FZM450 Elektro-Optik 4.Hafta Işığın Elektromanyetik Tanımlanması-3:

FZM450 Elektro-Optik
4.Hafta
Işığın Elektromanyetik Tanımlanması-3:
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi
© 2008 HSarı
1
4. Hafta Ders İçeriği
•
•
Işığın kristal içinde ilerleyişi
İzotropik olmayan kristaller
•
•
•
•
•
© 2008 HSarı
Kübik kristaller
Tek Eksenli Kristaller
Çift Eksenli Kristaller
Optik eksen tanımı
Çift kırılma
2
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-1
Kristalin diğer ortamlardan, elektromanyetik dalganın ilerleyişi düşünüldüğünde, en önemli farklılığı
kristallerin elektriksel olarak anizotropik özellik gösterebilmesidir yani farklı yönlerdeki elektriksel
özelliği farklı olabilmektedir
Bunun anlamı uygulanan elektrik alan ile kristalin polarizasyonu (kutuplanması)
izotropik kristallerde olduğu gibi bir skaler (χ) ile elektrik alanın (E) çarpımı gibi basit değildir
P=εoχE
χ=skaler (izotropik ortam)
P=εoχE
χ=tensör (kristal)
Bu kutuplanma kristalin yönelimine bağlıdır
P=εoχE
Bunun optoelektronikteki en belirgin sonucu ışığın kristal içersindeki ilerleyişi kristalin
yönelimine oldukça bağımlı oluşudur.
P nin E ye bağlılığı tensör nicelik olarak ifade edilebilir.
⎡ Px ⎤
⎡ χ 11 χ 12 χ 13 ⎤ ⎡ E x ⎤
⎢ ⎥
⎢ χ χ χ ⎥.⎢ E ⎥
P
=
ε
0
y
⎢ ⎥
⎢ 21 22 23 ⎥ ⎢ y ⎥
⎢P ⎥
⎢⎣ χ 31 χ 32 χ 33 ⎥⎦ ⎢⎣ E z ⎥⎦
⎣ z⎦
Bunu P=εoχE şeklinde yazabiliriz. Burada χ alınganlık tensörüdür ve en genel olarak
© 2008 HSarı
⎡ χ 11 χ 12 χ 13 ⎤
χ = ⎢⎢ χ 21 χ 22 χ 23 ⎥⎥
⎢⎣ χ 31 χ 32 χ 33 ⎥⎦
3
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-2
Buna karşı gelen yerdeğiştirme vektörü D ise D=εo(1+χ)E=εE,
ve ε=εo(1+χ)
⎡1 0 0 ⎤
⎢
⎥
1 = ⎢0 1 0 ⎥
⎢0 0 1 ⎥
⎣
⎦
Sıradan ve soğurucu olmayan bir kristal için bu tensör simetriktir ve her zaman 3 tane temel eksen bulunabilir
z
x
y
Durum-I: İzotropik Madde
Di = εE = ε oκE
(ε, κ skaler)
P=εoχE (χ skaler)
⎡ χ 11 0 0 ⎤
⎥
⎢
χ = ⎢0 χ 22 0 ⎥
⎢0 0 χ ⎥
33 ⎦
⎣
Durum-II: İzotropik olmayan Maddeler (Soğurma yok)
Di = εE = ε oκE
(ε, κ tensör)
P=εoχE (χ tensör)
Dx=εo[κxxEx+ κxyEy + κxzEz]
Dy=εo[κyxEx+ κyyEy + κyzEz]
Dz=εo[κzxEx+ κzyEy + κzzEz]
3
© 2008 HSarı
Burada κ maddenin boyutsuz dielektrik sabitidir
Di = ε o ∑ κ ij E j
j =1
4
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-3
Durum-II: İzotropik olmayan Maddeler (Soğurma yok)
Dx=εο[κxxEx+ κxyEy + κxzEz]
Dy=εο[κyxEx+ κyyEy + κyzEz]
Dz=εο[κzxEx+ κzyEy + κzzEz]
Bu durumda yani anizotropik madde içinde D, E’ye paralel değildir (tensörel özellikten)
3
Di = ε o ∑ κ ij E j
j =1
şeklinde yazabiliriz. Benzer şekilde D alanını matriks notasyonunda da aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
⎡ D1 ⎤
⎡κ11 κ12 κ13 ⎤ ⎡ E1 ⎤
⎢ D ⎥ = ε ⎢κ
⎥ .⎢E ⎥
κ
κ
2
0
21
22
23
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ 2⎥
⎢⎣ D3 ⎥⎦
⎢⎣κ 31 κ 32 κ 33 ⎥⎦ ⎢⎣ E3 ⎥⎦
Eğer yukarda kullandığımız x-y-z koordinat sistemini kristalin eksenleri cinsinden ifade edresek κ matrisi
diyagonal dışındaki bileşenleri sıfır olur ve daha basit bir görünüm kazanır.
