değerler alırken fonksiyonun nasıl
hareket edeceğini belirlemektir.
x değerlerinin büyümesi durumunda +∞ a, küçülmesi durumunda –∞ a gittiğini
biliyorsunuz.
Bu durumda fonksiyonun −
+ ∞ daki limit durumunu incelememiz gerektiği açıktır.
Buna göre f(x)=x3+x2 fonksiyonunun grafiğinin nasıl bir davranış göstereceğini
bulmaya çalışalım.
lim f(x)= lim x3+x2 =−∞
(1)
lim f(x)= lim x3+x2 =+∞
(2)
x→−∞
x→+∞
x→−∞
x→+∞
(1) ve (2) ifadelerinden fonksiyonun analitik düzlemin 3. bölgesinden gelip 1.
bölgesine devam ettiğini söyleyebilirsiniz.
Sizler de değişik polinom fonksiyonlar yazarak grafiklerinin nasıl hareket edeceğini bulmaya çalışınız.
155
39.
Geçmiş yıllarda, birinci dereceden polinom bir fonksiyonun grafiğini, eksenleri
kestiği noktalar yardımıyla ikinci dereceden polinom bir fonksiyonun grafiğini, eksenleri
kestiği noktalar ve tepe noktası yardımıyla çizmeyi öğrenmiştiniz.
Bu etkinlikte ise limit ve türev kavramlarını da kullanarak daha yüksek dereceden polinom fonksiyonların grafiklerini çizmeye çalışacağız.
f(x)= 2x3–6 x2+6x fonksiyonunun grafiğini grup arkadaşlarınızla aşağıdaki soruları cevaplandırarak çizmeye çalışınız.
Fonksiyonun en geniş tanım kümesini belirleyiniz.
x değerleri –∞ ya da +∞ a giderken fonksiyonun nasıl hareket ettiğini, diğer bir
deyişle hangi bölgeden gelip hangi bölgeye devam ettiğini belirlemeye çalışınız.
Fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.
Birinci basamaktan türev yardımıyla artan ya da azalan olduğu aralıkları ve
ekstremum noktalarını belirleyiniz.
İkinci basamaktan türevi yardımıyla içbükey ya da dışbükey olduğu aralıkları ve
büküm noktalarını bulunuz.
f(x) fonksiyonunun grafiğini çizmeye çalışınız. f(x)= x3–9x fonksiyonun tanım
aralığı (–∞,∞) dur.
lim f(x)= –∞, lim f(x)= +∞ olduğundan fonksiyon 3. bölgeden gelip 1. bölgeden
x→−∞
x→+∞
devam eder.
Fonksiyonun x eksenini kestiği noktalar,
x3–9x= 0
x.(x2–9)= 0
x1= –3, x2= 0, x3= +3
y eksenini kestiği nokta ise x= 0 için f(0)= 0 dır.
f′(x)= 3x2–9 olduğundan
3x2–9= 0
x1= √3 , x2= –√3 dŸ r.
f′′(x)= 6x olduğundan
6x= 0
x= 0 dır.
Elde ettiğimiz veriler yardımı ile aşağıdaki tabloyu oluşturabiliriz.
x
f′′(x)
f′′(x)
−∞
−3
0
−√3
√3
3
+∞
+
+
−
−
+
+
−
−
−
+
+
+
f(x)
−∞
artan
0
artan
− 6√3
0
6√3
azalan
azalan
artan
içbükey
0
dışbükey
156
artan
+∞
Bu tablodan yararlanarak fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibi çizilir.
y
11
6√3
10
f(x)= x3–9x
−3
0 √3
−√3 1 3
−10
− 6√3
x
−11
Bir polinom fonksiyonun grafiği çizilirken takip edilen işlem basamaklarını kendi
cümlelerinizle yazınız.
33.
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) f(x)= x3–6x2–9x
c) f(x)= x2–2x+4
40.
b) f(x)= x3–3x2+2
ç) f(x)= 2x4–8x3+8x2
Polinom fonksiyonların grafiğini çizerken izlediğiniz yola benzer bir yolla, bir
rasyonel fonksiyonun grafiğinin çizilmesi istenirse öncelikle en geniş tanım kümesinin
bulunması gerekir. Örnek olarak
2x+1
f(x)=
fonksiyonunu ele alalım.
x−1
Bu fonksiyonun en geniş tanım kümesinin R−{1} olduğunu sanırız bulmuşsunuzdur.
x= 1 için f(x) fonksiyonunun tanımsız olduğu açıktır. Bu durumda f(x) fonksiyonunun apsisi 1 olan noktası yoktur. Apsisi 1 olan noktaları (1, y) olarak düşünürsek bu
noktalar analitik düzlemde, şekilde görüldüğü gibi x= 1 düşey doğrusudur.
y
0
1
x
Öyleyse f(x) fonksiyonunun doğru
üzerinde noktası yoktur, diyebiliriz. Başka
bir deyişle x= 1 doğrusu bu fonksiyon için
özel bir doğrudur.
f(x) fonksiyonunun grafiğinin bu doğruyu kesmeyeceğini sizler de fark
etmişsinizdir. Burada sorun, x= 1 noktasına yaklaşan değerler için fonksiyonun nasıl bir
davranış göstereceğidir.
157
Önceki etkinliklerden bu yaklaşımın limit olduğunu biliyorsunuz. O hâlde,
lim− f(x) ve lim+ f(x) limitlerini bularak fonksiyonun davranışını grup
x→1
x→1
arkadaşlarınızla tartışınız.
Genel olarak a∈R, a∉A olmak üzere, f: A→R, y= f(x) fonksiyonu için,
lim −f(x)= ±∞ ya da lim +f(x)= ±∞ oluyorsa x= a doğrusuna, f(x) fonksiyonunun
x→ a
x→ a
“düşey asimptotu” denir.
2x+1
Bu tanımdan ve yukarıda yaptığınız çalışmalardan yararlanarak f(x)=
x−1
fonksiyonunun düşey asimptotunun x= 1 doğrusu olduğunu söyleyebiliriz.
34.
1) Aşağıda verilen fonksiyonların varsa düşey asimptotlarını bulunuz.
1
x−4
2x+3
b) f(x)= 2
a) f(x)=
c) f(x)= 2
x+2
x −4
x +1
2) Aşağıda verilen f(x) fonksiyonlarının grafikleriyle ilgili soruları yanıtlayarak
düşey asimptotlarını bulunuz.
y
y
0
41.
2
y
−1
x
0
4
x
3
0
lim− f(x)=?
x→2
x→−1
lim − f(x)=?
lim− f(x)=?
x→4
lim− f(x)=?
x→3
lim+ f(x)=?
x→2
lim + f(x)=?
x→−1
lim+ f(x)=?
x→4
x→3
x
lim+ f(x)=?
Polinom fonksiyonların x, –∞ ya da +∞ a giderken grafiklerinin davranışlarını
limit alarak buluyorduk.
2x+1
Benzer düşünceyle f(x)=
x−1
fonksiyonunun grafiğinde x in −∞ ya da +∞ a yaklaşan değerleri için y nin hangi değere
yaklaştığını limit yardımıyla bulunuz.
Bulduğunuz bu değerin fonksiyonun grafiğinde ne anlama geleceğini tartışınız.
Tartışmalarınızın sonuçlarını aşağıda yapılan işlemle ilişkilendirmeye çalışınız.
2x+1
3
f(x)=
= 2+
x−1
x−1
Bu eşitlikten yararlanarak x in –∞ a yaklaşan değerleri için fonksiyonun 2 ye
soldan, x in +∞ a yaklaşan değerleri için fonksiyonun 2 ye sağdan yaklaştığını söyleyebiliriz. Ancak bu durumdan fonksiyonun 2 değerini almadığı sonucunu da çıkarabiliriz.
f(x)=
inceleyelim.
4x+1
fonksiyonunun grafiğinin x değerleri −∞ ve ∞ a giderken davranışını
3x−1
lim f(x)= 4x+1 = 4
x→−∞
3x−1 3
lim f(x)= 4x+1 = 4
x→+∞
3x−1 3
olur. Öyleyse (x sayısı, – ∞ ve +∞ a...) yaklaşırken fonksiyon 4 e yaklaşır.
3
158
Buradan bir genelleme yaparak b∈R olmak üzere, y= f(x) fonksiyonu için,
lim f(x)= b veya lim f(x)= b ise denklemi y= b olan doğruya f(x) fonksiyonunun
x→−∞
35.
x→+∞
“yatay asimptotu” denir.
4x+1
Bu tanımdan ve yaptığınız çalışmalardan f(x)= 3x−1 fonksiyonunun yatay
4
asimptotunun y= doğrusu olduğu kolayca söylenebilir.
3
1) Aşağıda verilen fonksiyonların varsa yatay asimptotlarını bulunuz.
a) f(x)=
x+1
3x−8
b) f(x)=
3x2−1
4x2+x+1
c) f(x)=
x
x +5
ç) f(x)=
x2+x
x+2
2
2) Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlarla ilgili soruları yanıtlayarak fonksiyonların yatay asimptotlarını bulunuz.
a)
b)
y
y
f(x)
1
f(x)
x
0
−3
lim f(x)= ?
lim f(x)= ?
x→+∞
y
c)
x
0
x→−∞
y
ç)
f(x)
f(x)
2
x
0
0
x
lim f(x)= ?
x→−∞
lim f(x)= ?
lim f(x)= ?
x→+∞
x→−∞
42.
f(x)=
3x−1
fonksiyonunun grafiğini çizebilmek için aşağıdaki adımları izleyiniz.
x−1
Fonksiyonun,
• En geniş tanım kümesini,
• Düşey ve yatay asimptotlarını,
• Eksenleri kestiği noktalarını,
• Birinci türevi yardımıyla artan ya da azalan olduğu aralıkları ve ekstremum noktalarını,
• İkinci türevi yardımıyla, iç bükey ve dış bükey olduğu aralıkları ve büküm noktalarını
bularak fonksiyonun grafiğini çiziniz.
159
Yaptığınız çalışmaları aşağıdaki tablo ve grafik ile karşılaştırınız.
x
1
3
−∞
f′(x)
f′′(x)
1
−
−
−
−
+∞
−
+
f(x)
3
3
−∞ +∞
0
dışbükey
içbükey
y
3
1 1
0
36.
3
1
x
1) Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
2
x−1
x−3
c) f(x)= 2x+4
a) f(x)=
d) f(x)=
b) f(x)=
x
x2−4
1−x2
1+x2
x+1
e) f(x)= x2+2x
ç) f(x)=
1+|x|
x
2) Bir fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotunu herhangi bir noktada kesip kesemeyeceğini tartışınız.
43.
x2+x
fonksiyonu için,
x+2
lim f(x)= –∞, lim f(x)= +∞
x→−∞
x→+∞
f:A⊂R→R, f(x)=
olduğu görülür.
Buradan bu fonksiyonun yatay asimptotunun olmadığını söyleyebiliriz.
Ancak fonksiyonun grafiği çizilmek istendiğinde x in –∞ ve +∞ a yaklaşan değerleri için fonksiyonun davranışını incelememiz gerekir.
x2+x x+2
x2+2x x−1
−x
−x−2
2
Bunun için önceki bilgilerimizi kullanarak fonksiyonun,
x2+x
2
= x−1+
f(x)=
x+2
x+2
biçiminde yazılabildiğini biliyorsunuz.
Bu durumuda x in çok büyük ya da çok küçük değerleri için f(x) fonksiyonunun
alacağı değerlerin, x–1 in değerlerine yakın değerler olacağını kolayca görebilirsiniz.
160
2
→ 0 a gitmektedir.
x+2
lim (f(x)−g(x))= 0 ya da lim (f(x)−g(x))= 0
Bir f(x) fonksiyonu ve x→−∞
x→+∞
Çünkü x→−
+ ∞ için
eşitliklerini sağlayan bir g(x) fonksiyonu olduğunu varsayalım. Bu durumda,
1) g(x)= ax+b (a≠0) ise denklemi y= ax+b olan doğruya f(x) in bir “eğik asimptotu”,
2) g(x) fonksiyonu en az ikinci dereceden ise g(x) eğrisine f(x) in bir “eğri asimptotu” denir.
x2+x
Tanımlamaya göre f(x)=
fonksiyonunun eğik asimptotunun y= x–1 olduğux+2
nu görünüz.
37.
Aşağıda verilen fonksiyonların varsa eğik ya da eğri asimptotlarını bulunuz.
a) f(x)=
x3+1
x2−1
f(x)=
44.
b) f(x)=
x2+2x+5
x+1
c) f(x)=
x3+2x+1
x−1
x2+x
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
x+2
Önceki etkinlikte bu fonksiyonun eğik asimptotunun y= x–1 doğrusu olduğunu
bulmuştuk.
Sizler de bu fonksiyonun;
• En geniş tanım kümesini,
• Varsa düşey asimptotunu,
• Eksenleri kestiği noktaları,
• Artan ya da azalan oldukları aralıkları ve ekstremum noktalarını, içbükey ya
da dışbükey oldukları aralıkları ve büküm noktalarını bulunuz. Aşağıdaki tabloyu doldurunuz ve çizilen grafikle karşılaştırınız.
x
+∞
−∞
f′(x)
f′′(x)
f(x)
y
0
−2
−1
161
1
2
x
38.
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) f(x)=
45.
x2
x+1
b) f(x)=
x3+2x2
x+1
Şimdiye kadar grafiklerini çizdiğimiz fonksiyonlardan biraz daha farklı olarak
f(x)= √x fonksiyonunu ele alalım.
Bu fonksiyonun;
• En geniş tanım kümesini,
• Eksenleri kestiği noktaları,
• Artan ya da azalan, içbükey ya da dışbükey olduğu aralıkları,
• Ekstremum noktaları ve büküm noktalarını bulunuz.
Bulduğunuz sonuçları kullanarak aşağıda f(x) fonksiyonu için verilen tabloyu
doldurunuz ve çizilmiş olan grafikle ilişkilendiriniz.
x
′
f (x)
+∞
−∞
f′′(x)
f(x)
y
f(x)
0
x
46.
√
x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f(x)= x−1
Bunun için fonksiyonun,
• İşaret tablosu yardımıyla en geniş tanım kümesini,
• Yatay ve düşey asimptotlarını,
• Eksenleri kestiği noktaları,
• 1. türev yardımıyla artan azalan olduğu aralıkları bulunuz.
162
Bulduğunuz sonuçları kullanarak aşağıda f(x) fonksiyonu için verilen tabloyu
doldurunuz ve çizilmiş olan grafikle ilişkilendiriniz.
x
+∞
−∞
f′(x)
f(x)
y
1
0
x
1
Buraya kadar, fonksiyonların grafiklerinin çizimleriyle ilgili yaptığımız çalışmaları yeniden gözden geçiriniz. Bir fonksiyonun grafiğini çizerken izlenebilecek basamakları, kendinize uygun bir yöntem olarak oluşturunuz. Geliştirdiğiniz yöntemin tartışmasını
yapınız.
39.
Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
3
a) f(x)= √x−1
b) f(x)= √x
3
c) f(x)= √x2
47.
ç) f(x)=
√ 1x
Bir polinomda P(x)= 0 yapan x değerlerine “polinom kökü” denir.
P(x)= (x–a)n.Q(x)
biçiminde verilen bir polinomun sıfır olması için,
(x–a)n= 0 veya Q(x)= 0
olması gerekmektedir.
Buradan,
(x–a)n= 0 eşitliğini sağlayan x= a değerlerine polinomun n katlı kökü adı verilir.
Bu etkinliğimizde bir polinomun n katlı kökleri ile türevleri arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
Örneğin,
P(x)= (x–2)2.B(x) polinomu için P′(x) ile P′′(x) i bulunuz.
Verilen P(x) ile elde ettiğiniz P′(x) ve P′′(x) polinomlarını inceleyiniz.
Bu polinomların hangileri x–2 ile tam bölünebilir?
P(x) polinomu P(x)= (x–2)3.M(x) biçiminde verilirse P(2),P′(2) ve P′′(2) değerleri
için ne söylenebilir?
Yaptığınız çalışmanın önceki ile olan ortak yanlarını bulunuz ve bir genelleme
yapmaya çalışınız.
163
P(x)= x4 polinomunun katlı kökü ile türevleri olan P(x), P′(x), P′′(x), P′′′(x) polinomları arasındaki ilişkiyi grafik üzerinden görmeye çalışalım.
P(x), P′(x), P′′(x), P′′′(x) polinomlarının grafikleri grafik çizer hesap makinesi
yardımıyla çizdirildiğinde aşağıdaki gibi olduğu görülür.
x= 0, P(x)= x4 polinomunun 4 katlı bir
köküdür.Grafikleri incelediğimizde P(x)
polinomunun katlı kökü P′(x) ve P′′(x) ve
P′′′(x) polinomlarının da köküdür.
Burada,
x= 0 için
P′(0)= 0
P′′(0)= 0
P′′′(0)= 0
olduğu görülür.
Sizler de Pıv(x) polinomunun grafiğini çizerek P(4)(0)≠0 olduğunu görünüz.
+
Genel olarak n∈N , a∈R olmak üzere, P(x)= (x–a)n.Q(x) polinomu için,
P(a)= 0
P′(a)= 0
P′′(a)= 0
:
(n−1)
P (a)= 0 olur.
a
P(x)= x3+ax2+bx–12 polinomu (x+2)2 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre
b
kaçtır? Sorusunun yanıtını araştıralım.
P(x)= (x+2)2 .K(x) biçimindedir.
O hâlde P(–2)= 0 ve P′(–2)= 0 olmalıdır.
P(–2)= (–2)3+a.(–2)2+b.(–2)–12= 0
2a–b= 10...(I)
P′(x)= 3x2+2ax+b olduğundan
P′(–2)= 3(–2)2+2a(–2)+b= 0
–4a+b= –12...(II) olur.
(I) ve (II) denklemlerinin ortak çözümünden
a
a= 1, b= –8 ve = − 1 bulunur.
8
b
164
Aşağıdaki P(x) polinomu ve bu polinomun ardışık 4 türevinin grafiği verilmiştir.
P(x) polinomunun katlı kökleriyle türevleri arasındaki ilişkiyi grafik üzerinden görmeye
çalışalım.
P(x), P′(x), P′′(x), P′′′(x) ve P (x) polinomları grafik çizer hesap makinesi yardımıyla çizdirildiğinde aşağıdaki görüntü elde edilmiştir.
ıv
P(x) kırmızı
P′(x) mavi
P′′(x) yeşil
P′′′(x) eflatun
(4)
P (x) sarı renk ile grafikleri gösterilmiştir.
