Newtonun ikinci yasas

GİRİŞ
Kinetik dengelenmemiş kuvvetler ile onların harekette yarattıkları
değişiklikler
arasındaki
bağıntıyı
inceleyen
dinamiğin
bir
koludur.
Dengelenmemiş kuvvetler sistemine maruz bir cismin hareketi temelde üç
genel yaklaşım kullanılarak incelenir:
a) Newton’ un 2. yasasının direkt uygulanması (Hareket Denklemi)
b) İş-Enerji ilkesi
c) İmpuls-Momentum yöntemleri
Belirli bir problem için en uygun yöntemin seçimi kuvvet sisteminin
doğasına (sabit veya değişken) ve bulunması istenen bilgiye (tepkiler,
ivmeler, hızlar gibi) bağlıdır.
Üzerine F1, F2, , Fn gibi n tane eş noktasal kuvvetin
(concurrent forces) etkidiği m kütleli parçacığı göz önüne
alalım. n tane kuvvetin bileşkesi ΣF olsun. Newton’ un 2.
yasasına göre dengelenmemiş kuvvetlerin etkisindeki parçacık
ivmeli hareket yapar. Kinetik, bu dengelenmemiş kuvvetle onun
yol açtığı hareket ve bu hareketteki değişim arasında bağ
kurar. Temel formül Newton’ un 2. yasasıdır.
Newton’ un 2. yasasına göre:
Eğer bir parçacığın üzerine etkiyen bileşke kuvvet
sıfırdan farklı ise, parçacık bileşke kuvvetin şiddet
ile orantılı ve bu kuvvetin yönünde bir ivmeye
sahip olur. Orantı katsayısı parçacığın kütlesine
eşittir.
r
r
∑ F = ma
(Hareket Denklemi)
(1)
(1) bağıntısı hareket denklemi adını alır. Bağıntıyı aynı parçacık üzerine
uygulanan değişik kuvvetler ve bunların oluşturduğu değişik ivmelerle
Fn
F1 F2
=
= ... =
=C
a1 a2
an
şeklinde yazarsak bu oranların birbirine eşit ve sabit olduğu deneysel olarak
da gösterilebilir. Uygulanan kuvvetin doğurduğu ivmeye oranı sabittir. Bu
sabit (C) parçacığın değişmeyen bir özelliğini simgeler. C maddeyle ilgili
atalet (eylemsizlik) özelliğidir. Eylemsizlik parçacığın ivmelenmesine
gösterdiği dirençtir. m ile gösterilen kütle ise bu eylemsizlik özelliğinin nicel
ölçüsüdür.
F
C = = km
a
yazılabilir. SI birim sisteminde k=1’ dir. F, m ve a birbirinden bağımsız
tanımlanamazlar. SI’ da [F]’ in birimi mutlak kütle biriminden giderek
tanımlandığı için SI sistemine "mutlak sistem" adı verilir.
Birincil (Temel) Eylemsizlik Sistemi
(Primary Inertial System)
Bu sistem uzayda ötelenme ve dönme yapmadığı varsayılan
sanal bir eksen takımıdır. (1) no’lu hareket denklemi böyle bir
sistemde geçerli olduğu gibi bu sisteme göre sabit hızla
ötelenme yapan bir sistemde de geçerlidir. Birçok makina ve
yapı
elemanlarının
hareketleri
göz
önüne
alındığında
yeryüzüne iliştirilmiş bir eksen takımı “Birincil Eylemsizlik
Sistemi” yerine geçer. Dünya üzerindeki küçük boyutlu
hareketlerde
formülün
verdiği
sonuç
mühendislik
hesaplarındaki kabul edilen hata sınırları içinde ve çok küçük
kalır.
Öte yandan roket ve uzay aracı dizaynı gibi giderek sayıları
artan birçok problemde harekete, dünyanın hareketinden
kaynaklanan ivme bileşenlerinin de doğru ve anlaşılır
biçimde katılması gerekir.
Zaman, Newton mekaniğinde mekandan (uzaydan)
bağımsız mutlak bir kavramdır. Einstein ise klasik mekaniğin
yasalarını yeniden formüle eden bir yaklaşım ortaya
koymuştur (Theory of Relativity). Bu teoriye göre Einstein
“mutlak zaman diye bir kavram yoktur, biri diğerine göre
bağıl hıza sahip iki koordinat sisteminde yapılan zaman
ölçümleri farklı sonuçlar verir” demiştir. Bununla beraber
incelenen cismin hızı ışık hızı mertebesine yaklaşmadığı
sürece iki mekaniğin sonuçları birbirine pratik olarak eşittir.
Dinamikte Karşılaşılan Problem Tipleri
1) İvme ya verilir veya verilerden kinematik bağıntılar
yardımıyla bulunur. Aranan ise kuvvet
r veya
r
kuvvetlerdir. Böyle bir durumda, ∑ F = ma hareket
denklemi skaler formda yazıldıktan sonra sağ tarafı
oluşturan veriler yerine konarak kuvvet veya
kuvvetler bulunur.
