trԩgonometrԩ ünԩte 3. ünԩte 3. ünԩte 3. ünԩte 3
advertisement
TRԨGONOMETRԨ
ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
Dik Üçgende Dar Açlarn Trigonometrik Oranlar
1. Kazanm: Dik üçgende dar açlarn trigonometrik oranlarn belirtir.
2. Kazanm: Dik üçgen yardmyla 30°, 45° ve 60° lik açlarn trigonometrik oranlarn hesaplar.
3. Kazanm: Tümler açlarn trigonometrik oranlar arasndaki iliԭkiyi belirtir.
4. Kazanm: Trigonometrik oranlardan biri belli iken diԫer trigonometrik oranlar bulur.
Yönlü Açlar
1. Kazanm: Yönlü aç ve yönlü yay kavramn açklar.
2. Kazanm: Birim çemberi belirtir ve denklemini yazar.
3. Kazanm: Aç ölçü birimlerini belirtir ve birbirine çevirir.
4. Kazanm: Açnn esas ölçüsünü açklar.
Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Kazanm: Trigonometrik fonksiyonlar birim çember yardmyla ifade eder, tanm ve görüntü kümelerini
belirler, trigonometrik özdeԭlikleri gösterir.
2. Kazanm: k D Z olmak üzere,
kr
" i saylarnn trigonometrik oranlarn i saysnn trigonometrik
2
oran cinsinden yazar.
3. Kazanm: Bir açnn trigonometrik fonksiyonlar altndaki görüntüsünü trigonometrik deԫer tablosunda
bulur.
Trigonometrik Fonksiyonlarn Grafikleri
1. Kazanm: Periyodu ve periyodik fonksiyonu açklar, trigonometrik fonksiyonlarn periyotlarn bulur.
2. Kazanm: Trigonometrik fonksiyonlarn grafiklerini çizer.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Kazanm: Ters trigonometrik fonksiyonlar açklar.
Üçgende Trigonometrik Baԫntlar
1. Kazanm: Sinüs, kosinüs teoremlerini belirtir, gösterir ve üçgenin alan formüllerini bulur.
Toplam ve Fark Formülleri
1. Kazanm: Ԩki saynn toplam ve farknn trigonometrik oranlarn bulur.
2. Kazanm: Yarm aç formüllerini oluԭturur.
3. Kazanm: Toplam çarpma dönüԭtürme (dönüԭüm) ve çarpm toplama dönüԭtürme (ters dönüԭüm)
formüllerini oluԭturur.
Trigonometrik Denklemler
1. Kazanm: Trigonometrik denklemleri çözer.
3. ÜNԨT
TRԨGONOMETRԨ
DAR AÇILARIN TRԨGONOMETRԨK ORANLARI
Ölçülmesi çok zor, hatta imkansz gibi görünen yatay veya düԭey uzunluklarn ölçülmesi için geliԭtirilmiԭ olan
trigonometri yardmyla bu uzunluklar kolaylkla hesaplanabilir.
a
m( KOL) = _ açsna göre,
"
OLK dik üçgeninde
[OK] : hipotenüs
[OL] : komԭu dik kenar
[KL] : karԭ dik kenar
_
!
#
cos_ =
OL
komu dik kenar uzunlu¤u
=
,
hipotenüs uzunlu¤u
OK
$%&_ '
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
"#
'
!"
4%567/&8$-010&2030
7)&_ '
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
"#
'
;
!#
(69+0-.%(-(/&)*-010&2030
:67_ '
(69+0-.%(-(/&)*-010&2030
!#
'
"#
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
ÖRNEK 1
r
2
4
olmak üzere, sin_ =
5
ԫerlerini bulunuz.
ÖRNEK 2
0<_<
ise cos_, tan_ ve cot_ de_
Çözüm
Yukardaki ԭekil dört eԭ kareden oluԭmuԭtur.
ESEN YAYINLARI
Buna göre tan_ kaçtr?
Çözüm
231
Trigonometri
ÖRNEK 3
ÖRNEK 4
'
'
&
&
+
_
!
$
#
%
,
$_
"
!
a
ABC üçgeninde m( ADC) = _, |AB| = |AC| = 5 cm
-
"
a
ABC dik üçgeninde [AC] [BC], m( ABC) = 2_
|BD| = 2 cm, |DC| = 4 cm ise cot_ kaçtr?
ise tan_ nn a, b, c türünden deԫerini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ETKԨNLԨK
'
!
_
"
Çok yüksek bir daԫn yerden yüksekliԫini bulmak için bu daԫn en yüksek noktas (A) ile yerdeki bir nokta (B)
a
arasndaki uzaklԫn ve m( ABC) = _ nn bilinmesi yeterli olur mu?
|AB| = 6400 metre ve sin_ =
Çözüm
232
3
deԫerleri verildiԫinde bu daԫn yerden yüksekliԫi kaç metre olur?
4
Trigonometri
ÖRNEK 5
ÖRNEK 7
Bir ABC üçgeninde |AB| = |BC| ve tanC = 2 ise
olduԫunu gösteriniz.
sinB kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Herhangi bir ABC üçgeninde, a.cosB + b.cosA = c
ÖRNEK 6
'
ÖRNEK 8
'
_
!
*
"
1234
a
ABC dik üçgeninde [AH] [BC], m( ACB) = _
_
!
|BC| = 1 cm ise |HC| nin _ cinsinden deԫerini bulunuz.
Çözüm
"
Bir uçak _ açsyla saatte 240 km hzla havalanyor.
1
sin_ =
olmak üzere kaç dakika sonra 8 km lik yük3
sekliԫe ulaԭr?
Çözüm
233
Trigonometri
Ölçüleri 30° ve 60° Olan Açlarn Trigonometrik Oranlar
'
(56 (56
v(
$
$
756
!
756
)
*
)
"
Bir kenar uzunluԫu 2 cm olan ABC eԭkenar üçgeninde [AH] [BC] çizildiԫinde [AH] yüksekliԫi hem kenarora
a
tay, hem açortay olacaԫndan |BH| = |HC| = 1 cm, |AH| = v3 cm, m( BAH) = m( HAC) = 30° olur.
ABH dik üçgeninde,
sin30° =
BH
1
,
=
2
AB
cos30° =
AH
3
=
,
2
AB
tan30° =
BH
1
3
=
=
,
3
AH
3
cot30° =
AH
= 3
BH
Benzer ԭekilde, ayn üçgende,
sin60° =
®
3
,
2
tan60° = v3 ,
cos60° = 1 ,
2
cot60° =
3
3
olur.
Bulunan deԫerler karԭlaԭtrldԫnda,
sin30° = cos60° = 1 ,
2
sin60° = cos30° =
3
,
2
tan30° = cot60° =
3
, tan60° = cot30° =
3
3
eԭitlikleri oluԭur. Bu durumu aԭaԫdaki gibi kurallaԭtrabiliriz.
Birbirini 90° ye tamamlayan iki açdan birinin sinüsü diԫerinin kosinüsüne, birinin tanjant diԫerinin
kotanjantna eԭittir.
_ + ` = 90° ise sin_ = cos` , tan_ = cot` dr.
ÖRNEK 9
ÖRNEK 10
Aԭaԫda birbirini 90° ye tamamlayan açlarla ilgili örnekler verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
sin 42°. tan 10°
iԭleminin sonucu kaçtr?
cos 48°. cot 80°
Çözüm
®
sin12° = cos78°
®
sin44° = cos46°
®
sin63° = cos27°
®
tan2° = cot88°
®
tan21° = cot69°
®
tan53° = cot37°
234
Trigonometri
ÖRNEK 11
ÖRNEK 12
_ < 90° ve ` < 90° olmak üzere
sin40° = a ve cot25° = b
sin_ + tan35° = cos` + cot55°
olduԫuna göre, cos50°.tan65° ifadesinin eԭitini bu-
eԭitliԫini saԫlayan _ + ` kaç derecedir?
lunuz.
Çözüm
Çözüm
Ölçüsü 45° Olan Açnn Trigonometrik Oranlar
'
%&6
v$
)
%&6
!
)
"
Dik kenar uzunluklar 1 br olan ABC ikizkenar dik üçgeninde, |AC| = |BC| = 1 br, |AB| = v2 br olur.
sin45° =
AC
1
2
=
=
2
AB
2
tan45° =
AC
=1
BC
,
,
cos45° =
BC
1
2
=
=
2
AB
2
cot45° =
1
= 1 bulunur.
tan 45°
Hipparchus (M.Ö. 190 – M.Ö. 120)
Yunan matematikçi ve astronomdur. Ԩznik’te doԫdu ve muhtemelen Rodos’ta
öldü.
Ԩlk sistematik astronomi ve trigonometriyi bulan kiԭi olarak kabul edilir. Güneԭ ve
Ay’n uzaklԫn hesaplamԭtr. Enlem ve boylam daireleriyle, Dünya’daki herhangi
bir noktann konumunu belirtme yöntemini bulmuԭtur.
235
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
6.
Aԭaԫdaki tabloyu doldurunuz.
(56
/
%&6
#
"
_
756
9:;/
=
+89/
$
<-;/
'
!
a
ABCD karesinde m( ECB) = _, |EA| = 2 cm ve
+8</
tan_ = 3 ise |AB| kaç cm dir?
_ D b 0,
2.
r
3
l ve tan_ =
2
4
olduԫuna göre sin_, cos_ ve cot_ deԫerlerini
bulunuz.
#
7.
"
=
r
5
l ve cos_ =
13
2
olduԫuna göre sin_ , tan_ ve cot_ deԫerlerini
bulunuz.
_
ESEN YAYINLARI
_ D b 0,
3.
'
!
ABCD dikdörtgen DBE üçgendir.
a
[DB] [BE], m( CBE) = _, 4.|AB| = 3.|AD| ise
cos_ kaçtr?
_ D b 0,
4.
r
l olmak üzere
2
tan_ = 2 ise cos_.sin_ kaçtr?
8.
_
5.
'
`
_
!
#
"
a
ABC eԭkenar üçgeninde m( ADB) = _
|BD| = 5.|DC| ise tan_ kaçtr?
236
Yukardaki ԭekil bir küpün açlmyla oluԭmuԭtur.
Buna göre, tan_ + cot` kaçtr?
Trigonometri
YÖNLÜ AÇILAR
Baԭlangç noktalar ortak olan iki ԭnn birleԭimi aç, açy oluԭturan ԭnlarn herbiri de açnn kenarlardr.
Açy, kenarlarnn yazlԭ srasna göre iki deԫiԭik biçimde yönlendiririz.
'
>
F8G:<:H2.I;
!-BC-;DAE23?;-@A
!BC;
!:<
:4
23?
;
-@A
DAE
23?
;
-@A
'
>
!
J?D-<:H2.I;
!:<:423?;-@A
!
Yukardaki ԭekillerin birincisinde baԭlangç kenarndan bitim kenarna saat yönünün tersi yönde (pozitif yön),
ikincisinde ise saat yönü ile ayn yönde (negatif yön) gidilmiԭtir.
a
BOA açs pozitif yönlü bir aç olup BOA biçiminde gösterilir. Baԭlangç kenar [OB, bitim kenar [OA dr.
a
AOB açs negatif yönlü bir aç olup AOB biçiminde gösterilir. Baԭlangç kenar [OA, bitim kenar [OB dir.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE23?;-@A
!:<:423?;-@A
OI9<?@:C:B:
J?D-<:H
S2MQ
S2MP
QMP
F8G:<:H
S2KR
S2KL
RKL
Q
M
P
L
K
R
YÖNLÜ YAYLAR
h
Ԭekilde O merkezli çember ile AOB açsnn kesiԭimi AB yaydr ve AB biçi-
!
L
K
minde gösterilir. AB yaynn yönü olarak LOK açsnn yönü alnrsa AB yay
>
pozitif yönlü bir yay olur. A noktas bu yayn baԭlangç noktas, B noktas da
'
bitim noktasdr.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE2;83<-9A
!:<:42;83<-9A
OI9<?@:C:B:
F8G:<:H
"
!
"!
J?D-<:H
R
L
RL
!
'
"
L
K
R
237
Trigonometri
Radyan
BԨRԨM ÇEMBER
Bir çemberde, yarçap uzunluԫundaki bir yay gören
.
merkez açnn ölçüsü 1 radyandr.
T5U)V
1 radyan yaklaԭk olarak 57.3° dir.
LT/U.V
Bir çember yaynn ölçüsü 2/ radyandr.
)
>
TX)U5V
W
T)U5V
/
Aç Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüԭtürülmesi
Bir çember yaynn ölçüsü 360 derece veya 2/ rad-
T5UX)V
yan olduԫundan
D = R D = R
360 2r
180 r
Merkezi baԭlangç noktas ve yarçapnn uzunluԫu
1 birim olan çembere birim çember denir.
K(x, y) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere;
OTK dik üçgeninde,
2
2
2
ÖRNEK 14
2
2
|OT| + |KT| = |OK| x + y = 1 olur.
Ölçüsü
x2 + y2 = 1 baԫnts birim çemberin denklemidir.
7r
radyan olan aç kaç derecedir?
4
Çözüm
ÖRNEK 13
Birim çember üzerinde apsisi ordinatna eԭit olan
ESEN YAYINLARI
noktalar bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 15
Ölçüsü 240° olan aç kaç radyandr?
Çözüm
ÖRNEK 16
AÇI ÖLÇÜ BԨRԨMLERԨ
1
Bir çemberin
n gören merkez açnn ölçüsü
360
1 derecedir.
Derece (°) simgesi ile gösterilir.
1° nn 60 ta biri 1 dakikadr. (1 )
1 nn 60 ta biri 1 saniyedir. (1 )
238
olduԫuna göre, _ + ` deԫerini bulunuz.
Derece
_ = 42° 54 36 ve ` = 11° 40 43
Çözüm
Trigonometri
ÖRNEK 17
ÖRNEK 20
Birim çember üzerinde, uzunluklar; 0 , r , r , 3r
2
2
ve 2/ olan yönlü yaylarn bitim noktalarnn koordi-
_ = 46° 38 23 ve ` = 21° 12 40
olduԫuna göre, _ – ` deԫerini bulunuz.
natlarn bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 18
23° 16 43 lik aç kaç saniyedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 21
Birim çember üzerinde, uzunluklar
ÖRNEK 19
52146
dir?
Çözüm
lik aç kaç derece, kaç dakika, kaç saniye-
r 3r 5r
,
,
ve
4
4
4
7r
olan yönlü yaylarn bitim noktalarnn koordinat4
larn bulunuz.
Çözüm
239
Trigonometri
ÖRNEK 23
Ölçüsü –1413° olan açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 24
Ölçüsü
23r
radyan olan açnn esas ölçüsünü bu3
lunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
BԨR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ
0° e < 360° ve k D Z olmak üzere, ölçüsü e + k.360°
olan açnn esas ölçüsü e derecedir.
0 e < 2/ ve k D Z olmak üzere, ölçüsü e + k.2/
olan açnn esas ölçüsü e radyandr.
ÖRNEK 25
Ölçüsü
yandr?
ÖRNEK 22
Ölçüsü 4243° olan açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm
240
Çözüm
–
43r
olan açnn esas ölçüsü kaç rad5
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
Aԭaԫda verilen tablodaki boԭluklar doldurunuz.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE23?;-@A
!:<:423?;-@A
OI9<?@:C:B:
!-BC-;DAE2;83<-9A
!:<:42;83<-9A
OI9<?@:C:B:
'
!
"
Q
M
P
2.
Aԭaԫda verilen tablodaki boԭluklar doldurunuz.
M-.
MI;N
!
'
L
3.
"
R
K
Aԭaԫdaki noktalardan hangilerinin birim çember
4.
üzerinde olduԫunu tespit ediniz.
a.
1 1
c , m
2 2
b.
d
3 1
, n
2
2
Aԭaԫda verilen açlar çiziniz.
a
a. AOB
a
b. XYZ
c.
d –
1
3
,
n
2 2
e.
3
,
d
2
2
n
2
d.
d
2
2
, –
n
2
2
f.
3
,
d –
2
5
n
2
5.
Birim çember üzerinde apsisi
1
olan noktalar2
dan birinin ordinatn bulunuz.
241
Trigonometri
6.
Birim çember üzerinde apsisi ordinatnn
10. Aԭaԫda ölçüleri verilen yönlü yaylarn bitim nok-
3
talarnn koordinatlarn bulunuz.
kat olan noktalar bulunuz.
7.
_ = 42° 13 51 ve ` = 28° 24 40
a.
r
3
b.
2r
3
c.
4r
3
d.
5r
3
e.
r
6
f.
5r
6
g.
7r
6
h.
11r
6
olmak üzere aԭaԫdaki ifadelerin her birinin eԭitini
bulunuz.
a. _ + `
c. 2_ + 3`
ESEN YAYINLARI
b. _ – `
11. Aԭaԫda ölçüleri verilen açlarn, esas ölçülerini
ayn birimde bulunuz.
a. 480°
b. 1316°
c. –843°
d. –2716°
d. 3_ – `
8.
48916 lik aç kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir?
e.
9.
16° 41 37 lik aç kaç saniyedir?
242
51r
7
g. –
19r
5
f. 83r
4
h. –
213r
4
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLAR
Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlar
.
!T5U)V
LT/U.V
"TX)U5V
)
9:;_
'T)U5V
_
>
+89_
K
/
#T5UX)V
a
K(x, y) noktas birim çember üzerindedir. m( KOL) = _ olmak üzere;
®
K(x, y) noktasnn apsisine, _ gerçek saysnn kosinüsü denir ve cos_ biçiminde gösterilir.
_ gerçek saysn, cos_ ya dönüԭtüren fonksiyon kosinüs fonksiyonudur.
®
K(x, y) noktasnn ordinatna, _ gerçek saysnn sinüsü denir ve sin_ biçiminde gösterilir.
_ gerçek saysn, sin_ ya dönüԭtüren fonksiyon sinüs fonksiyonudur.
®
Birim çember üzerindeki noktalarn apsis ve ordinatlar [–1, 1] aralԫnda bulunduԫundan, sinüs ve kosinüs
fonksiyonlarnn
tanm kümesi : R ,
görüntü kümesi : [–1, 1] dir.
Yani, _ D R için –1 cos_ 1 ve –1 sin_ 1 dir.
®
Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarn
cos : R A [–1, 1], f(x) = cosx ,
sin : R A [–1, 1], f(x) = sinx
ÖRNEK 26
sin
r
r
ve cos
ifadesinin eԭitini bulunuz.
2
2
Çözüm
biçiminde ifade ederiz.
ÖRNEK 27
sin180° ve cos180° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
243
Trigonometri
Benzer ԭekilde 0°, 270° ve 360° lik açlara karԭlk
ÖRNEK 29
gelen noktalar birim çember üzerinde iԭaretlenerek
A = 3cosx – 2siny
bu açlarn da sinüs ve kosinüsleri bulunabilir. Bu de-
olmak üzere A nn en büyük tam say deԫeri ile en
ԫerler aԭaԫdaki tabloda verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
/
56
Z56
)156
$Y56
(756
+89/
)
5
X)
5
)
9:;/
5
)
5
X)
5
küçük tam say deԫerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 28
A = 2sinx – 3
olmak üzere A nn deԫer aralԫn bulunuz.
Çözüm
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlar
.
/[)
+8<_
!
/
$
/
"
>
\
_
W
L
.[)
<-;_
5
$/ '
/
(/ #
$
a
x = 1 ve y = 1 doԫrular birim çembere A ve B noktalarnda teԫettir. m( AOK) = _ olmak üzere,
®
[OK nn, x = 1 doԫrusunu kestiԫi T noktasnn ordinat, _ reel saysnn tanjantdr ve tan_ olarak gösterilir.
x = 1 doԫrusu tanjant eksenidir.
®
y ekseni ile tanjant ekseni paralel olduԫundan,
_=
®
®
r
3r
r
3r
veya _ =
için [OK ile x = 1 doԫrusu kesiԭmez. O halde; tan
ve tan
tanmszdr.
2
2
2
2
r
+ k/, k D Z} , görüntü kümesi : R dir.
2
[OK nn, y = 1 doԫrusunu kestiԫi K noktasnn apsisi, _ reel saysnn kotanjantdr ve cot_ olarak gösterilir.
Tanjant fonksiyonunun; tanm kümesi : R – {
y = 1 doԫrusu kotanjant eksenidir.
®
x ekseni ile kotanjant ekseni paralel olduԫundan, _ = 0, _ = / veya _ = 2/ için [OK ile y = 1 doԫrusu
kesiԭmez. Dolaysyla cot0, cot/ ve cot2/ tanmszdr.