P(x)= (x+2)4.(x−2)3
Grafikleri incelediğimizde
x= −2 için
P(−2) = 0
x= −2 için
P′(−2) = 0
x= −2 için
P′′(−2) = 0
x= −2 için
P′′′(−2) = 0
(4)
x= −2 için
P (−2) ≠ 0
40.
ve
ve
ve
ve
olur.
x= 1
x= 1
x= 1
x= 1
için
için
için
için
P(1)
P′(1)
P′′(1)
P′′′(1)
=0
=0
=0
≠0
1) P(x)= ax5+bx4+cx3–x2–3x–1 polinomu (x+1)3 ile tam bölünebildiğine göre b.c
a
kaçtır?
2) P(x)= mx4–12x2+nx–k polinumunun bir çarpanı (x–1)3 ise m+n+k kaçtır?
3) P(x)= ax3+bx2+3x+9 polinomunun iki katlı kökü x=3 olduğuna göre a.b kaçtır?
lim f(x)=
48.
x→2
x−2 lim 3x3+2x2+x+1 lim 1−cos2x
,
, x→0
x2−4 x→1
x2−1
sinx
Limit konusundaki bilgilerinizi gözden geçirerek yukarıdaki limit değerlerini bulunuz.
Bu etkinliğimizde limitte belirsizlik durumunu çözmede etkili bir teknik olan türevden yaralanacağız. Önce türevin 0 ve ∞ belirsizlik durumlarında nasıl kullanıldığını
∞
0
çalışalım.
165
Varsayalım f ve g fonksiyonları [a,b] nda sürekli, (a,b) nda türevli iki fonksiyon
f(x)
ve lim
ifadesinde pay ve payda birlikte sıfıra yaklaşsın.
x→ x g(x)
0
Bu durumda,
f(x0)= 0 ve g(x0)= 0 olur.
O hâlde,
f(x)−0
f(x)−f(x0)
f(x)
lim
= lim
= lim
x→ x g(x) x→ x g(x)−0
x→ x g(x)−g(x )
0
0
0
0
yazılabilir.
Bu limitin pay ve paydasını x–x0 ile bölünüz.
Bölümün limitini, limitlerin bölümü olarak ifade ediniz.
Pay ve payda da oluşan limitleri türevle ilişkilendiriniz.
f ve g fonksiyonları [a, b] nda sürekli (a, b) nda türevli iki fonksiyon ve
f(x)
lim
ifadesinde pay ve payda birlikte sıfıra ya da −
+ ∞ a yaklaşsın.
x→ x g(x)
0
lim
x→ x0
f(x) f′(x0)
olur.
=
g(x) g′(x0)
Bu eşitlik L’Hospital (Lopital) kuralı olarak ifade edilir.
Bu kural yardımıyla 0 belirsizliği olan
0
3
2
+x+1 değerini hesaplayalım.
lim 3x +3x
2
x→ −1
x −1
3
2
+x+1 lim (3x3+3x2+x+1)′
lim 3x +3x
=
2
x→ −1
x→ −1
x −1
(x2−1)′
2
= lim 9x +6x+1
x→ −1
2x
= −2
bulunur. Sizler de ön öğrenmeler yardımıyla bulduğunuz limitleri kural yardımıyla bir kez
daha yaparak doğrulayınız.
(
(
)
)
lim+ 1 +lnx değerini L’Hospital kuralı yardımıyla hesaplayalım.
x→0
x
lim+ 1 +lnx ifadesinde ∞−∞ belirsizliği vardır.
x→0
x
lim+ lnx
x→0
(
[
lim+ lnx . lim+
x→0
)
x→0
A
1
1
= lim x
A= lim+
x→0
x.lnx x→0+ lnx
x→0
]
)
1 +lim 1 ...........( )
*
x.lnx x→0+
−∞
= lim+
(
1 +1 = lim lnx . lim
1 +1
x→0+
x→0+ x.lnx
x.lnx
1
∞
( ∞ belirsizliği olup L’Hospital kuralını uygulayalım.)
− 12
x
= lim+ −12 . x = lim+ − 12 = −∞
x→0 x
1 x→0
1
x
x
x
* ifadesinde A, yerine yazılırsa −∞.(−∞+1)= (−∞).(−∞)= +∞ olur.
166
lim (x.cotx) değerini bulalım.
x→0
lim (x.cotx)= lim x.lim cotx ifadesinde 0.∞ belirsizliği vardır.
x→0
x→0
x→0
lim (x.cotx)= lim x. 1 = lim x ifadesi 0 belirsizliği hâline dönüşür.
x→0
x→0
tanx x→0 tanx
0
Burada L’Hospital kuralı uygulanırsa
lim
x→0
x = lim
1
= 1 = 1 olarak bulunur.
tanx x→0 1+tan2x 1+0
(Önceki derslerden lim
x→0
( )
lim x+1
x→∞
x
2x
( )
lim x+1
x→∞
x
( )
( )
y= x+1
x
lny= ln x+1
x
2x
2x
2x
ax = a olduğunu hatırlayınız.)
tanbx b
değerini bulalım.
( )
= lim 1+ 1
x→∞
x
0
∞
2x
ifadesindeki her iki tarafın Doğal Logaritmasını alalım.
= 2x.ln x+1
x
(Her iki tarafın limiti alınırsa)
lim lny= lim 2x.ln x+1
x→∞
x→∞
x
ln x+1
x
1
2x
lny= lim
x→∞
(∞.0 belirsizliği vardır.)
( 0 belirsizliği olduğundan L’Hospital kuralını uygulayalım.)
0
(
)( )
lny= lim 1.x−1(x+1)
: x+1 : − 1 2
x→∞
x
2x
x2
lny= lim 2x = 2
x→∞ x+1
( )
(Sadeleştirmeler yapılırsa)
(Logaritma kuralından)
y= e2 olduğundan
lim x+1
x→∞
x
∞
ifadesi 1 belirsizliğidir.
2x
= e2 olur.
167
11. sınıfta Logaritma konusundan n sayısının çok büyük pozitif ve çok küçük
negatif değerler için
( )
1+ 1
n
n
ifadesinin yaklaştığı sayının e= 2,718281..... olduğunu hatırlayınız.
1
lim x x değerini bulalım.
x→∞
1
lim x x ifadesi ∞0 belirsizliğidir.
x→∞
1
y= x x
(Her iki tarafın Doğal logaritmasını alalım.)
1
lny= ln x x = 1 .lnx
x
lim lny= lim
x→∞
x→∞
(Her iki tarafın limitini alalım.)
(
1 .lnx
x
)
( ∞ belirsizliği olduğundan L’Hospital kuralını uygulayalım.)
∞
lny= lim lnx
x→∞
x
1
lny= lim x
x→∞ 1
lny= 0
y= e0
y= 1 olduğundan
1
lim x x = 1 olur.
x→∞
lim+ (sinx)x ifadesinin değerini bulalım.
x→0
lim+ (sinx)x ifadesinde 00 belirsizliği vardır. Bunun için
x→0
y= (sinx)x
lny= ln(sinx)
(Her iki tarafın Doğal logaritması alınırsa)
x
lny= x.ln sinx
(Her iki tarafın limiti alınırsa)
lim+ lny= lim+ (x.ln sinx)
x→0
(0.∞ belirsizliği)
x→0
lny= lim+ ln sinx
x→0
1
x
( ∞ belirsizliği olduğundan L’Hospital kuralını uygulayalım.)
∞
168
cosx
2
sinx
lny= lim+
= lim+ −x cosx
x→0
x→0
sinx
− 12
x
( 0 belirsizliği olduğundan tekrar L’Hospital kuralını
0
uygulayalım.)
2
lny= lim+ −(2x.cosx−x sinx)
x→0
cosx
lny= 0
y= e0
y= 1 olduğundan
lim+ (sinx)x= 1 olur.
x→0
41.
1) Aşağıdaki limitleri L’Hospital kuralı yardımıyla bulunuz.
a) lim x+sinx
x→0
tanx
b) lim 1−cosx
x→0
x2
c) lim sinx
x→0
x
ç) lim x−sinx
x→0
x3
lim 2x2+sin23x
d) x→+∞
3x2−sin22x
lim 3x2+4x−2
e) x→+∞
6x2−5x+8
lim x
f) x→+∞
ex
g) lim
x→0+
2
lim x
ğ) x→+∞
ex
lim x−sinx
h) x→+∞
x
ı) lim (1−x) tan πx
x→1
2
j) lim
x→0
(
cotx
cot2x
1 − 1
x2 sin2x
i) lim x.Inx
x→0+
)
k) lim (cotx−Inx)
x→0+
(() )
l) lim ( 1 − Inx)
x→0
x
lim ln 1 − ex
m) x→+∞
x
2) m ve n pozitif tek tam sayı olmak üzere aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
m
lim x +1
x→ −1
xn+1
(Yol Gösterme: L’Hospital kuralını kullanabilirsiniz.)
3) lim
x→ 0
(
)
4x3
limitinin değerini bulunuz.
tanx−sinx
(Yol Gösterme: L’Hospital kuralını kullanabilirsiniz.)
169
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
−
+
1) y=x fonksiyonu için f′(0 ) ve f′(0 ) değerlerini hesaplayarak bu fonksiyona
başlangıç noktasından teğet çizilip çizilemeyeceğini söyleyiniz.
{
2
2) f(x)= x +1,
2x
x≤1 ise
x>1 ise
fonksiyonunun x= 1 noktasında hem sürekli hem de türevlenebilir olduğunu gösteriniz.
3) Aşağıda verilen f fonksiyonlarının türev fonksiyonlarını bulunuz. f fonksiyonunun tanım kümesi ile f′ fonksiyonunun tanım kümesini karşılaştırınız. Tanım kümelerinin aynı ya da farklı olması ne anlama gelir? Açıklayınız.
a) f:R→R, f(x)= x2+3x
b) f:[0, ∞)→R, f(x)= √x
c) f:R→R, f(x) = x
{
x<2 ise fonksiyonunun x= 2 noktasında türevlenebilir olma4) f(x)= mx+n,
x2
x≥2 ise
sı
için m ve n değerlerini bulunuz.
( (
2
5) f:R→R, f(x) fonksiyonu için f(2)= 2 ve f′(2)= 3 ise d x
dx f(x)
tini bulunuz.
ifadesinin eşix=2
6) f(x)= x2 eğrisi üzerinde (18,0) noktasına en yakın olan noktayı bulunuz.
7) 1000 cm3 sıvı koyabileceğimiz silindirik bir kutu yapmak istiyoruz. Kutunun
yapımında kullanılacak malzemenin en az olabilmesi için yükseklik ve yarıçapı nasıl
seçmeliyiz?
8) ax2+bx+c= 0 denkleminin farklı iki kökü olsun. f(x)= ax2+bx+c fonksiyonunun, bu köklerin aritmetik ortalamasında bir ekstremum noktaya sahip olduğunu gösteriniz.
9) y=
bulunuz.
1
eğrisinin y= 4x–3 doğrusuna dik olan teğetlerinin kesim noktalarını
x
1
10) f(x)= x fonksiyonunun n. basamaktan türevini veren bağıntıyı bulunuz.
170
11)
a) Tek ve türevli bir fonksiyonun türevinin çift,
b) Çift ve türevli bir fonksiyonun türevinin tek olduğunu gösteriniz.
12) f(x)= 12 fonksiyonunun minimum ya da maksimum değerinin olmamasının
x
sebebi nedir?
{
3
13) f(x)= x 2
ax +bx+c
x≤1 ise
x= 1 noktasında ikinci türevinin olabilmesi
x>1 ise
için a, b ve c değerleri kaç olmalıdır?
14) x2–xy+1= 0 eğrisine bir noktasından çizilen teğetin denklemi y= –3x+n ise
n değerlerini bulunuz.
niz.
2
15) A⊂R olmak üzere, f:A–{–1,1}→R, f(x)= 2x fonksiyonunun grafiğini çizix −1
y
16)
4
2
−2
0
x
y=−x2+4
Şekildeki gibi iki köşesi y= –x2+4 parabolü her
bir kenarı x ekseni üzerinde olan bir dikdörtgen çiziliyor. Bu dikdörtgenin alanı en fazla kaç birim kare
olabilir?
17)
6
Şekildeki gibi 6 cm yarıçaplı
bir küre içine yerleştirilebilecek
maksimum hacimli bir silindirin
hacminin kaç cm3 olabileceğini
bulunuz.
18) Bir maddenin asidik veya bazik olması o maddenin pH ının aldığı değere
bağlıdır (0≤pH≤14).
Madde asidik ise pH<7
Madde bazik ise pH>7
Şu anda Kuzey Amerika’daki yağmur suyunun pH ı 6 olarak ölçülmüştür. Çevre
171
bilimciler bu bölgenin x yıl sonra yağmur suyunun pH ının
formülü ile hesaplanabileceğini tahmin ediyorlar. Buna göre en
A(x)= 6− 12x
x2+9
düşük pH, kaç yıl sonra gerçekleşir? O yılın pH değerini hesaplayınız.
19)
y
f′(x)
15
2
x
0
−4
1
8
6
3
Şekilde f′(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Yerel minimum noktalarının apsisleri toplamı α ve x<7 için büküm noktasının apsisi β ise α+β‚ toplamı kaçtır?
20) f(x)= x4+ax+b fonksiyonlarının dönüm noktasının olup olmadığını belirtiniz.
g(x)= x +ax2+bx+c fonksiyonunun her zaman bir dönüm noktası olduğunu gösteriniz.
Bu fonksiyonun x= 1 noktasında dönüm noktası varsa a ne olmalıdır?
3
21)
y
A
x
0
3
d
f(x)
Yandaki şekilde d dorusu y f(x) fonksiyonuna A noktasında teğettir. d doğrusunun denklemi
y= − 1 x+2 ise f(3) + f′(3) toplamını hesaplayınız.
3
22) f(x)= 1 x3+2x+1 fonksiyonunun en fazla bir gerçek kökü olduğunu türev
3
bilgileriniz yardımıyla gösteriniz.
{
{
23) β= (x, y):x2+x=y2+y, (x, y)∈R2 ve y≥− 1 bağıntısının grafiğini çiziniz.
2
Buna göre;
I) Bu bağıntının bir fonksiyon olduğunu gösteriniz. Tanım ve değer kümelerini
yazınız.
II) β‚ fonksiyonunun hangi nokta için türevsiz olacağını belirtiniz.
172
y
24)
f′
1
−2
0
4
x
Yukarıda türevinin grafiği verilen y=f(x) fonksiyonu için;
a) f(x) in artan ya da azalan olduğu aralıkları bulunuz.
b) f(x) in dönüm noktalarını bulunuz.
c) f(x) in ekstremum noktalarını bulunuz.
ç) f′(x) in ekstremum noktalarını bulunuz.
kaçtır?
2
25) f(x)= x 2−ax+b fonksiyonunun (1,4) noktası yerel maksimum noktası ise a+b
x +2x+4
26) f(x)= xx fonksiyonunun ekstremum noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
e
27)
y
A
4
2
0
6
x
f(x)
d
f(x) fonksiyonuna A(6,4) noktasında teğet d doğrusu çizilmiştir. Buna göre,
2
g(x)= x ise g′(6) kaçtır?
f(x)
173
2
28) f(x)= x −ax+b fonksiyonu x=2 apsisli noktada x eksenine teğet ise a kaçtır?
x
y
29)
f′(x)
1
−1
3
x
0
−3
−4
Yukarıdaki şekilde f(x) in türev fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,
aşağıdaki yargılardan kaçı doğrudur? Yanlışları düzeltiniz.
a) x= –1 de f(x) in yerel minimumu vardır.
b) x= 1 de f(x) in yerel minimumu vardır.
c) x= 3 de f(x) in yerel maksimumu vardır.
ç) x=1 de f(x) in dönüm noktası vardır.
d) x=0 da f(x) in dönüm noktası vardır.
30) f(x)= mx3+4x2–4x–3 fonksiyonu daima azalan fonksiyon ise m aralığı için ne
söylenebilir?
31) f(x)= g(x2+2x).ln(x+1) fonksiyonu veriliyor. g(0)= 4 olup f(x) fonksiyonuna
x= 0 noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?
3
32) f(x)= x −ax fonksiyonunun x= –1 noktasındaki teğeti 3x=5y doğrusuna pax−2
ralel ise a kaçtır?
33) P(x)= –x3+2x2+mx+n polinomunun (x+1)2 ile tam bölünebilmesi için m ve n
değerleri ne olmalıdır?
174
34) Bir hareketlinin t saniyede aldığı yol, s(t)= 4t2+16t–2 (metre) denklemi ile
veriliyor. Buna göre hareketlinin;
a) 20 saniyede aldığı yolu,
b) 20. saniyedeki hızını,
c) İvmesini bulunuz.
35) f:R→R, f(x)= x2–2x fonksiyonu veriliyor.
lim f(2−3h)−f(2+4h) ifadesinin eşiti kaçtır?
h→ 0
h
36) f(x)=ecosx fonksiyonu veriliyor. lim
π
x→
3
√e−f(x)
x− π
3
ifadesinin değeri kaçtır?
37) Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
πx
a) lim arctanx− 4
x→ π
x.Inx
ç) lim
x→1
b) lim
tanx−1
x→ π
4
(
cos3(x−1)−x
x3−1
c) lim tan(x2−1).lnx
2sinx−√2
3
d) lim cos x+1
x→ 0
x2−π2
x→ π
)
3
e) limπ
x→
2
√2x2−x
√x− √2
38) Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
a) lim
sin3x
In(2x+1)
b) lim
x→2
ç) lim
e +x
e3x+x
d) lim
x→0
x→∞
2x
x→0
√x+2−2
)
x−2
cosecx− 1
x
x2+3
ex
x→∞
In(cosx)
e) lim
x→0
x
c) lim
)
39) x3y3–3x2+4y–12= 0 denklemiyle verilen eğrinin x= 0 daki teğetinin eğimini
bulunuz.
40) Denklemi 2x3y+3x+4y+1= 0 olan eğrinin (–1,1) noktasından çizilen teğetinin denklemini yazınız.
−1
41) f:(– ∞, 0]→[0, +∞), f(x)= x2 ise (f )′(4) değeri nedir?
42) Aşağıda verilen fonksiyonların belirtilen noktalardaki teğetlerinin eğimlerini
bulunuz.
a) f(x)= (2x−3)3,
c) f(x)=
x2+5x+4
,
x2+3
x=1
b) f(x)= x.sinx,
x= π
x=0
ç) f(x)= x2.√x+1 ,
x= 3
43) f:R→R, f(x)=x3–x2+x+1 ise (f )′(2) değerini hesaplayınız.