2) Eğer kuvvet zamanın, konumun veya hızın veya
bunların bileşiminin bir fonksiyonu ise hareket
denklemi bir bir diferansiyel denkleme dönüşür. Hızı
ve yer değiştirmeyi bulmak için denklemin integrali
alınır. Eğer kuvvetler sabit ise ivme de sabittir. Bazı
durumlarda bu integralin çözümü çok karmaşık ise
grafik veya nümerik integrasyon teknikleri kullanılır.
Serbest ve Kısıtlanmış Hareket
(Constrained and Unconstrained Motion)
(Serbestlik Derecesi-Degree of Freedom)
Bir parçacığın konumunun belirlenmesindeki bağımsız koordinat
sayısı serbestlik derecesini verir.
Fiziksel olarak iki farklı tip problem vardır:
İlki, parçacığın uzayda serbestçe
hareket edebildiği ve herhangi bir
mekanik bağ ile bağlı olmadığı
serbest harekettir. Parçacık, ilk
hareketi ve dış kaynaklardan üzerine
etkiyen kuvvetlerin belirlediği bir
yörünge izler. Bir uçak, roket veya
topun hareketi bu tip serbest bir
harekettir.
Kısıtlanmış harekette ise, bir trenin ray üzerinde gitmesi,
şaftın üzerindeki bileziğin hareketi gibi parçacığın
yörüngesi mekanik bağlar ile kısmen veya tamamen
belirlenmiş durumdadır. Mil üzerinde hareket eden
bilezik tek serbestlik derecesine sahiptir. Hareketin
incelenmesi amacıyla kullanılacak olan koordinat sistemi
ve bu sistemdeki eksen sayısı genel olarak bağ koşulları
ve bağın geometrisi tarafından belirlenir.
Örneğin uzayda bir parçacığın serbest hareketinde, bir
roketin serbest uçuşta kütle merkezinin konumu gibi,
konum üç bağımsız koordinat tarafından saptanıyorsa
parçacık üç serbestlik derecesine sahiptir ve hareketin
belirlenmesi için üç denklem kullanılır.
Düz bir yüzeydeki bir
bilyanın
hareketinde
olduğu gibi konum yine
birbirinden
bağımsız
fakat iki koordinatla
belirlenebiliyorsa cisim
iki serbestlik derecesine
sahiptir ve hareketi iki
denklemle ifade edilir.
Serbest Cisim Diyagramı (SCD)
[Free-Body Diagram (FBD)]
Hareket denklemlerinin uygulanmasından önce incelenen
cisme etkiyen tüm kuvvetleri bir şekil üzerinde göstermek
gerekir. Bu şekle SCD denir. SCD’nın doğru ve eksiksiz bir
biçimde çizilmesi gerekir. SCD’ de incelenen cisme etkiyen
tüm kuvvetler gösterilir. Bunlar yüzey kuvvetleri ve hacimsel
kuvvetleri kapsar. Bu kuvvetlerden bazıları bilinmiyorsa tahmin
yapılarak bir yön verilir. Seçilen koordinat sisteminin doğrultu
ve yönleri kinematikte gördüğümüz kurallara ve problemin
geometrisine
uygun
seçilmelidir.
Temas
doğrultuları için statikte görülen kurallar geçerlidir.
kuvvetlerinin
Statik
ile
dinamikteki
serbest
cisim
diyagramı kavramı tek bir nokta dışında
aynıdır,
o
da,
statikte
kuvvetlerin
r
bileşkesinin sıfıra eşit olması ∑ F = 0 ,
dinamikte ise kuvvet ivme ile kütlenin
çarpımına
∑
r
r
F = ma
eşit olmasıdır.
Hareket Denkleminin Doğrusal Harekete Uyarlanması
Bu durumda hareket düz bir doğru boyuncadır ve eğer
koordinat sistemi, hareket x ekseni boyunca olacak
şekilde seçilmiş ise, parçacığın konum, hız ve ivmesi
tamamen x bileşenleri ile tanımlanırlar.
