Manyetik Alanlar

Manyetik Alanlar
Manyetik Alanlar
Duran ya da hareket eden yüklü parçacığın etrafını bir elektrik alanın
sardığı biliyoruz. Hatta elektrik alan konusunda şu sonuç oraya
konulmuştur.
‘Durgun
bir
deneme
yükü
uzayın
herhangi
bir
noktasına
konulduğunda, söz konusu bu yük elektrik kuvveti etkisinde kalırsa, o
noktada bir elektrik alanı vardır denir’
Benzer bir durum hareketli yükler içinde geçerli olup bu yüklerin
etrafını elektrik alana ek olarak bir manyetik alan sarmaktadır.
Genellikle manyetik alan B harfiyle temsil edilmekte olup en çok
bilinen manyetik alan kaynağı mıknatıslardır. Şekilde görüldüğü gibi
mıknatısın dışındaki manyetik alan çizgileri kuzey kutbundan dışa
doğru, güney kutbunda ise içe doğru yönelmektedir. Yani mıknatısın
kuzey kutbundan ayrılan manyetik alan çizgileri mıknatısın güney
kutbuna varmaktadır.
Şekilde ise bir çubuk mıknatısın manyetik alan deseni, küçük demir
tozları kullanarak görünür hale getirilmiştir.
Uzayın herhangi bir noktasında duran deneme yüküne bir elektrik
kuvveti etkiyorsa bu noktadaki elektrik alanı vektörü 𝑬 = 𝑭𝒆 /𝑞0 ile
tanımlanmaktaydı. Benzer şekilde eğer deneme yükü 𝒗 hızıyla
hareket ediyorsa; 𝑩 manyetik alanı tarafından bu hareketli yüke 𝑭𝑩
ile ifade edilen bir manyetik kuvveti etki etmektedir.
Bir manyetik alan içerisinde hareket eden çeşitli yüklü parçacıkların
hareketleriyle ilgili deneyler yapıldığında şu sonuçlara varılmaktadır.
1. Parçacığa etki eden manyetik kuvvetin büyüklüğü 𝑭𝑩 , parçacığın
𝒗 hızıyla ve 𝑞 yüküyle doğru orantılıdır.
2. 𝑭𝑩 manyetik kuvvetinin büyüklüğü ve yönü, parçacığın hızına (𝒗)
ve 𝑩 manyetik alanın büyüklüğü ve yönüne bağlıdır.
3. Yüklü bir parçacık manyetik alan vektörüne paralel yönde hareket
ettiği zaman ona etkiyen manyetik kuvvet sıfırdır.
4. Parçacığın hız vektörü manyetik alanla bir 𝜃 ≠ 0 açısı yaptığı
zaman, manyetik kuvvet hem 𝒗, hem de 𝑩 ye dik yönde etki eder. Yani
şekilde gçsterildiği gibi 𝑭𝑩 , 𝒗 ve 𝑩 nin oluşturduğu düzleme diktir.
5. Şekilde gösterildiği gibi bir pozitif yüke etkiyen manyetik kuvvet,
aynı yönde hareket eden bir negatif yüke etkiyen kuvvetin yönüne
terstir.
6. Eğer parçacığın hız vektörü 𝑩 nin yönü le bir 𝜃 açısı yaparsa,
parçacığa etkiyen manyetik kuvvetin büyüklüğü sin 𝜃 ile orantılıdır.
Elde edilen bu deneysel sonuçlara göre manyetik kuvvet
aşağıdaki formülle tanımlanabilir.
Bu durumda manyetik kuvvetin yönü 𝒗 × 𝑩 nin yönünde olup belirli
bir yönde hareket eden bir yüklü parçacığa etki eden kuvvetin yönü
sağ el kuralıyla bulunur.