®
Kotanjant fonksiyonunun; tanm kümesi : R – {k/, k D Z} , görüntü kümesi : R dir.
244
Trigonometri
Sekant ve Kosekant Fonksiyonlar
.
L
!
+89?+_
"
/
/
$
K
_
>
5 '
$/
R
/
9?+_
# (/
$
KM doԫrusu birim çembere L noktasnda teԫet olup eksenleri kestiԫi noktalar K ve M dir.
a
m( LOM) = _ olmak üzere,
®
M noktasnn apsisi, _ reel saysnn sekantdr ve sec_ ile gösterilir.
®
K noktasnn ordinat, _ reel saysnn kosekantdr ve cosec_ biçiminde gösterilir.
®
B ve D noktalarnda sekant deԫerleri tanmsz olacaԫndan sekant fonksiyonunun,
tanm kümesi : R – &
®
r
+ kr, k ! Z 0 , görüntü kümesi : R – (–1, 1) dir.
2
A ve C noktalarnda kosekant deԫerleri tanmsz olacaԫndan kosekant fonksiyonunun,
tanm kümesi: R – { k/ , k D Z } , görüntü kümesi: R – (–1, 1) dir.
ÖRNEK 30
ÖRNEK 31
A = 4 – tanx
0° _ 45° olmak üzere,
olduԫuna göre, A nn alabileceԫi en küçük pozitif tam
sec_ hangi aralkta deԫer alr?
say deԫeri kaçtr?
Çözüm
Çözüm
245
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK ÖZDEԬLԨKLER
sin2_ + cos2_ = 1
.
OAK dik üçgeninde,
LT+89_U29:;_V
)
|OA| = cos_
_
>
|AK| = sin_
'
/
|OK| = 1 olduԫundan
|OA|2 + |KA|2 = |OK|2 (cos_)2 + (sin_)2 = 12 sin2_ + cos2_ = 1 bulunur.
Bu özdeԭliԫi,
sin2_ = 1 – cos2_ ve cos2_ = 1 – sin2_ biçimleriyle de kullanacaԫz.
ÖRNEK 32
ÖRNEK 34
sin 2 x
= 1 – cos x
1 + cos x
sin4x – cos4x + cos2x = sin2x olduԫunu gösteriniz.
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 33
cos 2 x
cos 2 y
–
sin 2 x – sin 2 y
Çözüm
ifadesinin eԭitini bulalm.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 35
1– sin x
cos x
in a türünden
= a olduԫuna göre,
cos x
1 + sin x
deԫerini bulalm.
Çözüm
246
Trigonometri
tan_ = sin a
cos a
ve cot_ =
cos a
dr.
sin a
.
&
&
OMR + OAT olduԫundan
OM
MR
=
OA
AT
cos a sin a
=
tan a = sin a
cos a
1
tan a
+8<_
!
olur.
\
J
)
9:;_
"
'
+89_ R
>
sin a cos a
cos a
=
cot a =
olur.
1
cot a
sin a
#
.[)
<-;_
_
&
&
ONR + OBK olduԫundan
ON
NR
=
OB
BK
L
W
/
/[)
Bu iki eԭitlikten yararlanarak, cos_ 0 ve sin_ 0 olmak üzere,
tan_.cot_ = 1 , tan_ =
1
1
, cot_ =
eԭitlikleri de elde edilir.
tan a
cot a
ÖRNEK 36
ÖRNEK 38
3 sin x – 2 cos x 2
=
sin x + cos x
3
(1 + cot2x).sin2x = 1 olduԫunu gösteriniz.
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 37
tan 2 x – 1
= tan 2 x olduԫunu gösteriniz.
1 – cot 2 x
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 39
tanx – cotx =
1
2
olduԫuna göre, tan2x + cot2x kaçtr?
Çözüm
247
Trigonometri
sec_ =
1
cos a
ve cosec_ =
1
sin a
dr.
.
&
&
OLT + OML olduԫundan
1
cos a
1
olur.
=
sec_ =
sec a
1
cos a
!
&
&
LON + KOL olduԫundan
)
R
_
"
LO
ON
=
KO
OL
K
J
+89?+_
9:;_
OL
OT
=
OM
OL
L
1
sin a
1
=
cosec a =
olur.
cosec a
1
sin a
>
+89_
9?+_
#
ÖRNEK 40
ÖRNEK 42
cosec 2 x – sec 2 x
= – 1
cot 2 x – tan 2 x
tan2_ – sec2_
ifadesinin eԭitini bulunuz.
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 41
1 + cos x + sin x = 2 cosec x
sin x
1 + cos x
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
248
ESEN YAYINLARI
Çözüm
W '
/
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN BԨRԨM ÇEMBERԨN BÖLGELERԨNDEKԨ ԨԬARETLERԨ
. 9:;
9:;20
+892X
<-;2X
+8<2X
9:;20
+8920
<-;20
+8<20
/
$
]]
]
/
/
5
]]]
9:;2X
+892X
<-;20
+8<20
$/
+89
]^
9:;2X
+8920
<-;2X
+8<2X
(/
$
x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olduԫundan, birim çemberin herhangi bir bölgesinde bulunan
bir açnn kosinüsü ile sinüsünün iԭareti o bölgedeki bir noktann apsis ve ordinatnn iԭareti ile ayndr.
Tanjant ve kotanjantn iԭaretleri de o bölgedeki sinüs ve kosinüsün iԭaretlerinin oranndan bulunur.
Bu durumda,
®
_ D (0°, 90°) ise trigonometrik oranlarn tümü pozitiftir.
®
_ D (90°, 180°) ise sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.
®
_ D (180°, 270°) ise tanjant ve kotanjant pozitif, sinüs ve kosinüs negatiftir.
®
_ D (270°, 360°) ise kosinüs pozitif, sinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.
ÖRNEK 43
x = cos172° , y = sin103° , z = tan212°
ÖRNEK 44
a = sin140° – cos195°
t = cot300° ise x, y, z ve t nin iԭaretlerini bulunuz.
Çözüm
b = tan310°.cot210°
olduԫuna göre,
b – a
a – b
ifadesinin eԭiti nedir?
Çözüm
249
Trigonometri
ÖRNEK 45
ÖRNEK 47
3r
3
, 2r m olmak üzere, sin_ = –
2
5
ise cos_, tan_ ve cot_ deԫerlerini bulunuz.
_Dc
cot_ = –2
lunuz.
Çözüm
r
x D b , r l olmak üzere, tanx = – 3 ise sinx, cosx
2
ve cotx deԫerlerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 46
ÖRNEK 48
5r
2r
3r
r
· tan
+ sin 2
+ tan
18
9
8
8
iԭleminin sonucunu bulunuz.
sin 2
Çözüm
250
olduԫuna göre, sin_.cos_ deԫerini bu-
ALIŞTIRMALAR – 3
1.
5.
Aԭaԫdaki tabloyu doldurunuz.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
/
56
Z56
)156
$Y56
(756
a. 1 + tan2x =
9:;/
1
cos 2 x
+89/
<-;/
+8</
b. cos5x + cos3x.sin2x = cos3x
2.
Aԭaԫdaki boԭluklar uygun ԭekilde doldurunuz.
c.
cos 2 x
= –1 – sin x
sin x – 1
d.
1 – sin 2 x
= cot 2 x
1 – cos 2 x
e.
cos x
1 + sin x
+
= 2 sec x
1 + sin x
cos x
f.
cos x + sin x
= sin x. cos x
sec x + cosec x
g.
sec x – cos x
= – tan 3 x
sin x – cosec x
h.
cos x
cos x
–
=2
tan x + sec x tan x – sec x
a. x = 1 doԫrusu .................... eksenidir.
b. y = 1 doԫrusu .................... eksenidir.
d. y = 0 doԫrusu .................... eksenidir.
3.
4 sin x – 1
n=
3
ESEN YAYINLARI
c. x = 0 doԫrusu .................... eksenidir.
olduԫuna göre, n nin deԫer aralԫn bulunuz.
4.
4 sin x – 2 cos x 1
=
3 sin x + cos x
2
olduԫuna göre, cotx kaçtr?
251
Trigonometri
6.
9.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
a.
Aԭaԫdaki ifadeler doԫru ise boԭ kutulara “D”
yanlԭ ise “Y” yaznz.
1 + cot x
= cot x
1 + tan x
2. bölgede sinx > 0 dr.
4. bölgede cosx < 0 dr.
b.
cot 2 x
1 –
= sin 2 x – cos 2 x
1 + cot 2 x
3. bölgede tanx > 0 dr.
c. sin4x – cos4x = 1 – 2cos2x
A = 3sinx + cosy ise A nn en büyük
deԫeri 3 tür.
d.
7.
1 + tan 2 x
= sin 2 x
tanx + cotx = a ise tan3x + cot3x ifadesinin a
ESEN YAYINLARI
B = 1 – 3sinx ise B nin en küçük deԫeri
tan 2 x
–2 dir.
3r
r
<_</<`<
2
2
10.
cinsinden deԫerini bulunuz.
olmak üzere aԭaԫdakilerden kaç tanesi doԫrudur?
I. sin_ + tan` > 0
II. cos_ + sin` > 0
III. tan_.sin` > 0
IV. cot` – tan_ < 0
sin6x + cos6x = k
8.
olduԫuna göre, sin2x.cos2x ifadesinin k cinsinden deԫerini bulunuz.
252
V. tan_.cot` < 0
Trigonometri
11. Aԭaԫdaki ifadelerin iԭaretlerini tespit ediniz.
a = sin40°
c = tan
15. cos x = !
1
olduԫunu gösteriniz.
1 + tan 2 x
16. sin x = !
1
olduԫunu gösteriniz.
1 + cot 2 x
b = cos123°
7r
4
d = cos
123r
4
e = cot200°
f = sec140°
g = cosec243°
h = sin1470°
12.
_ D cr ,
3r
m ve cot_ = 2
2
olduԫuna göre, sin_ , cos_ ve tan_ deԫerlerini
bulunuz.
13.
_Dc
cos_ =
3r
, 2r m olmak üzere,
2
ESEN YAYINLARI
17. cos2x – sin2x =
18. tanx +
olduԫuna göre, sin_.cos_ kaçtr?
1 + cos x
1 – cos x
olduԫunu göste-
riniz.
5
ise sin_ kaçtr?
13
tan_ = –0,75
olduԫunu gösteriniz.
cos x
= sec x olduԫunu gösteriniz.
1 + sin x
19. (cotx + cosecx)2 =
20.
14.
1 – tan 2 x
1 + tan 2 x
0<x<
r
için 2sinx – cosx = 1
2
olduԫuna göre, cotx kaça eԭittir?
253
Trigonometri
kr ! a Saylarnn Trigonometrik Oranlarnn, _ Saysnn Trigonometrik Oranlar Cinsinden Ԩfadesi
2
b
r
– a l A I. Bölge,
2
b
r
+ a l A II. Bölge,
2
(/ – _) A II. Bölge,
c
3r
– a m A III. Bölge,
2
c
3r
+ a m A IV. Bölge,
2
(2/ – _) A IV. Bölge
(/ + _) A III. Bölge
alnarak önce bölgelere göre iԭaret tespit edilir. / ve 2/ içerenlerde isim deԫiԭmez.
r
3r
ve
2
2
içerenlerde
isim deԫiԭir. Yani sin yerine cos, tan yerine cot yazlr.
sin(/ – _) = sin_
sin(/ + _) = – sin_
sin(2/ – _) = – sin_
cos(/ – _) = – cos_
cos(/ + _) = – cos_
cos(2/ – _) = cos_
tan(/ – _) = – tan_
tan(/ + _) = tan_
tan(2/ – _) = – tan_
cot(/ – _) = – cot_
cot(/ + _) = cot_
cot(2/ – _) = – cot_
sin b
r
– a l = cos a
2
r
cos b – a l = sin a
2
r
tan b – a l = cot a
2
r
cot b – a l = tan a
2
sin b
r
+ a l = cos a
2
r
cos b + a l = – sin a
2
r
tan b + a l = – cot a
2
r
cot b + a l = – tan a
2
3r
– a m = – cos a
2
3r
cos c
– a m = – sin a
2
3r
tan c
– a m = cot a
2
3r
cot c
– a m = tan a
2
3r
+ a m = – cos a
2
3r
cos c
+ a m = sin a
2
3r
tan c
+ a m = – cot a
2
3r
cot c
+ a m = – tan a
2
sin c
sin c
Ԭimdi bu özdeԭliklerin doԫruluԫunu birim çember yardmyla gösterelim.
y eksenine Göre Simetri
Birim çember üzerindeki K noktasnn y eksenine göre simetriԫi Kv olmak üzere, ölçüleri
_ ve / – _ olan açlarn trigonometrik oranlar
9:;
.
Rv
R
Lv
L
için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
sin_ = |KC| ve sin(/ – _) = |Kv Cv|
<-;
!
/2X2_
_
"v
cos_ = |OC| ve cos(/ – _) = – |OCv|
tan_ = |TA| ve tan(/ – _) = – |ATv|
>
W
+8<
_
"
'
+89
Wv
cot_ = |BM| ve cot(/ – _) = – |Mv B|
Ayrca, |KC| = |Kv Cv| , |OC| = |OCv| , |TA| = |ATv| , |BM| = |MvB| olduԫundan
sin(/ – _) = sin_
cos(/ – _) = – cos_
tan(/ – _) = – tan_
cot(/ – _) = – cot_
bulunur.
Birbirini 180° ye tamamlayan açlarn ölçülerinin sinüsleri eԭit; kosinüs, tanjant ve kotanjantlar ters iԭaretlidir.
254
/
Trigonometri
ÖRNEK 49
ÖRNEK 51
Aԭaԫda (90° , 180°) aralԫndaki baz açlarn trigo-
sin 110°. cos 40°
sin 70°. cos 140°
nometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
ifadesinin eԭiti kaçtr?
3
2
®
sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° =
®
cos120° = cos(180° – 60°) = – cos60° = –
®
tan120° = tan(180° – 60°) = – tan60° = – v3
®
cot120° = cot(180° – 60°) = – cot60° =
Çözüm
1
2
–
3
3
®
sin150° = sin(180° – 30°) = sin30° =
®
cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° = –
3
2
®
tan150° = tan(180° – 30°) = – tan30° = –
®
cot150° = cot(180° – 30°) = – cot30° = – v3
®
sin135° , cos135° , tan135° ve cot135°
1
2
3
3
ÖRNEK 52
# $
_
ÖRNEK 50
Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki ifadelerin eԭitlerini
bulunuz.
®
®
®
ESEN YAYINLARI
deԫerlerini de siz bulunuz.
"
%
(
'
Y
!
ABCD yamuԫunda, [AB] // [DC] dir.
sin(A + B) – sinC
Verilenlere göre tan_ kaçtr?
cos(A + B) + cosC
Çözüm
tan(A + B) – tanC
Çözüm
255
Trigonometri
Orijine Göre Simetri
9:;
.
Birim çember üzerindeki K noktasnn orijine göre si-
<-;
metriԫi Kv olmak üzere, ölçüleri _ ve / + _ olan açlarn
R
!
trigonometrik oranlar için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
L
2_
/20
sin_ = |KC| ve sin(/ + _) = –|Kv Cv|
"v
cos_ = |OC| ve cos(/ + _) = –|OCv|
>
"
tan_ = |TA| ve tan(/ + _) = |TA|
Lv
Ayrca, |KC| = |KvCv| ve |OC| = |OCv| olduԫundan
sin(/ + _) = – sin_
cos(/ +_) = – cos_
tan(/ +_) = tan_
cot(/ + _) = cot_
olur.
ÖRNEK 53
ÖRNEK 54
tan 70° + cos 20° + cos 200°
tan 250°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Aԭaԫda (180°, 270°) aralԫndaki baz açlarn trigonometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
® sin210° = sin(180° + 30°) = – sin30° =
Çözüm
–
® cos210° = cos(180° + 30°) = – cos30° =
–
ESEN YAYINLARI
® tan210° = tan(180° + 30°) = tan30° =
® cot210° = cot(180° + 30°) = cot30° = v3
® sin225° = sin(180° + 45°) = – sin45° =
–
® cos225° = cos(180° + 45°) = – cos45° =
® tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1
® cot225° = cot(180° + 45°) = cot45° = 1
256
–
ÖRNEK 55
sin (r + a) – sin (r – a)
cos (r + a) + cos (r – a)
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
+8<
_
_
cot_ = |BM| ve cot(/ + _) = |BM|
W
'
+89
/
Trigonometri
x Eksenine Göre Simetri
9:;
.
Birim çember üzerindeki K noktasnn x eksenine göre simetriԫi
Kv olmak üzere, ölçüleri _ ve
<-;
R
!
2/ – _ olan açlarn trigono-
L
metrik oranlar için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
sin_ = |KC|
ve
sin(2/ – _) = – |Kv C|
ve
tan(2/ – _) = – |TvA|
cot_ = |BM|
ve
cot(2/ – _) = – |BvMv|
"
'
2_
cos(2/ – _) = |OC|
tan_ = |TA|
2X
$/
cos_ = |OC| ve
_
_
>
+8<
W
Lv
Wv
+89
/
Rv
!v
Ayrca, |KC| = |KvC| , |TA| = |TvA| ve |BM| = |BvMv| olduԫundan
sin(2/ – _) = – sin_
cos(2/ – _) = cos_
tan(2/ – _) = – tan_
cot(2/ – _) = – cot_
olur.
Ölçüleri 2/ – _ ve –_ olan açlar birim çember üzerinde ayn noktaya denk geldiklerinden
sin(– _) = – sin_
cos(– _) = cos_
tan(– _) = – tan_
cot(– _) = – cot_
olur.
ÖRNEK 56
ÖRNEK 57
Aԭaԫda (270° , 360°) aralԫndaki baz açlarn trigo-
Aԭaԫda (–90° , 0°) aralԫndaki baz açlarn trigono-
nometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
metrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
®
sin300° = sin(360° – 60°) = – sin60° = –
®
cos300° = cos(360° – 60°) = cos60° =
®
tan300° = tan(360° – 60°) = – tan60° = – v3
®
cot300° = cot(360° – 60°) = – cot60° = –
®
sin315° = sin(360° – 45°) = – sin45° = –
®
cos315° = cos(360° – 45°) = cos45° =
®
tan315° = tan(360° – 45°) = – tan45° = –1
®
cot315° = cot(360° – 45°) = – cot45° = –1
®
cos(– 60°) = cos60° =
®
sin(– 45°) = – sin45° = –
®
tan(– 30°) = – tan30° = –
®
cot(– 45°) = – cot45° = –1
®
sin(–60°) = –sin60° = –
®
tan(–60°) = –tan60° = –
®
cos(–30°) = cos30° =
3
257
Trigonometri
ÖRNEK 58
ÖRNEK 59
Aԭaԫda baz özdeԭlikler en sade biçimiyle yazlmԭtr. Ԩnceleyiniz.
®
sin(x – /) = sin[– (/ – x)] = – sin(/ – x) = – sinx
®
cos(5/ + x) = cos(/ + x) = – cosx
®
tan(3x – 5/) = tan(3x – /) = tan[–(/ – 3x)]
®
cot(–x – /) = cot[–(x + /)] = – cot(x + /) = – cotx
cos 314°. tan (– 40°) . sin 295°
cos 46°. tan 320°. sin 65°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
9:;
Birim çemberde, ölçüsü _ olan açnn bitim noktas
K(cos_, sin_) olmak üzere bu noktay ksaca K(C, S)
!
RTX`U2"V
WT`U2"V
olarak gösterirsek,
/
X_
$
_ _
r – a açsnn bitim noktas, T(S, C)
2
r
+ a açsnn bitim noktas, M(–S, C)
2
_
5
'v
LT"U2`V
'
+89
_ _
3r – a açsnn bitim noktas, Tv(–S, –C)
2
WvTX`U2X"V
RvT`U2X"V
!v
3r + a açsnn bitim noktas, Mv(S, –C) olur.
2
Bu durumda, K(C, S) ile T(S, C) karԭlaԭtrldԫnda,
sin b
r
– a l = cos a ,
2
cos b
r
– a l = sin a ,
2
tan b
r
– a l = cot a ,
2
cot b
r
– a l = tan a
2
bulunur.
Birbirini 90° ye tamamlayan iki açdan birinin sinüsü diԫerinin kosinüsüne, birinin tanjant diԫerinin kotanjantna
eԭittir.