⎡κ 11 0
κ ij = ⎢⎢ 0 κ 22
⎢⎣ 0
0
© 2008 HSarı
0 ⎤
0 ⎥⎥
κ 33 ⎥⎦
5
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-4
⎡κ 11 0
κ ij = ⎢⎢ 0 κ 22
⎢⎣ 0
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
κ 33 ⎥⎦
n= κ =
ε
εo
Durum-I Kübik sistem( Bakır, gümüş, sodyum Al metal sistemleri)
0⎤
⎡κ 11 0
κ ij = ⎢⎢ 0 κ 11 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0 κ 11 ⎥⎦
κ11=κ22 =κ33
Durum-II Tek eksenli kristal sistem( Kuartz, Kalsit)
0 ⎤
⎡κ 11 0
κ ij = ⎢⎢ 0 κ 11 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0 κ 33 ⎥⎦
κ11≠ κ33
Durum-III Çift eksenli kristal sistem(Mika)
© 2008 HSarı
⎡κ 11 0
κ ij = ⎢⎢ 0 κ 22
⎢⎣ 0
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
κ 33 ⎥⎦
κ11≠ κ22≠ κ33
6
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-5
Durum-I Kübik sistem( Bakır, gümüş, sodyum Al metal sistemleri)
0⎤
⎡κ 11 0
κ ij = ⎢⎢ 0 κ 11 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0 κ 11 ⎥⎦
Kristal içinde Maxwell denklemlerini yazıp çözüm bulmaya çalışalım
ρ
=0
ε0
∇.B = 0
∇ .D =
∂B
∇× E = −
∂t
∂D
∇× H =
∂t
Burada
D i = ε o κ ij E j
B=μoH
∇x(∇xE ) = −
∇x(∇xE ) = −∇ 2 E + ∇(∇.E )
σij=0
∂
∂
∂ ∂D
(∇xB ) = − μo (∇xH ) = − μo ( )
∂t
∂t
∂t ∂t
Vektörel eşitliği kullanırsak
∂2D
− ∇ E + ∇(∇.E ) = − μ o 2
∂t
G
G
Çünkü izotropik ortamda ε skaler olmasına karşın anizotropik
Burada ∇.E ≠ ∇D
ortamda ε matrisdir ve E ile D birbirine paralel değildir!
2
A=kB
A//B
A=CB
© 2008 HSarı
Ödev: Matematiksel olarak E ile D nin paralel olmadığını gösteriniz
7
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-6
G
∂D x ∂D y ∂D z ∂ (κ 1 y E x ) ∂ (κ 2 y E y ) ∂ (κ 3 y E z )
∇.D =
+
+
+
=
+
∂x
∂x
∂z
∂y
∂y
∂z
Burada dielektrik sabitler κ1y, κ2y ve κ3y ortak değillerdir
Yukardaki ifadede
∇(∇.E ) ≠ 0
olduğu için dalga denklemini buna göre çözmemiz gerekecektir.
∂2D
− ∇ E + ∇(∇.E ) = − μ o 2
∂t
2
Hangi durumda yukardaki denklem dalga çözümlüdür? Çözümümüzün dalga formunda
olduğunu kabül edersek
E = Eoe
GG
i ( k .r −ωt )
D = Do e
H = H oe
GG
i ( k .r −ωt )
GG
i ( k .r −ωt )
∇.E = ikE
© 2008 HSarı
∂
∂
∂
∇.(∇.E ) = ˆi (ikE ) + ˆj (ikE ) + kˆ (ikE )
∂x
∂y
∂z
8
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-7
x-bileşeni için
ˆi ∂ (ikE ) = ˆi ∂ (ik E + ik E + ik E ) = ˆi ∂ (ik e i(k x x + k y y + k z z ) + ...) = i[ik ik E + ...]
