+ + + + + x - Başkent Üniversitesi

TBF - Genel Matematik I
DERS – 8 : Grafik Çizimi
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
Artan – Azalan Fonksiyonlar.
y
(x,f(x))
y=f(x)
y= f(x)
x
Bir (a , b) aralığında tanımlı bir f fonksiyonu verilmiş olsun.
Eğer
x1 , x2  (a , b) ve x1 < x2 olunca daima f(x1) < f(x2)
oluyorsa, f fonksiyonu (a , b) aralığında artan fonksiyondur denir.
Eğer
x1 , x2  (a , b) ve x1 < x2 olunca daima f(x1) > f(x2)
oluyorsa, f fonksiyonu (a , b) aralığında azalan fonksiyondur denir.
x
(a , b) aralığında
y
• f´(x) > 0
 f artan
• f´(x) < 0
 f azalan
Eğim sıfır
Eğim negatif
Eğim pozitif
yatay teğet
 (c , f (c)) de
yatay teğet
• f´(c) = 0
y=f(x)
x2
x
f´(x)
y
6)2
Örnek. f(x) =(1/2) – 6x +22 = (1/2)(x –
+4
fonksiyonu İçin f ´ (x) = x – 6 ve f ´ (6) = 0.
-
6
- - - - - - -
0+ + + + +
x
y= (1/2)x2 – 6x + 22
(0,22)

x
(6,4)
Örnek .
f ( x)  x 3  3 x  4
fonksiyonu (- , ) aralığında artandır.
f '(x)  3x 2  3  0 dır.
Çünkü, her x reel sayısı için
Örnek. f(x) = x3 – 3x2 +4 fonksiyonunun artan
veya azalan olduğu aralıklar:
f´(x) = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) = 0  x=0 veya x=2.
x
0
-
f´(x)
+ + +
2
0 - - - 0 + + +
f(x)
–1
f (x) 
Örnek.
x
f´(x)
y

1
1
, f '(x)
x 2
x  22
-
- - - - - - -
2
0
2
x
y

- - - - - -
2
x
2
x
Örnek. f (x)   3 fonksiyonunun tüm artan ve azalan olduğu aralıklar:
x 2
x 2  4 x  3 (x  1)(x  3)
2x(x  2)  (x 2  3)

f ' ( x) 

2
(x  2)2
(x  2)
(x  2)2
y
f´(x) = 0  x = 1 veya x = 3
Aşağıdaki tablodan
2
x
f´(x)
-
0
1
2
3

1
3
x
+ + + + + 0 - - - - - 0 + +
fonksiyonun (-,1) ve (3,) aralıklarında artan, (1,2) ve (2,3) aralıklarında azalan
olduğu görülür.
Örnek. f (x)  x 4  12x 3  30 x 2  28 x  45 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu
aralıkları belirleyelim.
f '(x)  4 x 3  36 x 2  60 x  28  4(x 3  9 x 2  15x  7)
Sağ tarafta parantez içindeki ifade (örneğin x=1 için bu ifadenin sıfır olduğuna
dikkat edilerek) çarpanlara ayrılırsa,
f '(x)  4(x  1)2 (x  7)  0
ve böylece f ’(x) in işareti incelenince
x
f ´(x)
-
1
- - - - - - - - -- - - 0

0 + +
7
f nin (- , 7) aralığında azalan, (7 , ) aralığında artan olduğu görülür.
Konkavlık , İkinci Türev.
y
y = f(x)
y
y = f(x)
a
a
b x
(a , b) aralığında yukarı
doğru konkav (concave
- up)
(a , b) aralığında aşağı
doğru konkav (concave
- down)
(a , b) aralığında
• f´(x) artan 
b
grafik yukarı doğru konkav.
• f´(x) azalan  grafik aşağı doğru konkav.
• f´(x) in türevi pozitif