ΣFx = ma x
ΣFy = 0
ΣFz = 0
Düzlemde Parçacığın Kinetiği ile İlgili Formüller
1) Kartezyen Koordinatlarda:
1)
∑F
x
= ma x
2)
∑ Fy = ma y
a y = v& y = &y&
a x = v& x = &x&
(∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
∑F =
a = a x2 + a y2
2) Doğal Koordinatlarda:
1)
∑ F = ma
t
t
a t = v& = &s&
∑F =
2)
∑F
n
= ma n
2
v 2 (s& )
an =
=
ρ
ρ
(∑ Ft )2 + (∑ Fn )2
a = at2 + an2
3) Kutupsal Koordinatlarda:
1)
∑ F = ma
r
r
a r = &r& − rθ& 2
2)
∑F
θ
= ma θ
a θ = r&θ& + 2r&θ&
2
2
∑ F = (∑ Fr ) + (∑ Fθ )
a = a r 2 + a θ2
Uzayda Parçacığın Kinetiği ile İlgili Formüller
1) Kartezyen Koordinatlarda:
1)
∑F
x
= ma x
2)
∑ Fy = ma y
3)
a y = v& y = &y&
a x = v& x = &x&
∑F
z
= ma z
a z = v& z = &z&
∑ F = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2 + (∑ Fz )2
a = a x 2 + a y2 + a z2
2) Silindirik Koordinatlarda:
1)
∑ F = ma
r
2)
r
θ
= ma θ
3)
a θ = r&θ& + 2r&θ&
a r = &r& − rθ& 2
∑F =
∑F
2
θ
r
2
2
a = ar + aθ + az
2
z
= ma z
a z = v& z = &z&
(∑ F ) + (∑ F ) + (∑ F )
2
∑F
2
z
3) Küresel Koordinatlarda:
1) ∑ FR = ma R
2)
∑ Fθ = ma θ
3) ∑ Fφ = ma φ
&& − R cos 2 φθ& 2 − Rφ& 2
aR = R
a = R cos φ&θ& + 2R& cos φθ& − 2R sin φφ& θ&
θ
a φ = R&φ& + 2R& φ& + R cos φ sin φθ& 2
∑ F = (∑ FR )2 + (∑ Fθ )2 + (∑ Fφ )2
a = a R 2 + a θ2 + a φ2
Doğrusal Hareket
1. Şekildeki blok A noktasından geçerken v1=20 m/s ve B noktasından
geçerken v2=10 m/s hıza sahiptir. x=75 m and θ=15o için eğik düzlem ile
blok arasındaki µk kinetik sürtünme katsayısını hesaplayınız.
Doğrusal Hareket
2. Başlangıçta hareketsiz olan arabaya P kuvveti uygulanmaktadır. P1 ve P2
kuvvet durumlarına göre t=5 s’deki hızını ve yer değiştirmesini belirleyiniz.
Doğrusal Hareket
3. A ve B elemanları rijit hafif bir çubuk ile birbirine bağlanmışlar ve
yatay düzlemdeki sürtünmesiz kanallarda hareket etmektedirler. Görülen
konum için, A’nın hızı sağa doğru 0.4 m/s ise her bir elemanın ivmesi ile
çubuktaki kuvveti hesaplayınız.
Eğrisel Hareket
4. 0.8-kg kütleli kayar eleman düşey düzlemde yer alan dairesel çubuk
üzerinde A noktasında yukarı doğru harekete zorlanmaktadır. B’den geçerken
hızı 4 m/s ise (a) sabit çubuktan kayar elemana etkiyen kuvveti (b) hızının
şiddetindeki değişimi belirleyiniz. Sürtünmeyi ihmal ediniz.
Eğrisel Hareket
5. Bileziğin kütlesi 5 kg olup yatay düzlemde yer alan sürtünmesiz dairesel
çubuk üzerinde harekete zorlanmaktadır. Bağlı olduğu yayın serbest uzunluğu
200 mm’dir. β=30o iken bileziğin hızı v=2 m/s ise çubuktan bileziğe etkiyen
normal kuvvet ile bileziğin ivmesini hesaplayınız.
Eğrisel Hareket
6. 1 kg kütleli bilezik düşey düzlemde yer alan sürtünmesiz parabolik çubuk
üzerinde O noktasında doğru kaymaktadır. Yay sabiti k=600 N/m ve yayın
serbest uzunluğu 1 m’dir. Şekildeki konumda bileziğin hızı 3.5 m/s ise bu an
için parabolik çubuktan bileziğe etkiyen kuvveti hesaplayınız.
y
B
y=
k
1m
m
0.375 m
x
O
3/4 m
32 2
x
9
Eğrisel Hareket
7. Kanallı kol yatay düzlemde O noktasından geçen düşey eksen etrafında
dönmektedir. 2 kg kütleli C elemanı S kablosu çekilerek sabit 50 mm/s oranı ile
O noktasına doğru çekilmektedir. r=225 mm iken, kol saatin tersi yönünde ω=6
rad/s açısal hıza sahiptir 2 rad/s2 ile yavaşlamaktadır. Bu an için kablodaki
çekme kuvveti T ile kanaldan C’ye etkiyen kuvveti belirleyiniz. A ya da B
kenarına temas ettiğini belirleyiniz.
Eğrisel Hareket
8. Kanallı OB kolu yatay düzlemde sabit dairesel kamın O noktası etrafında
sabit 15 rad/s açısal hızı ile dönmektedir. Yay sabiti 5 kN/m ve θ=0 iken yay
serbest boyundadır. A’nın kütlesi 0.5 kg’dır. θ=45o iken A’ya kamdan ve
kanaldan etkiyen kuvvetleri hesaplayınız. Sürtünmeyi ve A’nın çapını ihmal
ediniz.
Eğrisel Hareket
9. B piminin ağırlığı 1.2 N olup hem kanallı OC kolu hem de dairesel DE kanalı
içinde hareket etmektedir. B’ye etkiyen radyal ve transvers kuvvetleri
belirleyiniz. θ& = 15 rad/s, θ&& = 250 rad/s2, θ=20o alınız. Sürtünmeyi ihmal
ediniz. Sürtünmeyi ihmal ediniz.
r
D
O
θ
b
E
B
C