x x
y y
z z
x
x
x x
∂x
∂x
∂x
∇.(∇.E ) = ˆik x [kE ] + ˆjk y [kE ] + kˆ k z [kE ] = k.[kE ]
∂2D
− ∇ E + ∇(∇.E ) = − μ o 2
∂t
2
∂2D
− ∇ E + (−k [k.E ]) = − μ o 2
∂t
2
Işığın anizotropik ortamda ilerleyişini belirleyen
dalga denklemi
© 2008 HSarı
Herhangi bir maddede k.D=0 fakat en genel olarak k.E≠0
9
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-7
∂2D
− ∇ E + (−k [k.E ]) = − μ o 2
∂t
İzotropik madde (bütün doğrultularda aynı elektriksel özellik gösteren) için bulduğumuz denklemi çözelim
2
E = Eoe
GG
i ( k .r −ωt )
∇ E = ∇ (E o e
2
2
GG
i ( k .r −ωt )
− k [k.E ] + (k.k ) E = μ oω 2 D
) = −( k .k )E
Homojen ve izotropik madde için k.E=0 ve D=εE olduğundan
0+k2E=μoω2εE
(k2-μoω2ε)E=0
Bu denklemin çözümünün
k2-μ
o
ω2ε=0
=>
ω2
k
2
=
1
μ oε
ω
=>
k
=
1
μ oε
= ν faz
G G
ω
ω ˆ
ω
k = k kˆ = kˆ =
k = n kˆ
v
cn
c
© 2008 HSarı
10
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-7
∂2D
− ∇ E + (−k [k.E ]) = − μ o 2
∂t
2
İşlemleri kolaylaştıracak boyutsuz bir nicelik
~
k
tanımı yaparsak
~
k = nkˆ
~~
kk = n2
boyutsuz bir vektör, yönü yayılma yönünde, büyüklüğü ise kırılma indisi n’e eşit.
G G
ω
ω
k = k kˆ = kˆ = ( ) nkˆ
v
c
∂2D
− ∇ E + (−k [k.E ]) = − μ o 2
∂t
2
G ω~
k= k
c
∂2 D
− μo 2 = μoω 2 D
∂t
[ ]
ω2 ~ ~
k .[k .E ] = 2 k . k E
c
ω2 ~ ~
∇ E = − k .kE = − 2 ( k .k )E
c
2
© 2008 HSarı
ω2 ω2 − 2 k ⎡⎣ k .E ⎤⎦ + 2 (k .k ) E = μoω 2 D
c
c
11
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-8
ω2 ω2 − 2 k ⎡⎣ k .E ⎤⎦ + 2 (k .k ) E = μoω 2 D
c
c
~~
kk = n2
ω2 ~ ~
ω2 2
( k .k )E = 2 n E
c2
c
−
[ ]
2
Di = ε ij E j = μoε oκ ij E j
Dx = ε xx Ex + ε xy E y + ε xz Ez
n
1 ~ ~
+
k
k
.E
E i = μ o Di = μ o ε ij E j = μ o ε oκ ij E j
i
c2
c2
Boyutsuz formda karekteristik denklem
~ ~
n 2 E i − k i (k j E j ) − κ ij E j = 0
Ej yi parantez dışına nasıl alırız? Kranecker delta notasyonunu kullanarak elektrik alanları
⎧1 eger i = j
⎩0 eger i ≠ j
E i = δ ij E j
δ ij = ⎨
şeklinde yazabiliriz
~ ~
n 2δ ij E j − k i (k j E j ) − κ ij E j = 0
~~
(n 2δ ij − k i k j − κ ij )E j = 0
(n 2δ − k k − κ ) ≡ M
ij
i
j
ij
ij
M ij E j = 0
n: Öz değerler
Ej: Öz fonksiyonlar
© 2008 HSarı
M ij ( n) E j = 0
M 1 j E j = M 11 E1 + M 12 E2 + M 13 E3
12
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-9
Bu bir özdeğer probleminden başka birşey değildir. Yani genel olarak
Aij E j = aE j
⎛ A11
⎜
⎝ A21
A12 ⎞⎛ E1 ⎞
⎛ E1 ⎞
⎟⎜ ⎟ = a ⎜ ⎟
A22 ⎠⎝ E2 ⎠
⎝ E2 ⎠
Burada a özdeğer, Ej’ler ise öz fonksiyonlardır.