K(C, S) ile M(–S, C)
K(C, S) ile Tv(–S, –C)
K(C, S) ile Mv(S, –C)
karԭlaԭtrldԫnda,
karԭlaԭtrldԫnda,
karԭlaԭtrldԫnda,
r
sin b + a l = cos a
2
3r
sin c
– a m = – cos a
2
sin c
cos b
r
+ a l = – sin a
2
cos c
3r
– a m = – sin a
2
cos c
tan b
r
+ a l = – cot a
2
tan c
3r
– a m = cot a
2
tan c
3r
+ a m = – cot a
2
cot b
r
+ a l = – tan a
2
cot c
3r
– a m = tan a
2
cot c
3r
+ a m = – tan a
2
özdeԭlikleri elde edilir.
258
3r
+ a m = – cos a
2
3r
+ a m = sin a
2
Trigonometri
SIRALAMA
ÖRNEK 60
9:;
Aԭaԫda baz özdeԭlikler en sade biçimiyle yazlmԭ-
Z56
#
tr. Ԩnceleyiniz.
"
®
®
9r
r
cos c
+ a m = cos b 4r + + a l = cos b
2
sin c a –
`
+ al
>
5r
r
m = sin b a – – 2r l = sin
2
_
' ! 56
+89
a
a
m( COB) = _ , m( DOB) = ` olsun.
|CB| = sin_ ve |AD| = sin` olur.
|CB| < |AD| olduԫundan sin_ < sin` dr.
Yani I. bölgede sinüs fonksiyonu artandr.
Örneԫin
®
r
r
tan b 3a – l = tan :– b – 3a lD = – tan
2
2
sin10° < sin15° < sin30° < sin70° dir.
|OB| = cos_ ve |OA| = cos` dr.
|OA| < |OB| olduԫundan cos` < cos_ olur.
ÖRNEK 61
sin20° = a olduԫuna göre, cos110° nin a cinsinden
deԫeri nedir?
ESEN YAYINLARI
Yani I. bölgede kosinüs fonksiyonu azalandr.
Örneԫin
cos80° < cos60° < cos40° < cos10° dir.
9:;
"
=
#
L
K
Çözüm
`
>
a
m( DOA) = _ ,
ÖRNEK 62
r
sin 5a. tan 2a
9a =
olduԫuna göre,
kaçtr?
2
cos 4a. cot 7a
Çözüm
_
!
'
+89
a
m( COA) = ` olsun.
|BA| = tan_ ve |CA| = tan` olur.
|BA| < |CA| olduԫundan tan_ < tan` dr.
Yani I. bölgede tanjant fonksiyonu artandr.
Örneԫin
tan5° < tan6° < tan12° < tan40° dir.
|ED| = cot_ ve |EK| = cot` olur.
|EK| < |ED| olduԫundan cot` < cot_ olur.
Yani I. bölgede kotanjant fonksiyonu azalandr.
Örneԫin
cot80° < cot70° < cot62° < cot5° dir.
259
Trigonometri
ÖRNEK 63
ÖRNEK 66
a = sin5° , b = sin36° ve c = sin70°
a = cos10° , b = cos40° ve c = cos70°
olmak üzere a, b, c deԫerlerini küçükten büyüԫe
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
doԫru sralaynz.
Çözüm
Çözüm
a = sin40° , b = sin130° ve c = sin200°
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 64
ÖRNEK 67
a = tan10° , b = tan200° , c = tan70°
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
Çözüm
ÖRNEK 65
a = cos20° , b = cos140° , c = cos300°
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
Çözüm
45° x < 90° tanx 1 dir.
Bu durumda,
[45°, 90°)
aralԫndaki açlarn
trigonometrik oranlar karlaԭtrlrken tanx en
büyüktür.
Çünkü, –1 sinx 1 ve –1 cosx 1 dir.
260
Trigonometri
Bu cetveli incelediԫimizde,
ÖRNEK 68
®
a = tan48° , b = sin10° , c = cos70°
0° den 45° ye kadar olan açlar, sol baԭtaki sütunda yukardan aԭaԫya doԫru
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
®
Çözüm
45° den 90° ye kadar olan açlar, saԫ baԭtaki
sütunda, aԭaԫdan yukarya doԫru yazlmԭtr.
ÖRNEK 70
sin27° ifadesinin deԫerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 69
a = tan10° , b = sin10° , c = cos10° ve d = cot10°
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN TABLOSU
Esas ölçüsü; 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° ve
360° olan açlarn trigonometrik oranlarn, birim çemberden veya dik üçgenlerden yararlanarak hesaplamay öԫrendik. Fakat, tüm reel saylarn trigonometrik
ÖRNEK 71
tan68° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 72
0° < _ < 90° olmak üzere cos_ = 0,8090 ise _ kaç
derecedir?
Çözüm
oranlarn bu yöntemler yardmyla hesaplayamayz.
Daha geniԭ olanaklarla hazrlanan trigonometri cetveli yardmyla diԫer açlarn da trigonometrik oranlarn
hesaplayabiliriz.
261
Trigonometri
X2W\aO>J>R=W\a2"=W^=Ka2X
'EA
ICEN9N
T#?@?+?V
+89
9:;
<-;
+8<
9?+
+89?+
5
)
$
(
)U5555
5UZZZ1
5UZZZ%
5UZZ17
5U5555
5U5)Y&
5U5(%Z
5U5&$(
5U5555
5U5)Y&
5U5(%Z
5U5&$%
&YU$Z55
$1U7(7)
)ZU51))
)U5555
)U555$
)U5557
)U55)%
&YU$ZZ
$1U7&%
)ZU)5Y
Z5
1Z
11
1Y
%
&
7
Y
5UZZY7
5UZZ7$
5UZZ%&
5UZZ$&
5U57Z1
5U51Y$
5U)5%&
5U)$)Z
5U57ZZ
5U51Y&
5U)5&)
5U)$$1
)%U(55Y
))2U%(55
ZU&)%%
1U)%%(
)U55$%
)U55(1
)U55&&
)U55Y&
)%U(&5
))U%Y%
ZU&771
1U$5&&
17
1&
1%
1(
1
Z
)5
))
5UZZ5(
5UZ1YY
5UZ1%1
5UZ1)7
5U)(Z$
5U)&7%
5U)Y(7
5U)Z51
5U)%5&
5U)&1%
5U)Y7(
5U)Z%%
YU))&%
7U()(1
&U7Y)(
&U)%%7
)U55Z1
)U5)$&
)U5)&%
)U5)1Y
YU)1&(
7U(Z$&
&UY&11
&U$%51
1$
1)
15
YZ
)$
)(
)%
)&
5UZY1)
5UZY%%
5UZY5(
5UZ7&Z
5U$5YZ
5U$$&5
5U$%)Z
5U$&11
5U$)$7
5U$(5Z
5U$%Z(
5U$7YZ
%UY5%7
%U(()&
%U5)51
(UY($)
)U5$$(
)U5$7(
)U5(57
)U5(&(
%U15ZY
%U%%&%
%U)((7
(U1Z(Y
Y1
YY
Y7
Y&
)7
)Y
)1
)Z
5UZ7)(
5UZ&7(
5UZ&))
5UZ%&&
5U$Y&7
5U$Z$%
5U(5Z5
5U($&7
5U$17Y
5U(5&Y
5U($%Z
5U(%%(
(U%1Y%
(U$Y5Z
(U5YYY
$UZ5%$
)U5$5(
)U5%&Y
)U5&)&
)U5&Y7
(U7$15
(U%$5(
(U$(7)
(U5Y)7
Y%
Y(
Y$
Y)
$5
$)
$$
$(
5UZ(ZY
5UZ((7
5UZ$Y$
5UZ$5&
5U(%$5
5U(&1%
5U(Y%7
5U(Z5Y
5U(7%5
5U(1(Z
5U%5%5
5U%$%&
$UY%Y&
$U75&)
$U%Y&)
$U(&&Z
)U57%$
)U5Y))
)U5Y1&
)U517%
$UZ((1
$UYZ5%
$U77Z&
$U&&Y7
Y5
7Z
71
7Y
$%
$&
$7
$Y
5UZ)(&
5UZ57(
5U1Z11
5U1Z)5
5U%57Y
5U%$$7
5U%(1%
5U%&%5
5U%%&$
5U%77(
5U%1YY
5U&5Z&
$U$%75
$U)%%&
$U5&5(
)UZ7$7
)U(Z%7
)U)5(%
)U))$7
)U5$$5
$U%&17
$U(771
$U$1$$
$U$7$Y
77
7&
7%
7(
$1
$Z
(5
()
5U11$Z
5U1Y%7
5U1775
5U1&Y$
5U%7Z&
5U%1%1
5U&555
5U&)&5
5U&()Y
5U&&%(
5U&YY%
5U755Z
)U115Y
)U15%5
)UY($)
)U77%(
)U))))
)U)%()
)U)&%Y
)U)777
$U)&55
$U57$&
$U5555
)UZ%)7
7$
7)
75
&Z
($
((
(%
(&
5U1%15
5U1(1Y
5U1$Z5
5U1)Z$
5U&$ZZ
5U&%%7
5U&&Z$
5U&Y(7
5U7$%Z
5U7%Z%
5U7Y%&
5UY55$
)U755(
)U&(ZZ
)U%1$7
)U%$1)
)U)YZ$
)U)Z$%
)U$57$
)U$$51
)U11Y)
)U1(7)
)UY11(
)UY%(%
&1
&Y
&7
&&
(7
(Y
(1
(Z
5U15Z5
5UYZ17
5UY115
5UYYY)
5U&1Y1
5U75)1
5U7)&Y
5U7$Z(
5UY$7&
5UY&(7
5UY1)(
5U15Z1
)U(Y7%
)U($Y5
)U$YZZ
)U$(%Z
)U$(7)
)U$&$)
)U$7Z5
)U$171
)UY5)(
)U77)7
)U7$%(
)U&1Z5
&%
&(
&$
&)
%5
%)
%$
%(
5UY775
5UY&%Y
5UY%()
5UY()%
5U7%$1
5U7&7)
5U77Z)
5U71$5
5U1(Z)
5U17Z(
5UZ55%
5UZ($&
)U)Z)1
)U)&5%
)U))57
)U5Y$%
)U(5&%
)U($&5
)U(%&7
)U(7Y(
)U&&&Y
)U&$%(
)U%Z%&
)U%77(
&5
%Z
%1
%Y
%%
%&
5UY)Z(
5UY5Y)
5U7Z%Y
5UY5Y)
5UZ7&Y
)U5555
)U5(&&
)U5555
)U(Z5$
)U%)%$
)U%(Z7
)U%)%$
%7
%&
9:;
+89
+8<
<-;
+89?+
9?+
'EA
ICEN9N
T#?@?+?V
262
ALIŞTIRMALAR – 4
1.
Aԭaԫdaki tabloyu uygun ԭekilde doldurunuz.
$/
(
/
(/
%
&/
7
Y/
7
&/
%
%/
(
&/
(
Y/
%
))/
7
9:;/
+89/
<-;/
+8</
3.
Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki ifadelerin eԭitlerini
bulunuz.
a.
b. cos2
c.
Aԭaԫdaki ifadelerin en sade biçimlerini bulunuz.
a.
sin 62°. tan 43°
sin 118°. tan 137°
b.
cos 40°. cot 20°
cos 320°. tan 110°
sin (A + B) + sin C
tan (A + B) – tan C
A
B+C
+ cos2 c
m
2
2
ESEN YAYINLARI
2.
c.
3r
– a m
2
cot (r + a) . sin (r + a) . cos (7r + a)
sin (2r – a) . cos (5r – a) . tan c
cot (B + C) – cot A
cos (B + C) – cos A
4.
#
%
"
_
1
7
d. tan
C
A+B
. tan c
m
2
2
'
)%
!
ABCD yamuԫunda [AB] // [CD] dir.
Verilenlere göre cos_ kaçtr?
263
Trigonometri
5.
9.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerden doԫru olanlar için boԭ
kutuya “D” yanlԭ olanlar için “Y” yaznz.
sin(_ – 2/) = sin_
cos c
a. sin_ = 0,2588
7r
– a m = – sin a
2
b. cos_ = 0,5299
cos(7/ – _) = – cos_
c. tan_ = 1,1918
tan(5/ + _) = tan_
cot c a –
Trigonometri cetvelini kullanarak _ deԫerlerini
bulunuz.
d. cot_ = 19,3007
9r
m = tan a
2
10.
sin(2_ – 7/) = – sin2_
6.
olduԫuna göre, cos130° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
7.
cos110° = a
olduԫuna göre, sin380° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
ESEN YAYINLARI
sin40° = a
(76
'
'b-+A;2DICD?9:
Ԭekildeki aԫacn uzunluԫu 8 m dir. Güneԭ ԭnlarnn yer düzlemiyle yaptԫ aç 36° ise aԫacn
gölgesinin uzunluԫunu bulunuz.
11. Aԭaԫdaki ifadeleri hesaplaynz.
8.
Trigonometri cetvelini kullanarak aԭaԫdaki ifadelerin eԭitini bulunuz.
a. sin150° + cos120°.tan225°
a. sin43°
b. cos300° + sin240°.cot330°
b. tan70°
c. cos76°
d. cot12°
264
c. tan c
43r
29r
123r
m .sin c –
m .cos c
m
4
3
6
d. sin(1035°).cos(–225°).cot c –
17r
m
4
Trigonometri
PERԨYODԨK FONKSԨYON
ÖRNEK 73
Grafikleri belli aralklarla aynen tekrarlanan fonksi-
Aԭaԫda baz fonksiyonlarn esas periyotlar bulun-
yonlar periyodik fonksiyonlardr.
muԭtur. Ԩnceleyiniz.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
&/
$
(/
Y/
$
%/
9:;/
5
)
5
X)
5
)
5
X)
5
a. f(x) = sin(4x – 1) fonksiyonunun esas periyodu,
2r r
P=
=
dir.
4
2
Yukardaki tabloyu incelediԫimizde [0, 2/) aralԫnda
sinx in aldԫ deԫerlerin [2/, 4/) aralԫnda da aynen
b. f(x) = 4cos b
tekrarlandԫn görürüz.
Bu durum [4/, 6/), [6/, 8/), ... aralklarnda da aynen
P=
tekrarlanr. Ayn durum cosx için de geçerlidir.
Bu nedenle sinx ve cosx fonksiyonlarnn periyodu
x
– 1 l fonksiyonunun esas periyodu,
2
2r
= 4r dir.
1
2
k.2/ dir. (k D Z+)
sinx ve cosx fonksiyonlarnn esas periyodu 2/ dir.
$/
&/
$
(/
Y/
$
%/
/
5
9:;$/
5
)
5
)
5
)
5
)
5
9:;(/
5
)
5
X)
5
)
5
X)
5
3
Yukardaki tabloyu incelediԫimizde sin x in esas periyodunun 2/, sin2x in esas periyodunun / olduԫunu
görürüz.
tanx
ve
cotx
c. f(x) = tan(1 – 5x) fonksiyonunun esas periyodu,
r
r
P=
=
tir.
5
–5
ESEN YAYINLARI
/
(/
$
/
$
d. f(x) = cos3(2x) fonksiyonunun esas periyodu,
2r
P=
= r dir.
2
fonksiyonlarnn aldԫ deԫerler
[0, /), [/, 2/), ... aralklarnda tekrarlandԫndan bu
fonksiyonlarn esas periyotlar / dir.
Genel olarak
F=
$/
U 22;2<?32:9?
c-c
F=
/
U22;2E:H<2:9?
c-c
F=
$/
U 22;2<?32:9?
c-c
F=
/
U22;2E:H<2:9?
c-c
F=
/
c-c
HT /V = 3_9:;; T-/ + , V
HT /V = 3_+89; T-/ + , V
HT /V = 3_ <-; ; T-/ + , V
HT /V = 3_ +8< ; T-/ + , V
biçiminde ifade edebiliriz.
F=
/
c-c
e. f(x) = sin2(–2x + 3) fonksiyonunun esas periyor
r
du, P =
=
dir.
2
–2
f.
f(x) = cot2 c
P=
2x – 1
m fonksiyonunun esas periyodu,
3
r 3r
=
2
2
3
dir.
f(x) ve g(x) periyodik fonksiyonlar olmak üzere,
f(x) ± g(x)
fonksiyonu eԫer periyodik ise esas
periyodu f(x) ve g(x) fonksiyonlarnn esas periyotlarnn e.k.o.k. una eԭittir.
265
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN
ÖRNEK 74
GRAFԨKLERԨ
f(x) = cos2x + 4sin5x
Kosinüs Fonksiyonunun Grafiԫi
fonksiyonunun esas periyodunu bulunuz.
Kosinüs fonksiyonunun grafiԫi {(x, cosx) : x D R}
Çözüm
kümesine analitik düzlemde karԭlk gelen noktalar
kümesidir.
f(x) = cosx fonksiyonunun esas periyodu 2/ olduԫundan [0, 2/) aralԫnda çizilecek grafik 2/ periyotlarla
tekrarlanr.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
+89/
)
5
X)
5
)
Tablodaki bilgileri analitik düzlemde aԭaԫdaki gibi
ifade ederiz.
.
ÖRNEK 75
)
fonksiyonlarnn esas periyotlarn bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
f(x) = sin2x ve g(x) = cos2x
/
$
X/
(/
$
X$/
/
$
/
(/
$
5
X)
ÖRNEK 77
[0, 2/] A R , f(x) = 2cosx – 1
fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
Çözüm
ÖRNEK 76
f(x) = sin2x + cos2x
fonksiyonunun varsa esas periyodunu bulunuz.
Çözüm
266
$/
/
Trigonometri
ÖRNEK 78
ÖRNEK 79
f(x) = 1 + cos2x
[0, 2/] A R , f(x) = 3sinx + 1
fonksiyonunun periyodunu bulup, herhangi bir aralk-
fonksiyonunun grafiԫini çiziniz.
ta grafiԫini çiziniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 80
f(x) = 2sin3x
fonksiyonunun periyodunu bulup herhangi bir periyot
aralԫnda grafiԫini çiziniz.
Çözüm
Sinüs Fonksiyonunun Grafiԫi
Sinüs fonksiyonunun grafiԫi {(x, sinx) : x D R}
kümesine analitik düzlemde karԭlk gelen noktalar
kümesidir.
f(x) = sinx fonksiyonunun periyodu 2/ olduԫundan
grafiԫini [0, 2/) aralԫnda çizip 2/ periyotlarla tekrarlarz.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
9:;/
5
)
5
X)
5
.
)
X$/
(/ X/
$
/
$
5
X)
/
$
(/
$
/
$/
/
267
Trigonometri
Tanjant Fonksiyonunun Grafiԫi
TERS TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLAR
Tanjant fonksiyonunun grafiԫi
r
+ k/, k D Z} kümesine analitik
{(x, tanx) : x D R, x
2
düzlemde karԭlk gelen noktalar kümesidir.
Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi
için, bu fonksiyonun bire bir ve örten olmas gerekir. Trigonometrik fonksiyonlar R den R ye bire bir
ve örten olmadklarndan R den R ye trigonometrik
f(x) = tanx fonksiyonunun esas periyodu / olduԫunr
dan, grafiԫi [0, /] – & 0 aralԫnda çizilip, / periyot2
larla tekrarlanr.
/
5
<-;/
5
/
7
v(
(
/
%
/
(
)
v(
$/
(
(/
%
X2v(
X)
/
$
0' X'
&/
7
v(
(
fonksiyonlarn tersleri fonksiyon olmaz. Bu nedenle
bu fonksiyonlarn bire bir ve örten olduԫu reel say
aralklar seçerek bu aralklarda ters fonksiyonlarn
tanmlayacaԫz.
/
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarnn
5
tersleri arcsin, arccos, arctan, arccot biçiminde yazlr.
.
v(
Arcsin (Arksinüs) Fonksiyonu
)
v(e(
X/
/
$
/
Xv(e(
7
X)
Sinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduԫu aralk-
/ $/ (/ &/
$ ( % 7
/ /
% (
(/
$
/
lardan biri olan :–
/
ESEN YAYINLARI
Xv(
Kotanjant Fonksiyonunun Grafiԫi
Kotanjant fonksiyonun grafiԫi
{ (x, cotx) : x D R, x k/, k D Z } kümesine analitik
f: :–
r r
, D aralԫn seçersek
2 2
r r
, D A [–1, 1], f(x) = sinx fonksiyonu bire bir
2 2
ve örten olur.