−1
175
) )
44) f(x)=xtanx ise f′ π değeri nedir?
4
45)
x= t3−t
dy
y= 2t2−3t ise
in t=2 için değeri kaçtır?
dx
46)
x= 2t−1
y= t2+1 parametrik denklemiyle verilen eğrinin x=3 noktasındaki teğetinin eğimini bulunuz.
47)
x=3t−1
dy
i
y=t3+t2−1 parametrik denklemiyle verilen y=f(x) fonksiyonu için
dx
bulunuz.
48) Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a) y= sin(x2+1)
c) y= arctan (√x )
2
d) y= e3x +3x
f) y= ln(lnx)
ğ) y= 3x+x3
b) y= tan(sinx)
ç) y= ln(x2+x+1)
e) y= arcsin(cosx)
g) y= ex.lnx
h) y= xsinx
49)
• Tanım kümesi: [1,9] dır.
• x<6 ise f (x) negatif, x>6 ise f′(x) pozitiftir.
• f′′(x) daima pozitiftir.
• f(6)=4, f(1)=8 ve f(9)=5 tir.
Yukarıdaki koşulları sağlayan fonksiyonun grafiğini tahmini olarak çiziniz.
50) Bir hareketlinin aldığı yolun zamana bağlı fonksiyonu
s(t)=6t3+2t2+8t+6
olarak veriliyor. Bu hareketlinin ivmesi kaçıncı saniyede 80 m/sn2. olur?
51)
D
O
r
C
h
A
B
176
Bir odanın penceresi, şekildeki gibi bir
yarım daire ve dikdörtgenden oluşmaktadır.
Pencerinin mavi kısmı birim alanda ışığın yarısını, saydam kısmı ise ışığın tamamını içeriye almaktadır. Odadaki aydınlanmanın en
çok olabilmesi için r uzunluğunu, pencerenin
çevresinin uzunluğuna bağlı olarak bulunuz.
52) Şekildeki gibi genişliği 9 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir kâğıt şerit C
köşesi DA kenarı üzerine gelecek şekilde katlanıyor. Oluşan FDE üçgeninin alanının en
büyük değeri kaçtır?
G
C
B
F
9 cm
D
E
A
53) Bir çocuk yaz tatilinde verilen proje çalışması için evlerinin bahçesine bir
ağaç fidesi dikerek ağacın büyüme evresini, tatil boyunca not edecektir. Bu fideyi sulamak için her gün evine 9 metre uzaklıktaki dereden kova ile su alarak dereye 6 metre
uzaklıktaki ağaç fidesini sulayacaktır. Evin dereye en yakın uzaklığı ile ağacın dereye
en yakın uzaklığı arasındaki mesafe 20 metredir. Çocuk ağaç fidesini sulamak için en
kısa yoldan gidiyor. Bu durumda çocuğun su aldığı noktayı bulunuz.
177
4.
B… L† M
ALT ÖĞRENME
ALANLARI
• Belirli İntegral
• Belirsiz İntegral
• Belirli İntegralin
Uygulamaları
178
BELİRLİ İNTEGRAL
Düzlemde tanımlanan üçgen, kare,
dörtgen ve daire gibi geometrik şekillerin alanlarının nasıl bulunacağını biliyorsunuz. Pek çok
düzgün şeklin alanını bulmak için de bu bilgilerinizi kullanmanız yeterli olabilmektedir. Ancak
bazı alanları bulabilmek için düzgün geometrik
şekillerin alanlarını kullanmak yeterli olmayabilir.
Kenarları düzgün olmayan kapalı bir
bölgenin alanını hesaplamak için bölge, düzgün
kenarlara sahip daha küçük parçalara ayrılarak
bu parçaların alanlarından yaralanılabilir.
Şimdi de düzlemde gelişigüzel çizilen 1. şekildeki alanı bulmaya çalışacağız.
y
A
x
0
1. Şekil
y
d
A
c
0
a
2. Şekil
b
x
Gördüğünüz gibi bu alanı tanılayan bir geometrik yapı yok. Ancak sonlu bir alan değerinden söz
edebilmek için şeklin taşıması gereken özellikler var. Bunların birkaçını
birlikte düşünebiliriz. Örneğin, alandan söz ediyorsak boyutlarının ölçülebilir olduğunu kabul ediyoruz demektir.Buradaki gelişigüzel düzlem
parçası için bu gereklilik koşulu, parçanın eni boyu sonlu bir dikdörtgenin
içine konabileceği anlamını taşır.
Görsel olarak alanı 2. şekildeki gibi
temsil edebiliriz.
Buna göre alanın boyu (a,b)
ve eni (c,d) nda kalacaktır. Aksi durum olsaydı alan için sonlu bir değerden söz etmek mümkün olmazdı.
Görünen ya da olması gereken ikinci
özellik, alanın küçük alt alan parçacıklarının toplamı olarak düşünülebileceğidir. Bu düşünce bize doğrudan
tüm alanı bulmak yerine, küçük parçacıkların tek tek alanlarını bularak
toplamlarını oluşturma şansını verir.
Böylece istenen alanı bulabiliriz.
Georg Friedrich Bernard Riemann (Georg Fridriş Bernard Riiman)
(1826−1866)
Matematik ve geometri dalında çok önemli çalışmaları ile modern kuramsal fiziğin gelişmesine önemli katkıları olmuştur. Riemann integrali olarak bildiğimiz belirli integral kavramını ortaya koymuştur.
179
Önce alanı bir doğru ile keserek birer kenarları düz olan iki parçaya ayırabiliriz.
Burada şunu unutmamalıyız: Bütünün boyutları sonlu ise parçalarının boyutları da sonlu
olur.
Alanı iki parçaya ayırmada kullanılan yaklaşım, peş peşe yeniden kullanılarak bu kez her bir alan şekildeki gibi pek çok alt alanın toplamına dönüştürülebilir. Bu
yaklaşım ile önemli olan ve kullanılabilecek iki sonuç elde edilmiştir. Birincisi küçük alt
alanların toplamından genel alana ulaşılmasıdır. İkincisi küçük alt alanların her birinin
üç yanının doğru parçası, bir yanının ise eğri parçasıyla sınırlı daha küçük yeni alanlar
oluşturmasıdır. Öyleyse başlangıçtaki alan problemi üç yanı doğru ve bir yanı eğri ile
sınırlı olan daha küçük bir alanı bulma biçimine dönüşmüş olur. Üç kenarın doğru parçaları ile sınırlı oluşu önemli bir kolaylık olarak düşünülmelidir.
Bu aşamada problemi çözebilmek için elimizde var olan verileri yeniden değerlendirebiliriz. Buna göre elimizde koordinat sistemine de yerleştirebileceğimiz şekildeki
küçük bir parça var ve bu parçanın alanını bulmak istiyoruz.
y
Şekildeki görüntüyü de göz
önüne alarak alan parçası için öncelikle;
• Bir kenarı x ekseni ile,
• İki kenarı y eksenine paralel doğ0
e
x
f
ru parçaları ile,
• Üst kenarı bir eğri ile sınırlıdır, belirlemeleri yapılabilir. Daha sonra
boyutları için ortaya konanlar da göz önüne alınarak;
• [e, f] nın sonlu bir kapalı aralık olduğu,
Alanı üstten sınırlayan eğrinin her noktasının, x eksenine olan uzaklığının sonlu
ve eğriyi tanımlayan fonksiyonun sınırlı olduğu,
[e, f] ndaki eğrinin, f:[e, f]→R gibi sürekli bir fonksiyonla temsil edilebileceği gibi
180
kısıtlamalar da yapılabilir. Böylece verilen herhangi bir eğri ile sınırlı, sonlu boyutlu
bir bölgenin alanını bulma problemi, küçük bölgelerin tek tek alanlarını bulmaya indirgenmiş olur. Kuşku yok ki bu alanların bulunması büyük alana göre daha kolaydır.Bu
kez matematik dili ile problemin yeni şeklini şöyle belirlemek mümkündür: Ortaya konan
yeni koşullar altında problem;
1. [e, f] sonlu kapalı aralığı ile sağdan ve soldan sınırlanmış,
2. Tabanı x ekseni ile çakışan ve sınırlanan,
3. Üstten f(x) fonksiyonu ile sınırlı,
4. Alanı üstten sınırlayan f fonksiyonu, ∀x∈(e, f) noktasında tanımlı ve bu aralıkta, sonlu, sınırlı, sürekli olan alanın bulunmasına dönüşmüş olur. Yeni problemin
çözümü için bir çok bilim adamı çalışmalar yapmıştır. Bunların en önemlileri Newton
(Nivtın) (1669) ve Leibniz (Laybniz) (1673) tarafından, birbirinden bağımsız olarak yapılan çalışmalardır. Bu önemli çalışmalar kimilerince matematik analizinin bir şekilde başlangıcı olarak adlandırılmıştır. Problemi çözmek için yıllar önce ortaya konanlara paralel
düşünmemiz yeterli olacaktır. Buna göre şekilden de yararlanarak şunları söyleyebiliriz:
y
1. [e, x] kapalı alt aralığındaki
f(x)
alan S(x) ve [e, x+∆x] ndaki alan ise
→ S(x+∆x)
→ S(x)
S(x+∆x) ile gösterilebilir.
2. İki alan farkı ∆S(x) =
S(x+∆x)-S(x) eşitliği ile verilebilir. Bu
[x,x+∆x] ndaki şeridin alanı demek-
e
0
x
x+∆x
x
f
tir.
3. Bu durumda dikdörtgen ile
y
şeridin alanı arasında aşağıdaki bağıntı kurulabilir.
S(x+∆x)- S(x) ≈ ∆x.f(c)
f(c)=h
4. ∆x > 0 olduğu bilindiğine
göre yaklaşık eşitliğinin her iki yanını
∆x ile bölmek mümkün olur. Bunun
0
x
c
x
x+∆x
sonucunda da yaklaşık eşitliği,
S(x+∆x)−S(x) ≈ f(c)
∆x
biçimine dönüşür.
181
Bu aşamada ∆x→0 durumunda her iki yanın limiti alınarak yaklaşık eşitlikten,
eşitliğe geçilebilir diye düşünüyoruz. Buna göre ∆x→0 ise x+ ∆x→x ve buradan c→x
yaklaşımlarına da sahip oluruz. Öyleyse dördüncü basamakta verdiğimiz yaklaşık eşitlik
için bu kez,
lim S(x+∆x)−S(x) = lim f(c)
∆x→0
∆x
∆x→0
eşitliği elde edilir.
1.
y
f(x)=x2
9
f(x)= x2 eğrisi, x ekseni ve
x= 3 doğrusu ile sınırlanan alanı bul4
maya çalışalım.
1
x
0
3
y
f(x)=x2
9
[0,3] nı üç eşit parçaya ayırarak eğrinin altında kalan dikdörtgenleri çizelim ve alanların toplamını he-
4
saplayalım.
Bu dikdörtgenlerin alanları toplamı:
1.f(0)+1.f(1)+1.f(2)=1.02+1.12+1.22
1
0
=1.(02+12+22)=5 olur.
1
2
x
3
182
y
9
f(x)=x2
Bu kez de [0,3] nı altı eşit parçaya bölerek oluşan dikdörtgenlerin alanları topla-
25
4
mını hesaplayalım.
Bu dikdörtgenlerin alanları toplamı,
1
1 1 1
1 3 1
1 5
.f(0)+ .f + .f(1)+ .f + .f(2)+ f
2
2 2 2
2 2 2
2 2
4
9
4
=
1
1
4
0
1 2 1 2 2 3 2 2 5
0+
+1 +
+2 +
2
2
2
2
()
2
= 6,875 olur.
x
1 1 3 2 5 3
2
2
2
(
()
()
( ) ( ) ( ))
Benzer işlemlere devam edilerek aşağıdaki tablo oluşturulmuştur. İnceleyiniz.
parça sayısı
alan hesaplama
toplam alan
3
1.(f(0)+f(1)+f(2))
5
6
1
1
3
5
. f(0)+f +.f(1)f +f(2)+f
2
2
2
2
(
()
( ))
6,875
12
7,90625
100
8,86545
1000
8,9865045
10000
8,998650045
y
f(x)=x2
9
Şimdi de [0,3] nı yine üç eşit parçaya
ayırarak yanda bulunan şekildeki gibi üst
dikdörtgenleri çizelim ve alanları toplamını
hesaplayalım.
4
1.f(1)+1.f(2)+1.f(3)= 1.12+1.22+1.32
= 1.(12+22+32)=14
1
x
0
1
2
3
183
y
f(x)=x2
9
[0,3] nı altı eşit parçaya bölerek
oluşan üst dörtgenlerin alanları toplamı da
25
4
aşağıda hesaplanmıştır.
4
()
()
(
)
()
1 1 1
1 3 1
1 5 1
.f + .f(1)+ .f + .f(2)+ f + .f(3)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
9
4
=
1
1
4
0
1
2
1 3 2 5 3
2
2
x
1 1
9
+1+ +...+9
2 4
4
= 11,375
Benzer işlemlere devam edilerek aşağıdaki tablo oluşturulmuştur. İnceleyiniz.
parça sayısı
alan hesaplama
toplam alan
3
1.(f(1)+f(2)+f(3)
14
6
1 1
. f +.f(1)+...f(3)
2 2
(( )
)
11,375
12
10,15625
100
9,13545
1000
9,0135045
10000
9,0011350045
Etkinlikte yapılan tablolara bakıldığında parça sayısı arttıkça alt ve üst dikdörtgenlerin alanları toplamının hangi sayıya yaklaştığını söylenebilir mi?
Yapılan çalışmaları yeniden gözden geçirerek, bulmaya çalışılan, f(x)= x2 eğrisi
x ekseni ve x= 3 doğrusu ile sınırlanan alanın kaç birim kare olduğunu tahmin ediniz.
Bu kez yaptığımız tahmini daha kesin bir sonuca ulaştırmaya çalışalım.
184
y
9
Alt ve üst dikdörtgenlerin alanları top-
f(x)=x2
lamını bulmak için [0,3],
0= x0< x1< x2<...< xn-1< xn=3 olmak üzere,
∀k∈{1,2,3,...n} için [xk-1,xk] biçiminde n tane
kapalı alt aralığa bölünmüştür.
∆xk=xk-xk-1, f(x)=x2 ve tk∈[xk-1,xk] olmak üzere
bu alanlar toplamı,
n
Σ f(t ).∆x
x
0 x1 x2...xk-1xk xn=3
k=1
k
k
biçiminde yazılabilir.
Bu toplama Riemann (Riman) toplamı denir.
y
f(x)=x2
xk-1 tk
0
x
xk
Buradan n→∞ (∆xk→0) için toplamının limiti,
3
n
lim
n→∞
Σ f(t ).∆x
k=1
olur ve
k
k
∫ x dx biçiminde gösterilir.
2
0
Genel olarak, eğer f(x) fonksiyonu [a,b] nda türevli ve ∀x∈[a,b] için f(x)≥0 ise
y=f(x) eğrisi ve [a,b] nda kalan alan
b
n
lim
A= ∆x
→0
k
Σ f(x ).∆x = ∫ f(x)dx biçiminde gösterilir.
k=1
k
k
a
Buna f fonksiyonunun a dan b ye belirli integrali denir.
b
∫ f(x)dx gösteriminde a ya “integralin alt sınırı”, b ye “integralin üst sınırı” denir.
a
185
y
f(x)=x2
üst toplam
alt toplam
Riemann toplamı
0
x
xk-1 tk xk
Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi, Riemann toplamının alt toplamdan her zaman büyük eşit, üst toplamdan da her zaman küçük eşit olacağını kolaylıkla söyleyebiliriz.
Alt toplam≤Riemann toplamı ≤ Üst toplam
[0,3] ndaki alt aralık sayıları artırılarak sonsuza götürüldüğünde alt ve üst toplamlarının dokuz sayısına yaklaştığını tahmin edebiliriz. Bu durumda yukardaki eşitsizlikten Riemann toplamının da aynı sayıya yaklaştığını söyleyebiliriz.
5
f:R→R, f(x)= x fonksiyonunda,
2
∫ f(x)dx belirli integralini Riemann toplamı
1
yardımıyla hesaplayalım.
y
f(x)
x0=1 x1 x2 x3
186
xn=5
Hesaplanması istenilen alanı şekilde görüldüğü gibi n tane üstdikdörtgene
ayıralım. Bu alan
i
: kaçıncı dikdörtgen olduğunu
f(xi)
: i. dikdörtgenin yüksekliğini
∆x
: dikdörtgenlerin taban uzunluğunu göstermek üzere
b
n
(∆
b−a
n
a= 1 ve b= 5 iken
(∆
5−1 4
=
n
n
xi= x0+i∆x
(x0= 1)
∫ f(x)dx=
lim
n→∞
a
xi= 1+i.
Σ f(x )∆x olur.
x=
i
i=1
x=
)
)
4
olduğundan n tane üstdikdörtgenin alanları toplamı
n
n
n
Σ f(x ).∆x= Σ f(1+i. 4n ). 4n
i
i=1
n
=
Σ(
)
4 2 4
1+i.
. =
n n
i=1
=
i=1
[
n
n
4
.
Σ (1+ 8in + 16i
n ) n
2
n
Σ 1+ 8n .Σ i+
4
n
= 4+
i=1
2
i=1
16
n2
i=1
n
Σi
2
i=1
] [
=
4
8 n(n+1) 16 n(n+1)(2n+1)
+ 2 .
n+ .
n
n
2
n
6
16(n+1) 32(n+1)(2n+1)
+
n
3n2
Buradan
n
lim
n→∞
Σ f(x ).∆x= lim
i=1
i
lim 4+lim
= n→∞
n→∞
n→∞
[
4+
16n+16 64n2+96n+32
+
n
3 n2
16n+16 lim 64n2+96n+32
64 124
+n→∞
=
= 4+16+
n
3 n2
3
3
Buradan
5
∫ x dx= 124
br
3
2
]
2
olur.
1
187
]
1.
Aşağıdaki integralleri Riemann toplamı yardımıyla hesaplayınız.