Sağ el kuralı; sağ elinizin dört parmağını 𝒗 yönünde ve avuç içinizde
𝑩 yönünde olacak şekilde doğrultun. Daha sonra bu dört parmağı
manyetik alan vektörünün doğrultusuna doğru bükün. Bu durumda
bu dört parmağa dik olarak açılan başparmağın yönü, 𝒗 × 𝑩 nin
yönünü yani manyetik kuvvetin yönünü gösterecektir.
Eğer yük negatif ise manyetik kuvvetin yönü pozitif yüke etkiyen
kuvvetin tam tersi yönünde olacaktır.
Manyetik kuvvetin yönü belirlendikten sonra bu kuvvetin büyüklüğü
aşağıdaki bağıntıyla hesaplanabilir.
SAĞ EL KURALI
ÖRNEKLERİ
B
x x x x x x
B

x x x x x x
v
x x x x x x
q
F
v

 q
F
B


v
q
F=0
Manyetik alanın birimi tesla (T) olup, 1 tesla aşağıda yazılı ifadelerle
tanımlanabilir.
Amper; A= coulomb/saniye
Örnek Manyetik alanda hareket eden bir elektrona etki eden kuvvet
Bir televizyonun resim tüpündeki bir elektron
𝑥 ekseni boyunca 8,0 × 106 𝑚/𝑠 lik bir
süratle tüpün önüne (yani ekranına doğru)
hareket etmektedir. Tüp içerisindeki manyetik
alanın büyüklüğü 0,025 𝑇
değerindedir.
Manyetik alan vektörü 𝑥𝑦 ekseni üzerinde
olup 𝑥
ekseniyle 60°
yapmaktadır. Bu
durumda elektrona etkiyen manyetik kuvveti
ve ivmesini hesaplayınız.
Elektrona etki eden manyetik kuvvetin büyüklüğü;
𝒗 × 𝑩 nin yönü pozitif 𝑧 ekseni yönünde olup hareketli yük negatif
olduğundan kuvvetin yönü eksi 𝑧 yönündedir.
Kuvvet bilindiğinden elektronun ivmesi;
Vektörel Analizle Çözüm
𝑒𝑙𝑒𝑘𝑡𝑟𝑜𝑛𝑢𝑛 𝑦ü𝑘ü;
𝑞 = −1,6 ∗ 10−19
𝐻𝚤𝑧 𝑣𝑒𝑘𝑡ö𝑟ü; 𝒗 = 8 ∗ 106 𝑥
Manyetik Alan Vektörünün Bileşenleri
sin
60°
𝐵𝑦
=
→ 𝐵𝑦 = 0,0216
𝐵
cos
60°
𝐵𝑥
=
→ 𝐵𝑥 = 0,0125
𝐵
𝑩 = 0,0125𝑥 + 0,0216𝑦
Vektörel Çarpımlar;
𝑥×𝑦 =𝑧
𝑦×𝑧=𝑥
𝑧×𝑥 =𝑦
𝑭𝑩 = 𝑞𝒗 × 𝑩 = −1,6 ∗ 10−19 . { 8 ∗ 106 𝑥 × 0,0125𝑥 + 0,0216𝑦 }
𝑭𝑩 = −0,28 ∗ 10−3 𝑧 = −2,8 ∗ 10−4 𝑧
AKIM TAŞIYAN BİR İLETKENE ETKİYEN MANYETİK KUVVET
Akım taşıyan bir telde hareket halinde çok sayıda yüklü parçacık
bulunmaktadır.
Akım
taşıyan
tel
bir
manyetik
alan
içine
konulduğunda tele etkiyen net manyetik kuvvet, akımı oluşturan tüm
yüklü parçacıklara etkiyen bireysel kuvvetlerin vektörel toplamıyla
hesaplanabilir.