• f´(x) in türevi negatif
 grafik aşağı doğru konkav.
grafik yukarı doğru konkav.
x
f fonksiyonunun (birinci) türevi f´(x) mevcutsa ve f´(x) in de türevi mevcutsa, f´(x) in
türevine f nin ikinci türevi denir ve f´´ (x) ile gösterilir.
y = f (x) ise, f nin ikinci türevi
f ' ' (x) 
d
( f '(x))
dx
tir ve bu türev
d 2y
f ' ' (x)  y' '  2
dx
sembolleri ile de gösterilir.
Örnekler.
f (x)  x 2  f ' (x)  2 x
 f ' ' (x)  2
3

d  1  d  1  12 
1
1
 y' '  
   x    x 2  
y  x  y'
dx  2 x  dx  2
4
2 x
4 x3

1
Örnekler.
y
1
1
2
6
 y'  2  y' '  3  y' ' '  4
x
x
x
x
2
y  e x  y'  2xe x  y''  2e x  4 x 2e x
2
2
x2
x2
2
3 x2
 y'''  4 xe  8 xe  8 x e
(a , b) aralığında
• f´´ (x) > 0
 y = f (x) in grafiği yukarı doğru konkav
• f´´ (x) < 0
 y = f (x) in grafiği aşağı doğru konkav
Örnek. f(x) = x3 fonksiyonunun yukarı ve aşağı doğru konkav olduğu aralıkları belirleyelim.
f´(x) = 3x2
x
f
´´(x)
,
f ´´(x) = 6x
-
0
- - - - -
0

y
+ + + + +
x
Her x  0 için f ´(x) = 3x2 nin pozitif olduğu da
göz önüne alınarak, f(x) = x3 fonksiyonunun grafiği
elde edilir.
Şimdiye kadar yapılanlardan şu sonucu çıkarabiliriz: Bir f fonksiyonunun artan veya azalan
olduğu aralıklar f nin birinci türevinin, yukarıya veya aşağı doğru konkav olduğu aralıklar da
f nin ikinci türevinin işaretinin değişimine bakılarak belirlenebilir. Şu kuralları elde ettik:
(a , b) aralığında
• f´(x) > 0
 f artan
• f´(x) < 0
 f azalan
• f´(c) = 0
 (c , f (c))’de yatay teğet
• f´´ (x) > 0  y = f (x) in grafiği yukarı doğru konkav
• f´´ (x) < 0
 y = f (x) in grafiği aşağı doğru konkav
Bir f fonksiyonunun grafiğinde konkavlığın değiştiği noktaya f nin dönüm noktası denir.
Bu durumda, “f nin x = c’de dönüm noktası var” denir.
dönüm
noktası
Dönüm noktası ile ikinci türev arasında şu
ilişki vardır: y = f (x) fonksiyonu (a , b)
de sürekli ve a < c < b olmak üzere, f nin
x = c’de dönüm noktası varsa, ya f ´´ (c) = 0
yada f ´´ (c) tanımsızdır.
y
(0,0)
x
Örnek. f ( x )  x 3  3x 2  4 fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru veya aşağı doğru
konkav olduğu aralıkları, ve varsa dönüm noktalarını belirleyelim.
f´(x) = 3x2 -6x = 0  x = 0 veya x = 2.
f´´(x) = 6x –6 = 0  x = 1.
f fonksiyonunun grafiğinin yukarı doğru veya aşağı doğru konkav olduğu aralıkları, ikinci
türevin işaret tablosu yardımıyla belirleyebiliriz.
x
f
´´(x)
-
1
- - - - -
0