2
a)
0
∫ xdx
∫ x −1
d)
a)
b)
c)
ç)
d)
3
∫ 1−x
e)
2
3
∫x
3
0
∫ (2x+1)dx ve ∫ (2x+1)dx
2
1
1
2
∫ (2x+1)dx ve − ∫ (2x+1)dx
2
1
2
0
0
1
∫ (2x+1)dx ve ∫ (2x+1)dx+ ∫ (2x+1)dx
2
2
1
1
∫ 3.(2x+1)dx ve 3. ∫ (2x+1)dx
1
1
1
Ð 1
Ð 1
Ð 1
∫ (2x+1)dx ve ∫ 2xdx+ ∫ 1dx
2
e)
1
2
Ð 1
2
∫ (x+3)dx
0
1
2
1
2.
c)
Ð 2
4
ç)
∫ 2xdx
b)
Ð 2
3
∫ (2x+1)dx
Ð 3
2
ve
∫
2x+1 dx
Ð 3
Yukarıda verilen integralleri Riemann toplamı yardımıyla hesaplayınız.
Yukarıda her bir satırdaki hesapladığınız integrallerin sonuçlarını karşılaştırınız. Sizler de benzer örnekler seçerek bir genelleme yapmaya çalışınız.
188
k∈R için, bir [a,b] nda f, g, k.f, f+g ve f–g fonksiyonları integrallenebilir ise
a
∫ f(x)dx= 0
a
b
a
a
b
∫ f(x)dx= − ∫ f(x)dx
c
b
c
a
a
b
∫ f(x)dx= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx
b
b
a
a
(a<b<c)
∫ k.f(x)dx= k. ∫ f(x)dx
b
∫ [f(x)
±
b
g(x)]dx=
a
b
b
a
a
∫ f(x)dx ≤ ∫ f(x)
b
∫ f(x)dx ∫ g(x)dx
a
±
a
dx
Bu özelliklerin her birini Riemann toplamı yardımıyla örnekleyelim.
2
∫ (x+1)dx integralini hesaplayalım.
2
n
lim
n→∞
n
(∆
Σ f(x ).∆x= lim Σ f(2).0
i
i=1
n→∞
i=1
n
= lim
n→∞
(
Σ 0= lim 0= 0
i=1
x=
n→∞
189
)
2−2
=0
n
xi= 2+i.∆x= 2+i.0= 2
)
3
A=
∫
1
∫
2xdx ve B=
1
bulalım.
3
A=
2xdx integralleri veriliyor. A ile B arasındaki bağıntıyı
3
n
∫ 2xdx= lim Σ f(x ). ∆x
n→∞
1
[( ) ]
n
= lim
n→∞
i
i=1
Σ
i=1
[
n
n
i=1
i=1
Σ 1+ 2n Σ i
4
= lim
n→∞
n
(∆
2. 1+i. 2 . 2
n n
(
4 n+ 2 . n(n+1)
= lim
n→∞
n
n
2
x=
3−1 2
=
n
n
)
(
xi= 1+i. 2
n
)
1−3
=−2
n
n
)
]
)
8n+1 = 8
= lim
n→∞
n
3
n
B= ∫ 2xdx= lim Σ f(x ). ∆x
n→∞
1
n
= lim
n→∞
Σ
i=1
[ ( ) ( )]
2. 3− 2 .i . − 2
n
n
( )[Σ
= lim
−4
n→∞
n
i
i=1
n
i=1
3− 2
n
( )(
n
Σi
i=1
]
= lim
− 4 3n− 2 . n(n+1)
n→∞
n
n
2
(∆
x=
(
)
−8n+4 = −8
= lim
n→∞
n
A= 8 ve B= −8 olduğundan A= −B olur.
190
( ))
xi= 3+i. − 2
n
(
xi= 3− 2 .i
n
)
5
A=
2
∫ 3x dx,
B=
2
0
5
∫ 3x dx ve C= ∫ 3x dx integralleri için
2
2
0
2
A=B+C olduğunu gösterelim.
5
A=
n
∫ 3x dx= lim Σ 3.( 5n i) . 5n
2
n→∞
0
(
lim 375
= n→∞
n3
(∆
2
5−0 5
=
n
n
)
5 5
= i
n n
)
2−0 2
=
n
n
)
2 2
= i
n n
)
x=
5−2 3
=
n
n
)
(
3
n
)
x=
i=1
n
Σ i)
(
xi= 0+i.
2
i=1
[
lim 375 n(n+1)(2n+1)
= n→∞
n3
6
]
= 125
2
B=
n
∫ 3x dx=
lim
2
n→∞
0
= lim
n→∞
(
Σ
i=1
[( ) ]
(∆
2
3. 2 i . 2
n
n
x=
n
Σ i)
24
n3
(
xi= 0+i.
2
i=1
[
]
lim 24 n(n+1)(2n+1) = 8
= n→∞
n3
6
5
C=
∫
2
n
lim
3x dx= n→∞
2
(
lim 9
= n→∞
n
Σ
i=1
[( ) ]
(∆
2
3. 2+ 3 i . 3
n
n
n
Σ 4+ 12n i+ n9 i )
xi= 2+i.
2
i=1
2
[(
lim 9 4n+ 12 . n(n+1) + 9 . n(n+1)(2n+1)
= n→∞
n
6
n
n
n2
(
lim 36+54(n+1)+ 27(n+1)(2n+1)
= n→∞
n
2n2
= 36+54+27
=117
Buradan A= B+C olduğu görülür.
191
)
)]
3
3
0
0
∫ 4(x+1)dx= 4. ∫ (x+1)dx olduğunu gösterelim.
n
lim
n→∞
( )
Σ
i=1
n
lim 4.
n→∞
n
4. 3 i+1 . 3
n
n
Σ(
4.lim
n→∞
)
4.lim
n→∞
n
lim
n→∞
i=1
n
3 i+1 . 3
n
n
i=1
Σ 4.( 3n i+1). 3n
Σ ( 3n i+1). 3n
x=
n
+n . 3
Σ 4.( 3n .n(n+1)
)n
2
+n . 3
Σ ( 3n .n(n+1)
)n
2
lim
4.n→∞
i=1
15n+9
4. lim
n→∞
2n
30
4. 15
2
30
30
3
3
0
0
(
xi= 0+i.
∫ 4(x+1)dx= 4. ∫ 4(x+1)dx olduğu görülür.
f(x)= 4x3 ve g(x)= 3x2 fonksiyonyarı veriliyor.
2
∫
2
(f(x)+g(x))dx
B=
∫
0
2
(f(x))dx
C=
0
∫ (g(x))dx veriliyor.
0
A= B+C olduğunu gösterelim.
2
A=
∫
n
lim
(4x3+3x2)dx= n→∞
0
n
= lim
n→∞
Σ
i=1
Σ f(x ).∆x
i=1
i
[ ( ) ( )]
3
2
4. 2 i +3. 2 i . 2
n
n
n
192
(∆
x=
(
2−0 2
=
n
n
xi= 0+i.
)
)
2 2
= .i
n n
)
3 3
= .i
n n
f: R→ R
A=
3
n
i=1
lim 30n+18
n→∞
n
Buradan
(∆ )
i=1
[
lim 64
= n→∞
n4
n
Σ
i=1
i +243
n
3
[
n
Σi
i=1
]
2
]
(
xi=
2
i
n
)
2
lim 64. n(n+1) +24. n(n+1)(2n+1)
= n→∞
4
n
n
n3
6
= 64+8= 24
4
2
B=
∫
n
lim
4x .dx= n→∞
3
0
Σ 4.( 2n i) . 2n
(∆ )
( )
3
x=
i=1
n
Σ
lim 64.
= n→∞
i3
n4 i=1
(
2
.i
n
xi=
lim 64. n(n+1)
= n→∞
n4
n
)
2
= 16
2
C=
n
∫
lim
3x .dx= n→∞
2
0
Σ 3.( 2n i) . 2n
2
i=1
n
Σ
lim 24.
= n→∞
i2
n3 i=1
(
lim 24. n(n+1)(2n+1)
= n→∞
n3
6
)
=8
Buradan A= B+C olduğu görülür.
2
2
Ð 1
Ð 1
∫ 2xdx ≤ ∫ 2x
dx olduğunu gösterelim.
2
∫ 2xdx
A=
Ð 1
n
= lim
n→∞
Σ 2(−1+ 3n i) 3n
i=1
n
= lim
n→∞
6
i− )
Σ ( 18
n
n
i=1
(∆
x=
(
2−(−1) 3
=
n
n
xi= −1+i.
2
193
3
n
)
2
n
)
(
)
18 n(n+1) 6
= lim
.
− .n
n→∞
n2
n
n
= 9−6
= 3 =3
2
B=
∫ 2x
dx integralinde f(x)= 2x fonksiyonu
Ð 1
f(x)=
{
2x
x≥0
−2x
x<0
parçalı fonksiyon olduğundan grafiği aşağıdaki gibidir.
y
y= 2x
B=
x
2
-1
2
0
2
0
2
Ð 1
Ð 1
0
Ð 1
0
∫ 2xdx= ∫ −2xdx+ ∫ 2xdx= −2 ∫ xdx+2 ∫ xdx
n
= −2 lim
n→∞
Σ(
i=1
)
−1+ 1 i 1 +2 lim
n→∞
n n
(
)
)
n
Σ
i=1
(
)
0+ 2 i 2
n n
(
lim 1 −n+ 1 . n(n+1) +2 lim 2 2 . n(n+1)
= −2 n→∞
n→∞
n
n
n
n n
n
(
= −2 −1+ 1 +2. 4
2
2
= 1+4 = 5
Buradan A≤B olduğu görülür.
194
)
2.
100
1)
∫
100
x+1 dx integralini hesaplayınız.
x2+2
5
2)
3
∫ (x+1) dx+ ∫ (x+1) dx integrallerini hesaplayınız.
3
3
3
5
3) a, b, c∈R ve a<c<b olmak üzere
b
c
b
∫ (x−1) dx= 200 ve
∫ (x−1) dx= 120 ise
∫ (x−1) dx
a
a
c
2
2
2
integralini hesaplayınız.
b
4)
5)
b
∫ (2x+3) dx= A ise ∫ (6x+9) dx integralini A türünden hesaplayınız.
2
2
a
a
b
b
∫ x dx= 40
ve
6
a
∫ 8x dx= −24 olarak veriliyor.
3
a
b
∫ x (x−2)(x +2x+4)dx integralini hesaplayınız.
3
2
a
3.
[a,b] nda türevli bir f(x) fonksiyonu alalım.
y
d
f(b)
f(a)
0
a
195
b
x
y
Şekildeki d doğrusunun eğiminin
d
f(b)
f(b)−f(a)
biçiminde hesaplanabileceğini biliyoruz.
b−a
f(a)
a
0
c b
y
x
Bu aralıkta fonksiyonun d doğrusuna paralel en az bir teğetinin olması gerektiği
açıktır.
d
Öyleyse c∈[a,b] olmak üzere
0
a
c b
x
f(b)−f(a)
=f(c) eşitliğini sağlayan en az bir c noktası vardır.
b−a
Bu eşitlik f(b)-f(a)=f(c).(b-a)...........(1) biçiminde de gösterilebilir.
4.
Aşağıdaki verilen şekli inceleyiniz.
y
0
f(x)
x0=a
b
n
Şekildeki alanın, lim
n→∞
x
b=xn
x2
x1
Σ f(t )∆x = ∫ f(x)dx ile gösterildiğini biliyorsunuz.
k
k=1
k
a
n
Σ f(t )∆x
k=1
k
k
ifadesini açık olarak yazalım.
n
Σ f(t )∆x = f(t ).∆x +f(t ).∆x +...+f(t ).∆x = f(t ).(x −a)+f(t ).(x −x )+...+f(t ).(b−x
k=1
k
k
1
1
2
2
n
n
1
1
2
2
1
n
n−1
)
F’(x)=f(x) olmak üzere (1) eşitliği, F(b)–F(a)=f(c).(b–a) biçiminde yazılarak
yukarıdaki eşitlikte kullanılırsa,
n
Σ f(t )∆x = f(t ).(x −a)+f(t ).(x −x )+...+f(t ).(b−x
k=1
k
k
1
1
2
2
1
196
n
n−1
)
= F(x1)-F(a)+ F(x2)–F(x1)+…+ F(b)–F(xn–1)= F(b)–F(a) olur.
Buradan,
n
Σ f(t )∆x = F(b)–F(a) eşitliği elde edilir.
k=1
k
k
n→∞ için eşitliğin her iki tarafının limitini alarak
b
∫ f(x)dx= F(b)–F(a) eşitliğini elde etmeye çalışınız.
a
F′(x)= f(x) olmak üzere F(x)= x3 fonksiyonu veriliyor.
4
∫ f(x)dx integralini Riemann toplamı yardımı ile hesaplayarak
0
F(4)−F(0) değeri ile karşılaştıralım.
F(x)= x3 ⇒ F′(x)= f(x)= 3x2 olur.
4
n
∫ 3x dx= lim Σ f(x )∆x
2
n→∞
0
x=
(
i
i=1
(∆
4−0 4
=
n
n
xi= 0+
4
.i
n
n
= lim
n→∞
Σ f( 4n .i). 4n
i=1
n
Σ
( )
4
= lim 4 .
3. .i
n→∞
n i=1
n
2
= lim 192 . n(n+1)(2n+1) = 64
n→∞
n3
6
Diğer yandan F(4)–F(0)= 43−03= 64 olur.
Buradan
4
∫ f(x)dx= F(4)−F(0) yazılabilir.
0
Evren her an gözlemlerimize açıktır; ama onun dilini ve bu dilin yazıldığı harfleri öğrenmeden ve kavramadan anlaşılamaz. Evren matematik diliyle
yazılmıştır; harfleri üçgenler, daireler ve diğer geometrik biçimlerdir. Bunlar olmadan tek sözcüğü bile anlaşılamaz, bunlarsız ancak karanlık bir labirentte dolanılır.
GALİLEO
www.guzelhikayeler.net
197
)
)
f, [a, b] nda sürekli ve F′(x)= f(x) ise
b
∫
f(x)dx= F(x)
a
b
= F(b)–F(a) biçiminde gösterilir ve buna integral hesabının
a
“birinci temel teoremi” denir.
F′(x)= f(x) olmak üzere F(x)= sinx fonksiyonu veriliyor.
π
∫ f(x)dx integralini hesaplayalım.
π
π
2
∫ f(x)dx= F(π)−F( π2 )
(Birinci temel teorem)
π
2
π
= sinπ−sin = 0−1= −1
2
y
F(x)
5
Yandaki şekilde F(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
F′(x)= f(x) olduğuna göre
x
1 2
0
2
∫ f(x)dx integralini hesaplayınız.
1
2
∫ f(x)dx=
F(2)−F(1)
(Birinci temel teorem)
1
= 5−0= 5
x
5.
d
f1(t)= sint için
dx
(∫
0
x
1
d
için
f2(t)=
t
dx
(∫
5
)
f2(t)dt ,
x
d
f3(t)= et+t için
dx
)
f1(t)dt ,
(∫
−3
)
f3(t)dt ,
işlemlerini yaparak bulduğunuz sonuçları, sırasıyla f1(x), f2(x) ve f3(x) fonksiyonlarıyla
karşılaştırınız. Bir genellemeye ulaşmaya çalışınız.
198
f(t)= t2+t fonksiyonu veriliyor. Buna göre
d
dx
d
dx
x
(∫ )
(∫ )
f(t)dt işleminin sonucunu bulalım.
2
x
2
f(t)dt = d (F(x)−F(2))
dx
= d F(x)− d F(2)
dx
dx
= f(x)−0= f(x)= x2+x olarak bulunur.
f fonksiyonu a ve x i içeren açık aralıkta sürekli ise
d
dx
x
(∫ )
f(t)dt = f(x) dir.
a
Bu teorem integral hesabının “ikinci temel teoremi” olarak adlandırılır.
f(t)= cost fonksiyonu veriliyor.
Buna göre
x
d
dx
(∫
)
costdt işleminin sonucunu bulalım.
π
3
x
d
dx
( ∫ costdt)= cosx olur.
(2. temel teorem)
π
3
d
dx
g(x)
(∫
)
f(t)dt işleminin sonucunu bulalım.
a
F′(t)= f(t) olsun d
dx
g(x)
(∫
a
)
(
f(t)dt = d F(t)
dx
= d (Fg(x)−F(a))= F′(g(x)).g′(x)−0
dx
= f(g(x)).g′(x) olur.
199
g(x)
a
)
(1. temel teorem)
(Bileşke fonksiyonun türevi)
x2
h(x)=
∫ t .sint.dt verilsin.h′(x) değerini bulalım.
3
0
d
dx
g(x)
(∫
)
f(t)dt = f(g(x)). g′(x) eşitliğinde
a
f(t)= t3.sint ve g(x)= x2 olduğundan
h′(x)= d
dx
x2
(∫
)
t3.sint.dt = f(x2).g′(x)= (x2)3.sinx2.2x
0
= 2x7.sinx2 olur.
lnx3
∫ e dt fonksiyonu veriliyor. h(x) fonksiyonunun türevini bulalım.
h(x)=
t
lnx2
h′(x)= d
dx
lnx3
∫ e dt= e
lnx3
t
2
.(lnx3)′−elnx .(lnx2)′
(2. temel teorem)
lnx2
2
x3. 3x3 − x2. 2x2
x
x
h′(x)= 3x2−2x olur.
3.
1) Aşağıda verilen fonksiyonların türevlerini, örneği inceleyerek ve integral hesabının ikinci temel teoreminden yararlanarak bulunuz.
x2
f(x)=
∫
2t dt fonksiyonunun türevi
t3+3
3
x2
∫
f′(x)= d
dx
2t dt= 2x2 .(x2)′= 2x2 .2x= 4x3 olur.
x4+3
x4+3
x4+3
t +3
2
3
x
∫ (t +1)
a) f(x)=
3
t
17
dt
b) g(t)=
−1
x
∫ √u+3
du
ç) A(x)=
2
12
d) B(x)=
∫
3
∫(
x
2
0
z
c) h(z)=
∫ √x +16 dx
x
)
t− 1 dt
t
e) C(x)=
∫ cos4t dt
0
200
1 dt
t
2) İntegral hesabının ikinci temel teoremini kullanarak aşağıdaki türevleri hesaplayınız.
a) d
dx
c) d
dm
x
∫
0
dt
1+√t
cosm
∫
sinm
b) d
dt
x+1
dx
x+2
t+1
∫
ç) d
dz
t
ex
dx
ex+1
z
∫ sin√x dx
1
x
3) F(x)=
∫ √2t +1 dt olarak veriliyor. F(2), F′(2) ve F′′(2) değerlerini hesaplayınız.
2
2
x
4) F(x)=
∫
0
t−3
dt
t2+7
a) F(x) in minimum değerine ulaştığı x değerini bulunuz.
b) F(x) in artan ya da azalan olduğu aralıkları bulunuz.
c) F(x) in içbükey ya da dışbükey olduğu aralıkları bulunuz.