Bu fonksiyonun ters fonksiyonu sin–1x veya arcsinx
biçiminde gösterilir.
arcsin : [–1, 1] A :–
r r
, D, f –1(x) = arcsinx
2 2
düzlemde karԭlk gelen noktalar kümesidir.
f(x) = cotx
fonksiyonunun esas periyodu / oldu-
y = arcsinx x = siny
ԫundan grafiԫi (0, /) aralԫnda çizilip / periyotlarla
tekrarlanr.
/
5
+8</
0'
/
7
/
%
v(
)
/
(
v(
(
/
$
5
$/
(
v(
(
.
(/
%
&/
7
X)
X2v(
/
X'
HT/V2[29:;/
/
$
.
(/ &/
% 7
v(e(
5 / / / /
7 % ( $
X)
Xv(
268
)
X)
)
/
$
X)
5
v(
X/
HX)T/V2[2-@+9:;/
/
$
)
/
(/
$
$/
/
/
$
.2[2/
/
$
/
Trigonometri
ÖRNEK 81
.
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
1
a. arcsin c m
2
b. arcsin d –
c. arcsin(0)
d. arcsin(1)
HX)T/V2[2-@++89/
/
3
n
2
.2[2/
/
$
Çözüm
)
5
X)
X)
/
)
/
/
$
HT/V2[2+89/
ÖRNEK 83
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
a. arccos d
3
n
2
ESEN YAYINLARI
c. arccos(0)
b. arccos c –
1
m
2
d. arccos(1)
Çözüm
ÖRNEK 82
1
m
2
ifadesinin eԭitini bulalm.
arcsin c –
Çözüm
Arccos (Arkkosinüs) Fonksiyonu
Kosinüs fonksiyonu [0, /] aralԫnda bire bir ve örtendir. Dolaysyla bu aralkta f(x) = cosx fonksiyonunun
tersi yine bir fonksiyondur.
f: [ 0, /] A [–1, 1] , f(x) = cosx olmak üzere,
f –1: [–1, 1] A [0, /] , f –1(x) = arccosx
y = arccosx x = cosy
269
Trigonometri
Arctan (Arktanjant) Fonksiyonu
ÖRNEK 85
r r
f: b – , l " R , f(x) = tanx fonksiyonu bire bir ve
2 2
örten olduԫundan,
f –1: R A b –
arctan(–1)
ifadesinin eԭitini bulalm.
r r
, l , f –1(x) = arctanx tir.
2 2
Çözüm
y = arctanx x = tany
Arccot (Arkkotanjant) Fonksiyonu
f: (0, /) A R , f(x) = cotx fonksiyonu bire bir ve örten
.
HT/V2[2<-;/
f –1: R A (0, /) , f –1(x) = arccotx dir.
HX)T/V2[2-@+<-;/
/
$
/
$
olduԫundan
.2[2/
5
/
$
y = arccotx x = coty
.
/
HX)T/V2[2-@++8</
/
$
/
/
$
ÖRNEK 84
ESEN YAYINLARI
5
/
$
/
.2[2/
HT/V2[2+8</
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
a. arctan(1)
ÖRNEK 86
b. arctan(– v3)
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
c. arctan(0)
a. arccot d
Çözüm
c. arccot(0)
Çözüm
270
3
n
3
b. arccot(– v3)
/
Trigonometri
ÖRNEK 87
ÖRNEK 90
2
sin c arccos m
3
arccot(–1)
ifadesinin eԭiti kaçtr?
ifadesinin eԭiti kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 88
3
=x
4
olduԫuna göre, sinx + cosx kaçtr?
arctan
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 91
ÖRNEK 89
1
cos c arcsin m
2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
cos(arcsinx) =
1 – x 2
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
Çözüm
cos(arccosx) = x
sin(arcsinx) = x
tan(arctanx) = x
cot(arccotx) = x
271
Trigonometri
ÖRNEK 92
ÖRNEK 94
1 r
+ E
2 2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
cos ;arctan
3arccos(2x) – 2/ = 0
denklemini saԫlayan x deԫeri kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 95
r r
2x – 1
, D , f(x) = arcsin c
m
2 2
3
fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz.
f : A A :–
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 93
arcsin2x = arccosx
olduԫuna göre, x kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 96
arctanx + arccotx =
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
272
r
2
Trigonometri
ÖRNEK 97
ÖRNEK 99
Tanml olduԫu deԫerler için
x
1
f(x) = arcsin b l ve g(x) = arctan c
m
3
x – 1
r
x
ise f–1 b l kaçtr?
f(x) = 2arccos
2
2
r
olduԫuna göre, ^ fog –1hb – l kaçtr?
4
Çözüm
ÖRNEK 98
arcsinx = arctan2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
olduԫuna göre, x kaçtr?
Çözüm
273
ALIŞTIRMALAR – 5
1.
3.
Aԭaԫdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara “D” yanlԭ olanlar için “Y” yaznz.
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn grafiklerini çiziniz.
a. f: [0, 2/] A R, f(x) = –2sinx
f(x) = sin(4x + 1) fonksiyonunun esas
r
periyodu,
dir.
2
b. f: [0, 4/] A R, f(x) = 3cosx – 2
f(x) = 3cos(–3x + 1) fonksiyonunun esas
periyodu,
2r
tür.
3
f(x) = tan c
periyodu,
c. f: [–2/, 0] A R, f(x) =
sin x
2
1– x
m fonksiyonunun esas
4
r
tür.
4
d. f: : –
r r
, D A R, f(x) = 3tanx
2 2
f(x) = sin2(2x) fonksiyonunun esas periyor
dir.
du,
2
e. f: [0, 2/] A R, f(x) = –2cotx
f(x) = – cos (1 – 2x) fonksiyonunun esas
periyodu, – / dir.
f(x) = tan2(4x + 1) fonksiyonunun esas
r
dir.
periyodu,
2
ESEN YAYINLARI
3
4.
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn periyotlarn bulup herhangi bir periyot aralԫnda grafiklerini çiziniz.
a. f(x) = sin4x
b. f(x) = – cos
2.
x
2
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn esas periyotlarn bulunuz.
a. f(x) = 2cos(4x – 1) + 3cos2(3x + 1)
c. f(x) = 2tan2x
b. f(x) = tan(1 – 2x) + sin3(5x – 1)
d. f(x) = – cot
274
x
3
Trigonometri
5.
Aԭaԫda sol sütundaki ifadelerin eԭitlerini saԫ
9.
sütunda bulup eԭleԭtiriniz
f: A A [0, /] , f(x) = arccos c
3x – 1
m
4
fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz.
a.
2
arcsin d
n
2
1.
b.
arcsin(–1)
2.
–
3.
2r
3
–
c.
arccos c –
1
m
2
d.
arctan(–1)
4.
e.
arccot(v3)
5.
r
6
r
4
x
10. Tanml olduԫu deԫerler için f(x) = 3arctan b l
4
3r
ise f –1 c
m kaçtr?
4
r
2
r
4
11.
arccosx = arccot3
6.
3
=x
5
olduԫuna göre, tanx + cosx kaçtr?
arcsin
ESEN YAYINLARI
olduԫuna göre, x kaçtr?
12. Aԭaԫdaki eԭitliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
a. sin(arcsinx) = x
7.
8.
1
sin c arctan m
2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
sin b arc cot 2 –
b. sin(arccosx) =
1 – x 2
c. tan(arcsinx) =
x
1 – x 2
r
l
2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
d. arccos(sinx) =
r
– x
2
275
Trigonometri
ÜÇGENDE TRԨGONOMETRԨK BAԪINTILAR
KOSԨNÜS TEOREMԨ
Bir ABC üçgeninde kenar uzunluklar a, b, c ve
A
bu kenarlara ait açlar A, B, C olmak üzere
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
2
2
b
c
2
b = a + c – 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC dir.
B
'
Ԩspat
ABC üçgeninde [AH] [BC] dir.
+
f
|BH| = x alrsak, |HC| = a – x olur.
ABH dik üçgeninde,
C
a
!
/
*
,
-X/
"
|AB|2 = |BH|2 + |AH|2 c2 = x2 + h2 h2 = c2 – x2 ... (I) olur.
AHC dik üçgeninde
|AC|2 = |AH|2 + |HC|2 b2 = h2 + (a – x)2 h2 = b2 – (a – x)2 ... (II) olur.
I ve II eԭitliklerinden
c2 – x2 = b2 – (a – x)2 c2 – x2 = b2 – a2 + 2ax – x2 b2 = a2 + c2 – 2ax
... (III) olur.
ABH dik üçgeninde
x
cosB =
x = c.cosB olacaԫndan bu deԫeri III eԭitliԫinde yerine yazarsak
c
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB elde edilir. Elde ettiԫimiz bu baԫnt kosinüs teoremidir. Benzer iԭlemlerle
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC eԭitlikleri de elde edilir.
Kosinüs teoremi yardmyla
® Ԩki kenar uzunluԫu ile bu kenarlar arasndaki açs verilen üçgenin üçüncü kenar uzunluԫunu
® Üç kenar uzunluԫu bilinen üçgenin açlarnn ölçülerini bulabiliriz.
ÖRNEK 100
ÖRNEK 101
Bir ABC üçgeninde,
a
a = 3 cm, b = 4 cm ve m( C) = 60° ise c kenarnn
Bir ABC üçgeninde,
uzunluԫu kaç cm dir?
derecedir?
Çözüm
Çözüm
276
a
a = c13 cm , b = 4 cm ve c = 1 cm ise m( A) kaç
Trigonometri
ÖRNEK 102
ÖRNEK 104
!
#
&
%
'
"
$
#
ABC üçgeninde [AD] [AC], |AD| = 4 cm
|AC| = 3 cm, |BD| = |DC| ise |AB| = x kaç cm dir?
!
"
Çözüm
Bir gölün en uzak iki noktas A ve B dir. AB uzunluԫua
nu bulmak için m( ACB) = 60° olacak ԭekilde uzak bir
tepe üzerinde bir C noktas alnarak, A ile C arasnn
50 m, B ile C arasnn 40 metre olduԫu tespit ediliyor.
AB uzunluԫu kaç metredir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 103
!
"
+
$
&
#
*
(
)
'
%
Ԭekilde, [AE] E [BD] = {C} dir. Verilenlere göre,
|DE| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 105
Bir ABC üçgeninde, a2 = b2 + c2 + bc baԫnts varsa
a
m( A) kaç derecedir?
Çözüm
277
Trigonometri
ÖRNEK 106
ÖRNEK 107
!
!
)
*
"
'
$
'
'
"
#
$
#
ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |AC| = 6 cm,
Ԭekilde, ABCD kiriԭler dörtgenidir.
|AD| =
|AB| = 2 cm, |BC| = |CD| = 4 cm, |AD| = 6 cm
a
19 cm ve |BD| = |DC| ise m( BAC) kaç
derecedir?
ise cosA kaçtr?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
278
)
c+,
Trigonometri
SԨNÜS TEOREMԨ
Herhangi bir ABC üçgeninde, çevrel çemberin yarçap R olmak üzere
a
b
c
=
=
= 2R dir.
sin A sin B sin C
Ԩspat:
a
m( BAC) < 90° olmak üzere, ABC üçgeninin çevrel
!
$
çemberinin merkezi O olsun.
:
6
;
Ayn yay gören çevre açlarn ölçüleri eԭit olduԫundan,
a
a
m( D) = m( A) olur.
"
Çap gören çevre aç 90° olacaԫndan
a
m( DBC) = 90° dir.
/
#
DBC dik üçgeninde,
sinD =
BC
a
sinD = a sinA = a
= 2R bulunur.
2R
2R
sin A
DC
Benzer iԭlemlerle
c
b
= 2R eԭitlikleri elde edilir.
= 2R ve
sin C
sin B
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
Bu durumda,
ÖRNEK 108
olur.
ÖRNEK 109
!
A
4
.
./0123
2
+(9
'(9 4
45/6783
_
B
45°
C
ABC üçgeninde verilenlere göre sin_ kaçtr?
Samsun-Trabzon aras 240 km dir. Trabzon’dan kalkan bir uçak A gibi bir noktada iken uçaԫn konumu
yukardaki ԭekilde ifade edilmiԭtir. A noktasnn varԭ
Çözüm
noktasna olan uzaklԫn bulunuz.
Çözüm
279
Trigonometri
ÖRNEK 110
ÖRNEK 113
#
Çevrel çemberinin yarçap 4 cm olan ABC üçgeninde
a
m( A) = 30° ise a kenarnn uzunluԫu kaç cm dir?
%
Çözüm
"
'
!
a
a
ABC üçgeninde m( C) – m( B) = 90° , |AB| = 4 cm
|AC| = 3 cm ise cotB kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 111
a a
3
Bir ABC üçgeninde sin( A + C ) =
, b = 15 cm ise,
5
ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarçap kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 114
!
$
"
'(9
%<9
#
a
ABC üçgeninde 3|AD| = 4|DC|, m( ABD) = 45°
a
sin A
m( DBC) = 30° ise
kaçtr?
sin C
Çözüm
ÖRNEK 112
Bir ABC üçgeninde,
a
a
a
a
sin2( A) + sin2( B) = sin2( C) ise m( C) kaç derecedir?
Çözüm
280
Trigonometri
ÜÇEGENԨN ALANI
Herhangi bir ABC üçgeninde
A(ABC) =
A
1
a.b.sinC
2
A(ABC) =
b
c
1
A(ABC) =
b.c.sinA
2
B
1
a.c.sinB
2
C
a
Ԩspat:
!
ABC üçgeninde
:
[AH] [BC]
>/
6
çizelim.
"
=
#
/
A(ABC) =
1
a.ha olduԫunu biliyoruz.
2
AHC dik üçgeninde,
sinC =
AH
AC
sinC =
ha
ha = b.sinC olur.
b
Elde ettiԫimiz ha deԫerini
A(ABC) =
1
1
a.ha eԭitliԫinde yerine yazarsak A(ABC) = a.b.sinC bulunur.
2
2
ÖRNEK 115
ÖRNEK 116
!
Ardԭk iki kenar uzunluԫu a ile b ve bu kenarlar arasndaki açsnn ölçüsü _ olan ABCD paralelkenarn-
'
da A(ABCD) = a.b.sin_ olduԫunu gösteriniz.
%<9
"
)
#
Çözüm
ABC üçgeninde, |BC| = 6 cm, |AC| = 4 cm
a
m( C) = 30° ise A(ABC) kaç cm2 dir?
Çözüm
281
Trigonometri
ÖRNEK 117
ÖRNEK 119
!
!
*
'(9
-
_
%
'
%
"
'
#
&
$
"
$
#
ABC ve BDE üçgenlerinin alanlar eԭittir.
ABC üçgeninde |BD| = |DC| dir.
Verilenlere göre x kaç br dir?
Verilenlere göre sin_ kaçtr?
Çözüm
Çözüm
-
!
"
$
#
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 118
ÖRNEK 120
!
*
"
(
Ԭekilde, [EC] [AC], [EC] E [AD] = {B}
|AB| = 5 cm, |AC| = 3 cm ve |EB| = |BC| = |BD| ise
A(EDB) kaç cm2 dir?
Çözüm
#
$
Ԭekilde, [BA] [AD], [AC] [CD], |AB| = 2 cm
|AD| = 5 cm ve |CD| = 4 cm ise A(BAC) kaç cm2 dir?
Çözüm
282
'
!
Trigonometri
ÖRNEK 121
ÖRNEK 123
!
Çevrel çemberinin yarçap R olan ABC üçgeninde,
a.b.c
A(ABC) =
olduԫunu gösteriniz.
4R
'
$
Çözüm
)
'
"
-
ABC üçgeninde verilenlere göre,
|EC| = x kaç birimdir?
& #
A (BDE) 2
=
A (BAC) 5
ise
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 124
ÖRNEK 122
!
!
%
"
"
#
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 6 cm ise
A(ABC) en fazla kaç cm2 olabilir?
(
'
)
@
#
ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarçap kaç birimdir?
Çözüm
Çözüm
283
ALIŞTIRMALAR – 6
2.
Aԭaԫdaki sorularn her birinde verilenlere göre
Aԭaԫdaki sorularn her birinde verilenlere göre
istenilenleri bulunuz.
istenilenleri bulunuz.
a.
a.
!
%
'
*
#
a=?
/
"
$
!
+*<9
'
&
)
#
b.
b.
!
a
cos A = ?
%
*
'
"
$
'
!
!
+
c.
-
&
+
#
%
"
$
!
x=?
'
*
%
a
cosC = ?
%
*
#
"
c.
&
'
#
'(9
x=?
%<9
"
d.
#
d.
!
%
!
-
)
%
x=?
(
'
sin_ = ?
&
_
"
284
A
x=?
-
"
ESEN YAYINLARI
1.
$
*
#
"
%<9
#
Trigonometri
3.
$
%
B
+
6.
#
$
'
!
A
&
%
+*<9
! + -
"
"
Ԭekildeki ABCD eԭkenar dörtgeninde
|AE| = |FC| = 1 cm, |DF| = 3 cm,
a
m( ABC) = 120° ise |EF| = x kaç cm dir?
#
@
Ԭekildeki ABCD dörtgeninde |AD| = 4 cm
|AB| = 3 cm, |BC| = 7 cm, |DC| = 8 cm
a
m( A) = 90° ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
7.
!
*
-
#
4.
'
'
"
ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 4 cm
a
a
a
m( C) = 90° + m( B) ise cot( B) kaçtr?
!
5.
ESEN YAYINLARI
)
!
%
'
$
&
#
ABD ve EBC birer üçgen, |AE| = 2 cm
|EB| = 4 cm, |BD| = 5 cm ve
A(ABD) = A(BEC) ise |DC| = x kaç cm dir?
8.
!
_ '(
9
*
"
(
"
)
'
;
"
#
O merkezli çemberde |AB| = 2 cm, |BC| = 3 cm
|AC| = 4 cm ise |OA| kaç cm dir?
$
#
ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |AC| = 6 cm
a
a
4|BD| = 3|DC|, m( DAC) = 45° ve m( BAD) = _
ise sin_ kaçtr?
285
Trigonometri
9.
Bir ABC üçgeninde, b2 = a2 + c2 + v3ac
a
ise m( B) kaç derecedir?
14. Bir ABC üçgeninde
a 2 – b 2
= a. cos B – b. cos A
c
olduԫunu gösteriniz.
a
10. Bir ABC üçgeninde, a = 2b.cosC ise b = c
olduԫunu gösteriniz.
!
15.
D
"
C
#
ABC üçgeninde 3|AK| = 2|AB|, 5|AL| = 3|AC|
ise
11. Bir ABC üçgeninde
ESEN YAYINLARI
a
A(ABC) = u.(u – b) ise m( B) = 90°
A (AKL)
kaça eԭittir?
A (ABC)
olduԫunu gösteriniz.
16.
12. Bir ABC üçgeninde hb = 2R.sinA.sinC
sin A
= 2. cos C
sin B
olduԫuna göre, ABC üçgeninin ikizkenar üçgen
olduԫunu gösteriniz.
olduԫunu gösteriniz
13. Bir ABC üçgeninde
a.sinA + b.sinB + c.sinC =
olduԫunu gösteriniz.
286
17.
a2 + b2 + c2
2R
sinC = cosA + cosB
olduԫuna göre, ABC üçgeninin dik üçgen olduԫunu gösteriniz.
Trigonometri
ԨKԨ YAYIN TOPLAMININ VE FARKININ TRԨGONOMETRԨK ORANLARI
®
sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b
®
sin(a – b) = sin a.cos b – cos a.sin b
®
cos(a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b
®
cos(a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b
Ԩspat
®
#
ABC ve AEC dik üçgenler
6
FBDE dikdörtgen
a
a
|AC| = 1 br, m( CAE) = a, m( EAD) = b
+
/
olmak üzere, AEC dik üçgeninde,
CE
AC
|CE| = sin a ve cos a =
AE
AC
-
6
!
sin a =
B
"
$
|AE| = cos a olur.
CFE dik üçgeninde,
cos b =
CF
CE
cos b =
CF
|CF| = sin a.cos b
sin a
ADE dik üçgeninde,
sin b =
ED
AE
sin b =
ED
|ED| = cos a.sin b olur.
cos a
ABC dik üçgeninde,
sin(a + b) =
CB
|CB| = sin(a + b)
AC
sin(a + b) = |CB| = |CF| + |FB| = |CF| + |ED| = sin a.cos b + cos a.sin b bulunur.
®
sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b eԭitliԫinde b yerine –b yazarsak
sin(a – b) = sin a.cos(–b) + cos a.sin(–b) = sin a.cosb – cos a.sin b olur.