+ + + + +
Bu tablodan f fonksiyonunun x = 1’de
dönüm noktası bulunduğu da görülmektedir.
Fonksiyonun daha önce de çizilen grafiği
bir sonraki slaytta verilmiştir.
y
-1
0
1
2
x
Yerel Maksimum , Yerel Minimum (Yerel Ekstremum).
İç Nokta Ekstremumları. c bir reel sayı ve f bir fonksiyon olsun. f fonksiyonu c yi içine alan
bir açık aralıkta tanımlı ise c ye f nin tanım kümesinin bir iç noktası denir.
c, f fonksiyonunun tanım kümesinin bir iç noktası olsun. Eğer her x(a,b) için f(x) < f(c)
koşulunu sağlayan bir (a,b) aralığı varsa, f(c) değeri f nin bir yerel maksimum değeridir denir.
Benzer şekilde, her x(a,b) için f(x) > f(c) koşulunu sağlayan bir (a,b) aralığı varsa, f(c)
değeri f nin bir yerel minimum değeridir denir.
y
y
f(c)
f(c)
a
c
x
b
x
a  x  b  f ( x )  f (c )
f(c) yerel maksimum
a
c
x
b
x
a  x  b  f ( x )  f (c )
f(c) yerel minimum
f(c) değeri f nin yerel maksimum (veya yerel minimum) değeri ise, f nin x = c’de yerel
maksimum (veya yerel minimum) değeri vardır denir.
Örnek. Karesel fonksiyonlarla ilgili tartışmalarımızdan,
f (x)  ax 2  bx  c , a  0
y
karesel fonksiyonunun
h
b
2a
olmak üzere
-1
0 1 2
x
• a > 0 ise, x = h’de yerel minimum değere
• a < 0 ise, x = h’de yerel maksimum değere
oahip olduğunu anımsayınız.
Örnek. Daha önce, f(x) = x3 – 3x2 + 4 fonksiyonunun grafiği yukarıda sağdaki gibi çizilmişti.
Grafikten de kolayca görülebileceği üzere bu fonksiyonun x = 0’da yerel maksimum (f(0) = 4)
ve x = 2’de yerel minimum (f(2) = 0 ) değeri bulunmaktadır.
Uç Nokta Ekstremumları.
Eğer a, bir f fonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sol uç noktası olup a ya yakın ve a dan
büyük olan her x için f(x) < f (a) ise, f(a) ya f nin bir uç nokta yerel maksimum değeri denir.
Eğer b, bir f fonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sağ uç noktası olup b ye yakın ve b den
küçük olan her x için f(x) < f (b) ise, f(b) ye f nin bir uç nokta yerel maksimum değeri denir.
Aşağıdaki şekiller uç nokta maksimum değer tanımını açıklar:
y
y
(a,f(a))
a
Örnek. f (x)  (x  9) x
(b,f(b))
x
b
x
fonksiyonu [0,) aralığında tanımlıdır ve f(0)=0 değeri bu
fonksiyonun bir uç nokta maksimumudur. Çünkü, her x ϵ (0,9) için ve f(x) < f (0) = 0 dır.
Eğer c, bir f fonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sol uç noktası olup c ye yakın ve c den
büyük olan her x için f(x) > f (c) ise, f(c) ye f nin bir uç nokta yerel minimum değeri denir.
Eğer d, bir f fonksiyonunun tanımlı olduğu bir aralığın sağ uç noktası olup d ye yakın ve d den
küçük olan her x için f(x) > f (d) ise, f(d) ye f nin bir uç nokta yerel minimum değeri denir.
Aşağıdaki şekiller uç nokta minimum değer tanımını açıklar:
y
y
(d,f(d))
(c,f(c))
c
Örnek.
x
d
x
f (x)  x fonksiyonu [0,) aralığında tanımlıdır ve f(0)=0 değeri bu fonksiyonun
bir uç nokta minimumudur. Çünkü, her x ϵ (0,4) için ve f(x) > f (0) = 0 dır.
Örnek.
Her x  [-2,3] için , g(x) = x3 – 3x2 + 4 denklemi ile tanımlanan fonksiyon
y
g(-2) = -16 uç nokta yerel minimumu
(3,4)
(0,4)
g(3) = 4 uç nokta yerel maksimumu
–2
0
2
3
y = x3–3x2+4
–2  x  3
Örnek. g(x)  x  1  5  x denklemi ile tanımlanan fonksiyon
[1,5] aralığında tanımlı olup (1,3) aralığında artan, (3,5) aralığında
azalandır. Dolayısıyla,
g(1) = 2 =g(5) uç nokta yerel minimumu
g(3)  2 2 iç nokta yerel maksimumu
(–2,–16)
x
Grafik Çizimi.
y = f(x) in grafiğini çizmek için
Adım 1. f(x) analiz edilir.
A) f nin tanım kümesi belirlenir.
(f nin tanım kümesi, f(x) in tanımlı olduğu
tüm reel sayıların oluşturduğu kümedir.)
B) Koordinat kesişimleri bulunur. (Eğer varsa, y-kesişimi f(0) dır; xkesişimleri de f(x)=0 ın çözümleri.)
C) Asimptotlar bulunur.
( lim f (x)   veya lim f (x)   ise, x  a dusey asimptot;
x a
x a
lim f (x)  b ise, y  b yatay asimptot.
Adım 2. f´(x) analiz edilir.
x  
(Bir tabloda f´(x) in sıfır olduğu veya tanımsız olduğu yerler, işaret değişimi
gösterilir; böylece, f nin hangi aralıklarda artan, hangi aralıklarda azalan olduğu
ve ayrıca yerel maksimum ve minimum değerleri belirlenir.)
Adım 3. f´´(x) analiz edilir.
(Bir tabloda f´´(x) in de sıfır olduğu veya tanımsız olduğu yerler, işaret değişimi
gösterilir; böylece, f nin hangi aralıklarda aşağıya doğru, hangi aralıklarda
yukarıya doğru konkav olduğunu ve ayrıca varsa dönüm noktaları belirlenir.)
Adım 4. Grafik çizilir.
(Bir koordinat sistemi alınarak asimptotları çizilir, koordinat kesişimleri, yerel
maksimum ve minimum noktaları, dönüm noktaları işaretlenir ve tablolardan da
yararlanılarak şekil tamamlanır.)
Şimdi bu adımları bazı örnekler üzerinde gerçekleştirelim
Örnek 1. f(x) = x4 – 2x3 ile verilen fonksiyonun grafiğini çizelim.
Adım 1. f(x) i analiz edelim.
tüm reel sayılar kümesi ℝ
A) f nin tanım kümesi:
B) y – kesişimi:
f(0) = 0
x – kesişimleri:
(0,0) noktası
f(x) = 0
x4 – 2x3 = 0  x3(x – 2) = 0
 x=0 , 2
(0,0) ve (2,0) noktaları
C) Asimptotlar: f bir polinom olduğundan düşey veya yatay asimptot yoktur.
Adım 2. f´(x) i analiz edelim:
f´(x) = 4x3 – 6x2 = 4x2(x – 3/2)
x
0
f´(x) - - - - - 0
azalan 0
f(x)