BELİRSİZ İNTEGRAL
Aşağıda integral alabilen bir hesaplayıcı programında x2+2x+3 fonksiyonu yazıldığında çıkan sonuç görülmektedir.
İNTEGRAL HESAPLAYICI
FONKSİYON: x^2+2*x+3
DEĞİŞKEN: x
İNTEGRALİ
İNTEGRALİ
3
∫(x +2x+3)dx = x +x2+3x
3
2
Sizler f(x) fonksiyonu yazıldığında integralini alabilen bir programı inceleyiniz. Birkaç
fonksiyon yazarak sonuçlarını gözlemleyiniz. Böyle bir programın nasıl çalıştığını ve
nasıl programlanabileceğini araştırınız.
201
y
y
f(x)
f(c)=h
→ S(x+∆x)
→ S(x)
0
e
x
x+∆x
f
x
0
x
c
x+∆x
x
Belirli integralde bir eğri altındaki alanı hesaplama çalışmalarımızda yukarıdaki
şekiller yardımıyla aşağıdaki eşitliğe ulaşmıştık.
lim
∆x→0
S(x+∆x)−S(x)
= lim f(c)
∆x→0
∆x
Bu eşlitliğin birinci yanı bizi çok iyi bilinen bir matematiksel kavrama götürür.
Bu kavramın adı “türev” kavramıdır. Başka bir deyişle eşlitliğin birinci yanı S′(x) olarak
adlandırılabilir. Öyleyse eşlitliğin yeni şekli,
S′(x)= lim f(c)= f(x)
c→x
olarak elde edilir. Çünkü f(x) fonksiyonu sürekli bir fonksiyon olarak belirlenmişti.
Aradaki limitli terim atıldığında,
Sı(x)=f(x)
bağıntısına ulaşılır. Elde edilen matematiksel bir modeldir. Bu modelde aranan alan
bulunamamış ama alanın türevinin ne olduğu ortaya çıkarılmıştır.
Bu durumda alan problemi, türevi bilinen bir fonksiyonun kendisini bulmaya
indirgenmiştir.
Böylece “gelişigüzel bir düzlemsel şeklin alanının bulunması problemi” önce,
“üç yanı doğru parçaları ve bir yanı belli koşulları sağlayan bir fonksiyonun eğrisi ile
sınırlı bölgenin alanının bulunmasına” indirgenmiş ve son adımda da “türevi bilinen bir
fonksiyonun kendisinin bulunmasına” dönüştürülmüştür.
202
Matematikte türevi verilen fonksiyonun kendisini bulma işlemine “integral alma”
adı verilir ve
F′(x)= f(x)⇔
∫ f(x) dx= F(x)+c
biçiminde gösterilir. Burada kullanılan
∫ işareti, toplam anlamındaki latince summa keli-
mesinin baş harfi olan S nin bozulmuş şeklidir.
6.
Yanda verilen tabloyu inceleyiniz.
f(x) fonksiyonu
fı (x) fonksiyonu
x2
2x
x2+1
2x
x2-1
2x
x2+2
2x
x2-2
2x
.
.
.
.
.
.
Sizler de türevi 2x olan farklı fonksiyonlar
yazınız.
İntegral, türevi bilinen fonksiyonu
bulmak olduğuna göre, 2x in integralini bulunuz.
Görüldüğü gibi f:R→R, f(x)= x2+c
(c∈R) fonksiyonunda c için 0, –1, +1, –2, …
gibi sayısal değerler aldığımızda, türev fonksiyonu değişmemektedir.
Türevi 2x olan fonksiyonun kendisi,
birinci sütundaki tüm fonksiyonlar olabilir.
Başka bir deyişle c sabiti belirsiz bir sabittir.
Bu durum c yi içeren integrali belirsiz hâle
getirir.
Türev yardımı ile f1(x)= x3+6, f2(x)= x3, f3(x)= x3−5 fonksiyonlarının hangi fonksiyonun integrali olduğunu bulalım.
d f (x)= d (x3+6)= 3x2
dx 1
dx
d f (x)= d (x3)= 3x2
dx 2
dx
d f (x)= d (x3−5)= 3x2
dx 3
dx
Görüldüğü gibi f1(x), f2(x) ve f3(x) fonksiyonlarının herbirinin türevi 3x2 dir.
O hâlde 3x2 fonksiyonunun integrali
∫ 3x
2
dx= x3+c (c∈R) olur.
203
∫ f(x) dx= F(x)+c ye f(x) fonksiyonunun "belirsiz integrali" adı verilir.
∫ f(x) dx gösterimindeki
∫ ... dx ifadesi tek bir sembol gibi düşünülür ve noktalı yere türevi alınmış fonksiyon yazılır. Noktalı yere yazılan bu fonksiyona “integrand”, c gerçek sayısına da “integral sabiti” denir. Gösterimde yer alan dx, bağımsız değişkenin x olduğunu gösterir.
d f(x)= f′(x) eşitliğinden elde edilen d(f(x))= f′(x) dx ifadesine f(x) fonksiyonudx
nun diferansiyeli, dx e de diferansiyel çarpanı denir.
4.
1) d (x3), d (tant), d (√u ) ifadelerinin eşitini yazarak
dt
du
dx
∫ 3x
2
2)
dx,
∫ sec t dt, ∫
2
du
integrallerinin eşitini yazınız.
2√u
∫ f(x) dx ⇒ dxd ∫ f(x) dx= f(x) eşitliğinin geçerli olup olmadığını tartışınız.
3)
f(x)= x3+x2 fonksiyonu ile türevinin
grafiğini dinamik matematik yazılımı
yardımı ile çiziniz. f(x) fonksiyonunun
grafiğini y ekseni boyunca hareket ettirerek türev fonksiyonunda bir değişim
olup olmadığını belirleyiniz.
Sir Isaac Newton (1642-1727),
tarihinin yetiştirdiği en büyük bilim adamlarından biridir. Matematik, astronomi ve fizik alanlarındaki buluşları ile tanınır. Bilime
yaptığı temel katkılar, diferansiyel ve integral hesap, evrensel
çekim kanunu ve güneş ışığının yapısı olarak sıralanabilir.
204
7.
İntegral ile türevin birbirinin tersi işlemler olduğunu biliyorsunuz. Bu nedenle
d [x2]= 2x olduğundan
dx
∫ 2x dx= x +c
2
∫ cosec t dt= −cott+c
d [−cott]= cosec2t olduğundan
dt
d [3 ]= 1 olduğundan
√u
3
du
3. √u2
∫
du
3
3
3. √u
2
= √u +c yazılabilir.
Sizler de aşağıdaki tabloyu örneklere uygun biçimde doldurunuz.
f(x)
xn−1
n+1
sinx
f′ (x)
∫ f′(x)dx=f(x)+c
xn
= xn
n+1
∫x
(n+1).
n
dx=
xn+1
+c
n+1
∫ cosx dx = sinx +c
cosx
−cosx
tanx
−cotx
arcsinx
arccosx
arctanx
−arccotx
Inx
ex
ax
lna
∫x
3
dx=
x3+1
+c= 1 x4+c ve
4
3+1
∫
205
1 dx=
x5
∫x
−5
dx= −
1 +c olur.
4x4
Aşağıdaki eşitliklere temel integral alma kuralları adı verilir.
x
∫ x dx= n+1
+c (n≠−1)
∫ 1x dx= ln|x|+c
∫ e dx= e +c
−1
∫ √1−x
dx= arccosx+c
n+1
n
x
x
2
5.
∫ sinx dx = −cosx +c
∫ sec x dx = tanx +c
∫ cosec x dx = −cotx +c
−1 dx dx= arccotx+c
∫ 1+x
1
∫ √1−x
dx= arcsinx+c
1
∫ 1+x
dx= arctanx+c
a
∫ a dx= lna
+c
∫ cosx dx = sinx +c
2
2
2
2
x
2
x
1) Aşağıda verilen belirsiz integralleri alınız.
a)
∫x
d)
∫ √u dx
4
dx
3
b)
∫x
e)
∫
−2
dx
dt
5
√t
c)
∫
dx
x3
ç)
∫x
f)
∫ y dy
g)
∫ dx
1
2
dx
2) Bir öğrenciden aşağıdaki integral alma örneğini sonuçlandırması istenmektedir.
∫
dx = ?
x
Öğrenci tarafından yapılan çözüm aşağıdaki gibidir.
∫
dx =
x
∫
1 dx=
x
∫x
−1
−1+1
0
+c= x +c= 1 +c
dx= x
0
−1+1
0
Yapılan bu işlemde öğrencinin soruyu yanlış çözdüğü söylenmektedir.
Sizce yapılan hata nerededir? Burada integrali alınan fonksiyonunun özelliklerini hatırlayınız.
3) ∀x∈R için türevlenebilen bir f(x) fonksiyonunun türevi f′(x)= x2 biçiminde veriliyor. f(3)= 12 olduğuna göre f(x) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
4) İvme-zaman denklemi,
a(t)=t olan bir aracın 10. saniyedeki hızı 80 m/sn. ise bu aracın hız-zaman bağıntısını bulunuz.
5) Aşağıdaki belirsiz integrallerde verilen eşitliklere göre her bir integralde yazılı
f(x) fonksiyonunu bulunuz.
∫ f(x) dx= x −3x+c
b)
∫ x.f(x) dx= x −5x +4x+c
c)
∫
ç)
∫ f(x) dx= cosx+sinx+c
a)
∫ f′(x) dx
a)
2
f(x) dx= 2x3−4x+c
x
6) Aşağıda verilen belirsiz integralleri alınız.
b)
206
∫ f′′(x) dx
3
2
c)
∫ f′′′(x) dx
7) Aşağıda verilen işlemlerin sonucunu örneğe uygun biçimde bulunuz.
d
dx
[∫
a) d
dx
c) d
du
d) d
dy
] [ ]
[∫
]
[∫ ]
[∫ ]
x2 dx = d
dx
x3 +c = 3x2 +0= x2
3
3
[∫
[∫
[∫
]
cosx dx
b) d
dt
du
u
ç) d
dm
√m dm
ey dy
ç) d
dx
ax dx
sec2t dt
]
]
8) Aşağıda verilen işlemlerin sonucunu örneğe uygun biçimde bulunuz.
∫ [ dxd ( x2 )]dx= ∫ x dx=
2
x2 +c
2
a)
∫ [ dxd (cosx)] dx
b)
∫ [ dxd (lnx)] dx
c)
∫ [ dud (−cotu)] du
ç)
∫ [ dad (arctana)] da
d)
d m dm
∫ [ dm
( 2 )]
e)
d
∫ [ dn
(e )] dn
3
n
Yaptığınız işlemleri bir kez daha gözden geçirdiğinizde,
∫ [ dxd (f(x))]dx= f(x)+c
olduğu sonucuna kolayca ulaşabilirsiniz.
8.
A
B
∫ 2x dx
∫ 3x
2
2.
dx
∫ 2cosx dx
∫ 5e
x
dx
∫ cosx dx
5.
∫e
3.
∫x
2.
∫ x dx
x
dx
2
dx
Yukarıda A ve B gruplarında verilen integrallerden A grubundakilerinin sonuçlarını tahmin ediniz. B grubundaki integrallerin sonuçlarını temel integral alma işlemlerinden yararlanarak bulunuz.
B grubunda bulduğunuz sonuçlarla A grubundaki tahminlerinizi karşılaştırınız.
Bir genellemeye ulaşmaya çalışınız.
207
Herhangi bir f(x) fonksiyonu için,
c.
∫ f(x) dx gösteriminin türevini alalım.
[
]
d c.f(x) dx = c. d
dx
dx
Madem ki c.
[∫
]
f(x) dx = c.f(x) olur.
∫ f(x) dx gösteriminin türevi c.f(x) olarak yazılabiliyor, öyleyse
∫ c.f(x) dx= c. ∫ f(x) dx eşitliği vardır diyebilir miyiz?
Bu eşitlikle, yukarıda yaptığınız çalışmaları ilişkilendirerek bir sonuca varmaya
çalışınız.
Benzer şekilde,
∫ (x +3x−4) dx gösterimini aldığınızda,
2
d
dx
[∫
]
(x2+3x−4) dx = x2+3x−4
(1)
eşitliği elde edilir.
Benzer yolla,
∫x
dx+
d
dx
[∫
2
∫ 3x dx− ∫ 4 dx gösteriminin türevi alınırsa
x2 dx+
∫ 3x dx− ∫ 4 dx]= dxd ∫ x
2
= x2+3x−4
dx+ d
dx
∫ 3x dx− dxd ∫ 4 dx
(2)
bulunur.
Yapılan işlemlerde elde edilen (1) ve (2) sonuçlarını karşılaştırınız.
f ve g integrallenebilir fonksiyonlar olmak üzere
∫ [f(x)+g(x)] dx= ∫ f(x) dx+ ∫ g(x) dx ve
∫ [f(x)−g(x)] dx= ∫ f(x) dx− ∫ g(x) dx
olur.
∫ (6x −4x+4) dx integralini alalım.
2
208
∫ (6x −4x+4) dx= 6 ∫ x dx−4 ∫ x dx+4 ∫ 1dx
2
2
2
3
2
= 6. x +c1−4. x +c2+4x+c3
3
2
= 2x3−2x2+4x+c1+c2+c3
= 2x3−2x2+4x+c
olur.
6.
1) Aşağıda verilen belirsiz integrallerin eşitlerini yazınız.
a)
∫ (5x +3sinx) dx
b)
∫ (3cosx+2sinx) dx
c)
∫ (6 −
)
ç)
∫ (5.e −7.3 ) dx
d)
∫(
5 + 3x dx
1+x2
e)
∫(
g)
∫(
f)
2
3
4 + 2√x
dx
x
∫ ( 3x −6x+7
x
4
)
)
dx
x
−2
√1−x2
x
)
+ 8√x dx
5x3−7x
x2
)
dx
2) İyileşme sürecindeki küçük bir yaranın yüzey alanının zamana göre değişimi,
dA = −5t−2,
dt
1≤t≤5
bağıntısı ile verilmektedir. Burada t, günü belirtmektedir. A(1)= 5 cm2 dir. Verilenlere
göre yaranın 5. gündeki alanını bulunuz.
3) Bir radyo istasyonu günlük 16500 olan dinleyici sayısını artırmak için bir reklam kampanyası düzenliyor. Bu kampanya ile günlük dinleyici sayısı artış hızının,
1
s′(t) = 90t 2 (dinleyici/gün)
olması beklenmektedir. Burada s(t) kampanyanın t. gündeki dinleyici sayısını göstermektedir. Dinleyici sayısının 24000 e ulaşması için kampanyanın kaç gün devam etmesi gerektiğini bulunuz.
209
9.
Temel integral alma kurallarını ve bunlarla ilgili bazı özellikleri bundan önceki
etkinliklerde öğrendiniz.
Şimdi de daha karmaşık bir yapıya sahip integralleri, önceden öğrendiğiniz basit yapılara dönüştürecek bazı yöntemler bulmaya çalışacağız.
∫ (x +1)
2
10
∫ cos(x +1).3x
.2x dx,
3
2
∫e
dx
sin x
.cos x dx
integrallerinin temel integral alma kuralları kullanılarak alınıp alınamayacağını tartışınız.
Bu tür integrallerin daha basit yapıya dönüştürülmesi gerektiğini fark etmişsinizdir. Bunun için 10. sınıfta gördüğünüz değişken değiştirme yöntemini kullanalım.
Örneğin,
olur.
∫ (x
2
+ 1)10.2x dx integralinde x2+1= u dönüşümü yapıldığında du = 2x
dx
Buradan du= 2x dx elde edilir. Bu durumda integral
∫u
10
du biçiminde daha
basit bir yapıya dönüşür. Bu integrali kolayca hesaplayabilirsiniz.
Benzer şekilde diğer integraller için uygun değişken değiştirmeler yaparak bu
integralleri daha basit yapıya dönüştürüp hesaplayınız.
Yaptığınız çalışmaları göz önünde bulundurarak değişken değiştirme yöntemiyle integral alma uygulamalarında, nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız.
Aşağıda yapılan integral alma işlemlerini inceleyiniz.
∫ (x +x) (2x+1) dx integralinde x +x= u dönüşümü yapıldığında (2x+1) dx= du
2
5
2
olur.
Buradan
∫ (x +x) (2x+1) dx= ∫ u
2
5
5
du= 1 u6+c= 1 (x2 +x)6+c bulunur.
6
6
cosx dx integralinde 3−sinx= u dönüşümü yapıldığında cosdx= −du olur.
∫ 3−sinx
Buradan
cosx dx= ∫− du = −ln u + c = −ln3−sinx +c bulunur.
∫ 3−sinx
u
210
∫e
3x
∫e
3x
dx integralinde 3x= u dönüşümü yapıldığında dx= du olur.
3
dx= 1
3
1
∫ 1+36x
2
∫e
u
du= 1 eu+c= 1 e3x+c bulunur.
3
3
dx integralinde 6x= u dönüşümü yapılırsa dx= du olur.
6
Buradan
1
∫ 1+36x
7.
2
dx=
∫
1 du = 1 arctanu+c= 1 arctan (6x)+c bulunur.
1+u2 6
6
6
A) Aşağıda verilen integralleri değişken değiştirme yöntemi yardımıyla karşılarında verilen daha basit integrallere dönüştürünüz.
∫ cos(x ).2x dx
∫ (x +1) .3x dx
∫ arctanx
1+x
2
3
4
2
2
→
→
→
∫ cosu du
∫ u du
∫ u du
4
∫ e dx
∫ lnxx dx
→
→
∫ e3 du
∫ u du
∫ g(f(x)).f′(x)dx
→
∫ g(u) du
3x
u
B) Aşağıda verilen integralleri değişken değiştirme yöntemi kullanarak ve verilen temel integral alma formüllerinden yararlanarak hesaplayınız.