®
cos(a + b) = sin :
r
r
r
r
– (a + b) D = sin :b – a l – b D = sin b – a l cos b – cos b – a l sin b
2
2
2
2
= cos a.cos b – sin a.sin b olur.
®
cos(a – b) = cos[a + (–b)] = cos a.cos(–b) – sin a.sin(–b) = cos a.cosb + sin a.sinb bulunur.
287
Trigonometri
ÖRNEK 125
ÖRNEK 129
Aԭaԫda toplam fark formüllerine verilen örnekleri
$
inceleyiniz.
® sin20°.cos30° + cos20°.sin30° = sin(20° + 30°)
"
+%
® sin40°.cos15° – cos40°.sin15° = sin(40° – 15°)
!
= sin25°
ABCD dörtgeninde [DC] [BC], |DC| = 4 cm
® cos50°.cos20° + sin50°.sin20° = cos(50° – 20°)
|BC| = 3 cm, |AD| = 12 cm, |AB| = 13 cm ise
a
cos( ABC) kaçtr?
= cos30°
® cos100°.cos5° – sin100°.sin5° = cos(100° + 5°)
= cos105°
Çözüm
ÖRNEK 126
sin42°.cos18° + sin18°.cos42°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 127
sin40°.sin50° – cos40°.cos50°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 130
sin15° ifadesinin eԭitini bulunuz.
cos105° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
288
#
%
+*
= sin50°
ÖRNEK 128
'
Çözüm
Trigonometri
Çözüm
ÖRNEK 131
$
#
+
*
_
+
!
%
"
ABCD dik yamuԫunda |DC| = 1 cm, |CE| = 2 cm
a
|EB| = 1 cm, |AB| = 3 cm, m( AED) = _ ise sin_
kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 133
$
B
#
ABCD kare |DF| = |FC|
|CE| = |EB|
a
m( FAE) = _
-
ise cos_ kaçtr?
_
!
"
Çözüm
ÖRNEK 132
$
#
_
!
-
"
ABCD dikdörtgeninde |AE| = |EB| = |CB|
a
m( ACE) = _ ise cos_ kaçtr?
289
Trigonometri
ÖRNEK 134
ÖRNEK 135
Bir ABC üçgeninde,
cosA =
Bir ABC üçgeninde
12
4
ve cosB =
13
5
ise sinC kaçtr?
cosA.cosB =
Çözüm
1
, sinA.sinB = 1 ise cosC kaçtr?
2
4
Çözüm
®
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 – tan a. tan b
®
tan(a – b) =
tan a – tan b
1 + tan a. tan b
®
cot(a + b) =
cot a. cot b – 1
cot a + cot b
®
cot(a – b) =
cot a. cot b + 1
cot b – cot a
Ԩspat
®
tan(a + b) =
sin (a + b)
sin a. cos b + cos a. sin b
=
cos (a + b)
cos a. cos b – sin a. sin b
olur.
Bu ifadenin pay ve paydasn cosa.cosb ile bölersek,
sin a sin b
sin a. cos b cos a. sin b
+
+
tan a + tan b
tan(a + b) = cos a. cos b cos a. cos b = cos a cos b =
sin a sin b
1 – tan a. tan b
cos a. cos b
sin a. sin b
1 –
·
–
cos a cos b
cos a. cos b cos a. cos b
®
tan(a – b) = tan[a + (–b)] =
290
tan a + tan (– b)
tan a – tan b
=
1– tan a. tan (– b)
1 + tan a. tan b
bulunur.
bulunur.
Trigonometri
ÖRNEK 136
ÖRNEK 138
!
tan75° ifadesinin eԭitini bulalm.
_
Çözüm
'
"
*
$
*
#
ABC dik üçgeninde |BD| = |DC| = 2 cm, |AB| = 4 cm
a
m( DAC) = _ ise tan_ kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 139
ESEN YAYINLARI
cos c arcsin
4
12
+ arctan
m ifadesinin eԭitini bulunuz.
5
5
Çözüm
ÖRNEK 137
tan a = 1
2
ve cot b = 4
olduԫuna göre, tan(a + b) kaçtr?
Çözüm
291
Trigonometri
YARIM AÇI FORMÜLLERԨ
ÖRNEK 140
sin b x –
r
r
l = 2 cos b x – l
4
4
sin2x = 2sinx.cosx
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
Ԩspat
Çözüm
sin2x = sin(x + x) = sinx.cosx + cosx.sinx
= 2sinx.cosx olur.
ÖRNEK 142
sin 40°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin 20°
Çözüm
ÖRNEK 141
1
+ arccot 3
2
ifadesinin eԭitini bulunuz.
arctan
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 143
x D b0 ,
sinx =
r
l olmak üzere,
2
3
ise sin2x in deԫerini bulunuz.
5
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 144
sin75°.cos75° ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
292
Trigonometri
ÖRNEK 145
ÖRNEK 148
r
sin r .cos r .cos
24
24
12
cos36°.sin18° ifadesinin eԭitini bulunuz.
ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 146
sinx – cosx =
1
3
olduԫuna göre, sin2x kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 149
cos6
r
r
+ sin6
8
8
ifadesinin eԭiti kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 147
x D (0, /) olmak üzere,
1 + sin x ifadesinin eԭiti nedir?
Çözüm
293
Trigonometri
ÖRNEK 150
cos2x = cos2x – sin2x
sin10°.cos20°.cos40° iԭleminin sonucu kaçtr?
Çözüm
Ԩspat
cos2x = cos(x + x)
= cosx.cosx – sinx.sinx
= cos2x – sin2x bulunur.
Ayrca, bu eԭitlikte cos2x = 1 – sin2x veya
sin2x = 1 – cos2x yazlarak
cos2x = 2cos2x – 1
cos2x = 1 – 2sin2x
ESEN YAYINLARI
eԭitlikleri de elde edilir.
ÖRNEK 152
cosx =
1
olduԫuna göre, cos2x kaçtr?
3
Çözüm
ÖRNEK 151
1
sin c 2 arccos m ifadesinin eԭitini bulunuz.
3
Çözüm
ÖRNEK 153
sinx =
Çözüm
294
1
olduԫuna göre, cos4x kaçtr?
5
Trigonometri
ÖRNEK 154
ÖRNEK 157
r
r
– sin2
8
8
ifadesinin eԭitini bulunuz.
cos2
x ! b0 ,
r
l olduԫuna göre,
2
1 + cos 2x
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 155
cos475° – sin475°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 158
x D (2/, 3/) olmak üzere,
1 – cos x
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 156
1 + cos 20°
sin 20°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
295
Trigonometri
ÖRNEK 159
cos2
ÖRNEK 161
sin50° = a olduԫuna göre,
r
ifadesinin eԭitini bulunuz.
8
cos20° nin a türünden deԫeri nedir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 162
sin3x = 3sinx – 4sin3x
eԭitliԫinin doԫru olduԫunu gösteriniz.
ÖRNEK 160
sin 2
5r
r
+ cos 2
12
12
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 163
1
cos c 2 arcsin m
4
ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
296
Trigonometri
tan2x =
ÖRNEK 166
2 tan x
1 – tan 2 x
tan x. cot 2x
tan 2 x – 1
Ԩspat
ifadesinin eԭiti kaçtr?
tan2x = tan(x + x)
=
tan x + tan x
1 – tan x. tan x
=
2 tan x
olur.
1 – tan 2 x
Çözüm
ÖRNEK 164
tanx = 1
2
olduԫuna göre, tan2x kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 167
tanx – cotx =
2
3
olduԫuna göre, tan4x kaçtr?
ÖRNEK 165
Çözüm
3
olduԫuna göre,
4
tanx in alabileceԫi deԫerleri bulunuz.
tan2x =
Çözüm
297
Trigonometri
DÖNÜԬÜM FORMÜLLERԨ
®
sin a + sin b = 2sin
a+b
a – b
.cos
2
2
a+b
a – b
.sin
2
2
®
sin a – sin b = 2cos
®
cos a + cos b = 2cos
®
cos a – cos b = –2sin
a+b
a – b
.cos
2
2
a+b
a – b
.sin
2
2
Ԩspat
sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny
®
+ sin(x – y) = sinx.cosy – cosx.siny
––––––––––––––––––––––––––––––
sin(x + y) + sin(x – y) = 2sinx.cosy ..... (I)
Bu eԭitlikte x + y = a ve x – y = b alrsak, x =
a+b
2
y=
ve
a – b
2
Bu deԫerleri (I) eԭitliԫinde yerine yazarsak sin a + sin b = 2sin a + b .cos
2
®
olur.
a – b
2
bulunur.
I de bulduԫumuz eԭitlikte b yerine – b yazarsak
sin a + sin(–b) = 2sin
a – (–b)
a – b
a+b
a – b
.cos
sin a – sin b = 2sin
.cos
2
2
2
2
olur.
cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny
®
cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny
+
––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) + cos(x – y) = 2cosx.cosy olur.
x+y = a
a+b
a – b
a+b
a – b
ve y =
deԫerleri yerine yazlrsa cos a + cos b = 2cos
.cos
olur.
3 x=
2
2
2
2
x – y = b
®
cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny
cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny
eԭitliklerini taraf tarafa çkararak cosa – cosb = –2sin
ÖRNEK 168
cos 3a + cos a
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin 3a – sin a
Çözüm
a – b
a+b
.sin
eԭitliԫini siz bulunuz.
2
2
ÖRNEK 169
sin 40° + sin 20°
cos 10°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
298
Trigonometri
ÖRNEK 170
Pratik olarak,
cos (a + b) – cos (a – b)
sin (a + b) + sin (a – b)
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin x + sin 3x + sin 5x
=
cos x + cos 3x + cos 5x
Çözüm
olarak alnabilir.
x + 3x + 5x
3
= tan 3x
x + 3x + 5x
cos
3
sin
ÖRNEK 173
sin 20° + sin 40° + sin 80°
cos 10°
ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
ÖRNEK 171
cos10° + cos50° – v3.cos20°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 172
sin x + sin 3x + sin 5x
cos x + cos 3x + cos 5x
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ÖRNEK 174
cos242° – cos218°
ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
Çözüm
299
Trigonometri
ÖRNEK 175
1
1
–
cos 75° sin 75°
ÖRNEK 178
sin 6x + sin 4x + sin 2x
cos 4x + cos 2x + 1
ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ifadesinin en sade biçimini
bulunuz.
Çözüm
sin 5x + sin 3x
9x = r olmak üzere,
ifadesinin eԭi2
cos x. cos 5x
tini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 176
ÖRNEK 179
Bir ABC üçgeninde,
sinA + sinB + sinC = 4cos
olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 177
cos80° + sin50° – cos20° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
300
B
C
A
.cos .cos
2
2
2
Trigonometri
TERS DÖNÜԬÜM FORMÜLLERԨ
®
sinx.cosy =
1
[sin(x + y) + sin(x – y)]
2
®
sinx.siny =
1
[cos(x – y) – cos(x + y)]
2
®
cosx.cosy =
1
[cos(x + y) + cos(x – y)]
2
Ԩspat
sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny
®
sin(x – y) = sinx.cosy – cosx.siny
+
––––––––––––––––––––––––––––––
sin(x + y) + sin(x – y) = 2sinx.cosy sinx.cosy =
1
[sin(x + y) + sin(x – y)] bulunur.
2
cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny
®
cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny
–
––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) – cos(x – y) = –2sinx.siny sinx.siny =
1
[cos(x – y) – cos(x + y)] bulunur.
2
cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny
®
+ cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny
––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) + cos(x – y) = 2cosx.cosy cosx.cosy =
ÖRNEK 180
cos15°.cos75° ifadesinin eԭiti kaçtr?
Çözüm
1
[cos(x + y) + cos(x – y)] bulunur.
2
ÖRNEK 182
1
– 4 cos 10° ifadesinin eԭiti kaçtr?
sin 40°
Çözüm
ÖRNEK 181
sin
5r
r
ifadesinin eԭitini bulunuz.
· cos
24
24
Çözüm
301
Trigonometri
ÖRNEK 183
cos10°.cos50°.cos70° ifadesinin eԭiti kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 185
_ – e =
r
olmak üzere,
6
tan(_ – 2e).tan(2_ – e) ifadesinin eԭiti kaçtr?
ÖRNEK 184
cos80°.cos40°.cos20° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
302
Çözüm
ALIŞTIRMALAR – 7
1.
Aԭaԫdaki eԭitliklerden doԫru olanlar için boԭ
4.
kutulara “D” yanlԭ olanlar için “Y” yaznz.
Bir ABC üçgeninde sinA =
3
, cosB = 5
13
5
ise
sinC kaçtr?
3
sin48°.cos12° + cos48°.sin12° =
2
sin50°.sin40° – cos50°.cos40° = 1
cos80°.sin20° – sin80°.cos20° = –
sin2105° – cos2105° =
3
2
5.
3
2
a+b=
r
3
olmak üzere,
(cosa – cosb)2 + (sina + sinb)2
ifadesinin eԭitini bulunuz.
tan 32° + tan 13°
=1
1 – tan 32°. tan 13°
2.
r
2
= –
8
2
Aԭaԫdakilerin herbirinin eԭitini bulunuz.
a. sin75°
b. cos
ESEN YAYINLARI
1 – 2cos2
6.
r
12
7.
c. tan15°
d. cot
3.
sinx – cosx = 1
4
olduԫuna göre, sin2x ifadesinin eԭitini bulunuz.
7r
12
tan a = 2 , cot b = 3
olduԫuna göre, tan(a + b) kaçtr?
Aԭaԫda sol sütunda verilen ifadelerin eԭitini saԫ
sütunda bularak eԭleԭtiriniz.
a.
cos4x – sin4x
1.
cot2x
b.
cos 6x sin 6x
+
sin 2x cos 2x
2.
cot2x
c.
sin 4x
1 – cos 4x
3.
2cot4x
d.
1 + cos 2x
1 – cos 2x
4.
cos2x
303
Trigonometri
e.
Aԭaԫdakilerin herbirinde verilenlere göre istenilenleri bulunuz.
a.
%
+
$
#
+
-
!
a
cos( BCD) = ?
"
'
ABCD dik yamuk
_
tan_ = ?
*
!
#
"
'
$
+*
f.
$
#
-
ABCD kare
b.
!
c.
!
tanx = ?
*
"
|DE| = 3|CE|
_
&
$
*
$
#
_
r
r
ifadesinin eԭiti nedir?
+ sin 6
12
12
9.
cos 6
10.
sin10°.sin50°.sin70° ifadesinin eԭiti nedir?
11.
sin10°.cos10°.cos20°.cos40° = a
ABCD kare
B
-
tan_ = ?
"
#
'
ESEN YAYINLARI
8.
|DE| = |AE|
sin_ = ?
!
d.
"
%
$
-
*
#
ABCD kare
cot_ = ?
_
!
304
B
olduԫuna göre, cos10° nin a cinsinden deԫeri
+
nedir?
"
Trigonometri
12.
15. Aԭaԫdakilerin herbirinin eԭitini bulunuz.
sin84° = a olduԫuna göre,
sin87° nin a cinsinden deԫeri nedir?
13. x D b 0 ,
r
l olmak üzere, verilenlere göre iste2
nenleri bulunuz.
a. cos c arctan
3
5
– arcsin
m
4
13
b. tan c arc cot
1
+ arctan 2 m
3
1
cos2x = ?
5
a. cosx =
c. sin(2arctan2)
1
cos4x = ?
3
c. cot2x =
3
tanx = ?
4
d. sinx = 3
5
14.
x D b0 ,
16.
17.
cos20° – sin50° – cos80°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
1 + sin x
1 – sin x
18.
b.
sin54° – sin18°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin2x = ?
r
l
2
olmak üzere, aԭaԫdaki ifadelerin eԭitini bulunuz.
a.
1
d. tan c 2 arccos m
3
ESEN YAYINLARI
b. sinx =
1 + cos x
1 – cos x
cos10°.cos30°.cos50°.cos70° = 3
16
eԭitliԫinin doԫru olduԫunu gösteriniz.
305
Trigonometri
sin 50° –
19.
3
4 sin 20°
21.
ifadesinin eԭitini bulunuz.
ifadesinin eԭitini bulunuz.
22.
20. Aԭaԫdaki ifadelerin en sade biçimini elde ediniz.
a.
3 –
1
cos 10° sin 10°
1
1
–
cos 36° sin 18°
ifadesinin eԭitini bulunuz.
sin 8x + sin 2x
cos 8x – cos 2x
23. Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki eԭitliklerin doԫru
olduԫunu gösteriniz.
c.
a. cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin
cos 5x + cos x
sin 5x – sin x
sin 80° + sin 20°
cos 80° – cos 20°
ESEN YAYINLARI
b.
b. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
c. cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC
24.
d. sin 10° + sin 30° + sin 50°
cos 10° + cos 30° + cos 50°
tan2_ + cot2_ = 5
olduԫuna göre, sin4_ kaça eԭittir?
sin b x –
e.
sin 20° + sin 40° + sin 60° + sin 80°
cos 20° + cos 40° + cos 60° + cos 80°
306
A
B
C
sin sin
2
2
2
r
l
4 =1
25.
r
2
sin b x + l
4
olduԫuna göre, cotx kaça eԭittir?
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK DENKLEMLER
sinx =
1
r
5r
denklemini ele alalm. Bu denklemi saԫlayan [0, 2/] aralԫndaki deԫerlerin
ve
olduԫunu biliyoruz.
2
6
6
Ancak daha geniԭ aralklarda bu denklemi saԫlayan baԭka deԫerler de vardr. Bu deԫerlerin tümünü tek tek bulmamz mümkün olmadԫndan bu deԫerlerin hepsini ifade eden kümeyi ortak özellik yardmyla gösterebiliriz.
cosx = a Denkleminin Çözümü
cosx =
1F3
3
denkleminin çözüm kümesini
2
+
/
)
bulmaya çalԭalm.
Kosinüsü
?+
3
ye eԭit olan [0, 2/)
2
aralԫndaki reel saylar; r ve – r dr.
6
6
;
v%
*
?+
/
)
+
:81
Ancak, k D Z olmak üzere,
r + k.2/ ve – r + k.2/ saylarnn da kosinüsleri
6
6
Dolaysyla denklemin çözüm kümesi,
3
ye eԭittir.
2
Ç = { x : x = r + k.2/ x = – r + k.2/, k D Z} olur.
6
6
Bu durumu genel olarak aԭaԫdaki biçimde ifade edebiliriz.
1F3
+
–1 a 1 olmak üzere,
cosx = a denkleminin [0, 2/) aralԫndaki bir kökü
?+
;
_ ise denklemin çözüm kümesi;
Ç = { x : x = _ + k.2/ x = – _ + k.2/ , k D Z} dir.
ÖRNEK 186
cosx = 1
2
Çözüm
_
?_
/ +
:81
?+
ÖRNEK 187
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
cos x = –
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
Çözüm
307
Trigonometri
ÖRNEK 188
ÖRNEK 191
cos2x – 3cosx + 2 = 0
cos2x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 189
cos b 2x –
r
1
l = –
3
2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 192
0° x < 360° olmak üzere,
cos(2x + 10°) = cos50°
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 190
cos3x = 1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
308
Trigonometri
sinx = a Denklemini Çözümü
sinx =
1
2
1F3
denkleminin çözüm kümesini
+
/
)
/ /
)
bulmaya çalԭalm. Sinüsü
1
ye eԭit olan
2
[0, 2/) aralԫndaki reel saylar
r
6
ve r –
+
*
?+
+
;
r
6
:81
dr.
?+
Bu durumda, k D Z olmak üzere
r
r
+ k.2/ ve r –
+ k.2/ saylarnn da sinüsü 1 olacaԫndan çözüm kümesi;
2
6
6
Ç = {x : x =
5r
r
+ k.2/ x =
+ k.2/, k D Z} olur.
6
6
Bu durumu genel olarak aԭaԫdaki biçimde ifade edebiliriz.
1F3
+
–1 a 1 olmak üzere,
sinx = a denkleminin [0, 2/) aralԫndaki bir kökü
/
?+
_
_ ise denklemin çözüm kümesi;
;
_
/?_
+
:81
Ç = { x : x = _ + k.2/ x = / – _ + k.2/, k D Z} dir.