( Aij − aδ ij ) E j = 0
( Aij − aδ ij ) ≡ M ij ( a )
M ij ( a ) E j = 0
detMij(a)=0 ifadesinden özdeğerler bulunur: a1 , a2 gibi
özdeğerler
© 2008 HSarı
Aij E j = aE j
İfadesinde kullanılarak öz fonksiyonlar
Ej
bulunur
13
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-9
Kübik sistem için yukardaki denklemleri uygulayalım. k’nın yönünün x-doğrultusunda olduğunu kabül edelim (k=î)
Boyutsuz
~
k i = nkˆi
~
k j = nkˆ j
~
k
~
k1 = niˆ
~
k2 = 0
~
k3 = 0
niceliği
⎡n 2
~~ ⎢
ki k j = ⎢ 0
⎢0
⎣
0 0⎤
⎥
0 0⎥
0 0⎥⎦
⎡κ 11
κ ij = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
Mij matrisi
0
κ 11
0
x
k
0⎤
0 ⎥⎥
κ 11 ⎥⎦
⎡ n 2 − κ11 − n 2
⎢
M ij = ⎢
0
⎢
0
⎣
z
y
0
n 2 − κ11
0
⎤ ⎡κ11
0
0 ⎤
⎥ ⎢
0 ⎥ = ⎢ 0 κ11 − n 2
0 ⎥⎥
n 2 − κ11 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
κ11 − n 2 ⎥⎦
0
detMij=0 ifadesinden özdeğerleri bulabiliriz. Bu özdeğerler:
κ11[(κ11-n2)2]=0 => n2=κ11 veya n=( κ11)1/2
Daha önce bulunan sonuçlarla aynı!
Elektrik alanı (yani her öz değere karşı gelen öz fonksiyonları) bulmaya çalışalım:
⎡κ 11
⎢0
⎢
⎢⎣ 0
0 0⎤ ⎡ E1 ⎤ ⎛ 0 ⎞ κ 11 E1 + 0 + 0 = 0
⎜ ⎟
0 0⎥⎥ ⎢⎢ E 2 ⎥⎥ = ⎜ 0 ⎟ ⇒ 0 + 0 + 0 = 0
0 0⎥⎦ ⎢⎣ E3 ⎥⎦ ⎜⎝ 0 ⎟⎠
0+0+0 = 0
© 2008 HSarı
E1=0, E2=keyfi, E3=keyfi (Ex=0, Ey ≠0, Ez ≠0)
x
k
z
y
E
14
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-10
Tek eksenli (uniaxial) sistem (bir yöndeki optik özellik diğer iki yöndekinden ayrı olan sistemler):
Tek eksenli sistemde x-y düzlemi aynı fakat z-yönünü farklıdır. κ matrisi
0 ⎤
⎡κ 11 0
⎢
κ ij = ⎢ 0 κ 11 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0 κ 33 ⎥⎦
x
k
z
y
k’nın x-doğrultusunda olduğunu kabül edelim
~
k1 = niˆ
~
k2 = 0
~
k3 = 0
⎡n 2
~~ ⎢
ki k j = ⎢ 0
⎢0
⎣
0 0⎤
⎥
0 0⎥
0 0⎥⎦
Dij matrisi
⎡ − n 2 + κ11 + n 2
⎢
M ij = ⎢
0
⎢
0
⎣
0
− n 2 + κ11
0
⎤ ⎡κ11
0
0 ⎤
⎥ ⎢
2
0
0 ⎥⎥
⎥ = ⎢ 0 κ11 − n
0
κ 33 − n 2 ⎥⎦
− n 2 + κ 33 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
0
Özdeğerleri bulmaya çalışırsak:
DetMij(n)=0 => κ11[(κ11-n).(κ33-n)]=0 => Birbirinden farklı iki çözüm vardır, bunlar:
n1=κ11 ve n2=κ33
n1=(κ11)1/2≡no => o-ışını [normal ışın (ordinary-ray)]
n2=(κ33)1/2≡ne => e-ışını [anormal ışın (extraordinary ray)]
© 2008 HSarı
15
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-11
Alanlara bakalım(öz fonksiyonlar):
n=(κ11)1/2≡no o-ışını (normal ışın) durumu için:
⎡κ 11
⎢0
⎢
⎢⎣ 0
o
κ 11 E1o + 0 + 0 = 0
⎤ ⎡ E1 ⎤ ⎛ 0 ⎞
⎥ ⎢E o ⎥ = ⎜ 0 ⎟ ⇒
0
0
0+0+0 = 0
⎥⎢ 2 ⎥ ⎜ ⎟
0 κ 33 − κ 11 ⎥⎦ ⎢⎣ E3o ⎥⎦ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ 0 + 0 + (κ 33 − κ 11 ) E3o = 0
0
x
k, no
0
z
y
E
E1=0, E2=keyfi, E3=0 (alan vektörü ilerleme yönünde sıfır, alan y-yönünde kutuplanmıştır)
n=(κ33)1/2≡ne e-ışını (anormal ışın) durumunu inceleyelim. Bu değere karşı gelen alan vektörleri
0
⎡κ11
⎢ 0 κ −κ
11
33
⎢
⎢⎣ 0
0
0 ⎤ ⎡ E1e ⎤ ⎛ 0 ⎞
κ11 E1e + 0 + 0 = 0
⎢ ⎥ ⎜ ⎟
0 ⎥⎥ ⎢ E2e ⎥ = ⎜ 0 ⎟ ⇒ 0 + (κ11 − κ 33 ) E2e + 0 = 0
0 ⎥⎦ ⎢⎣ E3e ⎥⎦ ⎝⎜ 0 ⎠⎟
0+0+0 = 0
x
k, ne
z
y
E
κ11 ≠ 0 ⇒ E1o = 0
(κ11 − κ 33 ) ⇒ E2o = 0
© 2008 HSarı
E1=0, E2=0, E3=keyfi (elektrik alan z-yönünde kutuplanmıştır!)