Şekilde 𝑩 manyetik alanı içerisine yerleştirilmiş 𝐼 kadar akım taşıyan
bir iletken parçası gösterilmiştir. Bu iletken parçanın kesit alanı 𝐴 ve
uzunluğu ise 𝐿 dir. İletken içerisinde 𝒗𝒅 hızıyla sürüklenen bir 𝑞
yüküne etkiyen manyetik kuvvet 𝑞𝒗𝒅 × 𝑩 bağıntısıyla hesaplanabilir.
Tele etkiyen toplam manyetik kuvveti belirleyebilmek için tel
parçasında bulunan yük sayısının belirlenmesi gerekmektedir.
𝐿 uzunluğundaki iletken elemanının hacmi 𝐴𝐿 dir. Şayet 𝑛; birim
hacim başına düşen hareketli yük taşıyıcılarının sayısını gösterirse,
bu hacim elemanındaki hareketli yük taşıyıcılarının sayısı 𝑛𝐴𝐿
kadardır. Dolayısıyla uzunluğu 𝐿 olan bir tele etkiyen toplam
manyetik alan kuvveti aşağıdaki gibi ifade edilir.
Akım ve direnç konusunda bahsedildiği üzere 𝐿 uzunluğundaki
telden akan ortalama akım aşağıdaki gibi ifade edildiğinden;
uzunluğu 𝐿 olan bir tele etkiyen toplam manyetik alan daha kullanışlı
bir biçimde aşağıdaki gibi yazılabilir.
Burada ifade edilen 𝑳 vektörü, 𝐼 akımının yönünde olan bir vektör
olup büyüklüğü iletken parçanın uzunluğuna eşittir (𝐿).
Yandaki şekilde manyetik alan vektörü
sayfadan içeri doğruyken akımın yönü
aşağıdan yukarıya doğrudur (Manyetik
alan iletkene diktir). Bu durumda sağ el
kuralına göre manyetik kuvvet sola
doğrudur.
Eğer manyetik alan vektörü tele dik değilse ve onunla bir ∅ açısı
yapıyorsa bu durumda tel parçasına etki eden manyetik kuvvetin
büyüklüğü aşağıdaki gibi hesaplanır.
Elde edilen bu sonuçlar manyetik alan
içerisinde bulunan yalnızca doğrusal bir tel
parçası için geçerlidir. Şimdi ise düzgün
bir manyetik alan içinde bulunan fakat
keyfi biçimli bir iletken tele etkiyen
manyetik kuvveti inceleyelim.
Şekilde düzgün bir manyetik alan
içinde keyfi biçimli olan ve akım
taşıyan bir iletken gösterilmiştir.
İletken içindeki çok küçük bir 𝑑𝒔
parçasına etkiyen manyetik kuvvet
aşağıdaki gibi hesaplanabilir.
Şekildeki 𝑑𝒔 parçasına etkiyen manyetik kuvvetin (𝑑𝑭𝐵 ) yönü sayfa
düzleminden dışa doğrudur. Ancak her farklı 𝑑𝒔 parçası için kuvvetin
büyüklüğü değişebilir. Örneğin manyetik alan vektörü ile 𝑑𝒔
parçasının paralel olduğu konumlarda kuvvet sıfırdır.
Şekilde gösterilen tele etkiyen toplam
𝐹𝐵 kuvvetini elde etmek için çizgisel
integral işleminden yararlanılır.
Bu ifadede, 𝑎 ve 𝑏 terimleri telin uç noktalarını temsil etmektedir.
Özel Durumlar:
1. Şekilde gösterilen düzgün bir 𝑩 manyetik alan içinde 𝐼 akımı
taşıyan eğrisel bir tel göz önüne alalım. Manyetik alan düzgün ve
sabit olduğundan aşağıda ifade edildiği gibi integral dışına çıkabilir.
İfadede
tanımlanan
𝑏
𝑑𝒔
𝑎
niceliği 𝑎 dan 𝑏 ye kadar olan
tüm yer değişim elemanlarının
vektörel toplamını temsil eder.