?+
ÖRNEK 193
ÖRNEK 194
3
2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
1
2
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
sinx =
sin3x = –
309
Trigonometri
ÖRNEK 195
cos2x – sin2x + sinx = 0
denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Çözüm
ÖRNEK 197
cos2x + sin2x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 196
cos3x – cosx + 2sin2x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
310
Trigonometri
tanx = a Denkleminin Çözümü
ÖRNEK 199
1F3
+
tan b 2x –
G/3
/
'
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
H+I+J
Çözüm
+
?+
r
l = –1
4
:81
(/
'
?+
tanx = 1 denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Tanjant 1 e eԭit olan [0, 2/) aralԫndaki reel saylar
r
r
ve r + olduԫundan bu iki deԫeri de içeren
4
4
r
+ kr , (k D R) denklemi saԫlayan x deԫerle4
ridir. Dolaysyla denklemin çözüm kümesi
r
+ k/, k D Z } olur.
Ç = {x : x =
4
x=
tanx = a denkleminin [0, /) aralԫndaki bir kökü _
ise denklemin çözüm kümesi
Ç = { x : x = _ + k/, k D Z } dir.
cotx = a Denkleminin Çözümü
cotx = – v3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
a D R olmak üzere,
ÖRNEK 200
®
k D R olmak üzere,
a D R olmak üzere,
f(x) = g(x) + k.2/ f(x) = / – g(x) + k.2/
cotx = a denkleminin [0, /) aralԫndaki bir kökü
eԭitliklerini saԫlayan x reel saylardr.
_ ise denklemin çözüm kümesi
Ç = { x : x = _ + k/, k D Z } dir.
sinf(x) = sing(x) denkleminin çözüm kümesi,
®
cosf(x) = cosg(x) denkleminin çözüm kümesi,
k D R olmak üzere,
f(x) = g(x) + k.2/ f(x) = – g(x) + k.2/
eԭitliklerini saԫlayan x reel saylardr.
ÖRNEK 198
tanx = v3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
®
tanf(x) = tang(x) veya cotf(x) = cotg(x)
denklemlerinin çözüm kümesi, k D R
olmak üzere, f(x) = g(x) + k/
eԭitliԫini saԫlayan x reel saylardr.
311
Trigonometri
ÖRNEK 201
ÖRNEK 203
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
r
r
l = cos b – x l
3
6
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 202
sin b 2x –
r
r
l = – sin b x + l
6
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
312
cos b x –
r
l = sin x
4
ESEN YAYINLARI
sin b 2x –
ÖRNEK 204
cos b x –
r
r
l = – cos b x + l
4
4
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Trigonometri
Çözüm
ÖRNEK 205
cos b 2x –
r
l = sin x
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
sinx ve cosx e Göre Doԫrusal Denklemler
a, b, c sfrdan farkl reel saylar olmak üzere,
ESEN YAYINLARI
a.cosx + b.sinx = c biçimindeki denklemler,
ÖRNEK 206
r
tan b 2x – l = tan x
6
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
sinx ve cosx e göre doԫrusal denklemlerdir.
ÖRNEK 208
sinx – v3 cosx = 1
denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 207
tan3x.cot b
r
– x l = 1
3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
313
Trigonometri
ÖRNEK 209
ÖRNEK 210
f(x) = a.sinx + b.cosx
Aԭaԫdaki tabloda baz fonksiyonlarn en büyük ve en
küçük deԫerleri verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
fonksiyonunun en büyük ve en küçük deԫerlerini
bulunuz.
Çözüm
LH&J
-3MNOPONMQRSR5
-3M6OEONMQRSR5
%1F3&MKM':81&
? %*MKM'*MTM?M(
(
*1F3&M?M:81&
? **MKMH?+J*MTM?Mv(
v(
1F3&MKM:81&
? +*MKM+*MTM?Mv*
v*
ÖRNEK 211
3sinx – 4cosx = 5
olduԫuna göre, sinx kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
f(x) = a.sinx ± b.cosx ise f(x) in
en küçük deԫeri: – a 2 + b 2
en büyük deԫeri:
314
a2 + b2
dir.
Trigonometri
sinx ve cosx e Göre Homojen Denklemler
Çözüm
2sinx – 3cosx = 0
sinx – v3 cosx = 0
biçimindeki denklemler, 1. dereceden homojen denklemlerdir.
sin2x + 2sinx.cosx – cos2x = 0
sin2x + 2sin2x + 3cos2x = 0
biçimindeki denklemler, 2. dereceden homojen denklemlerdir.
sinx – v3 cosx = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 212
ÖRNEK 214
3cos2x – 3cosx.sinx + 2sin2x = 1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 213
sin2x + sinx.cosx – 2cos2x = 0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
315
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK EԬԨTSԨZLԨKLER
Çözüm
sinx > a veya sinx < a Eԭitsizliԫi
1F3
/
_
_
:81
sinx > a eԭitsizliԫinde
–1 a 1 Ç = (_, / – _)
a>1Ç=Ø
a < –1 Ç = R
1F3
_
_
:81
sinx < a eԭitsizliԫinde
–1 a 1 Ç = [0, _) F (/ – _, 2/)
a>1Ç=R
a < –1 Ç = Ø
ÖRNEK 215
3
2
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
sinx >
bulunuz.
316
ESEN YAYINLARI
/
ÖRNEK 216
1
2
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
sinx
bulunuz.
Çözüm
Trigonometri
cosx > a veya cosx < a Eԭitsizliԫi
cosx > a eԭitsizliԫinde,
Çözüm
1F3
–1 a 1 Ç = (– _, _)
veya Ç = [0, _) F (2/ – _, 2/]
a>1 Ç=Ø
_
_ /
:81
a < –1 Ç = R
cosx < a eԭitsizliԫinde,
1F3
–1 a 1 Ç = (_, 2/ – _)
a>1 Ç=R
a < –1 Ç = Ø
_
_
/
:81
tanx > a veya tanx < a Eԭitsizliԫi
tanx > a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
1F3
/
*
1
2
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
cosx >
bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
/
ÖRNEK 217
_
_
:81
%/
*
Ç = ba ,
G/3
r
3r
l , cr + a ,
m olur.
2
2
tanx < a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
1F3
/
*
/
_
_
:81
%/
*
G/3
ÖRNEK 218
2
2
[0, 2/]
Ç = b –
cos x –
eԭitsizliԫinin
bulunuz.
aralԫndaki çözüm kümesini
r
r
, a l , b , r + a l veya
2
2
Ç = 60 , r h , b
r
3r
, r + al , c
, 2r m dir.
2
2
317
Trigonometri
cotx > a veya cotx < a Eԭitsizliԫi
ÖRNEK 219
1F3
tanx > 1
:8G
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
bulunuz.
/
_
Çözüm
_
/
:81
cotx > a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
Ç = (0, _) F (/, / + _) dr.
1F3
:8G
/
ESEN YAYINLARI
_
_
/
cotx < a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
Ç = (_, /) F (/ + _, 2/) dir.
ÖRNEK 221
ÖRNEK 220
tanx < v3 eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm
kümesini bulunuz.
Çözüm
318
:81
cotx > v3
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ALIŞTIRMALAR – 8
1.
3.
Aԭaԫdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara “D” yanlԭ olanlar için “Y” yaznz.
Aԭaԫdaki trigonometik denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
–1 a 1 olmak üzere,
a. sin2x = sin b x +
sinx = a denkleminin [0, 2/] aralԫnda
r
l
3
2 kökü vardr.
tanx = a denkleminin [0, /] aralԫnda
1 kökü vardr.
cosx = a denkleminin [0, /] aralԫnda
b. cos4x = sin
1 kökü vardr.
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. sinx = –1
ESEN YAYINLARI
2.
3r
8
b. cos2x = –
r
l
4
d. sin(2x – 10°) = –sin(x + 20°)
e. sin(x – 20°) = cos(x + 40°)
c. tan2x = 1
d. cot3x =
2
2
c. cos3x = cos b x –
3
3
f. cos b 2x –
r
r
l = –cos b x + l
6
3
319
Trigonometri
5.
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin [0, 2/] ara-
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin çözüm kü-
lԫndaki çözüm kümelerini bulunuz.
melerini bulunuz.
a. sin2x – cos2x – 5sinx + 3 = 0
a. 3cos2x + sin2x – 5cosx + 1 = 0
b. sin2x.cosx + cos2x.sinx = 1
b. tan2x.cot b 2x –
c. tanx + cotx = 1
c. cos2x = 1 – 2sinx
r
l=1
3
ESEN YAYINLARI
4.
d. sin4x – cos2x = 0
e. sin2x + 2sinx = 0
f.
2sin2x – 1 = 0
320
d. cos2x + 3sinx – 2 = 0
e. sinx + cosx = 1
f.
cosx + cos2x + cos3x = 0
Trigonometri
g. 3sinx = 1 + cos2x
6.
f(x) = sinx – v3.cosx
fonksiyonunun grafiԫinin [0, 2/] aralԫnda x
eksenini kestiԫi noktalar bulunuz.
h. sinx + v3 cosx = 0
7.
v3 cosx + 3 sinx = v6
j.
6 cos2x + 2 cos6x = 1
fonksiyonunun grafiԫi [0, 2/] aralԫnda x eksenini kaç noktada keser?
ESEN YAYINLARI
.
f(x) = sin5x – cos2x + sinx
8.
Aԭaԫdaki eԭitsizliklerin [0, 2/] aralԫndaki çözüm
kümelerini bulunuz.
a. sinx 1
k. sin2x + v3 sinx.cosx = 1
b. cosx
l.
1
2
2cos2x + 6sinx.cosx + 4sin2x = 0
m. 2sin2x + sin2x – 2cos2x = 1
c. v3 – 2sinx < 0
321
Trigonometri
10. Aԭaԫdaki fonksiyonlarn en büyük ve en küçük
d. 2cosx + 1 0
deԫerlerini bulunuz.
a. f(x) = v2 sinx – cosx
e. cos b x +
r
l>0
4
b. f(x) = 3sinx – 4cosx
f. 2sinx
2
9.
Aԭaԫdaki eԭitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
c. f(x) = 3sinx + 4cosx
d. f(x) = 5sin3x – 12cos3x
a. sinx < cosx
b. sinx.cosx <
c. cotx < 1
322
1
4
e. f(x) = –sinx + cosx
f. f(x, y) = sinx + cosy
TEST – 1
1.
Aç Ölçü Birimleri
5.
48431 lik aç kaç derece, kaç dakika kaç saniyedir?
B) 10° 41 32
D) 13° 39 31
A) 10° 41 30
C) 13° 27 11
Birim çember üzerindeki noktalardan apsisi ordi-
natnn v3 katna eԭit olannn apsisi aԭaԫdakilerden hangisi olabilir?
A) v3
B)
3
2
C)
1
2
D) 1
3
2
2
E)
E) 13° 40 32
2.
13° 12 10 lik aç kaç saniyedir?
A) 46520
6.
B) 46530
lerden hangisidir?
C) 47510
A)
E) 47530
11r
4r
10r
B)
C)
9
3
9
D)
13r
9
E)
14r
9
ESEN YAYINLARI
D) 47520
280° lik açnn radyan cinsinden eԭiti aԭaԫdaki-
3.
_ = 24° 16 45 ve ` = 17° 12 38 ise
2_ + ` aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A) 65° 46 8
B) 65° 44 8
D) 65° 43 8
4.
7.
C) 65° 45 8
E) 65° 42 8
11r
radyanlk açnn derece cinsinden eԭiti aԭa5
ԫdakilerden hangisidir?
A) 396° B) 397° C) 398°
D) 399°
E) 400°
_ = 43° 16 12 ve ` = 24° 23 26 ise
_ – ` aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 18° 52 46
B) 18° 52 45
D) 18° 51 45
C) 18° 51 46
E) 18° 50 46
8.
24132° lk açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 12
B) 18
C) 102
D) 108
E) 112
327
Trigonometri
9.
–1341° lik açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 89
B) 92
C) 94
D) 99
13.
/
!"#$%&
E) 98
.
*")%$#&
0
'"%$#&
,#-
+
("#$)%&
a
Yukardaki birim çemberde m( EOD) = 60° ise
132r
10.
radyanlk açnn esas ölçüsü kaç radyan7
dr?
A)
2r
7
B)
3r
7
C)
4r
7
D)
5r
7
E)
E noktas aԭaԫdakilerden hangisidir?
6r
7
A) d
3
1
, – n
2
2
B) d –
3
1
,
n
2
2
C) d
1
3
, –
n
2
2
D) d –
1
3
, –
n
2
2
73r
radyanlk açnn esas ölçüsü kaç
3
radyandr?
11. –
A)
r
3
B)
2r
3
C) /
D)
4r
3
E)
ESEN YAYINLARI
E) d
5r
3
2
2
, –
n
2
2
14. 18° – 19751 ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden
hangisidir?
B) 12° 30 48
D) 12° 31 49
A) 12° 30 47
C) 12° 30 49
E) 12° 32 49
5r
radyanlk yayn bitim
6
noktas aԭaԫdakilerden hangisidir?
12. Birim çember üzerinde
A) d –
C) d –
E) d
1. C
328
1
3
,
n
2
3
2
,
2
2
n
2
B) d –
3
1
, – n
2
2
D) d –
3 1
, n
2
2
15. Bir ABC üçgeninde
a
a
a
m( A) = 3r , m( B) – m( C) = 32° ise
5
a
m( C) kaç radyandr?
3
1
, – n
2
2
2. E
3. A
A)
4. A
5. B
6. E
7. A
8. A
9. D
r
6
10. E
B)
r
7
11. E
C)
r
8
12. D
D)
13. A
r
9
E)
14. C
r
10
15. D
TEST – 2
1.
Trigonometrik Fonksiyonlar
Birim çemberde _ açsnn bitim noktas
5.
4 3
c – , m ise tan_ kaçtr?
5 5
A) –
5
3
B) – 5
4
C) –
4
3
sin
r
3r
7r
7r
+ cot
+ tan
.cot
2
2
3
3
ifadesinin eԭiti kaçtr?
D) – 3
4
E) – 1
3
A) –2
6.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
sin87° , tan142° , cos216° ve cot278°
ifadelerinin iԭaretleri srasyla aԭaԫdakilerden
2.
cos300° + tan240° – sin150° + cot150°
hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
C) 0
A) + – + –
E) v3
D) 1
B) + – – –
D) + + – –
C) – – – +
E) + – – +
ESEN YAYINLARI
A) – v3 B) –1
7.
3.
3r
cos/ + sec/ – sin c –
m – tan(–/)
2
ifadesinin eԭiti kaçtr?
A = 2cosx – 3siny + 4
olduԫuna göre, A gerçel says hangi aralkta
deԫer alr?
A) [5, 9]
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
D) [3, 9]
E) 1
8.
4.
tan210°.sin300°
3
1
B) –
6
2
C) –
1
3
D) –
1
6
E) –
f(x) =
C) [–1, 5]
E) [–1, 9]
3 sin x + 7
2
fonksiyonunun en büyük ve en küçük deԫerleri
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) –
B) [3, 5]
toplam kaçtr?
3
9
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
329
Trigonometri
9.
13.
r
olmak üzere,
4
3 – tan x
ifadesi hangi aralkta deԫer alr?
2
0x
A) [1, 2]
C) ;1,
B) [0, ')
D) (–', 0)
tan1°.tan2°.tan3° ..............tan89°
ifadesinin eԭiti kaçtr?
A) 89
B) 45
C) 1
D) 0
E) –1
3
E
2
E) [0, 1]
a = 1 – cos2x ve 2b = 1 + sinx
14.
olduԫuna göre, a ile b arasndaki baԫnt aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) a – 1 = 2b
B) a + 1 = 2b
D) a2 = 2b – 1
10.
C) a = (2b + 1)2
E) a = (2b – 1)2
A(sin10°, cos10°) ve B(sin350°, cos170°)
noktalar arasndaki uzaklk kaç birimdir?
B) 3
D) v2
C) 2
E) 1
ESEN YAYINLARI
A) 4
15.
x = 2tan_ – 1 ve y = 4cot_ + 2
olduԫuna göre, y nin x cinsinden deԫeri aԭaԫdakilerden hangisidir?
A)
2x + 10
x+1
D)
11. a = cos_ , b = sin_.cos` ve c = sin_.sin`
B)
8
x+1
2x – 8
x+1
E)
C)
8
x – 2
2x + 8
x+1
olduԫuna göre, a2 + b2 + c2 ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 2
C) sin2_
B) 1
2
2
E) sin `
D) cos _
r
3r
<a<r<i<
2
2
16.
olmak üzere aԭaԫdakilerden kaç tanesi doԫrudur?
I.
sin_ + tane > 0
II. cos_ + sine < 0
III. sine.tan_ > 0
cos x – sin x
3
=
cos x + 2 sin x 2
12.
IV. tan_.cote < 0
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
A) –
1. D
1
8
2. C
330
B) –
3. A
1
7
C) –
4. B
1
6
5. E
V. tan_ – cote < 0
D) –
1
5
6. B
E) –
7. E
1
4
A) 1
8. C
9. C
10. C
B) 2
11. B
C) 3
12. A
13. C
D) 4
14. E
E) 5
15. A
16. E
TEST – 5
1.
Trigonometrik Fonksiyonlar
cos b 2x +
r
3r
l – 3 sin
3
2
ifadesini en küçük yapan x deԫerlerinden biri
5.
fb
r
+ x l = cotx – tan2x
2
olduԫuna göre, f(x) aԭaԫdakilerden hangisidir?
aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) r
4
B) r
3
C) 2r
3
D) 3r
4
E) r
2
B) cotx – tan2x
C) cotx – cot2x
D) –tanx – tan2x
E) tanx + tan2x
6.
2.
A) tanx – cot2x
sin 2 56° + sin 2 34° + cos 2 70° – 1
tan 56°. tan 34° + sin 20° – 1
_Db
sin a – cos a
= 2 ise cos_ kaçtr?
sin a + cos a
iԭleminin sonucu kaçtr?
10
10
A) –
A) cos70°
B) cos20°
B) –
C) –sin70°
10
5
10
5
C) –
E)
10
10
r
1
, r l ve sinx =
2
3
ise
D)
E) 1
10
4
ESEN YAYINLARI
D) –cos70°
r
, r l olmak üzere
2
3.
7.
^ 1 + tan 2 xh . c 1 – 1 m
sec 2 x
xDb
tanx.cosx kaçtr?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot2x
B) cotx
D) tan2x
A)
C) 1
olduԫuna göre, tanx nedir?
B) – 3
4
3
2
C) 1
2
D) – 1
2
E) –
C) – 1
3
1
1
+
1 – tan 40° 1 – cot 40°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
4sin(x + /) + 3cos(x – /) = 0
A) – 4
3
B)
E) tanx
8.
4.
3
3
A) tan40°
D) 3
4
E) 4
3
B) cot40°
D) 1
C) 2
E) –1
335
3
3
Trigonometri
9.
13. a = sin280° , b = tan170° , c = cot190° ve
sinx.cosx = 1
4
olduԫuna göre, sinx + cosx ifadesinin pozitif de-
d = cos250° ise aԭaԫdaki sralamalardan hangisi doԫrudur?
ԫeri nedir?
6
2
A)
5
2
B)
C) 1
3
2
D)
E)
2
2
A) a < b < c < d
B) a < d < c < b
C) a < b < d < c
D) a < d < b < c
E) d < a < b < c
10. x D b 0 ,
x – y =
r
l olmak üzere,
2
r
2
ve cosx =
1
3
14. cos306° = a olduԫuna göre,
olduԫuna göre,
tan144°.cos36° ifadesinin eԭiti nedir?
cot(x – 2y) nedir?
2
A) –
2
1
B) –
2
1
2
E)
2
2
B) –1
C) 0
D) 1
cos c
15. Aԭaԫdakilerden hangisi
11. x + y = / ise
A) sinx
B) sin(x + /)
D) cos(/ – x)
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
1. B
2. A
336
B) cotx
3. D
A) a < b < c
5. D
6. A
7. A
8. D
B) c < a < b
D) a < c < b
C) –tanx D) –sinx E) –cotx
4. B
r
– x l
2
aԭaԫdaki sralamalardan hangisi doԫrudur?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) tanx
E) cos b
C) cosx
16. a = sin140° , b = sin160° , c = tan55° ise
sin (x – 3r) + sin (x + 5r)
cos (x + 4r) – cos (x + 5r)
12.
3r
– x m
2
ifadesine eԭittir?
cos x – 1
cos y + 1
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) –2
E) a
ESEN YAYINLARI
D)
A) –a
3
C) –
2
9. A
10. A
11. B
12. C
C) b < c < a
E) b < a < c
13. D
14. A
15. B
16. E
TEST – 6
Periyot ve Grafik
f(x) = cos2(3 – 2x)
1.
