bsmk_ders12_14

Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen x (t )  Ax(t )  Bu (t ) sistemi t 0
anında yönetilebilir  F (t ) 
ˆ e A(t0 t ) B matrisinin satırları
[t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsızdır.
Tanıt:  F (t )‘ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin
yönetilebilir olduğu gösterilecek
t  t1 anındaki çözüm t1
x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )   e A(t1  ) Bu ( )d
t0
t1
x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) Bu ( )d
F (t ) 
ˆ e
A ( t 0 t )
t0
B matrisinin satırlarının [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız
olduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1’den yararlanarak
aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz
t1
G (t0 , t1 )   e A(t0  ) BB T (e A(t0  ) )T d tersinirdir.
t0
x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1)  0 durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade
ile belirlenebilir,
u(t )   BT (e A(t0 t ) )T G1(t0 , t1) x(t0 )
t1
x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BB T (e A(t0  ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d
t0
t1
x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BB T (e A(t0  ) )T G 1 (t0 , t1 ) x(t0 )d
t0
t1
x(t1 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 )  e A(t0  ) BB T (e A(t0  ) )T dG 1 (t0 , t1 ) x(t0 )
t0
G(t0 , t1 )
x(t1)  e A(t1 t0 ) x(t0 )  e A(t1 t0 ) x(t0 )
x(t1)  0
F (t ) ‘ nin satırları lineer bağımsız ise x(t0 ) başlangıç durumunu x(t1)  0
durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla
değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.
Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen x (t )  Ax(t )  Bu (t ) sistemi
ˆ rank[ B
yönetilebilir  rankC 
AB
...
A( n1) B]  n
yönetilebilirlik matrisi
Tanıt: Teorem 2  x (t )  Ax(t )  Bu (t ) yönetilebilir  e A(t0 t ) B‘nin
satırları lineer bağımsız
Lemma  rank [e  Ata B
ta  0  rank[ B
 e Ata AB
 AB
...
...
(1) n 1 e Ata An 1B...]  n
(1)n1 An1B...]  n
Cayley-Hamilton Teoreminden  An , An 1 ,.... I , A,... An 1 ‘nın lineer
kombinasyonu olarak yazılabilir ve (-) işareti rankı değiştirmez
 rank [ B
AB
...
An 1B...]  n
0
0
1 0
1



0

2
0
0
 x  0
x  
0
0
0 3 0 



0
0
0

4


0
1 0

1 0
u

1 0

0 1
sistemi yönetilebilir mi?
Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında y (t ) çıkışlarını gözleyerek
sistemin ilk koşulu x(t0 ) belirlenebilir mi?
Tanım: Gözlenebilirlik
[t0 , t1 ] aralığındaki giriş-çıkış çiftinden x(t0 ) tek olarak belirlenebiliyorsa
sistem [t0 , t1 ] aralığında gözlenebilirdir.
t
y (t )  Ce A(t t0 ) x(t0 )  C  e A(t1  ) Bu ( )d  Du(t)
t0
t
yˆ (t ) 
ˆ y (t )  C  e A(t1  ) Bu ( )d  Du(t)
t0
yˆ (t )  Ce A(t t0 ) x(t0 )
Teorem 4: Lineer zamanla değişmeyen x (t )  Ax(t )  Bu (t )
y (t )  Cx(t )  Du (t )
~
F (t ) 
ˆ Ce A(t t0 ) matrisinin
sistemi gözlenebilir 
sütunları [t0 , t1 ] aralığında lineer bağımsız.
Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen x (t )  Ax(t )  Bu (t ) sistemi
y (t )  Cx(t )  Du (t )
gözlenebilir 
 C 
 CA 
n
rankO 
ˆ rank 



n 1 
CA


gözlenebilirlik matrisi
 0 0  p0 


x  1 0  p1  x, y  0 0 1x
0 1  p2 
ile verilen sistem hangi pi i=0,1,2 değerleri
için gözlenebilirdir?
Frekans Tanım Bölgesinde Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik
Varsayım: A’nın özdeğerleri lineer katsız  1, 2 ,..., n
D0
0
0 ... 0 
1
 b1 
0 

b 
0
...
0
2


 2
x   0
0 3 ... 0  x   u


 
...
0


 

bn 
0 n 

 
y  c1 c2 ... cn x
xi ’ler birbirinden .......
bi  0 ise xi .................................dolayısıyla sistem...........
ci  0 ise xi .................................dolayısıyla sistem...........
(*)
(*) sistemine ilişkin transfer fonksiyonu:
G ( s )  C ( sI  A) 1 B
 c1
c2
n

...
 1
s 
1

 0

cn 
 0





0
0
...
1
s  2
0
...
0
1
s  3
...
...
0


  b1 
0  b 
 2 
 
0  
 
0  b 
1  n 

s  n 
0
ci bi
G( s) 
s  i
i 1
b j  0 ve/veya c j  0 ise sistem yönetilemez ve/veya gözlenemez
n
ci bi
G( s) 
s  i

i 1
i j
Lemma: ( A, B, C ) sisteminin özdeğerleri katsız ise, sistemin yönetilebilir
olması için gerek ve yeter koşul G( s)  C ( sI  A) 1 Btransfer fonksiyonunda
sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır.
Gözlenebilirliği ve yönetilebilirliği ayrı ayrı incelemek istiyorsak:
Gc ( s)  ( sI  A) 1 B
Go ( s)  C ( sI  A) 1
F (t ) 
ˆ e A ( t 0 t ) B
~
Gözlenebilirlik için F (t ) 
ˆ Ce A(t0 t )
Yönetilebilirlik için
 3 0.5 0.5 
 1 1 