1)
∫x
n
n+1
dx= x +c,
n+1
a)
∫ 3(3x+5)
c)
∫
d)
(n≠ −1)
b)
∫ sinx.cosx dx
ç)
∫ (arcsinx)
√1−x
∫ tan x.(1+tan x) dx
e)
∫ (5−sinx) .cosx dx
f)
∫ √x+1 dx
g)
∫ √x +1.x dx
ğ)
∫ sin x.cosx dx
h)
∫ √3−√x
√x
20
dx
ln3x dx
x
2
2
2
211
4
2
dx
3
3
2
dx
2)
∫ x1 dx= lnx+c
a)
1
∫ x+5
dx
b)
∫ cotx dx
c)
∫ tanx dx
ç)
1
∫ x.lnx
dx
d)
∫ 4ee +1 dx
e)
x−3
∫ x −6x+7
dx
f)
sinx
∫ 1+cosx
dx
g)
sec x
∫ 5+tanx
dx
ğ)
∫
1
dx
ax+b
h)
dx
∫ f′(x)
f(x)
3)
∫e
dx
b)
∫ 5e
.x dx
ç)
∫ x .e
e)
∫e
sinx+2
−x
x
x
a)
∫e
x+1
c)
∫e
2
d)
∫ ex
x
2
dx= ex+c
x
lnx
2
dx
2
f)
∫ ecos x dx
g)
∫e
ğ)
∫ e1
dx
h)
∫
ı)
∫e
dx
i)
tanx+1
2
3x
4)
ax+b
∫a
x
a)
∫2
c)
∫5
d)
∫ 31+x
f)
∫5
3
x −5
dx
.cosx dx
dx
e√x +1
dx
√x
.f′(x) dx
f(x)
ax
+c
lna
dx
b)
∫3
.cosx dx
ç)
∫ 7x
e)
5
∫ sin
dx
x
g)
∫a
x+3
sinx
dx=
∫e
dx
5x
arctanx
ax+b
2
dx
dx
212
2
x −8x
lnx
.(x−4) dx
dx
cotx
2
mx+n
dx
∫ cosx dx= sinx+c
∫ sinx dx= −cosx+c
5)
a)
∫ 4sin(4x) dx
b)
∫ 3cos(3x) dx
c)
∫ cos8x dx
ç)
∫ x.sin(x +1) dx
d)
dx
∫ cos(lnx)
x
e)
∫ sin(e −1).e
6)
2
x
x
dx
∫ sec x dx= ∫ (1+tan x) dx= ∫ cos1 x dx= tanx+c
∫ cosec x dx= ∫ (1+cot x) dx= ∫ sin1 x dx= −cotx+c
2
2
2
2
2
2
a)
∫ 3sec (3x) dx
b)
∫ 5cosec (2x) dx
c)
∫
1
dx
cos2(7x+1)
ç)
∫
d)
∫ (1+tan (6x)) dx
e)
∫ (1+cot (3x)) dx
f)
∫ tan 3x dx
g)
∫ cot 5x dx
dx
b)
∫
3
dx
√1−9x2
2
2
2
7)
1
∫ √1−x
2
2
1
dx
sin2(3x−1)
2
2
dx= arcsinx+c
a)
2
∫ √1−(2x)
c)
∫
1
dx
√9−x2
ç)
∫
2
dx
√4−x2
d)
∫
1
dx
√1−3x2
e)
∫
1
dx
√7−x2
f)
dx
∫ √25−4x
g)
∫
dx
√a2−x2
2
2
8)
1
∫ 1+x
a)
∫
3
dx
1+(3x)2
b)
1
∫ 1+4x
c)
∫
dx
16+x2
ç)
∫
2
dx= arctanx+c
213
2
dx
4
dx
25+4x2
d)
∫ 16xdx+49
e)
∫
1
dx
a2+x2
f)
∫
1
dx
1+(2x−1)2
g)
∫
cosx
dx
1+sin2x
ğ)
∫
ex
dx
1+e2x
C)
∫ cos x d(cosx) integralini u=cosx dönüşümü yaparak
2
2
∫ u du = u3 +c = cos3 x biçiminde hesaplayabiliriz.
3
2
3
Benzer yaklaşımla aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a)
∫ d(x )
b)
∫ d(cosx)
c)
∫ d(tanx)
ç)
∫ sinx d(cosx)
d)
∫ d(f(x))
e)
∫ d(2x+1)
∫ x d(lnx)
g)
∫ lnx d(e )
f)
2
x
D) Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
a)
10.
x
∫ x +1
2
dx
∫ x.e
x
b)
dx,
1
∫ x +1
2
dx
c)
∫ xx+1
+1
2
dx
∫ x. sin x dx, ∫ ln x dx,
integrallerini almak istediğinizde şimdiye kadar öğrendiğiniz integral alma kurallarının
ya da değişken değiştirme yönteminin yeterli olmadığını fark etmişsinizdir. Çünkü buradaki çarpım hâlindeki fonksiyonların türleri değişiktir. Bu tür integralleri almak için çarpımın türevinden yararlanılır. Bunun için önce aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
x.cosx fonksiyonunun türevinin,
d (x.cosx)=cosx. d (x)+x. d (cosx)
dx
dx
dx
d (x.cosx)=cosx−x.sinx
dx
olduğu görülür. Bu eşitliğin her iki yanının integrali alındığında
214
∫ dxd (x.cosx)dx= ∫ cosx dx− ∫ x.sinx dx
∫ x.sinx dx= ∫ cosx dx− ∫ dxd (x.cosx)dx
∫ x.sinx dx= sinx −x.cosx+c olur.
Benzer yaklaşımla
∫ x.e dx integralini,
x.lnx fonksiyonunun türevinden faydalanarak da ∫ lnx dx integralini bulunuz.
x.ex fonksiyonunun türevinden faydalanarak
x
Yapılan işlemleri bir kere daha inceleyiniz. Verilen integralleri bulmak için başka yolları kullanmanın zor olduğunu göreceksiniz.
Öyleyse yapılanları genelleyerek bu tür fonksiyonların integrallerini bulmak için
genel bir kural elde etmenin doğru olacağını söyleyebiliriz.
En genel biçimde u ve v, x e bağlı birer fonksiyon olmak üzere, u.v fonksiyonunun türevinin,
d (u.v)=v. du +u. dv olduğunu görebiliriz.
dx
dx
dx
Buradan,
u. dv = d (u.v)−v. du eşitliği oluşturulur ve iki tarafın integrali alınırsa
dx dx
dx
dv dx= ∫ d (u.v) dx− ∫ v. du dx
∫ u. dx
dx
dx
∫ u.dv=u.v − ∫ v.du
sonucuna ulaşılır.
Aşağıdaki tabloyu örneğe uygun biçimde doldurunuz.
∫ u.dv
∫ x.e dx
x
u
du
u=x
du=dx
dv
v
dv= ex dx
v= ex
∫ x.sinx dx
∫ lnx dx
∫ x.lnx dx
∫ x.cos2x dx
215
u.v−
∫ v. du
x.ex −
∫ e dx
x
Bu eşitlikten yararlanarak integral alma işlemine “kısmi integral alma yöntemi”
denir.
Kısmi integral alma yöntemiyle ilgili yaptığınız çalışmaları yeniden gözden geçiriniz.
u ve dv nin seçiminde nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız.
8.
Aşağıdaki integralleri kısmi integral alma yöntemiyle hesaplayınız.
a)
∫ x.cosx dx
b)
∫ x .lnx dx
c)
∫ 2x.sinx dx
ç)
∫ x.e
d)
∫ arctanx dx
e)
∫ arccosx dx
f)
∫ x.sin3x dx
g)
∫ x.2
ğ)
∫ e .cosx dx
∫ cos(lnx) dx
ı)
i)
∫ x .sinx dx
−x
h)
11.
f1(x) =
dx
3
dx
x
∫ (lnx)
2
dx
x
2
3x+1
1
, f2(x)= 2
x −x−6
x +5x
2
gibi rasyonel fonksiyonların integralini alırken şimdiye kadar gördüğünüz yöntemler kullanışlı olmayabilir ve farklı bir yol araştırmak zorunda kalabilirsiniz.
10. sınıf matematik dersinin polinomlar ünitesinde, rasyonel ifadelerin basit
kesirlere ayrılmasıyla ilgili yaptığınız çalışmaları hatırlayıp bilgilerinizi yeniden gözden
geçiriniz.
Bu bilgiler ışığında aşağıdaki tabloda verilen fonksiyonları ve bunlarla ilgili yapılan işlemleri inceleyiniz. A, B, C değerlerini bularak verilen rasyonel fonksiyonları daha
basit integrali alınabilen rasyonel fonksiyonların birleşimi biçiminde yazınız. Bunu yaparken iki polinomun denkliğini kullanınız.
f1(x) =
1
x2+5x
1
A
1
B
=
+
=
x2+5x x.(x+5) x
x+5
f2(x)=
3x+1
x2−x−6
3x+1
3x+1
B
A
=
+
=
x2−x−6 (x−3).(x+2) x−3 x+2
f3(x) =
x
(x−2)2
x
B
A
=
+
(x−2)2 x−2 (x−2)2
f4(x) =
1
x3−x2
1
A
B
C
1
=
+ 2 +
= 2
x (x−1) x
x
x−1
x3−x2
f5(x) =
4
x3+x
4
x3+x
=
4
A
Bx+C
+ 2
=
x(x2+1) x
x +1
216
Sanırız,
sınızdır.
1
1
5
5
1
1
f1(x) = 2
−
biçiminde basit kesirlere ayırmışfonksiyonunu 2
=
x+5
x +5x
x +5x x
Buna göre, fonksiyonun integrali için,
1
∫ x +5x
dx= ∫
2
( )
1
1
5
5
−
dx bağıntısını yazabiliriz.
x+5
x
Görüldüğü gibi sağ yandaki basit fonksiyonların integralini almak daha kolaydır.
1
1
∫ x +5x
dx= ∫
5
2
1
1
dx−
5
x
1
∫ x+5
dx
=
1
1
ln x −
ln x+5 +c
5
5
=
x
1
+c olarak bulunur.
ln
5 x+5
Sizler de tabloda verilen ifadeleri basit kesirlere ayırarak integrallerini alınız.
3x−4
∫ (x−2)
2
dx integralinde
3x−4
ifadesini basit kesirlere ayıralım.
(x−2)2
3x−4
B
A
=
⇒ 3x−4= A(x−2)+B
+
(x−2)2 x−2 (x−2)2
(x−2)
(1)
⇒ 3x−4= Ax−2A+B buradan
A= 3 ve B= 2 bulunur. O hâlde
3x−4
∫ (x−2)
2
9.
dx=
3 dx+∫ 2
∫ (x−2)
(x−2)
2
dx= 3lnx−2 −
2 +c olur.
x−2
1) Aşağıdaki belirsiz integralleri hesaplayınız.
a)
∫ x 1−1 dx
b)
1
∫ x −3x−4
c)
1
dx
∫ x −3x
ç)
∫ xx−1
dx
+x
2
2
217
2
2
dx
d)
2x +x+2 dx
∫ (x+1).(x
+2)
e)
x
∫ (x−1)
f)
∫ e e−1 dx
g)
+x+3 dx
∫ xx .(x+3)
2
2
x
2x
2
dx
2
2
2) Aşağıdaki integraller alınırken basit kesirlere ayırma yönteminin kullanılıp
kullanılamayacağını araştırınız. Bunlara benzer fonksiyonlar için bir yöntem geliştirmeye çalışınız.
(Yol gösterme: Polinomlarda bölme işleminden yararlanınız.)
x
1
=1+
x−1
x−1
a)
x+1 dx
∫ x−1
b)
∫ x +x+5
dx
x
c)
∫
ç)
dx
∫ x +2x+3
x+1
x2 dx
x2+1
2
2
m ve n doğal sayılar olmak üzere,
12.
∫ sin x cos xdx biçimindeki integralleri almak için,
m
.
n
sin2x + cos2x=1
cos2x=
1+cos2x
2
sin2x=
1−cos2x
2
gibi derece düşüren trigonometrik özdeşliklerden yararlanılabilir.
Aşağıdaki tabloda yapılan işlemleri inceleyiniz. Değişken değiştirme işlemlerini
tamamlayarak integralleri hesaplayınız.
sin3x=sinx.sin2x
=sinx.(1− cos2x)
∫ sin x dx
3
∫
sin2x.cos3x= sin2 x.cos2 x.cosx
= sin2x.(1-sin2x).cosx
sin2x.cos3x dx
∫ sin x.cos x dx
3
5
1+cos2x
2
cos2x
1
= +
2
2
cos2 x=
∫ cos x dx
2
∫ cos x.sin x dx
2
sin3x.cos5x= sinx.sin2x.cos5x
= sinx.(1-cos2x).cos5x
2
cos2x.sin2x=
1+cos2x 1−cos2x
.
2
2
218
u=cosx
du= −sinx dx
u= sinx
du= cosx dx
u= cosx
du= −sinx dx
u= 2x
du= 2dx
u= 2x
du= 2dx
∫ (u −1) du
2
Yapılan işlemlerden hareketle m, n∈N için,
∫ sin x.cos x dx
m
n
biçimindeki integraller alınırken m ile n nin tek veya çift olmasına göre nasıl bir yol izlenmesi gerektiğini tartışınız.
Ayrıca
∫ sinax.cosbx dx, ∫ sinax.sinbx dx ve ∫ cosax.cosbx dx
biçimindeki integralleri alırken ters dönüşüm formüllerinden yararlanılabileceğini unutmayınız.
Ters Dönüşüm Formülleri
1
sina.cosb= [sin(a+b)+sin(a−b)]
2
Örneğin,
rak
cosa.cosb=
1
[cos(a+b)+cos(a−b)]
2
sina.sinb= −
1
[cos(a+b)−cos(a−b)]
2
∫ sin5x.cos3x dx integrali alınırken ters dönüşüm formülü uygulana-
∫ sin5x.cos3x dx= ∫
elde edilir.
1
[sin(5x+3x)+sin(5x−3x)] dx
2
Buradan da aranan integral,
∫ sin5x.cos3x dx= 12 ∫ [sin8x+sin2x] dx
olarak yeniden yazılabilir.
Bu integrali ön bilgilerinizden yararlanarak kolayca hesaplayabilirsiniz.
∫ cos5x.cos2x dx integralini alalım.
Ters dönüşüm formüllerinden
cos5x.cos2x=
1
[cos7x+cos3x] olduğundan
2
∫ cos5x.cos2x dx= ∫
= 1
2
=
1
[cos7x+cos3x] dx
2
( ∫ cos7x dx+ ∫ cos3x dx)
1
1
sin7x +
sin3x + c
6
14
219
Yapılan işlem ve dönüşümlerle iki fonksiyonun çarpımının integralinin iki fonksiyonun toplamının integraline dönüştürüldüğünü unutmayınız.
10.
13.
1) a)
∫ cos x dx
b)
∫ sin 5x dx
c)
∫ cos 4x dx
2) a)
∫ sin
b)
∫ cos 5x dx
c)
∫ sin
3) a)
∫ cos
2x.cos3 2x dx
b)
∫ cos5x.sin 5x dx
c)
∫ sin
2x.cos5 2x dx
ç)
∫ cos
5
3x dx
2
2
3
3
2
3
4
x dx
4
2
2x.cos3 2x dx
4) a)
∫ cos5x.sin3x dx
b)
∫ sin7θ.cos3θ dθ
c)
∫ cos4x.cos2x dx
ç)
∫ cos3x.cos6x dx
Bu kez biraz daha farklı olan
∫ √4−x
2
dx integralini hesaplamaya çalışalım. Bu
türden verilen integralleri hesaplarken öncelikle integralde verilen köklü ifadeden kurtulmak gerekir.
Bunun için,
x= 2sint ya da x= 2cost (0°<t<90°) değişken değiştirmesi yapılmalıdır.
Eğer x= 2sint dönüşümü yapılırsa dx= 2cost dt olur. Yeni değerleri, verilen
integralde yerine yazalım. Sizler başlatılan integral işlemini devam ettirerek verilen sonuca ulaşmaya çalışınız.
∫ √4−x
2
dx=
∫ √4−(2sint) .2cost dt
2
dx
= ......................................
= ......................................
= 2t+sin2t+c.................(1)
Şimdi, t ve sin2t değerlerini bulalım.
x= 2sint ise sint= x dir.
2
2
Buna uygun çizilen dik üçgen yardımıyla
t
sin2t= x.√4−x .................(2)
2
2
220
√4−x2
x
Benzer yolla, sint=
x
x
................(3) yazılır.
ise t= arcsin
2
2
(2) ve (3) te elde edilenler (1) de yerine yazılarak
∫ √4−x
2
dx integralinin sonucu bulunur.
Genel olarak içinde √a2−x2 , √x2−a2 , ya da √a2+x2 den başka köklü ifade bulundurmayan fonksiyonların integrali için;
√a2−x2 için x=a.sint veya x=a.cost,
√x2−a2 için x=a.sect veya x=a.cosect,
√a2+x2 için x=a.tant veya x=a.cott,
değişken değiştirmelerinin yapılması, matematikçiler tarafından daha uygun görülmektedir.
11.
14.
1) Aşağıdaki belirsiz integralleri bulunuz.
a)
∫ √25−x
ç)
∫ √x −9
f)
∫ x √xdx +16
∫
2
2x
2
√x
3
√x−1
2
dx
b)
∫ √9−x
dx
d)
1
∫ √16−x
g)
1
∫ x √4−x
2
2
2
2
2
dx
c)
∫ √1−x
dx
e)
∫ x.√x −25 dx
2
dx
2
dx
dx integralini önceki bilgilerinizi kullanarak hesaplamaya çalışınız.
Karşılaştığınız güçlükleri grup arkadaşlarınızla tartışınız.
Bu güçlükleri aşmak için x= t6 dönüşümü yaparak ifadeyi yeniden düzenleyiniz
ve integrali almaya çalışınız.
x= t6 dönüşümünde t nin kuvvetini köklerin dereceleri ile ilişkilendiriniz.
221
Kök içleri aynı olan köklü ifadelerin integrali alınırken nelere dikkat edilmelidir?
∫ √x+1−2 dx integralini hesaplayalım.
3
√x+1
Kök dereceleri 2 ve 3 olduğundan OKEK(2,3)= 6 dır. O hâlde x+1=t6 dönüşümü
yapalım. dx=6t5dt olur.
Buradan
∫ √x+1−2 dx= ∫ √t
6
− 2.6t5 dt
3 6
3
√x+1
=
√t
∫ (6t − 12t ) dt=
6
3
6 7
t4
t −12 + c sonucuna varılır.
7
4
6
Sonuçta yapılan dönüşümün tersi kullanılarak yani x+1=t6 ise t= √x+1 alınarak
∫ √x+1−2 dx= 67 (x+1) − 3(x+1) + c
7
6
2
3
3
√x+1
ifadesi elde edilir.
Kök içleri aynı olan köklü ifadelerin integrali alınırken kök kuvvetlerini en küçük
katı değişim yapılacak değişkene kuvvet olarak yazılır.
12.
1) Aşağıdaki belirsiz integralleri hesaplayınız.