= 0  x = 0 veya x = 3/2
3/2

- - - - 0 + + + + +
azalan -27/16 artan
Yerel min.
f(x), (-,3/2) aralığında azalan,
(3/2 , ) aralığında artan olup
x = 3/2’de yerel minimum vardır.
Adım 3. f´´(x) i analiz edelim:
f´´(x) = 12x2 – 12x = 12x(x-1)
f´´(x) = 0  x = 0 , 1
x
1
0

f´´(x)
+ + + + + + + ++ + +
0
- - - - -
f(x)
Yukarıya
0
Aşağıya -1
doğru konkav
doğru konkav
Dönüm
noktası

0 + + + + + +
Yukarıya
doğru konkav
Dönüm
noktası
f(x) , (-,0) ve (1, -) aralıklarında yukarıya doğru, (0,1) aralığında aşağıya doğru
konkav olup x = 0 ve x = 1’de dönüm noktası vardır.
Şimdi, Adım 2 ve Adım 3 te elde edilenleri bir tabloda özetleyelim:
x

f(x)
0
1
3/2
2
0
-1
-27/16
0
f´(x)
- - - - - - - - - - - -
0
- - -
-2 - - 0
f´´(x)
+ + + + + ++ + + +
0
- - -
0 ++ 9
+ + + + +
+ + + + +

Adım 4. Grafiği çizelim.
y
Bulduğumuz noktaları yerleştirelim
1
f(x) = x4 – 2x3
0
-1
-1
-2
1
2
x
Örnek 2. f(x) = x3 + 3x2 -9x +5 in grafiğini çizelim
Adım 1. f(x) i analiz edelim.
A) f nin tanım kümesi: tüm reel sayılar kümesi ℝ
B) y – kesişimi:
f(0) = 5
(0,5)
f(x) = x3 + 3x2 -9x +5 =(x-1)2(x+5)
x – kesişimleri:
(1,0) ve (-5,0)
C) Asimptotlar: f bir polinom olduğundan düşey veya yatay asimptot yoktur.
Adım 2-3. f´(x) ve f´´(x) i analiz edelim :
f´(x) = 3x2 + 6x -9 = 3(x2 +2x-3) = 3(x-1)(x+3)
= 0  x = -3 veya x = 1
f´´(x) = 6x + 6 = 6(x+1) = 0  x = -1

f (x)
f ‘ (x)
+
f ‘‘ (x)
-
+
-5
-3
-1
0
1
0
32
16
5
0
0
- - - -
+
+
- - - - - - -
0