5.
hangisidir?
r
4
B)
r
2
C) /
D)
3r
2
3 – 4x
m fonksiyonunun periyodu kaçtr?
6
fc
fonksiyonunun esas periyodu aԭaԫdakilerden
A)
f(x) fonksiyonunun periyodu 6 ise
A) 3
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
E) 2/
6.
f(x) fonksiyonunun periyodu 2, g(x) fonksiyonunun
periyodu 4 olmak üzere, f(1) = 4 ve g(3) = 1 ise
1 – x
f(x) = 2sin3 c 3 m
2.
f(11) + g(19) kaçtr?
fonksiyonunun esas periyodu aԭaԫdakilerden
A) 3
hangisidir?
2r
3
B) /
C)
3r
2
D) 2/
C) 5
D) 6
7.
f:[–/, /] A R, f(x) = 2cosx
fonksiyonunun grafiԫi aԭaԫdakilerden hangisidir?
'&
!&
/
/
4
3.
f(x) = 2tan(1 – 2x) + 3
fonksiyonunun esas periyodu aԭaԫdakilerden
)/
r
4
B) r
3
4
/
4
/
4
#
hangisidir?
A)
E) 7
E) 6/
ESEN YAYINLARI
A)
B) 4
/
0
)/
/
4
#
/
4
/
/
4
/
)%
C)
r
2
D) /
)4
E) 2/
*&
(&
/
/
%
%
)/
/
4
/
4
/
#
0
)/
/
4
#
)%
)4
4.
+&
f(x) = sin5x – sinx
/
4
fonksiyonunun esas periyodu kaç radyandr?
%
A) /
B) 2/
0
C) 3/
D) 4/
E) 5/
)/
/
4
#
/
4
0
/
337
0
Trigonometri
8.
10.
f:[0, /] A R, f(x) = 2sin2x
/
fonksiyonunun grafiԫi aԭaԫdakilerden hangisi-
4
dir?
%
'& /
!& /
%
%
1/
6
/
4
#
/
/
6
0
/
6
)%
*& /
(& /
4
4
1/
6
#
/
1/
6
/
1/
4
0
4/
0
Yukardaki grafik aԭaԫdaki fonksiyonlardan han-
A) y = 2sinx
B) y = 2sinx – 1
C) y = 3sinx – 2
D) y = 2 + sinx
E) y = 1 + sinx
/
4
#
)4
/
/
4
gisine ait olabilir?
/
6
0
/
6
/
4
#
)%
/
4
#
1/
6
/
0
)4
+& /
%
#
1/
6
/
4
/
ESEN YAYINLARI
4
0
/
6
)4
11.
/
1
9.
/
/
4
#
4
1/
6
/
6
/
0
%
#
/
6
/
4
1/
6
4/
0
)1
Yukardaki grafik aԭaԫdaki fonksiyonlardan han-
Yukardaki grafik aԭaԫdaki fonksiyonlardan han-
gisine ait olabilir?
gisine ait olabilir?
A) y = 2 + cosx
B) y = 1 + cosx
A) y = 2cos2x
B) y = cos2x + 3
C) y = 2cos2x – 1
D) y = 2cos2x
C) y = 3 + cosx
D) y = 3cos2x
E) y = 1 + cos2x
1. B
338
2. E
E) y = 2 + cosx
3. C
4. B
5. D
6. C
7. B
8. C
9. E
10. E
11. D
TEST – 7
1.
Üçgende Trigonometrik Baԫntlar
5.
'
'
%
8
(
5
0
1
!
*
7
!
ABC üçgeninde |AC| = 5 cm, |AB| = 7 cm
a
|BC| = 8 cm ise m( C) kaç derecedir?
4
6
+
*
ABC üçgeninde [DE] [BC], |AD| = 1 cm
|BE| = 2 cm, |DB| = 3 cm, |EC| = 4 cm
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 150
ise |AC| = x kaç cm dir?
A) v5
2.
B) v6
C) 2v5
D) 3v5
E) 2v6
Bir ABC üçgeninde, a = 7 cm , b = 5 cm ve
a a
c = 3 cm ise sin( B + C) kaçtr?
6.
A) 1
2
2
2
B)
3
2
C)
D)
5
3
E)
'
6
4
3.
ESEN YAYINLARI
8
'
(
5
*
6
|AD| = 5 cm, |DC| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm
dir?
8
*
(
ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |BD| = 3 cm
4
,
1
!
0
5
A) 2v5
0
B) c21
C) c23
D) 2v6
E) 5
5
!
+
Ԭekilde, [AE] E [BD] = {C}, |AC| = 5 cm
|CE| = 5 cm, |BC| = 6 cm, |CD| = 2 cm
'
7.
6
|AB| = 7 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
!
A) 3
B) 4
C) 5
D) 3v5
4
(
0
E) 4v5
,#*
4.
Kenar uzunluklar a, b, c olan ABC üçgeninde,
a2 = b2 + c2 + v3bc baԫnts saԫlanyorsa,
a
m( A) kaç derecedir?
A) 30
B) 60
C) 120
D) 135
E) 150
ABCD kiriԭler dörtgeninde, |AB| = 2 cm
a
|AD| = 4 cm, m( BCD) = 60° ise |BD| = x
kaç cm dir?
A) v7
B) c10
C) 2v7
D) 4v5
E) 2c10
339
Trigonometri
8.
11.
'
'
%
%%4-
0
+
446
!
1
*
a
a
ABC üçgeninde m( BAC) = 112°, m( ABC) = 22°
!
B) 2tan22°
D) 4cot22°
0
*
(
Ԭekilde |AE| = 1 cm, |EB| = 3 cm, |BC| = 4 cm
|BC| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
A) tan22°
6
A(BDE) = 2 A(ABC) ise |CD| = x kaç cm dir?
C) 4tan22°
A)
E) 2cot22°
20
3
B) 6
17
3
C)
E) 14
3
D) 5
*
9.
12.
'
6
!
5
ESEN YAYINLARI
'
ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |BC| = 4 cm
a
m( BAC) = _ ise cos_ nedir?
A)
2 6
B)
7
21
7
D)
10.
35
7
,
1
,#-
_
C)
!
*
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 6 cm
ise A(ABC) en çok kaç cm2 dir?
30
7
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
3 6
E)
7
0
(
*
13.
'
1#-
0
4
1
,
65,#-
!
'
(
*
!
a
ABCD kiriԭler dörtgeninde, m( DAC) = 45°
a
m( CAB) = 60° ve |BC| = 6 cm ise |CD| = x
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 2 cm
a
a
m( BAD) = 30°, |BD| = |DC| ve m( DAC) = x
ise sinx nedir?
kaç cm dir?
A) 6v2
1. C
340
B) 4v2
2. C
3. C
C) 4v3
4. E
D) 2v6
E) v6
5. C
6. B
A) 1
3
7. C
8. C
B) 2
3
9. A
C) 3
4
10. D
D) 3
5
11. A
E) 1
2
12. B
13. C
TEST – 9
1.
cos375° nin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A)
2.
Toplam – Fark ve Yarm Aç Formülleri
3 +1
2
B)
D)
3+ 6
4
3 – 1
2
6 –
4
C)
5.
r
4
olduԫuna göre
(1 + tanx) (1 + tany) ifadesinin eԭiti nedir?
2
A) 1
2
6+ 2
4
E)
x, y D R+ ve x + y =
B) 1
C) 3
2
D) 2
E) 5
2
Aԭaԫdakilerden kaç tanesi yanlԭtr?
I. sin20°.cos10° + cos20°.sin10° = 1
2
1
2
II. sin110°.sin10° – cos110°.cos10° = –
6.
iԭleminin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
III. cos50°.cos40° + sin50°.sin40° = 0
tan 70° – tan 10°
= 3
1 + tan 70°. cot 80°
V. cos215° – sin215° =
A) 1
B) 2
A) –2sin10°
D) – 4
3
2
C) 3
D) 4
E) 5
7.
3.
4.
C)
2
10
D)
Bir ABC üçgeninde sinA = 12
13
3
10
E)
ifadesinin eԭiti kaçtr?
B) 62
65
C) 63
65
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
D) 1
E) 2
5
10
ve cosC = 4
5
8.
sin 3x cos 3x
–
sin x
cos x
ifadesinin eԭiti kaçtr?
olduԫuna göre, sinB kaçtr?
A) 61
65
E) 4
a + b + c = / olduԫuna göre,
A) –2
B) 3
5
C) –2
cosa.cosb – sina.sinb + cosc
r
< y < / olmak üzere
2
tanx = 2 ve tany = – 3 ise sin(x + y) kaçtr?
0<x<
A) 2
5
B) –2sin20°
ESEN YAYINLARI
IV.
3
1
–
cos10° sin 10°
D) 64
65
E) 1
A) –2
B) –1
C) 0
343
Trigonometri
9.
*
12.
a+1
2
cos35° =
olduԫuna göre, sin20° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
`
_
'
(
A) –a
!
+
B) a – 1
C) a
D) a + 1 E) 2a
ABC üçgeninde |AC| = |AD| = |DE| = |EB|
a
a
[CA] [AB], m( AEC) = _ , m( ABC) = `
ise _ + ` kaç derecedir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
sin2
13.
a
a
a
a
.cos2 + cos2 .sin2 = k
2
2
2
2
olduԫuna göre, cos2a nn k cinsinden deԫeri
nedir?
A) 1 – 2k
B) 1 + 2k
D) 2k2 – 1
(
*
0
6
'
1
+
!
a
ABCD dikdörtgeninde |AE| = |EC|, m( ACE) = x
14. x D b 0 ,
|EB| = 3 cm, |AD| = 4 cm ise tanx kaçtr?
tan2x =
A) 1
2
B) 2
3
C) 3
4
D) 4
5
E) 5
6
A)
2 sin x – sin 2x
cos 2 x – 1
11.
E) 1 – 2k2
ESEN YAYINLARI
10.
C) 1 – 4k
r
l olmak üzere,
2
4
ise sinx kaçtr?
3
5
2
B)
5
3
C)
5
5
D)
5
6
E)
5
8
tan 2 x – 1
tan 2 x + 1
15.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
x
A) –2cot
2
x
B) 2cot
2
D) 2tan
1. E
344
2. B
3. C
x
2
x
C) tan
2
E) –2tan
4. C
5. D
A) cos2x
x
2
6. D
B) – cos2x
D) – sin2x
7. C
8. E
9. B
10. A
11. E
C) sin2x
E) 2sinx
12. C
13. C
14. C
15. B
TEST – 12
1.
sin 25° – sin 15°
cos 25° + cos 15°
5.
sin (a + b) + sin (a – b)
cos (a + b) + cos (a – b)
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot5°
A) cota
B) –tan5°
D) tan5°
2.
Dönüԭüm ve Ters Dönüԭüm Formülleri
C) –cot5°
E) sin5°
D) cotb
sin 10° + sin 40° + sin 70°
cos 10° + cos 40° + cos 70°
6.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot40°
B) sin40°
x + y = 2r
3
C) sina
E) tanb
ise
cos x – cos y
ifadesinin eԭiti
sin y – sin x
aԭaԫdakilerden hangisidir?
C) tan40°
A) –v3
E) cot80°
B) –v2 C) –1
D) v2
E) v3
ESEN YAYINLARI
D) tan80°
B) tana
3.
cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x
sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
7.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) tan3x
B) cot3x
D) sin4x
4.
A) v2cot9°
D) 2v2sin9°
A) –2
E) cot4x
B) 2cot9°
C) 2v2cos9°
E) v2sin9°
r
2
ise
cos 5x. cos 9x
cos 8x – cos 4x
ifadesinin eԭiti
aԭaԫdakilerden hangisidir?
C) tan4x
cos 36° + sin 36°
sin 9°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
11x =
8.
B) –1
C) – 1
2
D) 1
2
E) 1
sin38° + cos68° – cos8°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
349
Trigonometri
9.
13.
sin71° – cos79° – cos41°
cos10°.cos50°.cos70°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
iԭleminin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) –2
A)
10.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
sin(a + b) + sin(a – b) = cosb
14.
olduԫuna göre, sina ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 1
B)
1
2
C) 1
3
D) 1
4
1
16
B)
1
8
C)
D) 3
8
E) 3
16
sin x – 2 sin 2x + sin 3x
sin x + 2 sin 2x + sin 3x
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) tan2 x
2
E) 1
6
3
8
B) –tan2 x
2
E) cot x
2
ESEN YAYINLARI
D) tan x
2
C) –cot2 x
2
15.
sin23x – sin22x
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
11.
cosec 10°
2
iԭleminin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
2cos20° –
A) sin5x.cosx
B) sin5x.sinx
C) cos5x.cos3x
D) cos5x.sinx
E) sin5x.sin3x
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) –2
1. D
2. C
350
B) –1
3. E
C) 0
4. A
D) 1
5. B
6. E
toplamnn sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) v6
E) 2
7. C
1
1
+
cos 15° sin 15°
16.
3 – 4 sin 20°. cos 40°
12.
sin 20°
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
8. C
9. C
10. B
D) v6 – 1
11. B
C) v6 + 1
B) 2v6
12. E
E) 2v3 + 2
13. C
14. B
15. B
16. B
TEST – 13
1.
5.
arctan 1 = x ise sinx.cosx kaçtr?
3
A) 1
10
B) 2
10
arcsin d –
C) 3
10
sin(2arccot2)
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
D) 2
5
A) 2
5
E) 3
5
2
n + arctan(v3)
2
B) 3
4
tan c arcsin
6.
C) 4
5
D) 5
6
E) 5
8
4
+ arc cot 2 m
5
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) r
12
A) 6
B) r
10
C) r
9
D) r
8
E) r
6
B) 11
2
C) 5
D) 9
2
E) 4
ESEN YAYINLARI
2.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
3.
3
cot c arcsin m
5
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 1
3
4.
B) 3
4
C) 4
3
sin c 2 arcsin
7.
4 r
+ m
5 2
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
D) 5
3
E) 1
1 – 3x
m
2
fonksiyonunun en geniԭ tanm kümesi aԭaԫdaki-
A) – 7
25
B) – 8
25
C) 9
25
D) 11
25
E) 12
25
f(x) = 2arcsin c
lerden hangisidir?
1
1
arccos c m + arccos c – m
3
3
8.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
1
A) ;– 1, E
3
B) [–1, 2]
D) [1, 2]
1
C) ;– , 1 E
3
1
E) ; , 1 E
3
A)
3r
4
B) /
C)
4r
3
D) 2/
E)
5r
2
351
Trigonometri
13.
3
3
cos c arcsin m + sin c arctan m
5
4
9.
arccos(cos4x) + sin(arcsin2x)
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
ifadesinin eԭiti kaçtr?
A) 2x
A) 3
5
10.
B) 4
5
C) 6
5
D) 7
5
r
2
fonksiyonunun görüntü kümesi aԭaԫdakilerden
f(x) = arccos(x + 1) –
14.
hangisidir?
D) :–
11.
r
B) :– , 0 D
2
f(x) = arcsin
r
D
4
1 – x
2
ve g(x) = arctan
4
1 – x
r
olduԫuna göre, (fog–1) b l kaçtr?
4
r
r
r
A)
B)
C)
D) r
8
6
5
4
15.
1
10
1. C
2. A
352
B)
3. C
2
10
C)
4. C
3
10
D) 2
3
5. C
6. B
r
l
10
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisi olabilir?
B) 3r
5
C ) 4r
5
D) 5r
6
E ) 6r
7
4arctan(x + 2) – / = 0
A) – r
2
E) r
3
16.
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A)
E) 6x
olduԫuna göre, arcsinx nedir?
1
3
sin c arctan m
2
4
12.
D) 5x
arccos b sin
A) 2r
5
r r
C) :– , D
2 2
E) :0,
r r
, D
4 2
C) 4x
ESEN YAYINLARI
r
A) :– , 0 D
4
B) 3x
E) 8
5
E) 1
3
7. A
9. D
C) – r
8
D) r
4
E) r
2
r
3
+ arccos m
4
5
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
tan c
A) –7
8. B
B) – r
4
10. C
B) –6
11. B
C) –5
12. A
13. E
D) 5
14. A
E) 7
15. A
16. A
TEST – 14
1.
Trigonometrik Denklemler ve Eԭitsizlikler
f(x) = 4sinx – 3cosx
ifadesinin en küçük deԫeri kaçtr?
A) –6
B) –5
sinx + cosx = v2
5.
C) –4
denkleminin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
D) –3
aԭaԫdakilerden hangisidir?
E) –2
r r
A) & , 0
8 4
r r
B) & , 0
4 2
r 3r
D) ' ,
1
4 4
f(x) = 3sinx – v7cosx
2.
6.
ifadesinin en büyük deԫeri kaçtr?
A) 1
B) 2
C) 3
denkleminin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
D) 4
aԭaԫdakilerden hangisidir?
E) 5
r 11r
B) ' ,
1
2 6
ESEN YAYINLARI
r 2r
D) ' ,
1
2 3
gisidir?
aԭaԫdakilerden hangisidir?
D) '
B) '
A) {x : x = k.2/, k D Z}
4r 7r
,
1
3
3
2r 4r
,
1
3
3
r 2r
C) ' ,
1
3 3
2r
, k D Z}
3
r
x = k./ , k D Z}
C) {x : x = k.
3
r
x = k./ , k D Z}
D) {x : x = k.
6
2r
, k D Z}
E) {x : x = k.2/ x = k.
3
B) {x : x = k.
r 5r
E) ' ,
1
3 3
8.
4.
tan2x.tanx = 1
denkleminin (0, 2/) aralԫnda kaç kökü vardr?
A) 2
B) 3
C) 4
r 7r 2r
E) ' ,
,
1
2 6 3
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
3cosx – cos2x + 1 = 0
4r 5r
,
1
3
3
r 7r 11r
C) ' ,
,
1
2 6
6
cosx – 2cos2x + 1 = 0
7.
denkleminin (0, 2/) aralԫndaki çözüm kümesi
A) '
r 5r
E) ' ,
1
4 4
cos2x + sinx = 0
r 7r
A) ' ,
1
2 6
3.
r
C) & 0
4
D) 5
E) 6
cosx + 3sin x = –1
2
denkleminin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
kaç elemanldr?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
353
Trigonometri
v3cosx + 3sinx = 3
9.
13.
4cosx + 3sinx = 5
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
olduԫuna göre, sinx aԭaԫdakilerden hangisine
gisidir?
eԭittir?
A) 3
4
A) { x : x =
r
+ k.2/, k D Z}
2
B) { x : x =
r
+ k.2/, k D Z}
6
C) { x : x =
r
r
+ k.2/ x =
+ k.2/, k D Z}
2
6
D) { x : x =
r
r
+ k./ x =
+ k./, k D Z}
4
12
C) 4
5
D) 2
3
E) 2
5
cos2x + sinx + 1 = 0
14.
r
r
+ k.2/ x =
+ k.2/, k D Z}
E) { x : x =
3
4
B) 3
5
denkleminin [0, 2/] aralԫnda kaç farkl kökü
vardr?
A) 0
10.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
sinx + sin2x + sin3x = 0
denkleminin [0, /] aralԫndaki çözüm kümesi
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
ESEN YAYINLARI
kaç elemanldr?
E) 5
15.
2sinx – 1 0
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) ;
4sin2x – 5 = 3cosx – 2cos2x
11.
denkleminin [0, /] aralԫndaki çözüm kümesi
5r
, 2r E
6
D) ;
aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) '
2r
1
3
D) '
C) '
B) {/}
2r 5r
,
1
3
6
E) '
B) ;
r 5r
,
E
6
6
5r 3r
,
E
6
2
C) :
E) ;
r r
, D
6 2
5r
, rE
6
2r
, r1
3
2r
5r
, r,
1
3
6
16. x D [0, 2/) olmak üzere,
2cosx + 1 < 0 eԭitsizliԫinin çözüm aralԫ aԭaԫ12. x + y D [0, /] olmak üzere,
dakilerden hangisidir?
cos(x – 10°) + cos(y + 25°) = 0 ise
A) c
x + y kaç radyandr?
A)
1. B
5r
6
11r
12
B)
2. D
3. D
354
C)
4. C
3r
4
5. C
D)
2r
3
E)
6. C
7. E
5r 7r
,
m
6
6
D) c
7r
12
8. A
9. C
10. D
B) c
4r
, 2r m
3
11. C
12. A
r 5r
,
m
6
6
E) c
13. B
C) c
r 2r
,
m
6
3
2r 4r
,
m
3
3
14. B
15. B
16. E
TEST – 18
cosec2x – cot2x
1.