3
a)
dx
∫ √x−1
√x
c)
dx
∫ √x−1−2
√x−1
∫
b) √x+2−2 dx
4
√x+2
3
∫
5
ç) √x+1 + √x+1 dx
3
√x+1
2) İçerisinde köklü ifade bulunduran integrallerin hesaplamasında kullanılan
yöntemlerin işlem basamaklarını yazınız. Değişik örnekler ile yaptıklarınızı doğrulayınız.
222
BELİRLİ
İNTEGRALİN
UYGULAMALARI
Yapılan vazoyu inceleyiniz. Bu vazonun dışını
altın varakla kaplamak istediğinizde dış yüzeyin alanını
bilmeniz gerekir. Bunun için neler yapılmalıdır?
Aşağıdaki her bir şekilde gösterilen taralı bölgelerin alanlarını geometri bilgi-
15.
lerinizden yararlanarak hesaplayınız. Her bir şeklin altındaki belirli integralin sonucunu
bularak hesapladığınız alanlarla karşılaştırınız.
y
2
1
0
−2
y
y=x
1
1
−1
2
x
3
−2
0
−1
−1
2
1
2
∫ x dx=?
∫ (x−1) dx=?
0
0
x
y
y=x+2
1
2
−2
1
0
−1
3
1
y
−2
y=x−1
2
1
2
3
2
3
−1 0
−1
−2
x
−3
−4
1
y=−2x
2
∫ (x+2) dx=?
∫ (−2x) dx=?
−1
1
2.Grup
1.Grup
223
x
Bir aralıkta pozitif değerler alan bir fonksiyonun bu aralıkta x ekseni ile sınırladığı bölgenin alanının, fonksiyonun o aralıktaki belirli integrali ile bulunduğunu biliyorsunuz. 1. grupta yaptığınız işlemlerde bu durumu görmüşsünüzdür.
2. grupta yaptığınız işlemlerde, bir aralıkta negatif değerler alan bir fonksiyon
için integral hesabının alan olmadığını görmüşsünüzdür.
y
Yandaki grafikte verilen taralı bölgenin alanı
f(x)=x2−2x
integral yardımı ile bulalım.
2
∫
1
0
2
3
x
1
3
∫
2
( ( ( (( (
x3
− x2
(x −2x) dx =
3
2
Alan pozitif değer olacağından −
=
1
2
8
1
−4 −
−1=−
3
3
3
( ( (
x3
2
(x −2x) dx = 3 − x
2
2
3
=
2
(( (
4
27
8
−9 −
−4 =
3
3
3
2
2
yerine
alınarak toplam alan
3
3
2 + 4 = 6 = 2 olarak hesaplanır.
3 3
3
y
y
a
b
x
0
c
|f(x)|
c
0
a
b
x
f(x)
Sonuç olarak, şekillerden de görüldüğü gibi bir f(x) fonksiyonunun [a,b] nda x
ekseni ile arasında kalan alan mutlak değerinin integrali ile diğer bir deyişle
b
∫ f(x)dx
a
ile hesaplanır.
224
13.
1) Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerinde taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
y
a)
f(x)=
1 2
x
2
y
b)
4
−2
0
c)
x
2 4
y
2
0
x
g(x)=−x2+4
y
ç)
h(x)=x3
g(x)=sinx
−2
0
3
x
y
d)
π
0
x
y
e)
u(x)=tanx
2π
m(x)=lnx
−
π
2
0
y
f)
π
2
π
4
1
x
g)
s(x)=ex
e
0
y
1
−1
0
n(x)=
1
x
225
x
e2
1
e
3
x
x
2) Denklemi y= –x2+2x olan eğri, denklemleri x= –2 ve x= 1 olan doğrular ve Ox
ekseni ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz.
3) Denklemi y= x3–4x olan eğri ile Ox ekseninin sınırladığı bölgenin alanını
bulunuz.
y
4) Yandaki şekilde, denklemi
y=f(x) olan eğrinin Ox ekseni ile yaptığı
A1 alanı 4 br2, A2 alanı 8 br2 ve
A1
a
A3 alanı 5 br olduğuna göre,
2
b 0
A2
d
∫ f(x) dx
c
A3
d
x
y=f(x)
değerini hesaplayınız.
a
y
5)
2
1
4
−2 −1 0
−1
−2
1
2
5
6
3
x
y=f(x)
Yukarıda [–2,6] nda y=f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
a) Taralı bölgenin alanını hesaplayınız.
6
b)
∫ f(x) dx belirli integralinin değerini hesaplayınız.
−2
y
y= f(x)
6)
4
Yandaki şekil y= f(x) parabolünün
grafiğine aittir. Şekildeki taralı bölgenin alanını hesaplayınız.
0
x
2
226
16.
İntegral almanın alan probleminin çözümü sonucu ortaya konan bir işlem olduğunu biliyoruz. Bunun için şu ana kadar yapılan işlemlerde, integrali bulunmak istenen
alanın bir yandan x ekseni ile sınırlı olduğunu varsaydık. Bu varsayımı değiştirsek ne
olur? Başka bir deyişle alt sınırı da bilinen bir fonksiyon alsak sonuç değişir mi? Şimdi
bu sorunun cevabını arayalım.
y
g(x)
A
0
a
x
b
Örneğin yandaki taralı bölgenin alanı
hesaplanmak isteniyor. Bunun için 1, 2 ve 3.
f(x)
şekilleri inceleyerek soruları cevaplayınız.
1. Şekil
y
y
g(x)
g(x)
A1
0
a
A2
x
b
0
a
x
b
f(x)
f(x)
2. Şekil
3. Şekil
2. şekildeki taralı bölgenin alanını integral yardımıyla ifade ediniz.
3. şekildeki taralı bölgenin alanını integral yardımıyla ifade ediniz.
1. şekilde verilen alanı integral yardımıyla ifade ediniz.
Yaptığınız çalışmalardan belli bir aralıkta iki eğri arasında kalan alanı veren bir
genellemeye ulaşmaya çalışınız.
Aşağıda verilen 1. şekildeki alanı hesaplayalım.
y
y
g(x)=x
f(x)=x2
y
g(x)=x
f(x)=x2
1
1
0
1
x
1
0
1. Şekil
2. Şekil
227
g(x)=x
f(x)=x2
1
x
0
3. Şekil
1
x
1
2. şekildeki taralı bölgenin alanı:
1
0
0
1
3. şekildeki taralı bölgenin alanı:
2 1
∫ g(x)dx = ∫ x dx = x2
∫
1
f(x)dx =
0
∫
x2 dx =
0
x3
3
=
0
1
=
0
1
2
1
3
ve
olur.
Buradan 1. şekildeki taralı bölgenin alanı
1
1
∫ g(x) dx− ∫ f(x) dx = 12
0
0
− 1 = 1 olarak bulunur.
6
3
1
Bu alanı
∫ [g(x) − f(x)] dx
biçiminde ifade edebiliriz.
0
Bir aralıkta, büyüklük küçüklük ilişkisini bilemediğimiz iki fonksiyonun grafiğinin
sınırladığı bölgenin alanını bulmaya çalışırken nelere dikkat edilmesi gerektiğini grup
arkadaşlarınızla tartışınız.
Tartışılan durumu daha açık ifade edelim. f ve g fonksiyonlarının grafiği aşağıdaki gibi olsun.
y
f(x)
g(x)
0
a
b
c
Şekilde gösterilen taralı alanların toplamını,
c
b
∫
[f(x) − g(x)] dx +
a
∫ [g(x) − f(x)] dx
b
şeklinde bulabiliriz. Bu durumu daha basit olarak
c
∫ f(x) − g(x)dx
a
biçiminde de ifade edebiliriz.
228
x
[0, 2] nda y= x2–2x ve y=–x2 fonksiyonlarının sınırladığı bölgenin alanını hesaplayalım.
Bu alan
2
2
∫ x − 2x−(−x ) dx = ∫ 2x − 2x dx
2
2
integrali ile hesaplanır.
2
0
0
Bu integral yandaki tablo yardımı ile
1
2
x
1
2x − 2x in
işareti
∫ (2x−2x ) dx + ∫ (2x − 2x) dx
2
2
0
1
0
2
+
+
−
biçimine dönüştürülerek
(
2x3
x −
3
2
) (
1
2x3
+
− x2
3
0
) ( )( )( )
1
0
= 1− 2 + 16 − 4 − 2 +1 = 2
3
3
3
olarak hesaplanır.
14.
1) Aşağıda verilen grafiklerdeki taralı bölgelerin alanlarını, integral yardımıyla
hesaplayınız.
y
a)
b)
f(x)=x2+1
y
f(x)=x
2
1
−1
g(x)=√x
1
0
x
1
0
g(x)=x
y
c)
y=ex
2
y= 2
1
0
229
ln2
x
1
x
2) f(x)= x2 eğrisi ile g(x)= x+2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulalım.
Bu fonksiyonların grafikleri aşağıdaki gibidir.
y
f(x)=x2
g(x)= x+2
? 0
x
?
Grafikte verilen taralı alanın soru işaretiyle belirtilen sınırlarını fonksiyonların
kesim noktalarını bularak elde edelim.
x2= x+2 ise
x2–x–2=0
(x–2).(x+1)=0
x=2 veya x=–1 olur.
Buradan aradığınız alanı,
2
∫ [x − (x+2)] dx integralini hesaplayarak kolayca bulabilirsiniz.
2
−1
Sizler de aşağıda verilen eğrilerle sınırlanan bölgelerin alanlarını bulunuz.
1
b) y= x3, y= x, x= 0, x=
a) y= –x2, y= x
2
ç) y= x3Ð 4x2, y= 0, x= 0, x= 2
c) y= x3, y= x, x= –1, x= 1
d) y= x2+4, x+y= 6
e) y= x3, y= – x, y= 8
2
g) y= 1 , y= , x= 1, x= 2
x
x
h) y= x2–4, y= –x2+4
f) y= sinx, y= cosx, x= 0, x= 2
1
ğ) y= , y= x, x= 2, y= 0
x
ı) y= x3–9x, y= –x3+9x
i) y= x2–1, y= 2, x= 1, x= –1
y
3)
r
−r
0
x2+y2=r2
r
Şekilde görülen dairenin alax
nının A= π.r2
olduğunu integral yardı-
mıyla gösteriniz.
(Yol Gösterme: Birinci bölge-
−r
deki alandan yararlanınız.)
230
y
4)
Şekilde görülen elipsin alanı-
b
nın A= π.a.b olduğunu integral yardımıyla
0
a
gösteriniz.
x
x2 + y2 = 1
a2 b2
5) y=
a>0, b>0
1
, y=0, x=1, x=b (b>1) eğrilerinin sınırladığı bölgenin alanı A olsun.
x2
a) A’yı bulunuz.
b) lim A’yı bulunuz.
b→∞
6) y= 1 , y=0, x=1, x=b (b>1) eğrilerinin sınırladığı bölgenin alanı A olsun.
√x
a) A yı bulunuz.
b) lim A’yı bulunuz.
b→∞
7) Aşağıdaki belirli integralleri alan yardımıyla hesaplamaya çalışınız.
4
a)
∫ √16−x
2
3
√2
dx
b)
0
∫ √4−x −x dx
c)
2
∫ (√9−x −(3−x) ) dx
2
0
0
y
y=f(x)
Şimdiye kadar yaptığınız çalışmalarda, yanda 1. şekilde görüldüğü gibi, x ekseni,
x=a ve x=b doğruları ve y=f(x) eğrisi ile sınırlanmış alanın integral yardımıyla
b
∫ f(x) dx
hesaplandığını öğrendiniz.
a
231
0
b
a
1. Şekil
x
y
x=f(y)
b
2. şekildeki alan da 1. şekildeki alan
gibi üç tarafı doğrularla bir tarafı eğriyle sınırlanmış ancak y eksenine oturtulmuştur.
Önceki bilgilerimizden 2. şekilde gösterilen alanın integral yardımıyla
a
b
∫ f(y)dy
x
0
2. Şekil
a
biçiminde hesaplanabileceğini söyleyebiliriz.
y
y=2
2
Bu bilgilerden yararlanarak yandaki grafikte gösterilen alanı,
4
2
∫ |2−√x | dx ve ∫ y
2
0
x
4
0
dy
x=y2
0
integralleri ile hesaplayıp karşılaştırınız.
15.
y
1) Yandaki şekilde verilen f(y)= 5–y
fonksiyonu, y= 2, y= 3 ve y ekseni ile sınırlı
taralı bölgenin alanını bulunuz.
3
2
x
0
x=5−y
y
y=x3
3
2) Yandaki grafikte verilen, y= x3, y= 1,
y= 3 ve y ekseni ile sınırlı bölgenin alanını bulunuz.
232
1
0
x
y
x=f(y)
b
3) Yandaki şekilde verilen taralı bölgenin
alanı 4 birim kare olduğuna göre,
4
b
∫ f(y) dy
integralinin değeri kaçtır?
a
a
0
x
y
f(y)
2
5
4) Grafikte verilen y ekseni ve f(y) ile sınırlı
bölgelerin alanları şekilde verilmiştir. Buna göre,
1
2
2
∫ f(y) dy
integralinin değeri kaçtır?
x
0
0
y
g(y)
f(y)
5
5) Yandaki grafikte verilen taralı bölgenin alanını integral ile ifade ediniz.
2
x
0
17.
Bu etkinlikte cisimlerin hacimleri ile integral arasındaki ilişkiyi araştıralım.
Geometri dersinde öğrendiğiniz bilgileri hatırlayarak aşağıdaki şekilleri inceleyiniz.
y
0
y
y
x
x
0
233
0
x
Verilen taralı bölgelerin x veya y ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan
cisimler için ne söylenebilir?
Bu cisimlerin hacimlerini veren bağıntıyı yazınız.
Gördüğünüz gibi hacimleri istenen bu cisimlerin ana özelliği, düzlem geometride tanımını yapabildiğiniz bir geometrik şekilden oluşturulmalarıdır. Bütün alanlar bu
şartları sağlamayabilir. Bu durumda oluşan ve bilinen bir şekil olmayan alanın eksen
etrafında dönmesi söz konusu olduğunda meydana gelen cismin hacminin bulunması
ile karşı karşıya kalınır.
Önce problemin aşağıdaki gibi geometrik kurgusunu oluşturalım. Daha sonra
da bu bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmini bulmaya
çalışalım.
y
f(x)
0 a
b
x
[a,b] nı a= x0<x1<x2<…<xn= b olmak üzere, ∀k∈ {1, 2, 3, …, n} için [xk–1, xk] biçiminde n tane kapalı alt aralığa bölelim.
y
y
f(x)
f(x)
x
0
0
f(xk)
Bu silindirin hacmi
Vk= π [f(tk)]2. ∆(xk)
∆(xk)
234
a
x1
x1 xk−1 tkxk
b
x
∆xk= xkÐ xk–1, y= f(x) ve tk∈[xk–1,xk] olmak üzere oluşan n tane silindirin hacimleri toplamı,
n
Σ π.[f(t )] .∆x
2
k
k=1
k
biçiminde yazılabilir.
Burada n→∞ (∆xk→ 0) için,
b
n
Σ π.[f(t )] .∆x
2
lim
b→∞
k
k=1
k
= π.
∫ [f(x)]
2
dx
a
biçiminde gösterildiğini önceki etkinliklerden biliyorsunuz.
O hâlde [a,b] nda bir y=f(x) fonksiyonunun x ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin x ekseni etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan cismin hacmi integral yardımıyla
b
V= π.
∫ [f(x)]
2
dx biçiminde hesaplanır.
y
a
Benzer düşünceyle [c,d] nda
x= f(y)
d
bir x=f(y) fonksiyonunun y ekseni ile
sınırladığı kapalı bölgenin y ekseni
etrafında 360° döndürülmesi ile oluşan
cismin hacmi integral yardımıyla
c
d
V= π.
∫ [f(y)]
2
dy
0
x
c
biçiminde hesaplanır.
f:R→R, f(x)= –x2+1 fonksiyonu, x= –1, x= 1 ve y= 0 doğruları arasında kalan bölgenin x
ekseni etrafında 360° döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmini bulalım.
1
π
∫ [f(x)]
1
2
dx = π
−1
∫ (−x +1)
2
2
dx
−1
1
=π
∫ (x −2x +1) dx
4
2
−1
(
3
5
= π x − 2x + x
5
3
)
1
−1
=π
(
8
8
+
15 15
)
=
235
16
π olur.
15
16.
1) Aşağıdaki, grafiklerde gösterilen kapalı bölgelerin x ekseni etrafında 360°
döndürülmesi ile oluşan cisimlerin hacimlerini hesaplayınız.
a)
y
b)
y
y=x2
y=x+1
−1
0
1
4
y
c)
f(x)=x −4x
2
x
3
y
0
−1
x
4
0
−3
ç)
2
0
x
y=x3
x
1
−4
2) Aşağıda verilen eğri ve doğrularla sınırlı bölgelerin x ekseni etrafında 360°
döndürülmesiyle oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a) y= 1+x3, x= 1, x= 2, y= 0
b) y= 1 , x= 2, x= 3, y= 0
x
c) y= 4–x2, y= 0
ç) y= ex, x= 1, x= e, y= 0
3) Aşağıdaki grafiklerde gösterilen kapalı bölgelerin y ekseni etrafında 360°
döndürülmesiyle oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz.
y
a)
y=x
y
b)
2
3
1
x
0
236
0
y=√x
9
x
4) Aşağıda verilen eğri ve doğrularla sınırlı bölgelerin y ekseni etrafında 360°
döndürülmesiyle oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a) y= x3, y= –1, y= 1, x= 0
b) y= 1–y2, y= 1, y= 2, x= 0
c) y= ex, y= 1 , y= 1, x= 0
2
y
5)
r
y= √r2−x2
Şekilde verilen yarım dairenin
−r
x ekseni etrafında 360° döndürülmesiy-
0
r
x
le oluşan kürenin hacmini bulunuz.
y
6)
h
Şekilde verilen taralı bölgenin
y ekseni etrafında 360° döndürülmesiy-
0
x
r
le oluşan koninin hacmini bulunuz.
7)
y
y
f(x)
f(x)
g(x)
0
a
b
g(x)
x
1. Şekil
0
b
a
x
2. Şekil
1. şekildeki [a,b] nda f ve g fonksiyonları ile sınırlanan alan x ekseni etrafında
360° döndürülerek 2. şekildeki cisim oluşmaktadır. Bu cismin hacmi,
237
b
π.
∫
2
2
[f(x)] − [g(x)] dx
a
ile hesaplanır.