x   2 2.5  0.5 x   2  4u ,
 6  2.5 0.5 
 0
2 
  9 3 .5 1 .5 
y
x
5

2

1


t-tanım bölgesinde yönetebilirlik
ve gözlenebilirlik için baktığımız
matrisler
ile verilen sistemin yönetilebilirliğini ve
gözlenebilirliğini inceleyiniz?
Bir sistemin yönetilebilir ve gözlenebilir altsistemlerinin
ayrıştırılması
Lemma: n boyutlu zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemine ilişkinC
yönetilebilirlik matrisinin rankı rankC  υ  n olsun. Sistem z  Pc x
( Pc tersinir) dönüşümü ile aşağıdaki yapıya dönüştürülebilir:
ˆ
 z1   A
11
 z   
 2   0

y  Cˆ1
ˆ   z1   Bˆ 
A
12
  1 u



ˆ   z2   0 
A
22 
 
z 
Cˆ 2  1   Du
 z2 

Pc matrisi nasıl belirlenir?
C matrisinin lineer bağımsız υ sütunu Pc matrisinin ilk
olarak seçilir.
υ sütunu
Eksik kalan n  υ sütunu ise tüm sütunlar lineer bağımsız olacak
şekilde tamamen keyfi seçilir.
Lemma: n boyutlu zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemine ilişkin O
gözlenebilirlik matrisinin rankı rankO    n olsun. Sistem z  Po x
( Po tersinir) dönüşümü ile aşağıdaki yapıya dönüştürülebilir:
ˆ
 z1   A
0   z1   Bˆ1 
11
     ˆ u
 z    ˆ
ˆ
 2   A21 A22   z 2   B2 
 z1 
ˆ
y  C1 0    Du
 z2 


Po matrisi nasıl belirlenir?
O matrisinin lineer bağımsız  satırı Po matrisinin
seçilir.

ilk
 satırı olarak
Eksik kalan n 
satırı ise tüm satırlar lineer bağımsız olacak
şekilde tamamen keyfi seçilir.
Lemma: lineer zamanla değişmeyen ( A, B, C, D) sistemini aşağıdaki yapıya
dönüştüren z  Px ( P tersinir) dönüşümü vardır.
ˆ
 z1   A
11
 z   ˆ
 2    A21
 z3   0
  
 z4   0

y  Cˆ1
Öyle ki alt sistemler
0
0
ˆ
A
ˆ
A
13
ˆ
A
0
ˆ
A
33
ˆ
A
22
0
Cˆ 3
23
43
0   z1   Bˆ1 
ˆ   z 2   Bˆ 
A
24  
   2 u
0   z3   0 
   
ˆ
A44   z 4   0 
 z1 
z 
0  2   Du
 z3 
 
 z4 

Aˆ , Bˆ , Cˆ  yönetilebilir ve gözlenebilir
Aˆ , Bˆ ,0 yönetilebilir, gözlenemez
Aˆ ,0, Cˆ  yönetilemez, gözlenebilir
Aˆ ,0,0 yönetilemez, gözlenemez
11
22
33
44
1
1
2
3
Minimal Gerçekleme
( A, B, C, D) durum uzayı gösterimi verilen bir sistem için transfer
1
fonksiyonu matrisi G(s)  C(sI  A) B  D tek olarak belirlenebilir.
Tersi söz konusuysa ne olur?
G(s)  C(sI  A)1 B  D transfer fonksiyonu matrisi verildiğinde durum
uzayı gösterimi tek olarak belirlenebilir mi?
Farklı boyutlarda G (s ) ‘i sağlayan sonsuz tane durum uzayı gösterimi vardır.
Amaç: Durum uzayı gösteriminin boyutu ile sistemin yönetilebilirliği,
gözlenebilirliği arasındaki ilişkiyi incelemek.
Tanım: (minimal gerçekleme) G (s ) transfer fonksiyonu matrisine karşılık
düşen n boyutlu durum uzayı gösterimi ( A, B, C, D) ‘e, eğer G (s ) ‘in boyutu
n’den küçük bir gerçeklemesi yoksa minimal gerçekleme denir.
Dikkat!!!!! Minimal gerçekleme tek değildir.
ˆ
 z1   A
11

 z 
ˆ
A
2

21
 
 z3   0
  
 z4   0
0
ˆ
A
ˆ
A
13
ˆ
A
0
ˆ
A
33
ˆ
A
22
0
23
43
0   z1   Bˆ1 
   ˆ 
ˆ
A24   z 2   B2 

u



0  z3 
0
   
ˆ   z4   0 
A
44 
 
 z1 
z 
y  Cˆ1 0 Cˆ 3 0  2   Du
 z3 
 
 z4 
Bu sistem için G(s)  C(sI  A) 1 B  D transfer fonksiyonu matrisini
hesaplayalım.


G ( s )  Cˆ1
0
Cˆ 3

ˆ
 sI  A
11

ˆ
A

21
0

0

0


0
ˆ
sI  A
22
0
0
ˆ
A
13
ˆ
A
23
ˆ
sI  A
33
ˆ
A
43

0

ˆ
A
24 

0

ˆ
sI  A44 
1
 Bˆ1 
ˆ 
 B2   D
0
 
 0 
ˆ ) 1 Bˆ  D
G( s)  Cˆ1 ( sI  A
11
1
Teorem: G (s ) transfer fonksiyonu matrisinin ( A, B, C, D) gerçeklemesi
minimaldir ( A, B, C, D) gözlenebilir ve yönetilebilirdir.