+ + + + + + + + + +
0 + + + + + + + + + + + + +
Adım 4.
(-3,32)
y
f(x) = x3 + 3x2 -9x +5
(-1,16)
(0,5)
(-5,0)
(1,0)
x
Örnek 3.
f ( x) 
x 1
x 2
nin grafiğini çizelim.
Adım 1. f (x) i analiz edelim.
ℝ \{2}
A) f nin tanım kümesi:
B) y – kesişimi:
f (0) 
0 1 1

0 2 2
x – kesişimleri:Bir kesrin sıfır olduğu yerler, payın sıfır olduğu, ancak paydanın
sıfırdan farklı olduğu yerlerdir. Dolayısıyla, x-kesişimi x = 1 dir.
C) Yatay asimptot :
x 1
1
x   x  2
lim
Düşey asimptot: x = 2.
lim
x 2
olduğundan, y = 1
x 1
x 1
 .
  , lim
x

2
x 2
x 2
yatay asimptottur.
Bu örnekte de Adım 2 ve Adım 3 ü birlikte gerçekleştirip bir tek tablo yapacağız:
f ´(x) 
1(x  2)  1(x  1)
1

x  22
x  22
f ´´(x) 
x
2
x  23

f(x)
f´(x)
f´´(x)
0
1
1/2
0

2
- - - - - - - - -
-1/4 - - -1 - -
- - - - - - -
- - - - - - - - --
1/4 - - 2 - -
+ + + + + +
Adım 4.
y
1
-1
0
1
2
x
3
f ( x) 
x 1
x 2
Örnek 4.
f (x) 
1
in grafiğini çizelim.
x2  1
Adım 1. f(x) i analiz edelim.
ℝ
A) f nin tanım kümesi:
B) y – kesişimi:
f (0) 
1
1
0 1
2
x – kesişimleri: Yok.
1
 0 olduğundan, y = 0 yatay asimptottur.
2
x   x  1
C) Yatay asimptot: lim
Düşey asimptot: Yok.
Adım 2 ve Adım 3 ü birlikte gerçekleştirip bir tek tablo yapalım:
f ´(x) 
0  (x 2  1)  2 x  1
f ´´(x) 
x
x
2
 1
2
f´´(x)
x
 2x
= 0  x = 0.
 1
2
2
(2)  (x 2  1)2  2(x 2  1)  2 x  (2 x)

f(x)
f´(x)

x
2
 1
4
1
3
3/4
+ + + + + + + +
+ + + + +
0
6x2  2
=0  x=
 2
(x  1)3
0
1
3
1
1
3/4
1/2
0

1
3

- - - - - - - - - - -
- - - - -
Yerel Maks.
0
+ + + + + + + +
Adım 4.
y
1
1
3
0
f (x) 
1
x2  1
x
1
3
Örnek 5.
f (x)  xe x in grafiğini çizelim.
Grafik çizim stratejisindeki adımları sırasıyla izliyoruz.
Tanım kümesi: ℝ
x-kesişimi ve y-kesişimi: (0,0).
Düşey asimptot yok.
x
1
x

lim

0
,
lim
xe
   y= 0 yatay asimptot.
x  
x   e  x
x    e  x
x 
f ´(x)  e x  xe x  e x (x  1)  0  x  1
lim xe x  lim
f´(x) in bu ifadesinden, her x < -1 için f´(x)<0 ve her x > -1 için f´(x)>0 olduğu
görülür
f ´´(x)  e x  e x (x  1)  e x (x  2)  0  x  2
f´´(x) in bu ifadesinden, her x < -2 için f´´(x)<0 ve her x > -2 için f´´(x)>0
olduğu görülür.
Bu verileri bir tabloda özetleyelim ve grafiği çizelim.
x
f(x)
f´(x)
f´´(x)

0
-2
-1
0
-2e-2 -e-1
- - - -- - - - - 0 + + + + + + + + +
- - - - - 0 + + + + + + + + + + +