Buna göre aşağıda verilen eğrilerle sınırlı bölgelerin x ekseni etrafında 360°
döndürülmesiyle oluşan cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a) x= y2, y= x2
b) y= sinx, y= cosx, x= 0, x= π
4
18.
Hareket eden bir cismin aldığı yolun, zamana bağlı olarak s:[t1,t2]→R, l=s(t)
biçiminde verildiğini biliyorsunuz. Önceki öğrenmelerinizden, yolun birinci basamaktan
türev fonksiyonuna hareket eden cismin hızı ve hızın birinci basamaktan türev fonksiyonununa da ivmesi dendiğini hatırlayınız.
Bu bilgilerinizi ve türev ile ilgili diğer öğrenmelerinizi kullanarak yol fonksiyonunu bilinen hız fonksiyonu yardımıyla bulmaya çalışalım. Önce verilen
V(t)= s′(t)= ds eşitliğini anlamlandıralım.
dt
Zamana bağlı hız denklemi bilinen hareketlinin zamana bağlı yol denklemini
integral yardımı ile ifade ediniz.
Benzer düşünceyle bir hareketlinin zamana bağlı hız fonksiyonunu integral yardımı ile ivme fonksiyonu türünden ifade ediniz.
19.
Bu kez hareket eden cismin, hareketinin belli bir anından sonraki durumunu araştırabiliriz. Bunun için önce belirsiz integralin bir keyfî sabit içerdiğini ve
F(x)=
∫ f(x)dx+c biçiminde gösterildiğini hatırlayalım. Verilen gösterimden c keyfî sabiti-
nin nasıl ya da hangi durumda ortadan kaldırılabileceğini düşünelim.
Düşüncemizi somutlaştırmak amacıyla şekildeki gibi x0 yüksekliğinde V0 hızı ve
a(t)= –10m/sn.2 ivmesi ile hareket eden cismi göz önüne alalım.
238
V0
x0
Yer
Bu hareketlinin hızını,
V(t) =
∫ a(t) dt
bağıntısından,
V(t)= –10t+c olarak buluruz.
t= 0 anında V(0)= V0 seçerek c için V0= c belli değerine ulaşırız.
Bu durumda zamana bağlı hız denklemi, V(t)= V0–10t olarak elde edilir.
Elde edilen sonucu şöyle genelleyebiliriz: Eğer fonksiyonun belli bir noktadaki
değeri biliniyorsa belirsiz integraldeki c keyfî değeri bulunarak sonuç belirli hâle dönüştürülebilir.
Sizler de aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
• Hareketlinin ilk 2 saniyede aldığı yol 2V0 ise yol-zaman denklemini bulunuz
.
• Yol-zaman denklemindeki integral sabiti fiziksel olarak neyi ifade eder?
• Bir cismin çıkış süresi, cismin hızının sıfır olduğu ana kadar geçen süredir.
Buna göre cismin çıkış süresini V0 ilk hızına bağlı olarak bulunuz.
• Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik 100 m olduğuna göre cismin ilk hızını bulunuz.
17.
1) Düz bir çizgide hareket eden bir cismin zamana bağlı hız denklemi
V(t)=cos(π.t) dır. t= 0 anındaki cismin aldığı yol 4 ise bu hareketlinin yol-zaman
denklemini bulunuz.
239
2) Yeryüzüne yakın yerlerde düşey hareketler yapan bir cismin düşey doğrultuda bir a
ivmesi vardır. Bu ivme küçük mesafeler söz konusu olduğunda hemen hemen sabittir.
Bu sabitin büyüklüğü g ile gösterilir ve yaklaşık olarak 9,8 m/sn2. dir.
Hava direnci yok sayılırsa hareket eden cisme etki eden dış etkenin sadece yer
çekiminden kaynaklanan ivme olduğunu kabul edebiliriz. Burada düşey hareketle ilgilenildiğinden cismin konumunun koordinat sistemi olarak y ekseni ve yeryüzü seviyesini
y= 0 ile gösterelim. Düşey doğrultuda yukarı doğru yön, pozitif yön olarak seçilirse yer
çekiminin cisme etkisi cismin yerden yüksekliğini ve hızını azaltır. Bu durumda cismin
ivmesi,
a(t)= dV = −g = −9, 8m / sn2. dir.
dt
Bu durumda cismin hız–zaman denklemi,
V(t)= V0–9,8t
Bir başka deyişle
V(t)= V0–g.t
bulunur. Bu bilgilerden yararlanarak aşağıdaki problemleri çözünüz.
a) Başlangıçtaki hızı 49 m/sn. olan bir top 8 metre yükseklikten yukarı doğru
düşey bir hareket yapacak biçimde fırlatılıyor. Topun çıkabileceği maksimum yükseklik
kaç metredir?
b) Bir çocuk bir kuyuya taş bırakmıştır. Taş 3 saniye sonra kuyunun dibine ulaşmıştır. Kuyunun derinliği kaç metredir?
(Yol Gösterme: Burada yer çekimi ivmesi pozitif alınır.)
3) Bir aracın t anındaki ivmesinin değeri a= (2t+3)m/sn2. denklemi ile verilmiştir.
Bu aracın t= 0 anındaki hızı 4 m/sn. ise 3. saniyedeki hızı kaç m/sn. dir?
4) Bir hareketlinin herhangi bir t anındaki hızı V(t)= 4t3–3t2+2t m/sn. dir. Başladığı andan itibaren 4 saniye sonra gittiği yol kaç metredir?
240
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME
1)
∫ (5x −3x +4) dx= ?
2)
∫
4
(
2
3 + 4√x3
√x2
3
)
dx = ?
3) Kenarları koordinat eksenlerine paralel, A köşesi orijinde ve C köşesi
x=b doğrusu üzerinde olan ABCD dikdörtgeninin alanının, A ve C köşelerinden geçen
y=k.xm eğrisi ile x ekseni arasında kalan alana oranının m ye bağlı olduğunu, k ve b ye
bağlı olmadığını gösteriniz. (b>0, k>0)
4)
∫
dx
dx= ?
(x−3)9
5)
∫
(
6)
∫
( )
7)
x
∫ x .f(x) dx= 16
(4lnx−1)+c eşitliğini sağlayan f(x) fonksiyonunu bulunuz.
8)
∫ 5 .e
cosx −
)
2
dx= ?
√4−x2
2
1−x dx= ?
x
4
3
x
x
dx= ?
9) f′(x)= 3x−2 ve f(1)= 3 bağıntısını sağlayan f(x) fonksiyonunu bulunuz.
10)
∫ (x +2) .x
3
1
2
2
dx= ?
241
11)
∫ 3x.√1−2x
12)
+x+5 dx= ?
∫ 2x −3x
3x
4
2
dx= ?
2
2
13)
∫ f(x) dx = F(x)+c olduğundan ∫ f(ax+b) dx= ?
14)
∫ e .cose dx= ?
15)
∫e
16)
1
∫ √4−(x+2)
17)
∫
18)
dx
∫ (x+3)
√1 −x
x
x
3sin2x
.cos2x dx= ?
2
dx= ?
dx
=?
√2x −x2
2
=?
19)
∫ x.√1+x dx= ?
20)
∫ x .e
21)
∫ arcsinx dx= ?
22)
∫
3
2
x
dx= ?
dx
=?
x2−4
242
23)
∫
dx
x2+x−6
24)
∫
(x+1) dx
=?
x3+x2−2x
25)
∫
x2+3x−4
26)
∫ sin x dx= ?
27)
∫ sin
28)
dx
∫ x √4+x
=?
29)
∫ √9 −4x
dx= ?
30)
∫ x x−4
31)
dx
∫ √x −4x+13
=?
=?
x2−2x−8
dx= ?
7
5x
x
dx= ?
.cos
2
2
2
2
x
2
2
2
dx= ?
2
32) Kısmi integrasyonu kullanarak
∫ |x.arcsin|x dx integralini hesaplayınız.
33) Herhangi bir noktadaki eğimi, o noktadaki apsisinin iki katının negatifine
eşit olan ve (1,1) noktasından geçen eğriyi bulunuz.
34) Düzgün bir çayır üzerinde bir top 8 m/sn. ilk hız ile yuvarlanıyor. Sürtünmeden dolayı hız 2 m/sn2. hızla azalıyor. Top hangi uzaklığa kadar yuvarlanır?
243
35) Yerden 196 metre yüksekteki balondan bir top düşürülmüştür. Balon 14,7
m/sn. hızla yükseliyor.
a) Topun ulaştığı en büyük yüksekliği,
b) Topun havada kaldığı süreyi,
c) Topun yere çarptığı andaki hızını bulunuz.
36) Bir araba 0,025 m/sn2. hızla yavaşlamaktadır. İlk hızı 25 km/sa. olduğuna
göre duruncaya kadar aldığı yolu hesaplayınız.
37) Belli bir q miktarı kendisi ile oranlı olarak artmaktadır. t= 0 olduğunda q= 25
ve t= 2 olduğunda q= 175 ise t= 6 olduğunda q nun değerini bulunuz.
2
38)
∫ (2+x) dx= ?
0
3
39)
∫ (2−x)
2
dx= ?
0
1
40)
∫ x (x +1) dx= ?
2
3
0
3
41)
dx
dx= ?
∫ √1+x
0
42) x= et.cost, y= et.sint verildiğine göre,
3
∫
0
√( ) ( )
2
dy
dx
dt + dt
2
dt= √2et.(e−1) eşitliğini gösteriniz.
244
6
43)
∫ √x−2 dx= ?
2
4≤x<5 ise
44) f(x)= 2x,
20−2x, 5≤x<6 ise
6
fonksiyonu için
∫ f(x) dx integralini hesaplayınız.
4
2
45)
∫ |x −3x +2x|dx= ?
3
2
0
46) Aşağıdaki taralı bölgelerin alanlarını bulunuz.
a)
b)
y
y
y=
0
x
0
−1
1
1+x2
x
1
y =x−x3
c)
y
ç)
y=x2
x
0
y
0
y=4x−x2
y=x2
x
y=4x−x2
47) Aşağıda denklemleri ile verilen eğri, doğru ve Ox ekseni arasında kalan
kapalı bölgelerin alanlarını bulunuz.
a) y=x2+2x, x=–1, x=1
b) y=x3–x, x=–2, x=1
c) y=cosx–sinx, x=0, x=
ç) y=tanx, x=−
π
3
π
π
, x=
4
6
245
48) Aşağıda denklemleri ile verilen eğriler tarafından sınırlanan bölgelerin alanlarını bulunuz.
a) y=x2, y=8–x2
b) y=x3, y=2x–x2
c) y=x2+3, y=11–x2
ç) y=x2+1, y=2x+9
49) x2+y2=4 ve x2+y2=4x daireleri arasında kalan alanı bulunuz.
50) x= 4–y2 parabolü ve y ekseni arasında kalan alanı bulunuz.
51) k∈N olmak üzere, y= xk ile y= xk+1 eğrileri veriliyor. Bu iki eğri arasında kalan
∞
bölgenin alanı A(k) olsun. ∑ A(k) ifadesini hesaplayınız.
k=1
y
y=1
52) Yandaki şekilde taralı bölgenin
Ox ekseni etrafında döndürülmesi ile elde
y= √cosx
edilen dönel cismin hacmini bulunuz.
−
π
2
π
2
0
x
y
y=1
53) Yandaki taralı bölgenin Oy ekseni etrafında döndürülmesi ile elde edilen
dönel cismin hacmini bulunuz.
x2+y2=1
0
246
x=1
x
y
54)
y= x √36−x2
12
x
0
Yukarıdaki taralı bölgenin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin
hacmini bulunuz.
55) Aşağıda denklemleri verilen eğri ve doğrular tarafından sınırlanan bölgelerin
Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a) y= x2, x= 5, x= 0
b) y= x3, y= 0, x= 1, x= 2
c) y= ex, x= 0, y= 0, x= 1
ç) y= √x , y= 0, x= 1
56) Aşağıda denklemleri verilen eğri ve doğrular tarafından sınırlanan bölgelerin Ox ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a) y= x, y= √x
b) y= x2+1, y= x+3
c) y= x2+3, y= 4
ç) y= x2+2, y= –x2+10
247
57) Aşağıdaki eğri ve doğrular tarafından sınırlanan bölgelerin Oy ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen dönel cisimlerin hacimlerini bulunuz.
a) y= x2, x= 0, y= 4
b) y= x3, x= –1, x= 0, x= 1
c) x= √4−y , x= 0, y= 0
ç) x= 1–y2, x= 0
3
58) f(x)= x eğrisi, y= –8, y= 8 ve x= 0 doğruları ile sınırlı bölge y ekseni etra8
fında 360 döndürülerek bir kum saati oluşturuluyor.
Oluşturulan kum saatinden 1 dakikada 4 cm3 kum üst taraftan alt tarafa aktığı5
na göre, üst taraf tamamen dolu iken kumlar kaç dakikada alt tarafa akar?
248
S… ZL† K
A
aralık: Verilen iki reel sayı arasındaki bütün reel sayıları kapsayan küme.
artan fonksiyon: Bir fonksiyonda bağımsız değişken artarken, bağımlı değişkenin de artması.
asimptot: Düzlemsel bir eğriye sonsuzda teğet olacak biçimde çizilebilen doğru veya eğri.
azalan fonksiyon: Bir fonksiyonda bağımsız değişken artarken bağımlı değişkenin azalması.
B
, ∞−∞, 0.∞, 00, ∞0, 1∞ biçimindeki ifadelerin her biri.
belirsiz ifade: ∞ , 0
∞ 0
büküm noktası: Bir fonksiyonun eğrilik durumu. Çukurluk yönünün yön değiştirdiği ve sürekli olduğu nokta.
‚
çift fonksiyon: Grafiği y eksenine göre simetrik olan fonksiyon.
D
dönel cisim: Düzlemsel bir bölgenin bir doğru etrafında 360 dönmesiyle oluşan cisim.
249
E
eğim: Analitik düzlemde bir doğrunun x ekseni ile yapmış olduğu pozitif yönlü
açının tanjantı.
ekstremum değer: Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinden her biri.
G
grafik: Bir fonksiyonun (x,f(x)) noktalar kümesinin koordinat sisteminde işaretlenmesi ile oluşan noktaların bileşim kümesi.
İ
ilkel fonksiyon: Türevi bilinen bir fonksiyonun aslı.
integral: Türevi bilinen bir fonksiyonun aslını (ilkelini) bulma işlemi.
integrand fonksiyonu:
integrasyon sabiti:
∫ f(x) dx integralindeki f(x) fonksiyonu.
∫ f(x) dx=F(x)+c eşitliğindeki c reel sayısı.
irrasyonel fonksiyon: En az bir terimi köklü biçimde ifade edilen fonksiyon.
ivme: Bir cismin zamana bağlı olarak hızının değişim oranı.
K
kapalı fonksiyon: F(x,y)=0 biçiminde yazılabilen fonksiyon.
L
limit: Değişken bir niceliğin istenilene çok yakın olarak yaklaştığı bir başka
nicelik.
250
M
maksimum değer: Sürekli bir fonksiyonun bir aralıkta almış olduğu en büyük
değer.
minimum değer: Sürekli bir fonksiyonun bir aralıkta almış olduğu en küçük
değer.
N
normal: Bir eğrinin teğetine değme noktasında dik olan doğru.
S
sınırlı fonksiyon: Tanım kümesinin her x elemanı için f(x) <k olacak biçimde
bir k pozitif reel sayısı bulunabilen fonksiyon.
süreklilik: Bir fonksiyonun x0 noktasındaki limiti ile o noktadaki görüntüsünün
eşit olması.
T
tek fonksiyon: Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyon.
türev: [a,b] nda tanımlı bir f(x) fonksiyonuna verilecek olan çok küçük bir ∆x
artışında fonksiyon artmasının değişken artmasına oranının (değişken artmasının 0 a
yaklaştığındaki) limit değeri.
türevlenebilir fonksiyon: Tanım kümesindeki her (a,b) nın her noktasında
türevi tanımlı olan bir fonksiyon.
Y
yerel ekstremum: Bir fonksiyonun sürekli olduğu belli aralıktaki en büyük
veya en küçük değeri.
251
KAYNAKÇA
1. Alkan, H., E. Bukova, Constructing Derivative as a Function by Using
Animations, ICTM Toplantısı, İstanbul, 2006.
2. Alkan, H., Matematik Öğreniyorum, Anı Yayınları, Ankara, 2007.
3. Anton, H., Calculus, John Wiley & Sons, Inc., Canada, 1992.
4. Aydın, N., Liseler İçin Matematik 5, Aydın Yayınları, Ankara, 2001.
5. Ayres F., Teori ve Problemlerle Diferansiyel ve İntegral Hesap, Güven
Kitabevi Yayınları, Ankara, 1979.
6. Balcı, M., Genel Matematik Problemleri 1, Balcı Yayınları, Ankara, 2004.
7. Bakşi, E., H. Korkmaz, U. Adalıoğlu, Matematik Lise 3, Millî Eğitim Yayınları,
Ankara, 2004.
8. Barış, M., Lise Matematik 3, Ders Kitapları Anonim Şirketi, İstanbul, 2000.
9. Bitsch, G., H. Freudigmann, G. Reinelt, J. Stark, I. Weidig, M. Zinser, LS
Kursstufe, Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 2005.
10. Bittinger, M., Calculus and Its Applications, Addison-Wesley Publishing
Company, Indianapolis, 1996.
11. Bontemps, G., Fractale Terms Maths Obligatoire, Larousse-Bordas, Paris,
1998.
12. Edwards, C. H., D. E. Penny, Matematik Analiz ve Analitik Geometri 1,
Palme Yayıncılık, Ankara, 2001.
13. Goldstein, L. J., D. C. Lay, D. I. Schneider, Calculus and Its Applications,
Prentice Hall, Maryland, 1999.
252
14. Silverman, R. A., Calculus with Analytic Geometry, Richard A. Silverman,
Prentice Hall New Jersey, 1985.
15. Urso, R., Calculus with Applications, McGraw-Hill, Inc., New York, 1995.
16. Waner, S., S. R. Custenoble, Calculus Applied to the Real World, Harper
Collins College Publishers, Hofstra, 1996.
İNTERNET ADRESLERİ
www.math.utah.edu
www.freewebs.com
www.thrillseekers.online.com
www.midmarketmaven.com
www.triosmartcal.com.au
www.unspace.net
www.isdc.unige.ch
www.irankelman.org
http://matematikci.info/haber_oku.asp?haber=141
http://www.matematikatolyesi.com/index2.php?option=com_con-tend&do_
pdf=1&id=29
253