Bu durumda vektörel toplamlar
ile ilgili kurallar gereği integral
işleminin
sonucu
şekilde
gösterilen 𝑳′ vektörüne eşittir.
Bu nedenle tele etkiyen toplam
manyetik kuvvet aşağıdaki gibi
ifade edilir.
2. Bu kez I akımı taşıyan keyfi biçimli kapalı bir ilmek göz önüne
alalım. Aynı şekilde manyetik alan düzgün olduğundan integral dışına
alabilir ve integral ifadesi bu kez kapalı bir yol üzerinden alınan
çizgisel integraldir.
Uzunluk elemanlarının vektörel toplamı
kapalı bir ilmek oluşturduğu için vektörlerin
toplamı sıfırdır. Buna göre düzgün bir
manyetik alan içerisindeki herhangi bir
kapalı akım ilmeğine etkiyen net manyetik
kuvvet sıfırdır denir.
Örnek: Yarıçapı 𝑅 olan yarım çember biçiminde bükülmüş bir tel,
kapalı bir devre oluşturuyor. Tel, 𝐼 akımı taşımaktadır. Devre, şekilde
gösterildiği gibi 𝑥𝑦 düzleminde olup ortamdaki düzgün manyetik alan
𝑦 ekseni doğrultusundadır. Telin doğru ve eğri parçalarına etkiyen
manyetik kuvvetlerin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz.
Telin doğru parçasına etkiyen kuvvet;
𝑏
𝑑𝒔 = 𝐿𝒙 = 2𝑅𝒙
𝑎
𝑭𝟏 = 𝐼 ∗ { 2𝑅𝒙 × 𝐵𝒚 } = 2𝐼𝑅𝐵𝒛
𝑩 = 𝐵𝒚
Eğrisel parçaya
etkiyen kuvvet;
𝑑𝒔 yer değiştirme vektörünün bileşenleri;
𝑑𝒔𝒙 = −𝑑𝑠 ∗ sin(𝜃)𝒙
𝑑𝒔𝒚 = 𝑑𝑠 ∗ cos(𝜃)𝒚
𝑑𝒔 uzunluk elemanına etkiyen 𝑑𝑭𝟐 kuvveti;
𝑑𝑭𝟐 = 𝐼 ∗
−𝑑𝑠 ∗ sin 𝜃 ∗ 𝒙 + 𝑑𝑠 ∗ cos 𝜃 ∗ 𝒚
= −𝐼 ∗ 𝑑𝑠 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ∗ 𝐵 ∗ 𝑧
× 𝐵∗𝒚
𝑑𝑭𝟐 = 𝐼 ∗
−𝑑𝑠 ∗ sin 𝜃 ∗ 𝒙 + 𝑑𝑠 ∗ cos 𝜃 ∗ 𝒚
× 𝐵∗𝒚
= −𝐼 ∗ 𝑑𝑠 ∗ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ∗ 𝐵 ∗ 𝑧
Dolayısıyla; eğrisel parçada etki eden manyetik kuvvet eski 𝑧
eksenindedir.
𝑑𝒔
parçasının
𝑑𝑠 = 𝑅 ∗ 𝑑𝜃
parçacığa
boyu
olduğundan
etkiyen
𝑑𝐹2
kuvvetinin büyüklüğü aşağıdaki
gibi elde edilir.
Eğrisel parçacığa etkiyen kuvveti hesaplamak için elde edilen
sonucun integrali alınır.
Doğrusal tele etkiyen kuvvet 𝐹1 = 2𝐼𝑅𝐵 olup sayfa düzleminin
dışına doğru iken (+z) eğrisel tele etkiyen kuvvet 𝐹2 = 2𝐼𝑅𝐵 olup
sayfa düzleminin dışına doğrudur (-z). Dolasıyla durum 2 de
bahsedildiği gibi kapalı bir ilmeğe etkiyen net manyetik kuvvet
sıfırdır.