Yerel min.
y
f (x)  xe x
-2
-1
0
x
Örnek 5.
ex
f ( x) 
x
in grafiğini çizelim.
Grafik çizim stratejisindeki adımları sırasıyla izliyoruz.
Tanım kümesi: ℝ \{0}
x
x-kesişimi ve y-kesişimi : YOK.
x
e
e
  , lim    x= 0 düşey asimptot.
x 0 x
x 0 x
ex
ex
lim
 0 , lim    y= 0 yatay asimptot.
x   x
x  x
lim
e x x  e x (x  1)e x
f ´(x) 

 0  x 1
x2
x2
f´(x) in bu ifadesinden, her x < 1 için f´(x)<0 ve her x > 1 için f´(x)>0 olduğu görülür.
(e x  (x  1)e x )x 2  2 x(x  1)e x
f ´´(x) 
x4
e x ( x 2  x 3  x 2  2 x 2  2 x)

x4
e x (x 2  2 x  2)

x3
Her x  ℝ için x 2  2x  2  (x  1)2  1  0 ve ex > 0 olduğundan, ikinci türevin asla sıfır
olmadığına ve ikinci türevin işaretinin x3 tarafından belirlendiğine dikkat edelim.
Bu verileri bir tabloda özetleyelim ve grafiği çizelim.
x 
f(x)
0

1
e
f´(x)
- - - - - - - - - - -
- - 0 + + + + + + + +
f ´´x)
- - - - - - - - - - -
+ + e + + + + + + + +
y
ex
f ( x) 
x
0
1
x
Örnek 6.
f (x)  x ln x
Tanım kümesi:
in grafiğini çizelim.
0,  
x-kesişimi: x = 1, y-kesişimi: yok.
1
(
)
ln x
x
lim
lim x ln x 
 lim
 lim ( x)  0
x 0  1
x 0 
1
x 0
( 2 ) x 0
x
x
lim x ln x  
x 
1
f ´(x)  ln x  x    ln x  1 = 0  x = 1/e
x
f ´´(x) 
1
x
x
0
f(x)
f´(x)
f´´(x)
- - - - - - - + + + + + + +
1/e
1
-1/e
0

0
+ + + + + + + + + + + + + +
e
+ + + + + + + + + + + + + +
Yerel min.
y
f (x)  x ln x
0
1/e
1
x
Örnek 7. g(x)  x  1  5  x
in grafiğini çizelim.
[1,5]
Tanım kümesi:
Fonksiyonun koordinat kesişimi, yatay veya düşey asimptotu yoktur(neden?)
g'(x) 
5 x  x 1
1
1

 0  x 1  5  x

2 x 1 2 5  x 2 x 1 5  x
 x  1  5  x  x  3.
g''(x) 
1
4(x  1)
3
2

1
4(5  x)
3
2
3
3

 
1
2
2
   (x  1)  (5  x) 
4

y
x 1
3
5
g(x) 2
2 2
2
g’(x) + + + + 0 - - - g’’(x)
- - - - - - - - - - -
Yerel maks.
2 2
2
0
1
3
g(x) 
5
x
x 1  5 x
Uygulama. Bir şirket, en az 10 bin en çok 20 bin TL harcamayı planladığı bir reklam kampanyası
düzenlemek istiyor. Şirket geçmiş satış bilgilerini de kullanarak, bu kampanya için x bin TL harcaması durumunda, günde satabileceği ürün sayısının N(x) = 9000 – 600x + 45x2 – x 3 olacağını
tahmin ediyor. Satışın reklam harcamalarına göre değişim oranını analiz ediniz.
Çözüm. Değişim oranı türeve karşılık geldiğinden,
N´(x) = -600 + 90x - 3x2 = -3(x2 - 30x +200) = -3(x-10)(x-20) ,
N´´(x) = -6x +90 = -6(x-15).
x
10
N(x) 6500
N´(x)
N´´(x)
y
15
20
6750
7000
y = N(x)
0 + + + + + 75 + + + + + 0
+ + + + + +
0
y = N´(x)
- - - - - - 10 15
N(10) = 9000 – 6000 + 4500 - 1000= 6500
N(15) = 9000 - 600 . 15 + 45 . 152 - 153 = 6750
N(20) = 9000 - 600 . 20 + 45 . 202 - 203 = 7000
20
x