5.
ifadesinin en sade biçimi aԭaԫdakilerden hangi-
ifadesinin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
sidir?
A) 1
A) 1
B) sinx
D) secx
C) cosx
D) tan18°
cos1° + cos2° + cos3° + ... + cos179°
E) tan72°
C) 0
D) 1
x=
r
olmak üzere,
7
E) 2
A) 1
B)
1
2
C) 0
D) –
1
2
E) –1
ESEN YAYINLARI
B) –1
C) cos18°
cos 4x + cos 6x
ifadesinin sonucu kaçtr?
cos x + cos 3x
toplamnn deԫeri kaçtr?
A) –2
B) sin18°
E) tanx
6.
2.
sin72°.tan36° + cos72°
arcsin1 + arcsin c –
3.
7.
1
m
2
r
4
B)
r
3
C)
r
2
D)
2r
3
E)
cos X
B + sin Y
C = sin Y
A ve kenarlar arasnda
C ) kaç deb2 = (a – c)2 + ac baԫnts varsa m( Y
toplam kaç radyandr?
A)
Bir ABC üçgeninin açlar arasnda
5r
6
recedir?
A) 30
1
3
cos 15° +
sin 15°
2
2
4.
8.
1+ 3
2
B)
D)
2
2
C) 60
D) 90
E) 120
a = cos24° , b = sin36° , c = cot44°
olduԫuna göre a, b ve c nin sralanԭ aԭaԫ-
ifadesinin sonucu kaçtr?
A)
B) 45
3
2
C)
E)
2
4
3
4
dakilerden hangisidir?
A) b < c < a
B) b < a < c
D) a < c < b
C) a < b < c
E) c < a < b
361
Trigonometri
9.
12. x D [0°, 360°) olmak üzere,
D
sin2x +
8
|AB| = 6 cm
4
A
|BC| = |CD| = 4 cm
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
C
x
|AD| = 8 cm
3 cos2x – 1 = 0
gisidir?
4
A) {45°, 135°, 225°, 315°}
6
B) {30°, 75°, 225°, 315°}
B
Ԭekildeki ABCD kiriԭler dörtgeninin köԭegeni
C) {45°, 75°, 165°, 225°}
olan |AC| = x kaç cm dir?
D) {30°, 165°, 225°, 345°}
B) 2 15
A) 7
E) {45°, 165°, 225°, 345°}
C) 8
E) 5 3
D) 6 2
10.
H
13. Bir ABC üçgeninde,
B .cos Y
C olduԫuna
|AC| = 6 cm ve sin Y
A = 2.sin X
G
göre, |AB| kaç cm dir?
_
E
A) 6 2
F
C
A
B
%
Yukardaki küpte m( AHB ) = _ ise sin_ kaçtr?
A)
1
2
B)
D)
1
3
1
6
C)
E)
E) 3
ESEN YAYINLARI
D) 6
D
C) 4 3
B) 8
1
2
14. Üst tabannn merkezi
O
O olan yandaki dik silin-
2
6
dirin yarçap 1 cm
yüksekliԫi 3 cm ve
|AB| = 3 cm ise
%
cos( AOB ) kaçtr?
r
olmak üzere, aԭaԫdakilerden kaç
2
tanesi yanlԭtr?
11. _ + e =
I.
sin_ = cose
II.
tan(r – _) = cote
III.
cos2_ + cos2e = 1
IV.
cot c
V.
r
cos b – a l = sine
2
A) 1
A)
3r
+ a m = tan_
2
B) 2
C) 3
17
20
2.C
362
3.B
4.D
4
5
A
C)
3
4
D)
7
10
E)
13
20
cos22x – sin2x = 0
15.
denkleminin [0, r] aralԫnda kaç farkl kökü
vardr?
D) 4
E) 5
A) 1
1.A
B)
B
5.A
6.E
7.A
8.B
9.C
B) 2
10.B
11.C
C) 3
12.E
D) 4
13.D
E) 5
14.A
15.C
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1987 – ÖYS
4.
a
m( BAD) = _
1988 – ÖSS
?
>
(
|AB| = a
a
m( EBB) = _°
|CD| = c
|AE| = |ED|
*
+
'
?
!
?
(
_
a>c
?
(
*
*
_
9
'
!
'
Yukardaki ԭekilde ABCD bir ikizkenar teԫetler
!
Yukardaki ԭekilde ABCDA B C D bir küp olduԫu-
yamuԫudur. Buna göre cos_ nn deԫeri nedir?
na göre, tan_ nn deԫeri nedir?
a – c
B)
2a + c
a – c
A)
a+c
D)
a
a+c
E)
a – c
C)
a + 2c
B) v5
A) 2v5
c
a+c
D)
5.
5
3
5
2
E)
1988 – ÖYS
O1 ve O2 çember-
1987 – ÖYS
a
m( CKA) = 90°
a
m( DHA) = 90°
(
*
2
<
|DH| = |HK|
a
m( DAH) = _°
+
_
'
!
B)
3
2
A)
C) 3
4
D) 2
3
4_
4`
sin b
sin a
E) 1
2
D)
6.
!
B)
cos b
cos a
cot a
cot b
C) tan a
tan b
E) cos a
cos b
1988 – ÖYS
ABCD bir dikdörtgen
(
+
1987 – ÖYS
de |AB| = 15 birim
*
_
E noktas [CD] üzerin3.
.4
hangisidir?
tan_ nn deԫeri kaçtr?
2
2
.%
Ԭekildeki A ve B noktalarnda kesiԭen çemberleAO 1
rin yarçaplarnn
oran aԭaԫdakilerden
AO 2
Yukardaki ԭekilde ABCD bir kare olduԫuna göre
A)
'
lerin merkezleri,
%
m (AO 1 B) = 2_
%
m (AO 2 B) = 2`
ESEN YAYINLARI
2.
5
4
C)
,
_
denkleminin [0°, 90°] aralԫndaki kökü kaç dere-
|AD| = 6 birim
a
a
m( DAE) = m( CEB) = _
cedir?
Yukardaki verilere göre tan_ nn deԫerlerinden
sin2x = cos35°
A) 70
B) 65
D) 27,5
C) 37,5
E) 17,5
%5
'
!
biri nedir?
A)
3
4
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
363
1
6
Trigonometri
7.
1988 – ÖYS
10. 1989 – ÖYS
cos36° =
3
+
_
'
(
olduԫuna göre, cos72° kaçtr?
7
4
!
5 +1
4
*
5 – 1
4
A)
A ve C noktalar çemberlerin merkezi, EF ortak
teԫet, AC merkezler doԫrusu, D noktas EF ile
D)
AC doԫrularnn kesim noktas, çemberler B nok-
3 +2
4
B)
3
2
5
3
C)
E)
1
3
tasnda birbirine teԫet,
|EA| = 2 birim, |FC| = 8 birim
a
Yukardaki ԭekilde m( EDA) = _ olduԫuna göre
11. 1989 – ÖYS
tan_ nn deԫeri nedir?
A) 5
6
B) 4
5
c = cose, s = sine
C) 3
4
D) 2
3
E) 1
2
olduԫuna göre c6 + 3c2s2 + s6 ifadesinin ksaltlmԭ aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) sin2e
B) 1
C) sine.cose
8.
1988 – ÖYS
cos x + cos 6x + cos 11x
sin x + sin 6x + sin 11x
ifadesinin ksaltlmԭ biçimi aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot6x
B) cot18x
C) cotx + cot6x + cot11x
D) 1
ESEN YAYINLARI
D) 3
E) cos2e
12. 1989 – ÖYS
E, [CD] üzerinde
(
*
ABCD bir dikdörtgen
|AB| = 2|BC|
E) 0
+
e
|DE| = |EC|
a
m( EAC) = e
'
!
Yukarda verilen bilgilere göre tane nn deԫeri
9.
kaçtr?
1988 – ÖYS
A)
sin95°, cos190°, tan210°
1
4
B)
1
3
C)
1
2
nin iԭaretleri aԭaԫdakilerden hangisinde doԫru
D)
1
2
E)
1
3
olarak verilmiԭtir?
sin95°
––––––
A)
+
cos190°
–––––––
–
tan210°
––––––
–
B)
–
–
+
C)
–
+
+
D)
+
+
–
E)
+
–
+
364
13. 1990 – ÖYS
1
1
+
=8
cos 2 x sin 2 x
denkleminin dar aç olan çözümü nedir?
A) r
8
B) r
6
C) r
5
D) r
4
E) r
3
Trigonometri
14. 1991 – ÖYS
sin 3x cos 3x
+
=1
sin x
cos x
18. 1993 – ÖYS
1
1
4
–
=
1 – cos x 1 + cos x 3
olduԫuna göre, cos2x aԭaԫdakilerden hangisine
denklemini saԫlayan x dar açs kaç derecedir?
eԭittir?
A) 25
A) 5
8
B) 1
3
C) 2
3
D) 3
4
ABC bir üçgen
65- e
cm dir. Çember üzerindeki A ve B noktala-
!
(
_
1
6
.
r O ve T ye birleԭtiril-
*
'
,#-
!
tr?
C)
3
3
D) 1
2
E) 1
3
ESEN YAYINLARI
miԭtir.
a
a
m( AOB) = 60°, m( ATB) = _ olduԫuna göre
Yukardaki verilenlere göre, sine nn deԫeri kaç-
3
2
=
3 cm, taban yarçap 4
4@@@4
|AB| = 2 birim
|AC| = 2v2 birim
a
m( BAD) = 45°
a
m( DAC) = e
E) 75
merkezi O, yüksekliԫi
4
|BD| = |DC|
B)
D) 60
nin tepesi T, taban
'
D, [BC] üzerinde
2
2
C) 45
19. 1993 – ÖYS
Ԭekildeki dönel koni-
15. 1991 – ÖYS
A)
B) 30
E) 5
6
cos_ nn deԫeri kaçtr?
A) 17
25
B) 19
25
C) 21
25
D) 3
5
E) 4
5
20. 1994 – ÖYS
16. 1992 – ÖYS
1
1
+
=2 6
cos x sin x
r yarçapl bir çember içine bir kenar uzunluԫu
r 2 –
denklemini saԫlayan dar aç ( x ) aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 15°
B) 20°
Buna göre düzgün çokgenin kenar says kaçtr?
A) 20
C) 30°
D) 35°
3 olan bir düzgün çokgen çizilmiԭtir.
B) 18
C) 15
D) 13
E) 12
E) 45°
21. 1994 – ÖYS
17. 1993 – ÖYS
3
4
=
cos x sin x
cosx – sinx = 1
2
olduԫuna göre, cos2x in deԫeri aԭaԫdakilerden
olduԫuna göre, cosx in pozitif deԫeri kaçtr?
hangisidir?
A) 2
3
A)
B) 2
5
C) 3
5
D) 4
5
E)
3
5
7
4
B) 1
4
C) 1
2
D) – 1
4
E) – 1
365
Trigonometri
22. 1995 – ÖYS
26. 1996 – ÖYS
1
cos c 2arc cot m deԫeri kaçtr?
2
A) – 3
5
B) – 1
4
C) 1
4
0° < _ < 90° ve
D) 1
2
3 sin 5° cos 7° + 3 cos 5° sin 7°
= sin_
4 cos 84° cos 6°
E) 3
2
olduԫuna göre _ kaç derecedir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 30
E) 60
23. 1995 – ÖYS
0 x r olmak üzere
2
sin x
= 2 olduԫuna göre x açs aԭa1 + cos x
ԫdakilerden hangisidir?
cot x +
A) r
2
B) r
3
C) r
4
D) r
6
27. 1996 – ÖYS
/
!
E) r
8
A ve B çember üze_
rinde, A D Ox ekseni
.
(
'
0
ESEN YAYINLARI
[BD] [OA]
24. 1995 – ÖYS
2
A
+
3
(
Ԭekildeki O merkezli birim çemberde
cos_ = |AB| olduԫuna göre, |AB| kaç birimdir?
A) v3 + 2
B) v3 + 1
D) v3 – 1
C) v3
E) v3 – 2
*
'
!
ABCDEFGH bir birim küp olduԫuna göre, [DF] ve
[DA] arasndaki açnn cosinüsü kaçtr?
A)
2
2
B)
3
2
C)
1
3
D)
2
3
E)
3
4
28. 1997 – ÖYS
'
ABC bir ikizkenar
_
üçgen
|AB| = |AC|
a
m( ABC) = e
a
m( BAC) = _
25. 1996 – ÖYS
sin 2A + sin 4A
cos 2A + cos 4A
B) tg2A
D) cotg3A
366
*
Yukardaki ԭekilde tane = 3 olduԫuna göre,
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A) sin2A
e
!
C) tg3A
E) cos3A
tan_ nn deԫeri kaçtr?
A) 1
3
B) 2
3
C) 3
4
D) 3
5
E) 4
5
Trigonometri
29. 1997 – ÖYS
32. 2006 – ÖSS
/
3r
< x < 2r olmak üzere,
2
r
cosx – tan .sinx = 3 denkleminin kökü aԭa3
ԫdakilerden hangisidir?
A) 11r
6
B) 9r
5
C) 8r
5
D) 7 r
4
C
D"'.C&@E@e
e
.
'
)@ e
E) 5r
3
0
D"'.Cv&@E@)@e
Cv
Ԭekildeki O merkezli birim çember üzerindeki
P ve Pv noktalar Ox eksenine göre birbirinin
simetriԫidir. Buna göre, Pv noktas aԭaԫdakilerden hangisiyle ifade edilemez?
A) (cos(–e), sin(–e))
B) (cos(–e), sine)
30. 1998 – ÖYS
C) (cose, –sine)
/
BKA dörtte bir
D) (cose, sin(2/ – e))
<
!
çember yay
E) (cos(2/ – e), –sine)
e
.
'
0
Ԭekildeki O merkezli, 15 m yarçapl dörtte bir
çember biçimindeki havuzun A noktasndan hareket eden ve saniyede 0,2 m hzla yüzen bir
kiԭi, ANK yolunu izleyerek t zamanda K noktaa
sna geliyor. m( AOK) = e olduԫuna göre, t nin e
ESEN YAYINLARI
B
|OA| = |OB| = 15 m
a
m( AOK) = e
33. 2006 – ÖSS
sin 2a
ifadesinin sadeleԭtirilmiԭ biçimi aԭa1 – cos 2a
ԫdakilerden hangisidir?
A) sina
türünden deԫeri aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 50.sine
B) 50.sin2e
D) 100.sin
i
2
B) cosa
D) cota
C) tana
E) sina + cosa
C) 100.sine
E) 150.sin
i
2
34. 2006 – ÖSS
AL KL
BA // KL
|AL| = 3 km
|BA| = 12 km
!
%4
'
1
4%
<
;
|KL| = 21 km
K noktasndaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli, yerden 3 km yükseklikte yere paralel uçan
31. 1998 – ÖYS
bir uçaԫn, A noktasndan B noktasna kadar
sin2x + 10cosx – 10 = 0
r 5r
,
E aralԫndaki kökü aԭaԫda2
2
kilerden hangisidir?
denkleminin ;
A)
7r
6
B)
4r
3
C)
3r
2
D) 2r
E) r
12 km lik hareketini radarla izliyor.
A noktasnn yerdeki dik izdüԭümü L noktas ve
|KL| = 21 km olduԫuna göre, radarn taradԫ AKB
açsnn tanjant kaçtr?
A) 3
7
B) 4
9
C) 2
11
D) 3
13
E) 7
17
367
Trigonometri
35. 2007 – ÖSS
39. 2008 – ÖSS
sin 10° cos 40° + cos 10° sin 40°
cos 50° cos 10° + sin 50° sin 10°
cos b
iԭleminin sonucu kaçtr?
A) v2
B) v2
C)
r
r
+ x l = sin b – x l
2
2
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
3
2
D)
1
2
E) 1
A)
–
3
3
C) –1 D) – v3
3
3
B)
E) v3
36. 2007 – ÖSS
cos 2a
1 – tan 2 a
40. 2009 – ÖSS
A
ifadesinin sadeleԭtirilmiԭ biçimi aԭaԫdakilerden
hangisidir?
A) sin2a
B) cos2a
2
|DC| = 1 |AC|
4
a
m( DBC) = x
C) cot2a
2
D) 1 + sin a
E) 1 + tan a
D
ESEN YAYINLARI
x
C
Ԭekildeki ABC üçgeni bir eԭkenar üçgen olduԫuna göre, tanx kaçtr?
A)
37. 2007 – ÖSS
b sin
B
3
10
B)
3
7
C) 3 3
5
D)
3
3
E) 2 3
3
r
r 2
+ cos l
12
12
ifadesinin deԫeri kaçtr?
A) 1
2
B) 3
2
C) 5
2
D) –1 + v3
E) 1+v3
41. 2009 – ÖSS
A
O noktas yarm
çemberin merkezi
38. 2008 – ÖSS
sin 2x = a olduԫuna göre,
(sin x + cos x)
2
ifadesinin a türünden deԫeri
aԭaԫdakilerden hangisidir?
|AC| = 1 cm
a
m( AOC) = x
1
3
|AB| = 3 cm
x
B
O
C
Yukardaki verilere göre, sinx kaçtr?
A) a + 1
D) a2 + 1
368
B) 2a + 1
C) 2a + 2
E) 2a2 + 1
A) 2
3
B) 3
4
C) 3
5
D) 4
9
E) 3
10
Trigonometri
42. 2010 – LYS
3sinx – 4cosx = 0
46. 2011 – LYS
f(x) = arcsin b
olduԫuna göre, |cos2x| deԫeri kaçtr?
3
A)
4
3
B)
5
4
C)
5
7
D)
25
x
+ 2 l fonksiyonunun ters fonksiyo3
nu olan f –1(x) aԭaԫdakilerden hangisidir?
9
E)
25
A) 2sin(x) – 6
B) 2sin(x) + 3
C) 3sin(x) – 6
D) sin(2x – 6)
E) sin2(x) – 3
43. 2010 – LYS
(sin x – cos x) 2
+ 2 sin x
cos x
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A)
1
cos x
B)
47. 2011 – LYS
1
sin x
D) arcsinx
C) 1
r
olmak üzere,
2
1
cotx – 3tanx =
olduԫuna göre,
sin 2x
0<x<
E) arccosx
ESEN YAYINLARI
sin2x kaçtr?
44. 2010 – LYS
A)
1
9
B)
1
8
C)
1
7
D)
1
5
E)
1
4
tan 60°
1
–
sin 20° cos 20°
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A) 4
B) 2
C) 1
D)
3
2
E)
1
2
48. 2011 – LYS
A
B
45. 2010 – LYS
C
1 + cos 40°
cos 55°. cos 35°
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A) cos20°
B) 2cos20°
C) 4cos20°
D) cos40°
Birim kareler üzerine çizilmiԭ yukardaki ABC
üçgeninin B açsnn tanjant kaçtr?
A)
25
4
B)
34
5
C)
40
9
D) 4
E) 5
E) 2cos40°
369
Trigonometri
49. 2011 – LYS
cosx =
A)
52. 2012 – LYS
– 4
olduԫuna göre, cos2x kaçtr?
5
3
5
B)
5
13
C)
12
13
D)
24
25
E)
cosx.cos2x =
1
16.sin x
olduԫuna göre, sin4x kaçtr?
7
25
A)
1
2
B)
2
3
C)
1
4
D)
2
2
E)
3
2
53. 2012 – LYS
50. 2012 – LYS
1
2
(cos a) = 0
4
2
denkleminin bir kökü
tür.
3
2
x – (sin a) x –
cos 135° + cos 330°
sin 150°
ifadesinin deԫeri kaçtr?
3 –
B)
3 – 1
2 +1
E)
2
D)
51. 2012 – LYS
C)
Buna göre, sin a kaçtr?
2 – 1
2+ 3
ESEN YAYINLARI
A)
D
ABCD bir kare
C
|BE| = 5 cm
7
|EC| = 7 cm
%
m( EAC ) = x
E
x
5
A
B
Yukardaki verilere göre, tan x kaçtr?
A)
4
13
370
B)
6
13
C)
9
13
D)
5
17
E)
7
17
A)
2
2
B)
2
3
C)
2
6
D)
1
2
E)
1
3
ESEN ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
ESEN
ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
9. SINIF
10. SINIF
11. SINIF
12. SINIF
YGS - LYS
www.nevzatasma.com & www.halitbiyik.com