16
Kristal İçinde Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi-11
Bu sonuçlar bize tek eksenli sistemde aynı anda iki tane ilerleyen dalga olduğunu söylemektedir.
Bu ışın demeti x-yönünde ilerlemesine rağmen alan yönü y-yönündedir ve no gibi kırılma indisini
görmektedir. Bunun yanında diğer alan yönü z-doğrultusunda olup y-yönündeki alandan farklı olarak
ne kırılma indisini görmektedir.
İki dalga aynı maddede ilerlemesine karşın elektrik alanının nasıl kutuplandığına bağlı olarak farklı
iki kırılma indisi görmektedir.
x
k, ne
z
y
E
© 2008 HSarı
17
Optik Eksen
Optik olarak izotropik olan maddelerde tek bir kırılma indisi vardır, ışık her yönde aynı hızla yayılır ve ışığın
hızı kristaldaki yayılma doğrultusundan bağımsızdır.
Optik olarak izotropik olmayan maddelerde ise, örneğin tek eksenli optik sistemlerde, ışık kristaldeki
yayılma doğrultusuna bağlı olarak farklı kırılma indisleri görebilir ve buna bağlı olarak da farklı
doğrultularda farklı hızlarla ilerler
⎡κ 11
κ ij = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0
κ 11
0
0 ⎤
0 ⎥⎥
κ 33 ⎥⎦
x
y
z, (optik eksen)
x ve y eksenleri aynı
z ekseni ise farklı (optik eksen)
Işık z doğrultusunda ilerlerse elektrik alan ister x, isterse y doğrultusunda olsun ışık kristal içinde
aynı hızda ilerler. Ancak ışık x veya y doğrultusunda ilerlerse, E alanın y veya z de oluşuna bağlı
olarak kristal içinde farklı doğrultularda ilerler
Tek eksenli optik kristallerde ışığın gördüğü kırılma indisine bağlı olarak bu doğrultuları ayırd
etmek için bu ışınlardan birine “normal ışın”, diğerine “anormal” ışın denir.
© 2008 HSarı
18
Çift Kırılma
Tek eksenli malzemelerde ışığın gördüğü kırılma indisi elektrik alanın yönelimine bağlı olarak farklı
olacaktır. Böyle malzemeler, farklı indislere sahip olduklarından Çift kırıcı malzemeler denir.
© 2008 HSarı
19
Çift Kırılma
Şimdi tek eksenli bir sistemde genel bir duruma bakalım. Optik eksen (z) boyunca değilde optik eksen
ile belli bir açı (φ) yaparak ilerleyen bir elektromanyetik dalgayı düşünelim
x
~
k1 = 0
~
k 2 = n sin φ
~
k 3 = n cos φ
⎡n 2
⎢
n 2δ ij = ⎢ 0
⎢0
⎣
0
n2
0
0⎤
⎥
0⎥
n 2 ⎥⎦
Karekterisrik denklemde
z, (optik eksen)
φ
y
0 ⎤
⎡κ 11 0
⎢
κ ij = ⎢ 0 κ 11 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0
0 κ 33 ⎥⎦
(n 2δ ij − ki k j − κ ij ) ≡ M ij
0
⎡0
~~ ⎢
2
k i k j = ⎢0
n sin 2 φ
⎢⎣0 n 2 sin φ cos φ
⎤
n sin φ cos φ ⎥⎥
n 2 cos 2 φ ⎥⎦
0
2
yukardaki ifadeleri kullanırsak Dij matrisi
⎡κ11 − n 2
⎤
0
0
⎢
⎥
2
2
2
M ij = ⎢ 0
κ11 + n (sin φ − 1)
n sin φ cos φ ⎥
⎢ 0
n 2 sin φ cos φ
κ 33 + n 2 (cos 2 φ − 1) ⎥⎦
⎣
Eğer bir ışık demeti z-y doğrultusunda ilerlerse o-ışını φ açısından bağımsız olarak no kırılma
indisini görecektir. Ancak e-ışını hareket doğrultusuna bağlı olarak farklı n indisini görecektir.
