Slide 1 - Ninova

Bir sistemin yönetilebilir ve gözlenebilir altsistemlerinin
ayrıştırılması
Lemma: n boyutlu zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemine ilişkinC
yönetilebilirlik matrisinin rankı rankC  υ  n olsun. Sistem z  Pc x
( Pc tersinir) dönüşümü ile aşağıdaki yapıya dönüştürülebilir:
ˆ
 z1   A
11
 z   
 2   0

y  Cˆ1
ˆ   z1   Bˆ 
A
12
  1 u



ˆ   z2   0 
A
22 
 
z 
Cˆ 2  1   Du
 z2 

Pc matrisi nasıl belirlenir?
C matrisinin lineer bağımsız υ sütunu Pc matrisinin ilk
olarak seçilir.
υ sütunu
Eksik kalan n  υ sütunu ise tüm sütunlar lineer bağımsız olacak
şekilde tamamen keyfi seçilir.
Lemma: n boyutlu zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemine ilişkin O
gözlenebilirlik matrisinin rankı rankO    n olsun. Sistem z  Po x
( Po tersinir) dönüşümü ile aşağıdaki yapıya dönüştürülebilir:
ˆ
 z1   A
0   z1   Bˆ1 
11
     ˆ u
 z    ˆ
ˆ
 2   A21 A22   z 2   B2 
 z1 
ˆ
y  C1 0    Du
 z2 


Po matrisi nasıl belirlenir?
O matrisinin lineer bağımsız  satırı Po matrisinin
seçilir.

ilk
 satırı olarak
Eksik kalan n 
satırı ise tüm satırlar lineer bağımsız olacak
şekilde tamamen keyfi seçilir.
Lemma: lineer zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemini aşağıdaki yapıya
dönüştüren z  Px ( P tersinir) dönüşümü vardır.
ˆ
 z1   A
11
 z   ˆ
 2    A21
 z3   0
  
 z4   0

y  Cˆ1
Öyle ki alt sistemler
0
0
ˆ
A
ˆ
A
13
ˆ
A
0
ˆ
A
33
ˆ
A
22
0
Cˆ 3
23
43
0   z1   Bˆ1 
ˆ   z 2   Bˆ 
A
24  
   2 u
0   z3   0 
   
ˆ
A44   z 4   0 
 z1 
z 
0  2   Du
 z3 
 
 z4 

Aˆ , Bˆ , Cˆ  yönetilebilir ve gözlenebilir
Aˆ , Bˆ ,0 yönetilebilir, gözlenemez
Aˆ ,0, Cˆ  yönetilemez, gözlenebilir
Aˆ ,0,0 yönetilemez, gözlenemez
11
22
33
44
1
1
2
3
Minimal Gerçekleme
( A, B, C, D) durum uzayı gösterimi verilen bir sistem için transfer
1
fonksiyonu matrisi G(s)  C(sI  A) B  D tek olarak belirlenebilir.
Tersi söz konusuysa ne olur?
G(s)  C(sI  A)1 B  D transfer fonksiyonu matrisi verildiğinde durum
uzayı gösterimi tek olarak belirlenebilir mi?
Farklı boyutlarda G (s ) ‘i sağlayan sonsuz tane durum uzayı gösterimi vardır.
Amaç: Durum uzayı gösteriminin boyutu ile sistemin yönetilebilirliği,
gözlenebilirliği arasındaki ilişkiyi incelemek.
Tanım: (minimal gerçekleme) G (s ) transfer fonksiyonu matrisine karşılık
düşen n boyutlu durum uzayı gösterimi ( A, B, C, D) ‘e, eğer G (s ) ‘in boyutu
n’den küçük bir gerçeklemesi yoksa minimal gerçekleme denir.
Dikkat!!!!! Minimal gerçekleme tek değildir.
ˆ
 z1   A
11

 z 
ˆ
A
2

21
 
 z3   0
  
 z4   0
0
ˆ
A
ˆ
A
13
ˆ
A
0
ˆ
A
33
ˆ
A
22
0
23
43
0   z1   Bˆ1 
   ˆ 
ˆ
A24   z 2   B2 

u



0  z3 
0
   
ˆ   z4   0 
A
44 
 
 z1 
z 
y  Cˆ1 0 Cˆ 3 0  2   Du
 z3 
 
 z4 
Bu sistem için G(s)  C(sI  A) 1 B  D transfer fonksiyonu matrisini
hesaplayalım.


G ( s )  Cˆ1
0
Cˆ 3

ˆ
 sI  A
11

ˆ
A

21
0

0

0


0
ˆ
sI  A
22
0
0
ˆ
A
13
ˆ
A
23
ˆ
sI  A
33
ˆ
A
43

0

ˆ
A
24 

0

ˆ
sI  A44 
1
 Bˆ1 
ˆ 
 B2   D
0
 
 0 
ˆ ) 1 Bˆ  D
G( s)  Cˆ1 ( sI  A
11
1
Teorem: G (s ) transfer fonksiyonu matrisinin ( A, B, C, D) gerçeklemesi
minimaldir ( A, B, C, D) gözlenebilir ve yönetilebilirdir.
Kararlılık
x (t )  Ax (t )  Bu (t )
y (t )  Cx(t )  Du (t )
Sıfır giriş kararlılığı x (t )  Ax(t ), x(t0 )  x0
Tanım: (Denge noktası) x  f (x) sisteminin x(t )  xd , t  t0 sabit
çözümleri, sistemin denge noktalarıdır.
xd nasıl belirlenir?