© 2008 HSarı
20
Çift Kırılma
x
1
sin 2 φ cos 2 φ
=
+
2
2
n (φ )
ne
no2
φ
z, (optik eksen)
y
Optik eksen
no
φ
ne
Optik olarak izotropik kristal
no
Optik eksen
no
Pozitif tek eksenli kristal
ne<no
no
ne
Negatif tek eksenli kristal
ne>no
Çift kırılmada kırılma indisinin küçük olduğu eksene hızlı eksen,
büyük olduğu eksene yavaş eksen de denir
© 2008 HSarı
ne < no durumunda ne hızlı eksen, no ise yavaş eksendir
21
Çift Kırılma
Optik Eksen
ko
ko
Hava
Hava
n2
Kristal
k1
φ1
φ
k
İzotropik Madde
φ2
k2
Anizotropik Madde
k, (no, ne)
z
y
© 2008 HSarı
E
22
Çift Kırılma
Normal ışın
Anormal ışın
E
O
E
O
E
O
E
O
O
E
Tek eksenli pozitif
© 2008 HSarı
O
E
E
O
Tek eksenli negatif
23
Çift Kırılma
Daha önce de belirtildiği gibi normal cam optik olarak izotropik olduğu için ışığın cam içindeki ilerleyişi yönden
bağımsız olarak her doğrultuda aynıdır ve bildiğimiz adi cam tek bir kırılma indisi ile ifade edilebilir. Tek eksenli
optik kristaller yukardaki hesaplamalarda da görüldüğü gibi ışığın bu kristallerdeki ilerleme yönüne bağlı olarak
farklı kırılma indisine sahiptirler.
Bu indisler sırası ile normal (no) ve anormal (ne) kırılma indisleridir. Tek eksenli kristallere kalsit (CaCO3), kuartz
(SiO2) ve KDP (potasyum dihidrojen fosfat, KH2PO4) örnek olarak verilebilir. Tek eksenli bir kristalde kırılma
indisleri farklı olduğu için ışığın ilerleme hızı ışığın kutuplanma doğrultusuna ve ilerleme yönüne bağlı olacaktır. Bu
tip kristaller çiftkırıcı (birefringent) veya çift kırılma indisli (doubly refracting) olarak bilinir.
Kuartz için no ve ne değerleri
no=1,5443
ne=1,5534
Faz hızı vo>ve
Kalkita için no ve ne değerleri
no=1,6584
ne=1,4864
Faz hızı vo<ve
Şimdi tek eksenli bir sistemde genel bir duruma bakalım. Optik eksen (z) boyunca değilde optik eksen ile belli bir
açı (φ) yaparak ilerleyen elektromanyetik dalgayı düşünelim.
Optik eksen
no
φ
ne
© 2008 HSarı
Optik olarak izotropik kristal
no
no
Pozitif tek eksenli kristal
ne<no
Optik eksen
no
ne
Negatif tek eksenli kristal
ne>no
24
Çift Kırılma
Çift kırıcı maddeler optoelektronikde sıkça kullanılır. Bu maddeler özellikle ışığı kutuplamada, değişik
dalga plakalarında (örneğin yarım dalga, çeyrek dalga plakalarında) ve ışığın modülasyonunda
kullanılmaktadır.
e-ray
Optic axis
A
B
o-ray Optic axis
A
E1
e-ray
E1
E1
E2
E2
E2 θ B
Optic axis
Optic axis
o-ray
The Wollaston prism is a beam polarization splitter. E 1 is orthogonal to the plane of
the paper and also to the optic axis of the first prism. E 2 is in the plane of the paper
and orthogonal to E 1.
© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
© 2008 HSarı
25